ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ -ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ

Transcript

1

2

3 ΑΜΕΊΩΤΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ -ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1. Η εξίσωση της αποµάκρυνσης ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση είναι π x = Αηµ t. Τα διαν νύσµατα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του σώµατος έχουν Τ ταυτόχρονα θετική κατεύθυνση κατά το χρονικό διάστηµα: α. από t=0 έως Τ/4, β. από Τ/4 έως Τ/, γ. από Τ/ έως 3Τ/4. δ. από 3Τ/4 έως Τ.. Ένα σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Η αποµάκρυνση x του σώµατος από τη θέση ισορροπίας δίνεται από την εξίσωση x=aηµ( π t+ π ). Η ταχύτητα υ Τ του σώµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο t δίνεται από το διάγραµµα: 3. Η επιτάχυνση α ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση, σε συνάρτηση µε την αποµ µάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας, δίνεται από το διάγραµµα: 4. Το διάγραµµα του σχήµατος δείχνει την αποµάκρυνση x σε συνάρτηση µε το χρόνο t, για ένα σώµα που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. Ποια από τις ακόλουθες προτάσεις είναι λανθασµένη; α. το µέτρο της ταχύτητας είναι µέγιστο, όταν t=1s. β. η µετατόπιση είναι µέγιστη, όταν t=s. γ. η δύναµη επαναφοράς είναι µηδέν, όταν t=0,5s. δ. το µέτρο της επιτάχυνσης είναι µέγιστο, όταν t=s. 5. ύο σώµατα 1, µαζών m 1 = m και m = m αντίστοιχα εκτελούν απλή αρµονική ταλάντωση. Στο διπλανό διάγραµµα φαίνεται η δύναµη επαναφοράς σαν συνάρτηση της αποµάκρυνσης για κάθε σώµα. α. Για τις σταθερές ταλάντωσης ισχύει: D 1 = D. β. Για τις περιόδους ταλάντωσης ισχύει: Τ 1 = Τ. γ. Για τις ενέργειες ταλάντωσης ισχύει: E 1 = Ε. Χαρακτηρίστε τις προτάσεις µε Λ ή Σ. 6. Σύστηµα ελατηρίου-µάζας εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση σε οριζόντιο επίπεδο. Όταν η µάζα βρίσκεται στη µέγιστη αποµάκρυνση της από τη θέση ισορροπίας, ένα κοµµάτι πλαστελίνης προσκολλάται στη µάζα χωρίς αρχική ταχύτητα. Από τα µεγέθη της ταλάντωσης του συστήµ µατος αυτό που δε θα µεταβληθεί είναι: 3

4 α. το πλάτος Α. β. η περίοδος T. γ. η µέγιστη τιµή υ max της ταχύτητας του σώµατος. δ. η µέγιστη τιµή α max της επιτάχυνσης του σώµατος. 7. Σύστηµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε ολική ενέργεια Ε. Η επιπλέον ενέργεια που πρέπει να προσφέρουµε στο σύστηµα, ώστε να διπλασιαστεί το πλάτος της ταλάντωσης του, είναι: α. Ε β. Ε. γ. 4Ε δ. 3Ε 8. ύο σώµατα Σ 1 και Σ µε ίσες µάζες ισορροπούν κρεµασµ µένα από κατακόρυφα ιδανικά ελατήρια µε σταθερές k 1 και k αντίστοιχα, που συνδέονται µε τη σχέση k 1= Αποµακρύνουµε τα σώµ µατα Σ 1 και Σ από τη θέση ισορροπίας τους κατακόρυφα προς τα κάτω, κατά x και x αντίστοιχα και τα αφήνουµε ελεύθερα την ίδια χρονική στιγµή, οπότε εκτελούν απλή αρµονική ταλάντωση. Τα σώµατα διέρχονται για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας τους: α. ταυτόχρονα. β. σε διαφορετικές χρονικές στιγµές µε πρώτο το Σ 1. γ. σε διαφορετικές χρονικές στιγµές µε πρώτο το Σ. Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. (Εξετάσεις 004) k. 9. Στο διάγραµµαα του σχήµατος αποδίδεται η επιτάχυνση a ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση, σε συνάρτηση µε το χρόνο t. Να αντι- της στήλης Α στοιχήσετε τις εξισώσεις µε τα διαγράµµατα της στήλης Β. 4

5 10. Το πλάτος της ταλάντωσης ενός απλού αρµονικού ταλαντωτή διπλασιάζεται. Να αντιστοιχήσετε τα µεγέθη της ταλάντωσης της στήλης Α µε τα στοιχεία της στήλης Β. 11. Σύστηµα αποτελείται από οριζόντιο ελατήριο σταθεράς K=00N/m και σώµα µάζας m = 0,5kg, το οποίο µπορεί να κινείται χωρίς τριβές πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Αποµακρύνουµε το σώµ µα από τη θέση ισορροπίας του κατά x = 10 3 cm και τη χρονική στιγµή t=0 του προσδίδουµε ταχύτητα µέτρου υ= m/s κατά τη θετική φορά του άξονα. α. Να υπολογίσετε το πλάτος και τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης, β. Να προσδιορίσετε την αρχική φάση της ταλάντωσης. γ. Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σώµατος, σε συνάρτηση µε το χρόνο. [Απ: 0,m, 0rad/s, π/3,, υ=4συν(0t+π/3) S.I.] 1. Η εξίσωση της αποµάκρυνσης ενός απλού αρµονικού ταλαντωτή είναι x = Αηµωt. Να αντιστοιχήσετε τα µεγέθη της στήλης Α µε τα διαγράµµατα της στήλης Β. 13. Σώµα Σ 1 µάζας m 1 =3Kgr είναι κρεµασµένο από ελατήριο σταθεράς K=100N/m, του οποίου το πάνω άκρο είναι στερεωµένο σε σταθερό σηµείο. Το σώµα Σ 1 κάνει απλή αρµονική ταλάντωση πλάτους Α 1 =0,5m. Κάποια στιγµή που το σώµα Σ 1 βρίσκεται σε απόσταση x 1 = 0,3m κάτω από τη θέση ισορροπίας του και κινείται προς τα κάτω, συναντά άλλο σώµα Σ µάζας m =1Kgr το οποίο ανεβαίνει µε ταχύτητα υ =4 3 m/s. Τα σώµατα συγκρούονται πλαστικά. Να βρεθούν: α. Η ταχύτητα του σώµατος Σ 1 λίγο πριν τη κρούση και η ταχύτητα του συσσωµατώµατος λίγο µετά την κρούση. β. Το πλάτος Α της ταλάντωσης που θα ακολουθήσει µετά την κρούση και η µέγιστη ταχύτητα V max του συσσωµατώµατος. γ. Η εξίσωση της αποµάκρυνσης x του συσσωµατώµατος από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση µε το χρόνο και να γίνει η γραφική της παράσταση.. Να θεωρήσετε χρόνο µηδέν τη στιγµή της κρούσης και θετική φορά προς τα κάτω. ίνεται g=10m /s. 4 [Απ: m/s, 0m/s, 0,m, 1m/ /s. 0,ηµ(5t+π/) S.I.] 3 5

6 14. Ένα σώµα Σ 1 µάζας m 1 = 4,5 Kg ισορροπεί σε λείο οριζόντιο επίπεδο στερεωµένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 50Ν/m όπως φαίνεται στο σχήµα. Τοποθετούµε δεύτερο σώµα Σ µάζας m = 3,5 Kg δίπλα στο Σ 1 και το σπρώχνουµε αργά, ώστε το ελατήριο να συµπιεστεί κατά d = 0,4 m, και την t = 0 αφήνουµε το σύστηµα ελεύθερο να κινηθεί. Να βρείτε: α. Σε ποια θέση χάνεται η επαφή µεταξύ των σωµάτων και ποια στιγµή συµβαίνει αυτό. β. Την ταχύτητα του σώµατος Σ µόλις χάνεται η επαφή. γ. Την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης του Σ 1 µετά το χάσιµο της επαφής. δ. Την απόσταση µεταξύ των σωµάτων, όταν το ελατήριο έχει τη µέγιστη επιµήκυνση του για πρώτη φορά. [Απ: π/5 s, 1m/s, 0,6π s, 0,3m, 0,15(π-)m] 15. Ένα σώµα µάζας Μ = 1,6 Kg ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεµένο στα άκρα δύο οριζόντιων ελατηρίων όπως φαίνεται στο διπλανό σχήµα. Τα ελατήρια έχουν σταθερές K 1 = N N 60 και K =100 και είναι επιµηκυµένα όταν το m m σώµα ισορροπεί. Αποµακρύνουµε το σώµα κατά l= 0, m. α. είξτε ότι το σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση και υπολογίστε την περίοδο της. β. Πόση ενέργεια δαπανήσαµε για την αρχική αποµάκρυνση του σώµατος από τη θέση ισορροπίας; γ. Όταν το σώµα περνά από τη θέση ισορροπίας, αφήνουµε να πέσει από ύψος h ένα κοµµάτι πλαστελίνης µάζας m = 0,9 Kg. γ 1. Πόσο πρέπει να είναι το ύψος h για να συναντηθούν τα δύο σώµατα στο επόµενο πέρασµα του σώµατος µάζας Μ από τη θέση ισορροπίας; γ. Ποιο είναι το νέο πλάτος και η νέα περίοδος της ταλάντωσης που εκτελεί το συσσωµάτωµα αν η κρούση είναι πλαστική; ίνονται: g = 10 s m και π 10. [Απ.: π/5 s, 3,J, 0,5m, 0,16m, π/4 s] 16. Στο διπλανό σχήµα τα σώµατα Σ 1, Σ έχουν µάζες m 1 = m και m = m αντίστοιχα. Όταν το σύστηµα ισορροπεί, το ελατήριο είναι επιµηκυµένο κατά l= = 0,3 m. Τη χρονική στιγµή t = 0 κόβουµε το νήµα που συνδέει τα δύο σώµατα και έχει µήκος L = 0,1 m. α. Να δείξετε ότι το σώµα Σ 1 εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση, της οποίας να υπολογιστεί η περίοδος. β. Να γράψετε τις εξισώσεις αποµάκρυνσης - χρόνου, ταχύτητας - χρόνου και επιτάχυνσης - χρόνου για το Σ 1, θεωρώντας θετική φορά προς τα πάνω και να κάνετε τη γραφική παράσταση της πρώτης. γ. Τη χρονική στιγµή t 1 το ελατήριο αποκτά το φυσικό του µήκος για πρώτη φορά. Τη 6

7 στιγµή αυτή να βρείτε: γ 1. Την απόσταση µεταξύ των Σ 1, Σ. γ. Τις ταχύτητες των Σ 1, Σ. ίνονται: g = 10 m/s, και π 10. Να θεωρηθεί ότι το Σ δεν έχει φτάσει στο έδαφος τη χρονική στιγµή t 1. [Απ: (α) π/5 s (β) x=0,ηµ(10t+3π/), υ=συν(10t+3π/), α=-0ηµ(10t+3π/) (S.I.) (γ) 41m/90, 3 m/s, π/3 m/s] 17. Τα ελατήρια (1) και () του σχήµατος έχουν σταθερές k 1 = 50 N/m και k = 00 N/m αντίστοιχα. Τα ελατήρια βρίσκονται αρχικά στην κατάσταση φυσικού τους µήκους και τα άκρα τους Β και Γ α- πέχουν µεταξύ τους d = 0,8 m. Σώµα µάζας m = 0,5 kg µπορεί να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο χωρίς τριβές. Συσπειρώνουµε το ελατήριο (1) κατά x 1 = 0, m, τοποθετούµε το σώµα στο ελεύθερο άκρο του και το αφήνουµε ελεύθερο. Να υπολογίσετε: α. την ταχύτητα του σώµατος τη στιγµή που χάνει την επαφή του µε το άκρο Β του ελα- ότι κατά την τηρίου (1), β. τη µέγιστη συσπείρωση που θα υποστεί το ελατήριο (), γ. την περίοδο της περιοδικής κίνησης που εκτελεί το σώµα. Θεωρήστε κίνηση του σώµατος δεν υπάρχει καµία απώλεια ενέργειας και ότι οι διαστάσεις του σώµατος είναι αµελητέες. [Απ: (α) m/s (β) 0,1m (γ) (0,8+0,15π)s] 18. To ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k 1 = 00Ν/m είναι στερεωµένο σε οριζόντιο δάπεδο. Στο άλλο άκρο του είναι σταθερά συνδεδεµένος δίσκος Α µάζας m A = 1,5 kg. Πάνω στο δίσκο είναι τοποθετηµ µένο σώµα Β µάζας m = 0,5 kg. To σύστηµα ισορροπεί. Ακριβώς πάνω από το σώµα Β και σε απόσταση 0,m από το πάνω άκρο του, ισορροπεί ένα σώµα Γ µάζας m Γ =0,5kg που είναι στερεωµένο στην άκρη ελατηρίου σταθεράς k =400Ν/m k Πιέζουµε το σύστηµα των σωµάτων Α και Β κατακόρυφα προς τα κάτω κατά y 0 = 5 m/10 και το αφήνουµε ελεύθερο. α. Να αποδείξετε ότι το σώµα Β θα εγκαταλείψει το δίσκο Α και βρεθεί σε ποια θέση. β. Ποια είναι η ταχύτητα του σώµατος Β τη στιγµή που εγκαταλείπει το δίσκο; γ. Να ελέγξετε αν τα σώµατα Β και Γ θα συγκρουστούν καθώς το σώµα Β ανέρχεται. Αν η σύγκρουση των Β και Γ είναι πλαστική να βρείτεε την εξίσωση της ταλάντωσης του συσσωµατώµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο, θεωρώντας B A k 1 Γ να 7

8 χρονική στιγµή t=0 την στιγµή της σύγκρουσης και θετική φορά προς τα πάνω. δ. Ποιο το πλάτος της ταλάντωσης του σώµατος Α µετά την εγκατάλειψη του από το σώµα Β; ίδεται: ηµπ/9 1/3 [Απ. (α) εγκαταλείπει σε ύψος 0,1 m πάνω από τη θέση ισορροπίας (β) m/s (γ)x=3, ηµ(0t+π/9) (δ) περίπου 0,18m] 19. Οριζόντια σανίδα κινείται οριζόντια και κάνει γραµµική αρµονική ταλάντωση σε οριζόντια διεύθυνση µε πλάτος Α. 4 α) Αν η συχνότητα των ταλαντώσεων είναι Ηz και ο π συντελεστής µέγιστης στατικής τριβής ανάµεσα στη σανίδα και σε σώµα τοποθετηµένο πάνω της είναι 0,3, να υπολογίσετε το µέγιστο πλάτος της Α της ταλάντωσης ώστε το σώµα να µην ολισθαίνει όταν η σανίδα ταλαντώνεται. β) Αν θέλουµε να µην έχουµε ολίσθηση για ταλάντωση µε διπλάσιο πλάτος - της προηγούµενης ερώτησης - ποιες τιµές µπορεί να έχει η συχνότητα; [Απ. (α) 5cm (β f Hz] π 0. Ένα σώµα µάζας m = 0,5 Kg εκτελεί ταυτόχρονα τις ταλαντώσεις 1, της ίδιας διεύθυνσης και της ίδιας θέσης ισορροπίας. Στο διπλανό διάγραµµα απεικονίζεται η αποµάκρυνση σαν συνάρτηση του χρόνου για κάθε ταλάντωση χωριστά. α. Να βρείτε: α 1. Την εξίσωση της αποµάκρυνσης για κάθε ταλά- ντωση χωριστά. α. Την εξίσωση της αποµάκρυνσης της συνισταµένης ταλάντωσης. α 3. Την εξίσωση της κινητικής ενέργειας του σώµατος, σαν συνάρτηση του χρόνου. β. Κάποια χρονική στιγµή t 1 η συνισταµένη δύναµη που ασκείται στο σώµα έχει αλγεβρική τιµή F = 6,4 Ν για πρώτη φορά. Να βρείτε: β 1. Τη χρονική στιγµή t 1. β. Την ταχύτητα του σώµατος τότε. π π ίνονται: ηµ = 0,6, συ υν = 0, [Απ.(α) π π x 1 =0,8ηµ4t, x =0,6ηµ(4t+ ), x=ηµ(4t+ ), 5 K= 4συν π (4t+ ) (S.I.) 5 (β) 11π s m,,4 ] 40 s ΑΜΕΙΩΤΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 8

9 1. Σε ένα ταλαντούµ µενο ιδανικό κύκλωµα LC κάποια χρονική στιγµή η πολικότητα του πυκνωτή και η φορά του ρεύµατος είναι όπως στο σχήµα. Κατά τη στιγµή αυτή: α. η τιµή του ηλεκτρικού φορτίου στον πυκνωτή µειώνεται. β. η τιµή της έντασης του ρεύµατος στο πηνίο αυξάνεται. γ. η ενέργεια στο ηλεκτρικό πεδίο του πυκνωτή αυξάνεται. δ. η ενέργεια στο µαγνητικό πεδίο του πηνίου αυξάνεται.. Σε ταλαντούµενο ιδανικό κύκλωµα LC, όταν ο πυκνωτής εκφορτίζεται: α. η ένταση του ρεύµατος αυξάνεται και η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου στο πηνίο µειώνεται. β. το φορτίο του πυκνωτή µειώνεται και η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή αυξάνεται. γ. η ένταση του ρεύµατος αυξάνεται και το φορτίο του πυκνωτή µειώνεται. δ. το φορτίο του πυκνωτή αυξάνεται και η ένταση του ρεύµατος µειώνεται. 3. Σε ένα ταλαντούµενο ιδανικό κύκλωµα LC το φορτίο στον πυκνωτή δίνεται από την εξίσωση: π q = Qσυν t T Να αντιστοιχήσετε τα µεγέθη της στήλης Α µε τις γραφικές παραστάσεις που περιγράφουν τις µεταβολές των µεγεθών αυτών, σε συνάρτηση µε το χρόνο, της στήλης Β. Αν κάποιο µέγεθος δεν αντιστοιχεί σε καµία γραφική παράσταση να την συµπληρώσετε εσείς. 4. Κύκλωµα LC, το οποίο αποτελείται από ιδανικό πηνίο και πυκνωτή χωρητικότητας C=0µF, εκτελεί αµείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Η διαφορά δυναµικού στα άκρα του πηνίου δίνεται από την εξίσωση V L = 50συν1000t (S.I.). α. Να υπολογίσετε το συντελεστή αυτεπαγωγής L του πηνίου. β. Να γράψετε την εξίσωση του φορτίου στον πυκνωτή, σε συνάρτηση µε το χρόνο. γ. Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του ρεύµατος στο κύκλωµα, σε συνάρτηση µε το χρόνο. [Απ.: (α) L = 50mH, (β) q = 10 3 συν1000t (S.I.), (γ) i = ηµ1000t (S.I.)] 5. Κύκλωµα περιλαµβάνει πυκνωτή χωρητικότητας C, ιδανικό πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής L και διακόπτη αρχικά ανοικτό. Φορτίζουµε τον πυκνωτή µε φορτίο Q = 40µC και τη χρονική στιγµή t= 0 κλείνουµε το διακόπτη, οπότε το κύκλωµα εκτελεί αµείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις µε περίοδο T=π 10 3 s. Τη χρονική στιγµή που η 9

10 ενέργεια του µαγνητικού πεδίου στο πηνίο γίνεται για πρώτη φορά ίση µε την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή, ζητείται να υπολογίσετε: α. Το ηλεκτρικό φορτίο q του πυκνωτή. β. Την ένταση i του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα. γ. Το µέτρο του ρυθµού µεταβολής της έντασης του ρεύµατος στο κύκλωµα. i [Απ.: α) q =10 µc, β) i = 40 ma, γ) = 480 A/s] t 6. Στο κύκλωµα του σχήµατος η ηλεκτρική πηγή έχει ηλεκτρεγερτική δύναµη Ε = 9V και εσωτερική αντίσταση r = 1 Ω, ο αντιστάτης έχει αντίσταση R = Ω, το ιδανικό πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L = 0,mH και ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C=8µF. Αρχικά ο µεταγωγός µ βρίσκεται στη θέση 1, το κύκλωµα διαρρέεται από σταθερό ρεύµα και ο πυκνωτής είναι φορτισµένος µε φορτίο q = 160 µc. α. Να υπολογίσετε την σταθερή ένταση του ρεύµατος που διαρρέει το πηνίο. β. Μεταφέρουµε ακαριαία το µεταγωγό µ από τη θέση 1 στη θέση, χωρίς να σχηµατιστεί σπινθήρας, οπότε το κύκλωµα L-C αρχίζει να εκτελεί αµείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Να υπολογίσετε: i) τη γωνιακή συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης. ii) τη µέγιστη τάση του πυκνωτή. iii) το µέγιστο ρυθµό µεταβολής της ενέργειας του µαγνητικού πεδίου του πηνίου. [Απ.: (α) Ι = 3Α, (β) i) ω =, rad/s, ii) 5V, iii) 6,5j/s] 7. Πυκνωτής χωρητικότητας C = 40µF φορτίζεται αρχικά σε τάση V 0 =6 V και στη συνέχεια συνδέεται στα άκρα ιδανικού πηνίου µε συντελεστή αυτεπαγωγής L = 100mH. Το κύκλωµα εκτελεί αµείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. α. Ποια είναι η συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων του κυκλώµατος; β. Ποια είναι η µέγιστη τιµή της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα; γ. Πόση πρέπει να γίνει η χωρητικότητα και πόση η αρχική τάση φόρτισης του πυκνωτή, ώστε η συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεων του κυκλώµατος και η µέγιστη τιµή της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα να υποδιπλασιαστούν; 1 [Απ.:(α) f = 10 3 Hz, (β) Ι = 0,1Α, (γ) C'=160µF, V 0 = 1,5V] 4π 8. Ιδανικό κύκλωµα LC αποτελείται από πυκνωτή χωρητικότητας C= 100µF, πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής L και διακόπτη που αρχικά είναι ανοικτός. Φορτίζουµε τον πυκνωτή µε φορτίοq= 10µC και τη χρονική στιγµή t = 0 κλείνουµε το διακόπτη. Τη στιγµή που κλείνει ο διακόπτης, ο ρυθµός µεταβολής της έντασης του ρεύµατος στο i κύκλωµα είναι =0,1 A/s. t α. Να υπολογίσετε το συντελεστή αυτεπαγωγής L του πηνίου. β. Να υπολογίσετε το πλάτος της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα. γ. Να γράψετε τις εξισώσεις του φορτίου στον πυκνωτή και της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα, σε συνάρτηση µε το χρόνο. δ. *Να υπολογίσετε τη µέγιστη τιµή του ρυθµού µεταβολής της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή. 10

11 [Απ.:α) L=1H, β) Ι = 1mΑ, γ) q=10 5 συν100t, i=10 3 ηµ100ts.i. (γ) P C,max = J/s] 9. Το επόµενο σχήµα δείχνει πώς µεταβάλλεται µε τον χρόνο το φορτίοο q των πυκνωτών δύο κυκλωµάτων ηλεκτρικών ταλαντώσεων Α και Β. Οι πυκνωτές των δύο κυκλωµάτων έχουν ίσες χωρησχήµατος να βρείτε τη σχέση τικότητες, C A =C B. α. Με τη βοήθεια του µεταξύ των συχνοτήτων f A και f B των ταλαντώσεων των κυκλωµάτων, β. Ποια σχέση συνδέει τους συντελεστές αυτεπαγωγής L A και L B των πηνίων των δύο κυρεύµατος των δύο κυ- κλωµάτων; γ. Να αποδείξετε ότι για τις µέγιστες τιµές I A και I B της έντασης του κλωµάτων ισχύει: I A = 1,5 I B. [Απ. (α) f A /f B =3/ (β) L A /L B =4/9] 30. Στο κύκλωµ µα του διπλανού σχήµατος η Η.Ε.. της πηγής είναι Ε = 4 V, η εσωτερική της αντίσταση r = Ω, η αντίσταση R = 10Ω, η χωρητικότητα του πυκνωτή C = 5µF και το πηνίο είναι ιδανικό. Αρχικά ο διακόπτης είναι κλειστός. Τη χρονική στιγµή t = 0 ανοίγουµ µε το διακόπτη και το κύκλωµα LC πραγµατοποιεί ηλεκτρική ταλάντωση µε περίοδο Τ = π 10-4 s. Να βρείτε: α. Το πλάτος του ρεύµατος του πηνίου. β. Το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου. γ. Τις εξισώσεις του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύµατος του πηνίου σαν συνάρτηση του χρόνου. δ. Τη χρονική στιγµή που η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου γίνεται, για πρώτη φορά, ίση µε την ενέργεια του µαγνητικού πεδίου, καθώς και τo φορτίο του πυκνωτή τότε. Τη χρονική στιγµή t = 0 να θεωρήσετε ότι η ένταση του ρεύµατος έχει θετική τιµή. [Απ: (α) Α (β) 10-3 H (γ) q= 10-4 ηµ(10 4 t), i= συν(10 4 t) (δ) q= 10-4 C, π/ s] 31. Στο κύκλωµα του διπλανού σχήµατος η πηγή έχει ΗΕ E = 00 V και αµελητέα εσωτερική αντίσταση, ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C = 10 µf, ενώ το πηνίο εµφανίζει συντελεστή αυτεπαγωγής L = 4 mh. Αρχικά ο µεταγωγός µ βρίσκεται στην επαφή (1) και ο πυκνωτής φορτίζεται. Τη χρονική στιγµή t = 0 µεταφέρουµε το µεταγωγό στην επαφή (), χωρίς να προκαλείται σπινθήρας. α. Να υπολογίσετε τη µέγιστη τιµή της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το πηνίο. β. Να γράψετε τις εξισώσεις που δίνουν: i) Την ένταση του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα. ii) Το φορτίο του πυκνωτή. γ. Να βρείτε την ένταση του ρεύµατος στο πηνίο τις στιγµές που έχει την ίδια ενέργεια µε τον πυκνωτή. δ. Να παραστήσετε, σε βαθµολογηµένους άξονες, τις ενέργειες του κυκλώµατος µε το 11

12 χρόνο. ε. Να παραστήσετε, σε βαθµολογηµένους άξονες, τις ενέργειες του κυκλώµατος µε το φορτίο του πυκνωτή.. [Απ: (α) 10Α (β) i= -10ηµ5000t, q= 10-3 συν5000ts.i. (γ) i= ± 5 A ] 3. Το κύκλωµα του σχήµατος περιλαµβάνει πηγή µε τιµ µή ΗΕ Ε, πυκνωτή χωρητικότητας C, πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής L = Η και τους δύο διακόπτες δι και δ, που είναι ανοικτοί. Κλείνουµε τον διακόπτη δ 1, οπότε µεταφέρεται ενέργεια ίση µε 0,5 J από την πηγή στον πυκνωτή. Στη συνέχεια ανοίγουµε τον διακόπτη δ 1 και κάποια στιγµή, που τη θεωρούµε ως χρονική στιγµή t =0, κλείνουµε τον διακόπτη δ. Έτσι στο κύκλωµα LC 1 αρχίζει ηλεκτρική ταλάντωση συχνότητας f= Hz. Ζητούνται: π α. η χωρητικότητα του πυκνωτή, β. οι χρονικές εξισώσεις του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύµατος στο κύκλωµα καθώς και τα αντίστοιχα διαγράµµατα, γ. η χρονική στιγµή κατά την οποία η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή γίνεται ίση µε την ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου για πρώτη φορά, δ. η σχέση που συνδέει την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή µε το φορτίο του, καθώς και το αντίστοιχο διάγραµµα. Στο διάγραµµα να σηµειωθούν όλες οι χαρακτηριστικές τιµές. [Απ: 0.5F, q=0,5συνt, i= - 0,5ηµt, π/4s, ] 33. *Κύκλωµα LC εκτελεί αµείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις µε περίοδοο Τ 0 και µέγιστο φορτίο Q 0. Τη χρονική στιγµή t=0 o πυκνωτής είναι αφόρτιστος. Την χρονική στιγµή t=t 0 εισάγουµε µεταξύ των οπλισµών του πυκνωτή διηλεκτρικό διηλεκτρικής σταθεράς ε=. α. Πόσος θα είναι ο λόγος Τ/Τ 0, όπου T η καινούργια περίοδος της ταλάντωσης; β. Πόσος θα είναι ο λόγος Q/Q 0, όπου Q το µέγιστο ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή µετά την εισαγωγή του διηλεκτρικού; γ. Να γίνει (ποιοτικά) η γραφική παράσταση του φορτίου του πυκνωτή σε συνάρτηση µε τον χρόνο για το χρονικό διάστηµα από t=0 µέχρι t=t 0 +T. [Απ. (α) Τ/ΤΤ 0 = (β) Q/Q 0 = ] Υπενθύµιση: διηλεκτρική σταθερά διηλεκτρικού: ε=c/c *Αφού κλείσουµε τον διακόπτη ο πυκνωτής C εκφορτίζεται σε χρόνο t=1ms. Αν παράλληλα µε τον πυκνωτή C συνδέσουµε και άλλον πυκνωτή χωρητικότητας C =3C ποια θα είναι η περίοδο ταλάντωσης του νέου κυκλώµατος; [ΑΠ. Τ =8ms] Παρατήρηση: Όταν δύο πυκνωτές µε χωρητικότητες C 1 και C αντίστοιχα συνδέονται παράλληλα η ολική χωρητικότητα τους είναι C=C 1 +C ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1

13 35. Αν σε µια φθίνουσα ταλάντωση το πλάτος µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο, τότε τρία διαδοχικά µέγιστα της αποµάκρυνσης Α κ, Α κ+1 και Α κ+ προς την ίδια κατεύθυνση συνδέονται µε τη σχέση: α. Α κ = A κ+1 Α κ+ γ. Α κ+1 = A κ Ακ+ Ακ +Ακ+ Ακ Ακ+1 β. Α κ+1 = δ. Α κ+ = 36. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν µε το γράµµα Σ, αν είναι σωστές, και µε το γράµµα Λ, αν είναι λανθασµένες. t α. Στην εξίσωση A κ =A 0 e Λ, η οποία δίνει τη µεταβολή του πλάτους φθίνουσας ταλάντωσης µε το χρόνο, ο χρόνος t παίρνει οποιαδήποτε τιµή. t β. Στην εξίσωση A κ =A 0 e Λ, η οποία δίνει τη µεταβολή του πλάτους φθίνουσας ταλάντωσης µε το χρόνο, ο χρόνος t παίρνει τιµές που είναι ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου T της ταλάντωσης. γ. Στο σύστηµα ανάρτησης του αυτοκινήτου επιδιώκεται η απόσβεση των ταλαντώσεων να είναι ελάχιστη. δ. Στο σύστηµα ενός εκκρεµούς-ρολογιού επιδιώκεται η απόσβεση των ταλαντώσεων να είναι ελάχιστη. 37. Σε µια εξαναγκασµένη ταλάντωση: α. η ιδιοσυχνότητα f 0 της ταλάντωσης του συστήµατος είναι ανεξάρτητη από τη συχνότητα f του διεγέρτη. β. το πλάτος της ταλάντωσης του συστήµατος είναι ανεξάρτητο από τη συχνότητα f του διεγέρτη. γ. η µετατόπιση της συχνότητας συντονισµού από την ιδιοσυχνότητα f 0 του συστήµατος εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης. δ. Το ταλαντούµενο σύστηµα ταλαντώνεται πάντα µε την ιδιοσυχνότητά του, ανεξάρτητα από την συχνότητα του διεγέρτη. 38. Κύκλωµα περιλαµβάνει συνδεµένα σε σειρά αντιστάτη αντίστασης R, µεταβλητό πυκνωτή χωρητικότητας C και πηνίο µε συντελεστή αυτεπαγωγής L. Το κύκλωµα διεγείρεται σε εξαναγκασµένη ταλάντωση συχνότητας f. Μεταβάλλοντας τη χωρητικότητα C του πυκνωτή, το πλάτος της έντασης του ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα είναι µέγιστο όταν C=C o. Χαρακτηρίστε κάθε µια από τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστή ή Λάθος. 1 α. Η χωρητικότητα C o του πυκνωτή είναι ίση µε: = C o 4π f L β. Αν η χωρητικότητα του πυκνωτή γίνει ίση µε C=4C o, η συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώµατος υποδιπλασιάζεται. Να αιτιολογήσετε το χαρακτηρισµό που δώσατε. 39. Στο διπλανό σχήµα ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C=10µF, το ιδανικό πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L=1mH και ο αντιστάτης αντίστασης R= 13

14 5ln Ω. Ο διακόπτης µ είναι αρχικά ανοικτός και ο πυκνωτής έχει φορτίο Q=1µC. Τη π χρονική στιγµή t=0 µεταφέρουµε το διακόπτη στη θέση (1). Α. Να βρείτε: Α 1. Σε πόσο χρόνο θα εκφορτιστεί ο πυκνωτής για πρώτη φορά. Α. Τις εξισώσεις του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύµατος του πηνίου. Β. Τη στιγµή t=t µεταφέρουµε το διακόπτη µ στη θέση (). Β 1. Να βρείτε το φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγµή t= =4T. Στη συνέχεια να παραστήσετε γραφικά το φορτίο πυκνωτή σαν συνάρτηση του χρόνου, από τη στιγµή t=0 µέχρι τη στιγµή t=4t. B. Να βρείτε το ποσό θερµότητας που εκλύεται στον αντιστάτη από τη στιγµή t=τ µέχρι τη στιγµή t= =4T. ίνονται: 1) Το πλάτος του φορτίο ου του πυκνωτή στη φθίνουσα ταλάντωση: Q=Q o e -Λt R, όπου Λ= L ) Η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι περίπου ίση µε την περίοδο Τ της αµείωτης ταλάντωσης. π [Απ: (Α) 10 4 s, q=10 6 συν10 4 t, i= 10 - ηµ10 4 t (S.I.) (Β) C, 37, j] 40. Στη διάταξη του διπλανού σχήµατος τα σώµατα Α, Β, Γ εκτελούν εξαναγκασµένη ταλάντωση δεµένα στα άκρα τριών ιδανικών ελατηρίων των οποίων τα άλλα άκρα είναι συνδεδεµένα σε µια ράβδο που εκτελεί ταλάντωση σταθερού πλάτους αλλά µεταβλη- να αυξάνεται από πολύ µικρές τής συχνότητας που αρχίζει τιµές. Η σειρά µε την οποία τα σώµατα θα συντονιστούν είναι: α. Α-Β-Γ β. Β-Α-Γ γ. Γ-Α-Β δ. Γ-Β-Α 41. Στη διάταξη του διπλανού σχήµατος τα σώµατα Α, Β, Γ εκτελούν εξαναγκασµένη ταλάντωση δεµένα στα άκρα τριών ιδανικών ελατηρίων των οποίων τα άλλα άκρα είναι συνδεδεµένα σε µια ράβδο που εκτελεί ταλάντωση σταθερού πλάτους και περιόδου Τ=4π. Τα πλάτη των ταλαντώσεων των τριών σωµάτων κατά αύξουσα σειρά είναι: α. Α Α <Α Β <Α Γ β. Α Β Β<Α Α <Α Γ γ. Α Γ <Α Α <Α Β δ. Α Γ <Α Β <Α Α 14

15 4. Στο διάγραµµα του σχήµατος δίνεται η γραφική παράσταση του πλάτους Α της εξαναγκασµένης ταλάντωσης ενός αρµονικού ταλαντωτή, σε συνάρτηση µε τη συχνότητα f του διεγέρτη, για διάφορες τιµές του συντελεστή απόσβεσης b. Να αντιστοιχήσετε τις καµπύλες συντονισµού του διαγράµµατος µε τις τιµές του συντελεστή απόσβεσης της δεξιάς στήλης. 43. Η συχνότητα µιας εξαναγκασµένης ταλάντωσης: α. είναι µέγιστη, όταν έχουµε συντονισµό. β. είναι ίση µε τη συχνότητα του διεγέρτη. γ. εξαρτάται από το πλάτος της ταλάντωσης. δ. εξαρτάται από τη σταθερά απόσβεσης της ταλάντωσης. 44. Στο σύστηµα ελατήριο σώµα το οποίο εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση µε συχνότητα f = f o, όπου f o είναι η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος, τετραπλασιάζουµε τη µάζα του σώµατος χωρίς να µεταβάλλουµε το διεγέρτη. α. Η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος διπλασιάζεται β. Η συχνότητα της ταλάντωσης του σώµατος υποδιπλασιάζεται γ. Το πλάτος της ταλάντωσης του σώµατος δεν άλλαξε αφού δεν άλλαξε ο διεγέρτης. δ. Το πλάτος της ταλάντωσης του σώµατος µειώνεται 45. Όταν η δύναµη F που µεταβάλλει µια ταλάντωση σε φθίνουσα είναι ανάλογη της ταχύτητας υ, δηλαδή ισχύει F=-bυ, τότε: α. Το πλάτος της ταλάντωσης µειώνεται (α)... µε το χρόνο. β. Η περίοδος της ταλάντωσης είναι σταθερή και αυξάνεται, όταν (β)... η τιµή της σταθεράς απόσβεσης b. 46. Μια ταλάντωση που διατηρεί το πλάτος της σταθερό µε την επίδραση µιας εξωτερικής περιοδικής δύναµης ονοµάζεται (α)... ταλάντωση. Το πλάτος µιας τέτοιας ταλάντωσης γίνεται (β)..., όταν η συχνότητα της εξωτερικής περιοδικής δύναµης γίνεται περίπου ίση µε την (γ) του συστήµατος. Η κατάσταση αυτή ονοµάζεται (δ) Ένα µηχανικό σύστηµα µε ιδιοσυχνότητα f 0 = 16Hz εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση µε την επίδραση εξωτερικής περιοδικής δύναµης, της οποίας η συχνότητα µεταβάλλεται από f 1 =0Hz µέχρι f = 40Hz. Το πλάτος της ταλάντωσης του συστήµατος α. αρχικά αυξάνεται µέχρι µια µέγιστη τιµή και στη συνέχεια µειώνεται. β. διαρκώς µειώνεται. γ. διαρκώς αυξάνεται. δ. παραµένει αµετάβλητο. 48. Σε ένα κύκλωµα RLC σε σειρά, παρεµβάλλεται πηγή εναλλασσόµενης τάσης σταθερού πλάτους και µεταβλητής συχνότητας f. 15

16 α. Να σχεδιάσετε και να σχολιάσετε το διάγραµµα του πλάτους της έντασης του ρεύµατος στο κύκλωµα RLC σε συνάρτηση µε την συχνότητα f της εναλλασσόµενης τάσης, για διάφορες τιµές της ωµικής αντίστασης R. β. Ποια κατάσταση του κυκλώµατος RLC ονοµάζεται συντονισµ µός και ποια συνθήκη πρέπει να πετύχουµε για να έχουµε συντονισµό; 49. Το πάνω άκρο ελατηρίου σταθεράς k = 10Ν/m είναι συνδεδεµένο µε ακλόνητο σηµείο Ο. Όταν το ελατήριο έχει το φυσικό του µήκος, συνδέουµε σε αυτό ένα σώµα µάζας m = 3 Kg και το αφήνουµε ελεύθερο να κινηθεί. Στο σώµα ασκείται δύναµη αντίστασης της µορφής F αντ = bυ (b = σταθερά, υ = ταχύτητα) και το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης µεταβάλλεται σύµφωνα µε τη σχέση: Α = A 0 e 5 (t s). Να βρείτε: α. Το αρχικό πλάτος A o και την αρχική ενέργεια της ταλάντωσης. A β. Τη χρονική στιγµή που το πλάτος της ταλάντωσης έχει γίνει Α = o γ. Την απώλεια ενέργειας του σώµατος µετά από Ν = 15 πλήρεις ταλαντώσεις. m ίνονται: g = 10 και π 10. s Να θεωρήσετε ότι η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι ίση µε την περίοδο της αµείωτης ταλάντωσης του σώµατος. 945 [Απ.: 0,5m, 3,75J, 5s, J ] Το ελατήριο στο διπλανό σχήµα έχει σταθερά k = 80N/m. Στο σώµα Σ µάζας m = 0 0,8 Kg ασκείται περιοδική δύναµη µε συχνότητα f 1 = Hz και το π σώµα πραγµατοποιεί απλή αρµονική ταλάντωση. Η µέγιστη ταχύτητα του σώµατος κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης είναι υ max = 0m/s. Στο σώµα ασκείται δύναµη αντίστασης της µορφής: F αντ = υ όπου υ είναι η ταχύτητα του σώµατος. Θεωρώντας ότι την t = 10 0 το σώµα περνά από τη θέση ισορροπίας κινούµενο κατά τη θετική φορά: α. Να γράψετε τις εξισώσεις αποµάκρυνσης - χρόνου, ταχύτητας - χρόνου και επιτάχυνσης - χρόνου για το σώµα. β. Να γράψετε την εξίσωση της εξωτερικής δύναµης που ασκείται στο σώµα σαν συνάρτηση του χρόνου. γ. Να υπολογίσετε για ποια συχνότητα της εξωτερικής δύναµης το πλάτος ταλάντωσης του σώµατος είναι µέγιστο. Να υποθέσετε ότι η απόσβεση είναι πολύ µικρή και η φυσική συχνότητα του συστήµατος είναι η ιδιοσυχνότητά του. Υπόδειξη: Για το ερώτηµα Β να εφαρµόσετε το ο νόµο του Νεύτωνα.. [Απ.: (α) x=0,5ηµ40t, υ=0συν40t, α= 800ηµ40t S.I. (β) F= 600ηµ40t+συν40t S.I. (γ) ln t 16

17 5 Hz ] π 51. To πλάτος φθίνουσας αρµονικής ταλάντωσης ακολουθεί τον εκθετικό νόµο A=Α 0 e Λt όπου A 0 το αρχικό πλάτος και Λ σταθερή ποσότητα. α. Σε πόσο χρόνο το πλάτος της ταλάντωσης θα γίνει Α =Α 0 /; β. Αν για κάθε πλήρη ταλάντωση η επί τοις % ελάττωση της ενέργειας ταλάντωσης είναι 36%, να βρείτε το αντίστοιχο ποσοστό ελάττωσης του πλάτους της ταλάντωσης. ln [Aπ: (α) (β) 0%] Λ ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 5. Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δυο απλές αρµονικές ταλαντώσεις του ίδιου πλάτους Α της ίδιας διεύθυνσης και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Αν οι συχνότητες f 1, και f των δύο ταλαντώσεων διαφέρουν πολύ λίγο µεταξύ τους, τότε: α. το σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση. β. το πλάτος της ταλάντωσης µεταβάλλεται αρµονικά µε το χρόνο. γ. η µέγιστη τιµή του πλάτους της ταλάντωσης είναι Α. δ. ο χρόνος που µεσολαβεί µεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών του πλάτους είναι ίσος µε 1. f f Στο διπλανό διάγραµµα η γραφική παράσταση αποδίδει τη µεταβολή της αποµάκρυνσης y σε συνάρτηση µε το χρόνο t σε ένα διακρότηµα. Η περίοδος του διακροτήµατος σε δευτερόλεπτα είναι: α. β. γ. 3 δ Όταν ένα διαπασών Α συχνότητας 00Hz και ένα διαπασών B πάλλονται ταυτόχρονα, τότε ακούγονται 5 διακροτήµατα ανά δευτερόλεπτο. Αν προσθέσουµε λίγο κερί στο διαπασών Α, τότε τα διακροτήµατα ανά δευτερόλεπτο αυξάνονται. Η συχνότητα του διαπασών Β είναι: α. 00 Hz, β. 195 Hz, γ. 19Hz, δ. 05 Hz 55. ιαπασών συχνότητας 51Hz και τεντωµένη χορδή διεγείρονται ταυτόχρονα και ακούγονται 4 διακροτήµατα ανά δευτερόλεπτο. Αν αυξήσουµε ελάχιστα τη συχνότητα ταλάντωσης της χορδής, τότε παύουν να ακούγονται διακροτήµατα. Η αρχική συχνότητα της χορδής είναι: α. 504Hz β. 508Ηz γ. 51 Hz δ. 516 Hz 17

18 56. Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις, της ίδιας διεύθυνσης και της ίδιας συχνότητας, που γίνονται γύρω από το ίδιο σηµείο. Να αντιστοιχήσετε τα ζεύγη των αρµονικών ταλαντώσεων του σώµατος, της στήλης Α, µε τα πλάτη της συνισταµένης ταλάντωσης του σώµατος της στήλης Β. 57. ύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις, της ίδιας διεύθυνσης και της ίδιας συπεριγράφονται από τις χνότητας, που γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, εξισώσεις: x 1 = Α 1 ηµ(ωt + φ) και x =Α ηµωt. Α. Να παρασταθούν γραφικά, σε άξονες αποµάκρυνσης - χρόνου, οι επιµέρους ταλαντώσεις και το αποτέλεσµα της σύνθεσης των δύο ταλαντώσεων, για τις εξής τρεις περιπτώσεις: i) Α 1 >Α και φ = 0, ii) Α 1 >Α και φ = π και iii) A 1 =Α και φ = 180. Β. Να απορρίψετε ή να επιβεβαιώσετε τον ισχυρισµό: «Όταν η διαφορά φάσης µεταξύ π των ταλαντώσεων είναι φ= rad τότε η ενέργεια της σύνθετης τα αλάντωσης είναι ίση µε το άθροισµα των ενεργειών των συνιστωσών ταλαντώσεων». 58. υο απλές αρµονικές ταλαντώσεις έχουν την ίδια διεύθυνση, το ίδιο πλάτος και γίνονται γύρω από το ίδιο σηµείο. Οι δύο κινήσεις περιγράφονται από τις εξισώσεις: x 1 =Αµω 1 t και x =Αηµ µω t. Πώς προκύπτει η εξίσωση της συνισταµένης κίνησης. Αν οι συχνότητες f 1 και f διαφέρουν πολύ λίγο µεταξύ τους ποιο το είδος της κίνησης και ποια είναι η συχνότητα της; 59. Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις, οι οποίες έχουν την ίδια διεύθυνση και γίνονται γύρω από το ίδιο σηµείο. Αν οι εξισώσεις των δύο κινήσεων είναι: x 1 =Α 1 ηµωt και x =Α ηµ(ωt+π), όπου Α 1 >Α τότε το πλάτος της ταλάντωσης του σώµατος είναι: α. Α 1 +Α β. Α 1 -Α γ. 1 A A + δ. 1 A A 60. υο διαπασών βρίσκονται το ένα κοντά στο άλλο και παράγουν ήχους ίδιας έντασης, µε συχνότητες f 1 =440Hz και f = 44Hz, αντίστοιχα. α. Να βρείτε πόσα µέγιστα του ήχου ακούµε σε χρόνο t = 4s. β. Πόση πρέπει να γίνει η συχνότητα f, ώστε να ακούµε τέσσερα µέγιστα του ήχου ανά δευτερόλεπτο. [Απ: (α) 8 (β) 436Hz, 444Hz] 61. Σώµα µάζας m = Kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµ µονικές ταλαντώσεις οι οποίες πραγµατοποιούνται πάνω στην ίδια διεύθυνση, γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας και οι οποίες έχουν εξισώσεις: 18

19 x 1 π 1=0,ηµ10t, x = 0,ηµ(10t + ) (S.I) 3 Να βρεθούν: α. Η εξίσωση αποµάκρυνσης - χρόνου για τη σύνθετη ταλάντωση του σώµατος. Κ β. Η τιµή του λόγου την t = 0. (Κ = κινητική ενέργεια σώµατ τος και U = δυναµική U ενέργεια ταλάντωσης.) γ. Η χρονική στιγµή που το σώµα περνά από τη θέση ισορροπίας για πρώτη φορά. δ. Το συνολικό έργο των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα από τη χρονική στιγµή t = 0 µέχρι τη χρονική στιγµή που περνά από τη θέση ισορροπίας για πρώτη φορά. π π [Απ: (α) x=0, 3ηµ(10t+ ) (S.I I.) (β) 3 (γ) s (δ) 3J] Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δυο απλές αρµονικές ταλαντώσεις,, της ίδιας διεύθυνσης και της ίδιας συχνότητας, που γίνονται γύρω από το ίδιο σηµείο. Αν η ολική ενέργεια της συνισταµένης ταλάντωσης είναι ίση µε το άθροισµα των ολικών ενεργειών των επιµέρους ταλαντώσεων, να προσδιορίσετε τη διαφορά φάσης φ των δυο ταλαντώσεων. [Απ: π/] 63. Ένα σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δυο απλές αρµονικές ταλαντώσεις, που έχουν την ίδια διεύθυνση και γίνονται γύρω από το ίδιο σηµείο. Οι εξισώσεις της αποµάκρυνσης των δύο ταλαντώσεων είναι: x 1 =4ηµ10t και x =4 3συν10t (τα x είναι σε cm και το t σε s) α. Να προσδιορίσετε τη διαφορά φάσης φ των δύο ταλαντώσεων. β. Να υπολογίσετε το πλάτος Α της συνισταµένης ταλάντωσης. γ. Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης θ µεταξύ της συνισταµένης ταλάντωση και της ταλάντωσης µε εξίσωση x 1 = 4ηµ10t. δ. Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας του σώµατος σε συνάρτηση µε το χρόνο. [Απ: α) π/, β) 8cm, γ) π/3, δ) υ=0,8συν(10t+π/3) S.I.] 64. Ένα σώµα µάζας m = 0, Kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις της ίδιας διεύθυνσης, ίδιας θέσης ισορροπίας, ίδιου πλάτους και συχνότητες που διαφέρουν λίγο µεταξύ τους. Η αποµάκρυνση του σώµατος από τη θέση ισορροπίας περιγράφεται από την εξίσωση: x = 0,04συν(πt)ηµ(00πt) (S.I.) Α. Να βρείτε: Α 1. Το πλάτος και τη συχνότητα της κάθε συνιστώσας ταλάντωσης. Α. Τον αριθµό των ταλαντώσεων του σώµατος µεταξύ δύο διαδοχικών µηδενισµών του πλάτους της ταλάντωσης του. Β. Αυξάνουµε τη συχνότητα της ταλάντωσης µε τη µικρότερη συχνότητα κατά Hz χωρίς να µεταβάλλουµε το πλάτος της. Να βρείτε: Β 1. Την εξίσωση της αποµάκρυνσης και της ταχύτητας του σώµατος σαν συνάρτηση του χρόνου και να κάνετε τη γραφική παράσταση της ολικής δύναµης που ασκείται στο σώµα, σε συνάρτηση µε τη αποµάκρυνσή του. Β. Την κινητική ενέργεια του σώµατος όταν έχει αποµάκρυνση x = 0,01 m. 19

20 Θεωρήστε ότι π 10 και ότι οι αρχικές φάσεις των συνιστωσών ταλαντώσεων είναι ίσες µε µηδέν. [Απ: 0,0m, 101Hz, 99Hz, 50, x=0,04ηµ0πt, υ=8,08πσυν0πt (S.I.), 61,06J] 65. Ένα σώµα µάζας m = 1 kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις µε εξισώσεις: x 1 =10ηµ(3πt + 3 π ) και x =10ηµ(3πt- 6 π ), (x1, x σε cm, t σε s) της ίδιας διεύθυνσης και µε την ίδια θέση ισορροπίας. α. Να βρείτε τη διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων. β. Να γράψετε την εξίσωση της ταλάντωσης που προκύπτει. γ. Ποια είναι η σταθερά D της συνισταµένης ταλάντωσης; δ. Να γράψετε την εξίσωση της συνισταµένης δύναµης, που δέχεται το σώµα, σε συνάρτηση µε τον χρόνο. π [Aπ: (α) π/ (β) x=10 ηµ( 3π t+ )S.I. (γ) 9π Ν/m (δ) F= 0,9 π π ηµ( 3π t+ )S.I.] Οι ήχοι που παράγονται από δύο διαπασών έχουν την ίδια ένταση και οι συχνότητες τους είναι f 1 = Hz και f = Hz. Αν τα διαπασών βρίσκονται κοντά το ένα στο άλλο, να βρείτε: α. την περίοδο του ήχου που ακούµε, β. πόσα µέγιστα του ήχου ακούµε σε χρόνο t =s. 1 [Aπ: s, 0]