Η γεωμετρική σκέψη και το μάθημα της Γεωμετρίας στο Δημοτικό σχολείο, με βάση τη διδακτική αξιοποίηση του μοντέλου Van Heile

Transcript

1 Γιαννίκας Αθανάσιος, Προϊστάμενος Παιδαγωγικής & Επιστημονικής Καθοδήγησης ΠΕ Πελοποννήσου - Σχολικός Σύμβουλος Δημοτικής Εκπαίδευσης Η γεωμετρική σκέψη και το μάθημα της Γεωμετρίας στο Δημοτικό σχολείο, με βάση τη διδακτική αξιοποίηση του μοντέλου Van Heile 1. Γενικό πλαίσιο οριοθέτησης των επιπέδων ανάπτυξης της γεωμετρικής σκέψης σύμφωνα με τη θεωρία των Van Heile Ήδη στη βρεφική ηλικία βρίσκεται η απαρχή της γεωμετρικής σκέψης, η ανάπτυξή της όμως συντελείται κατά την παιδική ηλικία, όταν και πληθαίνουν οι γεωμετρικές εμπειρίες του ατόμου. Ακόμη περαιτέρω η εξέλιξη και πρόοδος της γεωμετρικής συλλογιστικής επιτυγχάνεται με την διδασκαλία της Γεωμετρίας στα σχολικά χρόνια. Πριν από λίγες δεκαετίες η Εκπαίδευση αφιέρωνε λίγο, περιορισμένο χρόνο στο μάθημα της Γεωμετρίας. Σήμερα όμως η θέση της Γεωμετρίας στα νέα αναλυτικά προγράμματα είναι πολύ πιο ισχυρή. Στο σύγχρονο εκπαιδευτικό υλικό των Μαθηματικών, η Γεωμετρία χρησιμοποιείται τόσο ως διδακτικό πλαίσιο γνώσης, όσο και ως υπόβαθρο για την κατανόηση άλλων γνωστικών αντικειμένων και εννοιών. Μέσα στους πολλούς ειδικούς που τις τελευταίες δεκαετίες ασχολήθηκαν με τη θεωρία και μελέτη της Διδακτικής του αντικειμένου και τη συλλογιστική του χώρου ξεχώρισαν ιδιαίτερα οι προτάσεις των Ολλανδών παιδαγωγών Van Heile, των οποίων το μοντέλο ανάπτυξης της γεωμετρικής σκέψης καταλυτικά επέδρασε, και εξακολουθεί να επιδρά, στα αναλυτικά προγράμματα Γεωμετρίας πολλών χωρών του δυτικού κόσμου. Στο μοντέλο τους, οι τρόποι κατανόησης των ιδεών του χώρου κατανέμονται σε πέντε επίπεδα, τα επίπεδα ανάπτυξης γεωμετρικής σκέψης. Βασικός διαρθρωτικός αρμός στα επίπεδα είναι η αρχή ότι οι ιδέες που παράγονται λογικά σε κάθε επίπεδο γίνονται το έναυσμα και το αντικείμενο σκέψης στο επόμενο. 1

2 Με βασική δομική αρχή την παραπάνω, τα γενικά ποιοτικά χαρακτηριστικά των επιπέδων παρουσιάζονται ως εξής: Τα επίπεδα έχουν προκαθορισμένη διαδοχική σειρά Το πέρασμα από το ένα στο άλλο επίπεδο δεν είναι μια αυθόρμητη διαδικασία Υπό την προϋπόθεση ότι η συλλογιστική του επιπέδου έχει πλήρως κατακτηθεί, το πέρασμα είναι συστηματικό και προκαθορισμένο. Υπερπήδηση επιπέδου εξάλλου είναι σχεδόν απαγορευτική. Τα επίπεδα δεν καθορίζονται με μόνο κριτήριο την ηλικία των μαθητών Είναι δυνατόν η γεωμετρική σκέψη ενός μαθητή μεσαίας τάξης Δημοτικού να είναι στο αυτό επίπεδο με ενός μαθητή Γυμνασίου. Επίσης είναι πιθανόν ενήλικες να παραμένουν για πάντα στο πρώτο επίπεδο για παράδειγμα. Η ωρίμαση που οδηγεί σε επόμενο επίπεδο είναι θέμα χρόνου αλλά και καθορίζεται επιπλέον από τη διδασκαλία Μεγάλες πιθανότητες προαγωγής σε ανώτερο επίπεδο προσφέρουν, μαζί με την παρέλευση του χρόνου, διδακτικές μέθοδοι όπως η διερεύνηση, η διαλογική συζήτηση, η αλληλεπίδραση και η αλληλοτροφοδότηση κλπ. Άτομα που βρίσκονται σε διαφορετικά επίπεδα έχουν μεταξύ τους προβλήματα αλληλοκατανόησης Ειδικά για την συνεννόηση δασκάλου - μαθητή ο διάλογος μπορεί να βοηθήσει στην υπέρβαση αυτού του προβλήματος. 2. Συνοπτική ανάλυση και παρουσίαση των πέντε επιπέδων του μοντέλου Van Heile: Επίπεδο 1: Νοερή απεικόνιση Αντικείμενο του επιπέδου είναι το γεωμετρικό σχήμα και η μορφή του. Το γεωμετρικό σχήμα αντιμετωπίζεται ως ολότητα. Το σχήμα γίνεται αντιληπτό και ορίζεται από την εμφάνιση, τη μορφή του. Η μορφή υπερισχύει των ιδιοτήτων. Δηλαδή, για παράδειγμα, ένα σχήμα είναι τετράγωνο επειδή μοιάζει με τετράγωνο. Ένα τετράγωνο περιστρεμμένο ενδέχεται να μην γίνεται αντιληπτό ως τετράγωνο. 2

3 Τάξεις ή ομάδες σχημάτων είναι τα τελικά αποτελέσματα της συλλογιστικής πορείας στο επίπεδο. Επίπεδο 2: Ανάλυση Αντικείμενο του επιπέδου είναι οι τάξεις σχημάτων Οι μαθητές αρχίζουν να διακρίνουν τα στοιχεία εκείνα που συνιστούν ένα σχήμα, καθώς και τις σχέσεις μεταξύ σχημάτων που ανήκουν στην ίδια τάξη. Στο επίπεδο αυτό δραστηριότητες όπως η παρατήρηση, η μέτρηση και η κατασκευή, βοηθούν πάρα πολύ. Οι ιδιότητες των σχημάτων είναι το τελικό αποτέλεσμα της συλλογιστικής πορείας στο επίπεδο. Επίπεδο 3: Άτυπη αφαίρεση Αντικείμενο του επιπέδου είναι οι ιδιότητες των σχημάτων. Οι μαθητές προβληματίζονται πάνω στις ιδιότητες, αντιλαμβάνονται τις σχέσεις των ιδιοτήτων και επιλέγουν τις απολύτως αναγκαίες για να κατατάξουν ένα σχήμα στην τάξη του. Δηλαδή προχωρούν πέρα από τις ιδιότητες και επικεντρώνονται σε λογικά επιχειρήματα σχετικά με τις ιδιότητες. Αρχίζουν να καταλαβαίνουν ότι ο ορισμός της τάξης είναι η έκφραση της λογικής σχέσης που υπάρχει μεταξύ των σχημάτων και των ιδιοτήτων τους. Δεν συλλαμβάνουν όμως επαρκώς την έννοια της επαγωγής. Οι σχέσεις μεταξύ των ιδιοτήτων των σχημάτων είναι τα αποτελέσματα της συλλογιστικής πορείας στο επίπεδο. Επίπεδο 4: Τυπική Αφαίρεση Αντικείμενο του επιπέδου είναι οι σχέσεις ανάμεσα στις ιδιότητες των σχημάτων. Οι μαθητές κατανοούν την αξία της επαγωγής, το ρόλο των ορισμών, των θεωρημάτων, των αξιωμάτων, τη λογική δόμηση της απόδειξης και τις λογικές σχέσεις των προτάσεων και οδηγούνται σε συμπεράσματα βασισμένα στη λογική. 3

4 Τα παραγωγικά αξιωματικά συστήματα της Γεωμετρίας είναι τα αποτελέσματα της συλλογιστικής πορείας στο επίπεδο. Επίπεδο 5: Αυστηρότητα Η γεωμετρική σκέψη φτάνει στο ανώτερο επίπεδο ανάπτυξης. Αντικείμενο του επιπέδου είναι τα παραγωγικά αξιωματικά συστήματα της Γεωμετρίας. Οι μαθητές κατανοούν τη σημασία της ακρίβειας στη διατύπωση των σχέσεων και της γενίκευσης σε ευρύτερες εφαρμογές, συγκρίνουν και αντιπαραβάλλουν τα διαφορετικά αξιωματικά συστήματα της Γεωμετρίας, εμβαθύνουν στη μελέτη της γεωμετρικής επιστήμης. 4

5 ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ 1 Διδακτική Ενότητα Μαθηματικών Στ Τάξης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 56 ο : ΤΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Υλοποιείται σε εφαρμοσμένο επίπεδο, η αξιοποίηση του διδακτικού μοντέλου των πέντε φάσεων των VAN HEILE αντίστοιχου σχολικού βιβλίου. με βάση την προτεινόμενη ύλη του ΣΤΟΧΟΙ Αναμένεται οι μαθητές: Να γνωρίσουν τα πολύγωνα, Να διακρίνουν τις ιδιότητές τους, Να σχεδιάσουν πολύγωνα, και Να τα ορίσουν. Επίσης σύμφωνα με τους προ-οργανωτές, οι στόχοι του κεφαλαίου είναι: Αναγνωρίζω γεωμετρικά σχήματα. Χαράζω γεωμετρικά σχήματα με τη βοήθεια οργάνων. Επιπλέον αναλύοντας τους στόχους αυτούς, με διδακτικά και παιδαγωγικά κριτήρια, εκτιμάται ότι ο πρώτος στην υλοποίησή του είναι πολύ βατός για το νοητικό-γνωστικό επίπεδο των μαθητών της Έκτης, ενώ ο δεύτερος διακρίνεται ότι έχει αρκετές δυσκολίες για την πραγματοποίησή του. 1 Αρχικά το σενάριο διδασκαλίας εφαρμόστηκε και παρουσιάστηκε από την εκπαιδευτικό κ. Κατερίνα Μπελόκα σε δειγματική διδασκαλία, που την παρακολούθησαν οι εκπαιδευτικοί ΠΕ-70 της Στ τάξης των Δημοτικών Σχολείων της Μεγαλόπολης και η συγκεκριμένη δειγματική διδασκαλία οργανώθηκε και σχεδιάστηκε με πρωτοβουλία του Σχολικού Συμβούλου κ. Αθανασίου Γιαννίκα. Επίσης το συγκεκριμένο σενάριο διδασκαλίας παρουσιάστηκε και αναλύθηκε από τον κ. Αθανάσιο Γιαννίκα στο ΠΕΚ Τρίπολης (πλαίσιο υλοποίησης της α φα σης εισαγωγικη ς επιμο ρφωσης αναπληρωτών και νεοδιόριστων εκπαιδευτικών ΠΕ-70 σχολ. έτους ), μετά το πέρας της επιμορφωτικής διαδικασίας ακολούθησε η φάση της εφαρμογής του μοντέλου με την πραγματοποίηση άσκησης εργαστηριακού τύπου και με την οποία οι εκπαιδευτικοί επεξεργάστηκαν και αξιοποίησαν το μοντέλο αυτό σε επίπεδο εικονικής τάξης. 5

6 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ- ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΠΟΡΕΙΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Η προτεινόμενη διδακτική πορεία διαρθρώνεται και αναπτύσσεται με βάση τα πέντε επίπεδα ανάπτυξης της γεωμετρικής σκέψης του διδακτικού μοντέλου των van Heile και αποτελεί ενδεικτική και εναλλακτική πρόταση. Πρώτη Φάση: της Πληροφόρησης Στην πρώτη φάση επιδεικνύονται στους μαθητές μορφές πολυγώνων που είναι δημιουργήματα είτε της φύσης είτε είναι ανθρώπινες κατασκευές. Έτσι αρχικά δείχνουμε την εικόνα του ιστού της αράχνης. Οι ερωτήσεις που τίθενται στους μαθητές μπορεί να είναι του τύπου: Τι σχήματα διακρίνετε; Είναι ίδια όμοια, όλα τα σχήματα που διακρίνετε; Επιπρόσθετα παροτρύνονται οι μαθητές με χρωματιστό μολύβι να πατήσουν τρία από τα κατά προσέγγιση σχήματα που διακρίνουν στον ιστό και να τα καταγράψουν. Εναλλακτικά μπορούμε να επιδείξουμε εικόνες: διατομής κερήθρας και τμήματος πεζοδρομίου που είναι στρωμένο με πλάκες Καρύστου με διάφορα σχήματα πολυγώνων ή ακόμα να φέρουμε στην τάξη αντικείμενα με πολυγωνικά σχήματα όπως, σκουλαρίκια, μπάλα ποδοσφαίρου κ.ά. Δεύτερη Φάση: της Διερεύνησης Σ αυτή τη φάση τα γεωμετρικά σχήματα πρέπει «να γίνουν φορείς των ιδιοτήτων τους». Συνεπώς οι μαθητές καλούνται να κάνουν τις πρώτες παρατηρήσεις σχετικά με τις ιδιότητες των πολυγώνων και να αναφέρουν με ακρίβεια και σαφήνεια την ονομασία των πολύγωνων και κανονικών πολύγωνων. Ως εκ τούτου ο εκπαιδευτικός προβάλλει τον πίνακα με τα παρακάτω σχήματα 6

7 ώστε να γίνει από τους μαθητές, η διάκρισή τους σε πολύγωνα και η κατάταξή τους στον πίνακα ταξινόμησης. Ερωτήσεις όπως: Ποια από τα σχήματα είναι πολύγωνα; Με ποιο κριτήριο κατατάσσουμε τα πολύγωνα στον πίνακα ταξινόμησης; Ποια πολύγωνα λέγονται κανονικά; Εναλλακτικά μπορούμε: α) να παρουσιάσουμε κι άλλη σελίδα με πολύγωνα και μη (βλ. Παράρτημα), ώστε να γίνει πιο εύκολα η διάκριση και β) να συμπληρώσουμε στον πίνακα ταξινόμησης αυτής της δραστηριότητας και την κατηγορία «δωδεκάγωνα» επειδή υπάρχουν δωδεκάγωνα πολύγωνα που δεν ταξινομούνται. Τρίτη Φάση: της Έκφρασης -Ανάλυσης Στη συγκεκριμένη φάση κυριαρχούν: η ελεύθερη έκφραση των μαθητών για τις ιδιότητες και τα γνωρίσματα των πολυγώνων, η ανταλλαγή ιδεών, η βιωματική και ομαδική εργασία, ο πειραματισμός με παιγνιώδη μορφή (π.χ. οι μαθητές να σταθούν όρθιοι και κρατώντας ένα κλειστό κομμάτι σχοινί να προσπαθήσουν να φτιάξουν όσα πολύγωνα μπορούν). Συνεπώς οι μαθητές με τις παραπάνω δραστηριότητες διαπιστώνουν και βιωματικά τις ιδιότητες τω πολυγώνων. Τέταρτη Φάση: Του Ελεύθερου Προσανατολισμού Στην παρούσα φάση οι μαθητές σχεδιάζουν πολύγωνα και κανονικά πολύγωνα. Επίσης σχεδιάζουν με όργανα διάφορα πολύγωνα, τα κόβουν και τα κολλούν ώστε να δημιουργήσουν ένα δικό τους σχέδιο (αντίστοιχη δραστηριότητα σχολικού βιβλίου- εφαρμογή). Πρόταση: Εναλλακτικά μπορούν να σχεδιάσουν ευκολότερα πολύγωνα και να μην ασχοληθούν αποκλειστικά, με αυτά που υπάρχουν στην εφαρμογή και οι 7

8 δραστηριότητες του Τετραδίου Εργασιών κρίνεται ορθό να χρησιμοποιηθούν για περαιτέρω εμπέδωση. Ιδιαίτερα το θέμα που προτείνεται για διερεύνηση σχετικά με τα μαθηματικά παιγνίδια στην αρχαία Ελλάδα και στους άλλους λαούς προσφέρεται για διαθεματική και διαπολιτισμική αξιοποίηση. Πέμπτη Φάση: Της Ολοκλήρωσης Στη φάση αυτή διακρίνονται: η ανάδειξη και διατύπωση των βασικών ορισμών και η ανακεφαλαίωση των ιδιοτήτων των πολυγώνων. Επιπλέον στο μαθησιακό επίπεδο η νέα γνώση εντάσσεται στο ευρύτερο γνωστικό πλαίσιο. Στο τέλος ακολουθούν ερωτήσεις για αυτοέλεγχο - αυτοαξιολόγηση και ο διαμαθητικός διάλογος που προάγουν κυρίως τις μεταγνωστικές δεξιότητες των μαθητών. ΜΟΡΦΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ Για το διδακτικό μοντέλο ενδείκνυται μια μεικτή μορφή διδασκαλίας, που οι βασικές συνιστώσες του είναι: η ομαδοσυνεργατική μέθοδος, η ενεργός συμμετοχή των μαθητών στο διερευνητικό μοντέλο, οι ερωταποκρίσεις και η διαλογική συζήτηση, η επίδειξη (δεικτική διαδικασία) και ο πειραματισμός, η προετοιμασία και χρήση υποδειγμάτων, η προφορική (επιμέρους και γενική) ανακεφαλαίωση, και η διαβάθμιση του επιπέδου δυσκολίας. Ο ρόλος του δασκάλου κυρίως είναι: διευθυντικός της συζήτησης, διαμεσολαβητικός με καθοδήγηση και παροχή διευκρινίσεων, παρωθητικός, βοηθητικός, παρεμβατικός -όσο χρειάζεται, κυρίως στη περίπτωση του λάθουςκαι ανατροφοδοτικός. 8

9 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Αγαλιώτης, Ι. (2004), Μαθησιακές δυσκολίες στα μαθηματικά, Αθήνα, Ελληνικά Γράμματα. Βάινας,Κ. (2000), Ανάλυση της Διδακτικής των Μαθηματικών στην Ελλάδα, Αθήνα, Γρηγόρης. Βοσνιάδου,Σ. (επιμ. συλλογικού τόμου) (1995), Η ψυχολογία των Μαθηματικών, Αθήνα, Gutenberg. Gardner, H. (1993). Multiple Intelligences :The Theory in Practice, New York: Basic Books. Γιαννίκας, Α. (2006), Με πόσους τρόπους μπορείς να το λύσεις; περ.: «ο μικρός Ευκλείδης» τ. 7 ο, Αθήνα. Δημητρακόπουλος, Δ. (2000), Καινότομες προσεγγίσεις των μαθηματικών μέσα από εφαρμογές, Θεσ/νίκη, Προμηθεύς. Εξαρχάκος, Θ. (2001), Εισαγωγή στα Μαθηματικά τ. Α, τ. Β, Αθήνα. Κασσωτάκης, Μ.,Φλουρής, Γ. (2000), Μάθηση και Διδασκαλία, τ. Α, Αθήνα. ΚΕΕ,(2002),Μάθηση και Διδ/λία: Σύγχρονες Ερευνητικές Προσσεγγίσεις, Αθήνα. Λεμονίδης Χ. (1999), Περίπατος στη Μάθηση της Στοιχειώδους Αριθμητικής, Θεσ/νίκη, Αφοί Κυριακίδη. Μαθηματικό Λεξικό Δημοτικού,Αθήνα, Τεγόπουλος. Ντζιαχρήστος Β., Κοντογιάννης Δ. (1999), Βασικές έννοιες της Γεωμετρίας, Αθήνα. ΟΕΔΒ, (2006), Βιβλίο Δασκάλου Μαθηματικών Στ τάξης Δημοτικού. Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, (2005), Υλικό για την Επιμόρφωση Σχολικών Συμβούλων ΠΕ στο ΔΕΠΠΣ και ΑΠΣ, Αθήνα. Polya, G. (1991), How to solve it? Αθήνα, Καρδαμίτσα. Σαλβαράς, Γ. (1988), Διδακτική των Μαθηματικών του Δημοτικού Σχολείου, Αθήνα. Σύγχρονη Εκπαίδευση (περιοδικό),( ),τχ.147και 148, Αθήνα. 9

10 Τζεκάκη, Μ. (1996), Μαθηματικές Δραστηριότητες για την προσχολική ηλικία, Αθήνα, Gutenberg. Στάιν,Τζ.(2009),Πώς τα μαθηματικά εξηγούν τον κόσμο,αθήνα,αβγό. Van de Walle,(2005), Μαθηματικά για το Δημοτικό και το Γυμνάσιο: Μία εξελικτική Διδασκαλία, Αθήνα, Δαρδανός. 10

11 11

12 12

13 13

14 14

15 15