Αριθμητικοί αλγόριθμοι

Transcript

1 Αριθμητικοί αλγόριθμοι Υπολογισμός μέσω διαδοχικών προσεγγίσεων Κάνουμε μια πρώτη προσέγγιση για την απάντηση Χρησιμοποιούμε την προηγούμενη εκτίμηση για να παράγουμε μια καλύτερη Τερματίζουμε αν η εκτίμηση είναι αρκετά κοντά στην πραγματική τιμή

2 Υπολογισμός της τετραγωνικής ρίζας με τη μέθοδο Newton 1.Άρχισε κάνοντας μια αυθαίρετη εκτίμηση, g (guess) για την τετραγωνική ρίζα 2.Αν η εκτίμηση είναι αρκετά κοντά στην πραγματική τετραγωνική ρίζα, ο αλγόριθμος τερματίζει 3.Διαφορετικά, κάνε νέα εκτίμηση βρίσκοντας τη μέση τιμή του g και του x/g, όπου x ο αριθμός του οποίου ζητείται ο υπολογισμός της ρίζας 4.Αποθήκευσε τη νέα εκτίμηση στη g και επανάλαβε τη διαδικασία από το Βήμα 2.

3 Μέθοδος Newton (1) #define Epsilon double Sqrt(double x) { double g; if (x == 0) return (0); if (x < 0) Error("Sqrt called with negative argument %g", x); g = x; while (fabs(x- g * g) >= Epsilon) { g = (g + x / g) / 2; return (g);

4 Μέθοδος Newton (2) double Sqrt(double x) { double g; if (x == 0) return (0); if (x < 0) Error("Sqrt called with negative argument %g", x); g = x; while (!ApproximatelyEqual(x, g * g)) { g = (g + x / g) / 2; return (g);

5 Σύγκριση x y min x, y Epsilon bool ApproximatelyEqual(double x, double y) { double num, den; num = fabs(x - y); den = MinF(fabs(x), fabs(y)); if (num + den == num) return (x == y); return (num / den < Epsilon);

6 Εύρεση του μικρότερου δύο αριθμών double MinF(double x, double y) { if (x < y) { return (x); else { return (y);

7 Η σειρά του Ζήνωνα 1 i=1 2 = 1 i Ο υπολογισμός γίνεται σε ένα βρόχο while όπου sum = sum + term term /= 2 και αρχικά sum = 0.0 term = 0.5

8 Τερματισμός των επαναλήψεων Η while έχει την εξής μορφή while (συνθήκη) { sum += term; term /= 2; Η συνθήκη για τον τερματισμό είναι ο όρος (term) που προστίθεται στο sum να είναι αμελητέα μικρός sum == sum + term Εναλλακτικά: θέτουμε term <=

9 Το πρόγραμμα υπολογισμού της σειράς #include <stdio.h> #include "genlib.h" main() { double sum, term; Άσκηση: Γράψτε μια συνάρτηση για τον υπολογισμό της σειράς. sum = 0.0; term = 0.5; while (sum!= sum + term) { sum += term; term /= 2; printf("the sum of Zeno's series is %g\n", sum);

10 Υπολογισμός του αναπτύγματος Taylor Εφαρμόζουμε τον τύπο του αναπτύγματος Taylor f x = i =0 στη συνάρτηση f n a x a n n! 1 2 f x = x και για a = 1

11 Προκύπτει η σειρά x=1 1 2 x coeff xpower factorial x ! 8 x 1 3 3! x 1 4 4! coef = 1 2 i 1 xpower= x 1 i factorial = i 1!

12 Υπολογισμός των όρων της σειράς Σε κάθε επανάληψη, i coeff *= (0.5 - i); xpower *= (x - 1); factorial *= (i + 1); term = coeff * xpower / factorial;

13 Η συναρτηση TSquare() double TSqrt(double x) { double sum, factorial, coeff, term, xpower; int i; factorial = coeff = xpower = 1; sum = 0; term = 1; for (i = 0; sum!= sum + term; i++) { sum += term; coeff *= (0.5 - i); xpower *= (x - 1); factorial *= (i + 1); term = coeff * xpower / factorial; return (sum);

14 Περιοχή σύγκλισης Ο τύπος της σειράς απαιτεί το x να βρίσκεται στο διάστημα 0 x 2 Για οποιοδήποτε πραγματικό αριθμό y έξω από το παραπάνω διάστημα ισχύει y=x 4 k, 0 x 2, k N Τότε y= 4 κ x= 4 κ x=2 κ x

15 Υπολογισμός ρίζας κάθε αριθμού με σειρά Taylor double Sqrt(double x) { double result, correction; if (x == 0) return (0); if (x < 0) Error("Sqrt called with negative argument %g", x); correction = 1; while (x >= 2) { x /= 4; correction *= 2; return (TSqrt(x) * correction);

16 Άσκηση 8, σελ. 267 Υπολογισμός της σταθεράς π σύμφωνα με την παρακάτω σειρά π

17 Λύση #include <stdio.h> main() { double term; double sum; int i; term = 0.5; sum = 0.5; for (i = 3; sum!= sum + term; i += 2) { term *=.25 ; term *= (i - 2.0) / i; /* SOS */ term *= (i - 2.0) / (i - 1.0); sum = sum + term; printf("%g\n", sum * 6.0);

18 Τύποι ακεραίων Ακέραιοι int τουλάχιστον 2 bytes (32767) long short Για παράδειγμα: 2 bytes στην Turbo C και 4 bytes στον compiler gcc(x) του εργαστηρίου Μη προσημασμένοι ακέραιοι unsigned unsigned int unsigned long unsigned short

19 Τύποι αριθμών κινητής υποδιαστολής double float

20 Μορφοποίηση με την printf Ενότητα 3.5 του βιβλίου. %d ακέραιος δεκαδικός %f αριθμός κινητής υποδιαστολής %e και %E εκθετικός αριθμός %g γενική μορφή για πραγματικούς αριθμούς, χρησιμοποιείται η πιο σύντομη από τις %f και %e. %s Αλφαριθμητικό %% Σύμβολο ποσοστού (!).

21 Επιπλέον μορφοποιήσεις %.5 f αριθμός κινητής υποδιαστολής με 5 δεκαδικά ψηφία %-s Αλφαριθμητικό με αριστερή στοίχιση %-14s Αλφαριθμητικό με αριστερή στοίχιση, πλάτος δεκατεσσάρων χαρακτήρων %-14.14s Αλφαριθμητικό με αριστερή στοίχιση, πλάτος δεκατεσσάρων χαρακτήρων και αποκοπή των επιπλέον χαρακτήρων Πειραματιστείτε!