4 ο Γενικό Λύκειο Κοζάνης Φυσική κατεύθυνσης Γ τάξης

Transcript

1 4 ο Γενικό Λύκειο Κοζάνης Φυσική κατεύθυνσης Γ τάξης 1

2 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Στην ελαστική κρούση όπου το ένα σώμα είναι ακίνητο αρχικά εφαρμόζω τις γνωστές σχέσεις : Για το σώμα m 1 που αρχικά κινείται με ταχύτητα υ 1, μετά την κρούση έχει ταχύτητα : ισχύει : m - m u =. u. Η ταχύτητα του σώματος m 2 που αρχικά ήταν ακίνητο m1 + m2 u = 2m. u m1 + m2 Αν τα σώματα έχουν ίσες μάζες τότε ανταλλάσσουν ταχύτητες. Ακόμη η θέση ισορροπίας της ταλάντωσης αλλά και η περίοδος Τ, αν αρχικά το σώμα ταλαντωνόταν δεν αλλάζουν. Για τον υπολογισμό του πλάτους εφαρμόζω αμέσως μετά την κρούση και στη θέση που έγινε η κρούση την Α.Δ.Ε.Τ. 2. Στην πλαστική κρούση δημιουργείται συσσωμάτωμα και εφαρμόζω την Α.Δ της ορμής: r r r r r Pαρχ = P τελ m 1. u1 + m 2. u2 = (m1 + m 2). u k. Όταν το σύστημα ελατήριο σώμα βρίσκονται στο οριζόντιο επίπεδο τότε η Θ.Ι της ταλάντωσης δεν αλλάζει. 3. Αν το σύστημα ελατήριο σώμα βρίσκονται σε κατακόρυφη θέση ή πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο τότε η Θ.Ι αλλάζει, κατασκευάζω οπωσδήποτε σχήμα και θέτω τη Θ.Φ.Μ του ελατηρίου, την παλαιά Θ.Ι της ταλάντωσης, τη θέση όπου τα σώματα συγκρούονται, τη θέση μετά την κρούση και την Ν.Θ.Ι της ταλάντωσης. Στις θέσεις ισορροπίας εφαρμόζω ΣF=0, και στην θέση της κρούσης την Α.Δ.Ο. Για τον υπολογισμό του πλάτους εφαρμόζω αμέσως μετά την κρούση και στη θέση που έγινε η κρούση την Α.Δ.Ε.Τ. : E = K + U ή DA = ( m1 + m2 ) u k + Dx 2 2 2, όπου υ η ταχύτητα του συσσωματώματος και χ η απομάκρυνση από τη νέα θέση ισορροπίας (Ν.Θ.Ι) της ταλάντωσης. 4. Προσέχω σε ποια θέση του σώματος που ταλαντώνεται γίνεται η κρούση. Αν είναι ακραία θέση τότε αυτό δεν έχει ταχύτητα, αν γίνεται στη Θ.Ι και κινείται έχει την μέγιστη ταχύτητα και αν βρίσκεται σε τυχαία θέση χ, θα έχει κάποια ταχύτητα υ η οποία υπολογίζεται από την Α.Δ.Ε.Τ. : E K U DA Dx m, όπου χ η θέση του σώματος m1 m2 5. Την νέα περίοδο την ταλάντωσης την υπολογίζω από την σχέση : 2 D 2

3 6. Απώλειες ενέργειας κατά την κρούση (θερμική ενέργεια) H μεταβολή της μηχανικής ή κινητικής ενέργειας : E apώl = DK = K met ά - Kprin Η ενέργεια αυτή μετατράπηκε σε θερμική κατά τη διάρκεια της κρούσης. 7. Ποσοστό επί τοις εκατό απώλειας κινητικής ενέργειας κατά την κρούση K - K prin met ά K prin 100% 8. Στην ανελαστική κρούση το ένα σώμα κινούμενο με ταχύτητα υ συγκρούεται με κάποιο άλλο σώμα, που μπορεί να κινείται ή να είναι ακίνητο, το διαπερνά και εξέρχεται με ταχύτητα υ 1. Δε δημιουργείται συσσωμάτωμα!! Και εδώ εφαρμόζω την Α.Δ της ορμής!! και φυσικά υπάρχουν και εδώ ΑΠΩΛΕΙΕΣ!! 9. Κατά την έκρηξη ελευθερώνεται ενέργεια : E ekrhx = K meta - K prin Ολίγον τι από τύπους!!!! Ελαστική κρούση m - m 2m 2m m - m u =. u +. u και u =. u +. u m1 + m2 m1 + m2 m1 + m2 m1 + m2 Ελαστική κρούση και η m 2 είναι ακίνητη πριν την κρούση m - m u =. u m1 + m2, και u = 2m. u m1 + m2 Απώλειες ενέργειας κατά την πλαστική ή ανελαστική κρούση Ποσοστό απώλειας κατά την πλαστική ή ανελαστική κρούση E = K - K = ή ΔΚ= K - K ap ώl prin met ά Q K prin metά K - K prin 100% μετά πριν 3

4 ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ 1. Το ακίνητο σώμα μάζας Μ= 4 kg του διπλανού σχήματος είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Αρχικά το ελατήριο βρίσκεται στην κατάσταση φυσικού του μήκους. Ένα άλλο σώμα μάζας m = 2 kg κινείται οριζόντια στο λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα υ 1 και τη χρονική στιγμή t= 0 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το ακίνητο σώμα μάζας Μ. Μετά την κρούση το σώμα μάζας Μ κινείται στο λείο οριζόντιο δάπεδο εκτελώντας απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση ταχύτητας υ = 6 συν15t (S.I.). Να υπολογίσετε: α) τη σταθερά k του ελατηρίου και το μέτρο της ταχύτητας υ 1 β) τη μέγιστη τιμή του μέτρου της δύναμης επαναφοράς που δέχεται το σώμα μάζας Μ κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του. γ) την απόσταση των δύο σωμάτων τη στιγμή που το σώμα μάζας Μ βρίσκεται για πρώτη φορά στην ακραία θέση ταλάντωσης του. (900Ν/m, 9m/s, 360 N) 2. Το ακίνητο σώμα μάζας m 2 = 4 kg του διπλανού σχήματος είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=900 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Αρχικά το ελατήριο βρίσκεται στην κατάσταση φυσικού του μήκους. Ένα άλλο σώμα ίδιας μάζας m 1 = m 2 κινείται οριζόντια στο λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα υ 1 και τη χρονική στιγμή t= 0 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το ακίνητο σώμα μάζας m 2. Μετά την κρούση το σώμα μάζας m 2 κινείται στο λείο οριζόντιο δάπεδο εκτελώντας απλή αρμονική ταλάντωση ολικής ενέργειας Ε=72 J. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ 1 του σώματος m 1 β) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας της ταλάντωσης που μπορεί να ακολουθήσει αμέσως μετά την κρούση, θεωρώντας ως t=0 τη χρονική στιγμή που έχει ολοκληρωθεί η κρούση των δύο σωμάτων και ως θετική φορά τη φορά προς τα αριστερά. γ) Να βρείτε την χρονική διάρκεια αυτής της ταλάντωσης δ) Αν η μάζα m 1 είναι ίση με 2 kg, με ποια ταχύτητα πρέπει να κινείται πριν την κρούση για να τετραπλασιαστεί η ολική ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος m 2 ; 3. Το ακίνητο σώμα μάζας m 1 = 4 kg του διπλανού σχήματος είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Αρχικά το ελατήριο βρίσκεται στην κατάσταση φυσικού του μήκους. Ένα άλλο σώμα μάζας m 2 = 2 kg κινείται οριζόντια στο λείο οριζόντιο δάπεδο με ταχύτητα υ 2, και τη χρονική στιγμή t= 0 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το ακίνητο σώμα μάζας m 1. Μετά την κρούση το σώμα μάζας m 1 κινείται στο λείο οριζόντιο δάπεδο εκτελώντας απλή αρμονική ταλάντωση με μέγιστη δύναμη επαναφοράς F max = 240 N. Αν ο χρόνος που απαιτείται για φτάσει το σώμα μάζας m 1 ξανά στη θέση ισορροπίας του είναι t= π/10s, να υπολογίσετε: α) τη σταθερά k του ελατηρίου, β) το μέτρο της ταχύτητας του σώματος m 2 πριν και μετά την κρούση. γ) την εξίσωση της επιτάχυνσης της ταλάντωσης συναρτήσει του χρόνου δ) το ελάχιστο χρονικό διάστημα του ταλαντωτή από τη θέση x 1 =+A/2 στη θέση x 2 =-A/2. (400Ν/m, 9m/s, -60ημ10t, π/30 s ) 4

5 4. Σώμα Σ 2 μάζας m 2 = 1 kg ισορροπεί προσδεμένο στο κάτω άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Η επιμήκυνση του ελατηρίου από το φυσικό του μήκος, όταν το σώμα Σ 2 ισορροπεί, είναι Δχ. Σώμα Σ 1 μάζας m 2 =m 1 κινούμενο κατακόρυφα προς τα πάνω με ταχύτητα μέτρου υ 1 =2 m/s συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το σώμα Σ 2. Μετά την κρούση το σώμα Σ 2 ανυψώνεται και σταματάει στιγμιαία σε ύψος h = 2.Δχ. από τη θέση ισορροπίας του. α. Να υπολογίσετε την τιμή της σταθεράς Κ του ελατηρίου. β. Να υπολογίσετε την απόσταση των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή που το σώμα Σ 2 επανέρχεται στη θέση ισορροπίας του για πρώτη φορά μετά την κρούση. γ. Να γράψετε την εξίσωση της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ 2 σε συνάρτηση με το χρόνο, αν θεωρήσετε ως χρονική στιγμή t = 0 τη στιγμή που ο ταλαντωτής βρίσκεται στη θέση χ= +Α/2 για πρώτη φορά και ως θετική φορά τη φορά προς τα πάνω δ. Να παραστήσετε γραφικά την αλγεβρική τιμή της δύναμης της ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο για δυο περιόδους. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10 m/s 2 και ότι π 2 = 10. (100 N/m, 0.5 m, 2.συν 2 (10 t +π/6) ) 5. Ένα σώμα Σ 2 είναι στερεωμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ=100 Ν/m του οποίου το κάτω άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το σύστημα εκτελεί αρμονική ταλάντωση πλάτους Α στο κατακόρυφο επίπεδο. Από ύφος h, πάνω από τη κάτω ακραία θέση του σώματος Σ 2 ελευθερώνουμε ένα άλλο σώμα Σ 1 μάζας m 1 = 0,1kg. Τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά ελαστικά τη στιγμή που το σώμα Σ 2 βρίσκεται στην κάτω ακραία του θέση. Μετά την κρούση το σώμα Σ 1 απομακρύνεται από εμάς, ενώ το σώμα Σ 2 εκτελεί νέα αρμονική ταλάντωση η οποία περιγράφεται από την εξίσωση: χ=0,4 ημ(20t+4π/3) (S.I) Θεωρούμε t=0 τη στιγμή της κρούσης. Να βρείτε: α. την ταχύτητα του σώματος Σ 2 αμέσως μετά την κρούση και τη μάζα m 2 β. το πλάτος Α της αρχικής ταλάντωσης γ. το ύψος h από το οποίο ελευθερώθηκε το σώμα Σ 1 δ. το ρυθμό μεταβολής της ορμής του σώματος Σ 2 όταν βρίσκεται στην πάνω ακραία θέση της νέας ταλάντωσης. Δίνεται: g=10 m/s 2. (4 m/s, 0.25 kg, 0,2 3 m, 2.45 m, -40 N ) 6. Ένα ιδανικό ελατήριο σταθεράς Κ=1200 N/m είναι κατακόρυφο με το κάτω άκρο του μόνιμα στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο. Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένη οριζόντια μεταλλική πλάκα μάζας m 2 = 3 kg και το σύστημα ισορροπεί. Μεταλλική σφαίρα μάζας m 1, η οποία βρίσκεται στην προέκταση του άξονα του ελατηρίου, αφήνεται να πέσει από ύψος h = 1, 8 m πάνω από την πλάκα. H σφαίρα προσκρούει στην πλάκα και αναπηδά σε ύψος h ' = h/4 πάνω από την αρχική θέση ισορροπίας της πλάκας. Η κρούση είναι μετωπική και ελαστική. Να υπολογίσετε: α. τη μάζα m 1 της σφαίρας. β. την εξίσωση της δύναμης επαναφοράς σε συνάρτηση με το χρόνο. γ. τη μέγιστη και την ελάχιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. δ. το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας στη θέση όπου η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης είναι ίση με την κινητική για πρώτη φορά Ως αρχή των χρόνων (t=0) να θεωρηθεί η στιγμή της κρούσης και ως θετική φορά,η φορά προς τα πάνω. Δίνεται:g=10 m/s 2. (1 kg, 20 r/s, 0,15 m, -180ημ(20t+π ) 5

6 7. Τα σώματα Σ 1 και Σ 2 αμελητέων διαστάσεων, με μάζες m 1 =1 kg και m 2 =3 kg αντίστοιχα είναι τοποθετημένα σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα Σ 1 είναι δεμένο στη μία άκρη οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς K=100 Ν/m. Η άλλη άκρη του ελατηρίου, είναι ακλόνητα στερεωμένη. Το ελατήριο με τη βοήθεια νήματος είναι συσπειρωμένο κατά 0,2 m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το Σ 2 ισορροπεί στο οριζόντιο επίπεδο στη θέση που αντιστοιχεί στο φυσικό μήκος l o του ελατηρίου. Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα και το σώμα Σ 1 κινούμενο προς τα δεξιά συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Σ 2. Θεωρώντας ως αρχή μέτρησης των χρόνων τη στιγμή της κρούσης και ως θετική φορά κίνησης την προς τα δεξιά, να υπολογίσετε α. την ταχύτητα του σώματος Σ 1 λίγο πριν την κρούση του με το σώμα Σ 2. β. τις ταχύτητες των σωμάτων Σ 1 και Σ 2 αμέσως μετά την κρούση. γ. την απομάκρυνση του σώματος Σ 1 μετά την κρούση, σε συνάρτηση με το χρόνο. δ. την απόσταση μεταξύ των σωμάτων Σ 1 και Σ 2 όταν το Σ 1 ακινητοποιείται στιγμιαία για δεύτερη φορά. Δίνεται π=3,14. ( παν.2006) 8. Στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=400 N/m είναι στερεωμένος δίσκος Α μάζας M=4 kg. Το κάτω άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο στο δάπεδο και ο δίσκος ισορροπεί. Από ύψος h=0.25 m πάνω από το δίσκο βάλλεται κατακόρυφα προς τα κάτω, με αρχική ταχύτητα υ ο =2 m/s, μικρή σφαίρα Β, μάζας m=2kg. Η σφαίρα συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το δίσκο. Μετά την κρούση απομακρύνουμε τη σφαίρα ενώ ο δίσκος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η διάρκεια κρούσης θεωρείται αμελητέα, όπως και οι τριβές και οι αντιστάσεις θεωρούνται αμελητέες. α) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του δίσκου και της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση. β) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης του δίσκου. γ) Να υπολογίσετε τον χρόνο στον οποίο θα μηδενιστεί για πρώτη φορά η ταχύτητα του δίσκου. δ) Να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής της ορμής του δίσκου όταν περνάει από τη θέση ισορροπίας του. ( υπουργ). 9. Το σώμα Σ 2 του σχήματος που έχει μάζα m 2 = 2 kg είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο. Το σώμα Σ 2 ταλαντώνεται οριζόντια πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο ΠΠ με πλάτος Α = 0,1m και περίοδο Τ =π/5 s. Α. Να υπολογίσετε: Ι. Την τιμή της σταθεράς k του ελατηρίου. 2. Τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σώματος Σ 2 Β. Το σώμα Σ 1 του σχήματος με μάζα m 1 = 2 kg αφήνεται ελεύθερο να ολισθήσει πάνω στο λείο πλάγιο επίπεδο, από τη θέση Γ. Η κατακόρυφη απόσταση της θέσης Γ από το οριζόντιο επίπεδο είναι Η = 1,8 m. Το σώμα Σ 1, αφού φθάσει στη βάση του πλάγιου επιπέδου, συνεχίζει να κινείται, χωρίς να αλλάξει μέτρο ταχύτητας, πάνω στο οριζόντιο επίπεδο ΠΠ. Το Σ 1 συγκρούεται μετωπικά (κεντρικά) και ελαστικά με το σώμα Σ 2 τη στιγμή που το Σ 2 έχει τη μέγιστη ταχύτητά του και κινείται αντίθετα από το Σ 1 1. Να υπολογίσετε τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου μετά από αυτή την κρούση. 2. Να δείξετε πως στη συνέχεια το σώμα Σ 2 θα προλάβει το σώμα Σ 1 και θα συγκρουστούν πάλι πριν το σώμα Σ 1 φτάσει στη βάση του πλάγιου επιπέδου. Δίνεται g= 10 m/s 2. 6

7 10. Σώμα Σ 1, μάζας m 1 =m=1 kg, ισορροπεί δεμένο στην κάτω άκρη κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=900 N/m, του οποίου η άλλη άκρη είναι ακλόνητα στερεωμένη σε οροφή. Ένα δεύτερο σώμα Σ 2 μάζας m 2 =m=1 kg,, βάλλεται κατακόρυφα προς τα πάνω, με ταχύτητα υ ο = 6 m/s, από σημείο που βρίσκεται σε απόσταση h=1.35 m κάτω από το σώμα Σ 1. Τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά ελαστικά και στη συνέχεια το σώμα Σ 1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Να βρείτε: α) το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος Σ 1. β) τη θέση του σώματος Σ 2 τη χρονική στιγμή, που η κινητική ενέργεια του σώματος Σ 1 γίνεται για 1η φορά ελάχιστη. γ) το έργο της δύναμης του ελατηρίου καθώς το σώμα Σ 1 κινείται από τη θέση ισορροπίας του μέχρι το ψηλότερο σημείο της τροχιάς του. δ) το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ταχύτητας του σώματος Σ 1, τη στιγμή που φτάνει στο ψηλότερο σημείο. Οι αντιστάσεις λόγω των τριβών θεωρούνται αμελητέες. Δίνεται g= 10 m/s 2 και π 2 =10. ( υπουργ). 11. Ακίνητο σώμα μάζας Μ = 8 kg βρίσκεται στο σημείο Ο πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο και είναι προσδεμένο στην άκρη οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς k = 1000 Ν/m. Η άλλη άκρη του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένη, όπως φαίνεται στο σχήμα. Βλήμα μάζας m = 2 kg που κινείται κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ, συγκρούεται με το ακίνητο σώμα μάζας Μ και σφηνώνεται σ αυτό. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος τη χρονική στιγμή που διέρχεται από τη θέση x 1 =+0,2 3 m, είναι υ 1 =2 m/s. Να υπολογίσετε: α. την περίοδο της ταλάντωσης του συσσωματώματος. β. το πλάτος της ταλάντωσης και τη μέγιστη ταχύτητα του συσσωματώματος. γ. την ταχύτητα υ με την οποία το βλήμα προσκρούει στο σώμα μάζας Μ. δ. την ελάχιστη ταχύτητα που πρέπει να έχει το βλήμα, ώστε το συσσωμάτωμα να φθάσει στο σημείο Δ. Δίνεται: ΟΔ = 0,5 m. (0.2π s, 0,4 m, 4 m/s, 20 m/s, 25 m/s ) 12. Σώμα μάζας m 1 =2 kg είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ = 200 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Εκτρέπουμε το σώμα m 1 από τη θέση ισορροπίας του κατά τη αρνητική φορά, συσπειρώνοντας το ελατήριο κατά χ= -1 m και τη χρονική στιγμή t = 0 το αφήνουμε ελεύθερο. Όταν η επιμήκυνση του ελατηρίου για πρώτη φορά γίνεται χ 1 = + 3/2 m, σώμα, που κινείται αντίρροπα με το m 1, έχει μάζα m 2 = 6 kg και ταχύτητα υ 2 = 5 m/s, συγκρούεται πλαστικά με το σώμα μάζας m 1 ώστε να αποτελέσουν πλέον συσσωμάτωμα. Να υπολογίσετε: α) Την ταχύτητα του m 1 λίγο πριν συγκρουστεί με το βλήμα στη θέση χ 1 β) Την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. γ) Την ολική ενέργεια του συσσωματώματος δ) Την εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του συσσωματώματος, αν για t=0 είναι η στιγμή αμέσως μετά την κρούση. ε) Το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του ταλαντωτή τη χρονική στιγμή t 1 = 2π/15 s. Τριβές του σώματος με το οριζόντιο επίπεδο είναι αμελητέες (5 m/s, 2,5 m/s, 100 J ) 7

8 13. Σώμα μάζας m 1 =0,9 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο, δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ=100 Ν/m. Η μέγιστη ταχύτητα του σώματος είναι υ max =10 m/s. Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα και συγκρούεται πλαστικά με αντίθετα κινούμενο βλήμα μάζας m 2 =0.1 kg που έχει ταχύτητα μέτρου υ 2 =180 m/s. α) Να βρείτε την ταχύτητα του συσσωματώματος β) Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος και το πλάτος της ταλάντωσής του. γ) Να γράψετε την εξίσωση της επιτάχυνσης του συσσωματώματος σε συνάρτηση με το χρόνο και να την παραστήσετε γραφικά. δ) Να βρείτε το ποσοστό επί τοις εκατό των απωλειών ενέργειας κατά την κρούση. Θεωρήστε τη χρονική διάρκεια της κρούσης αμελητέα. (-9 m/s, 40,5 J, 0.9 m, -90ημ(10t+π) 14. Σώμα Σ 1 μάζας m 1 = 1 kg που είναι προσδεμένο στο άκρο οριζοντίου ελατηρίου σταθεράς Κ = 100 N/m και ισορροπεί σε λείο, οριζόντιο επίπεδο. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο ακλόνητα. Ενα άλλο σώμα Σ 2 μάζας m 2 = 3 kg βρίσκεται σε απόσταση χ = 0,1π m από το Σ 1. Μετακινούμε το σώμα Σ 1 συμπιέζοντας το ελατήριο κατά Δl 1 και το συγκρατούμε στη θέση αυτή. Εκτοξεύουμε το σώμα Σ 2 προς το Σ 1 προσδίδοντάς του οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ ο και την ίδια στιγμή απελευθερώνουμε το σώμα Σ 1.Η κρούση των δύο σωμάτων είναι μετωπική πλαστική και γίνεται στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την πλαστική κρούση κινείται με τη φορά κίνησης που είχε το σώμα Σ 2 πριν τη κρούση και αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους 0,1 m. α. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την πλαστική κρούση. β. Να υπολογίσετε το μέτρο υ o της ταχύτητας του σώματος Σ 2 γ. Να υπολογίσετε την συμπίεση Δl 1 που προκαλέσαμε αρχικά στο ελατήριο. δ. Να γράψετε την εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του συσσωματώματος σε σχέση με το χρόνο, αν για t=0 είναι χ=+α/2 και υ<0 και θετική φορά προς τα δεξιά. ε. Να βρείτε τη χρονική στιγμή που το συσσωμάτωμα θα βρεθεί στη θέση χ=-α για πρώτη φορά μετά τη στιγμή t= Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς K = 100 N/m έχει το κάτω άκρο του στερεωμένο στο δάπεδο. Στο επάνω άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί σώμα Σ 1 με μάζα M =4 kg που ισορροπεί. Δεύτερο σώμα Σ 2 με μάζα m=1 kg βρίσκεται πάνω από το πρώτο σώμα Σ 1 σε άγνωστο ύψος h όπως φαίνεται στο σχήμα. Μετακινούμε το σώμα Σ 1 προς τα κάτω κατά d = π/20 m και τη χρονική στιγμή t=0 το αφήνουμε ελεύθερο, ενώ την ίδια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο και το δεύτερο σώμα Σ 2. α) Να υπολογίσετε την τιμή του ύψους h ώστε τα δύο σώματα να συναντηθούν στη θέση ισορροπίας του σώματος Σ 1. β) Να δείξετε ότι το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση ακινητοποιείται στιγμιαία. γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης που αποκτά το συσσωμάτωμα. Δίνεται g=10 m/s 2. Θεωρήστε στις πράξεις σας π 2 = 10. 8

9 16. Το σώμα μάζας m 2 = 1 kg αφήνεται να πέσει από ύψος h = 0,6 m και συγκρούεται πλαστικά μετωπικά με το σώμα μάζας m 1 = 1 kg που είναι δεμένο στο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς Κ = 50 Ν/m. Αν t= 0 s, είναι η στιγμή που αρχίζει η κίνηση του συσσωματώματος και g = 10 m/s 2 : Α. Ποια η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση και ποιο το ποσοστό επί τοις εκατό απώλειας ενέργειας κατά τη κρούση ; Β. Να βρείτε την εξίσωση της απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο θεωρώντας θετική φορά προς τα κάτω. Γ. Ποια χρονική στιγμή το συσσωμάτωμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του για δεύτερη φορά; Δ. Να βρείτε την ταχύτητα, την δύναμη του ελατηρίου και την δύναμη επαναφοράς της ταλάντωσης στη θέση χ=-α/2. ( 3 m/s, 0.4 ημ(5τ+11π/6), 7π/30 s, 3 m/s, 10 Ν ) 17. Ένας δίσκος μάζας m 1 =0.5 kg ισορροπεί δεμένος στην πάνω κατακόρυφη άκρη ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς Κ=25 N/m. Από ύψος h=0.6 m πάνω από το δίσκο αφήνεται να πέσει ένα άλλο σώμα μάζας m 2 =0.5 kg, το οποίο συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με το δίσκο. Να υπολογίσετε : Α. το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας κατά την κρούση. Β. την εξίσωση της απομάκρυνσης του συσσωματώματος, θεωρώντας t=0 τη στιγμή της κρούσης και θετική φορά προς τα κάτω. Γ. το χρονικό διάστημα που μεσολαβεί από τη στιγμή της κρούσης μέχρι τη στιγμή που η ταχύτητα του συσσωματώματος μηδενίζεται για πρώτη φορά. Δ. τη μέγιστη τιμή της δύναμης του ελατηρίου. Ε. τα μέτρα των ρυθμών μεταβολής της κινητικής ενέργειας, της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας, της δυναμικής του ελατηρίου και της δυναμικής της ταλάντωσης στη θέση χ= + 0, 2 3m. Δίνεται g=10 m/s 2. (50%, (0.4 ημ5τ+11π/6), 2π/15, 2 m/s, 20Ν, 5 3 J/s, 10 J/s) 18. Ένα σώμα μάζας m 1 = 3 kg είναι δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στο δάπεδο, και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 0,4 m. Κάποια στιγμή που το σώμα αυτό διέρχεται από τη θέση Δ της ταλάντωσής του, όπου η κινητική του ενέργεια είναι τριπλάσια της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσής του και η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας είναι θετική, συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με σώμα μάζας m 2 = 1 kg που κινείται με αντίθετη φορά έχοντας ταχύτητα αλγεβρικής τιμής υ ο = - 6 m/s. Το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση συχνότητας f=2,5 /π Ηz. α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του σώματος μάζας m 1 ελάχιστα πριν την κρούση και την ταχύτητα του συσσωματώματος β) Να βρείτε το ποσοστό επί τοις εκατό της απώλειας ενέργειας εξαιτίας της κρούσης. γ) Να υπολογίσετε μετά από πόσο χρόνο θα ακινητοποιηθεί στιγμιαία το συσσωμάτωμα για πρώτη φορά μετά τη στιγμή της κρούσης. δ) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του συσσωματώματος, θεωρώντας ως t = 0 τη χρονική στιγμή της κρούσης και θετική φορά προς τα πάνω. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g= 10 m/s 2. ( 2 m/s, 0 m/s, 100%, 0,2π s, 0.3 ημ(5t+π/2) 9

10 19. Σώμα μάζας m 1 = 1 kg ισορροπεί ακίνητο, δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στο δάπεδο. Σε ύψος h πάνω από το σώμα μάζας m 1 και στην ίδια ευθεία με τον άξονα του ελατηρίου διατηρούμε ακίνητο σώμα μάζας m 2 = 3 kg. Εκτρέπουμε το σώμα μάζας m 1 κατακόρυφα προς τα κάτω, συσπειρώνοντας επιπλέον το ελατήριο κατά y = 0,3 m, και στη συνέχεια το αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. Κάποια στιγμή αφήνουμε και το σώμα μάζας m 2 ελεύθερο να κινηθεί, οπότε τα δύο σώματα συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά στη θέση ισορροπίας του σώματος μάζας m 1, όταν αυτό κινείται προς τα πάνω, έχοντας ελάχιστα πριν τη σύγκρουση αντίθετες ταχύτητες. α) Να υπολογίσετε τη συχνότητα μεγιστοποίησης της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος. β) Να βρείτε το ύψος h. γ) Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ταλάντωσης του συσσωματώματος, θεωρώντας ως t = 0 τη χρονική στιγμή της κρούσης και ως θετική φορά τη φορά προς τα πάνω. δ) Να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή που το συσσωμάτωμα ακινητοποιείται στιγμιαία για πρώτη φορά μετά την κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g= 10 m/s 2. (5/π Hz, 0,45 m, 0.3 2ημ(5t+3π/4), 0,15π s) 20. Σώμα Σ 1 μάζας m 1 =1.8 kg αναρτάται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε οροφή. Το σώμα Σ 1 ισορροπεί σε ύψος h = 4,4 m από το έδαφος, με το ελατήριο να έχει επιμηκυνθεί κατά y=36 cm. Δεύτερο σώμα Σ 2 μάζας m 2 = 0,2 kg βάλλεται κατακόρυφα από το έδαφος. Στην πορεία του συναντά το σώμα Σ 1 και συγκρούεται με αυτό τη χρονική στιγμή t=0. Η κρούση είναι πλαστική και το συσσωμάτωμα που προκύπτει από την κρούση αποκτά κατά την ταλάντωσή του μέγιστη ταχύτητα ίση με υ max = 0,4 m/s. α) Να βρεθεί η σταθερά του ελατηρίου K β) Να βρεθεί η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση και το ποσοστό επί τοις εκατό απώλειας ενέργειας κατά τη κρούση ; γ) Να βρεθεί η ταχύτητα υ 2 του σώματος Σ αμέσως πριν την κρούση, καθώς και η ταχύτητα υ ο με την οποία το σώμα Σ 2 βλήθηκε από το έδαφος. δ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του συσσωματώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. Θεωρήστε ως θετική φορά τη φορά κίνησης του σώματος Σ 2 πριν την κρούση. ε) Να δείξετε ότι τα μέτρα της μέγιστης και της ελάχιστη ς τιμής της δύναμης που ασκεί το ελατήριο στο συσσωμάτωμα συνδέονται με τη σχέση : F ελ(max) / F ελ(min) =3/2. Δίνεται g=10 m/s 2. (50 N/m, 2 3 m/s, 10 m/s, 8 hm(5t+p/6) 21. Ένα κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k=100 N/m έχει το άνω άκρο του στερεωμένο σε οροφή. Στο κάτω άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί σώμα Σ 1 μάζας m 1 =3 kg που ισορροπεί στη θέση ΘΙ (1). Τη χρονική στιγμή t=0, ένα βλήμα Σ 2 μάζας m 2 =1 kg που κινείται στον άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα μέτρου υ 2 και φορά προς τα πάνω, προσκρούει στο σώμα Σ 1 και σφηνώνεται σ' αυτό. Το συσσωμάτωμα ξεκινά να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με αρχική ταχύτητα μέτρου υ σ = 3 /2 m/s. Θεωρώντας θετική την κατακόρυφη προς τα κάτω φορά, να βρείτε: α) την επιμήκυνση d 1 του ελατηρίου ως προς το φυσικό του μήκος, στη θέση ισορροπίας ΘΙ(1) του σώματος Σ 1. β) το μέτρο της ταχύτητας υ 2 του βλήματος. γ) το πλάτος Α της ταλάντωσης του συσσωματώματος. δ) την εξίσωση της ταχύτητας με την οποία ταλαντώνεται το συσσωμάτωμα. Δίνεται: g=10 m/s 2.( υπουργ). 10

11 22. Στο κάτω άκρο κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=30 ο είναι στερεωμένο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100 N/m. Στο πάνω ελεύθερο άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί σώμα μάζας m 1 = 2 kg που ισορροπεί. Από την κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου και από απόσταση s=0.15 m από το m 1, βάλλεται προς τα κάτω δεύτερο σώμα m 2 = 1 kg με αρχική ταχύτητα υ ο = 3 m/s και με κατεύθυνση τον άξονα του ελατηρίου που συγκρούεται κεντρικά με το m 1. Μετά την κρούση η κίνηση του m 2 αντιστρέφεται, και διανύοντας απόσταση d=0.05 m σταματάει. Το m 1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Α. Να υπολογίσετε: α) την ταχύτητα του σώματος m 2 ελάχιστα πριν την κρούση. β) τις ταχύτητες των σωμάτων αμέσως μετά την κρούση. γ) τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου από την αρχική του θέση. δ) τη μέγιστη δυναμική ελαστική ενέργεια του ελατηρίου κατά την απλή αρμονική ταλάντωση του m 1. Β. Να εξετάσετε αν η κρούση είναι ελαστική. Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g= 10 m/s 2 (υπουργ). 23. Από την κορυφή λείου κεκλιμένου, επιπέδου γωνίας κλίσης φ = 30 ο στερεώνεται διαμέσου ιδανικού ελατηρίου σώμα μάζας m 2 = 3 kg και το σύστημα ισορροπεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. Από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου κινείται προς τα πάνω σώμα μάζας m 1 = 1 kg και αρχικής ταχύτητας υ ο που έχει τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η αρχική απόσταση των σωμάτων είναι s = 0,9 m και η σταθερά του ελατηρίου k = 300 N/m. Τα σώματα συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά και η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα. Η μέγιστη παραμόρφωση (επιμήκυνση) του ελατηρίου κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του συσσωματώματος είναι 11/60 m. Να βρείτε : α. το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος και τη αρχική ταχύτητα υ ο β. τη μέγιστη συμπίεση του ελατηρίου γ. σε ποιες θέσεις η ταχύτητα γίνεται το μισό της μέγιστης ; δ. το έργο της δύναμης επαναφοράς, το έργο του βάρους καθώς και το έργο της δύναμης του ελατηρίου από τη στιγμή αμέσως μετά την κρούση μέχρι το συσσωμάτωμα να ακινητοποιηθεί για πρώτη φορά. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας : g = 10 m / s 2. ( 7/60 m, 5 m/s ) 24. Ένα σώμα μάζας Μ= 3 kg είναι δεμένο σε κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στην οροφή, και αρχικά ισορροπεί με το ελατήριο επιμηκυμένο κατά d = 0,3 m. Τη χρονική στιγμή t =0, λόγω κάποιου εσωτερικού αιτίου, το σώμα διασπάται βίαια σε δύο κομμάτια με μάζες m 1 και m 2 για τις οποίες ισχύει m 2 =2.m 1.Το σώμα μάζας m 1 παραμένει δεμένο στο ελατήριο εκτελώντας απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 0,2 2 m, ενώ το σώμα μάζας m 2 κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω. α) Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης του σώματος μάζας m 1 β) Να υπολογίσετε την ενέργεια που εκλύθηκε από τη διάσπαση του σώματος μάζας Μ. γ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος μάζας m 1 από τη ισορροπίας του, θεωρώντας ως θετική φορά τη φορά προς τα κάτω. δ) Να βρείτε την τιμή του ρυθμού με τον οποίο μεταβάλλεται η ορμή του σώματος μάζας m 1 τη στιγμή της διάσπασης. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g= 10 m/s 2. (100 N/m, 3 J, ημ(10t+3π/4), -20 N) 11

12 25. Σώμα μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο εξαρτημένο σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς Κ = 400 Ν/m, με πλάτος A=0,5 m και περίοδο Τ= π/5 s. Όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση χ = +0,4 m (προς τα δεξιά, στη θετική κατεύθυνση) εκρήγνυται σε δύο κομμάτια με μάζες m 1, και m 2 όπου m 2 = 3 m 1. Το κομμάτι μάζας m 1 παραμένει εξαρτημένο στο ελατήριο και ακινητοποιείται στιγμιαία μετά την έκρηξη ενώ το m 2 απομακρύνεται με ταχύτητα μέτρου υ 2. α. Να γραφεί η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σώματος μάζας m 1, θεωρώντας χρονική στιγμή t=0 τη στιγμή της έκρηξης. β. Να υπολογίσετε την απόσταση των δύο σωμάτων τη χρονική στιγμή, την οποία το σώμα μάζας m 1 σταματάει στιγμιαία για πρώτη φορά. γ. Να υπολογίσετε την ενέργεια που εκλύθηκε από την έκρηξη. δ. Αν το σώμα μάζας m 1 αμέσως μετά την έκρηξη είχε αρνητική φορά κίνησης και το πλάτος ταλάντωσης του ήταν ίσο με το πλάτος της αρχικής ταλάντωσης του σώματος μάζας m, να υπολογίσετε την ταχύτητα υ 2 του κομματιού μάζας m 2. Δίνεται π=3,14. (0,4 ημ(20t+π/2), 1,428 m, 6 J, 6 m/s) 26. Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς K κρέμεται από οροφή δωματίου και έχει φυσικό μήκος l o =1 m. Στο ελεύθερο άκρο του ελατηρίου κρεμάμε σώμα Σ μάζας m και κάποια χρονική στιγμή το αφήνουμε ελεύθερο από τη θέση αυτή να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση. Η μέγιστη δύναμη που ασκεί το ελατήριο στο σώμα έχει μέτρο F max(ελ) = 40 Ν και τις χρονικές στιγμές στις οποίες η δύναμη του ελατηρίου είναι μέγιστη, το ελατήριο έχει μήκος l = 1,2 m. α) Να βρεθεί η σταθερά Κ του ελατηρίου και η μάζα m του σώματος Σ. β) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής: 1) της κινητικής ενέργειας του σώματος, 2) της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης, 3) της δυναμικής ενέργεια ς του ελατηρίου και 4) της δυναμικής ενέργειας βαρύτητας σε μια στιγμή που το σώμα βρίσκεται σε απόσταση χ=0,15 m από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου και πλησιάζει προς τη θέση ισορροπίας του. γ) Κάποια χρονική στιγμή κατά την οποία το μήκος του ελατηρίου είναι ίσο με l =1,2 m, το σώμα Σ εκρήγνυται ακαριαία σε δύο ίσα τμήματα Σ 1 και Σ 2 εκ των οποίων το Σ 1 παραμένει δεμένο στο ελατήριο και συνεχίζει να ταλαντώνεται στην ίδια διεύθυνση με πλάτος ταλάντωσης διπλάσιο του πλάτους ταλάντωσης του σώματος Σ. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας υ 2 του σώματος Σ 2 αμέσως μετά την έκρηξη. Θετική φορά είναι αυτή προς τα κάτω. Δίνεται : g=10 m/s Σώμα μάζας m 1 = 1kg βρίσκεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ = 100Ν/m το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α= 0,2 m. Ακριβώς πάνω από τη θέση ισορροπίας Ο της ταλάντωσης και σε ύψος h συγκρατείται σώμα μάζας m 2 = 1 kg. Το σώμα μάζας m 2 αφήνεται ελεύθερο τη στιγμή που το σώμα μάζας m 1 διέρχεται από τη θέση Ο, κινούμενο κατά την αρνητική φορά. Τα δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά τη στιγμή που το σώμα μάζας m 1 επανέρχεται για πρώτη φορά στη θέση O, κινούμενο κατά τη θετική φορά. Η χρονική διάρκεια της σύγκρουσης θεωρείται αμελητέα. Να υπολογίσετε: α. την περίοδο ταλάντωσης του σώματος μάζας m 1 β. το ύψος h από το οποίο αφέθηκε το σώμα μάζας m 2 γ. το πλάτος ταλάντωσης του συσσωματώματος. δ. την απώλεια ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων κατά την κρούση. Δίνονται η επιτάχυνση της βαρύτητας:g = 10 m/s 2 και ότι π 2 =10. Η αντίσταση του αέρα κατά την κίνηση του σώματος μάζας m 2 να θεωρηθεί αμελητέα. (π/5 s, 0.5 m, m, 6J) 12

13 28. Το σώμα μάζας Μ = 3 kg του διπλανού σχήματος μπορεί να κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο ελατηρίου σταθεράς K= 300 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Αρχικά το σώμα ισορροπεί ακίνητο με το ελατήριο στην κατάσταση φυσικού του μήκους. Ένα βλήμα μάζας m= 0,2 kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ 1 =40 m/s, συγκρούεται μετωπικά με το ακίνητο σώμα και εξέρχεται από αυτό με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ 2 =υ 1 /4. α) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα μάζας Μ μετά την κρούση. β) Να βρείτε τη χρονική διάρκεια κίνησης του σώματος μάζας Μ από τη στιγμή της κρούσης μέχρι τη στιγμή που μηδενίζεται στιγμιαία για πρώτη φορά η ταχύτητά του και το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας κατά την κρούση. γ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δύναμης που δέχεται το σώμα μάζας Μ από το ελατήριο μετά την κρούση, θεωρώντας ως t=0 τη χρονική στιγμή που το βλήμα εξέρχεται από το σώμα. (0,2 m, 0.05π s, -60 ημ10t) 29. Στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=80π 2 N/m είναι συνδεδεμένος δίσκος μάζας Μ=5 kg που ισορροπεί. Το κάτω άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο σε δάπεδο από ύψος h=5 m πάνω από το δίσκο αφήνεται να πέσει ελεύθερα μια σφαίρα μάζας m= 1kg, η οποία συγκρούεται μετωπικά με τον δίσκο και η διάρκεια κρούσης είναι αμελητέα. Μετά την κρούση η σφαίρα αναπηδά κατακόρυφα και φτάνει σε ύψος h 2 =1.25 m πάνω από την θέση ισορροπίας του δίσκου. Να υπολογίσετε: α) το μέτρο της ταχύτητας του δίσκου και της σφαίρας αμέσως μετά την κρούση. β) τη θέση του δίσκου τη στιγμή που η σφαίρα φτάνει στο ύψος h 2. γ) τη δύναμη επαναφοράς που ασκείται στο δίσκο σε σχέση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας και να τη σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες. δ) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της δυναμικής ενέργειας του ελατηρίου, αμέσως μετά την κρούση. ε) Να εξετάσετε το είδος της κρούσης και να βρείτε την % μείωση της κινητικής ενέργειας της σφαίρας λόγω της κρούσης. Δίνεται g= 10 m/s 2 και π 2 =10. ( υπουργ). 13

14 30. Τα ιδανικά ελατήρια του σχήματος έχουν σταθερές k 1 =300 N/m και k 2 =600 N/m και τα σώματα Σ 1 και Σ 2, αμελητέων διαστάσεων, που είναι δεμένα στα άκρα των ελατηρίων, έχουν μάζες m 1 =3 kg και m 2 =1 kg. Τα δύο ελατήρια βρίσκονται αρχικά στο φυσικό τους μήκος και τα σώματα σε επαφή. Εκτρέπουμε από τη θέση ισορροπίας του το σώμα Σ 1 κατά d=0.4 m συμπιέζοντας το ελατήριο k 1 και το αφήνουμε ελεύθερο. Κάποια στιγμή συγκρούεται με το Σ 2 και κολλά σ αυτό. Τα σώματα κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και η διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. α) Να υπολογίσετε σε πόσο χρόνο και με τι ταχύτητα το σώμα Σ 1 θα συγκρουστεί με το σώμα Σ 2. β) Να δείξετε ότι το συσσωμάτωμα Σ 1 Σ 2 θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε τη σταθερά της. γ) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. δ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του συσσωματώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας ως αρχή του χρόνου τη στιγμή αμέσως μετά την κρούση. ε) Σε πόσο χρόνο από τη στιγμή που αφήσαμε το σώμα m 1 θα μηδενιστεί η ταχύτητα του συσσωματώματος για 2η φορά και πόση απόσταση θα έχει διανύσει το m 1 μέχρι τότε;.( υπουργ). 31. Θεωρούμε κατακόρυφο τεταρτοκύκλιο ΑΒ ακτίνας R=2m το οποίο εφάπτεται στο κάτω άκρο του Β με λείο οριζόντιο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ένα σώμα μάζας m 1 =4 kg αφήνεται χωρίς αρχική ταχύτητα να γλιστρήσει κατά μήκος του τεταρτοκυκλίου από το άνω άκρο Α. Το σώμα διέρχεται από το σημείο Β του τεταρτοκυκλίου με ταχύτητα μέτρου υ β = 5 m/s και συνεχίζει να κινείται πάνω στο οριζόντιο επίπεδο. Αφού διανύσει ορισμένο διάστημα στο οριζόντιο επίπεδο, τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με δεύτερο σώμα μάζας m 2 = 6 kg που είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ= 250 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Α. Να υπολογιστούν: α. Το ποσό θερμότητας που παράχθηκε εξαιτίας της τριβής κατά την κίνηση του σώματος μάζας m 1 στο τεταρτοκύκλιο. β. Το ποσοστό της αρχικής μηχανικής ενέργειας του σώματος μάζας m 1 όταν βρίσκεται στο άκρο Α του τεταρτοκυκλίου, που χάθηκε εξαιτίας της πλαστικής κρούσης. γ. Το πλάτος και η περίοδος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. B. Να δοθεί η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης της ταλάντωσης του συσσωματώματος, σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας θετική φορά την αντίθετη με τη φορά της ταχύτητα του m 1 στο σημείο Β. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g=10 m/s 2 (πανελ). [ 30 J, 37,5%, 0.4m, -10ημ(5t+π) ] 14