ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. . Ερωτήσεις αντιστοίχισης. Σχήμα 2 από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση x = Aημωt.

Transcript

1 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ. Ερωτήσεις αντιστοίχισης Οδηγία: Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις αρκεί να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθμό της ερώτησης και τα κατάλληλα ζεύγη γραμμάτων - αριθμών.. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνση x T T T T Σχήμα Σχήμα 3 Σχήμα από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση x = Aημω. Σχήμα 4 Να αντιστοιχίσετε A. x Β. υ Γ. α με ένα από τα παραπάνω τέσσερα σχήματα.. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση x = Aημ(ω+ π ). Να αντιστοιχίσετε A. x Β. υ Γ. α με ένα από τα παραπάνω τέσσερα σχήματα. 3. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η αλγεβρική τιμή της δύναμης επαναφοράς μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση F = F 0ημω Να αντιστοιχίσετε A. x Β. υ Γ. α με ένα από τα παραπάνω τέσσερα σχήματα. 4. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η ταχύτητα του μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση υ = υ0ημω. Να αντιστοιχίσετε A. x Β. υ Γ. α με ένα από τα παραπάνω τέσσερα σχήματα. 5. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση x = Aσυνω. Να αντιστοιχίσετε A. x Β. υ Γ. α με ένα από τα παραπάνω τέσσερα σχήματα.

2 6. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η επιτάχυνση του δίνεται από την εξίσωση α = αοημ(ω+ π ). Να αντιστοιχίσετε A. x Β. υ Γ. α με ένα από τα παραπάνω τέσσερα σχήματα. 7. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η αλγεβρική τιμή της δύναμης επαναφοράς μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση F = F 0συνω Να αντιστοιχίσετε A. x Β. υ Γ. α με ένα από τα παραπάνω τέσσερα σχήματα. 8. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση του μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση α = α 0ημω. Να αντιστοιχίσετε A. x Β. υ Γ. F με ένα από τα παραπάνω τέσσερα σχήματα. 9. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνση του x από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση x = Aημω. Να αντιστοιχίσετε A. U Β. K Γ. Eολ με ένα από τα παραπάνω τέσσερα σχήματα. E E E E T 0. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η ταχύτητα του μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση υ = υ0ημω. Να αντιστοιχίσετε A. U Β. K Γ. Eολ με ένα από τα παραπάνω τέσσερα σχήματα.. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση του μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση α = α 0ημω. Να αντιστοιχίσετε A. U Β. K Γ. Eολ με ένα από τα παραπάνω τέσσερα σχήματα.. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η απομάκρυνση του x από τη θέση ισορροπίας του δίνεται από την εξίσωση x = Aσυνω Να αντιστοιχίσετε A. U Β. K Γ. Eολ με ένα από τα παραπάνω τέσσερα σχήματα. T Σχήμα Σχήμα Σχήμα 3 Σχήμα 4 T T

3 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 3. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η F A -A Σχήμα (α) F A -A Σχήμα (β) x x x x Σχήμα Σχήμα Σχήμα 3 Σχήμα 4 δύναμη επαναφοράς μεταβάλλεται με την απομάκρυνση x όπως δείχνουν τα σχήματα (α) και (β). Για κάθε γραφική παράσταση F - x της πάνω σειράς να βρείτε την αντίστοιχη γραφική παράσταση x - της κάτω σειράς. 4. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωσ η και η α α A -A Σχήμα (α) E E A -A Σχήμα (β) E E -A Σχήμα A -A Σχήμα A -A Σχήμα 3 A -A Σχήμα 4 A επιτάχυνση μεταβάλλεται για την απομάκρυνση x όπως δείχνουν τα σχήματα Α και Β. Για κάθε γραφική παράσταση α - x της πάνω σειράς να βρείτε την αντίστοιχη γραφική παράσταση K - x της κάτω σειράς. 5. Σημειακό αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η F A -A Σχήμα (α) E E F A -A Σχήμα (β) E E -A Σχήμα A -A Σχήμα A -A Σχήμα 3 A -A Σχήμα 4 A δύναμη επαναφοράς μεταβάλλεται με την απομάκρυνση x όπως δείχνουν τα σχήματα (α) και (β). Για κάθε γραφική παράσταση F - x της πάνω σειράς να βρείτε την αντίστοιχη γραφική παράσταση U - Χ της κάτω σειράς.

4 6. Η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για ένα σημειακό αντικείμενο που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση φαίνεται στο σχήμα. Με ποιο ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; A x α. Το μέτρο της ταχύτητας έχει τη -A μέγιστη τιμή του τις χρονικές στιγμές 0, 4 s και 8 s. β. Το μέτρο της επιτάχυνσης έχει τη μέγιστη τιμή του τις χρονικές στιγμές s και 6 s. γ. Τη χρονική στιγμή =4 s το μέτρο της επιτάχυνσης είναι α=α ο/ δ. Τη χρονική στιγμή 7 s το μέτρο της ταχύτητας είν αι μικρότερο από το μέτρο της ταχύτητας τη χρονική στιγμή s. 7. Η γραφική παράσταση της ταχύτητας σε συνάρτηση με το χρόνο για ένα σημειακό αντικείμενο που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση φαίνεται στο σχήμα. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές, ποιες είναι λανθασμένες και γιατί; α. Τις χρονικές στιγμές 0, 4 s και 8 s το αντικείμενο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του. β. Τις χρονικές στιγμές s και 6 s το μέτρο της επιτάχυνσης είναι μέγιστο. γ. Στο χρονικό διάστημα από 6 s μέχρι 8 s τα διανύσματα υ και F (συνισταμένη δύναμη) είναι συγγραμμικά και ομόρροπα. υ δ. Στο χρονικό διάστημα 0 μέχρι s το αντικείμενο κινείται προς τη θέση ισορροπίας του. α αο 8. Η γραφική παράσταση της επιτάχυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο για ένα σημειακό αντικείμενο που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση φαίνεται στο σχήμα. Με ποιο ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; -αο α. Τις χρονικές στιγμές 0, 8 s και 6 s η ταχύτητα του αντικειμένου είναι ίση με μηδέν,

5 β. Τη χρονική στιγμή = 4 s το αντικείμενο κινείται προς τη θέση ισορροπίας του. γ. Τις χρονικές στιγμές 4 s και s το μέτρο της ταχύτητας του αντικειμένου έχει τη μέγιστη τιμή του. δ. Η ταχύτητα του αντικειμένου κάθε χρονική στιγμή καθορίζεται από την εξίσωση υ=υ0ημ(ω + π). 9. Η γραφική παράσταση της δύναμης σε συνάρτηση με το χρόνο για ένα σημειακό αντικείμενο που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση φαίνεται στο σχήμα. Με ποιο ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; α. Τις χρονικές στιγμές 0,8 s και 6 s η ταχύτητα του αντικειμένου είναι ίση με μηδέν, F Fο (s) β. Τη χρονική στιγμή = 6 s το -Fο αντικείμενο κινείται προς τη θέση ισορροπίας του. γ. Τις χρονικές στιγμές 4 s και s το μέτρο της ταχύτητας του αντικειμένου έχει τη μέγιστη τιμή του. δ. Η απομάκρυνση x του αντικειμένου από τη θέση ισορροπίας του κάθε χρονική στιγμή καθορίζεται από την εξίσωση x=aημω. 0. Το σύστημα μάζας - ελατηρίου του σχήματος εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A. Τη χρονική k στιγμή = 0 η μάζα διέρχεται από τη θέση Σm ισορροπίας της κινούμενη προς την αρνητική κατεύθυνση. Να θεωρήσετε ότι η απομάκρυνση x της μάζας από τη θέση ισορροπίας της είναι ημιτονική συνάρτηση του χρόνου. Με ποιο ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; α. Τη χρονική στιγμή = T/8 η επιτάχυνση έχει αλγεβρική τιμή α =αο/. β. Η ταχύτητα της μάζας καθορίζεται κάθε στιγμή από την εξίσωση υ = υ0συνω. γ. Τη χρονική στιγμή = 3Τ/8 η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι ίση με την κινητική του. δ. Η περίοδος της ταλάντωσης του συστήματος δίνεται από την εξίσωση Τ = π m k Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.. Στους δύο απλούς αρμονικούς ταλαντωτές (Α) και (Β) δίνουμε την ίδια ολική ενέργεια. Με ποιο ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί;

6 α. Οι ταλαντωτές εκτελούν αρμονική ταλάντωση ίδιου πλάτους. β. Το μέτρο της μέγιστης δύναμης επαναφοράς στον ταλαντωτή (Α) είναι διπλάσιο του μέτρου της μέγιστης δύναμης επαναφοράς στον ταλαντωτή (Β), k Σm (A) γ. Οι ταλαντωτές ταλαντώνονται με την ίδια συχνότητα. δ. Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας υ0β του ταλαντωτή (Β) είναι φορές μεγαλύτερο από το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας υ0α του ταλαντωτή (Α). Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας.. Απλός αρμονικός ταλαντωτής εκτελεί ταλάντωση πλάτους A. Διατηρούμε σταθερό το πλάτος ταλάντωσης και διπλασιάζουμε τη μάζα του σώματος. Με ποιο ή ποια από τα παρακάτω συμφωνείτε ή διαφωνείτε και γιατί; α. Η περίοδος της ταλάντωσης διπλασιάζεται, β. Η ολική ενέργεια του συστήματος διπλασιάζεται. γ. Το μέτρο υ0 της μέγιστης ταχύτητας του σώματος γίνεται ίσο με υ0/ δ. Το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του σώματος υποδιπλασιάζεται. Να δικαιολογήσετε τις απαντήσεις σας. 3. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και περνάει από δύο σημεία της τροχιάς του Α και Β που απέχουν απόσταση d = 0 cm, με την ίδια ταχύτητα. Για τη μετάβαση από το σημείο Α στο Β απαιτείται χρονικό διάστημα = 4 s. Μετά το πέρασμα του από το Β το υλικό σημείο χρειάζεται χρονικό διάστημα = 4 s για να περάσει πάλι από το σημείο Β κινούμενο με αντίθετη φορά. Να βρείτε α. την περίοδο της ταλάντωσης, β. το πλάτος της ταλάντωσης. [Απ. (α) 6 s (β) 0 cm] 4. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Όταν η απομάκρυνση του έχει τιμές x = 0,6 m, x = 0, m, η ταχύτητα του έχει αντίστοιχες τιμές υ =, m/s, υ =,6 m/s. Να βρείτε α. την περίοδο της ταλάντωσης, β. το πλάτος της ταλάντωσης. k m Σ (B) [Απ. (α) 0. s (β) 0, m]

7 5. Υλικό σημείο μάζας m = 0 - kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A = 0, m. Τη χρονική στιγμή 0 =0 περνάει από τη θέση x = 0, m κινούμενο κατά τη θετική κατεύθυνση, ενώ τη χρονική στιγμή =/3 s περνάει από την ίδια θέση κινούμενο κατά την αρνητική κατεύθυνση. Να θεωρήσετε ότι η απομάκρυνση x του υλικού σημείου από τη θέση ισορροπίας του είναι ημιτονική συνάρτηση του χρόνου α. Να υπολογίσετε την περίοδο της ταλάντωσης. β. Να γράψετε για την ταλάντωση που εκτελεί το υλικό σημείο τις εξισώσεις σε συνάρτηση με το χρόνο. i) της απομάκρυνσης x. ii) της ταχύτητας υ. iii) της επιτάχυνσης α. γ. Κατά το χρονικό διάστημα της κίνησης από 0 = 0 μέχρι = /3 s, να βρείτε το έργο για τη συνισταμένη δύναμη που ενεργεί στο υλικό σημείο (π = 0). [Απ. (α) s (β) i) x = 0,ημ(π+π/6) (SI) ii)υ=0,πσυν(π+π/6) (SI) iii) α=-πημ(π+π/6) (SI) 6. Τα δύο σώματα Α και Β που δείχνει το σχήμα είναι τοποθετημένα το ένα πάνω στο άλλο και εκτελούν κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ = s και πλάτος Α = 0,5 m. Το σώμα Β έχει μάζα m = 0, kg. α. Να βρείτε τη δύναμη που ασκεί το σώμα Β στο σώμα Α στις θέσεις A B A y i) y = 0. ii) y = - 0,5 m. -A O iii) y = + 0,5 m. β. Για ποια τιμή του πλάτους ταλάντωσης το σώμα Β θα εγκαταλείψει το σώμα Α, όταν η περίοδος της ταλάντωσης είναι Τ= s; γ. Ποια είναι η μέγιστη συχνότητα της ταλάντωσης για την οποία το σώμα Β δε θα εγκαταλείψει το σώμα Α, όταν το πλάτος της ταλάντωσης είναι 0,5 m; Δίνονται g = 0m/s και π =0. [Απ. (α) i)-n ii)-,5 Ν iii)-,5 Ν (β) m (γ) Hz ]

8 7. Το ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 00 Ν / m είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο. Στο άλλο άκρο του είναι σταθερά συνδεδεμένος δίσκος Α μάζας Μ =,5 kg. Πάνω στο δίσκο είναι τοποθετημένο B σώμα Β μάζας m = 0,5 kg. To σύστημα ισορροπεί. A Πιέζουμε το σύστημα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά Α B = 5/0 m και το αφήνουμε ελεύθερο. A O A α. Να δείξετε ότι το σώμα Β θα εγκαταλείψει το δίσκο Α. β. Ποια είναι η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος Β τη στιγμή που εγκαταλείπει το δίσκο; γ. Σε πόσο ύψος θα φθάσει το σώμα Β πάνω από τη θέση στην οποία εγκαταλείπει το δίσκο; Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα και g =0 m/s. [Απ. (α) εγκαταλείπει στη θέση y= -0, m (β) υ = -m/s, α = 0 m/s (γ)h = 0, m] -A k k 8. Σώμα μάζας m = kg ισορροπεί συνδεδεμένο στα άκρα δύο κατακόρυφων ιδανικών ελατηρίων, όπως φαίνεται στο σχήμα. Οι σταθερές των ελατηρίων είναι k = 50 N/m και k= 50 N/m. Απομακρύνουμε τη μάζα από τη θέση ισορροπίας της κατά τη διεύθυνση του άξονα των ελατηρίων και την αφήνουμε ελεύθερη, α. Να δείξετε ότι το σύστημα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίστε την περίοδο Τ. k k m A m β. Αν το πλάτος της ταλάντωσης είναι Α = 0, m, πόση είναι η μέγιστη κινητική ενέργεια της μάζας m; (g = 0 m/s ). Να θεωρήσετε ότι στη θέση που η μάζα ισορροπεί το ελατήριο σταθεράς k είναι τεντωμένο και το ελατήριο σταθεράς k είναι συσπειρωμένο. k k [Απ. (α)(π/0)s (β) 8 J]

9 9. Ιδανικό ελατήριο έχει φυσικό μήκος 0 και k σταθερά k. Κόβουμε το ελατήριο σε Ν κομμάτια ίσου μήκους. Να βρείτε τη σταθερά καθενός από τα m Ν όμοια ελατήρια που προκύπτουν, β. Χρησιμοποιούμε δύο από τα όμοια ελατήρια και k k συναρμολογούμε τις διατάξεις των σχημάτων (I) m και (II). Να βρείτε το λόγο των μαζών των σωμάτων Σ και Σ ώστε τα δυο συστήματα να ταλαντώνονται με την ίδια περίοδο. Το οριζόντιο επίπεδο είναι λείο. 30. Δύο σημεία Α και Β βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και απέχουν μεταξύ τους l = 0,9 m. Πάνω στη γραμμή που τα ενώνει μπορεί να κινείται χωρίς τριβή υλικό σημείοn μάζας m = kg, το οποίο δέχεται από τα σημεία Α και Β ελκτικές δυνάμεις που έχουν μέτρα FA=0,8x(AN) και FB =,6 x (ΒΝ) αντίστοιχα (στο SI). α. Να δείξετε ότι το υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, β. Αν το υλικό σημείο περνάει από το σημείο Α με ταχύτητα μέτρου υα =,5 m/s, ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας του όταν περνάει από το σημείο Β; α. π α. π α. π 30. Η συνισταμένη δύναμη που ενεργεί σε σημειακό αντικείμενο το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση α. είναι σταθερή. β. έχει την ίδια φάση με την απομάκρυνση x. γ. είναι ανάλογη και αντίθετη της απομάκρυνσης. δ. είναι ανάλογη της ταχύτητας υ. 3. Η φάση της απομάκρυνσης στην απλή αρμονική ταλάντωση α. αυξάνεται γραμμικά με το χρόνο, β. είναι σταθερή. γ. ελαττώνεται γραμμικά με το χρόνο. δ. είναι ανάλογη του τετραγώνου του χρόνου. 3. Η διαφορά φάσης Δφ = φ υ - φ Χ μεταξύ ταχύτητας υ και απομάκρυνσης x στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι β. π γ. - π δ Η διαφορά φάσης Δφ = φ x -φ α μεταξύ απομάκρυνσης x και επιτάχυνσης α στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι β. π γ. - π δ Η διαφορά φάσης Δφ = φ α -φ υ μεταξύ επιτάχυνσης α και ταχύτητας υ στην απλή αρμονική ταλάντωση είναι β. π γ. - π δ Σύστημα μάζας - ελατηρίου εκτελεί ελεύθερη αμείωτη ταλάντωση. Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι : α. f=π m k β. f= π m k γ. f= π k m 9 δ. f=π m k

10 36. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση η απομάκρυνση και η επιτάχυνση την ίδια χρονική στιγμή α. έχουν πάντα αντίθετο πρόσημο. β. έχουν πάντα το ίδιο πρόσημο. γ. θα έχουν το ίδιο ή αντίθετο πρόσημο ανάλογα με την αρχική φάση της απλής αρμονικής ταλάντωσης. δ. μερικές φορές έχουν το ίδιο και άλλες φορές έχουν αντίθετο πρόσημο. 37. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση έχουν πάντα την ίδια φορά: α. η ταχύτητα και η επιτάχυνση. β. η ταχύτητα και η απομάκρυνση. γ. η δύναμη επαναφοράς και η απομάκρυνση. δ. η δύναμη επαναφοράς και η επιτάχυνση. 38. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση επιτάχυνσης-χρόνου: Να υπολογιστούν: α) Το πλάτος της ταλάντωσης. β) Η συχνότητα και η γωνιακή συχνότητα. γ) Να βρεθεί η εξίσωση ταχύτητας-χρόνου και να σχεδιαστεί το αντίστοιχο ποσοτικό διάγραμμα. δ) Να κάνετε το διάγραμμα επιτάχυνσης-απομάκρυνσης (ποσοτικό). 39. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει την ταχύτητα ενός σώματος που ταλάντωση σε εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε α. στα σημεία και 5 το σώμα βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση. β. στα σημεία και 4 το σώμα βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση. γ. στα σημεία 4 και 5 το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας. δ. στα σημεία 3 και 4 το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας. του είναι μηδέν. 40. Υλικό σημείο Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α και κυκλικής συχνότητας ω. Η μέγιστη τιμή του μέτρου της ταχύτητας του είναι υ 0 και του μέτρου της επιτάχυνσης του είναι α 0. Αν x, υ, α είναι τα μέτρα της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του Σ αντίστοιχα, τότε σε κάθε χρονική στιγμή ισχύει: α. υ =ω(α -x ). β. x =ω (α ο - α ), γ. α =ω (υ ο - υ ). Μονάδες 3 Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. Μονάδες 6 4. Το σώμα Σ του παρακάτω σχήματος είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο. Το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του Σ είναι a max. Το σώμα Σ αντικαθίσταται από άλλο σώμα Σ διπλάσιας μάζας, το οποίο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ίδιου πλάτους Α. 0 υ 3 Σ 4 5

11 Για το μέτρο a max της μέγιστης επιτάχυνσης του Σ, ισχύει: α. a max = a max β a max = a max γ.. a max = a max Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή σχέση. Μονάδες Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας Μονάδες 6 4. Στην κάτω άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ, η πάνω άκρη του οποίου είναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο, σώμα μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, η επιμήκυνση του ελατηρίου είναι d. Στην κατώτερη θέση της ταλάντωσης του σώματος, ο λόγος της δύναμης του ελατηρίου προς τη δύναμη επαναφοράς είναι α. /3 β. 3 γ. Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Μονάδες 3 Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. Μονάδες Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση αυξάνεται το μέτρο της ταχύτητας του σώματος που ταλαντώνεται καθώς αυξάνεται το μ έτρο της δύναμης επαναφοράς. Σ/Λ 44. Σώμα μάζας m εκτελεί γραμμική απλή αρμονική ταλάντωση. Η απομάκρυνση x του σώματος από τη θέση ισορροπίας δίνεται από τη σχέση x=αημω, όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης και ω η γωνιακή συχνότητα. Να αποδείξετε ότι η συνολική δύναμη, που δέχεται το σώμα σε τυχαία θέση της τροχιάς του, δίνεται από τη σχέση F= - mω x. 45. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική, ταλάντωση υπό την επίδραση συνισταμένης δύναμης F. Αν x είναι η απομάκρυνση του σημείου από τη θέση ισορροπίας του και D θετική σταθερά, τότε για τη δύναμη ισχύει: α. F = Dx β. F = D x γ. F = -D x δ. F = Σώμα μάζας m που είναι προσδεδεμένο σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k, όταν απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας κατά Α, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο Τ. Αν τετραπλασιάσουμε την απομάκρυνση Α, η περίοδος της ταλάντωσης γίνεται α. Τ. β. Τ. γ. Τ/. δ. 4Τ. 47. Ένα σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Η ταχύτητα του σώματος α. έχει την ίδια φάση με την επιτάχυνση α. β. είναι μέγιστη στις ακραίες θέσεις,

12 γ. είναι μέγιστη, κατά μέτρο, στη θέση ισορροπίας, δ. έχει πάντα αντίθετη φορά από τη δύναμη επαναφοράς. 48. Στο πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή η κινητική του ενέργεια α. έχει τη μέγιστη τιμή της στη θέση ισορροπίας. β. είναι ίση με την ολική του ενέργεια στις θέσεις x = ± A. γ. έχει πάντοτε ίδια τιμή με την δυναμική του ενέργεια, δ. έχει αρνητική τιμή στις θέσεις - A < x < Στο πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή η δυναμική του ενέργεια α. έχει τη μέγιστη τιμή της στη θέση ισορροπίας. β. είναι ίση με την ολική του ενέργεια στις θέσεις x = ± A. γ. έχει πάντοτε μεγαλύτερη τιμή από την κινητική του ενέργεια, δ. έχει αρνητική τιμή στις θέσεις - A < x < Στο πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή η κινητική του ενέργεια α. στη θέση x = 0 είναι ίση με την ολική του ενέργεια. β. είναι πάντοτε μεγαλύτερη από τη δυναμική του ενέργεια, γ. εξαρτάται από την κατεύθυνση της κίνησης της μάζας m. δ. παίρνει μηδενική τιμή μια φορά στη διάρκεια μιας περιόδου. 5. Στο πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή η ολική του ενέργεια α. μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο. β. είναι πάντοτε μικρότερη από τη δυναμική του ενέργεια. γ. είναι πάντοτε μεγαλύτερη από την κινητική του ενέργεια. δ. καθορίζει το πλάτος της ταλάντωσης x0 και τη μέγιστη ταχύτητα υ0. 5. Στο πρότυπο του απλού αρμονικού ταλαντωτή στη διάρκεια μιας περιόδου α. η δυναμική του ενέργεια παίρνει τη μέγιστη τιμή της μόνο μια φορά. β. η δυναμική του ενέργεια είναι ίση με την κινητική του μόνο μια φορά. γ. η ολική ενέργεια παραμένει σταθερή. δ. η κινητική του ενέργεια παίρνει τη μέγιστη τιμή της μόνο μια φορά. 53. Σε μία γραμμική αρμονική ταλάντωση διπλασιάζουμε το πλάτος της. Τότε: α. η περίοδος διπλασιάζεται. β. η συχνότητα διπλασιάζεται. γ. η ολική ενέργεια παραμένει σταθερή. δ. η μεγίστη ταχύτητα διπλασιάζεται. 54. Ένα σύστημα ελατηρίου - μάζας εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Αν τετραπλασιάσουμε την ολική ενέργεια της ταλάντωσης αυτού του συστήματος, τότε α. η συχνότητα ταλάντωσης θα διπλασιαστεί. β. η σταθερά επαναφοράς θα τετραπλασιαστεί. γ. το πλάτος της ταλάντωσης θα τετραπλασιαστεί. δ. η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης θα διπλασιαστεί. 55. Σώμα μάζας Μ έχει προσδεθεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ του οποίου το άνω άκρο είναι στερεωμένο σε

13 ακλόνητο σημείο. Απομακρύνουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά απόσταση α από τη θέση ισορροπίας και το αφήνουμε ελεύθερο να κάνει ταλάντωση. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα και με ένα άλλο ελατήριο σταθεράς Κ' = 4Κ. Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των δυναμικών ενεργειών των δύο ταλαντώσεων σε συνάρτηση με την απομάκρυνση στο ίδιο διάγραμμα. Μονάδες Δύο σώματα Σ και Σ με ίσες μάζες ισορροπούν κρεμασμένα από κατακόρυφα ιδανικά ελατήρια με σταθερές k και k αντίστοιχα, που συνδέονται με τη σχέση k = k /. Απομακρύνουμε τα σώματα Σ και Σ από τη θέση ισορροπίας τους κατακόρυφα προς τα κάτω κατά x και x αντίστοιχα και τα αφήνουμε ελεύθερα την ίδια χρονική στιγμή, οπότε εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση. Τα σώματα διέρχονται για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας τους: α. ταυτόχρονα. β. σε διαφορετικές χρονικές στιγμές με πρώτο το Σ. γ. σε διαφορετικές χρονικές στιγμές με πρώτο το Σ. Μονάδες Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. Μονάδες 4 m 57. Δίσκος μάζας Μ είναι στερεωμένος στο πάνω άκρο M κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, και ισορροπεί k (όπως στο σχήμα). Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο στο έδαφος. Στο δίσκο τοποθετούμε χωρίς αρχική ταχύτητα σώμα μάζας m. Το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η ενέργεια της ταλάντωσης είναι: α. m g k β. M g k γ. (m+m) g k Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση (μονάδες ). Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας (μονάδες 6) 58. ύο όμοια ιδανικά ελατήρια κρέμονται από δύο ακλόνητα σημεία. Στα κάτω άκρα των ελατηρίων δένονται σώματα Σ μάζας m και Σ μάζας m. Κάτω από το σώμα Σ δένουμε μέσω αβαρούς νήματος άλλο σώμα μάζας m, ενώ κάτω από το Σ σώμα μάζας m (m m ), όπως φαίνεται στο σχήμα. Αρχικά τα σώματα είναι ακίνητα. Κάποια στιγμή κόβουμε τα νήματα και τα σώματα Σ και Σ αρχίζουν να ταλαντώνονται. Αν η ενέργεια της ταλάντωσης του Σ είναι Ε και του Σ είναι Ε, τότε: α. E E = m m β. E = m m E m γ. E m = E 3

14 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση (μονάδες ) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας (μονάδες 6) 59. Δυο απλοί αρμονικοί ταλαντωτές Α και Β που εκτελούν αμείωτες αρμονικές ταλαντώσεις του ίδιου πλάτους, έχουν σταθερές επαναφοράς D A και D B αντίστοιχα, με D A >D B. Ποιος έχει μεγαλύτερη ολική ενέργεια; α. ο ταλαντωτής Α β. ο ταλαντωτής Β. Μονάδες Να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. Μονάδες Ένας ταλαντωτής τη χρονική στιγμή έχει ενέργεια ταλάντωσης Ε και πλάτος ταλάντωσης Α. Τη χρονική στιγμή που έχει χάσει τα 3/4 της αρχικής του ενέργειας το πλάτος της ταλάντωσης του είναι: α. A/4. β. 3A/4. γ. A/. δ.. A/3 6. Ακίνητο σώμα μάζας Μ=9 0 - kg βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και είναι προσδεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=000n/m. Η άλλη άκρη του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένη, όπως φαίνεται στο σχήμα. Βλήμα μάζας m=0 - kg που κινείται κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ, συγκρούεται με το ακίνητο σώμα μάζας Μ και σφηνώνεται σ' αυτό. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A=0,m. Α. Να υπολογίσετε: α. την περίοδο Τ της ταλάντωσης του συσσωματώματος. Μονάδες 4 β. την ταχύτητα του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση. γ. την ταχύτητα υ, με την οποία το βλήμα προσκρούει στο σώμα μάζας Μονάδες 8 Β. Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης της ταλάντωσης σε σχέση με το χρόνο. Μονάδες 5 6. Σώμα Σ μάζας m = kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία φ = 30 ο.το σώμα Σ είναι δεμένο στην άκρη ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ = 00Ν/m το άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα. Εκτρέπουμε το σώμα Σ κατά d = 0,m από τη θέση ισορροπίας του κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου και το αφήνουμε ελεύθερο. Γ. Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Μονάδες5 Γ. Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του μέτρου του ρυθμού μεταβολής της ορμής του σώματος Σ. Μονάδες5 Μετακινούμε το σώμα Σ προς τα κάτω κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου μέχρι το ελατήριο να συμπιεστεί από το φυσικό του μήκος κατά l = 0,3m. Τοποθετούμε ένα δεύτερο σώμα m υ φ Σ ΣΣ M 4 φ

15 Σ μάζας m = kg στο κεκλιμένο επίπεδο, ώστε να είναι σε επαφή με το σώμα Σ,και ύστερα αφήνουμε τα σώματα ελεύθερα. Γ3. Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς του σώματος Σ κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του. Μονάδες 6 Γ4. Να υπολογίσετε σε πόση απόσταση από τη θέση που αφήσαμε ελεύθερα τα σώματα χάνεται η επαφή μεταξύ τους. Μονάδες 9 ίνονται: ημ30 o = /, g = 0m/s 63. Σώμα μάζας m = 0, kg που είναι προσδεμένο στο άκρο τεντωμένου νήματος αφήνεται ελεύθερο από ύψος h, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν το νήμα βρίσκεται στην κατακόρυφη θέση, το σώμα έχει ταχύτητα μέτρου υ = m/sec και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m, όπου m = m. Το σώμα μάζας m, μετά την σύγκρουση, κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με σώμα μάζας m 3 = 0,7 kg. Το σώμα μάζας m 3 είναι προσδεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 0 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Τη στιγμή της σύγκρουσης, το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και ο άξονας του συμπίπτει με τη διεύθυνση της κίνησης του σώματος μάζας m. Να θεωρήσετε αμελητέα τη χρονική διάρκεια των κρούσεων και τη μάζα του νήματος. Να υπολογίσετε: α. το ύψος h από το οποίο αφέθηκε ελεύθερο το σώμα μάζας m. Μονάδες 5 β. το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m, με την οποία προσκρούει στο σώμα μάζας m 3. Μονάδες 5 γ. το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το συσσωμάτωμα που προέκυψε από την πλαστική κρούση. Μονάδες 7 δ. το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος μετά από χρόνο = (π/5)s από τη χρονική στιγμή που αυτό άρχισε να κινείται. Μονάδες 8 Δίνονται: g = 0 m/s, συν π 3 =,. 64. Σώμα μάζας m =3Kg είναι στερεωμένο στην άκρη οριζοντίου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ=400Ν/m του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε λείο οριζόντιο επίπεδο με περίοδο Τ και πλάτος A=0,4m. Τη χρονική στιγμή 0 =0 το σώμα βρίσκεται στη θέση της μέγιστης θετικής απομάκρυνσης. Τη χρονική στιγμή = T/6, ένα σώμα μάζας m =Kg που κινείται στην ίδια κατεύθυνση με το σώμα μάζας m και έχει ταχύτητα μέτρου υ =8 m/s συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με αυτό. Να υπολογίσετε : α. την αρχική φάση της ταλάντωσης του σώματος μάζας m Μονάδες 5 β. τη θέση στην οποία βρίσκεται το σώμα μάζας m τη στιγμή της σύγκρουσης Μονάδες 7 5

16 γ. την περίοδο ταλάντωσης του συσσωματώματος Μονάδες 6 δ. την ενέργεια της ταλάντωσης μετά την κρούση. Μονάδες 7 Δίνονται : ημ π =, 6 συνπ = Σώμα Σ μάζας Μ = 0, kg είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατηρίου και ηρεμεί. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι σταθερά συνδεδεμένο με κατακόρυφο τοίχο. Μεταξύ σώματος και οριζοντίου δαπέδου δεν εμφανίζονται τριβές. Βλήμα μάζας m = 0,00 kg κινούμενο κατά μήκος του άξονα του ελατηρίου με ταχύτητα υ = 00 m/s διαπερνά ακαριαία το σώμα Σ και κατά την έξοδο του η ταχύτητα του γίνεται υ = υ /. Να βρεθούν: α. Η ταχύτητα ν με την οποία θα κινηθεί το σώμα Σ αμέσως μετά την έξοδο του βλήματος. Μονάδες 6 β. Η μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου. Μονάδες 6 γ. Η περίοδος με την οποία ταλαντώνεται το σώμα Σ. Μονάδες 6 δ. Η ελάττωση της μηχανικής ενέργειας κατά την παραπάνω κρούση. Μονάδες 7 Δίνεται η σταθερά του ελατηρίου k = 000 N/m. 66. Τα σώματα Σ και Σ, αμελητέων διαστάσεων, με μάζες m =kg και m =3kg αντίστοιχα είναι τοποθετημένα σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα Σ είναι δεμένο στη μία άκρη οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k= 00 N/m. Η άλλη άκρη του ελατηρίου, είναι ακλόνητα στερεωμένη. Το ελατήριο με τη βοήθεια νήματος είναι συσπειρωμένο κατά 0,m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το Σ ισορροπεί στο οριζόντιο επίπεδο στη θέση που αντιστοιχεί στο φυσικό μήκος l o του ελατηρίου. Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα και το σώμα Σ κινούμενο προς τα δεξιά συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Σ. Θεωρώντας ως αρχή μέτρησης των χρόνων τη στιγμή της κρούσης και ως θετική φορά κίνησης την προς τα δεξιά, να υπολογίσετε α. την ταχύτητα του σώματος Σ λίγο πριν την κρούση του με το σώμα Σ. Μονάδες 6 β. τις ταχύτητες των σωμάτων Σ και Σ, αμέσως μετά την κρούση. Μονάδες 6 γ. την απομάκρυνση του σώματος Σ μετά την κρούση, σε συνάρτηση με το χρόνο. Μονάδες 6 δ. την απόσταση μεταξύ των σωμάτων Σ και Σ όταν το σώμα Σ ακινητοποιείται στιγμιαία για δεύτερη φορά. Μονάδες 6 Δεχθείτε την κίνηση του σώματος Σ τόσο πριν, όσο και μετά την κρούση ως απλή αρμονική ταλάντωση σταθεράς k. Δίνεται π=3,4 67. Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ = 00Ν/m έχει το κάτω άκρο του στερεωμένο στο δάπεδο. Στο επάνω άκρο του ελατήριου έχει προσδεθεί 6 υ Σ Σ Σ υ

17 σώμα Σ με μάζα Μ = 4 kg που ισορροπεί. Δεύτερο σώμα Σ με μάζα m = kg βρίσκεται πάνω από το πρώτο σώμα Σ σε άγνωστο ύψος h, όπως φαίνεται στο σχήμα. Μετακινούμε το σώμα Σ προς τα κάτω κατά d = π m και το αφήνουμε 0 ελεύθερο, ενώ την ίδια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο και το δεύτερο σώμα Σ. α. Να υπολογίσετε την τιμή του ύψους h ώστε τα δύο σώματα να συναντηθούν στη θέση ισορροπίας του σώματος Σ. Μονάδες 6 β. Αν η κρούση των δύο σωμάτων είναι πλαστική να δείξετε ότι το συσσωμάτωμα αμέσως μετά την κρούση ακινητοποιείται στιγμιαία. Μονάδες 6 γ. Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. Μονάδες 6 δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της μέγιστης δύναμης που ασκεί το ελατήριο στο συσσωμάτωμα. Μονάδες 7 Δίνεται g= 0 m/s. Να θεωρήσετε ότι π =0. Μονάδες Ένα σώμα Σ μάζας m είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς Κ. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το σύστημα ελατήριο-μάζα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε λείο οριζόντιο επίπεδο και τη χρονική στιγμή =0 το σώμα Σ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, Σ(m) υ κινούμενο κατά τη θετική φορά. Η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σώματος Σ x=0 δίνεται από τη σχέση x = 0,ημ0 (SI). Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης είναι Ε = 6 J. Τη χρονική στιγμή = π s στο σώμα 0 Σ σφηνώνεται βλήμα μάζας m =m / κινούμενο με ταχύτητα υ κατά την αρνητική φορά. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει μετά την κρούση εκτελεί νέα απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους A'=0, 6 m. α. Να υπολογίσετε τη σταθερά Κ του ελατηρίου και τη μάζα m του σώματος Σ (μονάδες 8). β. Να υπολογίσετε την ολική ενέργεια Ε' και τη γωνιακή συχνότητα ω' της ταλάντωσης του συσσωματώματος (μονάδες 8). γ. Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ του βλήματος πριν από την κρούση. Μονάδες Στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωμένο σώμα μάζας m =,44kg, ενώ το άλλο του άκρο είναι ακλόνητο. Πάνω στο σώμα κάθεται ένα πουλί μάζας m και το σύστημα ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του συστήματος είναι 0,4π m/s και η δυναμική του ενέργεια μηδενίζεται κάθε 0,5s. Όταν το σύστημα Σ h Σ k 7

18 διέρχεται από την ακραία θέση ταλάντωσης, το πουλί πετά κατακόρυφα και το νέο σύστημα ταλαντώνεται με κυκλική συχνότητα,5π rad/s. Να βρείτε: Α. Την περίοδο και το πλάτος της αρχικής ταλάντωσης. Μονάδες 6 Β. Τη σταθερά του ελατηρίου. Μονάδες 6 Γ. Τη μέγιστη ταχύτητα της νέας ταλάντωσης. Μονάδες 6 Δ. Τη μάζα του πουλιού. Μονάδες Σώμα μάζας m κινούμενο σε οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται με ταχύτητα μέτρου υ =5m/s κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Αμέσως μετά την κρούση, το σώμα μάζας m κινείται αντίρροπα με ταχύτητα μέτρου υ =9 m/s. α. Να προσδιορίσετε το λόγο των μαζών m /m. Μονάδες 6 β. Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m αμέσως μετά την κρούση. Μονάδες 6 γ. Να βρεθεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m που μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας m λόγω της κρούσης. Μονάδες 6 δ. Να υπολογισθεί πόσο θα απέχουν τα σώματα όταν σταματήσουν. Μονάδες 7 Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του επιπέδου και κάθε σώματος είναι μ=0,. Δίνεται g=0m/s. 7. Το σώμα Σ μάζας m = kg του επόμενου σχήματος αφήνεται να ολισθήσει από την κορυφή λείου κατακόρυφου τεταρτοκυκλίου ακτίνας R =,8 m. Στη συνέχεια το σώμα Σ κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα Σ μάζας m = kg. Το σώμα Σ είναι στερεωμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 300 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Τη στιγμή της κρούσης η ταχύτητα του Σ είναι παράλληλη με τον άξονα του ελατηρίου. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Να βρείτε: Α. Την ταχύτητα του σώματος Σ στο οριζόντιο επίπεδο, πριν συγκρουστεί με το Σ. Μονάδες 6 Β. Την ταχύτητα του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση. Μονάδες 6 Γ. Το διάστημα που διανύει το συσσωμάτωμα, μέχρι η ταχύτητα του να μηδενιστεί για πρώτη φορά. Μονάδες 6 Α. Το χρονικό διάστημα από τη στιγμή της κρούσης, μέχρι τη στιγμή που η ταχύτητα του συσσωματώματος μηδενίζεται για δεύτερη φορά. Μονάδες 7 Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 0 m/s. Σ R m m Σ 8

19 7. Υλικό σημείο Σ εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, οι οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι ταλαντώσεις περιγράφονται από τις εξισώσεις : x =Αημω και x =Αημ (ω + π )με Α =4 cm και ω=0 rad/s. 3 α. Να υπολογισθεί το πλάτος Α ολ της συνισταμένης απλής αρμονικής ταλάντωσης που εκτελεί το Σ. Μονάδες 6 β. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης που εκτελεί το Σ. Movάδεc 6 γ. Να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του Σ και να υπολογισθεί η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας τη χρονική στιγμή = π s μετά από τη στιγμή 5 =0. Μονάδες 6 δ. Να υπολογισθεί ο λόγος της κινητικής προς τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης του υλικού σημείου τη χρονική στιγμή = π Δίνονται : ημ π 6 =, συνπ 6 = 3,. συνπ 3 =, ημπ 3 = 3 0 )s. Μονάδες 7 ημ π 4 =, συν π 4 =. ημ π 6 = Α+Β, ημ Α +ημ Β = ημ συνα Β 73. Σώμα Σ μάζας m = 7kg ισορροπεί δεμένο στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ = 00 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στο δάπεδο. Από ύψος h = 3,m πάνω από το Σ στην ίδια κατακόρυφο με τον άξονα του ελατηρίου αφήνεται ελεύθερο σώμα Σ μάζας m = kg, το οποίο συγκρούεται με το Σ κεντρικά και πλαστικά. Να υπολογίσετε α. το μέτρο της ταχύτητας υ του Σ οριακά πριν αυτό συγκρουστεί με το Σ. Μονάδες 6 β. το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. Μονάδες 6 γ. το πλάτος Α της ταλάντωσης του συσσωματώματος. Μονάδες 6 δ. τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. Μονάδες 7 Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 0m/s. 74. Ένα σώμα, μάζας m=kg, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η απόσταση των ακραίων θέσεων του υλικού σημείου είναι d=0,4m και τη χρονική στιγμή o =0 διέρχεται απ τη θέση x =0,m, έχοντας ταχύτητα μέτρου υ = 3 m/s με φορά προς τη θέση ισορροπίας του. α) Να υπολογίσετε το πλάτος A και τη σταθερά επαναφοράς D της ταλάντωσης. β) Να παραστήσετε γραφικά την Κινητική του ενέργεια σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας του, 9 Σ h Σ k

20 σε κατάλληλα βαθμολογημένους άξονες στο S.I. γ) Να υπολογίσετε την γωνιακή συχνότητα ω και την αρχική φάση της φ ο ταλάντωσης. Η αρχική φάση έχει πεδίο τιμών [0,π). δ) Nα βρείτε ποια χρονική στιγμή περνά, για πρώτη φορά, από την ακραία θετική θέση. 75. Ένα σώμα, αμελητέων διαστάσεων, μάζας m ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, το πάνω άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Στη Θέση Ισορροπίας το ελατήριο ασκεί στο μικρό σώμα δύναμη μέτρου F o =N. Ανεβάζουμε το σώμα από τη Θέση Ισορροπίας του κατακόρυφα προς τα πάνω έως τη Θέση Φυσικού Μήκους του ελατηρίου και τη χρονική στιγμή =0s, το εκτοξεύουμε με κατακόρυφη προς τα κάτω ταχύτητα μέτρου υ ο. Το σώμα μετά την εκτόξευσή του εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Tο διάστημα που διανύει μεταξύ δύο διαδοχικών διελεύσεων απ τη Θέση Ισορροπίας του είναι s=0.4m σε χρόνο Δ=(π/0)s. α) Να υπολογίσετε το πλάτος A και τη σταθερά k του ελατηρίου. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0m/s. β) Να βρείτε τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου στη θέση, που η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι μηδέν. γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της αρχικής ταχύτητας υ ο. δ) Να υπολογίσετε τo ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος τη χρονική στιγμή =0. Θεωρήστε θετική φορά την προς τα πάνω. 76. Μικρή μεταλλική σφαίρα μάζας m=00g είναι δεμένη στο δεξιό ελεύθερο άκρο ενός οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=0n/m, του οποίου το αριστερό άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Η σφαίρα δέχεται σταθερή δύναμη μέτρου F= 0 N, της οποίας η διεύθυνση είναι παράλληλη με τον άξονα του ελατηρίου και η φορά προς τ αριστερά, οπότε η σφαίρα ισορροπεί με το ελατήριο συσπειρωμένο. Εκτρέπουμε τη σφαίρα από τη θέση ισορροπίας της κατά d=0,m προς τ αριστερά και τη χρονική στιγμή = 0την αφήνουμε ελεύθερη να κινηθεί. 0

21 α) Να υπολογίσετε την απόσταση x o της θέσης ισορροπίας της σφαίρας από τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. β) Να αποδείξετε ότι η σφαίρα θα εκτελέσει γραμμική αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα καθώς και την ολική ενέργεια της ταλάντωσης. γ) Σε ποιο σημείο της τροχιάς έχει ταυτόχρονα μέγιστο μέτρο δύναμης επαναφοράς και δύναμης ελατηρίου; Βρείτε τότε το λόγο των μέτρων της μέγιστης δύναμης επαναφοράς προς τη μέγιστη δύναμη ελατηρίου. δ) Τη στιγμή που η σφαίρα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της, καταργείται ακαριαία η δύναμη F. Βρείτε το λόγο της ολικής ενέργειας E της νέας ταλάντωσης προς την ολική ενέργεια E της αρχικής ταλάντωσης. 77. Μικρό σώμα, μάζας m=0,5kg, είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k=00n/m του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το σώμα κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση δεχόμενο σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=50N προς τα δεξιά, μέσω μη εκτατού νήματος αμελητέας μάζας. Όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση, που μηδενίζεται η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου, μεγιστοποιείται η δυναμική ενέργεια ταλάντωσης. α) Να προσδιορίσετε τη θέση ισορροπίας του σώματος και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης είναι ίση με τη σταθερά k του ελατηρίου. β) Να υπολογίσετε την ενέργεια ταλάντωσης E του σώματος. Κάποια στιγμή, που τη θεωρούμε ως =0, κόβεται το νήμα, στη θέση όπου η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι μέγιστη. Το σύστημα εκτελεί νέα απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος A. γ) Θεωρώντας θετική τη φορά προς τα δεξιά, γράψτε την εξίσωση της απομάκρυνσης σε συνάρτηση με το χρόνο. Η αρχική φάση έχει πεδίο τιμών {0,π). δ) Να υπολογίσετε το λόγο των ενεργειών ταλάντωσης του σώματος Ε/Ε, πριν και μετά την κατάργηση της δύναμης F.

22 78. Το σύστημα των δύο σωμάτων Σ και Σ, ίσων μαζών m = m = 0kg, ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=00n/m.tα σώματα έχουν αμελητέες διαστάσεις. Το Σ είναι δεμένο στο ελατήριο, ενώ αβαρές νήμα μικρού μήκους συνδέει τα Σ και Σ. Τη χρονική στιγμή =0 κόβουμε το νήμα που συνδέει τα δύο σώματα, οπότε το Σ αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. α) Να προσδιορίσετε τη θέση ισορροπίας του συστήματος των Σ -Σ και στη συνέχεια τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης του Σ μετά το κόψιμο του νήματος. β) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης A καθώς και την ολική της ενέργεια E. γ) Θεωρώντας θετική φορά την προς τα πάνω, να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης x χρόνου. Στη συνέχεια να την παραστήσετε γραφικά σε κατάλληλα βαθμολογημένους άξονες, στη διάρκεια της ης περιόδου. Θεωρήστε ότι: π =0. δ) Αν το σώμα Σ έχει ως προς το δάπεδο, που βρίσκεται κάτω του, στη θέση ισορροπίας του συστήματος, βαρυτική δυναμική ενέργεια U βαρ =80J, να βρείτε ποιο απ τα δύο θα φτάσει πρώτο: το Σ στο έδαφος ή το Σ στο ανώτερο σημείο της τροχιάς του. Δίνεται g=0m/s. 79. Το κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=00n/m είναι στερεωμένο σε οριζόντιο δάπεδο. Στο πάνω άκρο του είναι δεμένος δίσκος Σ μάζας m =0,8kg. Πάνω στο δίσκο είναι τοποθετημένος κύβος Σ μάζας m =0,kg. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί. Πιέζουμε το σύστημα κατακόρυφα προς τα κάτω μεταφέροντας ενέργεια στο σύστημα ίση με E=J και το αφήνουμε ελεύθερο. α) Να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης A του συστήματος, τη γωνιακή συχνότητα ω καθώς και το χρόνο Δ στον οποίο θα περάσει για η φορά απ τη θέση ισορροπίας του. β) Να γράψετε τη συνάρτηση της δύναμης επαφής Ν, που δέχεται ο κύβος από το δίσκο Σ, σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας του. γ) Να υπολογίσετε την απόσταση y από τη Θέση ισορροπίας του, στην οποία ο κύβος θα χάσει την επαφή με το δίσκο. δ) Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κύβου τη χρονική στιγμή, που εγκαταλείπει το δίσκο και το ύψος στο οποίο θα φθάσει πάνω

23 από τη θέση που εγκαταλείπει το δίσκο. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα και g=0m/s. 80. Το αριστερό άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=400n/m στερεώνεται ακλόνητα και στο δεξιό άκρο του προσδένεται σώμα Σ μάζας m =3kg, το οποίο μπορεί να κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Πάνω στο Σ τοποθετείται δεύτερο σώμα Σ μάζας m =kg. Εκτοξεύουμε προς τα δεξιά το σύστημα από τη θέση ισορροπίας του, με ταχύτητα μέτρου και παράλληλη με το οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήμα, οπότε το σύστημα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση. Τα δυο σώματα διατηρούν την επαφή στη διάρκεια της ταλάντωσης. α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης καθώς και τις σταθερές ταλάντωσης D ολ, D και D του συστήματος και των σωμάτων Σ και Σ αντίστοιχα. β) Να τοποθετήσετε το σύστημα σε μια τυχαία θέση της ταλάντωσής του, να σχεδιάσετε και να περιγράψετε σε τρία κατάλληλα σχήματα τις δυνάμεις, που δέχονται: i) το σύστημα Σ Σ, ii) το Σ και iii) το Σ. γ) Να παραστήσετε γραφικά την αλγεβρική τιμή της στατικής τριβής από το Σ στο Σ σε συνάρτηση με την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του, για πλάτος ταλάντωσης A=3cm. δ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή της αρχικής ταχύτητας εκτόξευσης v max, του συστήματος των Σ, Σ ώστε το σώμα Σ να μην ολισθήσει πάνω στο σώμα Σ. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=0m/s και ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων Σ και Σ είναι μ=0,5. 8. Τα ιδανικά ελατήρια του σχήματος έχουν σταθερές k =300N/m και k =600N/m και τα σώματα Σ και Σ, αμελητέων διαστάσεων, που είναι δεμένα στα άκρα των ελατηρίων, έχουν μάζες m =3kg και m =kg. Τα δύο ελατήρια βρίσκονται αρχικά στο φυσικό τους μήκος και τα σώματα σε επαφή. Εκτρέπουμε από τη θέση ισορροπίας του το σώμα Σ κατά d=0,4m συμπιέζοντας το ελατήριο k και το αφήνουμε ελεύθερο. Κάποια στιγμή συγκρούεται με το Σ και κολλά σ αυτό. Τα σώματα κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο και η διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. α) Να υπολογίσετε σε πόσο χρόνο και με τι ταχύτητα το σώμα Σ 3

24 θα συγκρουστεί με το σώμα Σ. β) Να δείξετε ότι το συσσωμάτωμα Σ Σ θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση και να υπολογίσετε τη σταθερά της. γ) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. δ) Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του συσσωματώματος σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας ως αρχή του χρόνου τη στιγμή αμέσως μετά την κρούση. ε) Σε πόσο χρόνο από τη στιγμή που αφήσαμε το σώμα m θα μηδενιστεί η ταχύτητα του συσσωματώματος για η φορά και πόση απόσταση θα έχει διανύσει το m μέχρι τότε; 8. Στο παρακάτω σχήμα το σώμα μάζας m=0kg ισορροπεί δεμένο στο κάτω άκρο του αβαρούς νήματος το πάνω άκρο του οποίου είναι δεμένο στο κάτω άκρο του κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=0n/cm. α) Σχεδιάστε τις δυνάμεις, που ασκούνται στο σώμα και αιτιολογήστε γιατί η δύναμη ελατηρίου στο νήμα είναι ίση με την τάση του νήματος στο σώμα. β) Υπολογίστε την επιμήκυνση Δl του ελατηρίου. Θεωρήστε ότι g=0m/s. Τραβάμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω από τη Θ.Ι. του, μεταφέροντας ενέργεια στο σύστημα E μερ =5J και το αφήνουμε να ταλαντωθεί. γ) Να αποδείξετε ότι θα εκτελέσει γραμμική αρμονική ταλάντωση και να βρείτε το πλάτος ταλάντωσης. δ) Γράψτε την εξίσωση της τάσης του νήματος στο σώμα σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x απ τη Θέση Ισορροπίας και σχεδιάστε τη γραφική παράσταση της τάσης του νήματος T σε συνάρτηση με την απομάκρυνση χ, σε κατάλληλα βαθμολογημένους άξονες. ε) Να βρείτε το σημείο της ταλάντωσης στο οποίο η τάση του νήματος θα μηδενισθεί. 83. Το σώμα Σ του σχήματος έχει μάζα Kg, κινείται με ταχύτητα υ =8m/s σε λείο και οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα Σ, μάζας 3Kg. To Σ είναι δεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς 300Ν/m, που βρίσκεται στο φυσικό μήκος του. Να υπολογίσετε: 4

25 Δ. τις ταχύτητες των δύο σωμάτων μετά την Σ Σ κρούση. Μονάδες 6 υ Δ. την περίοδο της ταλάντωσης του σώματος Σ. Μονάδες 6 Δ 3. την ενέργεια με την οποία ταλαντώνεται το σώμα Σ. Μονάδες 6 Δ 4. την απόσταση μεταξύ των σωμάτων όταν το Σ επιστρέφει για πρώτη φορά στο σημείο της κρούσης. Μονάδες 7 Oι παραπάνω ασκήσεις είναι «κλεμμένες» από το ΚΕΕ, το Ψηφιακό Φροντιστήριο, και παλαιότερα θέματα. Κάποιες είναι δικές μου. 5