Εξέταση προσομοίωσης στο μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικές απαντήσεις στο 4 ο μέρος Σύνολο σελίδων: 9 (εννέα) ΘΕΜΑ 1 ο

Transcript

1 Εξέταση προσομοίωσης στο μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικές απαντήσεις στο 4 ο μέρος Σύνολο σελίδων: 9 (εννέα) ΘΕΜΑ ο. Χρήση του θεωρήματος Steiner για τα νομίσματα που εφάπτονται στο κεντρικό νόμισμα... (δ).. (γ). (γ) (Θεωρώντας την συσσωμάτωση ακαριαία!) 4. (β) 5. α. Λ, β. Σ, γ. Λ, δ. Λ, ε. Λ ΘΕΜΑ ο. Ο όρος οριακή ισορροπία υπονοεί ότι Τ σ = μ σν (), όπου μ σ ο συντελεστής στατικής τριβής με το δάπεδο και Ν η κάθετη αντίδραση από το δάπεδο. Επειδή η σκάλα ισορροπεί, έχουμε κατά την κατακόρυφη διεύθυνση ότι Ν = Μg (), όπου Μ η μάζα της σκάλας, και κατά την οριζόντια διεύθυνση ότι Τσ = Ν (), όπου Ν η κάθετη αντίδραση από τον λείο τοίχο. Τέλος, ο μηδενισμός των ροπών ως προς το σημείο επαφής σκάλας και οριζοντίου δαπέδου οδηγεί στην εξίσωση Μg = (L/) tanθ Ν (4), όπου θ η γωνία που σχηματίζει η σκάλα με το οριζόντιο δάπεδο, L το μήκος της, και η απόσταση του κέντρου μάζας της σκάλας από το σημείο επαφής της με το δάπεδο, μετρημένη κατά μήκος της σκάλας. Ο συνδυασμός των εξ. () και (4) δίνει ότι Ν = (L/) tanθ Ν (5), ενώ ο συνδυασμός των εξισώσεων () και () δίνει ότι Ν = μ σν (6). Συνδυάζοντας τις (5) και (6) βρίσκουμε ότι (L/) tanθ = /μ σ = σταθ. (7). Η προσεκτική τοποθέτηση ε- νός βαριδίου ίδιας μάζας με τη σκάλα, δηλ. μάζας Μ, στη θέση του κέντρου μάζας της σκάλας δεν οδηγεί σε μετατόπιση του κέντρου μάζας (κατά το μήκος της σκάλας) συνεπώς η απόσταση παραμένει ίδια και εκ της εξίσωσης (7) συμπεραίνουμε ότι πρέπει και η tanθ να παραμένει ίδια (αφού L = σταθ. και το δεν αλλάζει), δηλ. η γωνία θ παραμένει ίδια, όπερ σημαίνει ότι η σκάλα εξακολουθεί να βρίσκεται σε κατάσταση οριακής μάλιστα ισορροπίας (όπως και πριν την τοποθέτηση του βαριδίου). Η τοποθέτηση του βαριδίου στη θέση του κέντρου μάζας της σκάλας απλώς οδηγεί σε διπλασιασμό των δυνάμεων αντίδρασης εκ του τοίχου και εκ του δαπέδου, με τελικό αποτέλεσμα τη διατήρηση της εξ. (6) και ως εκ τούτου τη διατήρηση της εξ. () και μετά την τοποθέτηση του βαριδίου. Σημειώστε ότι τα παραπάνω είναι συμβατά και με τον ο νόμο του Νεύτωνα! Η σωστή απάντηση λοιπόν είναι το (β).. Η ελαστική κρούση του κιβωτίου με το ακλόνητο τοίχωμα οδηγεί σε αντιστροφή της ταχύτητας του κιβωτίου με διατήρηση του μέτρου της. Κατά τον αποχωρισμό κιβωτίου-αστροναύτη (πριν το κιβώτιο συγκρουστεί με το ακλόνητο τοίχωμα) η διατήρηση της ορμής δίνει ότι 0 = pa + pκ 0 = ΜV A + MV K V A = V K, δηλ. ο αστροναύτης ανακρούεται σε διεύθυνση αντίθετη από εκείνη του κιβωτίου (Μ είναι η μάζα του αστροναύτη και του κιβωτίου). Έστω ότι ο αστροναύτης κινείται προς τα αριστερά, οπότε το κιβώτιο κινείται προς τα δεξιά πριν συγκρουστεί με το τοίχωμα, ενώ μετά τη σύγκρουσή του με το τοίχωμα κινείται προς τα αριστερά κι αυτό διατηρώντας κατά μέτρο την ταχύτητά του. Με άλλα λόγια, μετά την κρούση κιβωτίου-τοιχώματος ο αστροναύτης και το κιβώτιο κινούται προς την ίδια κατεύθυνση και με την ίδια ταχύτητα, συνεπώς ο αστροναύτης δεν θα ξαναπιάσει το κιβώτιο. Η σωστή απάντηση λοιπόν είναι το (β).. Όταν βγάζουμε τον ανεμιστήρα από την μπρίζα η περιστροφική του κίνηση επιβραδύνεται διαρκώς, συνεπώς η γραμμική ταχύτητα του σημείου Χ μειώνεται... για να συμβεί αυτό πρέπει να υπάρχει εφαπτομενική επιτάχυνση με φορά αντίθετη από εκείνη της γραμμικής ταχύτητας του Copyright: Pant. Lapas

2 σημείου Χ. Επειδή το σημείο Χ διαγράφει κυκλική τροχιά επιβραδυνόμενο, η συνολική του επιτάχυνση προκύπτει από το διανυσματικό άθροισμα της κεντρομόλου επιτάχυνσης με φορά προς τον άξονα περιστροφής ( ) και της εφαπτομενικής επιβράδυνσης με φορά πάνω αριστερά ( ), το οποίο οδηγεί σε μια συνισταμένη επιτάχυνση με φορά προς τα αριστερά. Η σωστή απάντηση είναι το (β). 4.Α Η αναδυόμενη δέσμη από σημείο του αριστερού ημισφαιρίου προέρχεται από διάθλαση/διαθλάσεις στην περιφέρεια της γυάλινης σφαίρας (στη διαχωριστική επιφάνεια σφαίρας-αέρα). Εφαρμόζοντας τον νόμο του Snell στο σημείο Α βρίσκουμε ότι sinθ π = nsinφ (), όπου φ η γωνία διάθλασης στο σημείο Α και n ο δείκτης διάθλασης της σφαίρας. Εφαρμόζοντας τον νόμο του Snell στο σημείο Β βρίσκουμε ότι nsinφ = sinψ (), όπου ψ η γωνία διάθλασης στο σημείο Β, και χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι το τρίγωνο ΑΚΒ είναι ισοσκελές (οπότε η γωνία διάθλασης στο Α είναι γωνία πρόσπτωσης για το Β). Οι () και () συνεπάγονται ότι ψ = θ π η εν λόγω διαθλώμενη εξέρχεται από το δεξιό ημισφαίριο. Η ανακλώμενη δέσμη εκ του σημείου Β υπό γωνία φ, στη συνέχεια προσπίπτει σε σημείο Γ υπό γωνία φ πάλι λόγω του ότι το ΒΚΓ είναι ισοσκελές τρίγωνο, όπου δίνει μια νέα ανακλώμενη και μια νέα διαθλώμενη δέσμη, οι γωνίες των οποίων με την κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια σφαίρας-αέρα στο σημείο Γ είναι φ και θ π αντιστοίχως. Γενικεύοντας το παραπάνω σκεπτικό, διαπιστώνεται εύκολα ότι η δέσμη που άγεται από το σημείο Α προσπίπτει σε και ανακλάται από διάφορα σημεία της περιφέρειας της σφαίρας πάντοτε υπό γωνία φ, ενώ διαθλάται στα εν λόγω σημεία πάντοτε υπό γωνία θπ > φ, ως προς την αντίστοιχη κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια σφαίρας-αέρα. Επειδή ύστερα από κάθε πρόσπτωση η ένταση της δέσμης εξασθενεί θα εστιάσουμε την προσοχή μας σε ένα μικρό αριθμό αρχικών προσπτώσεων μόνον και στο δεδομένο ότι αναδύεται οριζόντια δέσμη από σημείο του αριστερού ημισφαιρίου. Το βασικό σημείο είναι να παρακολουθήσουμε το πώς στρίβει η διαθλώμενη δέσμη σε σχέση με την αρχική προσπίπτουσα δέσμη. Από το παρακάτω σχήμα εύκολα συνάγεται ότι (α) η διαθλώμενη δέσμη πάντα σχηματίζει γωνία θ π φ με την προσπίπτουσα δέσμη, και (β) ότι η προσπίπτουσα δέσμη σε κάθε ανάκλαση (πέραν του σημείου Α) στρίβει κατά γωνία π φ. Στο σημείο Α η δέσμη στρίβει κατά γωνία θ π φ. Με βάση τις παραπάνω παρατηρήσεις η αρχική δέσμη αναδύεται ύστερα από διάθλαση στο σημείο Γ έχοντας στραφεί κατά μία ολική γωνία θπ φ + π φ + θπ φ = θπ 4φ + π. Για να είναι όμως η αναδυόμενη εκ του σημείου Γ δέσμη οριζόντια πρέπει να ισχύει ότι θ π 4φ + π = π θ π φ = π/ θ π = π/ + φ sinθ π = cosφ = sin φ = nsinφ sin φ + nsinφ = 0. Η δεκτή λύση του τριωνύμου είναι sinφ = 0.4, συνεπώς sinθπ = Copyright: Pant. Lapas

3 4.Β Αν τυχόν η γωνία πρόσπτωσης φ στο σημείο Β είναι μεγαλύτερη της κρίσιμης γωνίας, τότε όλες οι επακόλουθες προσπτώσεις θα λαμβάνουν χώρα υπό γωνία μεγαλύτερη της κρίσιμης γωνίας, δηλ. άπαξ και έχουμε ολική εσωτερική ανάκλαση στο Β, σε κάθε άλλη πρόσπτωση θα έχουμε ολική εσωτερική ανάκλαση κι επομένως δεν μπορούμε να έχουμε αναδυόμενη δέσμη όπως αναφέρεται στα δεδομένα. ΘΕΜΑ ο Α. Εξίσωση κίνησης για το συσσωμάτωμα μάζας + β: F = ( + ) a a () ελ β Εξισώσεις κίνησης κυλίνδρου: F f= a (), f= Rα ελ Κ Κ (), a = Rα K Κ (4) Σημειώστε ότι θεωρήσαμε σαν θετική φορά κίνησης εκείνη προς τα δεξιά. Επειδή ο κύλινδρος θα κινηθεί προς τα δεξιά λόγω της επιμήκυνσης του ελατηρίου μετά την κρούση, η δεξιόστροφη (ωρολογιακή) περιστροφή του θα λάβει χώρα με τη βοήθεια της στατικής τριβής η οποία πρέπει να έχει φορά προς τα αριστερά. Οι () και (4) δίνουν f= a Κ (5). Ο συνδυασμός των () και (5) δίνει F = a (6). Τέλος ο συνδυασμός των εξισώσεων () και (6) δίνει ότι: a a K (7) ελ Κ Α. Από την Α.Δ.Ο. για το βλήμα σώμα μάζας, θεωρώντας τη θετική φορά προς τα δεξιά, βρίσκουμε ότι υ= ( + V ) V υ (8), όπου β β 0 β V0 η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την ενσφήνωση του βλήματος. Απ την (7) έχουμε ότι t t v v K dvk dv K K dt dt V0 a a dt dt dv dv v K ( v V ) v v + V V v + v (9) 0 K 0 0 K Κατά την μέγιστη δυνατή επιμήκυνση του ελατηρίου ισχύει ότι υ = υ (0). Από τις (9) και V 0 βυ0 (0) βρίσκουμε ότι υ = υ = = () Κ 4 4 Α. Η μέγιστη δυνατή επιμήκυνση του ελατηρίου θα βρεθεί από την Α.Δ.Ε. μεταξύ της στιγμής που σχηματίζεται το συσσωμάτωμα και της στιγμής της μέγιστης δυνατής επιμήκυνσης του ε- λατηρίου. Είναι λοιπόν: V V R ( + ) = υ + ω + υ + k l () β 0 0 Κ Συνδυάζοντας τις εξ. (0), () και () που ισχύουν κατά τη μέγιστη επιμήκυνση του ελατηρίου, τελικά βρίσκουμε ότι (μετά από μερικές πράξεις) = υκ l a β k υ () 0 Α.4 Για να έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση πρέπει να ισχύει ότι f µ N f µ g (4), όπου Ν η κάθετη αντίδραση που δέχεται ο κύλινδρος από το δάπεδο. Ο συνδυασμός των εξ. (5) και Κ Copyright: Pant. Lapas

4 6µ g (6) δίνει ότι f= F / (5), ενώ από τις (4) και (5) βρίσκουμε ότι l (6), και ελ k ζητάμε η τελευταία σχέση να ισχύει πάντοτε κατά τη διάρκεια κίνησης του συστήματος κύλινδρος σώμα μάζας, δηλ. για κάθε l με 0 l l a. Αν η συνθήκη της εξ. (6) ικανοποιείται για το l a τότε προφανώς θα ισχύει καθόλη τη διάρκεια της κίνησης του συστήματος, και ως εκ τούτου παίρνουμε από τις εξ. () και (6) ότι 6µ g υ υ 4µ g (7) β 0 0 k k k Συνεπώς η μέγιστη δυνατή ταχύτητα εκτόξευσης του βλήματος ώστε μετά την συσσωμάτωση ο κύλινδρος να κυλίεται πάντοτε δίχως ολίσθηση είναι β a υ = 4µ g (8) 0 k β B. Για ταχύτητα εκτόξευσης του βλήματος ίση προς a υ = υ = 8µ g (9), η νέα τα- 0 0 k β a χύτητα συσσωμάτωσης είναι V υ = 8µ g (0). Η εξίσωση (9) πλέον λαμβάνει 0 0 k τη μορφή V v + v (). Η Α.Δ.Ε. μεταξύ της στιγμής αμέσως μετά τον σχηματισμό του 0 K συσσωματώματος και της στιγμής αμέσως πριν ξεκινήσει η ολίσθηση του κυλίνδρου δίνει ότι V V R ( + ) = υ + ω + υ + k l () β 0 0 Κ όπου, αμέσως πριν ξεκινήσει η ολίσθηση του κυλίνδρου οι εξισώσεις (4) ως (6) δίνουν ότι 6µ g l= (). Ο συνδυασμός των εξ. () και () οδηγεί στη σχέση (μετά από λίγες πράξεις) V = υ + υ + 6µ g (4). Οι ζητούμενες ταχύτητες θα βρεθούν από τη λύση k 0 Κ k του συστήματος των εξισώσεων () και (4). Το τελικό αποτέλεσμα είναι: = υκ = ( ) g (5) και ( 9 ) υ µ υ = + µ g (6) K k k Στο παραπάνω πρόβλημα το βλήμα ουσιαστικά χρησιμοποιήθηκε προκειμένου να δοθεί ώθηση στο σώμα μάζας. β Copyright: Pant. Lapas

5 ΘΕΜΑ 4 ο Α. Επειδή τριβές με τον άξονα περιστροφής της δοκού δεν υπάρχουν (είναι αμελητέες) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την Α.Δ.Ε.. Θεωρούμε ως στάθμη μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας την οριζόντια στάθμη εκ του κέντρου μάζας της δοκού όταν αυτή είναι σε κατακόρυφη θέση. Εφαρμόζοντας την Α.Δ.Ε. μεταξύ της αρχικής θέσης της δοκού και της κατακόρυφης θέσης της βρίσκουμε ότι l g 0 + g ( cos θ) = I ω = lω ω() θ = ( cos θ) () A l Α. Η θέση ασταθούς ισορροπίας του κύβου είναι εκείνη κατά την οποίαν η διαγώνιος ΓΔ έρχεται σε κατακόρυφη θέση. Ας θεωρήσουμε γενικότερα δοκό μάζας και μήκους L, και κύβο μάζας και ακμής b. Θα μελετήσουμε την κρούση δοκού-κύβου με δύο τρόπους. ος τρόπος: Θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση ώθησης-στροφορμής L= r Ω [Ω = ώθηση] () Εφαρμόζοντας τη σχέση () για τη δοκό ως προς το σημείο Α λαμβάνουμε I I L L L ωkˆ ωkˆ = Ωk ˆ ( ω+ ω) = Ω L ( ω+ ω) =Ω () A A Εφαρμόζοντας τη σχέση () για τον κύβο ως προς το σημείο Δ λαμβάνουμε I ω k ˆ 0= b sin( π π/4) Ω k ˆ bω b bω = Ω =Ω (4) Συνδυάζοντας τις () και (4) λαμβάνουμε L( ω+ ω) = bω L( ω+ ω) = bω (5) 0 0 Δοθέντος ότι η κρούση είναι ελαστική ισχύει και η διατήρηση της κινητικής ενέργειας κατά την κρούση, η οποία οδηγεί στο αποτέλεσμα 0 + Lω = Lω + bω L( ω ω) = bω (6) 0 0 Ο συνδυασμός των (5) και (6) δίνει L( ω ω) bω 0 ω + = 0... ω =, ω= ω (7) 0 ( ω ω) L bω 0 b = + + L Δοθέντος ότι b/ L= l/( l /) = / και ότι / =, οι (6) και (7) δίνουν ω = ω, ω= ω (8) 0 0 Τέλος, εφαρμόζοντας την Α.Δ.Ε. για την κίνηση του κύβου μεταξύ της στιγμής αμέσως μετά την κρούση του με τη δοκό, και της στιγμής που ο κύβος περιέρχεται σε θέση ασταθούς ισορροπίας, βρίσκουμε ότι b (8) 0+ bω = 0+ gb b g ω = ( ) (9) () bω = g 0 ( ) cosθ= ( ) 4 Copyright: Pant. Lapas

6 όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι για να περιέλθει ο κύβος σε κατάσταση ασταθούς ισορροπίας πρέπει να έχει μηδενική κινητική ενέργεια όταν φτάσει στην εν λόγω θέση (αλλιώς είτε θα επανέλθει στην αρχική του κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας είτε θα στραφεί περί το Δ και θα περιέλθει σε παρόμοια κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας), και πήραμε ως στάθμη μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας την οριζόντια στάθμη εκ του κέντρου μάζας του κύβου Ε όταν αυτός βρίσκεται στην αρχική θέση ευσταθούς ισορροπίας του. ος τρόπος: Η περιστρεφόμενη δοκός περί το σημείο Α μπορεί να αντικατασταθεί από σημειακό σώμα ανηγμένης μάζας, ενώ ο περιστρεφόμενος κύβος περί το σημείο Δ μπορεί να αντικα- τασταθεί από σημειακό σώμα ανηγμένης μάζας. Η κρούση λοιπόν των δύο στερεών σωμάτων (που εκτελούν αμιγώς περιστροφική κίνηση περί το Α και Δ αντίστοιχα) μπορεί, με βάση τις παραπάνω παρατηρήσεις, να ιδωθεί και όπως φαίνεται στο τελευταίο σχήμα, όπου φαίνονται οι μάζες των σημειακών σωμάτων και οι ταχύτητές τους προ και μετά κρούσεως. Εφαρμόζοντας την Α.Δ.Ο. κατά μήκος του άξονα (παραπομπή στην προηγούμενη εικόνα), θεωρώντας τη θετική φορά προς τα αριστερά, βρίσκουμε ότι 0 + v = v+ v ( v + v) = v (0) 0 0 Δοθέντος ότι η κρούση είναι ελαστική ισχύει και η διατήρηση της κινητικής ενέργειας κατά την κρούση κατά τη διεύθυνση του άξονα, η οποία οδηγεί στο ακόλουθο αποτέλεσμα 0 + v = v + v ( v v) = v () 0 0 Ο συνδυασμός των (0) και () δίνει v v v + = 0 v 0... v, v v = = () 0 v v v = όπου δοθέντος ότι / =, εκ των εξ. () βρίσκουμε ότι v0 v =, v= v () 0 Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κύβου περί το Δ αμέσως μετά την κρούση είναι v v v L 0 ω0 L ω = = = = = ω = ω = ω (4) b b b b b Τέλος, εφαρμόζουμε και πάλι την Α.Δ.Ε. για την κίνηση του κύβου μεταξύ της στιγμής αμέσως μετά την κρούση του με τη δοκό, και της στιγμής που ο κύβος περιέρχεται σε θέση ασταθούς ισορροπίας, και βρίσκουμε ότι b (8) 0+ bω = 0+ gb b g ω = ( ) (5) () bω = g 0 ( ) cosθ= ( ) 4 Copyright: Pant. Lapas

7 όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι για να περιέλθει ο κύβος σε κατάσταση ασταθούς ισορροπίας πρέπει να έχει μηδενική κινητική ενέργεια όταν φτάσει στην εν λόγω θέση, και πήραμε ως στάθμη μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας την οριζόντια στάθμη εκ του κέντρου μάζας του κύβου Ε όταν αυτός βρίσκεται στην αρχική θέση ευσταθούς ισορροπίας του. Α. Η γωνιακή ταχύτητα της δοκού αμέσως μετά την κρούση της με τον κύβο βρίσκεται εκ της εξ. (8) ω= ω. Εφαρμόζοντας την Α.Δ.Ε., μεταξύ της θέσης της δοκού αμέσως μετά την 0 κρούση της με τον κύβο και της τελικής θέσης της όπου σταματάει στιγμιαία την ανοδική κίνησή της, λαμβάνουμε ότι 9l ω0 () 0+ Lω = 0 + gh... = gh g l l ( cos θ ) = gh h= ( cos θ ) 4 l Β. Στο ερώτημα αυτό θα μελετήσουμε και τις δύο κρούσεις δοκού-κύβου με τη μέθοδο του ου τρόπου του ερωτήματος Α.. Θεωρούμε και πάλι γενικότερα δοκό μάζας και μήκους L, και κύβο μάζας και ακμής b. Κατά την πρώτη κρούση όπου αρχικά ο κύβος είναι ακίνητος μπορούμε να ακολουθήσουμε ακριβώς τα ίδια βήματα με το ερώτημα Α.... οπότε θα χρησιμοποιήσουμε απευθείας την εξ. (), με τη διαφορά ότι τώρα είναι / = /, συνεπώς βρίσκουμε ότι v = v, v = 0 (7) 0 δηλαδή η δοκός παραμένει ακίνητη μετά την πρώτη κρούση, σε κατακόρυφη θέση! Η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του κύβου περί το Δ αμέσως μετά την πρώτη κρούση είναι ω v v L g = = = v = L... ( cos ) b b b b ω = b ω = ω = = l φ (8) Στην εξαγωγή της εξ. (8) χρησιμοποιήσαμε την Α.Δ.Ε. για τη δοκό μεταξύ της αρχικής θέσης της και της θέσης της αμέσως πριν την πρώτη κρούση της με τον κύβο (για την ακρίβεια χρησιμοποιήσαμε την εξ. () γιατί ο διπλασιασμός της μάζας και μόνο δεν αλλάζει το αποτέλεσμα για την γωνιακή ταχύτητα της δοκού προ κρούσης η νέα γωνία όμως είναι φ σύμφωνα με την εκφώνηση της άσκησης!). Εφαρμόζοντας την Α.Δ.Ε. για την κίνηση του κύβου μεταξύ της στιγμής αμέσως μετά την πρώτη κρούση του με τη δοκό, και της στιγμής που ο κύβος περιέρχεται οριακά σε θέση ασταθούς ισορροπίας, βρίσκουμε ότι b gb ( ) b g (8) 0+ ω = 0+ ω = ( ) (9) l cosφ= ( ) = ( )... cos φ= (4 ) b όπου χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι για να περιέλθει ο κύβος σε κατάσταση οριακής ασταθούς ισορροπίας πρέπει να έχει σχεδόν μηδενική κινητική ενέργεια όταν φτάσει στην εν λόγω θέση, και πήραμε ως στάθμη μηδενικής βαρυτικής δυναμικής ενέργειας την οριζόντια στάθμη εκ του κέντρου μάζας του κύβου Ε όταν αυτός βρίσκεται στην αρχική θέση ευσταθούς ισορροπίας του. Η γωνιακή ταχύτητα του κύβου αμέσως πριν την δεύτερη κρούση του με τη δοκό εύκολα συνάγεται ότι είναι ίση προς ω. Πιο συγκεκριμένα, εκ των εξ. (8) και (9) βρίσκουμε ότι ( ) ( ) g 9g g ω = ( cos φ) = = (0) l 4l l (6) Copyright: Pant. Lapas

8 Πάμε τώρα να μελετήσουμε τι γίνεται όταν ο κύβος επιστρέφει στην αρχική του θέση λόγω της μη δυνατότητάς του να περιέλθει σε κατάσταση ασταθούς ισορροπίας ή να την υπερβεί. Επειδή μετά την πρώτη κρούση η δοκός ακινητοποιείται σε κατακόρυφη θέση με το κατώτερο άκρο της Β να συμπίπτει με το άκρο Γ του κύβου, όταν ο κύβος επιστρέφει στην αρχική κατάσταση ισορροπίας του, το άκρο Γ αυτού συγκρούεται ελαστικά με τη δοκό οπότε ο κύβος δέχεται μια ώθηση με φορά προς τα αριστερά (κατά μήκος του άξονα ), και την ίδια στιγμή επειδή η κάτω έδρα του κύβου έρχεται σε πλήρη επαφή με το δάπεδο υπάρχει και μία ώθηση εκ του δαπέδου η οποία διέρχεται από το κέντρο μάζας του κύβου με φορά προς τα πάνω (κατά μήκος του άξονα y παραπομπή στην αρχική εικόνα). Θα εστιάσουμε μόνο στην κρούση κύβου-δοκού την οποίαν ήδη αποκαλούμε «δεύτερη κρούση». Η δεύτερη κρούση κύβου-δοκού μπορεί προσεγγιστικά να ιδωθεί ως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ε- φαρμόζοντας την Α.Δ.Ο. κατά μήκος του άξονα, θεωρώντας τη θετική φορά προς τα δεξιά αυτή τη φορά, βρίσκουμε ότι 0+ v = V V v = V V ( v + V ) = V () Δοθέντος ότι η κρούση είναι ελαστική ισχύει και η διατήρηση της κινητικής ενέργειας κατά την κρούση κατά τη διεύθυνση του άξονα, η οποία οδηγεί στο ακόλουθο αποτέλεσμα 0+ v = V + V ( v V ) = V () και συνδυάζοντας τις εξ. () και () λαμβάνουμε ότι v V V + = v... V v, V = = () v V V = + + όπου είναι ( ) g v = b ω cos( π/4) (0) v = b (4) l Η γωνιακή ταχύτητα της δοκού αμέσως μετά τη δεύτερη κρούση είναι λοιπόν εκ των ()-(4) ( ) b g V v ω ɶ = = = L l (5) L L + + όπου χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι / = / και ότι b/ L= l/( l /) = /, τελικώς βρίσκουμε από την εξ. (5) ότι ( ) g l g ω ɶ = = ( ) (6) l + Copyright: Pant. Lapas

9 Αν παρατηρήσουμε προσεκτικά τις εξ. (), δοθέντος ότι / = / διαπιστώνεται ότι ο κύβος ακινητοποιείται μετά την κρούση! (Η γωνιακή ταχύτητα του κύβου αμέσως μετά την V V V κρούση δίνεται από τη σχέση ω = = =... ). b b b Copyright: Pant. Lapas