Ενδεικτική λύση 3 ου θέματος

Transcript

1 Ενδεικτική λύση ου θέματος ΘΕΜΑ ο Η διάταξη του παρακάτω σχήματος αποτελείται από μία κεκλιμένη επιφάνεια (περιοχή Α), μία οριζόντια επιφάνεια (περιοχή Β) και ένα τεταρτοκύκλιο (περιοχή Γ). Ομογενής και συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας r αφήνεται να κινηθεί χωρίς αρχική ταχύτητα, από ύψος h πάνω από την οριζόντια επιφάνεια. Ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ του κυλίνδρου και της κεκλιμένης επιφάνειας είναι μ, ενώ με την οριζόντια επιφάνεια και το τεταρτοκύκλιο δεν υπάρχει τριβή. Οι περιοχές Α και Β συνδέονται αρκετά ομαλά η μία με την άλλη έτσι ώστε να μην παρατηρείται αναπήδηση ή γλίστρημα του κυλίνδρου κατά τη μετάβαση από την περιοχή Α στην περιοχή Β. Η γωνία κλίσης (ως προς το οριζόντιο δάπεδο) της κεκλιμένης επιφάνειας είναι η μισή της μέγιστης δυνατής γωνίας κλίσης για την οποίαν ο κύλινδρος κατέρχεται κυλιόμενος χωρίς ολίσθηση. Δίνονται τα εξής: Η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 1 m/, μ = /, h = 1. m, Μ = 1 kg, r =.5 m, και επίσης η ροπή αδράνειας κυλίνδρου ως προς άξονα που συμπίπτει με τον κύριο άξονα συμμετρίας του Ι CΜ = (1/)Mr. Θεωρήστε ως στάθμη αναφοράς της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας το οριζόντιο επίπεδο (περιοχή Β). Να απαντήσετε στα παρακάτω ερωτήματα συναρτήσει των δεδομένων μεγεθών του προβλήματος και μόνον. Α. Να υπολογίσετε την γωνία κλίσης της κεκλιμένης επιφάνειας. Απάντηση: Οι δυνάμεις που ασκούνται στον κύλινδρο κατά τα γνωστά είναι το βάρος του κατακόρυφα, η κάθετη αντίδραση από το κεκλιμένο επίπεδο (κάθετη στην κεκλιμένη επιφάνεια με φορά μακριά από αυτήν) και η στατική τριβή στο σημείο επαφής κυλίνδρου-κεκλιμένης επιφάνειας παράλληλα προς την κεκλιμένη επιφάνεια με φορά προς το πάνω μέρος της. Η συνισταμένη των δυνάμεων κάθετα στην κεκλιμένη επιφάνεια οδηγεί στην εξίσωση Mg coφ= N [1] ενώ η συνισταμένη των δυνάμεων παράλληλα με την κεκλιμένη επιφάνεια οδηγεί στην εξίσωση κίνησης του ΚΜ

2 f + Mginφ= Ma [] όπου φ η υποτιθέμενη γωνία κλίσης της κεκλιμένης επιφάνειας. Από τον ο νόμο για την στροφική κίνηση περί το ΚΜ λαμβάνουμε (έχοντας κύλιση χωρίς ολίσθηση) rf = Mrα f = Mr α = Ma [] Απαλοίφοντας την επιτάχυνση του ΚΜ μέσω των εξ. [] και [] βρίσκουμε = a 1 f = Mginφ [4] Ότι γράψαμε μέχρι τώρα ισχύουν για οποιαδήποτε γωνία κλίσης μικρότερη από ή ίση με τη μέγιστη δυνατή γωνία κλίσης για την οποίαν ο κύλινδρος κατέρχεται κυλιόμενος χωρίς ολίσθηση. Κάνοντας εφαρμογή της εξ. [4] για τη μέγιστη δυνατή γωνία κλίσης που αναφέρεται στην εκφώνηση παίρνουμε max 1 1 f = Mginφ µ Mgcoφ = Mginφ max max tanφ = µ = = φ = 6 max max υνεπώς η ζητούμενη γωνία κλίσης είναι o [5] φ max φ= = o [6] Εικόνα 1: Κίνηση του κυλίνδρου κατά τη μετάβαση από την περιοχή Α στην Β. Β. Να βρείτε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου λίγο πριν φτάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Απάντηση: Εφαρμόζουμε την Α.Δ.Ε. μεταξύ της αρχικής θέσης του κυλίνδρου όπου το στιγμιαίο σημείο επαφής είναι το 1 (εικ. 1) και της θέσης του κυλίνδρου για την οποίαν το στιγμιαίο σημείο επαφής με την κεκλιμένη επιφάνεια είναι το (εικ. 1), οπότε έχουμε (εικ. ) 1 1 Mgh+ + = Iω + Mv + Mgr [7]

3 Εικόνα : Μεγέθυνση της μετάβασης από την περιοχή Α στην Β. όπου χρησιμοποιήθηκε το γεγονός ότι (Κ ) = r (εικ. ), όπου Κ η θέση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου. Περαιτέρω από την εξ. [7] είναι 11 1 Mgh+ + = Mrω + Mv + Mgr = υ 4 gh+ + = v + gr v= gh ( r) 4 [8] και τελικά v 8 m = =.5 [9] Γ. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου όταν διατρέχει την οριζόντια επιφάνεια (περιοχή Β). Αν γίνει τυχόν προσέγγιση να αναφερθεί ρητά. Απάντηση: ύμφωνα με την εκφώνηση της άσκησης «Οι περιοχές Α και Β συνδέονται αρκετά ομαλά η μία με την άλλη έτσι ώστε να μην παρατηρείται αναπήδηση ή γλίστρημα του κυλίνδρου κατά τη μετάβαση από την περιοχή Α στην περιοχή Β» - συνεπώς η σύνδεση των δύο περιοχών Α και Β πρέπει να γίνει όπως δείχνεται με λεπτομέρεια στην εικόνα 1 παραπάνω (δηλ. οι δύο περιοχές θα «συνδέονται» στη θέση της εικ. 1). Εφόσον ισχύει κάτι τέτοιο, η έκφραση «δεν παρατηρείται αναπήδηση ή γλίστρημα του κυλίνδρου...» υποννοεί ότι η ταχύτητα του στιγμιαίου σημείου επαφής δεν πρέπει να εμφανίζει ασυνέχεια κατά τη μετάβαση από την περιοχή Α στην περιοχή Β, συνεπώς το στιγμιαίο σημείο επαφής με το δάπεδο θα πρέπει να συνεχίσει να έχει μηδενική ταχύτητα και κατά την κίνηση του κυλίνδρου στο οριζόντιο δάπεδο (περιοχή Β). Πρέπει να προσέξουμε όμως μια λεπτομέρεια η οποία είναι ότι, καθώς ο κύλινδρος μεταβαίνει στην περιοχή Β, οπότε εκείνη τη χρονική στιγμή, έστω t, το στιγμιαίο σημείο επαφής είναι το, για t t το διάνυσμα της ταχύτητας του ΚΜ είναι ακόμη παράλληλο προς την + κεκλιμένη επιφάνεια με φορά προς τη βάση της, ενώ για t t το διάνυσμα της ταχύτητας του ΚΜ είναι παράλληλο προς την οριζόντια επιφάνεια της περιοχής Β, δεχόμαστε δηλ. μία ακαριαία (t = t ) αλλαγή της φοράς του διανύσματος της ταχύτητας του ΚΜ με σημείο επαφής την στιγμή εκείνη το. Εφόσον δεν υπάρχει αναπήδηση ή γλίστρημα, η στροφορμή διατηρείται ως προς το στιγμιαίο σημείο επαφής οπότε ισχύει

4 L = L αρχ τελ Iω( t ) + Mv ( t ) r = Iω( t ) + Mv ( t ) r + + [1] Mrv+ Mvco φr= Iω( t ) + Mv ( t ) r όπου το v δίνεται από την εξ. [9]. Η απαίτηση της συνέχειας της ταχύτητας στη θέση του στιγμιαίου σημείου επαφής συνεπάγεται ότι και από τις [1] και [11] βρίσκουμε ότι V v ( t + ) = ω( t + ) r [11] 1 Mrv Mv r I t Mv t r 1 + co φ = ω ( + ) + ( ) = MrV + MVr [1] + ή λύνοντας την εξ. [1] ως προς V παίρνουμε m V= 1 v(1+ co φ) = 1 8 (1+ ) =.78 [1] Η ταχύτητα (κατά μέτρο) του ΚΜ του κυλίνδρου μόλις μεταβαίνει στην περιοχή Β (δηλ. όταν το διάνυσμα της ταχύτητας του ΚΜ γίνεται οριζόντιο) δίνεται από την εξ. [1]. Δ. Να υπολογίσετε τη μεταβολή της ολικής ενέργειας του κυλίνδρου από τη στιγμή που αφήνεται ελεύθερος ως τη στιγμή που σταματάει (στιγμιαία) την ανερχόμενη κίνησή του επί της τεταρτοκύκλιας επιφάνειας. Απάντηση: Επειδή δεν υπάρχει τριβή στις περιοχές Β και Γ και οι όποιες δυνάμεις δέχεται ο κύλινδρος διέρχονται από το ΚΜ του, η περιστροφική του κατάσταση δεν αλλάζει κατά την κίνηση στις περιοχές Β και Γ (αφού έχει μεταβεί στην περιοχή Β). υνεπώς όταν ο κύλινδρος αρχίζει να ανέρχεται στο τεταρτοκύκλιο αυτό γίνεται «εις βάρος» της μεταφορικής του κινητικής ενέργειας και μόνον. Ας εφαρμόσουμε τώρα την Α.Δ.Ε. μεταξύ μιας οποιασδήποτε θέσης του κυλίνδρου στην περιοχή Β (αφού έχει μεταβεί σε αυτήν) και της θέσης επί του τεταρτοκυκλίου όπου σταματάει στιγμιαία η ανερχόμενη κίνησή του. Είναι λοιπόν: MV + Iω( t + ) + Mgr= + Iω( t + ) + Mgz 1 MV + Mgr= Mgz [14] z 1V = + r g υνεπώς ο κύλινδρος ανέρχεται σε σχέση με το οριζόντιο δάπεδο της περιοχής Β σε ύψος ίσο προς 1(.78) z= +.5=.887m [15] 1

5 Η ενέργεια του κυλίνδρου όταν αφήνεται ελεύθερος αρχικά (στην κεκλιμένη επιφάνεια) είναι E = Mgh = 1J [16] αρχ Η ενέργεια του κυλίνδρου στη θέση επί του τεταρτοκυκλίου όπου σταματά στιγμιαία την ανοδική κίνησή του είναι 1 11 V 1 E = Mgz+ Iω ( t + ) = Mgz+ Mr Mgz MV 1.8J τελ = + = r 4 [17] υνδυάζοντας τις εξ. [16] και [17] βρίσκουμε E = E E = 1.J [18] τελ. αρχ. δηλ. η ενέργεια του κυλίνδρου μειώθηκε ελαφρώς. Αυτή η μείωση ενέργειας έλαβε χώρα κατά τη μετάβαση από την περιοχή Α στην περιοχή Β (γιατί;).