Κεφάλαιο 4 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΟΥ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ - ΦΩΝΟΝΙΑ

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΚΡΥΣΤΑΛΛΙΚΟΥ ΠΛΕΓΜΑΤΟΣ - ΦΩΝΟΝΙΑ Προαπαιτούμενη γνώση Συστήματα γραμμικών ταλαντωτών, δυναμική πλέγματος, κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής, φωνόνια, ευθύ και ανάστροφο πλέγμα, ζώνες Brllou. Πρόβλημα Υπολογίστε τις σχέσεις διασποράς φωνονίων ω = ω( k), για ένα μονοδιάστατο (Δ) μονοατομικό κρύσταλλο πλεγματικής σταθεράς αποτελούμενο από άτομα μάζας Μ συνδεδεμένα με ελατήρια ελαστικής σταθεράς. Σχεδιάστε τη σχέση διασποράς που υπολογίσατε εντός της πρώτης ζώνης Brllou (ΖΒ) και σχολιάστε την. Λύση Στο παραπάνω σχήμα απεικονίζεται μια ατομική αλυσίδα (Δ ατομικό πλέγμα) αποτελούμενη από ένα άτομο, ανά κυψελίδα, πλεγματικής σταθεράς. Εύκολα μπορεί κανείς να δείξει, ότι το ανάστροφο πλέγμα είναι, επίσης, ένα Δ πλέγμα πλεγματικής σταθεράς π. Τα άτομα στις πλεγματικές θέσεις συνδέονται μεταξύ τους με ελατήρια ελαστικής σταθεράς. Λαμβάνοντας υπόψη αλληλεπιδράσεις πλησιέστερων γειτόνων, το -οστό άτομο της αλυσίδας δέχεται ελαστικές δυνάμεις ( u u + ) από το άτομο, στα δεξιά του [ ( + ) - οστό άτομο] και ( u u ) από το άτομο, στα αριστερά του [ ( ) -οστό άτομο]. Η εξίσωση κίνησης του -οστού ατόμου θα γράφεται du = ( u u ) ( u u+ ) du [ ] = u u u+, () όπου u είναι η μετατόπιση του -οστού ατόμου στην αλυσίδα. Για την παραπάνω διαφορική εξίσωση, αναζητούμε λύσεις της μορφής επιπέδων κυμάτων ( ) u ( ) ep t = u k ωt, () π όπου k = είναι το Δ κυματάνυσμα του κύματος, λ το μήκος κύματος και u το πλάτος της λ ταλάντωσης. Αντικαθιστώντας την () στην (), λαμβάνουμε 66

2 ( ) [ ] ( ) = cos( k) ep ( k ωt), ω ep k ωt = ep( k) ep( k) ep k ωt η οποία έχει λύση, αν διαλέξουμε ω = ω( k), τέτοιο, ώστε cos( k) k ω( k) = = s. (3) Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται η παραπάνω σχέση διασποράς ω = ω( k), εντός της ΖΒ, π π δηλαδή, k <. ω -π/ k π/ Παρατηρούμε, ότι η σχέση διασποράς αποτελείται από έναν κλάδο, εφόσον ο Δ κρύσταλλος αποτελείται από ένα άτομο, ανά κυψελίδα. Καθώς αυτός ο κλάδος lm ω( k) = θα είναι ένας ακουστικός κλάδος, η κλίση του οποίου στο παραπάνω όριο θα μας δίνει την ταχύτητα διάδοσης ακουστικών κυμάτων, στον παραπάνω Δ κρύσταλλο. k Πρόβλημα Υπολογίστε τις σχέσεις διασποράς φωνονίων ω = ω( k), για ένα μονοδιάστατο (Δ), διατομικό κρύσταλλο πλεγματικής σταθεράς, αποτελούμενο από εναλλασσόμενα άτομα, με μάζες και, αντίστοιχα, συνδεδεμένα με ελατήρια ελαστικής σταθεράς (βλέπε το παρακάτω σχήμα). Σχεδιάστε τη σχέση διασποράς, την οποία υπολογίσατε εντός της πρώτης ζώνης Brllou (ΖΒ) και σχολιάστε την. Βρείτε τη μορφή της σχέσεως διασποράς στο όριο του μεγάλου μήκους κύματος, k <<. 67

3 Λύση Στο παραπάνω σχήμα απεικονίζεται μια ατομική αλυσίδα (Δ ατομικό πλέγμα) αποτελούμενη από δύο διαφορετικά άτομα, με μάζες και ανά κυψελίδα, η οποία έχει πλεγματική σταθερά. Το ανάστροφο πλέγμα είναι, επίσης, ένα Δ πλέγμα πλεγματικής π σταθεράς. Τα άτομα στις πλεγματικές θέσεις συνδέονται μεταξύ τους με ελατήρια ελαστικής σταθεράς. Έστω, uv, οι μετατοπίσεις των ατόμων και, σε μια κυψελίδα. Λαμβάνοντας υπόψη μόνο αλληλεπιδράσεις πλησιέστερων γειτόνων, ένα άτομο μάζας της -οστής κυψελίδας, δέχεται μια ελαστική δύναμη ( u v + ) από το άτομο, στα δεξιά του [άτομο Μ της ( + ) -οστής κυψελίδας] και ( u v) από το άτομο, στα αριστερά του [άτομο της -οστής κυψελίδας]. Έτσι, η εξίσωση κίνησης του ατόμου της -οστής κυψελίδας γράφεται du + = ( u v ) ( u v ) du = + [ ] u v v. (4) Αντίστοιχα, ένα άτομο μάζας της -οστής κυψελίδας, δέχεται μια ελαστική δύναμη ( v u) από το άτομο, στα δεξιά του [άτομο Μ της -οστής κυψελίδας] και ( v u ) από το άτομο, στα αριστερά του [άτομο της ( ) -οστής κυψελίδας]. Έτσι, η εξίσωση κίνησης του ατόμου της -οστής κυψελίδας γράφεται dv = ( v u ) ( v u ) dv = [ ] v u u. (5) Έχουμε, λοιπόν, να επιλύσουμε το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων du = + [ ] u v v dv = [ ] v u u Αναζητούμε λύσεις της μορφής επιπέδων κυμάτων ( ω ) ( ω ). (6) u( t) = uep k t, (7) v( t) = v ep k t 68

4 π όπου k = είναι το Δ κυματάνυσμα του κύματος, λ το μήκος κύματος και u, v τα πλάτη λ των ταλαντώσεων των ατόμων και, αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας τις Εξ.(7) στις Εξ. (6), λαμβάνουμε το παρακάτω αλγεβρικό σύστημα εξισώσεων ( ω ) u [ k ] v [ ] ( ω ) + ep( ) =. (8) + ep( k) u + v = Καθώς το παραπάνω σύστημα εξισώσεων είναι ομογενές, για να έχει λύση πέρα από την τετριμμένη [ u = v = ], θα πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών του να είναι μηδέν, δηλαδή η οποία δίνει το πολυώνυμο τετάρτου βαθμού Οι ρίζες του παραπάνω πολυωνύμου είναι [ ] ω + ep( k) det =, [ + ep( k) ] ω ( ) ω [ ] ω + + cos( k) =. (9) 4 4 k ω ( k) = + ± + s, () όπου από τις παραπάνω λύσεις δεχόμαστε μόνο τις θετικές τιμές της κυκλικής συχνότητας ω. Καθεμία από τις τιμές του ω μας δίνει μία τιμή με ω ( k) >. Συμβολίζουμε με ω+ ( k), ω ( k) τις δύο τιμές του ω ( k). Συγκεκριμένα, 4 k ω+ ( k) = s () 4 k ω ( k) = + + s. Παρατηρούμε, ότι η σχέση διασποράς ω = ω( k) έχει δύο κλάδους, οι οποίοι αντιστοιχούν στις δύο σχέσεις ω = ω + ( k) και ω = ω ( k) με ω+ ( k), ω ( k) >. Και οι δύο παραπάνω κλάδοι για = 3 απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα, εντός της ΖΒ, δηλαδή π π k <. 69

5 οπτικός κλάδος ω ακουστικός κλάδος -π/ k π/ Ο κλάδος ω = ω ( k) ονομάζεται ακουστικός κλάδος, ενώ ο κλάδος ω = ω + ( k) ονομάζεται οπτικός κλάδος (βλέπε παραπάνω σχήμα). Η ειδοποιός διαφορά τους έγκειται στη συμπεριφορά τους, στο όριο k, δηλαδή, πρακτικώς, στο όριο του μεγάλου μήκους κύματος: k <<. Σε αυτό το όριο, λοιπόν, λαμβάνουμε k 4 ω ( k) ( k) ( + ) ω ( k) k, ( + ) όπου κάναμε χρήση των προσεγγιστικών τύπων s( ), +. Επίσης, για τον οπτικό κλάδο αποδεικνύεται, ότι στο όριο μεγάλου μήκους ( k << ) ω + ( k) = + ( k) 8 + Για k << ο ακουστικός κλάδος δίνει μια γραμμική εξάρτηση της κυκλικής συχνότητας ω από το κυματάνυσμα k και περιγράφει τη διάδοση ενός ακουστικού κύματος σε ένα ομοιογενές μέσο, με ταχύτητα ήχου. 7

6 c ήcου ω ( k) = k ( + ). () Πρόβλημα 3 Δείξτε, ότι σε μια διατομική αλυσίδα, αποτελούμενη από άτομα με εναλλασσόμενες μάζες και Μ και συνδεδεμένα με ελατήρια σταθεράς (βλέπε σχήμα προβλήματος ), το πηλίκο των μετατοπίσεων των δυο διαφορετικών ατόμων στην ίδια κυψελίδα, για το μέσο της ΖΒ (k=) και για τον οπτικό κλάδο, είναι ίσο με. Επίσης, δείξτε, ότι στο άκρο της ΖΒ π k m =, τα δύο υποπλέγματα, τα οποία αντιστοιχούν στα δύο είδη μαζών και Μ, δρουν ανεξάρτητα μεταξύ τους: το ένα κινείται, ενώ το άλλο παραμένει ακίνητο. Λύση Στο μέσο της ΖΒ, k=, η συχνότητα του οπτικού κλάδου δίνεται από την πρώτη των Εξ.() Επίσης, οι Εξ.(8) για k= γράφονται ω = = + + ( k ). ω ( k ) u v + = = u + ω k = v = + ( ) + u v =. u + + v = Λύνοντας ως προς u v ότι, είτε την πρώτη είτε τη δεύτερη του παραπάνω συστήματος βρίσκουμε, u v =. Υποθέτουμε, τώρα, ότι >, χωρίς βλάβη της γενικότητας. Για το δεξί άκρο της ΖΒ, π k =, έχουμε δύο τιμές της κυκλικής συχνότητας ω, μία για κάθε κλάδο της σχέσεως διασποράς ω = ω( k), π ω = ω ( k = ) = και π ω = ω+ ( k = ) =, 7

7 π οι οποίες προέκυψαν, θέτοντας k = στις σχέσεις (). Λύνοντας ως προς u v και v u την πρώτη και δεύτερη των Εξ.(8) αντίστοιχα, έχουμε [ ep( k) ] u + = v ω. v [ + ep( k) ] = u ω π π Για ω = ω + ( k = ) = και k =, μόνο, η πρώτη των παραπάνω εξισώσεων έχει νόημα, δίνοντας u v =, οπότε το υποπλέγμα των μαζών Μ παραμένει ακίνητο (u=) και κινείται, μόνο, το υποπλέγμα των μαζών Μ. π π Αντίστοιχα, για ω = ω ( k = ) = και k =, μόνο η δεύτερη των παραπάνω εξισώσεων έχει νόημα, δίνοντας v u =. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι το υποπλέγμα των μαζών Μ, το οποίο παραμένει ακίνητο (v=), ενώ κινείται, μόνο, το υποπλέγμα των μαζών Μ. Πρόβλημα 4 Υπολογίστε τις σχέσεις διασποράς φωνονίων ω = ω( k) για ένα μονοδιάστατο (Δ) κρύσταλλο πλεγματικής σταθεράς, αποτελούμενο από όμοια άτομα μάζας, τα οποία συνδέονται εναλλάξ με ελατήρια σταθερών και (βλέπε το παρακάτω σχήμα). Σχεδιάστε τη σχέση διασποράς που υπολογίσατε εντός της πρώτης ζώνης Brllou (ΖΒ) και σχολιάστε την. Βρείτε τη μορφή της σχέσεως διασποράς στο όριο του μεγάλου μήκους κύματος, k. Λύση Στο παραπάνω σχήμα απεικονίζεται μια ατομική αλυσίδα (Δ ατομικό πλέγμα) πλεγματικής σταθεράς, αποτελούμενη από άτομα ίδιας μάζας Μ, τα οποία αλληλεπιδρούν με ελατήρια 7

8 διαφορετικών σταθερών ελατηρίου και, με τους πλησιέστερους γείτονές τους. Έτσι η μοναδιαία κυψελίδα αποτελείται από δύο άτομα τύπου Α και Β, όπου τα τύπου Α (Β) αλληλεπιδρούν με το γειτονικό άτομο στα αριστερά (δεξιά) τους, με ελατήριο ( ) και με το άτομο στα δεξιά τους, με ελατήριο ( ). Το ανάστροφο πλέγμα είναι, επίσης, ένα Δ πλέγμα πλεγματικής σταθεράς π.έστω uv, οι μετατοπίσεις των ατόμων τύπου Α και Β σε μια κυψελίδα. Λαμβάνοντας υπόψη αλληλεπιδράσεις πλησιέστερων γειτόνων, ένα άτομο μάζας τύπου A της -οστής κυψελίδας, δέχεται μια ελαστική δύναμη ( u v + ) από το άτομο, στα δεξιά του [άτομο τύπου Β της ( + ) -οστής κυψελίδας] και ( ) u v από το άτομο, στα αριστερά του [άτομο τύπου Β της -οστής κυψελίδας]. Έτσι, η εξίσωση κίνησης του ατόμου τύπου Α της -οστής κυψελίδας γράφεται du = ( u v+ ) ( u v) du ( ) = + u + v + + v. (3) Αντίστοιχα, ένα άτομο μάζας τύπου Β της -οστής κυψελίδας, δέχεται μια ελαστική δύναμη ( ) v u από το άτομο, στα δεξιά του [άτομο τύπου Α της -οστής κυψελίδας] και ( v u ) από το άτομο, στα αριστερά του [άτομο τύπου Α της ( ) -οστής κυψελίδας]. Έτσι, η εξίσωση κίνησης του ατόμου τύπου Α της -οστής κυψελίδας γράφεται du = ( v u) ( v u ) du ( ) = + v + u + u. (4) Έχουμε, λοιπόν, να επιλύσουμε το παρακάτω σύστημα διαφορικών εξισώσεων du du ( ) = + u + v + + v. (5) ( ) = + v + u + u Αναζητούμε λύσεις της μορφής επιπέδων κυμάτων ( ω ) ( ω ) u( t) = uep k t, (6) v( t) = v ep k t π όπου k = είναι το Δ κυματάνυσμα του κύματος, λ το μήκος κύματος και u, v τα πλάτη λ των ταλαντώσεων των ατόμων τύπου Α και Β, αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας τις Εξ.(6) στις Εξ. (5), λαμβάνουμε το παρακάτω αλγεβρικό σύστημα εξισώσεων ( ω ) + v [ + ep( k)] u =, (7) [ + ep( k)] v+ + u = ( ω ) 73

9 Καθώς το παραπάνω σύστημα εξισώσεων είναι ομογενές, για να έχει λύση πέρα από την τετριμμένη [ u = v = ], θα πρέπει η ορίζουσα των συντελεστών του να είναι μηδέν, δηλαδή + ω [ + ep( k)] det =, [ + ep( k)] ( + ω ) η οποία έχει λύσεις τις + ± + + cos( k) ω ( k) =, (8) όπου από τις παραπάνω λύσεις δεχόμαστε, μόνο, τις θετικές τιμές της κυκλικής συχνότητας ω. Καθεμία από τις τιμές του ω μας δίνει μία τιμή με ω ( k) >. Παρατηρούμε, ότι η σχέση διασποράς ω = ω( k) έχει δύο κλάδους, οι οποίοι αντιστοιχούν στα δύο διαφορετικά πρόσημα της Εξ.(8). Και οι δύο παραπάνω κλάδοι για = 3 απεικονίζονται στο παρακάτω σχήμα, π π εντός της ΖΒ, δηλαδή, k <. ω -π/ k π/ Πρόβλημα 5 Υπολογίστε τις σχέσεις διασποράς για διαμήκη και εγκάρσια φωνόνια, κατά μήκος της διεύθυνσης [] ενός κρυστάλλου cc, τα άτομα του οποίου συνδέονται μέσω ελατηρίων, με τους κοντινότερους γείτονές τους. Λύση Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζονται δύο διαδοχικές μοναδιαίες κυψελίδες ενός κρυστάλλου cc, καθώς και οι δεσμοί ενός ατόμου με τους πλησιέστερους γείτονές του. 74

10 Οι θέσεις των πλησιέστερων (πρώτων) γειτόνων συμβολίζονται με R, ενώ το κεντρικό άτομο της παραπάνω εικόνας βρίσκεται στην αρχή των αξόνων R = (,,). Έστω ˆ το μοναδιαίο διάνυσμα στη διεύθυνση του R. Υποθέτουμε, ότι κάθε άτομο δέχεται ελαστική δύναμη από κάθε πλησιέστερο γείτονα (κάθε άτομο είναι συνδεδεμένο με ελατήρια, με καθένα από τους γείτονές του). Η παραμόρφωση (επιμήκυνση ή συσπείρωση) του ελατηρίου είναι ίση με τη διαφορά των μετατοπίσεων, μεταξύ του κεντρικού και του -οστού ατόμου, προβαλλόμενη στη διεύθυνση του ελατηρίου ˆ, ( ) u u, ˆ όπου u η μετατόπιση του κεντρικού ατόμου και u η μετατόπιση του -οστού πλησιέστερου γείτονα. Η δύναμη F η οποία ασκείται από τον -οστό γείτονα στο κεντρικό άτομο, βρίσκεται πάνω στη διεύθυνση του ελατηρίου (δηλαδή τη διεύθυνση του ˆ ) και είναι ανάλογη της παραμόρφωσης του ελατηρίου, δηλαδή ( ) F ˆ ˆ = u u. Οι συνιστώσες της F κατά τους άξονες z,, θα γράφονται ˆ ˆ ˆ z F = F, F = F, Fz = F, z όπου ˆ ˆ = το μοναδιαίο στη διεύθυνση, ˆ ˆ =, στη διεύθυνση, κ.ο.κ. Έχουμε, ˆ F [ ˆ ] ˆ = ( u u ) = ˆ = ( ˆ ˆ ˆ ) ( ) ( ˆ ˆ ˆ + + z u u + + z ) ˆ ˆ ˆ ˆ + + z ( ) ( ) z ( z z ) = u u + u u + u u F = ( u u ) + ( u u ) + z ( u ) z u z 75

11 όπου χρησιμοποιήσαμε την ορθοκανονικότητα των ˆ, ˆ, ˆ z : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = z = z =. = = = z Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε τις άλλες δύο συνιστώσες της F, F = ( u u ) + ( u u ) + z ( uz uz ), Fz = z ( u u ) + z ( u u ) + z ( uz uz ) Στον παρακάτω πίνακα παραθέτουμε τις συνιστώσες των δυνάμεων, τις οποίες ασκούν οι πλησιέστεροι γείτονες στο κεντρικό άτομο: R ( ˆ + ˆ) ( ˆ + ˆ) ( ˆ + ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ + ˆ) ( u u ) + ( u u ) ( + ) F ˆ ˆ z z u u + u u ˆ + ˆ 3 3z z u u + u u ˆ + ˆ z 4 4 u u u u ˆ ˆ 5 5 u u u u ˆ ˆ z ( ) ( ) ( ) z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ) ˆ ˆ 6 6 ( u u ) + ( u u ) ( + ) ( ˆ ˆ) ( ˆ + ˆ) ˆ ˆ 7 7z z z u ˆ ˆ 8 u u8z uz + z z ( u u ) ( u u ) ( ) z ( ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ) ˆ ˆ 9 9z z z z ( u u ) + ( u u ) ( + ) ( ˆ ˆ) ( ˆ + ˆ) ˆ ˆ z z z u ˆ ˆ u uz u z z z ( u u ) ( u u ) ( ) z ( ) ( ) ( ) ( ˆ ˆ) ˆ ˆ z z z z ( u u ) + ( u u ) ( + ) Προσθέτοντας όλες τις δυνάμεις που ασκούνται από τους πρώτους γείτονες, στο κεντρικό άτομο, προκύπτει η εξίσωση κίνησης ( ος νόμος Νεύτωνα) του κεντρικού ατόμου για τη διεύθυνση 76

12 mω u F F F F = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) mω u u u u u u u uz uz u4 u u4 u ( u u ) ( u u ) ( u u ) ( u u ) ( u u ) ( u u ) z z ( u u ) ( u u ) ( u u ) ( u u ) _ 8 8z z z. Το θεώρημα του Bloch μας δίνει, ότι u ep( ) = u k R. Ο παρακάτω πίνακας μας δίνει το αποτέλεσμα της εφαρμογής του θεωρήματος του Bloch, για καθένα από τους πλησιέστερους γείτονες ενός ατόμου πλέγματος cc u ep( ) = u k R u ep ( ) / = u k + k u = u ep [ k ( ) / + kz ] 3 u ep ( ) / 3 = u k + kz 4 u ep ( ) / 4 = u k k 5 u ep ( ) / 5 = u k + k 6 u ep ( ) / 6 = u k + k 7 u7 = u ep [ k ( ) / kz ] 8 u8 = u ep [ ( k ) / + kz ] 9 u9 = u ep [ k ( ) / + kz ] u ep ( ) / = u k kz u ep ( ) / = u k + kz u ep ( ) / = u k + kz Αντικαθιστώντας τις τιμές του παραπάνω πίνακα για τις μετατοπίσεις u, u,, u στην Εξ. (), λαμβάνουμε, mω + cos( k / + k /) + cos( k / + k z /) + cos( k / k /) + cos( k / k z /) 8]} u () + cos( k / + k /) cos( k / k /) u + cos( k/ + k/) cos( k/ k/) u =. [ ] z z z Κάνοντας τις αντικαταστάσεις, z, z, βρίσκουμε την εξίσωση κίνησης για τη διεύθυνση () 77

13 cos( / /) cos( / /) mω + k + k + k + k z ]} + cos( k/ k/) + cos( k/ k/) 8 u z + cos( k/ + k/) cos( k/ k/) u, (3) + cos( k / + k z /) cos( k / k z /) uz = ενώ με τις αντικαταστάσεις z, z, στην Εξ.(), βρίσκουμε την εξίσωση κίνησης στη διεύθυνση z cos( / /) cos( / /) mω + k z + k + k z + k + cos( k/ k/) + cos( k/ k/) 8 u z z z + cos( k z / + k /) cos( k z / k /) u + cos( k/ + k/) cos( k/ k/) u =. [ ] z z ]} (4) Θέλουμε να υπολογίσουμε τη σχέση διασποράς κατά μήκος της διεύθυνσης []. Αυτό σημαίνει, ότι θα υπολογίσουμε τις σχέσεις διασποράς για τα σημεία της ΖΒ που ικανοποιούν τις παρακάτω k = kz = π. (5) k < Από τις Εξ.() και (5), προκύπτει ο διαμήκης ακουστικός (LA) κλάδος της σχέσης διασποράς κατά μήκος της διεύθυνσης [] k ω = cos m, (6) 4 ενώ τόσο οι Εξ.(3) και (5), όσο και οι Εξ.(4) και (5), δίνουν την ίδια σχέση διασποράς, η οποία αντιστοιχεί στο διπλά εκφυλισμένο εγκάρσιο ακουστικό (TA) κλάδο της σχέσεως διασποράς, κατά μήκος της [] k ω = cos m. (7) Οι σχέσεις διασποράς (6) και (7) απεικονίζονται στην παρακάτω γραφική παράσταση 78

14 ω LA m TA m Γ (k=) k Χ (k=π/) Πρόβλημα 6 Σε μία Δ περιοδική αλυσίδα πλεγματικής σταθεράς, τα σώματα (άτομα) έχουν μάζα m και συνδέονται με τους πλησιέστερους γείτονές τους, με ελατήρια σταθεράς. Επιπρόσθετα, στις ελαστικές δυνάμεις, σε κάθε σώμα ασκείται μια δύναμη αντίστασης FD = Γ u, όπου u η απομάκρυνση του -οστού σώματος από τη θέση ισορροπίας και u η αντίστοιχη ταχύτητα. Πώς επηρεάζει τη σχέση διασποράς των φωνονίων ω = ω( k) η εισαγωγή μιας δύναμης απωλειών (αντίστασης); Λύση Στο παραπάνω σχήμα απεικονίζεται μια Δ ατομική αλυσίδα, αποτελούμενη από ένα άτομο, ανά κυψελίδα. Θεωρούμε αλληλεπιδράσεις πλησιέστερων γειτόνων, το -οστό άτομο της αλυσίδας δέχεται ελαστική δύναμη ( u u + ) από το άτομο, στα δεξιά του και ( u u ) από το άτομο, στα αριστερά του. Επίσης, λαμβάνουμε υπόψη και τη δύναμη αντίστασης πάνω σε κάθε σώμα (άτομο). Η εξίσωση κίνησης του -οστού ατόμου θα γράφεται d u du = ( u u ) ( u u+ ) Γ d u du = [ u u u+ ] Γ. () Αναζητούμε λύσεις της μορφής επιπέδων κυμάτων Bloch ( ) u ( ) ep t = u k ωt, () 79

15 π όπου k = είναι το Δ κυματάνυσμα του κύματος, λ το μήκος κύματος και u το πλάτος της λ ταλάντωσης. Αντικαθιστώντας την Εξ. () στην (), λαμβάνουμε ( ) [ ] ( ) ( ) = cos( k) ωγ ep ( k ωt), ω ep k ωt = ep( k) ep( k) ep k ωt + ωγep k ωt η οποία δίνει, τελικά, τη σχέση διασποράς Γ 4 s k Γ ω = ±, (3) όπου χρησιμοποιήσαμε την ταυτότητα cos( ) = s. Από την Εξ.(3) παρατηρούμε τα εξής: Γ (α) Οι συχνότητες των φωνονίων ω είναι μειωμένες κατά, σε σχέση με τις συχνότητες, με την απουσία δυνάμεων αντίστασης. (β) Οι συχνότητες των φωνονίων είναι, τώρα πια, μιγαδικές ποσότητες με φανταστικό μέρος Γ ίσο με. Αυτό σημαίνει, ότι τα φωνόνια δεν είναι πια ιδιοκαταστάσεις της αλυσίδας με άπειρο χρόνο ζωής, αλλά φθίνουν με χαρακτηριστικό χρόνο τ =. Στο παρακάτω Γ σχήμα απεικονίζονται οι σχέσεις διασποράς για =.5 και για διάφορες τιμές των απωλειών Γ. ω Γ/Μ= Γ/Μ=. Γ/Μ=.5 Γ/Μ=. k 8

16 Πρόβλημα 7 Υπολογίστε την ιδιοσυχνότητα μίας Δ γραμμικής αλυσίδας ατόμων, η οποία περιέχει μια σημειακή ατέλεια (ισότοπο) διαφορετικής μάζας Μ από τα υπόλοιπα άτομα, τα οποία έχουν μάζα m. Υποθέστε, ότι η σημειακή ατέλεια καταλαμβάνει την πλεγματική θέση =, ενώ οι μετατοπίσεις των ατόμων στην αλυσίδα περιγράφονται από τη (δοκιμαστική) συνάρτηση u ep ( ) = u k ω ωt, όπου u η μετατόπιση του ατόμου στη θέση. Τα άτομα συνδέονται με τους πλησιέστερους γείτονές τους, με ελατήρια σταθεράς (βλέπε παρακάτω σχήμα). Λύση Οι εξισώσεις κίνησης του Νεύτωνα για την ατέλεια (=), καθώς και για τις δύο γειτονικές της είναι ή στη γενική περίπτωση Δοκιμάζουμε τη λύση της μορφής στις Εξ. (). Έχουμε du du du ( ) m = u u + u ( ) = u u + u ( ) m = u u + u du ( + ), για m = u u + u. ( ω ) ( ω ), () u = u ep k t, για >, () u = u ep k t, για < [ ] [ ep( ) ep( )], για [ ] mω ep( k) = ep( k) ep( k) + ep( k), για > ω = k + k =, ep( ) ep( ) ep( ) ep( ), για mω k = k k + k < 8

17 Οι παραπάνω εξισώσεις καταλήγουν σε σύστημα δύο εξισώσεων οι οποίες έχουν λύση [ ] [ ep( ) ep( )] ω = ep( k) = mω k k, m/ ω = m / m και m k = l. (3) Η συχνότητα ω ως συνάρτηση του πηλίκου m απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα, όπου ω =. 5 ω/ω /m Για να σχεδιάσουμε την παραπάνω γραφική παράσταση, ακολουθήσαμε την παρακάτω μελέτη, όπου διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις για τη συχνότητα ω: (α) Για > m, η συχνότητα ω είναι φανταστική και το k είναι πραγματικό και αρνητικό. Αυτό σημαίνει, ότι η δοκιμαστική συνάρτηση u ep = u k ωt δεν είναι λύση, αφού αυξάνεται εκθετικά με την απόσταση (με το ). (β) Για < m, η συχνότητα ω είναι πραγματική και το k είναι μιγαδικό. Αυτό σημαίνει, ότι η δοκιμαστική συνάρτηση u ep = u k ωt έχει ταλαντωτική συμπεριφορά (ως προς το χρόνο). Μένει να δούμε τη συμπεριφορά της στο χώρο. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα l( ) = π + l( ), μπορούμε να γράψουμε για το k 8

18 m k = π + l. Από την παραπάνω σχέση βρίσκουμε, ότι () Για m< < m, το Re( k ) είναι αρνητικό και η δοκιμαστική συνάρτηση αυξάνεται εκθετικά με την απόσταση (με το ). Επομένως, δεν αποτελεί λύση του προβλήματος. () Για < m, το Re( k ) είναι θετικό και επομένως, η δοκιμαστική συνάρτηση είναι αποδεκτή ως λύση, αφού εμφανίζει μια ταλαντωτική συμπεριφορά. Επίσης, το πλάτος της συνάρτησης φθίνει εκθετικά με την απόσταση, από τη σημειακή ατέλεια. Συνοψίζοντας, η δοκιμαστική συνάρτηση u, η οποία μελετήθηκε παραπάνω, αποτελεί λύση του προβλήματος, μόνο όταν < m. Πρόβλημα 8 Θεωρήστε έναν κβαντικό αρμονικό ταλαντωτή με την παρακάτω Χαμιλτονιανή p H = + ω, όπου Μ η μάζα, ω η συχνότητα, p η ορμή και η θέση του αρμονικού ταλαντωτή. Οι τελεστές θέσης και ορμής ικανοποιούν τη σχέση αντιμετάθεσης [ p, ] καταστροφής και δημιουργίας ορίζονται, αντίστοιχα, από τις σχέσεις =. Οι τελεστές ω = + p ω ω = ω p. (α) Υπολογίστε τον αντιμεταθέτη,. (β) Δείξτε, ότι η Χαμιλτονιανή μπορεί να γραφεί ως H= ω +. (γ) Με συμβολίζουμε την κανονικοποιημένη ιδιοκατάσταση με ενέργεια E ω = +. Δείξτε, ότι = + + και =. Λύση (α) Έχουμε, = = ω ω ω ω = + p p p + p ω ω ω ω = [ p p p + p] = ( p p) = [ p, ] = = (β) Είναι 83

19 ω ω ω + = ω p + p + ω ω ω p = ω + + ( p p) + ω ω p ω = ω p = + ω = H. (γ) Βρίσκουμε το μέτρο του τελεστή. Είναι H = = + = + ω E ω( + / ) = + = + = + ω ω, () όπου χρησιμοποιήσαμε την κανονικοποίηση των ιδιοκαταστάσεων =, καθώς και την H = E = ω( + ). Από την τελευταία των Εξ.() βρίσκουμε, τελικά, ότι = + ή = + +. Με όμοιο τρόπο = H E / / ω ω = ή =. 84

20 Βιβλιογραφία Στα Ελληνικά: [] H. Ibch και H. Lüth, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη, ). [] C. Kttel, Εισαγωγή στη Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ. Πνευματικού, 979). [3] N. W. Ashcrot και N. D. erm, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Γ. Πνευματικού, ). [4] R. Lev, Αρχές της Φυσικής Στερεάς Καταστάσεως, (Εκδόσεις Γ. Πνευματικού, 968). [5] Ε. Ν. Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος Ι), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 997). [6] Ε. Ν. Οικονόμου, Φυσική Στερεάς Κατάστασης (Τόμος ΙΙ), (Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 3). [7] Α. Μοδινός, Εισαγωγή στην Κβαντική Θεωρία της Ύλης, (Εκδόσεις Παπασωτηρίου, Αθήνα, 994). [8] Σ. Η. Παπαδόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Τόμος Ι), (Εκδόσεις Ε.Μ.Π., Αθήνα, 4). [9] Π. Βαρώτσος και Κ. Αλεξόπουλος, Φυσική Στερεάς Κατάστασης, (Εκδόσεις Σαββάλα, Αθήνα, 995). [] Κ. Παρασκευαΐδης, Σημειώσεις του μαθήματος «Φυσική της Συμπυκνωμένης Ύλης», (Ε.Μ.Π., Αθήνα, 3). Ξενόγλωσσα: []. P. rder, Codesed tter Phscs, (Wle, New Jerse, ). [] H. E. Hll, Sold Stte Phscs, (Wle, Brstol, 974). [3] J.. Zm, Prcples o the Theor o Solds, (Cmbrdge, Cmbrdge, 964). [4] H. J. Goldsmd, (ed.), Problems Sold Stte Phscs, (Po Lmted, Lodo, 968). [5] V.. Agrovch d A. A. rdud (eds.), oder Problems Codesed tter Sceces, (Elsever, Amsterdm, 989). [6] A. L. Ivov d S. G. Tkhodeev (eds.), Problems o Codesed tter Phscs, (Oord, Oord, 8). [7] A. Rgmot d P. Crett, Structure o tter, (Sprger, l, 9). Λέξεις-κλειδιά ος νόμος του Νεύτωνα ακουστικός κλάδος ανάστροφο πλέγμα δυναμική πλέγματος ευθύ πλέγμα ζώνες Brllou θεώρημα του Bloch κβαντικός αρμονικός ταλαντωτής κυματάνυσμα οπτικός κλάδος πολυώνυμο συστήματα γραμμικών ταλαντωτών υποπλέγμα φωνόνια Χαμιλτονιανή 85