ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73"

Transcript

1 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.. Εισαγωγή Στο παρόν κεφάλαιο θα μελετηθούν οι ελεύθερες ταλαντώσεις συστημάτων που περιγράφονται με περισσότερους του ενός Β.Ε. Το πλήθος των Δ.Ε. που περιγράφουν αυτές τις ταλαντώσεις είναι ίσο προς το πλήθος των Β.Ε. του συστήματος και οι Δ.Ε. είναι ομογενείς γραμμικές δεύτερης τάξης. Η γενική λύση τους ονομάζεται ομογενής λύση και εκφράζει τις ελεύθερες ταλαντώσεις του συστήματος. Εάν συνδυασθεί με ένα σετ αρχικών συνθηκών τότε θα μετατραπεί σε ειδική (partcular) λύση και θα ισχύει μόνο για τις συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες. Ο προσδιορισμός των ελευθέρων ταλαντώσεων του συστήματος απαιτεί γνώσεις γραμμικής άλγεβρας αφού εμπλέκονται συνεχώς οι τρεις πίνακες που είδαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο 47. Για όλο το παρόν κεφάλαιο οι πίνακες αυτοί θεωρούνται συμμετρικοί και η θεώρηση αυτή διευκολύνει σημαντικά την αντιμετώπιση του προβλήματος από μαθηματική άποψη. 4.. Το πρόβλημα των ιδιοτιμών και ιδιομορφών Η σχέση (3.6) του προηγούμενου κεφαλαίου μπορεί να γραφεί ως: (N) (4.) { x} [ K]{ x} {0} και θα εκφράζει την ελεύθερη και απουσία απόσβεσης ταλάντωση ενός συστήματος Β.Ε. Η κάθε μάζα m (Kg) του συστήματος θα ταλαντώνεται με ένα πλάτος (m) και με βάση μία χρονική συνάρτηση. Η συνάρτηση αυτή θεωρείται ως κοινή για όλες τις γενικευμένες συντεταγμένες ενώ επιπλέον θεωρείται ότι η ελεύθερη X 47 Οι πίνακες μαζών, στιβαρότητας και απόσβεσης. Ο προσδιορισμός των πινάκων αυτών μπορεί να γίνει με μεθόδους που αναπτύχθηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο.

2 74 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ταλάντωση γίνεται με μία και μόνο συχνότητα. Έτσι η υποτιθέμενη λύση για κάθε μία γενικευμένη συντεταγμένη θα είναι: x () t ωt X e (4.) Εάν πάρουμε δυο τυχαίες μάζες του συστήματος π.χ. τις και τότε ο λόγος των μετατοπίσεων x () t /() x t είναι ποσότητα ανεξάρτητη του χρόνου και συνάρτηση μόνο του λόγου των πλατών ταλάντωσης X / X. Εάν σχηματίσουμε ένα διάνυσμα { X} με τα πλάτη ταλάντωσης όλων των μαζών, τότε έχουμε το μορφικό σχήμα (mode shape) ή φυσική μορφή του συστήματος που σχετίζεται με το διάνυσμα των μετατοπίσεων 48 ως εξής: { x} { X} e ωt (4.3) Οι τιμές του ω για τις οποίες η σχέση (4.3) αποτελεί λύση της (4.) ονομάζονται φυσικές συχνότητες του συστήματος και κάθε μία φυσική συχνότητα αντιστοιχεί σε τουλάχιστον μία φυσική μορφή. Αυτό σημαίνει ότι η γενική λύση της (4.) θα είναι η γραμμική υπέρθεση όλων των μορφών. Με αντικατάσταση της (4.3) στην (4.) θα προκύψει: ωt και επειδή e 0 θα είναι: ωt ω { Χ } { Χ } e {0} (N) (4.4) ω { Χ } {0} (N) (4.5) Εάν υποθέσουμε ότι υπάρχει ο αντίστροφος του πίνακα μαζών τότε: [ K] ω [ I ] { Χ } {0} (N) (4.6) όπου [ I] είναι ένας () μοναδιαίος πίνακας. Η ανωτέρω σχέση εκφράζει ένα σύστημα ομογενών γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων με αγνώστους τα στοιχεία της μορφής { X }. Με εφαρμογή της μεθόδου του Cramer για το τυχαίο πλάτος X,,,..., προκύπτει ότι: X 0 det [ ] [ ] [ ] M K ω I (4.7) Επομένως για να υπάρχει λύση άλλη της τετριμμένης θα πρέπει 48 Βλ. σχετικά στο προηγούμενο κεφάλαιο, ενότητα 3.4.

3 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 75 det [ K] ω [ I ] 0 (4.8) και επομένως οι τιμές των ιδιοτιμές (egevalues) του πίνακα ω για τις οποίες επαληθεύεται η (4.8) θα είναι οι [ K]. Για κάθε μία ιδιοτιμή που θα αντικαθίσταται στην (4.6) θα προκύπτει μια μη τετριμμένη λύση για την μορφή { X} που ονομάζεται ιδιομορφή (egemode) ή ιδιοδιάνυσμα (egevector). Η εξίσωση (4.8), στην πλήρως ανεπτυγμένη της μορφή, είναι γνωστή ως χαρακτηριστική εξίσωση συχνοτήτων. Μπορεί να επιλυθεί ως προς οι Β.Ε. του συστήματος θα προκύψουν λύσεις για το ω και εάν είναι ω. Για κάθε τέτοια λύση μπορεί κανείς να πάρει την θετική και την αρνητική τιμή της τετραγωνικής ρίζας. Η θετική τιμή αποτελεί τιμή φυσικής συχνότητας του συστήματος και μαζί με την αρνητική χρησιμοποιούνται για τον προσδιορισμό τόσο της γενικής όσο και της ειδικής λύσης του προβλήματος της ελεύθερης ταλάντωσης. Η σχέση (4.5) μπορεί να γραφεί διαφορετικά εάν τα δύο μέλη της διαιρεθούν με ω και - εφόσον μπορούν να ορισθούν και οι δύο πίνακες [ A] και [ K] - θα γίνει: [ A] [ I ] { Χ } {0} ω (4.9) Ο πίνακας [ D] [ A] [ K] ονομάζεται δυναμικός πίνακας του συστήματος. Εάν λ / ω, τότε η σχέση (4.9) γράφεται ως εξής: [ D] λ[ I ] { Χ } {0} (4.0) και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την διατύπωση της χαρακτηριστικής εξίσωσης συχνοτήτων. Η τελευταία μπορεί να επιλυθεί ως προς λ και εάν είναι οι Β.Ε. του συστήματος θα προκύψουν λύσεις. Όπως οι τιμές των ω είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα πίνακα [ D ]. [ K] έτσι και οι τιμές των λ θεωρούνται ιδιοτιμές του δυναμικού Έστω ότι έχουν προσδιορισθεί οι ιδιοτιμές ( egevalues) του πίνακα [ K]. Τότε μπορούν να προσδιορισθούν φυσικές συχνότητες ω, ω,..., ω που μπορούν να διαταχθούν κατά αύξουσα σειρά ω ω... ω. Για κάθε μία φυσική συχνότητα που θα αντικαθίσταται στην (4.6) θα προκύπτει μια μη τετριμμένη λύση για την μορφή 49 { X} που θα έχει την μορφή: 49 Οι λέξεις «ιδιομορφή» ή «ιδιοδιάνυσμα» μπορούν να χρησιμοποιούνται εναλλακτικά αν και δεν έχουν ακριβώς την ίδια σημασία.

4 76 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ { X } { X X... X } (4.) όπου ο δείκτης σημαίνει γενικά «ανάστροφο διάνυσμα». Επομένως μπορούμε να πάρουμε διαφορετικά τέτοια διανύσματα από την (4.6) με την προϋπόθεση ότι δεν έχουμε επαναλαμβανόμενες ιδιοτιμές από την επίλυση της (4.8). Η παραπάνω λύση δεν είναι μοναδική επειδή το σύστημα των εξισώσεων είναι ομογενές (βλ. σχέση (4.6)). Τα στοιχεία του κάθε διανύσματος μπορούν να εκφρασθούν με κάποιο κανονικοποιημένο τρόπο π.χ. συναρτήσει του πλάτους κάποιας από τις μάζες 50. Εύκολα λοιπόν συμπεραίνει κανείς ότι η τιμή των στοιχείων αυτών είναι σχετική με την έννοια ότι εξαρτάται από την τιμή που θα δώσει κανείς στο στοιχείο-διαιρέτη 5. Παρά όμως αυτή τη σχετικότητα, οι τιμές των λόγων ανάμεσα στα πλάτη είναι σταθερές και αυτό έχει μεγάλη αξία γιατί δείχνει τον τρόπο ταλάντωσης του συστήματος ανεξάρτητα από τις συγκεκριμένες τιμές των πλατών (που προσδιορίζονται τελικά από τις αρχικές συνθήκες του προβλήματος). ΑΣΚΗΣΗ 9 Για το σύστημα του σχήματος ζητούνται οι ιδιοτιμές, οι φυσικές συχνότητες στρεπτικής ταλάντωσης, τα μορφικά σχήματα και οι ιδιομορφές. Οι σταθερές ελατηρίου των τμημάτων της κυλινδρικής ράβδου καθώς και οι αδράνειες J J, J J, ). θεωρούνται ως δεδομένες ( θ J J Σχήμα Α.9.. Ελεύθερη στρεπτική ταλάντωση συστήματος δυο βαθμών ελευθερίας. ΛΥΣΗ: Οι Διαφορικές Εξισώσεις που περιγράφουν τη ελεύθερη στρεπτική ταλάντωση του συστήματος προκύπτουν εύκολα και είναι: 50 Συνήθως της πρώτης. 5 Συνήθως λαμβάνεται ίση προς.

5 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 77 όπου: J θ K θ 0 (Nm) (Α.9.) J είναι ο πίνακας των αδρανειών και J 0 0 J 0 J 0 (Kgm ) (Α.9.) K ο πίνακας στιβαρότητας ενώ θ (m/sec ) και { θ } γωνιακών επιταχύνσεων και μετατοπίσεων αντίστοιχα. Για το σύστημα αυτό η χαρακτηριστική εξίσωση θα είναι: det [ K] [ ] 0 (Nm/rad) (Α.9.3) (m) είναι τα διανύσματα των J ω (Α.9.4) που στην πλήρη της μορφή θα είναι: J ω Jω (Α.9.5) και με τη λύση της θα δώσει τις δύο ιδιοτιμές του συστήματος: ω, 5 7 (Α.9.6) Από την παραπάνω σχέση προκύπτουν και οι δύο φυσικές συχνότητες του συστήματος που είναι: ω ω , (rad/sec) J J Σύμφωνα με την σχέση (4.5) θα είναι: (A.9.9) όπου { Θ} { } Θ Θ είναι το μορφικό σχήμα Από την παραπάνω σχέση και για [ J ] ω { Θ} {0} (Α.9.8) προκύπτει: 0 Θ 0 J ω 0 Θ 0 (Α.9.9) Εάν πάρουμε τη πρώτη από τις παραπάνω σχέσεις θα είναι:

6 78 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Jω Θ Θ 0 (Α.9.0) και άρα: Θ Jω (rad) (Α.9.) Θ Επομένως, εάν θεωρηθεί επιπλέον ότι Θ η πρώτη ιδιομορφή θα είναι: Θ.7808 Θ Jω Jω Θ (Α.9.) και με όμοιο τρόπο - η δεύτερη: Θ 0.80 Θ Jω Jω Θ (Α.9.3) Γωνιακή μετατόπιση (μονάδες γωνίας) Γωνιακή μετατόπιση (μονάδες γωνίας) Κόμβος Πάκτωση ος δίσκος Θέση δίσκων ος δίσκος Πάκτωση ος δίσκος ος δίσκος Θέση δίσκων α. Η πρώτη ιδιομορφή. β. Η δεύτερη ιδιομορφή. Σχήμα Α.9.. Ελεύθερη στρεπτική ταλάντωση συστήματος δυο βαθμών ελευθερίας. Οι παραπάνω ιδιομορφές μπορούν να αναπαρασταθούν γραφικά (βλ. σχήμα Α.9.). Παρατηρούμε ότι στην δεύτερη ιδιομορφή και στο τμήμα της ράβδου που βρίσκεται ανάμεσα στον ο και τον ο δίσκο δημιουργείται ένας κόμβος, δηλαδή ένα σημείο μηδενικής γωνιακής μετατόπισης, ταχύτητας και επιτάχυνσης. Αντιθέτως στην η ιδιομορφή δεν υπάρχει κανένας κόμβος. Πρόταση για παραπέρα εργασία: Τι σημαίνει η παρουσία αυτού του κόμβου για την λειτουργία του συστήματος; Είναι δυνατόν να υπάρχουν περισσότεροι του ενός κόμβοι σε ένα ταλαντούμενο σύστημα;

7 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ελεύθερες ταλαντώσεις - Η γενική λύση Η σχέση (4.) αντιστοιχεί σε Δ.Ε. που αναπαριστούν ελεύθερες ταλαντώσεις ενός πολυβάθμιου συστήματος. Η ταλάντωση κάθε μίας μάζας του συστήματος εκφράζεται με την σχέση (4.) η οποία είναι συνάρτηση της συχνότητας (rad/sec). Οι συναρτήσεις ωt e και ωt e είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ τους αλλά και γραμμικά ανεξάρτητες ως προς άλλες συναρτήσεις της ίδιας μορφής αλλά διαφορετικών τιμών όσο αφορά το ω. Η ανωτέρω ιδιότητα ισχύει για κάθε ιδιοτιμή του συστήματος. Σύμφωνα με την σχέση (4.5) τόσο η θετική όσο και η αρνητική ρίζα μιας ιδιοτιμής δίνουν την ίδια λύση, δηλαδή την αντίστοιχη ιδιομορφή 5. Επομένως η γενικότερη λύση της (4.) θα είναι: όπου ω t ω t (4.) { x} { X} C e C e C, C είναι σταθερές που θα πρέπει να προσδιορισθούν. Αναπτύσσοντας το δεξιό μέρος της (4.), αυτή μετασχηματίζεται ως εξής: όπου πλέον (4.3) { x} { X} D cos() ω t Ds() ω t D C C και D () C C. Για το άθροισμα των όρων μέσα στην παρένθεση στην παραπάνω σχέση μπορεί να χρησιμοποιηθεί εναλλακτικά η έκφραση: (4.4) { x} { X} H s() ω t φ ω όπου πλέον στην παραπάνω σχέση θα πρέπει να προσδιορισθούν άγνωστοι ( H, H,..., H και φ, φ,..., φ ) από τις αντίστοιχες αρχικές συνθήκες {(0)} x {(0)(0) x...(0} x x και {(0)} x {(0)(0) x...(0)} x x ΑΣΚΗΣΗ 0 Για το σύστημα της άσκησης 9 να προσδιορίσετε τις αποκρίσεις των δίσκων εάν: {(0)} θ { } (rad) και {(0)} θ {0 0} (rad/sec). 5 Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο όρος ω δεν επηρεάζεται από το πρόσημο του ω.

8 80 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΛΥΣΗ: Σύμφωνα με την σχέση (4.4) θα είναι: {(0)} θ { Θ} H s φ (Α.0.) και {(0)} θ { Θ} cos ω H φ (Α.0.) Επομένως: θ (0) Θ Η s φ Θ Η s φ θ (0) Θ Η s φ Θ Η s φ (Α.0.3) και θ (0) ΘωΗ cos φ Θ Η cos 0 ω φ θ (0) Θ ωη cos φ Θ ω Η cos φ 0 (Α.0.4) Από τις σχέσεις (Α.9.), (Α.9.3), (Α.0.3) και (Α.0.4) προκύπτει ότι: θ (0) Η s φ Η s φ θ (0).7808Η s φ 0.80Η s φ (Α.0.5) και θ (0) Ηω cos Η cos 0 φ ω φ θ (0).7808Η ω cos φ 0.80Η ω cos φ 0 (Α.0.6) Λύνοντας τα παραπάνω συστήματα ως προς H s φ, H sφ και H cos φ, H cosφ αντίστοιχα προκύπτει ότι φ φ π / και H , H Επομένως θα είναι: π π s t s.5 t θ () t J J θ() t π π s t s.5 t J J (rad) (Α.0.7) Στο σχήμα Α.0. δίνεται μια γραφική απεικόνιση της μεταβολής των δύο γωνιών ως προς τον χρόνο για τον συνδυασμό τιμών (Kgm ) (N/m) και J 0.05

9 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 8 (rad) Δίσκος Δίσκος (sec) Σχήμα Α.0.. Οι αποκρίσεις του συστήματος των δυο δίσκων Οι μηδενικές ιδιοτιμές Υπάρχουν περιπτώσεις συστημάτων στα οποία μία από τις ιδιοτιμές του πίνακα 53 [ K] είναι ίση προς το μηδέν. Στην περίπτωση αυτή η σχέση (4.4) πρέπει να γραφεί ως εξής: { x}(){ C} C t{ X} s() X H ω t φ (4.5) όπου οι σταθερές C, C, H,,3,..., θα πρέπει να προσδιορισθούν βάσει των αρχικών συνθηκών. Ο πρώτος όρος της (4.5) αναπαριστά σταθερή ισοταχή κίνηση του συστήματος και ο δεύτερος ταλαντωτική. Τα συστήματα των οποίων η κίνηση περιγράφεται με σχέσεις αυτής της μορφής είναι μη περιορισμένα (ελεύθερα) υπό την έννοια ότι εάν τους δοθεί αρχική μετατόπιση ή/και αρχική ταχύτητα αυτά διατηρούν αυτές τις αρχικές συνθήκες επ άπειρο ενώ η ταλαντωτική κίνηση που περιγράφεται από τον ο όρο της (4.5) υπερτίθεται σ αυτή την αρχική κατάσταση. Κλασικό παράδειγμα τέτοιου συστήματος αποτελούν οι διατάξεις μειωτήρων όπου τόσο στην είσοδο 53 Βλ. σχετικά στην ενότητα 4..

10 8 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ (κινητήριος άξονας) όσο και στην έξοδο (φορτίο) δεν υπάρχει κανείς περιορισμός και κατά συνέπεια η εφαρμογή σταθερής ροπής 54 προκαλεί και διατηρεί ισοταχή περιστροφική κίνηση στην έξοδο και άρα και στο φορτίο. Η δεύτερη αξιοσημείωτη περίπτωση αφορά στις περιπτώσεις σιδηροδρομικών συρμών όπου η σύνδεση νέων οχημάτων (βαγονιών) μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελεί προϋπόθεση για την έναρξη ισοταχούς και ταυτόχρονης ταλαντωτικής κίνησης. Πρόταση για παραπέρα εργασία: Ένα μικρό σιδηροδρομικό όχημα που κινείται με ταχύτητα 30 (Km/h) πρόκειται να συνδεθεί με δύο άλλα ίδια οχήματα που είναι ήδη συνδεδεμένα μεταξύ τους. Εάν η ισοδύναμη σταθερά ελατηρίου της ελαστικής σύνδεσης ανάμεσα σε δύο βαγόνια είναι ίση προς (N/m) και το κάθε βαγόνι έχει μάζα 000 (Kg), να προσδιορίσετε την έκφραση για την κίνηση του συνδυασμού των τριών οχημάτων που θα προκύψει μετά την σύνδεση. Να αναπαραστήσετε γραφικά την κίνηση του καθενός οχήματος για χρονικό διάστημα ίσο προς 5 περιόδους (ω ς προς την η φυσική συχνότητα) 4.5. Η ορθογωνικότητα των ιδιομορφών Ο όρος εσωτερικό γινόμενο προέρχεται από την γραμμική άλγεβρα και αφορά σε πράξη που ορίζεται σε δύο διανύσματα έτσι ώστε το αποτέλεσμα να είναι πραγματικός αριθμός. Ο κλασσικός ορισμός 55 από την παρακάτω σχέση: όπου τα { u} και { v} του εσωτερικού γινομένου δίδεται { },{ } { } u v u { v} { u}{ v} (4.6) είναι -διάστατα διανύσματα. Εάν ληφθούν υπόψη οι συμμετρικοί πίνακες μαζών και στιβαρότητας (Kg) και (N/m), τότε ορίζονται τα εσωτερικά γινόμενα: { u},{ v} { v},{ u} { u} { v} { u},{ v} { v},{ u} { u} [ K]{ v} (4.7) 54 δηλαδή ροπής που υπερνικά τις ροπές αντίστασης λόγω τριβών 55 αλλά όχι και μοναδικός

11 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 83 Τα διανύσματα { u} και { v} είναι ορθογώνια ως προς ένα εσωτερικό γινόμενο εάν το γινόμενο αυτό είναι ίσο με μηδέν. Έτσι σύμφωνα με την σχέση (4.7) τα διανύσματα { u} και { v} είναι ορθογώνια ως προς τον πίνακα μαζών εάν: και ορθογώνια ως προς τον πίνακα στιβαρότητας εάν: { u },{ v } { u } { v } 0 (4.8) { u },{ v } { u } { v } 0 (4.9) Εάν πάρουμε τις και ιδιοτιμές, τότε σύμφωνα με την (4.5) θα είναι: X K X X K X Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη από τις σχέσεις (4.0) με X (4.0) θα προκύψει ότι: ή σε μορφή εσωτερικών γινομένων: X X X K X (4.) X, X X, X (4.) Με τον ίδιο τρόπο πολλαπλασιάζοντας την δεύτερη από τις σχέσεις (4.0) με X και γράφοντας το αποτέλεσμα υπό μορφή εσωτερικών γινομένων θα προκύψει ότι: X, X X, X (4.3) Αφαιρούμε την (4.3) από την (4.) και προκύπτει: X, X X, X X, X X, X (4.4) και σύμφωνα με τις (4.7): X X X X X X,,, 0 (4.5) Η διαφορά των τετραγώνων των ιδιοτιμών είναι γενικά 0 τις (4.5), (4.): X X X X, 0, 0 και άρα σύμφωνα με (4.6)

12 84 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Οι παραπάνω σχέσεις δείχνουν ότι οι δυο ιδιομορφές τάξης και είναι ορθογώνιες ως προς τους πίνακες μάζας και στιβαρότητας. Εάν, τότε X X και σύμφωνα με την (4.): X, X X, X (4.7) Ο παραπάνω λόγος είναι γνωστός και ως πηλίκο του Raylegh και χρησιμοποιείται για τον προσεγγιστικό προσδιορισμό της ης σχετικό κεφάλαιο). ιδιοτιμής και ιδιομορφής (βλ. στο 4.6. Το θεώρημα της επέκτασης Όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα, οι ιδιομορφές ενός ελεύθερα ταλαντούμενου συστήματος σχετίζονται μεταξύ τους με την αρχή της ορθογωνικότητας. Οι ιδιομορφές είναι γραμμικά ανεξάρτητες, δηλαδή καμία από αυτές δεν μπορεί να προκύψει σαν γραμμικός συνδυασμός των άλλων. Έτσι μπορούν να σχηματίσουν τη βάση ενός -διάστατου χώρου στον οποίο κάθε διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί σαν γραμμικός συνδυασμός των ιδιομορφών (δηλαδή των διανυσμάτων που συνιστούν τη βάση του χώρου). Έτσι, ένα αυθαίρετο διάνυσμα z του χώρου αυτού μπορεί να εκφραστεί ως εξής: z X (4.8) όπου,,,... είναι σταθεροί συντελεστές που υπέχουν τον ρόλο του συντελεστή βαρύτητας και σηματοδοτούν με τον τρόπο αυτό την ένταση της συμμετοχής κάθε ιδιομορφής στην διαμόρφωση των τιμών των στοιχείων του z. Η σχέση (4.8) αποτελεί έκφραση του θεωρήματος της επέκτασης. Εάν πολλαπλασιάσουμε και τα δυο μέλη της (4.8) με την ποσότητα είναι: ή σε μορφή εσωτερικών γινομένων: X M z X M X X M θα (4.9)

13 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 85 X, z X, X X, X (4.30) M M Λαμβάνοντας υπόψη την αρχή της ορθογωνικότητας και αναπτύσσοντας το δεξιό μέρος της παραπάνω σχέσης θα προκύψει ότι: X, z X, X (4.3) 4.7. Η κανονικοποίηση των ιδιομορφών Στην ενότητα 4. διαπιστώνεται ότι η κάθε ιδιομορφή, ως λύση ενός ομογενούς συστήματος εξισώσεων (βλ. σχέση (4.6)), παρουσιάζει την ιδιομορφία της διατήρησης σταθερής τιμής όσο αφορά τον λόγο ανάμεσα σε δύο τυχαία πλάτη (στοιχεία της ιδιομορφής). Η κάθε ιδιομορφή μπορεί να κανονικοποιηθεί (κανονικοποιημένη ιδιομορφή) αλλά αυτό θα πρέπει με τρόπο ώστε όλες οι κανονικοποιημένες ιδιομορφές να ικανοποιούν το ίδιο κριτήριο κανονικοποίησης 56. Ένα σύνηθες κριτήριο κανονικοποίησης είναι η μοναδιαία τιμή του εσωτερικού γινομένου ως προς τον πίνακα μαζών. Θα πρέπει δηλαδή: X, X (4.3) Τότε, σύμφωνα και με την (4.7) θα είναι: X, X (4.33) Επομένως το θεώρημα της επέκτασης (βλ. σχέση (4.8)) σε συνδυασμό με την σχέση (4.3) μπορεί να γραφεί:, z X z X (4.34) ΑΣΚΗΣΗ Για το σύστημα της άσκησης 9 να επαληθεύσετε την αρχή της ορθογωνικότητας όσο αφορά στις δύο ιδιομορφές και κατόπιν να τις κανονικοποιήσετε ως προς τον πίνακα των μαζών. 56 Το ίδιο το κριτήριο κανονικοποίησης είναι αυθαίρετο. Σε κάθε περίπτωση όμως θα πρέπει να επιλέγεται με τρόπο που να διευκολύνει την χρήση των ιδιομορφών.

14 86 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΛΥΣΗ: Οι ιδιομορφές του συστήματος της άσκησης 9 είναι: Θ Θ Θ Θ.7808 Θ Θ 0.80 (Α..) Επαλήθευση της αρχής της ορθογωνικότητας σημαίνει χρήση των σχέσεων (4.6). Πράγματι, εάν, τότε θα είναι: 0, { } J [ ], 0 M 0 {.7808} J (Α..) και, { } [ ], K {.7808} J (Α..3) Τα ίδια αποτελέσματα θα προκύψουν εάν,. Εάν c *,, είναι αυθαίρετες σταθερές, τότε, για και σύμφωνα με την (4.3) θα πρέπει να είναι: 0 0 c J c c {.7808} J (Α..4) και επομένως c J ιδιομορφή θα είναι: και η κανονικοποιημένη ως προς τον πίνακα μαζών η Θ Πρόταση για παραπέρα εργασία: Θ Θ J (Kg -0.5 m - ) (Α..5) Να προσδιορίσετε την η κανονικοποιημένη ως προς τον πίνακα μαζών ιδιομορφή

15 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Γενικευμένες και κύριες συντεταγμένες Η σχέση (4.) εκφράζει την ελεύθερη και απουσία απόσβεσης ταλάντωση ενός συστήματος Β.Ε. Το διάνυσμα των αποκρίσεωνx μπορεί να εκφραστεί σύμφωνα με το θεώρημα της επέκτασης (βλ. σχέση (4.8) - ως εξής: x () t X Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4.) και (4.35) θα προκύψει ότι: (4.35) Έστω ότι (){ σ t } X [ ](){ K σ } t X{0} (N) (4.36) X μία ιδιομορφή. Πολλαπλασιάζοντας με προκύπτουν εσωτερικά γινόμενα στα αθροίσματα: X τα μέλη της (4.36) σ () t X [ M]{ X}() σ[ t]{ X} K X σ () t X,{ X}(),{ σ } t X {0} X (N) (4.37) Η ανωτέρω σχέση σε συνδυασμό με τις σχέσεις (4.6), (4.3) και (4.33) θα δώσει: σ ()() t ω0 σ t (N) (4.38) και αυτό θα ισχύει για κάθε,,...,. Η παραπάνω διαφορική εξίσωση είναι αποσυζευγμένη και μπορεί πλέον να λυθεί μόνο ως προς την συντεταγμένη σ () t η οποία ονομάζεται κύρια συντεταγμένη. Το σύνολο των κύριων συντεταγμένων σ (), t,,..., σχηματίζει ένα διάνυσμα { } σ που ονομάζεται διάνυσμα των κύριων συντεταγμένων και συνδέεται με τις γενικευμένες συντεταγμένες μέσω του μορφικού πίνακα [ X ] του οποίου οι στήλες είναι οι κανονικοποιημένες ιδιομορφές του συστήματος. Έτσι σύμφωνα με την σχέση (4.35) θα είναι: { } [ ]{ },{ } [ ] { } x Χ σ σ Χ x (4.39) Από τις παραπάνω σχέσεις και δεδομένου ότι είναι ήδη γνωστές οι κανονικοποιημένες ιδιομορφές του συστήματος μπορεί κανείς να εκφράσει τις γενικευμένες συντεταγμένες συναρτήσει των αντιστοίχων κύριων και αντίστροφα.

16 88 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 4.9. Ελεύθερες ταλαντώσεις με απόσβεση Συνυφασμένη με τις ελεύθερες ταλαντώσεις των πολυβάθμιων συστημάτων είναι η έννοια της αναλογικής απόσβεσης. Αναλογική απόσβεση υπάρχει σε ένα πολυβάθμιο σύστημα όταν ο πίνακας της απόσβεσης μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των πινάκων μαζών και στιβαρότητας. Στην περίπτωση αυτή θα είναι: [ C] r[ ] μ (Nsec/m) (4.40) όπου τα r και μ είναι σταθερές. Επομένως η διαφορική εξίσωση (4.) μπορεί πλέον να γραφεί: { x} r[ K] μ { x } [ K]{ x} {0} (N) (4.4) Η ανωτέρω σχέση σε συνδυασμό με την σχέση (4.8) θα δώσει: (){ σ t } X [ r](){ K σ } t X [ ](){ μ M } σ t X[ ](){ } K σ{0} t X (N) (4.4) Έστω ότι X μία ιδιομορφή. Πολλαπλασιάζοντας με προκύπτουν εσωτερικά γινόμενα στα αθροίσματα: X τα μέλη της (4. 4) σ () t X [ M]{ X}() rσ [ ]{ t X} K X μσ () t X [ M]{ X}() σ[ t]{ X} K X σ () t X,{ X}(),{ rσ} t X X μσ () t X,{ X}(),{ σ } t X {0} X (N) (4.43) Η ανωτέρω σχέση σε συνδυασμό με τις σχέσεις (4.6), (4.3) και (4.33) θα δώσει: σ ()()() t rω0 μ σ t ω σ t (N) (4.44) Εάν θέσουμε: απόσβεσης της rω μ ζ ω,,,..., όπου ζ,,,..., - μορφής, τότε η (4.44) γράφεται: ο λόγος μορφικής σ () t ()() ζ ω σ0 t ω σ t (N) (4.45) και αυτό θα ισχύει για κάθε,,...,. Η παραπάνω διαφορική εξίσωση είναι αποσυζευγμένη και μπορεί πλέον να λυθεί μόνο ως προς την συντεταγμένη σ () t.

17 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 89 (βλ. σχετικά παραπάνω). Εάν υπάρχει υποκρίσιμη απόσβεση σε όλες τις μορφές ( ζ,,,..., ) τότε η μορφή της σ () t προκύπτει από την σχέση (.36) σε συνδυασμό με τις αρχικές συνθήκες. Κατόπιν ο προσδιορισμός των γενικευμένων συντεταγμένων μπορεί να γίνει μέσω των σχέσεων (4.39). Οι τιμές των λόγων μορφικής απόσβεσης συνήθως προσδιορίζονται πειραματικά. Εάν ο πίνακας της απόσβεσης δεν μπορεί να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των πινάκων μαζών και στιβαρότητας, τότε η σχέση (4.40) καθώς και η ανάλυση που την ακολουθεί δεν ισχύουν. Στην περίπτωση αυτή σχηματίζονται νέοι πίνακες διαστάσεων ( ) και ένα σύστημα νέων διαφορικών εξισώσεων ως εξής: [0] [0] { x } [ C] [0] [ K] { x} * *,[ K],{ z} (4.46) (4.47) * * { z} [ K] { z} {0} Εάν υποτεθεί η λύση { z} { } e t για το σύστημα των Δ.Ε. της παραπάνω σχέσης τότε με αντικατάσταση θα είναι: * * ξ { Ψ} [ K] { Ψ} {0} (4.48) και άρα: * * ξ [ K] { Ψ} {0} (4.49) Σύγκριση της παραπάνω σχέσης με την (4.5) μας οδηγεί στο εύκολο συμπέρασμα ότι οι τιμές των ξ για τις οποίες επαληθεύεται η (4.49) θα είναι οι ιδιοτιμές του * * πίνακα [ K]. Για κάθε μία ιδιοτιμή που θα αντικαθίσταται στην (4.49) θα προκύπτει μια μη τετριμμένη λύση για την μορφή { Ψ} (ιδιοδιάνυσμα) του ίδιου πίνακα. που Θα είναι η ιδιομορφή ΑΣΚΗΣΗ Εάν, για το σύστημα της άσκησης 9 θεωρηθεί αναλογική απόσβεση και ο λόγος απόσβεσης είναι 0.0,, για κάθε μορφή, να προσδιορίσετε τις αποκρίσεις των δίσκων του συστήματος. ΛΥΣΗ: Οι ιδιομορφές του συστήματος της άσκησης 9 είναι:

18 90 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Θ Θ Θ Θ.7808 Θ Θ 0.80 (Α..) και οι αντίστοιχες κανονικοποιημένες: Θ Θ Θ J (Kg -0.5 m - ) (Α..) Θ Θ Θ J (Kg -0.5 m - ) (Α..3) Επομένως ο μορφικός πίνακας (βλ. ενότητα 4.8) θα είναι: Θ Θ [ Θ] Θ Θ J (Kg -0.5 m - ) (Α..4) Επειδή,, η απόσβεση είναι υποκρίσιμη για όλες τις μορφές και επομένως ισχύει η σχέση (4.45) που θα έχει την λύση: όπου τα συνθηκών. και σ t e Σ ω ζ t φ (Α..5) () ζ ω t s,, - για, Οι αρχικές συνθήκες για το αρχικό σύστημα θα είναι: - θα πρέπει να προσδιορισθούν βάσει των αρχικών {(0)} θ { } (rad) και {(0)} θ {0 0} και σύμφωνα με τις σχέσεις (4.39): (rad/sec) { σ} [ Θ] { θ},{ σ} [ Θ] { θ} t0 t0 t0 t0 (Α..6) Ο αντίστροφος του μορφικού πίνακα είναι: [ Θ] J (Kg 0.5 m) (Α..7) και επομένως σύμφωνα με τις (Α..6) και (Α..7) θα είναι: σ (0) σ (0) σ (0) 0 σ (0) 0 (Α..8)

19 ΕΛΕΥΘΕΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 9 Από τις σχέσεις (.35) θα είναι:. ta 89.4 ζωσ (0) Σ(0) σ ω ζ 0.0 φ ζ ζ (Α..9). ta 89.4 ζ ωσ (0) Σ(0) σ ω ζ 0.0 φ ζ ζ (Α..0) Άρα οι εκφράσεις για τις κύριες συντεταγμένες θα είναι: t σ() t e s t t σ() t e s t 89.4 (Α..) και σύμφωνα με τις σχέσεις (4.39): { θ} { σ} J (Α..) και τελικά: θ () t σ() t 0.997σ() t t e s t t 0.997e s t 89.4 (Α..4)

20 9 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ θ () t σ() t 0.604σ() t t.40360e s t t 0.604e s t 89.4 (Α..5) Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι αποκρίσεις των δύο δίσκων για ένα σύστημα όπου (N/m) και J 0.5 (Kgm ) (rad) Δίσκος Δίσκος (sec) Σχήμα Α... Οι αποκρίσεις κατά την ελεύθερη ταλάντωση του συστήματος των δυο δίσκων παρουσία αναλογικής απόσβεσης.

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55

ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΑΤΑΣΤΡΩΣΗ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3.. Εισαγωγή Αναφέρθηκε ήδη στο ο κεφάλαιο ότι η αναπαράσταση της ταλαντωτικής

Διαβάστε περισσότερα

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια) Πολυβάθμια Συστήματα (συνέχεια) Ορθογωνικότητα Ιδιομορφών Πολυβάθμια Συστήματα: Δ21-2 Μία από τις σπουδαιότερες ιδιότητες των ιδιομορφών είναι η ορθογωνικότητα τους ως προς τα μητρώα μάζας [m] και ακαμψίας

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 13. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 13. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 13 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Iδιότητες Ιδιοανυσμάτων Συστήματα χωρίς απόσβεση Ιδιοανυσματικός Μετασχηματισμός Συστήματα χωρίς απόσβεση

Διαβάστε περισσότερα

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια)

Πολυβάθμια Συστήματα. (συνέχεια) Πολυβάθμια Συστήματα (συνέχεια) Ελεύθερη Ταλάντωση Xωρίς Απόσβεση Πολυβάθμια Συστήματα: Δ0- Για ένα πολυβάθμιο σύστημα που ταλαντώνεται ελεύθερα χωρίς απόσβεση, λόγω μόνο επιβαλλόμενων αρχικών μετατοπίσεων

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 12. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 12. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 12 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Απόκριση Συστημάτων N Β.Ε. Σε αρχικές συνθήκες Συστήματα χωρίς απόσβεση Εισαγωγή στην ιδιοανυσματική ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 103

ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 103 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 03 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ 6.. Εισαγωγή Στο κεφάλαιο 4, έγινε µια καταρχήν διαπραγµάτευση

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων;

Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σώμα Σ μάζας προσδένεται στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Πάνω στο πρώτο σώμα στερεώνεται δεύτερο ελατήριο σταθεράς,

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ.. Οι βασικές έννοιες Η ταλαντωτική κίνηση είναι κίνηση που επαναλαμβάνεται στον χρόνο. Οι ταλαντώσεις ενός η περισσοτέρων μερών μιας μηχανής η ενός μηχανισμού

Διαβάστε περισσότερα

Η λύση του προβλήματος των ιδιοτιμών και ιδιομορφών είναι εύκολη μόνο σε περιπτώσεις συστημάτων λίγων Β.Ε. Μέθοδος Rayleigh

Η λύση του προβλήματος των ιδιοτιμών και ιδιομορφών είναι εύκολη μόνο σε περιπτώσεις συστημάτων λίγων Β.Ε. Μέθοδος Rayleigh Η λύση του προβλήματος των ιδιοτιμών και ιδιομορφών είναι εύκολη μόνο σε περιπτώσεις συστημάτων λίγων Β.Ε. Μέθοδος Raylegh βασίζεται στο ομώνυμο πηλίκο προσεγγίζει το άνω όριο της τιμής της πρώτης ιδιοτιμής

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κινηματική των Ταλαντώσεων

Κεφάλαιο 1: Κινηματική των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων. Φαινομενολογικός ορισμός ταλαντώσεων Μεταβολές σε φυσικά φαινόμενα που χαρακτηρίζονται από μια κανονική επανάληψη κατά ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο 3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η. (Σ) όπου α, β, α, β, είναι οι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ. Ποια είναι η μορφή ενός συστήματος δύο γραμμικών εξισώσεων, δύο αγνώστων; Να δοθεί παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Ιδιοανυσματική Ανάλυση

Δυναμική Μηχανών I. Ιδιοανυσματική Ανάλυση Δυναμική Μηχανών I 6 3 Ιδιοανυσματική Ανάλυση 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Ιδιοανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Ιδιομορφές

Δυναμική Μηχανών I. Ιδιομορφές Δυναμική Μηχανών I 6 2 Ιδιομορφές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Ιδιομορφές σε Συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 1.1- Δυναμική Μηχανών Ι Ακαδημαϊκό έτος: 015-016 Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών - 015.

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων 1 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων xu

Διαβάστε περισσότερα

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί

Παραρτήματα. Παράρτημα 1 ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μιγαδικοί Αριθμοί Παράρτημα ο : Μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 3 ο : Αντίστροφος μετασχηματισμός Lplce Παράρτημα 4 ο : Μετασχηματισμοί δομικών διαγραμμάτων Παράρτημα 5 ο : Τυποποιημένα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο

Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Ηλεκτρική και Μηχανική ταλάντωση στο ίδιο φαινόμενο Στο σχήμα φαίνεται μια γνώριμη διάταξη δύο παράλληλων αγωγών σε απόσταση, που ορίζουν οριζόντιο επίπεδο, κάθετο σε ομογενές μαγνητικό πεδίο έντασης.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville

Κεφάλαιο 1: Προβλήµατα τύπου Sturm-Liouville Κεφάλαιο : Προβλήµατα τύπου Stur-Liouvie. Ορισµός προβλήµατος Stur-Liouvie Πολλές τεχνικές επίλυσης µερικών διαφορικών εξισώσεων βασίζονται στην αναγωγή της µερικής διαφορικής εξίσωσης σε συνήθεις διαφορικές

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 10: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ (-ΒΕ) Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Πολυβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Δυσκαμψία 1. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: Επιβαλλόμενες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις Δρ Παντελής Λιόλιος Σχολή Μηχανικών Ορυκτών Πόρων Πολυτεχνείο Κρήτης http://minelabmredtucgr Τελευταία ενημέρωση: 28 Φεβρουαρίου 2017 Δρ Παντελής Λιόλιος (ΠΚ) Τάσεις 28 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Α. Ντούνης ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΑΚΑΔ. ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ Χ. Τσιρώνης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ ΔΕΥΤΕΡΟ - Διανύσματα - Πράξεις με πίνακες - Διαφορικός λογισμός (1D) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών.

Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών. Ταξινόμηση καμπυλών και επιφανειών με τη βοήθεια των τετραγωνικών μορφών (βλ ενότητες 8 και 8 από το βιβλίο Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Ι Χατζάρας, Θ Γραμμένος, 0) (Δείτε τα παραδείγματα 8 (, ) και

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 9. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 9. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 9 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Η διάλεξη σε MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή θα γίνει στις 16/1/2014 στο PC LAB Δεν θα γίνει διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ

ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΟΣ ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ.1. Ελεύθερη ταλάντση συστήματος ενός βαθμού ελευθερίας Φυσική συχνότητα και απόκριση Ο αρμονικός ταλανττής (βλ. σχήμα.1.α) είναι

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 10.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 10. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - opyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος.

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά

Δυναμική Μηχανών I. Επανάληψη: Μαθηματικά Δυναμική Μηχανών I 2 1 Επανάληψη: Μαθηματικά 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Συμβολισμοί Μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 1: δυναμικά φορτία Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του στερεού σώματος

Μηχανική του στερεού σώματος Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 8. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 8. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 8 Χειμερινό Εξάμηνο 23 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Ανακοινώσεις To μάθημα MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή έως χθες θα γίνει στις 6//24: Office Hours: Δευτέρα -3 μμ,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 10//10/01 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας 1 Kg βρίσκεται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης 45º. Μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

max 0 Eκφράστε την διαφορά των δύο θετικών λύσεων ώς πολλαπλάσιο του ω 0, B . Αναλύοντας το Β σε σειρά άπειρων όρων ώς προς γ/ω 0 ( σειρά

max 0 Eκφράστε την διαφορά των δύο θετικών λύσεων ώς πολλαπλάσιο του ω 0, B . Αναλύοντας το Β σε σειρά άπειρων όρων ώς προς γ/ω 0 ( σειρά . Να αποδείξετε ότι σε ένα ταλαντούμενο σύστημα ενός βαθμού ελευθερίας, μάζας και σταθεράς ελατηρίου s με πολύ ασθενή απόσβεση (γω, όπου γ r/, r η σταθερά αντίστασης και s/ ) το πλήρες εύρος στο μισό του

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Εισαγωγή Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ05-2 Μία κατασκευή λέγεται ότι εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν μετακινηθεί από τη θέση στατικής ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί

Εισαγωγικές έννοιες. Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Προβλήματα εύρεσης μεγίστου. Συμβολισμοί Κατηγορίες προβλημάτων (σε μια διάσταση) Εισαγωγικές έννοιες Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 8.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 8. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 8. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Copyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό

Διαβάστε περισσότερα

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς

Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφ. 1 - Συστήματα 1 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Η εξίσωση α + βy = γ 1. Υπάρχουν προβλήματα που η επίλυση τους οδηγεί σε μια γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους, y και η οποία είναι της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση και Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 17 Μαρτίου 2017 1 Βασικά μεγέθη Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 11: ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 11: ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα : ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α, Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 9. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Copyrght ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b. Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από

Διαβάστε περισσότερα

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y

5. Σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων να σχεδιαστούν οι ευθείες που έχουν εξισώσεις τις: β. y = 4 δ. x = y . Δύο φίλοι, ο Μάρκος και ο Βασίλης, έχουν άθροισμα ηλικιών 7 χρόνια, και ο Μάρκος είναι μεγαλύτερος από το Βασίλη. Μπορείτε να υπολογίσετε την ηλικία του καθενός; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. β.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6.1

ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6.1 ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6. Σώμα μάζας gr έχει προσδεθεί στην άκρη ενός ελατηρίου και ταλαντώνεται επάνω σε οριζόντιο δάπεδο χωρίς τριβή. Εάν η σταθερά του ελατηρίου είναι 5N / και το πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου

Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου Ασκήσεις 6 ου Κεφαλαίου 1. Μία ράβδος ΟΑ έχει μήκος l και περιστρέφεται γύρω από τον κατακόρυφο άξονα Οz, που είναι κάθετος στο άκρο της Ο με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Να βρεθεί r η επαγώμενη ΗΕΔ στη

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Κεφάλαιο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στη διαδικασία σχεδιασμού των Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου, η απαραίτητη και η πρώτη εργασία που έχουμε να κάνουμε, είναι να

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου

Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου Εργαστηριακή Άσκηση 6 Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου, k. Πειραματική διάταξη: Κατακόρυφο ελατήριο, σειρά πλακιδίων μάζας m. Μέθοδος: α) Εφαρμογή

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα

Ιδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που

Διαβάστε περισσότερα

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους.

Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος με δύο αγνώστους. ΜΕΡΟΣ Α 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ 71 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ Αν έχουμε δύο γραμμικές εξισώσεις με δύο αγνώστους,, π.χ. α + β

Διαβάστε περισσότερα

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;

11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης; 10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 4. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 4. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Ν Βαθμών Ελευθερίας Μηχανικά δυναμικά συστήματα πολλών Β.Ε. Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 3/2/2016 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Σώμα μάζας m 0.25 Kg κινείται στο επίπεδο xy, με τις εξισώσεις κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα Τράπεζα θεμάτων ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα ΘΕΜΑ 2 (16950) α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 19 Ταλαντώσεις Απλή αρμονική κίνηση ΦΥΣ102 1 Ταλαντώσεις Ελατηρίου Όταν ένα αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί

Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα