ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ειδικές περιπτώσεις

Transcript

1 4 0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ: ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ειδικές περιπτώσεις Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΪΔΑΡΙΟΥ

2 ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 1.Σύστημα δύο σωμάτων με τροχαλία. Η τροχαλία του παρακάτω σχήματος έχει μάζα Μ= 4 Kg, ακτίνα =0, m και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της Κ και είναι κάθετος στο επίπεδο της. Τα σώματα Σ1 και Σ έχουν μάζες m1= Kg και m = 1 Kg αντίστοιχα και κρέμονται στα άκρα δύο μη εκτατών νημάτων και βρίσκονται στο ίδιο ύψος. Τη χρονική στιγμή t = 0 αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα να κινηθεί, οπότε η τροχαλία αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τα νήματα να γλιστρούν στο αυλάκι της. Δίνονται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι = ½ m και g= 10 m/s. Να υπολογίσετε: i) το μέτρο της επιτάχυνσης των σωμάτων ii) τις τάσεις των σχοινιών Τ1 και Τ iii) τη χρονική στιγμή t όπου τα σώματα απέχουν απόσταση d = 8 m. Σώμα 1: ΣF = m1 αcm => m1 g - T1= m1 αcm (1) Σώμα : ΣF = m αcm => Τ - m g = m αcm () Τροχαλία: Στ = Ι αγων=> Τ1 T = ½ M αγων => Τ1 T = ½ M αγων => Τ1 T = ½ M αcm () Γατί ισχύουν: Τ1 = Τ1 και Τ = Τ (1)+()+() => m1 g - m g = (m1+ m+ ½ M) αcm => αcm = m/s αcm = αγων => αγων = αcm/ => αγων = 10 rad/s (1) => m1 g - T1 = m1 αcm => T1 = m1 ( g - αcm) => T1 = 16 N () => Τ - m g = m αcm => Τ = m ( g + αcm) => Τ = 1 N Όταν τα σώματα θα απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=8m, τότε το καθένα έχει μεταφερθεί κατά x = 4 m X=1/ αcm t => t = x a cm => t = s

3 Διπλή τροχαλία. Οι δύο τροχαλίες του διπλανού σχήματος με μάζες M1= 8Kg, Μ = Κg και ακτίνες 1 = 0,4m, = 0. m αντίστοιχα, μπορούν και περιστρέφονται ενιαία γύρω από κοινό οριζόντιο άξονα χωρίς τριβές. Μέσω τυλιγμένου νήματος γύρω από κάθε τροχαλία αναρτώνται σώματα μάζας m1= Kg και m=4 Kg από τις τροχαλίες μάζας M1 και Μ αντίστοιχα. Το όλο σύστημα αρχικά βρίσκεται σε ακινησία, με τα σώματα μάζας m1 και m στο ίδιο ύψος και τη χρονική στιγμή t=0 αφήνεται ελεύθερο. Δεν υπάρχει ολίσθηση μεταξύ νήματος και τροχαλίας. Δίνεται η ροπή αδράνειας της κάθε τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της Ι = ½ m. και g= 10 m/s., α) Να υπολογίσετε το μέτρο και τη φορά της κατακόρυφης δύναμης F που πρέπει να ασκήσουμε στο σώμα μάζας m ώστε το σύστημα να ισορροπεί. β) Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση των τροχαλιών αν αφήσουμε το σύστημα ελεύθερο. γ) Όταν τα σώματα μάζας m1 και m απέχουν μεταξύ τους κατακόρυφη απόσταση d=,4 m, να υπολογίσετε τη γωνιακή ταχύτητα των δύο τροχαλιών. i) Αφού η διπλή τροχαλία ισορροπεί πρέπει η Στ=0 και έτσι υπολογίζουμε την F (F + m g) = m1 g 1 => F=0 N ii) Οι τροχαλίες στρέφονται κατά την ίδια φορά και κάθε στιγμή έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση. Οι επιτρόχιες επιταχύνσεις των περιφερειακών σημείων των κυκλικών δίσκων είναι διαφορετικές και ως εκ τούτου τα σώματα m1 και m κινούνται με διαφορετικές επιταχύνσεις α1 και α αντίστοιχα. α1=αε,1= α γων 1 και α=αε,= α γων => a1 a a => α1 = α (1). 1 Σώμα 1: ΣF = m1 α1 => m1 g - T1= m1 α1 () Σώμα : ΣF = m α => Τ - m g = m α () Τροχαλία: Στ = Ιολ αγων=> Τ1 1 T = (½ M1 1 +½ M1 1 ) αγων (4) Ακόμα ισχύουν: Τ1 = Τ1 (5) και Τ = Τ (6) Συνδυάζοντας τις παραπάνω σχέσεις βρίσκουμε το αγων = rad/s => α1 = αγων 1 => α1= 0,8 m/s και α= 0,4 m/s iii) Όταν τα σώματα θα απέχουν μεταξύ τους απόσταση d=,4m, τότε το m1 θα έχει μετακινηθεί κατά 1,6 m και το m θα έχει μεταφερθεί κατά 0,8 m γιατί: x1=1/ α1 t και x=1/ α t => (1) ότι x1= x. X1=1/ α1 t => t = ω = αγων t x a cm => ω = 4 rad/s => t = s και

4 . Στερεό σώμα που μεταφέρεται και ταυτόχρονα περιστρέφεται (σύνθετη κίνηση). Ο τροχός μάζας m=6kg και ακτίνας = 0,4 m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Η οριζόντια δύναμη με μέτρο F = 4Ν ασκείται στο κέντρο του τροχού και αρχικά ο τροχός βρισκόταν σε ηρεμία. Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς το κέντρο μάζας του Ι = m. και g= 10 m/s i) Να βρείτε τη κατεύθυνση της στατικής τριβής που ασκείται στο τροχό και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. ii) Να βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση που αποκτά ο τροχός και το μέτρο της στατικής τριβής που ασκείται σε αυτόν. ii) Αν ο συντελεστής στατικής τριβής είναι μσ = 0,5, να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η δύναμη F ώστε να έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση (κ.χ.ο.). Μεταφορική κίνηση: Σχέσεις Στροφική κίνηση: ΣF=m αcm υcm = ω Στ=Ι αγων υ = υ0 αcm t αcm = αγων ω = ω0 αγων t 1 x = υ0 t αcm t x = θ 1 x = ω0 t αγων t i) Οι δυνάμεις F,w και N διέρχονται από το CM του σώματος και δεν προκαλούν ροπή. Η μόνη δύναμη που προκαλεί ροπή είναι η στατική τριβή Τ και είναι υπεύθυνη για την κ.χ.ο. του τροχού. Επειδή η F επιταχύνει το τροχό μεταφορικά, η στατική τριβή είναι προς τα αριστερά ώστε να τον επιταχύνει στροφικά ή η μεταβολή του έχει κατεύθυνση => η έχει κατεύθυνση => η έχει κατεύθυνση Άρα η κατεύθυνση της στατικής τριβής είναι προς τα αριστερά. Σημείωση: Αν η Τ είναι τριβή ολίσθησης ο τροχός μόνο μεταφέρεται χωρίς να στρέφεται. ii) ΣF = m αcm => F - T= m αcm => F - T= m αγων (1) Στ = Ι αγων=> Τ = m αγων => Τ = m αγων => Τ = m αγων () (1) και () => F = m αγων => αγων = 5 rad/s αcm= αγων => αcm= m/s Τ = m αγων => T = 1 N iii) Για να έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση (κ.χ.ο) πρέπει η τριβή Τ να είναι πάντα μικρότερη ή ίση από τη στατική τριβή ( Τστ). δηλ. Τ Τορ => Τ μ Ν => m αcm μ m g => αcm μ g => F m μ g => F μ m g => F 0, => F 60 N 4

5 4. Στερεό σώμα που μεταφέρεται και ταυτόχρονα περιστρέφεται (σύνθετη κίνηση) και η δύναμη ασκείται στο ανώτερο σημείο του. Ο τροχός μάζας m = Kg και ακτίνας = 0, m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Στο ανώτερο σημείο της περιφέρειας του τροχού Γ μέσω ενός αβαρούς νήματος, το οποίο είναι τυλιγμένο στο τροχό ασκείται οριζόντια δύναμη με μέτρο F=9Ν. Αρχικά ο τροχός βρισκόταν σε ηρεμία και κατά τη κίνηση του δεν υπάρχει ολίσθηση μεταξύ νήματος και τροχού καθώς το νήμα ξετυλίγεται. Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς το κέντρο μάζας του Ι = ½ m. Να βρείτε: i) την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού. ii) τη στατική τριβή που ασκείται στο τροχό. iii) Τη χρονική στιγμή t = 5s να βρείτε τη ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου του νήματος που αποκολλάται από τον τροχό. iv) Να βρείτε τη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της δύναμης F στο νήμα (μετατόπιση νήματος) όταν ο τροχός έχει μετατοπισθεί κατά 10m. Βάζω τη στατική τριβή τυχαία προς τα αριστερά και γράφω τις εξισώσεις που ισχύουν: ΣF = m αcm => F - T= m αcm => F - T= m αcm (1) Στ = Ι αγων=> F +Τ = ½ m αγων => F+ Τ =½ m αγων => F+ Τ = ½ m αcm () () και () => F = / m αcm => αcm= 6 m/s (1) => F-Τ = m αcm => T = - N Παρατήρηση: > Το μέτρο και η κατεύθυνση της στατικής τριβής δεν είναι καθορισμένα, αλλά προκύπτουν από τις παραπάνω εξισώσεις.. Στην άσκησή μας η στατική τριβή είναι προς τα δεξιά!!!. > Όταν δεν ξέρουμε την κατεύθυνση της Τριβής μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα με στιγμιαίο άξονα περιστροφής αυτόν που διέρχεται από το σημείο όπου εφαρμόζεται η Τριβή. Έτσι μηδενίζουμε την ροπή της και εύκολα βρίσκουμε την κατεύθυνση της από τις σχέσεις Σ F= m α και Στ = I αγων, > Προσοχή εδώ το Ι αλλάζει, γιατί αλλάζει ο άξονας περιστροφής. Το καινούργιο Ι υπολογίζεται με θεώρημα του Steiner. Ταχύτητα και επιτάχυνση ανώτερου σημείου Γ. cm => υγ =υcm +υγρ => υγ = υcm d d( cm) dcm αγ= α cm = 1 m/s dt dt dt Το ανώτερο σημείο Γ έχει διπλάσια επιτάχυνση από το CM του τροχού. Άρα όταν το σημείο εφαρμογής της F μεταφέρεται προς τα δεξιά κατά x, τότε ο δίσκος μεταφέρεται προς τα δεξιά κατά x/. Συνεπώς: το σημείο εφαρμογής της F μετατοπίζεται κατά x10m= 0 m 5

6 5. Στερεό σώμα που μεταφέρεται και ταυτόχρονα περιστρέφεται (σύνθετη κίνηση) και η δύναμη ασκείται σε τυχαίο σημείο της κατακόρυφης διαμέτρου του. Δίσκος μάζας m και ακτίνας κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Σε τυχαίο σημείο της περιφέρειας του τροχού Α,που απέχει απόσταση χ από το κέντρο Κ του δίσκου μέσω ενός αβαρούς νήματος, που είναι τυλιγμένο στο τροχό, ασκείται οριζόντια δύναμη με μέτρο F. Αρχικά ο τροχός βρισκόταν σε ηρεμία και κατά τη κίνηση του δεν υπάρχει ολίσθηση μεταξύ νήματος και τροχού. Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς το κέντρο μάζας του Ι = ½ m. Να βρείτε συναρτήσει του x: i) την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του τροχού. ii) τη στατική τριβή που ασκείται στο τροχό. iii) Σε πόση κατακόρυφη απόσταση πάνω από το κέντρο Ο του τροχού πρέπει να ασκηθεί η οριζόντια δύναμη F, ώστε η στατική τριβή που ασκείται στο τροχό να μηδενιστεί. iv) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της Τριβής συναρτήσει του x για x. Έστω x η απόσταση του σημείου Α, που η F τέμνει την κατακόρυφη διάμετρο, από το κέντρο του δίσκου. Για να έχω κύλιση χωρίς ολίσθηση πρέπει να ισχύει η σχέση : αcm = αγων Βάζω τη στατική τριβή τυχαία προς τα δεξιά και γράφω τις εξισώσεις που ισχύουν: ΣF = m αcm => F + T= m αcm => F + T= m αcm (1) Στ = Ι αγων=> F x -Τ = ½ m αγων => F x - Τ = 1 m αcm () (1)+() => F + F x = m αcm => F(1+ x ) = m αcm => αcm= F m (1+ x ) () () (1) F + T= m F x F T => (4) => Για x = => x = 0 => F m (1+ x ) => F + T= F x (1+ ) => T= F Fx + - F => F x T ( 1) (4) T F T F x = - => T F x = / => T 0 T - 0 / Από το διάγραμμα παρατηρούμε ότι η Τ είναι 0 για x=/, είναι θετική δηλ. προς τα δεξιά για x > / και αρνητική δηλ. προς τα αριστερά για χ < / F F X -F 6

7 6. Κίνηση στερεού σώματος ( κ.χ.ο.) που μεταφέρεται και ταυτόχρονα περιστρέφεται (σύνθετη κίνηση) σε κεκλιμένο επίπεδο και ο ρόλος της στατικής Τριβής Όταν ένα στερεό ανεβαίνει ή κατεβαίνει σε ένα κεκλιμένο επίπεδο κάνοντας κύλιση χωρίς ολίσθηση (κ.χ.ο),υπεύθυνη για τη περιστροφή του είναι η στατική τριβή. Οι άλλες δυνάμεις (W και N) δεν ασκούν ροπή γιατί διέρχονται από το CM του στερεού. Η τριβή είναι ανεξάρτητη από τις διαστάσεις του στερεού και για να τη σχεδιάσουμε σωστά πρέπει να εφαρμόσουμε το παρακάτω κανόνα. Στη κύλιση χωρίς ολίσθηση ισχύει αcm = αγων. Συνεπώς η μεταφορική και η στροφική κίνηση είναι του ίδιου είδους και σχεδιάζουμε τη Τριβή έτσι ώστε στην επιταχυνόμενη κίνηση αυτή να προκαλεί επιταχύνουσα ροπή και στην επιβραδυνόμενη επιβραδύνουσα ροπή. π.χ. Το σώμα κατεβαίνει κάνοντας Το σώμα ανεβαίνει κάνοντας επιταχυνόμενη κίνηση. επιβραδυνόμενη κίνηση Το σώμα επιταχύνεται μεταφορικά επιταχύνεται και στροφικά Η Τ βοηθά την περιστροφή έχει φορά προς τα πάνω ώστε να προκαλεί επιταχύνουσα ροπή. Κύλινδρος. I=1/ m Το σώμα επιβραδύνεται μεταφορικά επιβραδύνεται και στροφικά Η Τ αντιστέκεται στην περιστροφή έχει φορά προς τα πάνω ώστε να προκαλεί επιβραδύνουσα ροπή Παρατήρηση: Αν στο σώμα ασκείται και κάποια δύναμη F τότε η Τ μπορεί να είναι είτε προς τα πάνω είτε προς τα κάτω ανάλογα με το είδος της κίνησης και το σημείο εφαρμογής της δύναμης. ΣF = m αcm => Wx - T= m αcm => mg ημφ - T= m αcm (1) Στ = Ι αγων=> Τ = ½ m αγων => Τ = m αγων => Τ = m αcm () (1) + () => mg ημφ = / m αcm => αcm= g Παρατηρήσεις: Η επιτάχυνση είναι ανεξάρτητη από τη μάζα(m) και την ακτίνα()του στερεού. Συνεπώς δυο όμοια και συμπαγή γεωμετρικά στερεά (π.χ. δυο σφαίρες) κατέρχονται με την ίδια επιτάχυνση σε ένα κεκλιμένο επίπεδο. Μια μικρή ξύλινη και μια μεγάλη σιδερένια σφαίρα αν αφαιθούν από το ίδιο ύψος κεκλιμένου επιπέδου θα φτάσουν ταυτόχρονα και με την ίδια ταχύτητα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. 7

8 Για δυο όμοια γεωμετρικά σώματα που έχουν ίδια μάζα, ίδια ακτίνα αλλά το ένα είναι κούφιο και το άλλo συμπαγές (πχ. δύο κυλίνδρους ή ένα σφαιρικό φλοιό και μια συμπαγή σφαίρα ) ισχύει: Ικουφ>Ισυμπ π.χ. Ιφλ=/ m > Iσφ=/5 m Το κούφιο σώμα μπαίνει δυσκολότερα σε περιστροφή,αποκτά μικρότερη α cm και φτάνει αργότερα και με μικρότερη ταχύτητα στη βάση κεκλιμένου επιπέδου όταν αφεθεί από το ίδιο ύψος κεκλιμένου επιπέδου με ένα ίδιο συμπαγές στερεό. Απόδειξη: mg ημφ - T= m αcm (1) Τ = I αγων => Τ = I (1) + () => mg ημφ = αcm ( m ) => Επειδή Ικουφ> Ι συμπ => ακουφ< ασυμπ αcm () t x1=x => ½ ασυμπ tσυμπ = ½ ακουφ tκουφ a => 1 t a Από τις σχέσεις υ=αcm t και x= ½ αcm t => υ =αx => 1 Άρα το συμπαγές σώμα φτάνει γρηγορότερα και με μεγαλύτερη ταχύτητα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Εφαρμογή για σφαιρικό φλοιό (Ιφλ=/ m )και συμπαγή σφαίρα (Iσφ=/5 m ). Από την () => α cm,φλ= g 5 g και α cm,σφ= => α cm,φλ < α cm,σφ 5 7 t t a g και a 5 g g g 1 5 Άρα η σφαίρα φτάνει γρηγορότερα και με μεγαλύτερη ταχύτητα στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου από το σφαιριό φλοιό.. Για ορισμένη γωνία κλίσης του κεκλιμένου επιπέδου, προκειμένου να έχουμε κ.x.ο., ο συντελεστής στατικής τριβής δεν μπορεί να πάρει τιμές μικρότερες από μια συγκεκριμένη τιμή.( πχ. Για σφαίρα μs > /7 εφφ και για κύλινδρο μs > 1/ εφφ ) Εφαρμογή για κύλινδρο με Ι=1/ m ( Άσκηση του σχολικού βιβλίου) ΣF = m αcm => mg ημφ - T= m αcm (1) και Τ = ½ m αγων => Τ = m αγων => Τ = m αcm () CM mg I m () Από (1) και ()=> αcm= g () mg Από ()και () => Τ = (4) Για να έχουμε κ.χ.ο. πρέπει Τ Τστ,max => mg Τ μs Ν => μs mgσυνφ => μs 1/ εφφ => μs,min = 8

9 7***. Κίνηση στερεού σώματος με ολίσθηση και ο ρόλος της Τριβής ολίσθησης. Όταν ένας τροχός κυλίεται σε οριζόντιο επίπεδο κάθε σημείο της περιφέρειάς του έχει ταχύτητα : cm Όταν υcm = υγρ, τότε ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση. Αν όμως είναι υcm υγρ, τότε ο τροχός κυλίεται και ολισθαίνει. Η κίνηση μετατρέπεται σε κ.χ.ο. όταν υcm = υγρ, Διακρίνουμε τις παρακάτω περιπτώσεις: Α. Αφήνουμε ένα τροχό, που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω0 και το κέντρο του είναι ακίνητο ( ω0 0 και υcm=0 ), σε οριζόντιο επίπεδο, που έχει με αυτό συντελεστή τριβής ολίσθησης μ. Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο η ρόδα θα κινείται χωρίς να ολισθαίνει και πόση απόσταση θα διανύσει μέχρι τότε. Δίνεται Ι=m. Όταν η ρόδα ακουμπά στο έδαφος της ασκείται τριβή προς τα δεξιά. Η τριβή, η μόνη δύναμη στη κατεύθυνση της κίνησης, επιταχύνει μεταφορικά και επιβραδύνει στροφικά τη ρόδα. ΣF = m αcm => μmg =m αcm => αcm= μ g (1) Στ =Ι α γων => λόγω της (1) αγων = Η ρόδα κάνει μεταφορική κίνηση Άρα υcm =αcm t = μ g t () και στροφική κίνηση. g ω=ω0- αγων t = ω0 - t (4) g Όταν υcm = υγρ=ω, τότε η ρόδα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ( κ.χ.ο.) (),(4) => μ g t = ω => μ g t = (ω0 - () g t) => t= 0 g του τροχού θα μετατοπισθεί κατά x = ½ αcm t = 9 8g 0 (5). Στο χρόνο αυτό το CM Β. Ένας τροχός κινείται μεταφορικά χωρίς να περιστρέφεται ( ω0=0 και υcm 0 ), με οριζόντια ταχύτητα υcm και τη χρονική στιγμή t=0 έρχεται σε επαφή με οριζόντιο επίπεδο, που έχει με αυτό συντελεστή τριβής ολίσθησης μ. Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο η ρόδα θα κινείται χωρίς να ολισθαίνει και πόση απόσταση θα διανύσει μέχρι τότε. Δίνεται Ι=m. Όταν η ρόδα ακουμπά στο έδαφος της ασκείται τριβή προς τα αριστερά. Η τριβή εδώ επιβραδύνει μεταφορικά και επιταχύνει στροφικά τη ρόδα. ΣF = m αcm => -μmg =m αcm => αcm= -μ g (1) g Στ =Ι α γων => λόγω της (1) αγων = () Η ρόδα κάνει μεταφορική κίνηση Άρα υcm =υκ,0-αcm t =υκ- μ g t () και στροφική κίνηση. ω= αγων t = g t (4) Όταν υcm = υγρ=ω, τότε η ρόδα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ( κ.χ.ο.),0 (),(4) => υκ,0 - μ g t = μ g t => t = g του τροχού θα μετατοπισθεί κατά x = ½ αcm t = (6). (5). Στο χρόνο αυτό το CM,0 8g (6).

10 Γ. Μια ομογενής σφαίρα μάζας m και ακτίνας, ρίχνεται οριζόντια σε μη λείο οριζόντιο επίπεδο. Τη στιγμή της επαφής της σφαίρας με το επίπεδο το CM της έχει ταχύτητα υ 0 και η σφαίρα στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 0. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης, της σφαίρας με το επίπεδο είναι μ. Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο η σφαίρα θα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει όταν: i) υ 0 > ω 0 και ii) υ 0 < ω 0. Δίνεται για τη σφαίρα Ι = /5 m. i) Η σφαίρα πρέπει να επιβραδύνεται μεταφορικά και να επιταχύνεται στροφικά λόγω της τριβής, άρα η τριβή είναι προς τα αριστερά. Η α cm = -μ g(1) και α γων = 5 g () άρα: υcm =υκ,0-αcm t =υκ,0- μ g t () ω=ω0+αγων t = ω0 + 5 g t (4) Όταν υcm = υγρ=ω, τότε η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ( κ.χ.ο.) (),(4) => υκ,0- μ g t = (ω0 + 5 g t) =>,0 0 (,0 0) t= (5). 7 g 7g ii) Η σφαίρα πρέπει να επιταχύνεται μεταφορικά και να επιβραδύνεται στροφικά λόγω της τριβής, άρα η τριβή είναι προς τα δεξιά. Η α cm = μ g(1) και α γων = 5 g () άρα: υcm =υκ,0+αcm t =υκ,0+ μ g t () ω=ω0-αγων t = ω0-5 g t (4) Όταν υcm = υγρ=ω, τότε η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ( κ.χ.ο.) (),(4) => υκ,0+ μ g t = (ω0-5 g t) => 0,0 ( 0,0) t= (5). 7 g 7g Παρατήρηση: Εδώ η τριβή σχεδιάζεται ώστε να βοηθάει στην αύξηση της μικρότερης ταχύτητας του σημείου επαφής Α με το επίπεδο. Να θυμάσαι ότι: α) Στο στερεό που κυλίεται χωρίς ολίσθηση ισχύουν: υcm = ω, αcm = αγων και Τ μ Ν β) Στο στερεό που κυλίεται και ολισθαίνει ισχύουν: υcm ω, αcm αγων και Τ= μ Ν 10

11 Ασκήσεις κίνησης στερεών σωμάτων με ολίσθηση. 8.*** Ομογενής δίσκος μάζας m=1 Kg και ακτίνας =0,1 m περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω0=18 rad/s και το κέντρο του είναι ακίνητο ( ω0 0 και υcm=0 ) και τη χρονική στιγμή t=0 αφήνεται σε οριζόντιο επίπεδο, που έχει με αυτό συντελεστή τριβής ολίσθησης μ=0,. i) Να βρείτε μετά από πόσο χρόνο η ρόδα θα κινείται χωρίς να ολισθαίνει. ii) Αν ο δίσκος τη στιγμή της επαφής με το επίπεδο ενώ στρέφεται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω0 έχει και ταχύτητα υcm,0=1m/s< υγρ,0=1,8 m/s, να βρείτε μετά από πόσο χρόνο θα κινείται χωρίς να ολισθαίνει. iii) Μετά από πόσο χρόνο θα κάνει κύλιση χωρίς να ολισθαίνει,αν ο δίσκος τη στιγμή της επαφής με το επίπεδο, στρέφεται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα ω0 και έχει ταχύτητα υcm,0=4m/s> υγρ,0=1,8 m/s. Δίνεται Ι =1/ m. i) ΣF = m αcm => μmg =m αcm => αcm= μ g (1) Στ =Ι α γων => λόγω της (1) αγων = g () Ο δίσκος κάνει μεταφορική κίνηση Άρα υcm =αcm t = μ g t () και στροφική κίνηση. ω=ω0- αγων t = ω0 - g t (4) Όταν υcm = υγρ=ω, τότε η ρόδα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ( κ.χ.ο.) (),(4) => μ g t = ω => μ g t = (ω0 - g t) => t= 0 g ii) Η τριβή είναι προς τη μεριά της μικρότερης ταχύτητας. Ο δίσκος κάνει επιταχυνόμενη κίνηση μεταφορικά και επιβραδυνόμενη στροφικά λόγω της τριβής. Άρα: υcm =υκ,0+αcm t =υκ,0+ μ g t (5) ω= ω0-αγων t = ω0 - g t (6) Όταν υcm = υγρ=ω, τότε η σφαίρα => t= 0, s. κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ( κ.χ.ο.) (5),(6) => υκ,0+ μ g t = (ω0 - g t) => t= 0,0 0,0 = g g 15 s iii) Ο δίσκος κάνει επιβραδυνόμενη κίνηση μεταφορικά και επιταχυνόμενη στροφικά λόγω της τριβής. Άρα: υcm =υκ,0-αcm t =υκ,0- μ g t (7) ω=ω0+αγων t = ω0 + g t (8) Όταν υcm = υγρ=ω, τότε η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. ( κ.χ.ο.) (7),(8) => υκ,0- μ g t = (ω0 + g t) =>,0 0,0 0 t = = 8 g g 15 s 11

12 9. Ο τροχός μάζας m=kg και ακτίνας = 0, m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο με συντελεστή τριβής μ=0,4. Τη χρονική στιγμή t=0 ασκείται στο κέντρο του τροχού που αρχικά βρισκόταν σε ηρεμία, οριζόντια δύναμη F. i) Nα βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει η δύναμη F ώστε να έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση (κ.χ.ο.). ii) Αν ασκήσουμε οριζόντια δύναμη F =18Ν, να βρείτε την τριβή Τ και τη γωνιακή ταχύτητα που έχει το ανώτατο σημείο Γ του τροχού τη χρονική στιγμή t =s. iii) Αν ασκήσουμε οριζόντια δύναμη F =0Ν να βρείτε την τριβή Τ και τη γωνιακή επιτάχυνση που έχει το ανώτατο σημείο Γ και τη γωνιακή ταχύτητα που έχει το κατώτατο σημείο Α του τροχού τη χρονική στιγμή t=s. Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς το κέντρο μάζας του. Ι = 1/ m και g = 10 m/s i) ΣF = m αcm => F - T= m αcm (1) Τ = 1/ m αγων => Τ =1/ m αcm () (1) και () => F = m αγων => αcm= F m () Για να έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση (κ.χ.ο) πρέπει η τριβή Τ να είναι πάντα μικρότερη ή ίση από τη στατική τριβή ( Τστ). δηλ. Τ Τορ => Τ μ Ν => ½ m αcm μ m g => αcm μ g => F m μ g => F μ m g => F 4 N ii) Για F= 18N iii)*** Για F= 0 N έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση () => Τ =1/ m αcm => Τ =1/ m F m => Τ = F = 6 Ν υγ = υcm = αcm t = 4 m/s Άρα: Τ =μ Ν => Τ = 8 Ν έχουμε κύλιση με ολίσθηση ΣF = m αcm => F - T= m αcm => αcm = 11 m/s Στ = Ι αγων =>Τ = 1/ m αγων => αγων = 40 rad/s Παρατηρώ ότι αcm = 11 m/s αγων = 8 m/s cm => αγ=αcm +αε= αcm + αγων =11+8=19 m/s Τη χρονική στιγμή t= s : υcm = αcm t = m/s και ω= αγων t = 80 rad/s cm => υα = υcm υγρ = υcm ω = -16 = 6m/s 1

13 10. Ο κύλινδρος μάζας Μ = 4Κg και ακτίνας = 0, m του σχήματος έχει τυλιγμένο γύρω του αβαρές μη εκτατό νήμα. Αρχικά βρίσκεται σε ηρεμία σε οριζόντιο επίπεδο με το οποίο παρουσιάζει συντελεστή στατικής τριβής μσ = 0,5. Τη χρονική στιγμή t=0 ασκούμε στο νήμα μία κατακόρυφη δύναμη μέτρου F= 15Ν με αποτέλεσμα ο κύλινδρος να κινηθεί προς τα δεξιά χωρίς ολίσθηση. Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχεται από τα κέντρα των δύο βάσεων του Ι = ½ Μ και g=10 m/s i) Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου ii) Να. βρείτε τον ελάχιστο συντελεστή τριβής έτσι ώστε ο κύλινδρος να κάνει (κ,χ.ο.). iii) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή της δύναμης F για την οποία ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. iv) Αν το μ=0, να βρείτε το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου και τη ταχύτητα του σημείου επαφής με το έδαφος τη χρονική στιγμή t=1s. i) ΣFx = m αcm => T= m αcm (1) ΣFy = 0 => F+N= m g.=> N=mg-F () F -Τ = 1/ m αγων => F-Τ =1/ m αcm () () και () => F = m αγων => αcm= F m (4) F Άρα: αcm= =,5 m/s και αγων = 1,5 rad/s m F (1) =>T= m αcm =>T= m m => T= F ii) Για να έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση (κ.χ.ο) πρέπει η Τ να είναι πάντα μικρότερη ή ίση από την στατική τριβή. δηλ. Τ Τστ,max => Τ μ Ν => F μ (m g F) => μ 0,4 Άρα στην άσκησή μας επειδή το μ=0,5,ο τροχός κάνει (κ.χ.ο.). iii) Για ( κ.χ.ο)πρέπει Τ μ Ν => F μ (m g F) => F 17,14 N iv)***. Για μ=0,<0,4, ο κύλινδρος κυλίεται με ολίσθηση. ΣFy = 0 => F+N= m g.=> N=mg-F Τ= μ Ν => Τ= μ (m g F) => Τ = 5 Ν ΣFx = m αcm => T= m αcm => αcm= T m => αcm= 1,5 m/s F -Τ = 1/ m αγων => αγων= ( T) =5 rad/s m Το νήμα ξετυλίγεται με επιτάχυνση ανημ=αε=αγων = 5 m/s Για t=1 s έχουμε: υcm = αcm t = 1,5 m/s ω = αγων t =5 rad/s, Άρα: και υγρ = ω = 5 m/s υγ = υcm -υγρ = -,75 m/s 1

14 11. Ο τροχός μάζας m = Kg και ακτίνας = 0, m κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Στο ανώτερο σημείο της περιφέρειας του τροχού Γ μέσω ενός αβαρούς νήματος, το οποίο είναι τυλιγμένο στο τροχό ασκείται οριζόντια δύναμη με μέτρο F=18Ν. Αρχικά ο τροχός βρισκόταν σε ηρεμία και κατά τη κίνηση του δεν υπάρχει ολίσθηση μεταξύ νήματος και τροχού καθώς το νήμα ξετυλίγεται. Δίνεται η ροπή αδράνειας του τροχού ως προς το κέντρο μάζας του Ι = ½ m. και g=10 m/s. Να βρείτε: i) Να. βρείτε τον ελάχιστο συντελεστή τριβής έτσι ώστε ο τροχός να κάνει (κ.χ.ο.). ii) Αν ο συντελεστής τριβής είναι μ=0,4 να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σημείου του νήματος που αποκολλάται από τον τροχό. iii) Αν ο συντελεστής τριβής είναι μ=0, να υπολογίσετε τη χρονική στιγμή t = s τη ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου Γ, τη γωνία στροφής του τροχού, το μήκος του νήματος που έχει ξετυλιχθεί καθώς και τη μετατόπιση του CM μέχρι τότε. i) ΣF = m αcm => F + T= m αcm (1) F -Τ = 1/ m αγων =>F - Τ =1/ m αcm () (1) και () => F = m αγων => αcm= 4F m () => F = ¾ m αcm και η T =1/4 m αcm (4) Για να έχουμε κύλιση χωρίς ολίσθηση (κ.χ.ο) πρέπει η στατική τριβή να είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση από την Τ. δηλ. Τ Τστ => Τ μ Ν => 1/4 m αcm μ m g => αcm 4μ g => 4F m 4 μ g => F => μ 0, mg ii) Για μ=0,4 >0, θα έχω (κ.χ.ο.) Άρα () => αcm= ανημ = αcm = 4 m/s 4F m = 1 m/s iii)*** Για μ=0, <0, θα έχω κύλιση με ολίσθηση Άρα () => Τ= μ Ν => Τ= μ m g => Τ = 4 Ν ΣFx = m αcm => F + T= m αcm => αcm= F T m => αcm= 11 m/s F -Τ = 1/ m αγων => αγων= ( T) =70 rad/s m Το νήμα ξετυλίγεται με επιτάχυνση ανημ=αε=αγων = 14 m/s Για t= s έχουμε: υcm = αcm t = m/s ω = αγων t =140 rad/s, και υγρ = ω = 8 m/s Άρα: υγ = υcm +υγρ = 50 m/s και αγ = αcm +αε = αcm +αγων = 11+14=5 m/s ω=αγων t και θ=1/ αγων t => = 140 rad και l = θ = 8 m Δxcm = ½ αcm t = m 14

15 1. Κύλινδρος μάζας M και ακτίνας κυλίεται με τη βοήθεια νήματος, αβαρές μη εκτατό,που διέρχεται από τροχαλία ροπής αδράνειας Ιτρ και ακτίνας 1 και το άλλο άκρο του είναι δεμένο σε σώμα μάζας m1 όπως στα σχήματα. Τη χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε το σώμα ελεύθερο με αποτέλεσμα ο κύλινδρος να κινηθεί προς τα δεξιά χωρίς ολίσθηση. Αν το νήμα διέρχεται τη μια φορά από το CM του κυλίνδρου και την άλλη από το ανώτατο σημείο του, να γράψετε τις εξισώσεις κίνησης για το καθένα από τα τρία στερεά. Ποια είναι η σχέση των επιταχύνσεων του κυλίνδρου και του σώματος σε κάθε μία περίπτωση. Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχεται από τα κέντρα των δύο βάσεων του Ι = ½ Μ και g=10 m/s Στο πρώτο παράδειγμα (σχήμα 1) οι επιταχύνσεις του κυλίνδρου,του σώματος και η επιτρόχιος της τροχαλίας είναι ίσες. ( αcm,σωμ=αcm,κυλ =αε=ανημ ) Όταν το σώμα κατέρχεται κατά x και ο κύλινδρος επίσης μετατοπίζεται οριζόντια κατά απόσταση x. Εξισώσεις κίνησης. Σώμα: Κύλινδρος: Σχήμα 1 ΣF =m1αcm =>m1g-t1 =m1 αcm τροχαλία: Στ = Ι αγων=> Τ1 1-Τ 1= Ιτρ αcm/1 ΣF = M αcm=> Τ Τ = M αcm και Στ =Ι αγων => Τ =1/M αγων=> Τ=1/ Μ αcm Λύνοντας τις εξισώσεις παίρνοντας υπόψιν ότι Τ1= Τ1 και Τ= Τ βρίσκουμε την αcm. τροχαλία: Σχήμα Στο δεύτερο παράδειγμα (σχήμα ) οι επιταχύνσεις του σώματος, η επιτρόχιος της τροχαλίας και η επιτρόχιος του κυλίνδρου,είναι ίσες και διπλάσιες από την επιτάχυνση του CM του κυλίνδρου..( αcm,σωμ =αε=ανημ =αcm,κυλ) Συνεπώς όταν το σώμα κατέρχεται κατά x και ο κύλινδρος μετατοπίζεται οριζόντια κατά απόσταση χ. Εξισώσεις κίνησης. Σώμα: ΣF =m1αcm =>m1g-t1 =m1 αcm Στ = Ι αγων=> Τ1 1-Τ 1= Ιτρ αcm/1 Κύλινδρος: ΣF = M αcm=> Τ +Τ = M αcm και Στ =Ι αγων => Τ -T =1/M αγων=> Τ-T=1/ Μ αcm Λύνοντας τις εξισώσεις παίρνοντας υπόψιν ότι Τ1= Τ1 και Τ= Τ βρίσκουμε την αcm. 15

16 1. Γιό-γιό κινείται σε κατακόρυφο επίπεδο Α. Το ελεύθερο άκρο του νήματος δένεται σε σταθερό σημείο και το γιό-γιό κατεβαίνει καθώς ξετυλίγεται το νήμα. Κάθε σημείο του νήματος έχει ταχύτητα μηδέν. υνημ = υγ = 0 => υcm=υγρ=ω και αcm = αε= αγων ΣF= m αcm => mg-f=m αcm (1) Στ = Ι αγων => F =1/ m αγων =>F= ½ m αcm () mg= m αcm => αcm= g () acm αγων= => αγων= g () => F = ½ m αcm = ½ m g mg => F= Β***. Στο ελεύθερο άκρο του νήματος ασκείται προς τα πάνω σταθερή δύναμη F και το γιό-γιό κατεβαίνει καθώς ξετυλίγεται το νήμα. Το σημείο Γ έχει ταχύτητα και επιτάχυνση που δίνονται από τις σχέσεις: υγ =υcm υγρ με υγρ = ω αγ = α ε αcm με αε= αγων Προσοχή!!! υcm ω και αcm αγων cm a a acm => αγ=αγων - αcm => αγων = αγ +αcm(4) ΣF= m αcm => mg-f=m αcm (5) Στ = Ι αγων => F =1/ m αγων =>F= ½ m αγων (6) (5) +(6) => mg=m αcm +½ m αγων => g= αcm +½ αγων =>(4) g= αcm +½ (αγ +αcm ) =>g= αγ +αcm =>αcm = g (7) i) ii) iii) αγ = g αcm = g g g το γιογιό κατέρχεται (6) =>F=½ m (αγων )=> F=½ m (αγ +αcm )=> F=½ m (g +g/ )=> F= mg αγ = g αcm = g g 0!!! το γιογιό αιωρείται (6) =>F=½ m (αγων )=> F=½ m (αγ +αcm )=> F=½ m (g +0 )=> F= mg αγ = g αcm = g g g!! το γιογιό ανέρχεται (6) =>F=½ m (αγων )=> F=½ m (αγ +αcm )=> F=½ m (g -g/ )=> F= 4 mg 16

17 Όλα σε ένα : Μεταφορική- στροφική κίνηση ισορροπία. 14. Άκαμπτη ομογενής ράβδος ΑΓ με μήκος /=m και μάζα Μ = 4 Kg έχει το άκρο της Α αρθρωμένο και ισορροπεί οριζόντια. Στο άκρο Γ κρέμεται σώμα μάζας m= Kg. Η ράβδος ΑΓ εφάπτεται στο σημείο Β, που απέχει από το άκρο της Γ απόσταση l1=0,4 m, με στερεό που αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες 1 = 0,1 m και = 0, m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι I=0,01 Kg m. Γύρω από τον κύλινδρο ακτίνας 1 είναι τυλιγμένο αβαρές κα μη εκτατό νήμα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου κρέμεται σώμα μάζας m1 = 1 Kg. Αφήνουμε ελεύθερο το σύστημα και όταν το σώμα m1 κατέρχεται κατά h = 0.9 m έχει ταχύτητα υ= m/s. i) Να υπολογίσετε την γωνιακή επιτάχυνση του στερεού. ii) Αν η ράβδος ισορροπεί, να βρείτε το συντελεστή τριβής μεταξύ της ράβδου και του στερεού. iii) Να βρείτε τη δύναμη που ασκείται στη ράβδο στo σημείο Α από την άρθρωση. iv) Να υπολογίσετε το ρυθμό παραγωγής έργου στο στερεό τη χρονική στιγμή που έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους l = 0,9 m. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s. Σχεδιάζω τις δυνάμεις στα σώματα, στη ράβδο και στο στερεό όπως στο σχήμα. i) Για το σώμα μάζας m1 έχω; υcm = αcm t (1) και h= 1 αcm t ()=> υ cm = αcm h => αcm = = 5 m/s. h Η επιτάχυνση του m1 ισούται με την επιταχυνση του νήματος και είναι ίση με την επιτρόχια επιτάχυνση των σημείων της περιφέρειας του εσωτερικού κυλίνδρου. αcm,1 = αγων 1 => αγων = a cm,1 1 =50 rad/s ii) σώμα m1: ΣF = m1 αcm,1 => m1 g T1= m1 αcm,1 => T1= m1 (g-αcm,1)=> T1= 15 N σώμα m: ΣF = 0 =>T= m g =>T=0 N ' T1 1 I Στερεό: Στ = Ι αγων => Τ1 - Τ = Ι αγων => T= =5N Η ράβδος ισορροπεί : Στ(Α) =0 => Τ l +Μ g l/ =Ν( l-l1 ) => Ν= 50Ν T = μ N => μ= => μ= 0,1 iii)για τη ράβδο: ΣFx=0 => Fx = T= 5N ΣFy=0 => Fy = Mg+T -N= 10 N F F F 5 5 N και εφ φ = x y F y F x 10 5 iv) Το έργο στη στροφική κίνηση είναι: W = Στ θ => ΔW = Στ Δθ => W t t => W W W = Στ ω => = Ι αγων ω=> t t t = Ι αγων t () cm (1) => t = => t= 0,6 s W () => t = 0, ,6 = 15 J/s 17

18 15. Καρούλι = ένας κύλινδρος Δύο δίσκοι Στο σχήμα φαίνεται ένα σύστημα σωμάτων που αποτελείται από δύο ομογενείς δίσκους ίσης ακτίνας = 0, m και μάζας m = 1Kg και έναν ομογενή κύλινδρο ακτίνας = 0,1 m και μάζας M = Kg, οι οποίοι είναι κολλημένοι μεταξύ τους, έτσι ώστε να δημιουργούν ένα καρούλι. Το καρούλι κινείται σε οριζόντιο δάπεδο χωρίς να ολισθαίνει Τη χρονική στιγμή t =0 ασκούμε οριζόντια δύναμη F= 14 N όπως στο σχήμα. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του καρουλιού και το μέτρο της στατικής τριβής σε κάθε δακτύλιο. Ιολ= ΙΚ +ΙΔ=> Ιολ= 1 Μ + 1 m=0,05 Κg m ΣF= mολ αcm=> F+T = mολ αcm (1) Στ= Ιολ αγων =>F Κ-ΤΔ =Ιολ αγων => F cm -Τ =Ιολ () (1)+ () => F+ F αγων= cm = 0 rad/s = αcm ( mολ+ (1) => T = F- mολ αcm => Tσ = 1Ν 0,1 F(1 ) 14(1 ) 0, ) => αcm = 4 m/s 0,05 m 4 0, Κύλιση χωρίς ολίσθηση και Απλή Αρμονική Ταλάντωση 16. Ο κύλινδρος τον σχήματος, μάζας m και ακτίνας, μπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο. Απομακρύνουμε τον κύλινδρο από τη θέση ισορροπίας στη διεύθυνση τον ελατηρίου και στη συνέχεια τον αφήνουμε ελεύθερο. Αν στη θέση ισορροπίας του κυλίνδρου το ιδανικό ελατήριο, σταθεράς K, έχει το φυσικό του μήκος, να αποδείξετε ότι ο άξονας του κυλίνδρου θα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση και να βρείτε την περίοδο της. Δίνεται για τον κύλινδρο: Ι = 1/ m. Για να αποδείξουμε ότι ο άξονας του κυλίνδρου κάνει απλή αρμονική ταλάντωση, αρκεί να αποδείξουμε ότι σε μια τυχαία θέση ισχύει: ΣF= -D x Σε μια τυχαία θέση είναι: ΣF= T-Fελ(1). μεταφορική κίνηση: ΣF= m αcm=> Fελ -T = m αcm() στροφική του κίνηση: Στ= Ι αγων => Τ = 1 m αγων => Τ = 1 m αγων=> Τ = 1 m αcm () ()+ () => Fελ = m αcm => αcm = F m () => T= 1 m F F => T= (4) m (1) και (4) => ΣF= F -Fελ=- F = K x= -D x όπου D= K και Τ= π m K 18