Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την

Transcript

1 Η ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ενδιαφερόμαστε για την απλούστερη μορφή πειραματικής διαδικασίας, όπου η έκβαση των αποτελεσμάτων χαρακτηρίζεται μόνο ως "επιτυχής" ή "ανεπιτυχής" (δοκιμές Beroulli). Ορίζουμε λοιπόν μία τυχαία μεταβλητή Χ που λαμβάνει μόνο δύο τιμές, μία για κάθε δυνατή έκβαση του πειράματος. Αν για παράδειγμα ορίσουμε τη μεταβλητή Χ που εκφράζει μια δοκιμή Beroulli όπου, X 1,, ί ή Η διακριτή συνάρτηση μάζας πιθανότητας δίνεται από την p X p, ( x) 1 p, x 1 x όπου p είναι η πιθανότητα επιτυχίας. Η μέση τιμή αυτής της τυχαίας μεταβλητής είναι: Ε[Χ] = (1)p + ()(1-p) = p και Var[X] = (1-p) 2 p + (-p) 2 (1-p) =(1-p)p(1-p+p) =(1-p)p. Η συγκεκριμένη επιλογή τιμών για την Χ, οδηγεί σε μέση τιμή ίση με την πιθανότητα επιτυχίας έκβασης του πειράματος. Σε μία ακολουθία επαναλαμβανόμενων δοκιμών όπου: επαναλήψεις του πειράματος είναι στατιστικά ανεξάρτητες ανά δύο κάθε μία έχει διττή έκβαση (επιτυχή ή ανεπιτυχή) η πιθανότητα επιτυχίας παραμένει η ίδια για κάθε επανάληψη του πειράματος διακρίνουμε τα χαρακτηριστικά της κατανομής Beroulli. Η πιθανότητα ανεπιτυχούς έκβασης ενός πειράματος σε μια ακολουθία Beroulli, συμβολίζεται στο εξής με q. Προφανώς q=1-p. Παράδειγμα Σε μια ακολουθία τριών δοκιμών Beroulli, η ύπαρξη μιας επιτυχίας και δύο αποτυχιών μπορεί να συμβεί με ένα από τους ακόλουθους τρόπους

2 πιθανότητα 1 η Δοκιμή 2 η Δοκιμή 3 η Δοκιμή Χ 1 Χ 2 Χ Έτσι, η πιθανότητα να συμβεί την πρώτη φορά επιτυχία θα είναι Ρ(επιτυχία στην πρώτη δοκιμή) = Ρ((Χ 1 =1)(Χ 2 =)(Χ 3 =)) = Ρ((Χ 1 =1)Ρ(Χ 2 =)Ρ(Χ 3 =) = pqq = pq 2 Αντίστοιχα προκύπτει ότι Ρ(επιτυχία στην δεύτερη δοκιμή) = qpq = pq 2 Ρ(επιτυχία στην τρίτη δοκιμή) = qqp = pq 2 Αν στην ακολουθία των τριών δοκιμών οριστεί η τ.μ. Υ του πλήθους επιτυχιών, αυτή θα παίρνει τιμές,1,2 ή 3 Έτσι, η πιθανότητα Ρ μιας μόνο επιτυχίας σε τρεις δοκιμές είναι: Ρ(Υ=1) = Ρ((επιτυχία στην α δοκιμή)(επιτυχία στην β δοκιμή)(επιτυχία στην γ δοκιμή)) = Ρ(επιτυχία στην α δοκιμή)+ρ(επιτυχία στην β δοκιμή)+ρ(επιτυχία στην γ δοκιμή) = 3 pq 2 α.σ.κ. Δυωνυμικής Κατανομής, =8, p=,6 1,2 1,8,6,4, αριθμός επιτυχιών

3 πιθανότητα σ.π.π. Δυωνυμικής Κατανομής =8, p=,6,35,3,25,2,15,1, αριθμός επιτυχιών Κατανομή Beroulli ή Διωνυμική κατανομή με παραμέτρους p, IR, p+q=1 και Ζ. Η σ.π.π. είναι f(k) = Ρ(Υ=k) = p k q -k k (k είναι η τιμή της διακριτής τ.μ. Υ). Προφανώς, η α.σ.κ. είναι F(k) = P(Υk)= j k p j j j q Σημείωση Αν θεωρήσουμε ότι k=, τότε η προηγούμενη σχέση γίνεται F() = P(Υ)= j p j j j q Που είναι το ανάπτυγμα του διωνύμου του Newto, δηλαδή: F() = (p+q) = 1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Σε μια διαδικασία Beroulli η πιθανότητα επιτυχίας είναι,2. Να βρεθεί ο αριθμός των ανεξαρτήτων δοκιμών που πρέπει να εκτελεσθούν ώστε η πιθανότητα μιας τουλάχιστον επιτυχίας να είναι μεγαλύτερη ή ίση του,5. Η Τ.Μ. Χ εκφράζει τον αριθμό των επιτυχιών. Ζητείται η τιμή του έτσι ώστε Ρ(Χ > 1) >,5 Η πιθανότητα του συμβάντος Χ > 1 προκύπτει αν αθροίσουμε τις τιμές της Σ.Π.Π., x που είναι f ( x / p) p q x x

4 Γιατί το συμβάν Χ > 1 πραγματοποιείται όταν συμβεί ένα από τα συμβάντα χ=1, χ=2,, χ=, x x ( 1) (.8) PX x1 x Άρα: (.8) log log [.939 1] ΘΕΜΑ : Ένα σύστημα επιθεώρησης ποιοτικού ελέγχου απαιτεί ότι από την ημερήσια παραγωγή μίας γραμμής παραγωγής, ένα δείγμα 1 παραγόμενων προϊόντων επιλέγεται και ελέγχεται. Αν 2 ή περισσότερα στοιχεία του δείγματος είναι ελαττωματικά, ολόκληρη η ημερήσια παραγωγή καταστρέφεται. Αν η πιθανότητα ενός να παραχθεί ένα ελαττωματικό αντικείμενο είναι,5 ποια είναι η πιθανότητα απόρριψης ολόκληρης της ημερήσιας παραγωγής; Θέμα εξέτασης Σεπτεμβρίου 21 Αντιπαράδειγμα Beroulli Μια μηχανή κατασκευάζει 12 πηνία ανά ώρα. Από αυτά 5% δεν ανταποκρίνονται στο πρότυπο της εταιρείας. Ποια η πιθανότητα να βρεθούν 3 ελαττωματικά πηνία σε έλεγχο τυχαία επιλεγμένου δείγματος 6 πηνίων; Αν χρησιμοποιηθεί η κατανομή Beroulli, η πιθανότητα στο δείγμα των 6 να υπάρχουν 3 μη αποδεκτά πηνία θα είναι: Ρ = 12,5 3,95 3 =,86 6 Το αποτέλεσμα δεν είναι σωστό διότι στο σύνολο των 12 πηνίων υπάρχουν μόλις 6 μη αποδεκτά. Δύσκολα κανείς περιμένει ότι σε τυχαία επιλογή 6 πηνίων θα είναι σχεδόν βέβαιο (Ρ=,86) ότι θα επιλέγονται τόσα πολλά μη αποδεκτά πηνία. Προφανώς το λάθος βρίσκεται στο ότι όταν επιλεγεί ένα πηνίο, η επόμενη επιλογή θα γίνει από πληθυσμό με 119 πηνία. Έτσι δεν ισχύει η στατιστική ανεξαρτησία των δοκιμών, που είναι μία από τις τρείς απαραίτητες προϋποθέσεις για την κατανομή Beroulli. Η ορθή απάντηση βρίσκεται ως εξής: Το σύνολο των δυνατών εξάδων που είναι δυνατό να επιλεγούν ως δείγμα σε διάρκεια 12 μίας ώρας είναι. Επειδή είναι γνωστό ότι το 5% αυτών είναι μη αποδεκτά, απομένουν πηνία προς χρήση. Άρα οι τριάδες που έχουν τρία ακριβώς παραδεκτά πηνία είναι δυνατό

5 να επιλεγούν με 114 τρόπους. Οι τριάδες με τα τρία μη παραδεκτά είναι 3 3 των επιτυχών περιπτώσεων είναι το γινόμενο να είναι Ρ =, Beroulli Το σύνολο 114. Έτσι η πιθανότητα υπολογίζεται Μια τυχαία μεταβλητή θα λέγεται τ.μ. Beroulli (James Beroulli ελβετός μαθηματικός) αν για p (,1) η προσδοκώμενη τιμή E[X] = 1 P(X=1) + P(X=) = p (Η προσδοκώμενη τιμή μιάς τ.μ. Beroulli είναι η πιθανότητα ότι η τιμή της είναι 1). Κάθε δοκιμή έχει δύο μόνο δυνατά αποτελέσματα. Πιθανότητα πραγματοποίησης του ενδεχομένου είναι σταθερή (ίδια για όλες τις δοκιμές) Οι δοκιμές είναι στατιστικά ανεξάρτητες. Παράδειγμα Δυο ισοδύναμοι παίκτες παίζουν σκάκι.α) Ποιο είναι το πιο πιθανό να κερδίσει κάποιος από τα 4 τα 3 παιχνίδια ή από τα 8 τα 5; Β) Να κερδίσει τουλάχιστον τα 3 από τα 4 ή τουλάχιστον τα 5 από τα 8. Ξέρουμε πως οι δυο παίκτες είναι ισοδύναμοι άρα η πιθανότητα νίκης και η ήττας είναι ίδια. p = q = ½ Πιθανότητα νίκης στις 3 από τις 4 παρτίδες είναι : Ρ (3 ακριβώς στις 4 παρτίδες) = (4! / 3!) 1/16 = ¼ Πιθανότητα νίκης στις 5 από τις 8 παρτίδες είναι : Ρ (5 ακριβώς στις 8 παρτίδες) = (8! /(5!3!))(1/256) = 7/32 Άρα η πιθανότητα να κερδίσει κάποιος τις 3 από τις 4 είναι μεγαλύτερη.

6 Πιθανότητα νίκης τουλάχιστον στις 3 από τις 4 παρτίδες είναι : P(τουλάχιστον 3 στις 4 παρτίδες) = Ρ(3 στις 4) + Ρ(4 στις 4) = 1/4+1/16=5/16 Πιθανότητα νίκης στις 5 από τις 8 παρτίδες είναι: P(τουλάχιστον 5 στις 8 παρτίδες) = Ρ (5 στις 8) + Ρ(6 στις 8) + Ρ(7 στις 8) + Ρ(8 στις 8) = 7/32 + ( ) 1/256 = 93/256 παρτίδες είναι μεγαλύτερη πιθανότητα να κερδίσει κάποιος τουλάχιστον τις 5 από τις 8 Παράδειγμα (Γραπτή εξέταση Ιουνίου 25) Σε επαναλαμβανόμενο τυχερό παιχνίδι παίζουμε το ποσό α κάθε φορά. Η πιθανότητα να κερδίσουμε το ίδιο ποσό είναι,46 και η πιθανότητα να χάσουμε είναι,54. Ποιά η πιθανότητα σε = 25 παιχνίδια να έχουμε χάσει τουλάχιστον 15α ; Που τείνει η παραπάνω πιθανότητα όταν ; Για να χάσει κανείς 15 α σημαίνει ότι στις 25 δοκιμές έχασε τις 2 και κέρδισε τις 5. Η κατανομή έχει τα χαρακτηριστικά της διωνυμικής και έτσι, 25 P (2 ώ / 25έ ) (, )(,46 ),486 Επειδή ζητούμε την πιθανότητα να χάσει τουλάχιστον 15 α, θα υπολογιστούν αντίστοιχα και οι περιπτώσεις να χάσει 21, 22, 23, 24 και 25 παιχνίδια. Τελικά η ζητούμενη πιθανότητα είναι P ( ά 2 ώ / 25έ ),6563 Σε δοκιμές θα πρέπει να χάσει x φορές και να κερδίσει y φορές, έτσι ώστε

7 x y x y 15 Από όπου x 15 2 Έτσι, 15 P( ά ώ / έ ) 2 15 i 2 i (,54 )(,46 i 1 Το όριο του αθροίσματος αυτού προσεγγίζεται με τη βοήθεια του Θεωρήματος DeMoivre Laplace (βλέπε Α.Papoulis σελ 61) και είναι,54.