Γρηγόρης Δρακόπουλος. Φυσικός Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί. Επιλεγμένες ασκήσεις στη. Μηχανική Ρευστών. νω ν Φυσικών.

Transcript

1 Γρηγόρης Δρακόπουλος Φυσικός Ελληνογαλλική Σχολή Καλαμαρί Επιλεγμένες ασκήσεις στη Μηχανική Ρευστών Έ ν ω σ η Ε λ λ ή νω ν Φυσικών Θεσσαλονίκη 06

2 Ισορροπία υγρού Α. Στο διπλανό σχήμα, φαίνεται δοχείο που περιέχει υγρό πυκνότητας ρ = g/cm3, η ελεύθερη επιφάνεια του οποίου βρίσκεται σε απόσταση Η = m από τον πυθμένα του δοχείου που έχει εμβαδόν Α = 00 cm. Το υγρό είναι σε ισορροπία και έρχεται σε επαφή με τον ατμοσφαιρικό αέρα που έχει πίεση patm = 05 Pa, ενώ η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι ίση με g = 0 m/s. Να υπολογίσετε: α. Την πίεση στο σημείο Α, που βρίσκεται ακριβώς στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού, στο σημείο Β, που βρίσκεται σε βάθος h =, m από την ελεύθερη επιφάνεια του υγρού και στο σημείο Γ, που βρίσκεται στον πυθμένα του δοχείου. β. Το μέτρο της δύναμης F που δέχεται η βάση του δοχείου εξ αιτίας του υγρού. Να συγκρίνετε τη δύναμη αυτή με το βάρος του υγρού. γ. Γεμίζουμε με το ίδιο υγρό, ακόμα δύο δοχεία μέχρι η ελεύθερη στάθμη του να φτάσει στο ίδιο ύψος H με το πρώτο, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί. Να συγκρίνετε τις υδροστατικές δυνάμεις FΓ, FK, και FΛ που δέχονται οι βάσεις των τριών δοχείων που έχουν το ίδιο εμβαδόν Α = 00 cm. Ποιο δοχείο ασκεί τη μεγαλύτερη δύναμη στο οριζόντιο επίπεδο; Β. Αν τοποθετήσουμε ένα ευκίνητο έμβολο βάρους w = 000 N πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού, πόσο μεταβάλλεται η πίεση στα σημεία Α, Β και Γ; Αν τοποθετήσουμε ένα πρόσθετο βαρίδιο βάρους w = 000 N πάνω στο έμβολο, να υπολογίσετε τη μεταβολή στις πιέσεις στα σημεία Α, Β και Γ. Σε ποιο συμπέρασμα καταλήγετε;

3 Γ. Αν κλείσουμε ερμητικά το δοχείο με καπάκι και αφαιρέσουμε τον αέρα μέσα στο δοχείο, ποια θα είναι πίεση στα σημεία Α, Β και Γ. Να υπολογίσετε τη μεταβολή της υδροστατικής δύναμης που δέχεται η βάση του δοχείου σε σχέση με αυτή που υπολογίσατε στην αρχική περίπτωση. Α. Η πίεση στο σημείο Α επηρεάζεται αποκλειστικά από την ατμοσφαιρική πίεση, οπότε: p = patm p = 05 N / m Η πίεση στο σημείο Β, οφείλεται στην ατμοσφαιρική και την υδροστατική πίεση, οπότε: pb = p + ρ gh pb = , pb =, 05 N / m Το ίδιο ισχύει και για το σημείο Γ: pγ = p + ρ gh pγ = pγ =, 05 N / m β. Αφού γνωρίζουμε την πίεση στον πυθμένα του δοχείου, δηλαδή στο σημείο Γ, μπορούμε να υπολογίσουμε και το μέτρο της δύναμης FΓ που δέχεται ο πυθμένας από το υγρό: pγ = FΓ Α FΓ = pγ Α FΓ =, FΓ = 00Ν Το βάρος του υγρού που περιέχεται στο δοχείο υπολογίζεται από τη σχέση: w = mg = ρvg = ρ Hg w = w = 00N Επομένως: FΓ w = 00 = 6 FΓ = 6w 00 γ. Παρατηρούμε, ότι και στα τρία δοχεία η ελεύθερη επιφάνεια του υγρού απέχει την ίδια απόσταση H από τον πυθμένα τους, επομένως θα επικρατεί η ίδια πίεση και στα τρία δοχεία, δηλαδή:

4 pγ = pk = pλ pγ = p + ρ gh pγ = pγ =, 05 N / m Επειδή και τα τρία δοχεία ισορροπούν πάνω στο οριζόντιο επίπεδο που βρίσκονται θα ισχύει ότι: ΣF = 0 N = w Προφανώς, ακριβώς αντίθετη δύναμη Ν δέχεται το οριζόντιο επίπεδο. Είναι φανερό ότι το δοχείο με το μεγαλύτερο βάρος θα ασκεί και το μεγαλύτερη δύναμη και αυτό συμβαίνει με το τρίτο δοχείο που περιέχει και τη μεγαλύτερη ποσότητα νερού. Β. Στο σχήμα που ακολουθεί, σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο έμβολο, δηλαδή τη δύναμη Fatm εξ αιτίας της ατμοσφαιρικής πίεσης, το βάρος του εμβόλου w και τη δύναμη που ασκεί το υγρό στο σημείο Α. Αφού το έμβολο ισορροπεί, ισχύει: Σ F = 0 F = Fatm + w F = Fatm + w w p = patm + 3

5 p = p = p = 05 N / m Η πίεση στο σημείο Β: pb = p + ρ gh pb = , pb =, 05 N / m Όμοια, η πίεση στο σημείο Γ: pγ = p + ρ gh pγ = pγ =, 05 N / m Παρατήρηση: Συγκρίνοντας τις τιμές της πίεσης στα τρία αυτά σημεία Α, Β και Γ, με τις αντίστοιχες τιμές που είχαμε υπολογίσει στο ερώτημα Αα), καταλήγουμε ότι όλες είναι μεγαλύτερες κατά.05 Ν/m που αντιστοιχεί στην πίεση που προκάλεσε το βάρος του εμβόλου. Αν τοποθετήσουμε ένα πρόσθετο βαρίδιο βάρους w = 000N και επαναλάβουμε ακριβώς τα ίδια με την προηγούμενη περίπτωση από την ισορροπία του εμβόλου: Σ F = 0 F = Fatm + w + w F = Fatm + p = patm + w w + w w + Καταλήγουμε ότι η πίεση στο σημείο Α είναι: p = p = p = 4 05 N / m Η πίεση στο σημείο Β: pb = p + ρ gh pb = , pb = 4, 05 N / m και η πίεση στο σημείο Γ: pγ = p + ρ gη pγ = , pb = 4, 05 N / m Παρατήρηση: Συγκρίνοντας τις τιμές της πίεσης στα τρία αυτά σημεία Α, Β και Γ, με τις αντίστοιχες τιμές που είχαμε υπολογίσει στο ερώτημα Βα), 4

6 καταλήγουμε ότι όλες είναι μεγαλύτερες κατά.05 Ν/m που αντιστοιχεί στην πίεση που προκάλεσε το βάρος του εμβόλου. Συμπέρασμα: Κάθε μεταβολή στην πίεση ενός υγρού μεταδίδεται αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία του. Αρχή του Pascal) Γ. Στην περίπτωση που κλείσουμε το πάνω μέρος του δοχείου με καπάκι και αφαιρέσουμε τον αέρα τότε δεν λαμβάνουμε υπόψη μας την ατμοσφαιρική πίεση, οπότε: Η πίεση στο σημείο Α είναι: P = 0 Η πίεση στο σημείο Β: pb = p + ρ gh pb = 000 0, pb = 0, 05 N / m και η πίεση στο σημείο Γ: pγ = p + ρ gη pγ = 000 0, pb = 0, 05 N / m Διακλάδωση αγωγού Στο σχήμα, φαίνεται ένας οριζόντιος αγωγός με εμβαδόν διατομής Α = 0 cm ο οποίος διακλαδίζεται σε δύο αγωγούς με διατομές Α = 0 cm και Α = 4 cm αντίστοιχα. Η παροχή του κεντρικού αγωγού είναι σταθερή Π = 60 L/s και η παροχή του ενός αγωγού είναι Π = 40 L/s. Το νερό θεωρείται ιδανικό ρευστό με πυκνότητα 5

7 ρ = g/cm3. Να υπολογίσετε τη διαφορά των πιέσεων p και p που δημιουργείται στους δύο αγωγούς. Αφού γνωρίζουμε την παροχή Π του κεντρικού αγωγού, υπολογίζουμε την ταχύτητα u του ρευστού σ αυτόν: Π = Αu u = Π u= u = 30m / s Α Με τον ίδιο τρόπο, από την παροχή του αγωγού Π υπολογίζουμε την ταχύτητα u του ρευστού στον αγωγό ): Π = Αu u = Π u = u = 40m / s Α Εφαρμόζουμε την Αρχή Διατήρησης της Μάζας κατά μήκος του συστήματος των τριών αγωγών. Δηλαδή, η συνολική μάζα του ρευστού που εισέρχεται στον κεντρικό αγωγό είναι ίση με τη συνολική μάζα που εξέρχεται στον ίδιο χρόνο, οπότε καταλήγουμε ότι: Δm Δt Δm ΔV ΔV = ρ = Π = Π +Π Δt ρ Δt Δ t εισερχοµενη εξερχοµενη εισερχοµενη εξερχοµενη οπότε υπολογίζουμε και την παροχή Π του αγωγού ): Π = Π Π Π = 0L / s και την ταχύτητα u του ρευστού στον αγωγό ): Π = Αu u = Π u = u = 50m / s Α Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli κατά μήκος της ροϊκής γραμμής που διέρχεται από τον κεντρικό αγωγό και τον αγωγό ) σε δύο σημεία και αντικαθιστώντας τις τιμές των ταχυτήτων u και u καταλήγουμε στη σχέση: ) p + ρu = p + ρu p p = ρ u u p p = 3,5 05 Pa Ι) 6

8 Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli κατά μήκος της ροϊκής γραμμής που διέρχεται από τον κεντρικό αγωγό και τον αγωγό ) σε δύο σημεία, και αντικαθιστώντας τις τιμές των ταχυτήτων u και u καταλήγουμε στη σχέση: ) p + ρu = p + ρu p p = ρ u u p p = 8 05 Pa ΙΙ) Οπότε αφαιρώντας τις δύο σχέσεις Ι) και ΙΙ) κατά μέλη, φτάνουμε στη διαφορά των δύο πιέσεων: p p = ,5 05 p p = 4,5 05 Pa III) Β. Αν προσαρμόσουμε δύο κατακόρυφους σωλήνες κάθετα στους δύο αγωγούς να υπολογίσετε τη διαφορά h h του νερού στους σωλήνες. Υπολογίζουμε την πίεση στα σημεία ) και ): p = patm + ρ gh και p = patm + ρ gh Οπότε αφαιρώντας κατά μέλη: p p = ρ gh ρ gh p p = ρ g h h ) Λαμβάνοντας υπόψη και την προηγούμενη σχέση: 4,5 05 h h = h h = 30m ρg ) 7

9 Μέτρηση παροχής με σωλήνα Venturi Μικρές τρύπες στο στένωμα αλλά και στο άλλο τμήμα του σωλήνα επιτρέπουν την μέτρηση της πίεσης του ρευστού στα δύο αυτά σημεία με την βοήθεια υδραργυρικού μανόμετρου. Η διάμετρος στον φαρδύ σωλήνα είναι δ= cm ενώ στο στενό λαιμό δ = 6cm. H υψομετρική διαφορά του υδραργύρου στα δύο σκέλη του μανόμετρου είναι h = cm. Να υπολογίσετε την παροχή του νερού στο σωλήνα. H πυκνότητα του υδραργύρου είναι ρυ=3,6 g/cm3 ενώ του νερού ρ = g/cm3. Η επιτάχυνση της βαρύτητας δίνεται g =0 m/s. Εφαρμόζουμε την εξίσωση Bernoulli για τα σημεία ) και ) της ίδιας ρευματικής γραμμής του οριζόντιου σωλήνα: ) p + ρυ = p + ρυ p p = ρ υ υ ) Η παροχή σταθερή, οπότε υπολογίζουμε τις ταχύτητες υ και υ στα παραπάνω σημεία του σωλήνα με τη βοήθεια της εξίσωσης της συνέχειας, σε συνάρτηση με την παροχή του ρευστού: Π = Α υ υ = Π υ = Α Π 4Π υ = ) δ πδ π 4 Π = Α υ υ = Π υ = Α Π 4Π υ = 3) δ πδ π 4 Από ), ) και 3): p p = ρ 4Π 4Π 4) πδ πδ 8

10 Όπως φαίνεται και από το σχήμα που ακολουθεί, η πίεση στο σημείο είναι: p = ρgh+y) + p Ενώ η πίεση στο σημείο Β είναι: pb = ρυgh+ρgy + p Όμως τα σημεία Α και Β βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο οπότε ισχύει: p = pb p p = ρυ gh ρ gh = ρυ ρ ) gh 5) Από τις εξισώσεις 4), 5) έχουμε: ρυ ρ ) gh = ρ Π= π 4 4Π 4Π πδ πδ ρυ ρ ) gh ρ δ δ Υγρά με το ίδιο βεληνεκές Στο παρακάτω σχήμα, διαθέτουμε δοχείο το οποίο γεμίζουμε με υγρό πυκνότητας ρ μέχρι να φτάσει η ελεύθερη επιφάνειά του σε απόσταση h από τον πυθμένα του δοχείου. Κάποια στιγμή ανοίγουμε μικρή τρύπα σε ένα σημείο Β στο κατακόρυφο τοίχωμα του δοχείου που απέχει κατακόρυφη απόσταση y από τον πυθμένα του και διαπιστώνουμε ότι η φλέβα του νερού φτάνει στη μεγίστη οριζόντια απόσταση S από το δοχείο. 9

11 Στη συνέχεια, αφού γεμίσουμε και πάλι το δοχείο με νερό ώστε να φτάσει και πάλι στην αρχική του στάθμη, συμπληρώνουμε με λάδι πυκνότητας ρ = 0,8ρ μέχρι η ελεύθερη στάθμη του λαδιοί να φτάσει σε απόσταση h από τον πυθμένα του δοχείου. Ανοίγουμε και πάλι μικρή οπή σε κατακόρυφη απόσταση y από τον πυθμένα του δοχείου και διαπιστώνουμε μέγιστο βεληνεκές S. Ο λόγος y/y είναι: α. /3 β. 3/4 γ. 5/9 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Δίνεται g = 0 m/s και η ατμοσφαιρική πίεση. Τα υγρά είναι ιδανικά. Μελετάμε αρχικά το πρώτο δοχείο και εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli κατά μήκος μιας ροϊκής γραμμής ΑΒ. p + ρ gh = pb + ρu + ρ gy gh = u + gy ) Η στοιχειώδης μάζα εκτελεί οριζόντια βολή, οπότε ισχύουν οι παρακάτω εξισώσεις: y = gt και S = ut Από τις δύο αυτές εξισώσεις καταλήγουμε στην παρακάτω σχέση: y = gs u u = gs y ) Από τις ) και ) καταλήγουμε στο τριώνυμο που ακολουθεί: gh = gs y + gy 4hy = S + 4 y 4 y 4hy + S = 0 3) 0

12 Για να έχουμε πραγματικές λύσεις πρέπει: Δ 0 6h 6S 0 S h Οπότε το μέγιστο βεληνεκές είναι S,max = h, με αποτέλεσμα να καταλήξουμε ότι η κατακόρυφη απόσταση y που το ικανοποιεί είναι: β y = α y = h 4) Μελετάμε τώρα το δεύτερο δοχείο με νερό και λάδι, υπολογίζοντας αρχικά την πίεση που δημιουργείται στο σημείο Λ, που βρίσκεται στη διαχωριστική γραμμή νερού λαδιού. pλ = pk + ρ gh pλ = patm + ρ gh 5) Eφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli κατά μήκος μιας ροϊκής γραμμής ΛΜ. pλ + ρ gh = pμ + ρu + ρ gy 6) Από τις 5) και 6) και θέτοντας όπου pm = patm έχουμε: patm + 0,8 ρ gh+ ρ gh = patm + ρu + ρ gy,8gh = u + gy 3,6gh = u + gy 7) Η στοιχειώδης μάζα εκτελεί οριζόντια βολή, οπότε ισχύουν οι παρακάτω εξισώσεις:

13 y = gt και S = ut Από τις δύο αυτές εξισώσεις καταλήγουμε στην παρακάτω σχέση: y = gs u u = gs y 8) Από τις 7) και 8) καταλήγουμε στο τριώνυμο που ακολουθεί: 3,6 gh = gs y + gy 7,hy = S + 4 y 4 y 7,hy + S = 0 9) Για να έχουμε πραγματικές λύσεις πρέπει: ) Δ 0 7, h 6S 0 S,8 h Οπότε το μέγιστο βεληνεκές είναι S,max =,8 h, με αποτέλεσμα να καταλήξουμε ότι η κατακόρυφη απόσταση y που το ικανοποιεί είναι: β y = α y = 0,9 h 0) Τελικά, από τις 4) και 0) καταλήγουμε ότι: h y 5 = = = y 0,9h,8 y 9 y Ισορροπία και ιξώδες Α. Στο διπλανό σχήμα, ομογενές πλακίδιο με εμβαδόν βάσης και ύψος h ισορροπεί αρχικά σε υγρό πυκνότητας ρ και όγκου V έχοντας βυθιστεί κατά h/4, ενώ στο δεύτερο δοχείο, το ίδιο πλακίδιο καταφέρνει να ισορροπεί βυθισμένο κατά h/ σε υγρό πυκνότητας ρ και ίδιου όγκου V. Στη συνέχεια, αδειάζουμε και τα δύο υγρά, σε ένα άλλο δοχείο και αφού τα ανακατέψουμε καλά δημιουργούμε ένα ομογενές μείγμα, στην ελεύθερη επιφάνεια του οποίου αφήνουμε να ισορροπήσει και πάλι το πλακίδιο, με αποτέλεσμα να είναι βυθισμένο στο μείγμα κατά: α. h/3

14 β. h/5 γ. h/6 Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Β. Το πλακίδιο αφήνεται να κινηθεί κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ = 30ο πάνω σε ένα στρώμα παχύρρευστου υγρού πάχους ℓ και ιξώδους n με αποτέλεσμα να αποκτήσει σύντομα με οριακή ταχύτητα u. Το μέτρο της ταχύτητας u του πλακιδίου είναι: α. u = ρ ρ ℓ ) gh 6n gh ℓ ) n β. u = ρ + ρ γ. u = ρ ρ gh ℓ ) n Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g, να λάβετε υπόψη σας και την ατμοσφαιρική πίεση patm. Μελετάμε την ισορροπία του πλακιδίου αρχικά στο πρώτο δοχείο που περιέχει υγρό πυκνότητας ρ. Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που δέχεται το πλακίδιο εξ αιτίας της ατμοσφαιρικής πίεσης, της πίεσης σε βάθος h/4 και το βάρος του w. Επειδή λοιπόν το πλακίδιο ισορροπεί, ισχύει: Σ F = 0 F = Fatm + w F = Fatm + w ρ hg p = patm + p = patm + ρhg ) Όμως η πίεση p είναι το άθροισμα της ατμοσφαιρικής πίεσης και της υδροστατικής στο βάθος h/4, οπότε ισχύει: p = patm + ρ g h ) 4 3

15 επομένως από ), ) καταλήγουμε ότι: h patm + ρ g = patm + ρhg ρ = 4 ρ 3) 4 Το ίδιο επαναλαμβάνουμε και με το δεύτερο δοχείο που περιέχει υγρό πυκνότητας ρ. Σχεδιάζουμε και πάλι τις δυνάμεις που δέχεται το πλακίδιο εξ αιτίας της ατμοσφαιρικής πίεσης, της πίεσης στο βάθος h/ και το βάρος του w. Επειδή το πλακίδιο ισορροπεί, όμοια ισχύει: Σ F = 0 F = Fatm + w F = Fatm + w ρ hg p = patm + p = patm + ρhg 4) Όμως η πίεση p είναι και πάλι το αποτέλεσμα της ατμοσφαιρικής πίεσης και της υδροστατικής στο βάθος h/ οπότε προκύπτει p = patm + ρ g h 5) από 4), 5): h patm + ρ g = patm + ρhg ρ = ρ 6) Όταν αναμείξουμε τα δύο υγρά, που έχουν τον ίδιο όγκο V, προκύπτει ανά ομογενές μείγμα όγκου V, με πυκνότητα ρol, η οποία υπολογίζεται ως εξής; mol = m + m ρ olvol = ρv + ρv ρ ol V = ρv + ρv ρ ol = ρ + ρ 7) Στο παραπάνω σχήμα, φαίνεται το πλακίδιο να ισορροπεί στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού, βυθισμένο κατά x. Οπότε, ισχύει: Σ F = 0 F = Fatm + w F Fatm w ρ hg = + p = patm + p = patm + ρhg 8) Όμως η πίεση p εξ αιτίας της ατμοσφαιρικής πίεσης και της υδροστατικής πίεσης στο βάθος x είναι: p = patm + ρ ol gx 9) από 4), 5): patm + ρ ol gx = patm + ρhg ρ ol x = ρh 0) Όμως, λαμβάνοντας υπόψη μας τις σχέσεις 3), 6) και 0) καταλήγουμε ότι: 4

16 ρ ol x = ρh ρ + ρ 4 ρ + ρ h x = ρh x = ρh 3ρ x = ρh x = 3 B. Στο σχήμα, που ακολουθεί το πλακίδιο κινείται με σταθερή ταχύτητα κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου πάνω σε στρώμα παχύρευστου υγρού με ιξώδες n. Όπου Τ η τριβή ολίσθησης ανάμεσα στο πλακίδιο και το ρευστό, οπότε: Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις 3) και 6)προκύπτει ότι η πυκνότητα ρ του πλακιδίου δίνεται από τη σχέση: ρ + ρ = 6 ρ ρ = ρ + ρ 6 και επειδή το πλακίδιο εκτελεί ευθύγραμμη ομαλή κίνηση: Σ Fx = 0 w x T = 0 mgηµϕ = Τ mgηµϕ = n u ρ hgηµϕ = n u ℓ ℓ ρ hgηµϕ = n ρ +ρ ghℓ u hg = n u u = ρ + ρ ℓ ℓ n 6 ) greg.drakopoulos@yahoo.com 5