Ρευστά σε κίνηση. Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Υγρά σε ισορροπία F 1 F 2 F 3

Transcript

1 1. Ο υδραυλικός ανυψωτήρας του σχήματος περιλαμβάνει τρία αβαρή κυλινδρικά έμβολα 1, και 3. Η διάμετρος του εμβόλου 3 είναι διπλάσια της διαμέτρου του εμβόλου. F 1 F F 3 Ρευστά σε κίνηση Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Υγρά σε ισορροπία 3. Ο κυλινδρικός σωλήνας του σχήματος περιέχει δύο υγρά 1 και που δεν αναμιγνύονται και τα οποία έχουν πυκνότητες ρ 1 και ρ αντίστοιχα, d, όπως φαίνεται στα σχήμα. 4 Ασκούμε στο έμβολο 1 κατακόρυφη δύναμη μέτρου F 1, οπότε τα έμβολα και 3 δέχονται από το υγρό δύναμη μέτρου F και F 3 αντίστοιχα. Να δείξετε ποια από τις επόμενες σχέσεις είναι σωστη: F F 3 3 α.f = 4 F 3 β. F = F 3 γ. F = δ. F = 4 με ρ 3 1 =. Μία χρονική στιγμή t 1 το ύψος της ρ 4 στήλης του υγρού 1 είναι ίσο με d και η ελεύθερη επιφάνεια των υγρών στα δύο σκέλη του σωλήνα εμφανίζει υψομετρική διαφορά ίση με. Στο μανόμετρο του σχήματος, όταν η πίεση του αερίου Δ είναι διπλάσια της ατμοσφαιρικής, τότε η υψομετρική διαφορά της στήλης υδραργύρου στα δύο σκέλη είναι ίση με h Τη χρονική στιγμή t 1 η στήλη των υγρών: α. ρέει από το αριστερό σκέλος του σωλήνα προς το δεξιό. β. ρέει από το δεξιό σκέλος του σωλήνα προς το αριστερό. γ. ισορροπεί. Nα αιτιολογήσετε ποια είναι η σωστή πρόταση. 4. Δύο δοχεία Α και Β με διαφορετικό σχήμα έ- χουν το ίδιο εμβαδόν βάσης και περιέχουν νερό μέχρι το ίδιο ύψος, όπως φαίνεται στο σχήμα.. Όταν η πίεση του αερίου μειώνεται κατά 5%, τότε η υψομετρική διαφορά γίνεται ίση με: α. 0,5 h β. 0,5 h γ. 1,75 h Nα δείξετε ποια είναι η σωστή απάντηση. Α Β

2 1) Η συνισταμένη δύναμη που ασκεί το νερό στα τοιχώματα του δοχείου που το περιέχει (πλευρικά τοιχώματα και βάση) είναι: α. μεγαλύτερη στο δοχείο Α. β. μεγαλύτερη στο δοχείο Β. γ. ίση και στα δύο δοχεία. Nα αιτιολογήσετε ποια είναι η σωστή πρόταση. ) Η δύναμη που ασκεί το νερό στον πυθμένα του δοχείου είναι: α. μεγαλύτερη στο δοχείο Α. β. μεγαλύτερη στο δοχείο Β. γ. ίση και στα δύο δοχεία. Nα αιτιολογήσετε ποια είναι η σωστή πρόταση. 5. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα δοχείο που περιέχει ένα υγρό σε ισορροπία και βρίσκεται εκτός πεδίου βαρύτητας. Τα έμβολα (1) και () έχουν το ίδιο εμβαδόν Α και ασκούνται σ αυτά οριζόντιες εξωτερικές δυνάμεις ίδιου μέτρου F. Στο σημείο Μ που είναι το μέσο της απόστασης μεταξύ των δύο εμβόλων, η πίεση του υγρού ισούται με: α. μηδέν β. F Α γ. F Α 6. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται ένα δοχείο ύ- ψους Η που περιέχει ένα υγρό πυκνότητας ρ. Το δοχείο κλείνεται με αβαρές λεπτό έμβολο το οποίο δέχεται κάθετα στην επιφάνειά του κατακόρυφη δύναμη F. Η επιτάχυνση της βαρύτητας ισούται με g, ενώ το δοχείο βρίσκεται σε κενό. Η πίεση του υγρού στο σημείο Α δίνεται από τη σχέση: α. p A = ρgh β. β. p A = ρg(h-h) γ. p A = F - ρgh δ. p A = F + ρg(h-h) Α Α Εξίσωση της συνέχειας Εξίσωση Bernoulli 7. Γιατί οι βρύσες στα ισόγεια διαμερίσματα τρέχουν πιο γρήγορα από τις βρύσες των ρετιρέ; 8. Ο τρόπος με τον οποίο κάποια τρωκτικά αερίζουν τη στοά τους είναι ο εξής: Πάνω στην έξοδο που βρίσκεται ψηλά φτιάχνουν έναν κώνο σαν λοφίσκο ενώ η άλλη έξοδος βρίσκεται χαμηλά. Εξηγήστε πώς δημιουργείται το ρεύμα αέρα μέσα στη στοά. 9. Μία άδεια δεξαμενή νερού ακμής 10 m αρχίζει τη χρονική στιγμή t = 0 να γεμίζει μέσω ενός πυροσβεστικού κρουνού, του οποίου η παροχή ελαττώνεται με σταθερό ρυθμό μέχρι που μηδενίζεται, όπως φαίνεται στο διάγραμμα. Π(m 3 /s) t(s) Το ύψος της στήλης του νερού που αποθηκεύεται τελικά στη δεξαμενή είναι ίσο με: α. 1 m β. 5 m γ.,5 m

3 3 10. Στο σωλήνα του σχήματος ρέει ιδανικό υγρό. Στις περιοχές (1) και () του σωλήνα τα εμβαδά διατομών είναι Α 1 και Α αντίστοιχα και έχουν Α λόγο 1 =3, ενώ στις περιοχές () και (3) τα εμ- Α βαδά διατομών είναι Α και Α 3 αντίστοιχα και Α έχουν λόγο 1 =. Αν η υψομετρική διαφορά Α 3 της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού στους κατακόρυφους σωλήνες Β και Γ είναι ίση με h, τότε η αντίστοιχη υψομετρική διαφορά στους σωλήνες Α και Β είναι ίση με: α. h β. 3h 7 γ. 1h Ένα σιντριβάνι «πετάει» νερό σε μέγιστο ύψος h πάνω από τη βάση του. Αν η διατομή της φλέβας του νερού στη βάση του σιντριβανιού έχει εμβαδόν Α, τότε η διατομή της φλέβας σε νέργειας προς τον όγκο ορισμένης ποσότητας υγρού: α. μειώνεται στα σημεία μεγαλύτερης διαμέτρου του σωλήνα β. αυξάνεται στα σημεία μεγαλύτερης διαμέτρου του σωλήνα γ. μειώνεται στα σημεία μικρότερης διαμέτρου του σωλήνα δ. μένει σταθερό ανεξάρτητα από τις μεταβολές της διαμέτρου του σωλήνα. 14. Ένα ανοιχτό δοχείο είναι τοποθετημένο στο έδαφος και περιέχει νερό, το οποίο θεωρείται ιδανικό ρευστό, μέχρι ύψος h πάνω από τη βάση του. Στο πλευρικό τοίχωμα του δοχείου και σε ύψος h 1 3h πάνω από τη βάση του υπάρχει 4 μία οπή εμβαδού διατομής Α, που είναι πολύ μικρότερο από το εμβαδόν της βάσης του δοχείου. Μία βρύση με σταθερή παροχή ρίχνει νερό στο δοχείο, οπότε διατηρείται σταθερό το ύψος της στήλης του νερού, όπως φαίνεται στο σχήμα. ύψος h θα έχει εμβαδόν: α. Α β. A γ. A Nα αιτιολογήσετε ποια είναι η σωστή απάντηση. Θεωρήστε το νερό ιδανικό ρευστό. 1. Για να τετραπλασιαστεί το μέγιστο ύψος που φθάνει το νερό από ένα λάστιχο ποτίσματος πρέπει το εμβαδόν της διατομής του λάστιχου: α. να μειωθεί 16 φορές β. να μειωθεί 8 φορές γ. να μειωθεί 4 φορές δ. να μειωθεί φορές. 13. Ένα ιδανικό υγρό ρέει σε οριζόντιο σωλήνα μεταβλητού πάχους. Το πηλίκο της κινητικής ε- 1) Η παροχή της βρύσης ισούται με: α. A gh β. gh A γ. A 3gh ) Το εμβαδόν διατομής της φλέβας του νερού που εξέρχεται από την οπή, τη χρονική στιγμή που μόλις η φλέβα φθάνει στο έδαφος είναι ίσο με: α. Α β. 3A 4 γ. A

4 4 15. Στο πλευρικό τοίχωμα ενός ανοιχτού δοχείου και στην ίδια κατακόρυφο υπάρχουν δύο πολύ μικρές οπές σε διαφορετικά ύψη h 1 και h από τη βάση του δοχείου κα είναι αρχικά κλειστές. Τοποθετούμε το δοχείο στο έδαφος και ρίχνουμε μέσα σε αυτό νερό, που θεωρείται ιδανικό ρευστό, μέχρι η στάθμη του να φθάσει σε ύψος h πάνω από τη βάση του δοχείου. Ανοίγοντας ταυτόχρονα τις δύο οπές, παρατηρούμε ότι αρχικά οι φλέβες του νερού που εξέρχονται, πέφτουν στο ίδιο σημείο στο έδαφος. Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα. Για τα ύψη h 1,h και h ισχύει: α. h 1 + h = h β. h 1 + h = h γ. h 1 + h = 3h Ένα κυλινδρικό δοχείο περιέχει νερό πυκνότητας ρ ν και λάδι πυκνότητας ρ λ, τα οπoία θεωρούνται ιδανικά ρευστά. Το ύψος της στήλης του νερού και του λαδιού είναι h και d αντίστοιχα. Στον πυθμένα του δοχείου είναι προσαρμοσμένος μικρός σωλήνας με εμβαδόν διατομής πολύ μικρότερο από το εμβαδόν της βάσης του δοχείου, μέσω του οποίου ρέει νερό δημιουργώντας μικρό πίδακα, όπως φαίνεται στο σχήμα. 17. Στο σχήμα φαίνονται οι ρευματικές γραμμές του αέρα, πυκνότητας ρ, που φυσάει πάνω από τη στέγη ενός σπιτιού, το οποίο είναι ερμητικά κλειστό. Αν το αριστερό τμήμα της στέγης έχει εμβαδόν Α και ο αέρας φυσάει πάνω από τη στέγη με ταχύτητα υ, τότε η ανυψωτική δύναμη που δέχεται το αριστερό τμήμα της στέγης από τον αέρα λόγω διαφοράς πίεσης μεταξύ του εσωτερικού του σπιτιού και των σημείων πάνω από τη στέγη που φυσάει ο αέρας, έχει μέτρο: α. F = ρυ Α β. ρυ A F= γ. F = 4ρυ Α 18. Στο σχήμα φαίνεται ένα κομμάτι χαρτί το οποίο αφού έχει αρχικά διπλωθεί στη μέση, στη συνέχεια τοποθετείται πάνω σε οριζόντια επιφάνεια τραπεζιού, ώστε η διπλωμένη ακμή να είναι ελαφρά υπερυψωμένη. Αν φυσήξουμε στο χώρο μεταξύ του χαρτιού και του τραπεζιού, το χαρτί: Αν αγνοήσουμε την αντίσταση του αέρα, τότε για το μέγιστο ύψος h1, στο οποίο φθάνει ο πίδακας του νερού ισχύει: α. h 1 = h + d β. h 1 < h + d γ. h 1 > h + d α. θα κινηθεί προς τα πάνω β. θα κινηθεί προς τα κάτω γ. θα παραμείνει ακίνητο Εξηγήστε ποια είναι η σωστή απάντηση. 19. Όταν το ντους ρέει κατακόρυφα μέσα στη μπανιέρα, η κουρτίνα του μπάνιου: α. κινείται προς τα μέσα β. κινείται προς τα έξω γ. παραμένει ακίνητη

5 5 Εξηγήστε ποια είναι η σωστή απάντηση. 0. Ποιες σταγόνες βροχής πέφτουν γρηγορότερα, οι μικρές ή οι μεγάλες και γιατί; 1. Στο σχήμα φαίνεται ένας οριζόντιος σωλήνας σταθερής διατομής που είναι συνδεδεμένος στη βάση δεξαμενής, η οποία περιέχει υγρό που συμπεριφέρεται ως ιδανικό ρευστό. Στον οριζόντιο σωλήνα, στον οποίο ρέει το υγρό της δεξαμενής, έχουμε προσαρμόσει τρεις κατακόρυφους σωλήνες για να μετράμε την πίεση. Εξηγήστε γιατί η ελεύθερη στάθμη του ιδανικού ρευστού στους κατακόρυφους σωλήνες βρίσκεται στο ίδιο ύψος. Αν το υγρό συμπεριφερόταν ως πραγματικό ρευστό και η ροή του ήταν στρωτή, τότε για τα ύψη h 1, h και h 3 στους κατακόρυφους σωλήνες θα ίσχυε: h 1 h h 3 1) Εξηγήστε γιατί η ελεύθερη στάθμη του ιδανικού ρευστού στους κατακόρυφους σωλήνες βρίσκεται στο ίδιο ύψος. ) Αν το υγρό συμπεριφερόταν ως πραγματικό ρευστό και η ροή του ήταν στρωτή, τότε για τα ύψη h 1, h και h 3 στους κατακόρυφους σωλήνες θα ίσχυε: α. h 1 = h + h 3 β. h 1 > h > h 3 γ. h 1 < h < h 3

6 Υγρά σε ισορροπία 1. Ένα βαρέλι κρασιού έχει βάσεις σχήματος κυκλικού δίσκου, εμβαδού Α = cm, και είναι τοποθετημένο με τον άξονά του κατακόρυφο, ενώ τα κέντρα των βάσεων απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = 10 cm. στο μέσο του βαρελιού είναι προσαρμοσμένος πλαστικός κυλινδρικός σωλήνας εμβαδού διατομής α = cm, ο οποίος είναι κατακόρυφος και το πάνω άκρο του φράσσεται με αβαρές έμβολο, που μπορεί να κινείται μέσα στον σωλήνα χωρίς τριβές. Το βαρέλι και ο σωλήνας περιέχουν κρασί. Ασκούμε στο έμβολο, το οποίο βρίσκεται σε ύψος h = m πάνω από τη μέση του βαρελιού, κατακόρυφη δύναμη μέτρου F = 100 N με φορά προς τα κάτω. Β. ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Δίνονται: η πυκνότητα του κρασιού ρ = 1 g/cm 3, η ατμοσφαιρική πίεση p at = 10 5 Pa και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s.. Στο σχήμα φαίνονται τρία συγκοινωνούντα δοχεία που περιέχουν νερό και καταλήγουν σε κατακόρυφους κυλινδρικούς σωλήνες, οι οποίοι κλείνονται με έμβολα και ισορροπούν. Τα έμβολα Ε1, Ε και Ε3 έχουν μάζες m 1 = 140 kg, m = 7 kg και m 3 = 10 kg και εμβαδά διατομής Α 1 = 400 cm, Α = 00 cm και Α 3 = 300 cm αντίστοιχα. Το νερό μέσα στα δοχεία βρίσκεται σε ισορροπία. Να υπολογισθούν: α) η πίεση του κρασιού σ ένα σημείο της κάτω βάσης του βαρελιού. [Απ. 6, Pa] β) το μέτρο της κατακόρυφης δύναμης που δέχεται από το κρασί η πάνω βάση του βαρελιού. [Απ. 30, Ν] γ) κατά πόσο πρέπει να μεταβληθεί το μέτρο της κατακόρυφης δύναμης που ασκούμε στο έμβολο, ώστε το μέτρο της δύναμης που δέχεται από το κρασί η κάτω βάση του βαρελιού να γίνει ίση με 13 kn.; [Απ. μείωση 40 Ν] Να υπολογισθούν: α) η υψομετρική διαφορά h 1 μεταξύ των εμβόλων Ε1 και Ε3, καθώς και η υψομετρική διαφορά h μεταξύ των εμβόλων Ε και Ε3. [Απ. 0,5 m, 0,4 m] β) το μέτρο της δύναμης που ασκείται στο έμβολο Ε1 από το υγρό. [Απ. 5400Ν] γ) ποια θα έπρεπε να είναι η μάζα των εμβόλων Ε1 και Ε3 (η μάζα του εμβόλου Ε παραμένει ίση με 7 kg), ώστε τα τρία έμβολα να ισορροπούν στο ίδιο ύψος. [Απ. 144 kg, 108 kg] Δίνονται: η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3, η ατμοσφαιρική πίεση p at = 10 5 Pa και g = 10 m/s. Οι τριβές είναι αμελητέες. 3. Σε μία ανοιχτή δεξαμενή υπάρχει νερό και λάδι σε ισορροπία. Το ύψος του στρώματος του νερού είναι h 1 = 1 m, ενώ του λαδιού h = 5 m. Στο κατώτατο σημείο του πλευρικού τοιχώματος της δεξαμενής, δίπλα στη βάση, υπάρχει μικρό

7 7 κυκλικό άνοιγμα στο οποίο έχει προσαρμοστεί λεπτός κατακόρυφος γυάλινος σωλήνας, ανοιχτός στο άνω άκρο του. Να υπολογισθούν: α) Η πίεση στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υγρών. [Απ. 1, Pa] β) Το μέτρο της δύναμης που ασκείται από το υγρό σε κυκλικό τμήμα της βάσης διαμέτρου d = cm. [Απ. 48,67Ν] γ) To ύψος της στήλης του νερού στον κατακόρυφο γυάλινο σωλήνα. [Απ. 5,5 m] Δίνονται: η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3, η πυκνότητα του λαδιού ρ λ = 900 kg/m 3, η α- τμοσφαιρική πίεση p at = 10 5 Pa και g = 10 m/s. Θεωρήστε π = 3, Ο σωλήνας U του παρακάτω σχήματος περιέχει υγρό (1) άγνωστης πυκνότητας, το οποίο είναι αδιάλυτο στο νερό. Στο αριστερό σκέλος του σωλήνα προσθέτουμε νερό μέχρι το ύψος της στήλης του νερού να γίνει ίσο με h = 5 m. Τα δύο υγρά ισορροπούν και η ελεύθερη στάθμη του υγρού στο δεξιό σκέλος είναι d = 10 cm χαμηλότερα από την ελεύθερη στάθμη του νερού. Η ελεύθερη επιφάνεια του νερού απέχει από το χείλος του αριστερού σκέλους απόσταση d 1 = 10 cm, ενώ το εμβαδόν διατομής του σωλήνα ι- σούται με Α = 0 cm. α) Να υπολογίσετε την πυκνότητα του υγρού (1). [Απ kg/m 3 ] β) Να υπολογίσετε την υδροστατική πίεση στη διαχωριστική επιφάνεια νερού υγρού (1). [Απ. 500 Pa] γ) Toποθετούμε ένα μικρό λεπτό και αβαρές έμβολο στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού (1) (σημείο Γ) και το μετακινούμε πολύ αργά προς τα κάτω κατά d 1, οπότε μετακινούνται και τα δύο υγρά, μέχρι η ελεύθερη επιφάνεια του νερού να φθάσει στο χείλος του αριστερού σκέλους. Το έμβολο κινείται χωρίς τριβές. Στη συνέχεια ταπώνουμε αεροστεγώς το αριστερό σκέλος, χωρίς να εγκλωβιστεί αέρας μεταξύ της τάπας και του νερού, και αφήνουμε ελεύθερο το έμβολο, οπότε αυτό παραμένει στη θέση του. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης που δέχεται η τάπα από το νερό. [Απ. 195Ν] Δίνονται: η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3, η ατμοσφαιρική πίεση p at = 10 5 Pa και g = 10 m/s.

8 8 Εξίσωση της συνέχειας 5. Ένα λάστιχο ποτίσματος εσωτερικής διαμέτρου D = cm συνδέεται με ένα ραντιστήρι που αποτελείται από ένα κλειστό περίβλημα με Ν = 5 τρύπες, η κάθε μια διαμέτρου d = 0,1 cm. Αν τo νερό στο λάστιχο έχει ταχύτητα υ = 1 m/s με ποια ταχύτητα φεύγει το νερό από τις τρύπες του ραντιστηριού; [Απ. 16 m/s] 6. Νερό ρέει με ρυθμό m 3 /s σε έναν σωλήνα διαμέτρου D = 3 cm. Μία μικρή ρωγμή με διαστάσεις 0,1 mm 3 mm δημιουργείται και η παροχή εκροής μειώνεται κατά 1%. α) Ποια είναι η μέση ταχύτητα του νερού που εκτοξεύεται από τη ρωγμή; [Απ. 6,7 m/s] β) Ποια είναι η μέση ταχύτητα του νερού που εκρέει από τον σωλήνα; [Απ. 0,8 m/s] 7. Νερό σε θερμοκρασία δωματίου ρέει με σταθερή ταχύτητα υ Α = 8 m/s μέσω ενός ακροφύσιου με τετράγωνη διατομή, όπως φαίνεται στην εικόνα. Το νερό εισέρχεται στο ακροφύσιο στο σημείο Α και εξέρχεται από το ακροφύσιο στο σημείο B. Τα μήκη των πλευρών της τετραγωνικής διατομής στα Α και Β είναι α = 50 cm και β = 0 cm, αντίστοιχα. α) Ποια είναι η παροχή εκροής του νερού κατά την έξοδο; [Απ. m 3 /s] β) Αν η κάθετη απόσταση μεταξύ των διατομών εισόδου - εξόδου είναι d = m, ποια είναι η επιτάχυνση του νερού στην έξοδο; [Απ. 609 m/s ] γ) Aν ο η παροχή του νερού μέσω του ακροφύσιου αυξάνεται σε 6 m 3 /s, ποια είναι η επιτάχυνση του νερού στην έξοδο; [Απ m/s ] Εξίσωση Bernoulli 8. Σε ένα πείραμα προσομοίωσης, ένα μοντέλο τορπίλης τοποθετείται μέσα σε κυκλικό σωλήνα στον οποίο ρέει νερό με ταχύτητα υ 0 =,5 m/s σε περιοχές δίπλα απ την τορπίλη. Η διάμετρος της τορπίλης είναι d = 5 cm και η εσωτερική διάμετρος του σωλήνα D = 5 cm. Η τορπίλη και ο σωλήνας έχουν κοινό άξονα που είναι οριζόντιος. Να βρεθούν: α) Η ταχύτητα υ με την οποία ρέει το νερό σε περιοχές του σωλήνα μακριά από την τορπίλη. [Απ.,4 m/s] β) Η διαφορά πίεσης μεταξύ των περιοχών του του σωλήνα πάνω από την τορπίλη και μακριά απ αυτήν. [Απ. 45 Pa] Δίνεται: η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m Στο ροόμετρο Venturi του παρακάτω σχήματος θεωρήστε ότι Α1 = 5Α και ότι η πίεση στο σημείο 1 είναι p 1 =, Pa. Υπολογίστε τις τιμές της ταχύτητας ροής του νερού στα σημεία 1 και που θα έκαναν την πίεση στο σημείο να μηδενιστεί. Υπολογίστε και την αντίστοιχη παροχή του σωλήνα αν η διάμετρος της διατομής στο σημείο 1 είναι d 1 = 5 cm. Δίνεται: η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3 [Απ. 4,1 m/s, 0,5 m/s, 8, m 3 /s] (Το φαινόμενο στο σημείο όταν η πίεση είναι περίπου μηδέν είναι γνωστό σαν σπηλαίωση. Το νερό τότε εξατμίζεται και σχηματίζει μικρές φυσαλίδες.).

9 9 10. *Εφαρμόζοντας την εξίσωση του Bernoulli και την εξίσωση της συνέχειας στα σημεία 1 και του σχήματος, να δείξετε ότι η ταχύτητα ροής στην είσοδο (σημείο 1) δίνεται από τη σχέση: υ = α (ρ - ρ)gh ρ(α- α ) 11. Μία μεγάλη δεξαμενή νερού έχει μία τρύπα εμβαδού Α = 1 cm στην πλευρική επιφάνειά της σε ένα σημείο m κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού. Ποιος είναι ο ρυθμός εκροής της μάζας του νερού από την τρύπα; [Απ. 0,66kg/s] Δίνονται: η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3, και g = 9,8 m/s. 1. Από μία οπή που βρίσκεται στον πυθμένα ενός δοχείου εκρέει πετρέλαιο. Κάποια στιγμή η ταχύτητα εκροής του πετρελαίου είναι υ = 6 m/s, και η ταχύτητα με την οποία κατεβαίνει η ελεύθερη στάθμη του πετρελαίου είναι υ = 5 m/s. Να βρεθεί το ύψος της στάθμης του πετρελαίου την παραπάνω χρονική στιγμή. Δίνεται g = 10 m/s. [Απ. 55 cm] 13. Στο σωλήνα του σχήματος ρέει νερό. Αν ο λόγος των διατομών του σωλήνα στις θέσεις των δύο μανομέτρων είναι Α 1 /Α = 4 και h = 10 cm, να βρείτε την ταχύτητα του νερού στη θέση του πρώτου μανομέτρου. [Απ. 0,365 m/s] Δίνεται g = 10 m/s. 14. Για την υδροδότηση ενός χωριού που βρίσκεται σε υψόμετρο 100 m αντλείται νερό από μεγάλο ποτάμι. Η αντλία που τροφοδοτεί τον αγωγό μεταφοράς του νερού παίρνει το νερό από σημείο του ποταμού σε υψόμετρο 564 m. Η διάμετρος του αγωγού είναι 15 cm. Να βρείτε: α) Ποια είναι η ελάχιστη πίεση του νερού όταν φεύγει από την αντλία ώστε να μπορεί να φθάσει στο χωριό. [Απ. 4,374 MPa] β) Αν αντλούνται 4500 m 3 νερού την ημέρα, ποια είναι η ταχύτητα ροής του νερού στον αγωγό; [Απ.,95 m/s] Δίνονται: η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3, η ατμοσφαιρική πίεση p at = 1, Pa και g = 9,8 m/s. 15. Ένα μπουκάλι εμφιαλωμένου νερού όγκου V = 1,5 L γεμίζει από μία βρύση σε χρόνο t = 0 s. Αν το στόμιο της βρύσης έχει διάμετρο d = cm, να βρείτε: α) Την παροχή της βρύσης. [Απ. 7, m 3 /s] β) Την ταχύτητα εκροής του νερού από το στό- 3 μιο της βρύσης. [Απ. 4π m/s = 0,4 m/s] γ) Σε ποια απόσταση από το στόμιο της βρύσης η διάμετρος της φλέβας ροής του νερού γίνεται 7 η μισή της αρχικής. [Απ. 64π m = 4,7 cm] 16. Ένα ανοιχτό δοχείο γεμίζει με νερό από βρύση παροχής Π = 10 cm 3 /s. Στον πυθμένα του δοχείου υπάρχει μία οπή με εμβαδό Α = cm από την οποία διαφεύγει νερό. Ποιο είναι το ελάχιστο ύψος του δοχείου ώστε να μην παρατηρείται υπερχείλιση; Δίνεται g = 10 m/s. [Απ. 1,8 m] 17. Ένα ανοιχτό κυλινδρικό δοχείο που έχει ύψος Η = 0 cm και διάμετρο d = 10 cm, γεμίζεται με

10 10 νερό από βρύση παροχής Π = 140 cm 3 /s. Στον πυθμένα του δοχείου υπάρχει οπή εμβαδού Α = 1 cm από την οποία διαφεύγει νερό. Η στάθμη του νερού στο δοχείο ανέρχεται συνεχώς, μέχρι κάποια στιγμή, οπότε σταθεροποιείται σε ορισμένο ύψος h. Να βρείτε το ύψος αυτό. Δίνεται g = 9,8 m/s. [Απ. 10 cm] 18. Ένα δοχείο περιέχει νερό μέχρι ύψους Η. Στη μία πλευρά ανοίγεται μια τρύπα σε βάθος h κάτω από την επιφάνεια του νερού. α) Να βρείτε την απόσταση x από τη βάση του δοχείου στην οποία η φλέβα του νερού συναντά το πάτωμα. [Απ. h(h - h) ] β) Μπορεί η τρύπα να ανοιχτεί σ ένα άλλο ύψος ώστε αυτή η δεύτερη φλέβα να έχει το ίδιο βεληνεκές; Αν ναι, σε ποιο βάθος; [Απ. Η-h] Δίνονται: η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3, η ατμοσφαιρική πίεση p at = 1,013 g = 9,8 m/s Pa και 0. Ένας θερμοπίδακας (Geyser) στο Yellowstone Park των ΗΠΑ εκτοξεύει κάθε μία ώρα περίπου μία στήλη βραστού νερού σε ύψος h = 40 m. α) Με ποια ταχύτητα το νερό εγκαταλείπει το έδαφος; [Απ. 8 m/s] β) Ποια είναι η υπερπίεση η λεκάνη μέσα στο υπέδαφος που θερμαίνεται το νερό;[απ.39 kpa] Δίνονται: η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3, και g = 9,8 m/s. 1. Κλειστό δοχείο περιέχει νερό σε ύψος h = 80 cm και έχει πλευρικό σωλήνα με εμβαδά διατομών στα σημεία Α και Ο αντίστοιχα Α 1 = 8 cm και Α = cm όπως φαίνεται στο σχήμα. Η πίεση του αέρα μέσα στο δοχείο είναι p = 1,3 p at. 19. H τροφοδοσία νερού ενός σπιτιού γίνεται με έναν κύριο σωλήνα διαμέτρου D = 6 cm. Mία βρύση διαμέτρου d = cm που βρίσκεται m πάνω από τον κύριο σωλήνα γεμίζει ένα δοχείο όγκου V = 5 L σε t = 30 s. α) Ποια είναι η ταχύτητα με την οποία εκρέει το νερό από τη βρύση; [Απ. 5 3π m/s =,65 m/s] β) Ποια είναι η υπερπίεση στον κύριο σωλήνα των 6 cm; (Με τον όρο υπερπίεση ενοούμε την επιπλέον πίεση σε σχέση με την ατμοσφαιρική.) [Απ Pa] Να βρεθούν: α) Η ταχύτητα υ 0 με την οποία εξέρχεται το νερό από το άκρο Ο του σωλήνα. [Απ. υ = 8,7 m/s] β) Η παροχή Π του σωλήνα. [Απ. 1, m 3 /s] γ) Η πίεση p Α στο σημείο Α του σωλήνα. [Απ. 1, Pa] δ) Το ύψος h 1 του νερού στον κατακόρυφο σωλήνα ΑΒ. [Απ. 3,6 m] Δίνονται: η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3, η ατμοσφαιρική πίεση p at = 10 5 Pa και g = 10 m/s.. Μία κυλινδρική δεξαμενή νερού με ακτίνα βάσης r, που χρησιμοποιείται για το πότισμα των χωραφιών, βρίσκεται πάνω σε πύργο ύψους Η = 5m. Στον πυθμένα της δεξαμενής είναι προ-

11 11 σαρμοσμένος ένας κυλινδρικός ποτιστικός σωλήνας σταθερής διαμέτρου cm, ο οποίος καταλήγει στο έδαφος του χωραφιού, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η δεξαμενή τροφοδοτείται από μία βρύση σταθερής παροχής, ώστε η ελεύθερη στάθμη του νερού μέσα στη δεξαμενή να διατηρείται σε σταθερό ύψος h 1 πάνω από τη βάση της, ενώ η ταχύτητα ροής του νερού κατά την έξοδό του από τον ποτιστικό σωλήνα είναι υ = 1 m/s. Να βρείτε: α) το ύψος h 1 του νερού μέσα στη δεξαμενή. [Απ., m] β) την παροχή της βρύσης που τροφοδοτεί τη δεξαμενή με νερό. [Απ. 1π m 3 /s] γ) την πίεση του νερού στο σημείο όπου ο ποτιστικός σωλήνας ενώνεται με τη δεξαμενή. [Απ Pa] δ) τη σχέση της πίεσης του νερού σ ένα σημείο του ποτιστικού σωλήνα σε συνάρτηση με το ύ- ψος y του σημείου από το επίπεδο του χωραφιού και να σχεδιάσετε την αντίστοιχη γραφική παράσταση σε κατάλληλα βαθμολογημένους άξονες. [Απ. p = y, 0 y 5m] Δίνονται: η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3, η ατμοσφαιρική πίεση p at = 10 5 Pa και g = 10 m/s. Θεωρήστε ότι το εμβαδόν της βάσης της δεξαμενής είναι πολύ μεγαλύτερο από το εμβαδόν διατομής του ποτιστικού σωλήνα και ότι το νερό συμπεριφέρεται ως ιδανικό ρευστό. 3. Ένας γεωργός θέλει να ποτίσει τα δύο χωράφια του, που βρίσκονται σε διαφορετικά οριζόντια επίπεδα και τα οποία απέχουν μεταξύ τους κατακόρυφη απόσταση ίση με d = 5 m. O γεωργός παίρνει νερό από κεντρικό σωλήνα ακτίνας διατομής r = 15 cm, o οποίος στη συνέχεια διακλαδίζεται σε δύο άλλους σωλήνες (σωλήνες 1 και ) με ίσες ακτίνες διατομής r 1 = r = 10 cm. Ο κεντρικός σωλήνας και ο σωλήνας (1) βρίσκονται στο επίπεδο του πρώτου χωραφιού, ενώ ο σωλήνας () ξεκινά στο επίπεδο του πρώτου χωραφιού και φτάνει στο επίπεδο του δεύτερου χωραφιού. Η πίεση του νερού στον κεντρικό σωλήνα είναι p = Pa. Η ταχύτητα ροής του νερού στον κεντρικό σωλήνα είναι υ = 1 m/s, ενώ στο σωλήνα (1) είναι υ 1 = 1,5 m/s. Να βρεθούν: α) Η παροχή του νερού στον κεντρικό σωλήνα. [Απ. 5π m 3 /s] β) Η ταχύτητα ροής στο σωλήνα (). [Απ. 1 m/s] γ) Η πίεση του νερού στο σωλήνα (). [Απ., Pa] Δίνονται: η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3 και g = 10 m/s. Η ακτίνα διατομής των σωλήνων είναι αμελητέα σε σχέση με την κατακόρυφη απόσταση d των χωραφιών. 4. Μία αγροτική αποθήκη αποτελείται από τρεις ορόφους, το υπόγειο (1), το ισόγειο () και ένα πατάρι (3). Σε κάθε όροφο υπάρχει από μία βρύση, που το στόμιο εκροής της έχει εμβαδόν διατομής

12 1 1,5 cm. Η αποθήκη τροφοδοτείται με νερό από το δίκτυο ύδρευσης, ο κεντρικός αγωγός του οποίου έχει εμβαδόν διατομής 6 cm, βρίσκεται στην επιφάνεια του εδάφους και διακλαδίζεται, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το στόμιο εκροής της βρύσης του υπογείου βρίσκεται σε απόσταση h 1 =,8m κάτω από τον ά- ξονα του κεντρικού αγωγού, ενώ τα στόμια ε- κροής των βρυσών του ισογείου και του παταριού βρίσκονται σε αποστάσεις h = 1, m και h 3 = 3,6 m αντίστοιχα πάνω από τον άξονα του κεντρικού αγωγού. α) Όταν η βρύση του παταριού είναι κλειστή και οι άλλες βρύσες είναι ανοιχτές, τότε το μέτρο της ταχύτητας με την οποία εξέρχεται το νερό από τη βρύση του ισογείου είναι υ = 8 m/s. Να βρείτε: i) το μέτρο υ 1 της ταχύτητας με την οποία εξέρχεται το νερό από τη βρύση του υπογείου. [Απ. 1 m/s] ii) την παροχή νερού από τον κεντρικό αγωγό. [Απ m 3 /s] β) Ανοίγουμε και τη βρύση του παταριού και ταυτόχρονα μεταβάλλουμε την πίεση νερού στον κεντρικό αγωγό, έτσι ώστε να μη μεταβληθεί το μέτρο της ταχύτητας ροής του νερού στις βρύσες που ήταν ήδη ανοιχτές. i) να υπολογίσετε την πίεση σε ένα σημείο Ζ του άξονα του κεντρικού αγωγού ύδρευσης. [Απ. p = Pa] ii) Αν η εταιρεία ύδρευσης χρεώνει το νερό με 0,6 /m 3, να υπολογίσετε το κόστος της κατανάλωσης του νερού, αν και οι τρεις βρύσες παραμένουν ανοιχτές για μία ώρα. [Απ. 6,48 ] Δίνονται: η πυκνότητα του νερού ρ = 10 3 kg/m 3, η ατμοσφαιρική πίεση p at = 10 5 Pa και g = 10 m/s. Θεωρήστε ότι το νερό συμπεριφέρεται ως ιδανικό ρευστό. 5. *Ο σίφωνας είναι ένα μέσο για την αφαίρεση υγρού από ένα δοχείο που δεν μπορεί να αναποδογυριστεί (π.χ. για την μετάγγιση νερού από μία δεξαμενή). Λειτουργεί όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο σωλήνας σταθερής διαμέτρου d = cm πρέπει να γεμίσει αρχικά, αλλά από τη στιγμή που θα γίνει αυτό, το νερό θα ρέει μέχρι η στάθμη του να κατέβει κάτω από το άνοιγμα του σωλήνα (σημείο 3). Θεωρούμε αμελητέα την εσωτερική τριβή του νερού. Αν είναι h 1 = 1 m, h = m, ρ = 10 3 kg/m 3, p at = 1, Pa και g = 9,8 m/s, να βρείτε: α) Την ταχύτητα με την οποία εκρέει το νερό από το άκρο 3 του σωλήνα. [Απ. υ 3 = 4,43 m/s] β) Την παροχή Π του σωλήνα. [Απ. 4, m 3 /s] γ) Την πίεση στο ψηλότερο σημείο του σωλήνα. [Απ. p = 81,7 kpa] δ) Το μέγιστο ύψος από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού που μπορεί να βρεθεί το ψηλότερο σημείο του σωλήνα, με δεδομένο ότι για να διατηρείται η συνεχής ροή του νερού στο σίφωνα, η πίεσή του δεν πρέπει να πέσει κάτω από την τάση των ατμών, η οποία στους 0 0 C είναι ίση με,3 kpa. [Απ. 10,1 m ] Απόστολος Γεωργάκης Φυσικός