Αρχές ροής υπογείων υδάτων

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Αρχές ροής υπογείων υδάτων 2.1 Το εφαρμοσμένο πρόβλημα Το κίνητρο για να μελετήσουμε αρχές της υπόγειας ροής μάς το δίνουν μια σειρά ερωτημάτων που ανακύπτουν σε περιστατικά ρύπανσης των υπογείων υδάτων. Μερικά από τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής: Προς τα πού κινείται το υπόγειο νερό; πόσο γρήγορα κινείται; (Εδώ, έμμεσα ρωτάμε πόσο γρήγορα μπορεί το νερό να συμπαρασύρει ένα ρύπο.) Πόσον όγκο νερού μπορούμε να αντλήσουμε; (Αυτό το ερώτημα ενδιαφέρει γιατί ένα πιθανό μέτρο αποκατάστασης είναι και η άντληση από ρυπασμένους υδροφορείς, σε συνδυασμό με επεξεργασία του αντλούμενου νερού.) Πόση μάζα ρύπου μεταφέρει το υπόγειο νερό που κινείται ή που αντλούμε; Για να απαντήσουμε τις πιο πάνω ερωτήσεις ή για να καταλαβαίνουμε ποιοι παράγοντες επηρεάζουν τις απαντήσεις στα πιο πάνω ερωτήματα, πρέπει να μελετήσουμε το μηχανικό φαινόμενο της υπόγειας ροής. Η ροή υπογείων υδάτων (groundwater flow) αποτελεί αντικείμενο των ευρύτερων θεματικών ενοτήτων ρευστομηχανική (fluid mechanics) και ροή σε πορώδες μέσο (flow in porous media), από τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε λίγες θεμελιώδεις έννοιες. 2.2 Το μηχανικό φαινόμενο Για να αναλύσουμε το μηχανικό φαινόμενο της ροής των υπογείων υδάτων, χρειάζεται να ξέρουμε το αίτιο της κίνησής τους. Είναι σκόπιμο να αναζητήσουμε το μέγεθος εκείνο το οποίο αν γνωρίζαμε σε κάθε σημείο του πεδίου ροής θα ξέραμε πώς κινείται το νερό. Για την ανάλυση φυσικών φαινομένων ροής (μάζα ή όγκος ρευστού, μάζα ρύπου, θερμότητα, ηλεκτρισμός), συνήθως ορίζουμε μια κλίση δυναμικού, ορίζουμε δηλαδή ένα μέγεθος (δυναμικό) του οποίου η αλλαγή στο χώρο (κλίση) προκαλεί ροή της ποσότητας που μας ενδιαφέρει. Για τα προβλήματα ροής ρευστών, το μέγεθος του οποίου η αλλαγή προκαλεί ροή είναι η συνολική μηχανική ενέργεια ανά μονάδα μάζας ρευστού. Το δυναμικό ρευστού, Φ, για μοναδιαία μάζα (και σταθερή πυκνότητα) σε ένα σημείο του πεδίου ροής δίνεται ως (Freeze and Cherry, 1979): 2 v p p0 Φ = gz + + (2.1) 2 ρ όπου g είναι η επιτάχυνση της βαρύτητας, z είναι η απόσταση από κάποιο οριζόντιο επίπεδο αναφοράς, v είναι η ταχύτητα του ρευστού, p είναι η πίεση του ρευστού, p 0 είναι μια πίεση αναφοράς, συνήθως η ατμοσφαιρική, και ρ είναι η πυκνότητα του ρευστού. Λαμβάνοντας την ατμοσφαιρική πίεση αναφοράς p 0 = 0, και για προβλήματα ροής όπου οι ταχύτητες είναι μικρές, όπως συμβαίνει στα προβλήματα της υπόγειας ροής, ο όρος της κινητικής ενέργειας είναι αμελητέος, κι έτσι απλοποιείται η έκφραση για το δυναμικό: Σημειώσεις Μαθήματος Αποκατάσταση Ρυπασμένων Χώρων, Μαρίνα Πανταζίδου 2-1

2 pg Φ = gz + = gh γ (2.2) Στην εξίσωση (2.2) εισάγεται ένα καινούριο μέγεθος, το υδραυλικό φορτίο, h, που είναι το μέτρο της μηχανικής ενέργειας, ή, ισοδύναμα, το μέτρο δυναμικού. Η διαφορά του υδραυλικού φορτίου είναι το μέγεθος που μας επιτρέπει να αποφανθούμε αν το νερό κινείται ή όχι. Έτσι, αν εξετάζουμε δύο σημεία Α και Β, διακρίνουμε μεταξύ δύο περιπτώσεων: Δh ΑΒ = 0 το νερό δεν κινείται μεταξύ Α και Β Προσοχή όμως! Το δεδομένο Δh ΑΒ =0 δεν παρέχει επαρκή πληροφορία για να συμπεράνουμε ότι επικρατούν υδροστατικές συνθήκες, καθώς το νερό μπορεί να κινείται κάθετα στο διάστημα ΑΒ. Δh ΑΒ 0 (ύπαρξη υδραυλικής κλίσης) το νερό κινείται μεταξύ Α και Β Επίσης ξέρουμε και τη φορά της κίνησης, από το σημείο υψηλού δυναμικού στο σημείο χαμηλού δυναμικού, αφού στην κατεύθυνση της κίνησης του νερού χάνεται ενέργεια. Προσοχή όμως! δεν έχουμε επαρκή πληροφορία για να συμπεράνουμε ότι η διεύθυνση της κίνησης συμπίπτει με το διάστημα ΑΒ, απλά ξέρουμε ότι η ταχύτητα του υπόγειου νερού έχει μια συνιστώσα στη διεύθυνση που ορίζει το διάστημα ΑΒ. Για να έχουμε μια συνολική εικόνα για το πεδίο ροής, χρειαζόμαστε χάρτες με ισοδυναμικές καμπύλες. Ο λόγος που εισάγουμε ένα επί πλέον μέγεθος, δηλαδή το υδραυλικό φορτίο, είναι πρακτικός, επειδή έτσι γίνεται δυνατή η απαλοιφή της επιτάχυνσης της βαρύτητας από όλα τα μέλη της εξίσωσης (2.2) που δίνει: h = z + p/γ w (2.3) Η εξίσωση (2.3) μας επιτρέπει να υπολογίζουμε το υδραυλικό φορτίο h, σε κάθε σημείο του πεδίου ροής, ως το άθροισμα του υψομετρικού φορτίου, z, και του πιεζομετρικού φορτίου, p/γ w. Σημειώνεται ότι το υδραυλικό φορτίο έχει μονάδες μήκους [], όπως βέβαια και κάθε μέλος της εξίσωσης (2.3). Για κάθε σημείο του πεδίου ροής μπορούμε να υπολογίσουμε το υδραυλικό φορτίο αν γνωρίζουμε την πίεση, p, σε αυτό το σημείο και μετρώντας την απόστασή του, z, από το επίπεδο αναφοράς. Το υδραυλικό φορτίο είναι το μέγεθος που αναζητούσαμε, δηλαδή εκείνο που όταν το γνωρίζουμε σε κάθε σημείο του πεδίου ροής, ξέρουμε πώς κινείται το νερό. Έτσι η εξίσωση (2.3) είναι πολύ χρήσιμη, αφού μας επιτρέπει να υπολογίζουμε το μέγεθος-κλειδί για τα προβλήματα ροής στα σημεία που μας ενδιαφέρουν. Πρέπει να τονιστεί ότι τα παραπάνω περιγράφουν τη ροή ως αποτέλεσμα μεταβολών της μηχανικής ενέργειας του ρευστού. Υπάρχουν και άλλου είδους διαφορές ενέργειας (κλίσεις δυναμικού) που προκαλούν ροή των ρευστών, όπως διαφορές θερμοκρασίας, ηλεκτρικού δυναμικού και συγκεντρώσεων χημικών ουσιών. Σε αυτές τις περιπτώσεις έχουμε συζευγμένα φαινόμενα ροής (ωσμωτικά φαινόμενα) που δεν αποτελούν αντικείμενο αυτών των σημειώσεων και για τα οποία ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει στη βιβλιογραφία (itchell and Soga, 2005). Σημειώσεις Μαθήματος Αποκατάσταση Ρυπασμένων Χώρων, Μαρίνα Πανταζίδου 2-2

3 Παράδειγμα 2.1: δύο φρέατα που καταλήγουν από το ίδιο βάθος Στο Σχήμα 2.1 απεικονίζονται δύο φρέατα που καταλήγουν στο ίδιο βάθος, ενώ η στάθμη του νερού στο καθένα είναι διαφορετική. Ο σκοπός του απλού αυτού παραδείγματος είναι να βοηθήσει στην εξοικείωση με τα μεγέθη υδραυλικό, υψομετρικό και πιεζομετρικό φορτίο. 15m A 1 A1,A2 στάθμη νερού στα φρέατα B1 14m Από τον ορισμό του υδραυλικού φορτίου (2.3): h Α1 = z Α1 + p A1 /γ w = 15m+0 h Β1 = z Β1 + p Β1 /γ w = 14m+0 Σύμβαση-παραδοχή p A1 = p Β1 = ατμοσφαιρική =0 A 2 3m B2 h A1 = h A2 (γιατί;) h A2 = z Α2 + p A2 /γ w p A2 /γ w =15m-3m=12m αυθαίρετο επίπεδο αναφοράς Σχήμα 2.1: Μετρήσεις στάθμης υπογείων υδάτων σε δύο φρέατα Α και Β. Το συμπέρασμα στο οποίο μπορούμε να καταλήξουμε με τις πληροφορίες του Σχήματος 2.1 είναι ότι υπάρχει οριζόντια συνιστώσα της ροής με φορά από το φρέαρ Α (h A2 = 15m) προς το φρέαρ Β (h B2 = 14m). Το Σχήμα 2.1 θα μπορούσε να απεικονίζει ισοδύναμα δύο πιεζόμετρα στα οποία μετράμε το ύψος της στήλης του νερού (πχ το μήκος A1,A2 ), το οποίο μας δίνει το πιεζομετρικό ύψος του νερού στο σημείο όπου εγκαταστήσαμε το πιεζόμετρο (δηλαδή στο Α 2 ). Όπως προαναφέρθηκε, για να έχουμε μια συνολική εικόνα για το πεδίο ροής, χρειαζόμαστε χάρτες με ισοδυναμικές καμπύλες, τους οποίους μπορούμε να κατασκευάσουμε αν έχουμε εγκαταστήσει αρκετά φρέατα παρατήρησης και μετρήσει τη στάθμη του νερού στο καθένα. Στο εφαρμοσμένο όμως πρόβλημα, δεν μας ενδιαφέρει μόνο προς τα πού κινείται το νερό, αλλά και το πόσο γρήγορα κινείται. Την απάντηση μας δίνει ο νόμος του Darcy, όπως θα δούμε στην επόμενη ενότητα. Σημειώσεις Μαθήματος Αποκατάσταση Ρυπασμένων Χώρων, Μαρίνα Πανταζίδου 2-3

4 2.3 Ταχύτητα υπόγειας ροής ο νόμος του Darcy Στα μέσα του 19 ου αιώνα, o Darcy προσδιόρισε μια εμπειρική σχέση που συνδέει την ταχύτητα του νερού στο έδαφος με τα χαρακτηριστικά της ροής, με τη βοήθεια πειραμάτων ροής σε εδαφικές στήλες. Στη συνέχεια θα περιγράψουμε αυτή τη σχέση με τη βοήθεια του Σχήματος 2.2 1, αφού ορίσουμε πρώτα κάποια βασικά μεγέθη. Δh 1,2 p 2 /γ w p 1 /γ w 2 h 2 h 1 z 2 επίπεδο αναφοράς 1 z 1 διατομή επιφάνειας Α Σχήμα 2.2: Σκαρίφημα πειραματικής διάταξης ροής διαμέσου εδαφικής στήλης: το εδαφικό δείγμα συγκρατείται με πλέγματα στα σημεία 1 και 2. (Ποια είναι η κατεύθυνση της κίνησης του νερού; Από το σημείο 2 στο σημείο 1 ή από το 1 στο 2; Γιατί;) Η παροχή, Q [μονάδες: όγκος/χρόνος, 3 /T], είναι ο όγκος νερού που διέρχεται από μια διατομή στη μονάδα του χρόνου. Η μέση ταχύτητα ροής, v [/T], είναι ο λόγος της παροχής προς την επιφάνεια της διατομής, Α (επισήμανση: η επιφάνεια Α είναι κάθετη στη διεύθυνση ροής). Αναφορικά με το Σχήμα 2.2, έχοντας μετρήσει την παροχή, βρίσκουμε τη μέση ταχύτητα ως: v = Q /A (2.4) Ο Darcy βρήκε πειραματικά ότι η ταχύτητα είναι ανάλογη της υδραυλικής κλίσης, i: v i = Δh 1,2 / (2.5) (δηλαδή της κλίσης του υδραυλικού φορτίου), η οποία ορίζεται ως η διαφορά υδραυλικού φορτίου μεταξύ δύο σημείων, Δh 1,2, δια το μήκος ροής μεταξύ των δύο 1 Στο Σχήμα 2.2 σημειώνονται, για εξάσκηση, τα μεγέθη υδραυλικό φορτίο, πιεζομετρικό φορτίο και υψομετρικό φορτίο για τα σημεία 1 και 2. Για τον υπολογισμό της ταχύτητας ροής επαρκεί η γνώση της διαφοράς υδραυλικού φορτίου μεταξύ των σημείων 1 και 2. Σημειώσεις Μαθήματος Αποκατάσταση Ρυπασμένων Χώρων, Μαρίνα Πανταζίδου 2-4

5 αυτών σημείων,. (Προσοχή! Το μήκος ροής, όχι την απόσταση των δύο σημείων! Στο απλό μονοδιάστατο παράδειγμα ροής του Σχήματος 2.2, το μήκος ροής συμπίπτει με την απόσταση.) Την αναλογική σχέση που βρήκε ο Darcy μπορούμε να την εκφράσουμε ως ισότητα, εισάγοντας το μέγεθος της υδραυλικής αγωγιμότητας, k, που περιγράφει την ευκολία κίνησης του νερού διαμέσου των εδαφικών πόρων: v 1,2 = k i 1,2 (2.6) Στη γενική περίπτωση όπου δεν γνωρίζουμε την φορά της κίνησης του νερού, η (2.6) γράφεται με αρνητικό πρόσημο, που δηλώνει ότι η κίνηση του νερού γίνεται στην κατεύθυνση που μειώνεται το υδραυλικό φορτίο: v 1 2 = -k (h 2 -h 1 )/ (2.7) Για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, από αυτήν την ενότητα συγκρατούμε για την παροχή και τη μέση ταχύτητα τις σχέσεις: Q = k i A (2.8) και v = k i (2.9) Υδραυλική αγωγιμότητα Η υδραυλική αγωγιμότητα εκφράζει συνδυασμένα τις ιδιότητες του πορώδους μέσου και του ρευστού, δηλ. του εδάφους και του νερού στα προβλήματα υπόγειας ροής. Η συμβολή του μέσου και του ρευστού μπορεί να διαχωριστεί με την πιο κάτω έκφραση για την υδραυλική αγωγιμότητα: k = K ρ g / μ (2.10) όπου K είναι η απόλυτη περατότητα, που είναι ιδιότητα του εδάφους, ενώ ρ και μ είναι η πυκνότητα και το ιξώδες του ρευστού, αντίστοιχα. Η υδραυλική αγωγιμότητα των φυσικών εδαφών παρουσιάζει πολύ μεγάλη διακύμανση: 10 έως 12 τάξεις μεγέθους από τα χαλίκια έως την άργιλο. Ξαναγυρνώντας στην εξίσωση (2.9), αξίζει να τονίσουμε ότι η ταχύτητα της κίνησης του υπόγειου νερού εξαρτάται και από την υδραυλική αγωγιμότητα, δηλαδή το είδος του εδάφους, αλλά και από την υδραυλική κλίση, δηλαδή τα χαρακτηριστικά του πεδίου ροής. Για συνθήκες φυσικής ροής (πχ όχι για συνθήκες άντλησης), οι ackay et al. (1985) δίνουν ένα αναμενόμενο εύρος ταχυτήτων 1 έως 1000 μέτρα το χρόνο για περατά στρώματα (άμμους και χαλίκια), ενώ εκτιμούν ως πιο συνήθη μια διακύμανση μεταξύ 10 και 100 μέτρων το χρόνο Τι αγνοεί πότε ισχύει ο νόμος του Darcy O νόμος του Darcy, ή, ισοδύναμα, η εξίσωση (2.9), στην ουσία αγνοεί το πορώδες μέσο, θεωρώντας ροή διαμέσου της συνολικής επιφάνειας της διατομής. Αγνοεί δηλαδή την ύπαρξη των εδαφικών κόκκων, που καταλαμβάνουν ένα ποσοστό της διατομής το οποίο δεν είναι διαθέσιμο για ροή. Γι αυτόν το λόγο, όταν αναφερόμαστε στην ταχύτητα που δίνει η εξίσωση (2.9), την προσδιορίζουμε ως ταχύτητα Darcy ή φαινόμενη ταχύτητα. Εύκολα μπορούμε να πειστούμε ότι αυτή δεν είναι η πραγματική ταχύτητα του υπόγειου νερού, αφού η παροχή δεν διαιρείται με την επιφάνεια της πραγματικής διατομής που αντιστοιχεί στη ροή (δηλ. την επιφάνεια που αντιστοιχεί στους εδαφικούς πόρους) αλλά με την επιφάνεια της Σημειώσεις Μαθήματος Αποκατάσταση Ρυπασμένων Χώρων, Μαρίνα Πανταζίδου 2-5

6 συνολικής διατομής. Θέλοντας να πλησιάσουμε πιο κοντά στην πραγματικότητα, ορίζουμε τη μέση γραμμική ταχύτητα, v, ως το λόγο της παροχής προς την επιφάνεια των πόρων, A v : v Q Q v = = = (2.11) A A n n V όπου n είναι το πορώδες του εδαφικού υλικού, το οποίο εκφράζει το λόγο του όγκου των εδαφικών πόρων προς το συνολικό όγκο εδαφικού δείγματος (V v /V). Σημειώνεται ότι η αντικατάσταση της επιφάνειας των πόρων σε μια διατομή, A v, με το γινόμενο A n προϋποθέτει ότι ο λόγος της επιφάνειας των πόρων προς τη συνολική επιφάνεια εκφράζεται, για κάθε διατομή, από το πορώδες. Η μέση γραμμική ταχύτητα, v, μας είναι χρήσιμη γιατί περιγράφει την κίνηση του νερού διαμέσου της επιφάνειας που είναι διαθέσιμη για ροή. Γι αυτό, αν υποθέσουμε ότι εμφανίζεται στο ανάντη άκρο της εδαφικής στήλης του Σχήματος 2.2 (δηλαδή στο σημείο 1) ένας ρύπος και θέλουμε να υπολογίσουμε σε πόσο χρόνο θα εμφανιστεί το κατάντη άκρο (σημείο 2), μπορούμε να υπολογίσουμε το χρόνο άφιξης, Τ, του ρύπου με τη σχέση: T = (2.12) v Η σχέση (2.12) θα δώσει μια ικανοποιητική απάντηση στο ερώτημά μας, με την προϋπόθεση ότι ο ρύπος θα κινηθεί κυρίως λόγω της κίνησης του υπόγειου νερού, μια προσέγγιση που, όπως θα δούμε στο Κεφάλαιο 4, είναι ικανοποιητική για συγκεκριμένες συνθήκες. Στο ίδιο αυτό κεφάλαιο, θα συναντήσουμε ξανά τη μέση γραμμική ταχύτητα, v, και θα της αποδώσουμε έναν συνώνυμο όρο που περιγράφει με ακρίβεια τη συμβολή της στην εξάπλωση των ρύπων στο υπόγειο νερό. Επί πλέον, ο νόμος του Darcy ισχύει για στρωτή ροή, προϋπόθεση η οποία ικανοποιείται για τιμές του αδιάστατου αριθμού Reynolds, R=ρvd/μ, που δεν ξεπερνούν ένα εύρος τιμών 1 έως 10 (σημειώνεται ότι ο αριθμός Reynolds ορίζεται για σωλήνα διαμέτρου d), περιορισμός που ικανοποιείται στις περισσότερες περιπτώσεις φυσικής ροής σε εδάφη. Τέλος, όπως προαναφέρθηκε, ο νόμος του Darcy περιγράφει πλήρως τη ροή όταν δεν υπάρχει θερμική, χημική ή ηλεκτρική κλίση δυναμικού. 2.4 Εξισώσεις ροής Η προηγούμενη ενότητα παρουσίασε ένα νόμο που μπορεί να βοηθήσει στην επίλυση απλών μονοδιάστατων προβλημάτων ροής σε κορεσμένο έδαφος, για συνθήκες μόνιμης ροής, δηλαδή όταν δεν υπάρχουν μεταβολές στο χρόνο (η ταχύτητα σε κάθε σημείο παραμένει σταθερή). Για πιο πολύπλοκα προβλήματα, χρειάζεται να επιλυθούν οι διαφορικές εξισώσεις ροής οι οποίες προκύπτουν με βάση την αρχή της διατήρησης της μάζας του νερού, και οι οποίες διαφοροποιούνται για ροή σε κορεσμένο ή ακόρεστο έδαφος. Επί πλέον, σε περιπτώσεις ταυτόχρονης ροής ρευστών, η αρχή της διατήρησης της μάζας εφαρμόζεται για κάθε ρευστό ξεχωριστά και με αυτόν τον τρόπο προκύπτουν οι συζευγμένες διαφορικές εξισώσεις πολυφασικής ροής. Οι εξισώσεις αυτές δεν αποτελούν αντικείμενο αυτών των σημειώσεων και ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στη βιβλιογραφία (Dullien, 1992). Εδώ θα αναφερθεί απλώς η σχέση της πολυφασικής ροής με τα Σημειώσεις Μαθήματος Αποκατάσταση Ρυπασμένων Χώρων, Μαρίνα Πανταζίδου 2-6

7 προβλήματα ρύπανσης του υπεδάφους σε περιπτώσεις διαρροής ρύπων που δεν αναμειγνύονται με το νερό. Τέτοιοι ρύποι είναι τα πετρελαιοειδή ή οι οργανικοί διαλύτες, στους οποίους αναφερόμαστε με τον όρο μη υδατική φάση και με τους οποίους θα ασχοληθούμε στο Κεφάλαιο 3. (Δεν βλάπτει όμως να τονιστεί από τώρα ότι, ενώ οι δύο φάσεις δεν αναμειγνύονται, η μη υδατική φάση πάντα διαλύεται σε κάποιο βαθμό στο νερό, βλέπε Ενότητα 3.4.) Έτσι, σε κάποια περιστατικά ρυπασμένων χώρων, ενδιαφέρει η διφασική (νερό-μη υδατική φάση) ή τριφασική ροή (αέρας-νερό-μη υδατική φάση). 2.5 Προβλήματα Παράδειγμα 2.2: ροή σε ανομοιογενές έδαφος Για το πεδίο ροής που εικονίζεται στο Σχήμα 2.3, ζητείται να υπολογιστεί η παροχή (για επιφάνεια, κάθετη στην οριζόντια διεύθυνση ροής, ίση με 1 m 2 ) όταν η υδραυλική αγωγιμότητα είναι 8640 m/ημ και 432 m/ημ για τα στρώματα 1 και 2, αντίστοιχα. Επίσης, ζητείται να υπολογιστεί το υδραυλικό φορτίο στα σημεία Η και Μ. Οι επιφάνειες ΑΒ και ΓΔ είναι αδιαπέρατες (συνοριακή συνθήκη: γνωστή, σταθερή παροχή, Q = 0), ενώ οι επιφάνειες ΑΓ και ΒΔ είναι ισοδυναμικές επιφάνειες (συνοριακή συνθήκη: γνωστό όπως δίνεται στο Σχήμα 2.3 σταθερό υδραυλικό φορτίο). A h=5m Η Μ B h=1m Γ Δ x=0 x =1 x =1.5 x=2.5m Σχήμα 2.3: Ανομοιογενές εδαφικό στρώμα και συνοριακές συνθήκες πεδίου ροής. Η ανομοιογένεια του εδάφους δεν επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε απ ευθείας τις εξισώσεις της Ενότητας 2.3 για όλο το πεδίο ροής, αλλά μπορούμε να τις χρησιμοποιήσουμε για κάθε στρώμα ξεχωριστά. Ξεκινάμε παρατηρώντας ότι η συνολική πτώση υδραυλικού φορτίου μεταξύ των επιφανειών ΑΓ και ΒΔ, ή ισοδύναμα μεταξύ των σημείων Α και Β αφού στο πρόβλημά μας οι κατακόρυφες επιφάνειες είναι και ισοδυναμικές γραμμές, ισούται με το άθροισμα της πτώσης υδραυλικού φορτίου σε κάθε ένα στρώμα (παρατήρηση που δεν θα χρησιμοποιηθεί για την απάντηση των ερωτημάτων της άσκησης): Δh A + Δh Μ + Δh ΜΒ = h A h Β = 4m Παρατηρούμε επίσης ότι, λόγω συνέχειας, από κάθε στρώμα περνάει η ίδια παροχή, Q: Q = Q A = Q Μ = Q ΜΒ Στη συνέχεια, γράφουμε την έκφραση που δίνει την παροχή για κάθε στρώμα ξεχωριστά: Σημειώσεις Μαθήματος Αποκατάσταση Ρυπασμένων Χώρων, Μαρίνα Πανταζίδου 2-7

8 Q A ha h = k 1 A k1 0.5m k2 1m h h Q = k 2 h h k = k A = Q ( h h ) = h h 10 ( 5m h ) = h h 50m + h = 11h (1) 1 2 A A = Q 0.5m 1m B h h = k 2 h h = k 1 A A ( h h ) h h = 10h 10m = h = 11h 10m (2) B B B Επιλύοντας το σύστημα των εξισώσεων (1) και (2), βρίσκουμε h Μ = 1.33m και h Η = 4.67m. Σημειώνεται ότι η μεγαλύτερη πτώση υδραυλικού φορτίου (δηλαδή η μεγαλύτερη απώλεια ενέργειας) λαμβάνει χώρα στο στρώμα χαμηλότερης υδραυλικής αγωγιμότητας. Οι συνοριακές συνθήκες σε αυτό το πρόβλημα αναγκάζουν το νερό να περάσει με την ίδια ταχύτητα (αφού η παροχή πρέπει να μείνει σταθερή και η διατομή είναι σταθερή) από όλα τα στρώματα, με αποτέλεσμα να παρατηρείται η μεγάλη απώλεια ενέργειας στο χαμηλότερης περατότητας στρώμα. Αντίθετα, σε ένα πιο ρεαλιστικά ανομοιογενές, διδιάστατο ή τριδιάστατο πρόβλημα, το νερό θα κινηθεί κυρίως διαμέσου των πιο περατών στρώσεων, αποφεύγοντας τις λιγότερο περατές στρώσεις. Για τη συνολική παροχή, αρκεί να υπολογίσουμε την παροχή σε ένα στρώμα: ha h 5m 4.67m 2 3 QA = k 1 A = 8640m / ημ 1m Q = 2880m /ημ 1m A Παράδειγμα 2.3: ροή σε πεδίο με περατό διάφραγμα Το Σχήμα 2.4 απεικονίζει τις γραμμές ίσου υδραυλικού φορτίου (υπό κλίμακα η μονάδα μέτρησης και για το μήκος και για το υδραυλικό φορτίο είναι το μέτρο) σε εδαφικό σχηματισμό με υδραυλική αγωγιμότητα k = 10-5 cm/s = 8.64x10-3 m/ημ και τη θέση ενός περατού διαφράγματος-αντιδραστήρα πάχους 0.5 m με υδραυλική αγωγιμότητα k = 10-3 cm/s = m/ημ. Ως υλικό πλήρωσης του περατού διαφράγματος έχει επιλεγεί ένα μίγμα από ρινίσματα σιδήρου και άμμο, για να επιτευχθεί η μείωση της συγκέντρωσης τριχλωροαιθυλενίου που έχει ανιχνευτεί στην περιοχή. Ζητείται να υπολογιστεί ο χρόνος που θα παραμείνει το τριχλωροαιθυλένιο μέσα στο διάφραγμα. περατό διάφραγμα Σχήμα 2.4: Ισοδυναμικές καμπύλες όπως προκύπτουν από την εγκατάσταση περατού διαφράγματος σε ομοιογενές έδαφος. Προσοχή! - μόνο το μήκος του διαφράγματος δίνεται σωστά από την κλίμακα (σε m), το πάχος του όχι. Σημειώσεις Μαθήματος Αποκατάσταση Ρυπασμένων Χώρων, Μαρίνα Πανταζίδου 2-8

9 Για να βρούμε την υδραυλική κλίση στο περατό διάφραγμα θα μπορούσαμε να ακολουθήσουμε δύο προσεγγίσεις που σχολιάζονται στη συνέχεια με τη βοήθεια του Σχήματος 2.5, που δίνει ένα σκαρίφημα των ισοδυναμικών καμπυλών που περιβάλλουν το περατό διάφραγμα. περατό διάφραγμα Σχήμα 2.5: Σημεία στα οποία ενδιαφέρει η τιμή του υδραυλικού φορτίου. Προσέγγιση Ι Υποθέτουμε ότι η υδραυλική κλίση στην περιοχή του διαφράγματος (δηλ. μεταξύ Η και Μ) είναι ίδια με τη μέση κλίση μεταξύ των δύο ισοδυναμικών γραμμών (δηλ. μεταξύ Α και Β). Μπορούμε να στηρίξουμε αυτήν την προσέγγιση αν μπορούμε να επιχειρηματολογήσουμε ότι είτε (α) δίνει αποτελέσματα ικανοποιητικής ακρίβειας ή (β) αν τα αποτελέσματα δεν είναι μεν ακριβή, αλλά η απάντηση είναι υπέρ της ασφάλειας. Προσέγγιση ΙΙ Θεωρούμε τη ροή στην περιοχή του περατού διαφράγματος λίγο-πολύ ως μονοδιάστατη, κάτι που μπορεί να υποστηριχτεί από τις χονδρικώς παράλληλες ισοδυναμικές γραμμές στην περιοχή του διαφράγματος. Σε αυτήν την περίπτωση, θα λύσουμε ένα πρόβλημα με τρία στρώματα με διαφορετική υδραυλική αγωγιμότητα (ΑΗ, ΗΜ, ΜΒ). Με γνωστές τις υδραυλικές αγωγιμότητες και το υδραυλικό φορτίο στα Α και Β, θα βρούμε το υδραυλικό φορτίο στα σημεία Η και Μ, όπως ακριβώς στο Παράδειγμα 2.2. Για λόγους εξάσκησης, αλλά κυρίως σύγκρισης, θα επιχειρήσουμε και τις δύο προσεγγίσεις. Προσέγγιση Ι Στην περιοχή του διαφράγματος, οι ισοδυναμικές γραμμές απέχουν (χρησιμοποιούμε την κλίμακα στο Σχήμα 2.4) 16.7m. Η υδραυλική κλίση στην περιοχή του διαφράγματος δίνεται από τη διαφορά υδραυλικού φορτίου μεταξύ δύο ισοδυναμικών γραμμών δια το μήκος ροής (που ισούται με την απόσταση) μεταξύ των ισοδυναμικών γραμμών: i = Δh A, B A, B 0.1m = 16.7m = Θα βρούμε το χρόνο παραμονής του ρύπου μέσα στο διάφραγμα, δηλαδή το χρόνο άφιξης του ρύπου στην κατάντη επιφάνεια του διαφράγματος, υπολογίζοντας τη μέση γραμμική ταχύτητα του νερού μέσα στο διάφραγμα. Ξεκινάμε υπολογίζοντας την ταχύτητα Darcy (φαινόμενη ταχύτητα): m m v = kδιαϕρ i = = ημ ημ Υποθέτοντας για το πορώδες του διαφράγματος μια τιμή ίση με n=0.4, βρίσκουμε τη μέση γραμμική ταχύτητα: v m v = = n ημ Σημειώσεις Μαθήματος Αποκατάσταση Ρυπασμένων Χώρων, Μαρίνα Πανταζίδου 2-9

10 και στη συνέχεια το χρόνο παραμονής του τριχλωροαιθυλενίου στο διάφραγμα: T = διαϕρ v = 0.5m = 38ημ 0.013m ημ Προσέγγιση ΙΙ Ακολουθώντας τα βήματα του Παραδείγματος 2.2, υπολογίζουμε το υδραυλικό φορτίο στα σημεία Η και Μ, κι έτσι βρίσκουμε h Μ = m και h Η = m. Για αυτές τις τιμές, η υδραυλική κλίση μεταξύ των σημείων Η και Μ είναι , εκατό φορές μικρότερη σε σχέση με την προσέγγιση Ι, και άρα ο χρόνος παραμονής στο διάφραγμα θα είναι εκατό φορές μεγαλύτερος, ξεπερνάει δηλαδή τη μια δεκαετία (3800 μέρες). Με άλλα λόγια, η προσέγγιση Ι δεν είναι ακριβής, αλλά είναι υπέρ της ασφαλείας. Βέβαια σε μια πραγματική εφαρμογή, θα καταλήγαμε στο συμπέρασμα ότι επειδή δεν αναμένεται να χρειάζονται τόσο μεγάλοι χρόνοι παραμονής, δεν χρειάζεται να κατασκευαστεί ένα συνεχές διάφραγμα. Για το συγκεριμένο πρόβλημα, προτείνεται ένα διάφραγμα με εναλλασσόμενα αδιαπέρατα και περατά τμήματα (funnel and gate), έτσι ώστε το νερό να περνάει με μεγαλύτερη ταχύτητα μέσα από τα περατά τμήματα. Το προτέρημα αυτού του εναλλακτικού σχεδιασμού είναι ότι εξοικονομείται υλικό πλήρωσης του περατού διαφράγματος. 2.6 Κύρια σημεία του κεφαλαίου Για την ενότητα της ροής υπογείων υδάτων, είναι σημαντική η εξοικείωση με την έννοια του υδραυλικού φορτίου, που είναι το μέγεθος-κλειδί για την κατανόηση και επίλυση των προβλημάτων ροής. Το υδραυλικό φορτίο είναι το μέτρο της μηχανικής ενέργειας του ρευστού. Στα προβλήματα υπόγειας ροής υπολογίζουμε δυο συνεισφορές στη συνολική μηχανική ενέργειας του ρευστού: την ενέργεια λόγω θέσης του ρευστού στο βαρυτικό πεδίο και την ενέργεια λόγω πίεσης. Αγνοούμε δηλαδή τη συμβολή της κινητικής ενέργειας επειδή οι ταχύτητες είναι μικρές. Όσον αφορά το εφαρμοσμένο αντικείμενο της ροής υπογείων υδάτων, σε αυτό το κεφάλαιο είδαμε τις σχέσεις που μας επιτρέπουν να υπολογίζουμε, για απλά μονοδιάστατα προβλήματα, τα βασικά μεγέθη που ενδιαφέρουν σε περιστατικά ρύπανσης, δηλαδή την παροχή και την ταχύτητα. Ειδικά για την ταχύτητα, είναι πολύ σημαντική η διάκριση μεταξύ της φαινόμενης ταχύτητας, που αναφέρεται σε ολόκληρη τη διατομή, και της μέσης γραμμικής ταχύτητας, που αναφέρεται στη διατομή που αντιστοιχεί τους εδαφικούς πόρους και γι αυτό μπορεί να προσεγγίσει καλύτερα την κίνηση ενός ρύπου εξ αιτίας της κίνησης του υπόγειου νερού. Η σχέση μεταξύ κίνησης ρύπου και κίνησης υπόγειου νερού αντιμετωπίζεται συστηματικά στο Κεφάλαιο Βιβλιογραφικές αναφορές Freeze, R.A. and J.A. Cherry (1979). Groundwater, Prentice all. ackay, D.., P.V. Roberts and J.A. Cherry (1985). Transport of organic contaminants in groundwater, Environmental Science and Technology, 19:5: Βιβλιογραφία Dullien, F.A.. (1992). Porous media: fluid transport and pore structure, 2 nd edition, Academic Press. itchell, J.K. and K. Soga (2005). Fundamentals of soil behavior, 3 rd edition, Wiley. Σημειώσεις Μαθήματος Αποκατάσταση Ρυπασμένων Χώρων, Μαρίνα Πανταζίδου 2-10