Κεφάλαιο 2. Η Ατμόσφαιρα σε Υδροστατική Ισορροπία

Transcript

1 Κεφάλαιο. Η Ατμόσφαιρα σε Υδροστατική Ισορροπία Η αρχή της υδροστατικής ισορροπίας διέπει ένα ρευστό σε κατάσταση ηρεμίας, όταν μια εξωτερική δύναμη, όπως η δύναμη βαρύτητας, ισορροπείται από δυνάμεις βαθμίδας της πίεσης (βαροβαθμίδας). Η εφαρμογή της υδροστατικής ισορροπίας στην ατμόσφαιρα, που αποτελεί το αντικείμενο του παρόντος κεφαλαίου, προϋποθέτει ότι η ατμόσφαιρα βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας. Παρά το αδύναμο της υπόθεσης αυτής, αφού η ατμόσφαιρα βρίσκεται σε αέναο κίνηση λόγω των ανέμων, οι νόμοι της υδροστατικής ισορροπίας ισχύουν σε ικανοποιητικό βαθμό στην ατμόσφαιρα, κυρίως επειδή οι κατακόρυφες επιταχύνσεις του αέρα είναι πολύ μικρές ως αμελητέες. Πριν διερευνηθεί αναλυτικά η υδροστατική κατάσταση της ατμόσφαιρας, γίνεται πρώτα μία σύντομη αναφορά στο πεδίο βαρύτητας της γης, στο οποίο κατά βάση οφείλεται η ύπαρξη της ατμόσφαιρας. Στη συνέχεια εξάγεται η υδροστατική εξίσωση, και με βάση αυτή παρουσιάζονται αναλυτικές σχέσεις που διέπουν την μεταβολή με το ύψος διάφορων ατμοσφαιρικών φυσικών ποσοτήτων, όπως η πυκνότητα και η πίεση. Επιπλέον, παρουσιάζονται και συζητούνται απλά μοντέλα ατμοσφαιρών με έμφαση την ισόθερμη ατμόσφαιρα, που χρησιμοποιείται ευρύτατα στην ατμοσφαιρική φυσική για αναλυτικές πράξεις και εκτιμήσεις. Επίσης παρουσιάζεται η γενική μορφή της υδροστατικής εξίσωσης, η οποία εφαρμόζεται σε υπολογισμούς μεταβολής της μάζας με το ύψος. Στο τέλος συζητείται ο διαχωρισμός με το ύψος των βαρειών από τα ελαφρά συστατικά της ατμόσφαιρας, μέσω της διεργασίας της μοριακής διάχυσης, και υπολογίζεται ο χρόνος στον οποίο ο διαχωρισμός αυτός λαμβάνει χώρα. Για περισσότερα στοιχεία επί της ύλης του κεφαλαίου βλέπε μεταξύ άλλων, π.χ., τα βιβλία των Fleagle and Businger (963),Wallace and Hobbs (6), Iribarne and Cho (98), Tverskoi (965). Εικόνα. Η κατακόρυφη κατανομή της ατμοσφαιρικής μάζας είναι αποτέλεσμα υδροστατικής ισορροπίας. ( ). Προαπαιτούμενη γνώση: Γενική Φυσική. Γενικά Μαθηματικά, Στοιχεία Μοριακής Διάχυσης... Το Πεδίο Βαρύτητας της Γης Κάθε ατμοσφαιρικό συστατικό δέχεται από τη γη μια ελκτική δύναμη η οποία υπακούει στο νόμο της παγκόσμιας έλξης, έναν από τους πλέον θεμελιώδεις νόμους της φυσικής. Ανακαλύφθηκε από τον Newton, ο οποίος τον δημοσίευσε μαζί με τους νόμους κίνησης των σωμάτων το 686. Ο όρος «παγκόσμιος» για το νόμο αυτό υπονοεί ότι ισχύει παντού στο σύμπαν. Σύμφωνα με το νόμο της παγκόσμιας έλξης, η γη μάζας Μ Ε και ακτίνας R, ασκεί μία ελκτική δύναμη σε ένα υλικό σημείο μάζας m σε απόσταση r R από το κέντρο της,

2 η οποία είναι ανάλογη του γινομένου των μαζών, M Ε m, και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασης r: GM F m rˆ, (.) r όπου G είναι η παγκόσμια βαρυτική σταθερά (6,67 - m 3 kg - s - ). Η δύναμη F εφαρμόζεται από απόσταση, χωρίς οι μάζες που έλκονται να συνδέονται, και χωρίς να υπάρχει κάποιο υλικό μέσο μεταξύ τους. Επιπλέον, η κίνηση των σωμάτων διέπεται από τους τρεις νόμους του Newton. Σύμφωνα με τον πρώτο νόμο, το νόμο της αδράνειας, ένα σώμα τείνει να διατηρήσει την κινητική του κατάσταση, παραμένοντας σε ηρεμία ή ομαλή κίνηση, όταν το άθροισμα των δυνάμεων που επιδρούν σε αυτό είναι/γίνει μηδέν. Ο δεύτερος νόμος ορίζει ότι η ολική δύναμη που ασκείται σε σώμα μάζας m ισούται με το χρονικό ρυθμό της μεταβολής της ορμής του σώματος P = mυ: d F ( m υ), (.) dt όπου υ είναι η ταχύτητα του σώματος. Η (.) είναι η βασική εξίσωση που χρησιμοποιείται στη μελέτη των ατμοσφαιρικών κινήσεων (Κεφ. 5). Ο τρίτος νόμος του Newton, ο νόμος δράσης αντίδρασης, αναφέρει ότι οι δυνάμεις ασκούνται πάντα σε ζεύγη, ώστε αν σώμα Α εξασκεί μία δύναμη σε σώμα Β τότε μια ίση και αντίθετη δύναμη ασκείται από το σώμα Β στο Α, δηλαδή ισχύει F AB = F BA. Σύμφωνα με το τον 3 ο νόμο, ένα σώμα μάζας m που έλκεται από τη γη μέσω της δύναμης της παγκόσμιας έλξης, έλκει τη γη με την ίδια δύναμη. Οι νόμοι κίνησης του Newton ισχύουν σε αδρανειακά, δηλαδή μη επιταχυνόμενα, συστήματα αναφοράς. Στη περίπτωση που η κίνηση μελετάται σε ένα μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς, όπως αυτό της γης το οποίο επιταχύνεται αφού η γη περιστρέφεται περί το άξονά της, τότε στη συνισταμένη δύναμη F που υπεισέρχεται στην (.) θα πρέπει να συμπεριληφθούν και οι αδρανειακές δυνάμεις, όπως π.χ., είναι η φυγόκεντρος, και η δύναμη Coriolis (Κεφ. 5). Το γήινο βαρυτικό πεδίο της γης ορίζεται από την (.) ως η δύναμη της βαρυτικής έλξης ανά μονάδα μάζας, F/m, η οποία ορίζει την επιτάχυνση της βαρύτητας: g M G ˆ. r r (.3) Το μέτρο της επιτάχυνσης g εκφράζεται συναρτήσει της γήινης ακτίνας R Ε και του ύψους πάνω από την επιφάνεια της γης, ως: GM g g, (.4) R ( / R ) ( / R ) όπου g =GM /R είναι η δύναμη της βαρύτητας ανά μονάδα μάζας (επιτάχυνση) στην επιφάνεια της γης. Στην ατμόσφαιρα, η (.4) μπορεί να απλοποιηθεί μετά από ανάπτυξη του παρονομαστή σε διωνυμική σειρά, οπότε, λαμβάνοντας υπόψη ότι <<R Ε, προκύπτει ότι σε πρώτη προσέγγιση η επιτάχυνση της βαρύτητας μειώνεται γραμμικά με το ύψος, g=g ( /R ). Το σφάλμα που εισάγει η προσέγγιση αυτή για συνήθη ατμοσφαιρικά ύψη είναι μικρό, έτσι π.χ., στα 4 km ύψος, όπου g είναι περίπου,8g, ο τρίτος όρος της σειράς, που παραλήφθηκε προκαλεί σφάλμα ~%.... Ενεργός επιτάχυνση της βαρύτητας Οι τελευταίες δύο εξισώσεις ισχύουν όταν η γη είναι ακίνητη. Η γη όμως περιστρέφεται περί τον άξονά της (εδώ αγνοούνται ως πολύ μικρότερα τα αποτελέσματα της περιστροφής της περί το ήλιο), συνεπώς παρατηρητής σε αυτή βρίσκεται σε μη αδρανειακό σύστημα αναφοράς. Στην περίπτωση αυτή, για τον ακριβή υπολογισμό της επιτάχυνσης της βαρύτητας με βάση τις προηγούμενους νόμους, θα πρέπει να προστεθεί στην

3 εξίσωση κίνησης η φυγόκεντρος επιτάχυνση Ω r, όπου Ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της γης. Με βάση το Σχήμα., όπου r είναι το διάνυσμα θέσης υλικού σημείου μάζας m που βρίσκεται σε απόσταση r=r + από το κέντρο της γης και γεωγραφικό πλάτος φ, ενώ r είναι το κάθετο διάνυσμα στον άξονα περιστροφής με φορά από τον άξονα προς το σώμα, ώστε να ισχύει διανυσματικά g*=g + Ω r, (.5) ονομάζεται ενεργός επιτάχυνση της βαρύτητας, και αντιπροσωπεύει την ολική επιτάχυνση της βαρύτητας στην οποία συνεισφέρει και η περιστροφή της γης. Αν θεωρήσουμε ότι r=r, δηλαδή το σώμα βρίσκεται στην επιφάνεια της γης, τότε r =R cosφ, οπότε η ενεργός επιτάχυνση παίρνει την ελάχιστη τιμή g*=g Ω R στον ισημερινό όπου φ= ο, και την μέγιστη, g*=g, στους πόλους όπου φ = 9 ο. Σχήμα. Ενεργός επιτάχυνση της βαρύτητας, g*, λόγω περιστροφής της γης περί τον άξονα της, σε τόπο γεωγραφικού πλάτους φ. Το μέγεθος της g* υπολογίζεται σε πρώτη προσέγγιση με βάση το Σχήμα. αν θεωρηθεί ότι g και g* έχουν περίπου την ίδια κατεύθυνση, επειδή η γωνία μεταξύ των δύο αυτών διανυσμάτων είναι πολύ μικρή. Τότε, η συνιστώσα της Ω r κατά μήκος της g*, για ένα σώμα που βρίσκεται σε ύψος από την επιφάνεια της γης, είναι Ω (R +)cos φ (το πρόσημο μείον σημαίνει ότι έχει φορά αντίθετη αυτής του g), έτσι ώστε με βάση τις (.4) και (.5), η ενεργός βαρύτητα παίρνει τη γενική μορφή: g* GM ( R ) cos. R ( / R ) (.6) Επειδή η γη είναι ελλειψοειδής εκ περιστροφής, το R Ε μεταβάλλεται με το γεωγραφικό πλάτος από 6356,9 km στους πόλους σε 6378,4 km στον ισημερινό, δηλαδή υπάρχει μια διαφορά,5 km. Στους υπολογισμούς συνήθως χρησιμοποιείται μια μέση ακτίνα R Ε =637 km. Αριθμητική εφαρμογή. Πόση είναι η μάζα της γης M όταν από μετρήσεις σε ένα τόπο με φ=3 o επιτάχυνση της βαρύτητας στην επιφάνεια της γης βρέθηκε ίση με 9,79 m/s ; η Σύμφωνα με τα προηγούμενα, στη μετρούμενη τιμή του g* υπεισέρχεται και η περιστροφή της γης, συνεπώς η μάζα της γης θα υπολογιστεί από την (.6), μέσω της: 3

4 M [ g* ( R )cos ]( R G ), όπου Ω=π rad/ημέρα (3,4)/4 h =7,7-5 s -, R Ε =637 3 m, g=9,79 ms - και G=6,67 - m 3 kg - s -, οπότε προκύπτει για τη μάζα της γης: M 6 9,79 (637) m 3 6,67 m kg s (7,7) 5,9557 5, kg. (637) 6,67 m s kg kg, cos 4 s kg (3 o ) s m 3 Όπως φαίνεται από τις παραπάνω πράξεις, η συνεισφορά του ου όρου, λόγω περιστροφής της γης, είναι μόνο το,6% του ου όρου. Επομένως, σε πολλά προβλήματα που δεν ενδιαφέρει η ακρίβεια, ο όρος περιστροφής παραλείπεται έτσι ώστε να λαμβάνεται g* g.... Γεωδυναμικό και ταχύτητα διαφυγής Το γεωδυναμικό, Φ(), σε ένα ύψος της ατμόσφαιρας ορίζεται ως το έργο ανά μονάδα μάζας που παράγεται ενάντια στη δύναμη της βαρύτητας όταν μάζα υψώνεται από την επιφάνεια της γης στο ύψος. Με βάση τον ορισμό του έργου dw=f ds, το γεωδυναμικό είναι: ( ) F g d g d, (.7) m όπου F g = mg, με το γεωδυναμικό Φ() στην επιφάνεια της γης να λαμβάνεται μηδέν. Το αρνητικό πρόσημο υπεισέρχεται στην (.6) ώστε το γεωδυναμικό στο ύψος να είναι θετικό. Επειδή η δύναμη της βαρύτητας είναι διατηρητική, το γεωδυναμικό σε κάποιο ύψος εξαρτάται μόνο από το ύψος αυτό και όχι από τη διαδρομή που ακολουθήθηκε για τη μεταφορά της μάζας εκεί από την επιφάνεια της γης. Επίσης, το έργο που απαιτείται για τη μεταφορά της μονάδας μάζας από το ύψος (Φ ) στο ύψος (Φ ) είναι ίσο με Φ Φ. Στην ατμοσφαιρική φυσική το γεωδυναμικό χρησιμοποιείται συχνά στη θέση του ύψους για τον καθορισμό της θέσης ενός σώματος στην κατακόρυφο κατεύθυνση. Μια άλλη ποσότητα που εξυπηρετεί το σκοπό αυτό σε θέματα δυναμικής της ατμόσφαιρας είναι το γεωδυναμικό ύψος Z που ορίζεται ως: Z ( ) g g g d, (.8) όπου g είναι η μέση επιτάχυνση της βαρύτητας κοντά στην επιφάνεια της γης (g =9,8 ms - ). Αν ληφθεί υπόψη και η περιστροφή της γης, τότε γίνεται χρήση της (.6) ώστε, κατόπιν ολοκλήρωσης, το γεωδυναμικό παίρνει την γενικότερη έκφραση: GM ( ) cos R +. R ( R ) (.9) Ο πρώτος όρος στην (.9) αφορά το γεωδυναμικό βαρύτητας ενώ ο δεύτερος το γεωδυναμικό περιστροφής, το οποίο εκτός του ύψους εξαρτάται και από το γεωγραφικό πλάτος φ. Ο δεύτερος όρος είναι μικρό κλάσμα του πρώτου, και συχνά παραλείπεται. 4

5 Από την αντικατάσταση της (.) στην (.) προκύπτει η διαφορική εξίσωση dυ dt GM r ˆ, (.) r η οποία διέπει την κίνηση σώματος στο πεδίο βαρύτητας της γης. Όταν σώμα τεθεί σε κίνηση στο πεδίο βαρύτητας, τότε κινείται κατά μήκος μιας τροχιάς κωνικής τομής, δηλαδή η τροχιά του είναι κυκλική, ελλειπτική, ή παραβολική. Το είδος της τροχιάς εξαρτάται κυρίως από την αρχική ταχύτητα του σώματος. Αν αυτή υπερβαίνει μια κρίσιμη τιμή, τότε το σώμα εκτελεί ανοικτή παραβολική τροχιά. Η περίπτωση αυτή ισχύει για τα ελαφρά αέρια συστατικά που διαφεύγουν της βαρύτητας στην εξώσφαιρα, ή τους δορυφόρους, που στέλνονται στο ηλιακό σύστημα και δεν επιστρέφουν στη γη. Αν η αρχική ταχύτητα είναι μικρότερη της παραπάνω κρίσιμης τιμής, η τροχιά είναι ελλειπτική (π.χ., όπως συμβαίνει με τους τεχνητούς δορυφόρους που περιστρέφονται περί τη γη). Επιπλέον λεπτομέρειες για πληρέστερη μελέτη, μπορούν να βρεθούν σε ένα εισαγωγικό βιβλίο Μηχανικής, π.χ. Serway (983). Στην ειδική περίπτωση της κίνησης σώματος μάζας m σε κυκλική τροχιά σε ύψος, η κεντρομόλος δύναμη είναι η δύναμη της βαρύτητας: ) GM m( R +, ( R ) (.) όπου ω m είναι η γωνιακή ταχύτητα του σώματος. Από την (.) διαπιστώνεται ότι καθώς το ύψος του σώματος ελαττώνεται, η γωνιακή συχνότητα αυξάνει, το οποίο είναι αποτέλεσμα της διατήρησης της στροφορμής. Η (.) μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε μια σειρά υπολογισμών, π.χ., για την εκτίμηση της ενέργειας που απαιτείται για να μπει ένας δορυφόρος σε κυκλική τροχιά περί τη γη σε ύψος, ή για το ύψος που βρίσκεται ένας γεωσύγχρονος δορυφόρος, ο οποίος κινείται σε κυκλική τροχιά στο επίπεδο του ισημερινού προς τα ανατολικά με γωνιακή ταχύτητα ίση με αυτή της περιστροφής της γης, Ω. Οι παραπάνω εξισώσεις βέβαια ισχύουν για οποιοδήποτε ουράνιο σώμα. Έτσι, αν η τροχιά της γης περί το ήλιο θεωρηθεί κατά προσέγγιση κυκλική, η (.) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση της μάζας του ήλιου. Η ενέργεια ανά μονάδα μάζας που χρειάζεται ένα σώμα που βρίσκεται στη γη για να διαφύγει του πεδίου βαρύτητας, βρίσκεται από το γεωδυναμικό βαρύτητας. Έτσι, από τον πρώτο όρο της (.9) προκύπτει ότι, αν πάρουμε το όριο στο άπειρο όταν, η ενέργεια διαφυγής ανά μονάδα μάζας είναι g R. Η ταχύτητα που πρέπει να δοθεί σε ένα σώμα για να διαφύγει του πεδίου βαρύτητας, βρίσκεται αφού εξισώσουμε την κινητική του ενέργεια ανά μονάδα μάζας, υ /, με την ενέργεια διαφυγής g R. Έτσι, η σχέση που δίνει την ταχύτητα διαφυγής, υ δ, γράφεται: GM g R, (.) R Από την οποία φαίνεται ότι υ δ δεν εξαρτάται από την μάζα του σώματος. Όταν η εκτόξευση γίνεται από την επιφάνεια της γης η ταχύτητα διαφυγής είναι, km/s ενώ είναι μικρότερη αν γίνει από ένα ύψος, καθόσον R στην (.) πρέπει να αντικατασταθεί με R +. Οι ταχύτητες διαφυγής είναι λίγο μεγαλύτερες από αυτές που υπολογίζονται μέσω της (.) επειδή δεν λήφθηκε υπόψη η απώλεια ενέργειας λόγω της τριβής του σώματος στην ατμόσφαιρα. Επίσης, επειδή η γραμμική ταχύτητα ενός σημείου στον ισημερινό λόγω περιστροφής της γης είναι ΩR Ε =,47 km/s, η ταχύτητα διαφυγής ενός σώματος στον ισημερινό είναι,73 km/s, δηλαδή γίνεται μικρότερη της, km/s κατά,47 km/s, υπό τον όρο ότι η εκτόξευση γίνεται προς τα ανατολικά στην κατεύθυνση περιστροφής της γης. Προφανώς, η μείωση της ταχύτητας διαφυγής λόγω της εκτόξευσης ενός σώματος προς τα ανατολικά σε κάποιο τόπο μειώνεται με αυξανόμενο γεωγραφικό πλάτος και μηδενίζεται στους πόλους. Η διαφυγή των ατμοσφαιρικών συστατικών εξετάσθηκε ποσοτικά στο προηγούμενο κεφάλαιο (ενότητα.6). Όπως δείχτηκε εκεί, η διαφυγή ενός συστατικού εξαρτάται από την ισχύ του πεδίου βαρύτητας που καθορίζει τη ταχύτητα διαφυγής του, και από τη κατανομή των ταχυτήτων του στην εξώσφαιρα η οποία υπακούει στη κατανομή Maxwell Boltmann, η μορφή της οποίας καθορίζεται από τη μέση θερμοκρασία και 5

6 την μάζα του συγκεκριμένου σωματιδίου. Όπως εξηγήθηκε στην ενότητα.6, τα βαριά αέρια συστατικά έχουν κατ ουσία μηδενική πιθανότητα διαφυγής ενώ το μεγαλύτερο μέρος των ελαφρών αερίων συστατικών, όπως το Η και το He, έχει διαφύγει της ατμόσφαιρας στη διάρκεια του χρόνου ζωής της... Υδροστατική Εξίσωση της Ατμόσφαιρας Κάθε μόριο αέρα έλκεται από τη γη, με την κίνησή του όμως να εμποδίζεται λόγω των κρούσεων με τα μόρια του αέρα που βρίσκονται στα κατώτερα ύψη. Το αποτέλεσμα είναι, ότι σε ένα οριζόντιο επίπεδο, η «προς τα κάτω» δύναμη λόγω βαρύτητας, εξισορροπείται από την «προς τα πάνω» δύναμη λόγω των κρούσεων. Οι απλές αυτές ιδέες θα χρησιμοποιηθούν για την εξαγωγή της υδροστατικής εξίσωσης, μίας από τις πλέον βασικές εξισώσεις της ατμοσφαιρικής φυσικής. Έστω κατακόρυφη νοητή στήλη αέρα διατομής ίσης με την μονάδα (Σχήμα.), που εκτείνεται από την επιφάνεια της γης στην ατμόσφαιρα και υπακούει στην υπόθεση ότι ο αέρας, που συμπεριστρέφεται με την γη, βρίσκεται σε ηρεμία. Η κατάσταση ηρεμίας του αέρα συνεπάγεται ότι σε οποιοδήποτε ύψος, το βάρος της στήλης πάνω από αυτό είναι ίσο με τη δύναμη λόγω των κρούσεων που εξασκούν τα μόρια της στήλης κάτω από αυτό το ύψος στην μοναδιαία επιφάνεια της στήλης. Η δύναμη των κρούσεων των μορίων ανά μονάδα επιφάνειας, αντιπροσωπεύει εξ ορισμού την ατμοσφαιρική πίεση. Στην πράξη βέβαια η παραπάνω κατάσταση δεν ισχύει επακριβώς, κυρίως επειδή ο αέρας δεν βρίσκεται σε ηρεμία, συνεπώς είναι πιθανόν να υπάρχουν επιπλέον δυνάμεις, δηλαδή επιταχύνσεις του αέρα στο χώρο. Όμως οι οριζόντιες κινήσεις του αέρα, που είναι οι πλέον σημαντικές, δεν επηρεάζουν την κατάσταση υδροστατικής ισορροπίας στην κατακόρυφο, ενώ οι τυχόν κατακόρυφες κινήσεις και επιταχύνσεις του αέρα, που μπορεί να επηρεάσουν την υδροστατική ισορροπία, είναι συνήθως πολύ μικρές ως αμελητέες. Όπως προκύπτει, η ισχύς της υδροστατικής ισορροπίας στην ατμόσφαιρα, δηλαδή η ισότητα του «βάρους στήλης αέρα» και της «ατμοσφαιρικής πίεσης» στη βάση της στήλης, ικανοποιείται σχεδόν πάντα, ακόμα και στα μεγάλα ύψη. Σχήμα. Στοιχείο όγκου στο ύψος μιας κατακόρυφης νοητής στήλης αέρα διατομής ίση με τη μονάδα Το Σχήμα. παρουσιάζει στήλη αέρα διατομής ίσης με την μονάδα σε κατάσταση υδροστατικής ισορροπίας. Στο στοιχείο όγκου, μεταξύ των υψών και +d, εσωκλείεται μάζα αέρα dm=ρd, όπου ρ είναι η πυκνότητα στο ύψος. Αν η πίεση που ασκείται στη διατομή της στήλης στο ύψος είναι p, ενώ αυτή στο ύψος +d είναι p+dp, τότε η υδροστατική ισορροπία επιβάλει όπως το άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται στο στοιχειώδη όγκο είναι μηδέν. Έτσι, με βάση το Σχήμα., προκύπτει: dw ( p dp) A pa, όπου dw=gdm=gρd είναι το βάρος του στοιχειώδους όγκου, ύψους d και οριζόντιου διατομής Α=, ώστε τελικά προκύπτει: 6

7 dp gd. (.3) Από τη (.3) συμπεραίνεται ότι ο ρυθμός μεταβολής της πίεσης του αέρα με το ύψος, δηλαδή η κατακόρυφη βαθμίδα της πίεσης, είναι ίση με την πυκνότητα του αέρα επί τη δύναμη βαρύτητας ανά μονάδα μάζας, g, δηλαδή dp d g, (.4) με το αρνητικό πρόσημο να εκφράζει ότι η πίεση μειώνεται με το ύψος. Οι εξισώσεις (.3) κα (.4) αποτελούν ισοδύναμες μορφές της υδροστατικής εξίσωσης, η οποία συνδέει την πίεση και την πυκνότητα με το ύψος ρευστού (υγρού ή αερίου) το οποίο βρίσκεται σε στατική ισορροπία υπό την επίδραση της βαρύτητας. Αν η πίεση στο ύψος είναι p(), ολοκληρώνοντας την (.3) μεταξύ των υψών και και παίρνοντας p =, προκύπτει η σχέση dp g d, p( ) gd (.5) η οποία ορίζει ότι η πίεση σε ένα ύψος ισούται με το βάρος κατακόρυφης στήλης αέρα διατομής ίσης με τη μονάδα, που εκτείνεται από το ύψος ως το. Σε κατάσταση απόλυτης ηρεμίας, η ατμοσφαιρική πίεση στην επιφάνεια της γης είναι,3 5 Pa, ή 3 mb, όπου το millibar (mb) χρησιμοποιείται ευρύτατα στη μετεωρολογία σαν μονάδα μέτρησης της πίεσης ( mb= Pa). Στην πραγματικότητα, λόγω της διαφορικής θέρμανσης περιοχών της γης δημιουργούνται οριζόντιες βαθμίδες πίεσης έτσι ώστε οι πιέσεις στην επιφάνεια να κυμαίνονται μεταξύ 98 και 4 mb Σε πολλές μετεωρολογικές εφαρμογές δεν εξυπηρετεί η χρήση της πυκνότητας ρ στην υδροστατική εξίσωση επειδή δεν μπορεί να μετρηθεί εύκολα. Η πυκνότητα απαλείφεται αν εκφραστεί συναρτήσει της πίεσης και της θερμοκρασίας μέσω της εξίσωσης ιδανικών αερίων, αφού ο αέρας έχει τις ιδιότητες του ιδανικού αερίου (Κεφ. 3): p p, * (.6) R T RT όπου μ είναι το μέσο μοριακό βάρος του ξηρού (χωρίς υδρατμούς) αέρα (μ=8,97 g/mol), Τ η απόλυτη θερμοκρασία, R * η παγκόσμια σταθερά αερίων (R * =8,34 3 JK - /kmol), και R η σταθερά αερίου του ξηρού αέρα, R = R * /μ = 87 JK - kg -. Αντικατάσταση της πυκνότητας ρ από την (.6) στην (.3), δίνει: dp g p d R T * pg d. RT Η ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης με όρια από = (p=p ) ως = (p=p()), οδηγεί στην ακόλουθη μορφή της υδροστατικής εξίσωσης, που ονομάζεται και βαρομετρική εξίσωση: g g exp exp ( ) = p d p d. R T RT p * (.7) 7

8 Με βάση το νόμο των ιδανικών αερίων (.6) προκύπτει ότι p()/p =ρ()t()/ρ T, συνεπώς κατόπιν αντικατάστασης και απαλοιφής της πίεσης p() στην (.7), προκύπτει η εξίσωση μεταβολής της πυκνότητας, δηλαδή της μάζας ανά μονάδα όγκου, με το ύψος: T g ( ) = exp. ( ) d * T (.8) R T Τέλος, αν n είναι η αριθμητική πυκνότητα του αέρα, που αναφέρεται στον αριθμό των αερίων σωματιδίων (μορίων και ατόμων) ανά μονάδα όγκου, και m η μέση μάζα των σωματιδίων, τότε ρ=nm, οπότε προκύπτει από την (.8) η ακόλουθη σχέση για την αριθμητική πυκνότητα: T g ( ) exp, ( ) = n d T R T n * (.9) η οποία περιγράφει τη μεταβολή με το ύψος του αριθμού των αερίων συστατικών ανά μονάδα όγκου. Από τις προηγούμενες εξισώσεις συνάγεται ότι η μεταβολή της πίεσης, ή της πυκνότητας, ενός αερίου συστατικού με το ύψος, εξαρτάται από το είδος του αερίου (μοριακό βάρος μ) και την μεταβολή της θερμοκρασίας Τ με το ύψος, αν θεωρήσουμε σε πρώτη προσέγγιση ότι η επιτάχυνση g παραμένει σταθερή. Η θερμοκρασία είναι η παράμετρος κλειδί για τον υπολογισμό των μεταβολών της πυκνότητας και της πίεσης του αέρα με το ύψος. Επειδή στην ατμόσφαιρα η θερμοκρασία δεν είναι εύκολο να εκφραστεί πιστά μέσω μιας αναλυτικής συνάρτησης του ύψους (π.χ., ενότητα.3), η ακριβής (αναλυτική) ολοκλήρωση στις παραπάνω εξισώσεις δεν είναι καταρχήν δυνατή. Συνεπώς, αλγεβρικοί υπολογισμοί της πίεσης και της πυκνότητας μέσω των εξισώσεων αυτών γίνεται μόνο προσεγγιστικά, αφού πρώτα γίνουν κατάλληλες υποθέσεις για τις ποσότητες που υπεισέρχονται στο ολοκλήρωμα. Στα επόμενα θα γίνουν απλοί αναλυτικοί (μαθηματικοί) υπολογισμοί για τις ακόλουθες περιπτώσεις «ατμοσφαιρών», οι οποίες βρίσκουν εφαρμογή στη μετεωρολογία: ) την ομογενή ατμόσφαιρα για την οποία ρ()=const, ) την ισόθερμη ατμόσφαιρα, για την οποία Τ()=const, και 3) την πολυτροπική ατμόσφαιρα, στην οποία η θερμοκρασία μειώνεται γραμμικά με το ύψος, δηλαδή Τ()=T γ, όπου γ=dτ/d=const είναι η βαθμίδα της θερμοκρασίας με το ύψος, ή κατακόρυφη θερμοβαθμίδα. Παρότι οι περιπτώσεις αυτές δεν είναι αντιπροσωπευτικές για όλη την ατμόσφαιρα, είναι χρήσιμο να εξεταστούν οι ιδιότητές των γιατί η ατμόσφαιρα μπορεί να χωριστεί σε στρώματα, με το καθένα χωριστά να αντιστοιχεί σε κάποια από τις παραπάνω τρεις «ατμόσφαιρες», κυρίως τις δύο τελευταίες.... Ομογενής ατμόσφαιρα και κλίμακα ύψους Στη περίπτωση της ομογενούς ατμόσφαιρας ισχύει ότι ρ()=ρ =const, και ότι g=g =9,8 ms -. Τότε ολοκλήρωση της υδροστατικής εξίσωσης (.3) μεταξύ των υψών = (p=p ) ως = (p=p()), δίνει p( ) p g από την οποία προκύπτει ότι η πίεση στην ομογενή ατμόσφαιρα ελαττώνεται γραμμικά με το ύψος και μηδενίζεται στο ύψος:, * p R T g g RT g H (.) όπου προηγουμένως έγινε χρήση του νόμου των ιδανικών αερίων για την αντικατάσταση της πυκνότητα ρ. Όπως αναφέρθηκε στο Κεφ., η παράμετρος Η είναι η κλίμακα ύψους (scale height), η οποία εδώ ισούται με το ύψος της ομογενούς ατμόσφαιρας. Η αριθμητική της τιμή για τον ξηρό αέρα (μ=8,97 g/mol), και για θερμοκρασία Τ =73 Κ, είναι H =799 m 8 km. Για μια θερμοκρασία Τ διαφορετική του Τ, η κλίμακα ύψους είναι: 8

9 H RT RT T T H. (.) g g T T Η τιμή του Η για τα κύρια αέρια συστατικά της ατμόσφαιρας δίνεται στον Πίνακα.. Επειδή η κλίμακα ύψους Η είναι αντιστρόφως ανάλογη του μοριακού βάρους, τα ελαφρότερα αέρια έχουν μεγαλύτερο Η από τα βαρύτερα, π.χ., το Η Η είναι ~5 km ενώ το Η Ο είναι ~7, km. Συνεπώς, η κλίμακα ύψους ενός αερίου, για μια συγκεκριμένη θερμοκρασία, ορίζει την έκταση μιας υποθετικής ομογενούς ατμόσφαιρας που περιλαμβάνει μόνο το συγκεκριμένο αέριο, π.χ., για την θερμοκρασία των 73 Κ, μια ομογενής ατμόσφαιρα Ν θα εκτείνονταν μέχρι τα 8,8 km, ενώ η αντίστοιχη ατμόσφαιρα Η θα εκτείνονταν σε πολύ μεγαλύτερα ύψη, τα οποία φτάνουν, σύμφωνα με τον Πίνακα., μέχρι ~5 km. Αέριο Ν Ο Α CO H H O Αέρας Η (m) Πίνακας. Κλίμακα ύψους Η σε μέτρα (m) ομογενούς ατμόσφαιρας διαφόρων αερίων. Κάνοντας χρήση του νόμου των ιδανικών αερίων και αντικαθιστώντας την πυκνότητα ρ=p/rt στην (.3), η υδροστατική εξίσωση γράφεται συναρτήσει της κλίμακας ύψους: dp g d d. (.) p RT H Το Η χρησιμοποιείται συχνά ως μέτρο εύρους υψών εντός των οποίων η ατμόσφαιρα χαρακτηρίζεται από μια συγκεκριμένη μεταβολή μίας φυσικής παραμέτρου (π.χ., της θερμοκρασίας), με το ύψος. Η μεταβολή της θερμοκρασίας με το ύψος στην ομογενή ατμόσφαιρα, μπορεί να βρεθεί από την εξίσωση των ιδανικών αερίων για ξηρό αέρα, T=p/Rρ. Διαφορίζοντας την εξίσωση αυτή ως προς υπό τη συνθήκη ότι ρ=const και κάνοντας χρήση της υδροστατικής εξίσωσης, προκύπτει η βαθμίδα θερμοκρασίας με το ύψος( κατακόρυφος θερμοβαθμίδα) στην ομογενή ατμόσφαιρα: dt d dp g 34, R d R / km. Αυτή είναι μία μεγάλη βαθμίδα μείωσης της θερμοκρασίας με το ύψος, η οποία οδηγεί κοντά στους Κ στο όριο των 8 km της ομογενούς ατμόσφαιρας. Αυτό επιβεβαιώνει ότι η ιδέα της ομογενούς ατμόσφαιρας είναι κατά βάση μη ρεαλιστική, και η αναφορά της εδώ έχει κυρίως εκπαιδευτική αξία, αφού ακόμα και για μικρά ύψη πάνω από την επιφάνεια της γης η πυκνότητα δεν είναι σταθερή, ενώ μειώνεται γρήγορα με το ύψος.... Ισόθερμη ατμόσφαιρα Στην ισόθερμη ατμόσφαιρα η θερμοκρασία υποτίθεται ότι παραμένει σταθερή, δηλαδή Τ()=const. Η παραδοχή αυτή καθιστά δυνατή την ολοκλήρωση της (.6), η οποία για τα όρια πίεσης μεταξύ (p, p()) στα ύψη (, ) δίνει τη μορφή της υδροστατικής εξίσωσης της ισόθερμης ατμόσφαιρας: ln p( ) g p R * T g RT, οπότε προκύπτει / H p( ) p e, (.3) 9

10 όπου H=RT/g. Η τελευταία σχέση δείχνει ότι στην ισόθερμη ατμόσφαιρα η πίεση ελαττώνεται εκθετικά με το ύψος, που σημαίνει ότι η ισόθερμη ατμόσφαιρα δεν έχει ανώτερο όριο, εκτεινόμενη μέχρι το άπειρο. Στο ύψος =H, η πίεση ελαττώνεται στο /e της πίεσης p στην επιφάνεια της γης (ενώ για την ομογενή ατμόσφαιρα, στο ύψος αυτό, η πίεση είναι μηδέν). Με βάση το νόμο των ιδανικών αερίων ρ=p/rt, η (.3) δίνει μια αντίστοιχη εξίσωση για την μεταβολή της πυκνότητας της ισόθερμης ατμόσφαιρας με το ύψος: ( ) e, / H όπου ρ είναι η πυκνότητα στην επιφάνεια της γης. Τέλος, από την (.3) προκύπτει μία σχέση για το ύψος: T p H,3log, (.4) T p( ) η οποία επιτρέπει τον υπολογισμό του ύψους στην ισόθερμη ατμόσφαιρα συναρτήσει της πίεσης (ή της πυκνότητας). Αν λάβουμε υπόψη ότι Η=Η (Τ/Τ ), και ότι για Τ =73 Κ, H=H 8 km, η τελευταία εξίσωση δείχνει ότι η πίεση θα ελαττωθεί περί τις φορές στο ύψος των 8,4 km και περί τις φορές στο ύψος των 36,8 km. Στην πραγματικότητα το ύψος αυτό υπερεκτιμάται λίγο επειδή η μέση θερμοκρασία στο στρώμα από ύψος μέχρι 36,8 km είναι μικρότερη των 73 Κ που χρησιμοποιήθηκε εδώ. Όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο (ενότητα.4), η ισόθερμη ατμόσφαιρα περιγράφει σε ικανοποιητικό βαθμό την πραγματικότητα, όσον αφορά τις μέσες τιμές πίεσης και πυκνότητας, μέχρι περίπου km ύψος. Συνεπώς ο εκθετικός υδροστατικός νόμος (.3) και (.4) που διέπει την πίεση, και την πυκνότητα, της ουδέτερης ατμόσφαιρας χρησιμοποιείται ευρύτατα σε διάφορους υπολογισμούς για ύψη μέχρι ~ km...3. Πολυτροπική ατμόσφαιρα Ο όρος «πολυτροπική ατμόσφαιρα» είναι μετεωρολογικός και αναφέρεται στο ατμοσφαιρικό μοντέλο υδροστατικής ισορροπίας το οποίο χαρακτηρίζεται από μια σταθερή, μη μηδενική, θερμοβαθμίδα γ=dt/d=const, ώστε η μεταβολή της θερμοκρασία με το ύψος να περιγράφεται από τη γραμμική σχέση: Τ()=Τ γ. Στην περίπτωση αυτή, η υδροστατική εξίσωση (.5) γράφεται, αν λάβουμε υπόψη ότι d= dt/γ dp p gd gd g dt. RT R( T ) R T Λαμβάνοντας g=g και ολοκληρώνοντας την παραπάνω σχέση μεταξύ των ορίων (p, p()) και (Τ, Τ()), προκύπτει g / R g / R p( ) T ( ). p T T (.5) Η (.5) εκφράζει τη μεταβολή της πίεσης (ή της πυκνότητας) με το ύψος στην πολυτροπική ατμόσφαιρα. Το ύψος, στο οποίο η πίεση ισούται με p(), βρίσκεται από την (.5) και είναι: T o p( ) p R / g (.6) Από τη (.6) το μέγιστο όριο, max, της πολυτροπικής ατμόσφαιρας, για το οποίο p( max )=, προκύπτει ίσο με T /γ, έτσι αν Τ =73 K, και γ=6 ο /km, τότε max =45 km. Επίσης, προκύπτει ότι η ομογενής ατμόσφαιρα είναι μερική περίπτωση της πολυτροπικής. Δηλαδή, αν αντικατασταθεί στην (.6) η θερμοβαθμίδα της ομογενούς

11 ατμόσφαιρας, γ=g /R=3,4 Κ/ m και τεθεί Τ =73 Κ, τότε στη περίπτωση αυτή προκύπτει ότι max =8 km, όπως βρέθηκε προηγουμένως στην ενότητα... Οι μεταβολές με το ύψος της πίεσης για τα τρία μοντέλα ατμοσφαιρών που εξετάστηκαν συγκρίνονται στο Σχήμα.3. Όπως φαίνεται, η πίεση ελαττώνεται ταχύτερα στην ομογενή ατμόσφαιρα ενώ στην ισόθερμο ατμόσφαιρα ελαττώνεται με βραδύτερο ρυθμό από αυτό στην πολυτροπική, με τις δύο καμπύλες όμως να μην διαφέρουν σημαντικά. Σχήμα.3 Μεταβολή της πίεσης με το ύψος στην ομογενή (), ισόθερμη (), και πολυτροπική (3) ατμόσφαιρα Ένα άλλο απλό ατμοσφαιρικό μοντέλο που χρησιμοποιείται συχνά σε μετεωρολογικούς υπολογισμούς, είναι η τυπική ατμόσφαιρα (standard atmosphere). Αυτή δέχεται ότι η θερμοκρασία ελαττώνεται γραμμικά με το ύψος, με θερμοβαθμίδα γ=dt/d= 6,5 K/km μέχρι τα km, ενώ από τα μέχρι τα 5 km η θερμοκρασία λαμβάνεται σταθερή και ίση με 6 Κ. Η δομή της τυπικής ατμόσφαιρας συνδυάζει στους υπολογισμούς τις εξισώσεις που περιγράφουν τη πολυτροπική και ισόθερμη ατμόσφαιρα...4. Γενική μορφή της υδροστατικής εξίσωσης Μια πιο ακριβής έκφραση της υδροστατικής εξίσωσης (.3) προκύπτει αν ληφθεί υπόψη, αντί του g=g, η ενεργός επιτάχυνση της βαρύτητας g*, η οποία είναι συνάρτηση του ύψους και του γεωγραφικού πλάτους φ έτσι ώστε dp= g*ρd. Αν λοιπόν στην εξίσωση αυτή αντικατασταθεί η πυκνότητα συναρτήσει της πίεσης, ρ=p/rt, και η ενεργός επιτάχυνση g* από την (.6), τότε η υδροστατική εξίσωση παίρνει την γενικότερη μορφή dp p RT R g ( R )cos d, R (.7)

12 Όπου το R εδώ συμβολίζει τη σταθερά αερίου ξηρού αέρα, ενώ R είναι η ακτίνα της γης. Αν θεωρηθεί ότι η θερμοκρασία είναι σταθερή, Τ()=T=const, δηλαδή η ατμόσφαιρα είναι ισόθερμη, η (.7) ολοκληρώνεται, οπότε προκύπτει για την πίεση σαν συνάρτηση του ύψους: p( ) g R cos p exp R, (.8) RT R RT η οποία, κάνοντας χρήση της (.9) για το γεωδυναμικό Φ(), παίρνει τη μορφή ( ) / RT p( ) p e. (.9) Οι τιμές της πίεσης (ή της πυκνότητας) που υπολογίζονται από την (.9) είναι μικρότερες από τις αντίστοιχες της (.3) όπου g=g. Το σφάλμα που εισάγεται, παίρνοντας g()=const, είναι σχεδόν αμελητέο στην ομόσφαιρα (< km) ενώ σε μεγαλύτερα ύψη αυξάνεται και πρέπει να λαμβάνεται υπόψη. Βέβαια, θα πρέπει να τονιστεί ότι η χρήση της (.9) ισχύει για ισόθερμη ανώτερη ατμόσφαιρα, υπόθεση η οποία επίσης εισάγει σφάλματα επειδή η θερμοκρασία στην θερμόσφαιρα ( 9 km) αυξάνεται με το ύψος. Η θερμοκρασία Τ() παραμένει σταθερή μόνο πέραν της θερμόπαυσης, της οποίας το ύψος όμως είναι σχετικά ακαθόριστο καθόσον εξαρτάται από την ηλιακή δραστηριότητα, την εποχή και την ώρα της ημέρας. Μια άλλη αβεβαιότητα αφορά την έννοια της «πίεσης», και αν αυτή ισχύει στην ανώτερη ατμόσφαιρα, όπου ο αριθμητική πυκνότητα των αερίων συστατικών γίνεται πολύ μικρή, η μέση ελεύθερη διαδρομή μεγάλη, και η συχνότητα κρούσεων μικρή. Εκτιμάται ότι η υδροστατική εξίσωση ισχύει για τα βαριά σωμάτια, π.χ., όπως το ατομικό οξυγόνο, σε πολύ μεγάλα ύψη (> km), ενώ η ισχύς της αμφισβητείται για τα ελαφρά συστατικά, π.χ., Η και He, στα εξωσφαιρικά ύψη (>6 8 km)...5. Υπολογισμοί ατμοσφαιρικής μάζας Η μάζα συνδέεται με την πυκνότητα, έτσι η μάζα αέρα σε ένα στοιχείο στήλης διατομής ίσης με την μονάδα και ύψους d, είναι dm=ρd, συνεπώς η ατμοσφαιρική μάζα m, στη στήλη αέρα που εκτείνεται από ύψος ως το άπειρο είναι: Αντικατάσταση στη (.3) της πυκνότητας από την (.8), δίνει: m m d. (.3) T g exp. ( ) ( ) d d (.3) T RT Για τον ακριβή υπολογισμό του m απαιτείται η μεταβολή της θερμοκρασίας με το ύψος Τ(), ενώ θα πρέπει να ληφθεί υπόψη και η μεταβολή του g με το ύψος. Αφού το 99,9% της αέριας μαζας περιέχεται στο στρώμα μέχρι τα km, μια αριθμητική εκτίμηση του m είναι δυνατή αν υποτεθεί ότι η ατμόσφαιρα είναι ισόθερμη με Τ()=Τ =73 Κ, και ότι g=g =9,8 ms -. Για την περίπτωση αυτή η (.3) ολοκληρώνεται, ώστε: m exp ( / H ) d H. (.3) Με αντικατάσταση της πυκνότητας στην επιφάνεια της θάλασσας, ρ =,7 kg-m -3, και της κλίμακας ύψους H=(T/T )H =H =799 m (ενότητα...), προκύπτει ότι m =9,6 3 kg/m, δηλαδή ~9 τόνοι/ m (κάποιος

13 που δεν έχει μελετήσει το παρόν κεφάλαιο θα μπορούσε να ρωτήσει: πως είναι δυνατόν το βάρος αυτής της στήλης αέρα να μην μας συνθλίβει;). Με βάση τον υπολογισμό του m, μπορεί να υπολογιστεί κατά προσέγγιση και η μάζα της ατμόσφαιρας, αν m πολλαπλασιαστεί με την επιφάνεια της γης, δηλαδή Μ =4πR m, η οποία για R Ε =637 km προκύπτει ότι είναι: Μ Ε =4,7 8 kg. Η προσεγγιστική αυτή τιμή είναι ~% μικρότερη της μάζας της ατμόσφαιρας η οποία υπολογίζεται ακριβέστερα ότι είναι 5,3 8 kg. Συγκρινόμενη η τελευταία τιμή με τη μάζα της γης, Μ Ε =5,97 4 kg (ενότητα.), διαπιστώνεται ότι η μάζα της ατμόσφαιρας είναι περί το ένα εκατομμυριοστό της μάζας της γης (ενώ και η γη είναι περί το ένα εκατομμυριοστό της μάζας του ήλιου). Η κατακόρυφη κατανομή της μάζας στην περίπτωση της ισόθερμης ατμόσφαιρας, Τ()=T και κλίμακας ύψους Η, υπολογίζεται από τις προηγούμενες εξισώσεις. Έτσι, η μάζα ισόθερμου ατμοσφαιρικής στήλης, διατομής ίσης με την μονάδα, μέχρι ένα ύψος είναι ( m ) d = m { - exp ( / H )}. (.33) Χρησιμοποιώντας την (.33), υπολογίζεται ότι το 5% της ατμοσφαιρικής μάζας βρίσκεται κάτω από τα 5,5 km, το 63% κάτω από τα 8 km, το 9% κάτω από τα 8,4 km, και το 99% κάτω από τα 36 km, εκτιμήσεις που βρίσκονται κοντά στην πραγματικότητα..3. Διαχωρισμός Αερίων Συστατικών με το Ύψος Μοριακή Διάχυση Στο προηγούμενο κεφάλαιο (ενότητα.5) έγινε αναφορά στο διαχωρισμό των βαρειών από τα ελαφρά αέρια συστατικά και τη δημιουργία της ομόσφαιρας και ετερόσφαιρας μέσω των ανταγωνιστικών διεργασιών της μοριακής διάχυσης και μίξης. Η μαθηματική βάση για τον διαχωρισμό των αερίων συστατικών είναι η υδροστατική εξίσωση, η οποία στην περίπτωση ενός αερίου μίγματος ισχύει, σύμφωνα με τη Στατιστική Μηχανική, για κάθε αέριο ξεχωριστά, δηλαδή κάθε αέριο i υπακούει στην εξίσωση p ( ) i g exp exp, * ( ) id d p i p i R T H i (.34) όπου p i είναι η μερική πίεση (ενότητα 3.), και H i =R*T/gμ i η αντίστοιχη κλίμακα ύψους κάθε αερίου i, ενώ R* είναι η παγκόσμια σταθερά αερίων. Η (.34) υποδηλώνει ότι η υδροστατική ισορροπία επιβάλει όπως τα ελαφρότερα συστατικά εκτείνονται σε μεγαλύτερο ύψος απ ότι τα βαρύτερα, αφού η κλίμακα ύψους είναι αντιστρόφως ανάλογη του μοριακού βάρους μ. Συνεπώς, η αρχή της υδροστατικής ισορροπίας στην ατμόσφαιρα οδηγεί στο διαχωρισμό των αερίων συστατικών με το ύψος, με τα βαρύτερα (ελαφρότερα) να υπερισχύουν στα κατώτερα (ανώτερα) ύψη. Τα παραπάνω επεξηγούνται στο Σχήμα.4 που παρουσιάζει δύο καμπύλες μεταβολής της πίεσης για τα συστατικά και, ενός αερίου μίγματος με μ >μ (Η <Η ), για την περίπτωση που g g και Τ=const (ισόθερμη ατμόσφαιρα). Στη περίπτωση αυτή ισχύει για κάθε αέριο p i ()=p i exp( /H i ), όπου i=,, και p >p στο =. Οι καμπύλες στο Σχήμα.4 δείχνουν την εκθετική μείωση με το ύψος της μερικής πίεσης (ή μερικής πυκνότητας) των δυο αερίων συστατικών, και πως πάνω από το ύψος όπου οι δύο καμπύλες τέμνονται, το ελαφρότερο συστατικό (μ ) γίνεται επικρατέστερο του βαρύτερου (μ ). Αν η χημική σύνθεση της ατμόσφαιρας ήταν ομογενής, η διαδικασία διαχωρισμού των αερίων συστατικών απαιτεί πολύ μεγάλους χρόνους ώστε τα συστατικά της να κατανεμηθούν κατ ύψος σύμφωνα με τη μάζα τους, όπως ορίζει η υδροστατική ισορροπία. Αυτό οφείλεται στις συχνές κρούσεις των μορίων ή ατόμων, έτσι ώστε στη δράση της βαρύτητας να ενεργεί ανασχετικά μια δύναμη βαροβαθμίδας η οποία σε συνδυασμό με τη δύναμη βαρύτητας δρά ώστε τα βαρύτερα συστατικά να διαχέονται πρός τα κάτω, και τα ελαφρότερα πρός τα πάνω. Αν συμβεί, μετά από κάποιο χρόνο, διαχωρισμός των συστατικών ώστε να βρίσκονται σε υδροστατική ισορροπία σύμφωνα με τις εξισώσεις (.34) τότε η κατάσταση αυτή περιγράφεται με το όρο διαχυτική ισορροπία (diffusional equilibrium). Η παραπάνω διεργασία του διαχωρισμού των αερίων συστατικών διέπεται από τους νόμους της μοριακής διάχυσης. 3

14 Σχήμα.4 Μίγμα δυο αερίων στην ατμόσφαιρα, για τα οποία μ >μ (μ=μοριακό βάρος) και Η <Η, που βρίσκονται σε υδροστατική ισορροπία, η οποία και επιβάλει το διαχωρισμό τους με το ύψος Η μοριακή διάχυση σε ένα αέριο, ή μίγμα αερίων, απαιτεί την ύπαρξη μιας βαθμίδας πίεσης, η αριθμητικής πυκνότητας, στο χώρο ώστε τα μόρια να τείνουν να κινηθούν από περιοχές μεγαλύτερης, σε περιοχές μικρότερης πίεσης, ή πυκνότητας. Έστω, για απλότητα, ότι υπάρχει μιας βαθμίδα στην αριθμητική πυκνότητα, π.χ., n/x στην κατεύθυνση x. Η μοριακή ροή μάζας, Γ, που ορίζεται ως ο αριθμός των μορίων που διέρχεται ανά μονάδα χρόνου μέσα από μία (νοητή) κάθετη στην κίνηση μονάδα επιφάνειας έχει φυσικές μονάδες m - s - και είναι ανάλογη της βαθμίδας n/x, σύμφωνα με τον εμπειρικό νόμο του Fick: n D, (.35) x όπου D (m s - ) είναι ο συντελεστής διάχυσης. Το αρνητικό πρόσημο στην (.35) δείχνει ότι η ροή μάζας λόγω διάχυσης λαμβάνει χώρα στη κατεύθυνση μείωσης της πυκνότητας n, δηλαδή αντίθετα της φοράς της βαθμίδας n/x, η οποία κατευθύνεται εξ ορισμού από τις μικρότερες τιμές του n προς τις μεγαλύτερες. Η διεργασία της διάχυσης των μορίων τείνει στην ομογενοποίηση της συγκέντρωσης του αερίου. Ο συντελεστής διάχυσης, που χαρακτηρίζει την ευκολία με την οποία τα μόρια διαχέονται στο χώρο, εξαρτάται αντιστρόφως ανάλογα από τη πυκνότητα n. Από την κινητική θεωρία των αερίων προκύπτει ότι D D D, (.36) 3 3 n όπου υ D είναι η μέση ταχύτητα μοριακής διάχυσης και λ=/( / σn) η μέση ελεύθερη διαδρομή. Η σταθερά σ εδώ είναι η ενεργός διατομή κρούσης η οποία εξαρτάται από τις διαστάσεις των μορίων, και παίρνει τιμές της τάξης περίπου Å = -9 m. Σύμφωνα με την (.36), ο συντελεστής διάχυσης D είναι ανάλογος του γινομένου της μέσης ταχύτητας διάχυσης επί τη μέση ελεύθερη διαδρομή των μορίων, με τη τελευταία να είναι αντιστρόφως ανάλογη της αριθμητικής πυκνότητας του αερίου n. Τα λίγα αυτά βασικά στοιχεία επί της μοριακής διάχυσης και η (.36) θα χρησιμοποιηθούν παρακάτω στην εκτίμηση του χρόνου διαχωρισμού των αερίων συστατικών στην ατμόσφαιρα υπό την επίδραση της βαρύτητας. 4

15 .3.. Υπολογισμός χρόνου μοριακής διάχυσης Το πρόβλημα της μοριακής διάχυσης στην ατμόσφαιρα είναι μαθηματικά σύνθετο, και συνεπώς πέραν του επιπέδου του παρόντος εισαγωγικού βιβλίου. Στα επόμενα θα εκτιμηθεί προσεγγιστικά ο χρόνος διάχυσης ενός ατμοσφαιρικού αερίου, π.χ., του αζώτου (N ), καθώς αυτό διολισθαίνει προς τη γη υπό την επίδραση της βαρύτητας μέσα από συνεχείς κρούσεις με τα μόρια του αέρα (συμπεριλαμβανόμενων και αυτών του Ν ). Η διαδικασία που ακολουθείται στη παρούσα ενότητα βασίζεται στον Walker (977). Στα επόμενα το σύμβολο n αναφέρεται στην μερική αριθμητική πυκνότητα ενός αερίου συστατικού μοριακής μάζας m το οποίο διαχέεται υπό την επίδραση της βαρύτητας μέσα από αέρα αριθμητικής πυκνότητας n, η οποία ελαττώνεται με το ύψος. Για απλότητα, η διεργασία της διάχυσης υποτίθεται ότι γίνεται σε συνθήκες σταθερής θερμοκρασίας Τ, δηλαδή για ισόθερμο ατμόσφαιρα οπου ισχύει n=n exp( /Η), με το Η να αντιπροσωπεύει εδώ μια σταθερή κλίμακα ύψους, και n την αριθμητική πυκνότητα του αέρα στο ύψος =. Ο χρόνος μεταβολής μιας ποσότητας μπορεί να εκτιμηθεί από το λόγο της ποσότητας ως προς το χρονικό ρυθμό μεταβολής της. Συνεπώς, ο χρόνος διάχυσης, τ D, του αερίου αριθμητικής πυκνότητας n μπορεί να εκτιμηθεί προσεγγιστικά από τη σχέση: n D, (.37) n / t) ( άρα για την εύρεση του τ D χρειάζεται να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής, n /t. Για την εύρεση της παραγώγου n /t χρειάζεται να διατυπωθεί μια αναλυτική σχέση για τη μέση ταχύτητα διολίσθησης, ή διάχυσης, υ D του αερίου, που υπεισέρχεται μέσω της (.36) στο συντελεστή διάχυσης D. Προς τούτο ακολουθούνται τα ακόλουθα βήματα. Ο μέσος χρόνος μεταξύ κρούσεων του διαχεόμενου μορίου με τα μόρια του περιβάλλοντος αέρα είναι th th n n 3kT / m, όπου έγινε αντικατάσταση της μέσης ελεύθερης διαδρομής, όπως και στην (.36), από την σχέση λ=/( / σn), και της μέσης θερμικής ταχύτητας υ th του διαχεομένου αερίου από τη σχέση υ th =(3kT/m ) /. Η μέση θερμική ταχύτητα υ th προκύπτει από την κινητική θεωρία των αερίων και την ισοδυναμία μεταξύ της μέσης κινητικής και θερμικής ενέργειας των μορίων, δηλαδή από τo βασικό νόμο: (mυ th )/=3kT/, όπου k είναι η σταθερά Boltmann (k=,38-3 m kg/s K), και ο οποίος ισχύει σε κατάσταση θερμικής ισορροπίας. Μεταξύ δυο κρούσεων, το διαχεόμενο μόριο υπόκειται στην δύναμη της βαρύτητας και συνεπώς εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση διανύοντας στο μέσο χρόνο τ μεταξύ κρούσεων μια μέση κατακόρυφη απόσταση g, όπου η μέση αρχική ταχύτητα λίγο μετά τη πρώτη κρούση έχει θεωρηθεί μηδέν λόγω της τυχαιότητας των διανυσματικών τιμών των ταχυτήτων μετά από κάθε κρούση, ενώ το αρνητικό πρόσημο υπεισέρχεται γιατί η θετική φορά ορίζεται κατακόρυφα προς τα πάνω. Στη συνέχεια, η μέση τιμή της ταχύτητας διάχυσης του μορίου προς τη γη μπορεί να εκτιμηθεί από την σχέση D g. Συνδυασμός των παραπάνω σχέσεων δίνει για τη ροή Γ =n υ D των διαχεόμενων προς τα κάτω μορίων: 5

16 n D ng. n 3kT / m Κάνοντας χρήση της εξίσωσης συνέχειας για το διαχεόμενο συστατικό (ενότητα 5.3., Εξ. 5.5), προκύπτει για τη χρονική παράγωγο της αριθμητικής πυκνότητας, n / t, σε κάποιο ύψος ότι: n t ( n D) n g 3kT / m (/ n), (.38) όπου έχει, σιωπηρώς, θεωρηθεί ότι η συγκέντρωση του διαχεόμενου αερίου n είναι σχεδόν σταθερή στο χώρο και συνεπώς κατά προσέγγιση παραμένει ανεξάρτητη του ύψους. Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη τη παραδοχή ότι η ατμόσφαιρα είναι ισόθερμη, ώστε n=n exp( /Η), η παράγωγος (/n)/=/(hn) αντικαθίσταται στην (.38) και το αποτέλεσμα εισάγεται στην (.37), για να προκύψει η ακόλουθη έκφραση για τον χρόνο διάχυσης του αερίου: n n / t H 3kT / m D n an g. (.39) Ο συντελεστής a (s-m 3 ) στην (.39) μπορεί να υπολογιστεί αριθμητικά για ισόθερμο ατμόσφαιρα θερμοκρασίας 73 Κ, μίας δεδομένης μοριακής μαζας m, π.χ., για το Ν που έχει μοριακό βάρος μ=8 g/mol m =8 m H =8,67-7 kg, μία μέση κλίμακα ύψους Η=7 m, την επιτάχυνση της βαρύτητας g=9,8 m/s, και μια τυπική τιμή σ -9 m. Αντικατάσταση των τιμών αυτών δίνει μια τιμή για το a της τάξης των -3 m 3 s, έτσι ώστε ένας τυπικός μέσος χρόνος διάχυσης μπορεί να υπολογιστεί σε κάποιο ύψος, συναρτήσει της ατμοσφαιρικής αριθμητικής πυκνότητας στο ύψος αυτό, από τη σχέση: 3 n (s) (.4) D Λαμβάνοντας υπόψη, με βάση τον Πίνακα (.), ότι στην επιφάνεια της γης n,5 5 m -3, προκύπτει από την (.4) ένας τυπικός χρόνος διάχυσης της τάξης των,5 s 8 4 ετών, ενώ, στα km όπου n 6, 8 m -3, ο αντίστοιχος χρόνος είναι ~7 ημέρες. Όπως συζητήθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο (ενότητα.5), ο βαρυτικός διαχωρισμός των αερίων συστατικών στην κατώτερη ατμόσφαιρα είναι αδύνατος λόγω των πολύ μεγάλων χρόνων μοριακής διάχυσης, με αποτέλεσμα η δράση της μοριακής διάχυσης να εκμηδενίζεται τάχιστα από την ατμοσφαιρική μίξη που απαιτεί χρόνους λίγων ημερών για την ομογενοποίηση της ατμόσφαιρας κοντά στη έδαφος. Αυτό οδηγεί στην δημιουργία της ομόσφαιρας η οποία, όπως συζητήθηκε στο Κεφ., εκτείνεται μέχρι τα km. Σε αντίθεση με την ομόσφαιρα, άνω των km ο βαρυτικός διαχωρισμός, που επιβάλλεται από την υδροστατική ισορροπία των αερίων συστατικών και τη μοριακή διάχυση, λαμβάνει χώρα σχετικά γρήγορα ώστε να υπερισχύει της μίξης, με αποτέλεσμα το μέσο μοριακό βάρος να μειώνεται με το ύψος και να δημιουργείται η ετερόσφαιρα. Κεφάλαιο. Ασκήσεις. Δορυφόρος εκτελεί κυκλική τροχιά περί τη γη, με περίοδο Τ δ ενώ βρίσκεται σε ύψος δ από την επιφάνειά της. (α) Αν η μέση ακτίνα της γης είναι R Ε, να βρεθεί η πυκνότητα της γης. (β) Αν ο δορυφόρος κινείται στο επίπεδο του ισημερινού γεωσύγχρονα (Τ δ =4 h), να βρεθεί η απόσταση από την επιφάνεια της γης στην οποία βρίσκεται, και στη συνέχεια να υπολογιστεί η πυκνότητα της γης (για σταθερές, βλέπε Πίνακα Σταθερών).. Να βρεθεί η γωνία μεταξύ g* και g (βλέπε Σχήμα.) στην επιφάνεια της γης ως συνάρτηση του γεωγραφικού πλάτους φ. Παίρνοντας sinθ~θ, και g*~g, να βρεθεί η μέγιστη αριθμητική τιμή της γωνίας αυτής και το γεωγραφικό πλάτος που αντιστοιχεί (για τυχόν σταθερές βλέπε Πίνακα Σταθερών). 6

17 .3 Να υπολογιστεί το γεωδυναμικό ύψος που αντιστοιχεί στη στάθμη των, mb όταν η πίεση στην επιφάνεια της θάλασσας είναι 3 mb ( mb= Pa). Η κλίμακα ύψους της ατμόσφαιρας να ληφθεί ίση με 8 km..4 Αν η ατμόσφαιρα της γης είχε παντού την ίδια πυκνότητα με αυτή στην επιφάνεια της θάλασσας (ρ =,7 kg/m -3 ), να βρεθεί η έκταση της ατμόσφαιρας αυτής αν η πίεση στην επιφάνεια ήταν 3 mb..5 Με βάση την υδροστατική εξίσωση (dp = ρgd) και τον νόμο των ιδανικών αερίων (p=ρr*t/μ) να βρεθεί μια αναλυτική σχέση για την μεταβολή της αριθμητικής πυκνότητας n με το ύψος όταν η θερμοκρασία μειώνεται γραμμικά με το ύψος (Τ=T γ). Αν η πυκνότητα του αέρα στο επίπεδο της θάλασσας είναι,7 kg/m 3 και η θερμοκρασία C, να υπολογιστεί η αριθμητική πυκνότητα n στα 5 km όταν dt/d = 6 o /km. Να ληφθεί υπόψη ότι το μέσο μοριακό βάρος του αέρα παραμένει σταθερό και ίσο με 8,9 g/mol..6 Έστω ότι η ομόσφαιρα είναι ισόθερμη. Να βρεθούν αναλυτικές εκφράσεις για τις μεταβολές της πυκνότητας ρ και της αριθμητικής πυκνότητας n με το ύψος. Στις εκφράσεις αυτές υπεισέρχεται η κλίμακα ύψους H, η οποία ζητείται να υπολογιστεί για Τ=73 Κ, και να εκτιμηθεί η μάζα της ατμόσφαιρας. Τυχόν σταθερές που θα χρειαστούν δίνονται στο προηγούμενα..7 Σε ένα ατμοσφαιρικό μοντέλο η θερμοκρασία στην τροπόσφαιρα και στρατόσφαιρα μεταβάλλεται σύμφωνα με το σχήμα. Μέσω της υδροστατικής εξίσωσης να βρεθούν αναλυτικές εκφράσεις για τη μεταβολή της πίεσης με το ύψος μέχρι τη στρατόπαυση όταν στο επίπεδο = km η πίεση είναι p. Με βάση τα δεδομένα του σχήματος, να υπολογιστεί η πίεση στα, και 4 km όταν p = mb. Κατόπιν, να συγκριθούν τα αποτελέσματα αυτά με εκείνα που προκύπτουν αν θεωρηθεί η ατμόσφαιρα ισόθερμη από = km μέχρι τη στρατόπαυση, θερμοκρασίας C και κλίμακας ύψους Η = 8 km..8 Έστω ότι από ένα ύψος 8 km και πάνω η ατμόσφαιρα βρίσκεται σε ισορροπία λόγω μοριακής διάχυσης με μια σταθερή θερμοκρασία Κ. Οι αριθμητικές πυκνότητες των ατόμων Ο και Η στα 8 km είναι n O = 3 m -3 και n H = m -3. Να βρεθεί το ύψος πέραν του οποίου το Η γίνεται το επικρατέστερο συστατικό (τo g είναι σταθερό και ίσο με 7, m/s ).9 Αν ο λόγος της αριθμητικής πυκνότητας των ατόμων Ο προς αυτή των ατόμων Η στα km ύψος είναι 4, υπολογίστε τον ίδιο λόγο στα 4 km ύψος κάνοντας την υπόθεση ότι από 5 έως 5 km η περιοχή είναι ισόθερμη με Τ= Κ.. Έστω ότι η θερμόσφαιρα πάνω από το επίπεδο των 6 km συνίσταται μόνο από He και H, ενώ παραμένει ισόθερμη με Τ=8 Κ. Αν στο επίπεδο των 8 km η μερική πίεση του He είναι φορές 7

18 μεγαλύτερη της μερικής πίεσης του Η, να βρεθεί το ύψος πάνω από το οποίο η μερική πίεση του Η γίνεται μεγαλύτερη της αντίστοιχης του He (δίνονται g=7,5 m/s, R*=8,3 J-kmol - K - ). Κεφάλαιο. Βιβλιογραφία Fleagle, R. G., and Businger J. A., Introduction to Atmospheric Physics, Academic Press, 963. Iribarne, J. V., and Cho H. R., Atmospheric Physics, D. Reidel Publishing Company, 98. Serway, R. A., Physics for Scientists and ngineers, Vol. I, Mechanics, Saunders College publishing, 983. (Απόδοση στα Ελληνικά, Λ. Ρεσβάνης, 99). Tverskoi, P. N., Physics of the Atmosphere, Israel Program for Scientific Translations, 965. Wallace J. M., and Hobbs P. V., Atmospheric Science. An Introductory Survey, Academic Press, nd dition, 6. Walker J. C. K., volution of the Atmosphere, MacMillan Publishing Co., New York, 977 8