Πώς μια μάζα αντιλαμβάνεται ότι κάπου υπάρχει μια άλλη και αλληλεπιδρά με αυτή ; Η αλληλεπίδραση μεταξύ μαζών περιγράφεται με την έννοια του πεδίου.

Transcript

1 ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΓΕΝΙΚΑ Δυο σημειακές μάζες που απέχουν απόσταση r έλκονται με δύναμη που είναι ανάλογη του γινομένου των μαζών και αντίστροφα ανάλογη του τετραγώνου της απόστασής τους. Όπου G η σταθερά της παγκόσμιας έλξης, G = 6,673 x N m 2 / kg 2. Η δύναμη αυτή, όπως και η δύναμη Coulomb, είναι διατηρητική (1) Πώς μια μάζα αντιλαμβάνεται ότι κάπου υπάρχει μια άλλη και αλληλεπιδρά με αυτή ; Η αλληλεπίδραση μεταξύ μαζών περιγράφεται με την έννοια του πεδίου. Κάθε μάζα δημιουργεί γύρω της πεδίο. Αν κάποια μάζα βρεθεί μέσα στο πεδίο, το πεδίο της ασκεί δύναμη. Το πεδίο που δημιουργείται από μάζες ονομάζεται βαρυτικό πεδίο ή πεδίο βαρύτητας. Βαρυτικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος εκείνος στον οποίο κάθε μάζα δέχεται δύναμη. ΕΝΤΑΣΗ ΒΑΡΥΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ (λέγε με επιτάχυνση βαρύτητας!!!) Η ένταση του πεδίου g, που δημιουργεί η σημειακή μάζα Μ έχει σε κάθε σημείο κατεύθυνση προς τη μάζα-πηγή Μ. Αν στη θέση Α του πεδίου της Μ, βρεθεί μια άλλη μάζα m, τότε αυτή θα δεχτεί δύναμη F = m. g (2) Είναι προφανές ότι οι δυο εξισώσεις (1), (2) που έχουμε ήδη γράψει, οδηγούν στη αναλυτική μορφή της έντασης, όπου Μ η μάζα-πηγή του πεδίου. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Αν η μάζα-πηγή δεν είναι σημειακή, αλλά ομογενής σφαίρα ή σφαιρικός φλοιός, τότε η απόσταση r σε όλες τις προαναφερόμενες εξισώσεις, μετράτε από το κέντρο της σφαίρας. Σε κάθε περίπτωση μελετάμε το τι συμβαίνει έξω από την μάζα-πηγή και όχι στο εσωτερικό της

2 ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ ΒΑΡΥΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥ Έστω μια μάζα Μ που είναι η πηγή βαρυτικού πεδίου. Η μάζα μπορεί να είναι σημειακή ή σφαιρική. Έστω Α ένα σημείο σε απόσταση r από την πηγή. Λέμε δυναμικό στο σημείο Α ( συμβολισμός V A ), ένα μονόμετρο μέγεθος <0, που μας δίνει την δυνατότητα να εργαστούμε ενεργειακά, υπολογίζοντας έργο ( W ) και ενέργεια ( U ). Ποιο έργο υπολογίζουμε ; i) Υπολογίζουμε το έργο της δύναμης του πεδίου για την μετάβαση μιας μάζας mo από το Α στο άπειρο! Π.χ. Το δυναμικό σε ένα σημείο βαρυτικού πεδίου είναι V A = -6 joule/kg. Αν θελήσουμε να μεταφέρουμε μάζα mo=60 kg, από το Α μέχρι το άπειρο, πρέπει να δώσουμε τουλάχιστον ενέργεια ίση με 360 joule, μας λέει το θμκε. Πράγματι : ii) Υπολογίζουμε το έργο της δύναμης του πεδίου για μετάβαση μιας μάζας mo από ένα σημείο Α σε κάποιο άλλο σημείο Β του πεδίου. Χμ! και γιατί νοιαζόμαστε για τα έργα ; Απάντηση : Διότι πώς αλλιώς θα εργαστούμε με θμκε ; Ποια ενέργεια υπολογίζουμε; Έστω ότι έχουμε ένα βαρυτικό πεδίο που φτιάχνει κάποια μάζα ή κάποιες μάζες. Έστω επίσης ένα σημείο Α του πεδίου αυτού, με τιμή δυναμικού V A. Στο σημείο αυτό τοποθετούμε μια μάζα m o. Η δυναμική βαρυτική ενέργεια στο σύστημα που οφείλεται στη παρουσία της mo στο σημείο Α, δίνεται από την εξίσωση : (1) Ας δούμε πώς διαμορφώνεται η (1) όταν υπάρχει μια μάζα πηγή Μ. Και αν έχουμε πολλές πηγες : (2) (3) Χμ! και γιατί νοιαζόμαστε για την U ; Απάντηση : Διότι πώς αλλιώς θα εργαστούμε με αδμε ή με αδε ;

3 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΒΑΡΥΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Η δυναμική ενέργεια συστήματος δύο υλικών σημείων με μάζες m 1, m 2, που απέχουν μεταξύ τους απόσταση r, αποδίδεται από τη διπλανή εξίσωση. Το αρνητικό πρόσημο στη σχέση υποδηλώνει ότι για να κάνουμε άπειρη την απόσταση δυο μαζών που βρίσκονται αρχικά σε απόσταση r πρέπει να προσφέρουμε ενέργεια στο σύστημα. Η δυναμική ενέργεια συστήματος τριών υλικών σημείων υπολογίζεται ως άθροισμα όλων των δυναμικών ενεργειών όλων των ζευγαριών μάζας. Έτσι : Στα συστήματα η ΑΔΟ και η ΑΔΜΕ είναι βούτυρο στο ψωμί!

4 ΤΟ ΒΑΡΥΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ ΤΗΣ ΓΗΣ Ξεκινάμε από τη γνωστή εξίσωση για την ένταση του βαρυτικού πεδίου ( την γνωστή μας επιτάχυνση βαρύτητας ) : Δηλαδή κοντά στην επιφάνεια της σφαιρικής Γης, η ένταση έχει σταθερό μέτρο. Η γνωστή εξίσωση U=m.g.h ισχύει κάτω από δυο παραδοχές : Εργαζόμαστε κοντά στη επιφάνεια της Γης όπου το πεδίο θεωρείται ομογενές και η Γη επίπεδη και αυτό σημαίνει κατακόρυφο g με φορά προς τα κάτω και τιμή g=g o! Η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν όταν μια μάζα βρεθεί στη επιφάνεια της Γης ή σε κάποια άλλη αυθαίρετη οριζόντια επιφάνεια- που ορίζουμε εμείς και αποδίδουμε σε αυτή h=0. Ας απαντήσουμε στο ερώτημα : Πότε θα εργάζομαι με τη σχέση U=mgh και πότε με τη σχέση ; Η πρώτη θέλει ομογενές βαρυτικό πεδίο και η δεύτερη ανομοιογενές. Η πρώτη αφορά προβλήματα που συμβαίνουν σε μια μικρή περιοχή του πλανήτη, του άστρου, ενώ η δεύτερη αφορά συνήθως- μεγάλες αποστάσεις. Η πρώτη θέλει σημείο αναφοράς μηδενικής τιμής σε επιφάνεια αυθαίρετα ορισμένη (h=0), ενώ η δεύτερη στο άπειρο. Η πρώτη είναι στο περίπου και μπορεί να «παραχθεί» από τη δεύτερη με προσεγγιστικούς όρους. Αρκετά

5 ΤΑΧΥΤΗΤΑ ΔΙΑΦΥΓΗΣ Με ποια ταχύτητα πρέπει να εκτοξευθεί ένα αντικείμενο μάζας m, από την επιφάνεια της Γης ώστε να διαφύγει οριστικά από το πεδίο βαρύτητας της Γης; Για να απλουστεύσουμε το πρόβλημα θα θεωρήσουμε ότι η Γη δεν κινείται, θα αγνοήσουμε τις βαρυτικές επιδράσεις από τα άλλα ουράνια σώματα και θα αγνοήσουμε την αντίσταση του ατμοσφαιρικού αέρα. Εφόσον το βαρυτικό πεδίο είναι διατηρητικό η μηχανική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων (Γη και σώμα) διατηρείται. Επομένως κατά την κίνηση του σώματος μεταξύ δύο θέσεων θα ισχύει Κ 1 + U 1. = Κ 2 + U 2 (3) Εφαρμόζουμε τη σχέση αυτή για ένα σημείο πάνω στην επιφάνεια της Γης και για το άπειρο (εκεί όπου δεν υπάρχει πλέον βαρυτική επίδραση και η δυναμική ενέργεια του συστήματος σώμα Γη είναι μηδέν U 2 = 0). Η ελάχιστη τιμή της ταχύτητας με την οποία πρέπει να εκτοξεύσουμε το σώμα είναι εκείνη για την οποία το σώμα θα φτάνει στο άπειρο με μηδενική ταχύτητα, άρα Κ 2 =0 Από την (3) έχουμε Κ 1 + U 1. = οπότε Λύνοντας ως προς υ δ βρίσκουμε ΜΑΥΡΕΣ ΟΠΕΣ Ας βρούμε τι ακτίνα πρέπει να έχει ένα ουράνιο σώμα μάζας Μ ώστε να μην επιτρέπει σε τίποτα να διαφύγει από την επιφάνειά του. Η μεγαλύτερη ταχύτητα στη φύση είναι η ταχύτητα του φωτός c = 3 x 10 8 m/s.

6 Αν στη σχέση που δίνει την ταχύτητα διαφυγής θέσουμε και λύσουμε ως προς R βρίσκουμε : Η ακτίνα αυτή είναι γνωστή με το όνομα ακτίνα Schwarzschild. Ένα ουράνιο σώμα μάζας Μ με ακτίνα μικρότερη από αυτή την ακτίνα δεν επιτρέπει σε τίποτε, ούτε καν στο φως, να διαφύγει από το πεδίο βαρύτητάς του. Ένα τέτοιο σώμα δεν είναι άμεσα παρατηρήσιμο κάνει όμως αντιληπτή την παρουσία του από τις ισχυρότατες βαρυτικές έλξεις που ασκεί στον περίγυρό του. Τέτοια σώματα στη σύγχρονη φυσική χαρακτηρίζονται μαύρες τρύπες. Νίκος Δημάσης Φυσικός