ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x

Transcript

1 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15 MAΪOY 14 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Έστω f παραγωγίσιμη στο α, β, με εξαίρεση ίσως το σημείο, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,, β, να δείξετε ότι το f δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο α, β Α Έστω f συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Ποιά συνάρτηση ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ (Μονάδες 1) ονομάζεται αρχική της f στο Δ; (Μονάδες 5) Α3 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α) Αν η f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο Δ τότε f, για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ β) Αν η f είναι γνησίως μονότονη και συνεχής στο διάστημα α, β με σύνολο τιμών το Α, Β, όπου Α lim f, Β lim f είναι γνησίως αύξουσα γ) Αν lim f τότε lim f α ή β lim f, τότε η f δ) Αν η f είναι 1-1 και το σημείο Μα, β ανήκει στην γραφική παράσταση C της f, τότε το M β, α θα ανήκει στην γραφική παράσταση C της f 1 και αντιστρόφως ε) Αν lim f, lim g,, τότε f f lim lim (Μονάδες 1) g g

2 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε την εξίσωση: i i (1) Β1 Να δείξετε ότι η εξίσωση δεν έχει φανταστικές ρίζες (Μονάδες 4) Β Έστω α βi, α μία ρίζα της παραπάνω εξίσωσης Να δείξετε ότι: 44β 4 4β1 και να συμπεράνετε από την προηγούμενη σχέση ότι οι εικόνες των ριζών της εξίσωσης (1) είναι σημεία του μοναδιαίου κύκλου Β3 Έστω 1,, 3 ρίζες της (1) και u τέτοιος ώστε: 1 3 u u (Μονάδες 4+4) Να δείξετε ότι: 51 u (Μονάδες 6) Β4 Θεωρούμε τους μιγαδικούς w για τους οποίους ισχύει: w i 14 Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών w είναι σημεία κύκλου με κέντρο K 1, και ακτίνα ρ 1 (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 1, για την οποία ισχύουν: f e f f f e, για κάθε 1 ΤΕΛΟΣ ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ1 Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 1, (Μονάδες 6) Γ Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι f lnln και να βρείτε το σύνολο τιμών της (Μονάδες 8) Γ3 Να βρείτε ότι η εξίσωση ln 1, 1, m έχει ακριβώς μία λύση για κάθε m (Μονάδες 4) Γ4 Να λύσετε την ανίσωση: f f 3 3 (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ Δ Έστω η f : συνάρτηση, τρείς φορές παραγωγίσιμη, για την οποία ισχύουν: f, για κάθε f f 1, για κάθε f t dt Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση g t f t f t dt e, Δ1 Να δείξετε ότι f και ότι η f είναι κυρτή στο (Μονάδες 6) Δ Να δείξετε ότι g 1, για κάθε, (Μονάδες 4) Δ3 Να δείξετε ότι: η g είναι γνησίως αύξουσα στο, και στη συνέχεια ότι ισχύει: f f 1 f tdt (Μονάδες 3+5) 1 ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ4 Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση h :, 1, με για κάθε, 1, καθώς και τη συνάρτηση G h t dt, 1 I Να δείξετε ότι : G, για κάθε, 1 II Να λύσετε την εξίσωση : h 1 G g t dt htgtdt,, 1 (Μονάδες 7) ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

5 ΘΕΜΑ Α α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Λ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Β1 Έστω ki, k ρίζα της (1) Τότε k k ki 1 αδύνατο Β Είναι i α βi β α 44β α βi i 4α β 1 4 4β1 Αν β 4 4β , άτοπο Όμοια αν 1, άρα 1 Β3 Ισχύει: u u u, άρα 1 3 u u u u 1 u u u B4 w 1 1 ΘΕΜΑ Γ Γ1 Είναι γνωστό ότι: e 1 (θέλει απόδειξη, όμως μπορούμε να την αποφύγουμε αν βασιστούμε στην εφαρμογή, (σελ66) του σχολικού βιβλίου: ln 1, για κάθε και βάλουμε στη θέση του το Έτσι: e f f f f e 1 e 1 f, άρα

6 Γ Θέτουμε g f Τότε: g g e g e ge, κτλ Είναι 1 lim f g g g 1 και lim f άρα fa Γ3 Η εξίσωση γράφεται : lnln lnm f lnm και για κάθε m ισχύει lnm f A Γ4 Ισοδύναμα έχουμε: f f 3 3, (1) f 1 είναι γνησίως φθίνουσα στο Από την αρχική σχέση προκύπτει ότι h f, άρα η συνάρτηση 1,, οπότε η (1) h h ΘΕΜΑ Δ Δ1 f από θ Fermat Eπειδή f και συνεχής, διατηρεί πρόσημο στο Με ΘΜΤ για την f στο, 1 έχουμε f f ξ με ξ Άρα η f δεν είναι γνησίως φθίνουσα, συνεπώς είναι γνησίως αύξουσα, άρα f Δ Αρκεί να δειχθεί ότι tf t f t dt, για κάθε, Εύκολα αποδεικνύεται με βοηθητική συνάρτηση Δ3 Εύκολα αποδεικνύεται ότι g για κάθε, να ισχύει, μόνον όταν Η ανισότητα αποδεικνύεται από κατά παράγοντες Δ4 i) Θέτω H G, με το = g 1 g και χρησιμοποιώντας ολοκλήρωση και δείχνω H για κάθε, 1 ii) Προφανής ρίζα η, οπότε από μεταφορά στο 1 ο μέλος, θεωρούμε βοηθητική συνάρτηση, η οποία είναι γνησίως φθίνουσα στο, 1, άρα η ρίζα είναι μοναδική