Για να προσδιορίσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης η πρέπει να βρούμε το πρόσημο της h, το οποίο εξαρτάται από τη συνάρτηση φ(x) = e x 1

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Για να προσδιορίσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης η πρέπει να βρούμε το πρόσημο της h, το οποίο εξαρτάται από τη συνάρτηση φ(x) = e x 1"

Μελίτη Μοσχοβάκης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΜΑ Έστω οι συναρτήσεις, g με () και g() ln( + ) +. Να αποδείξετε ότι οι C, C g έχουν ακριβώς ένα κοινό σημείο. Στη συνέχεια να δείξετε ότι στο σημείο αυτό έχουν κοινή εφαπτόμενη, την οποία και να βρείτε. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι Α R και της συνάρτησης g είναι Α g (, +). Θεωρούμε τη συνάρτηση h με τύπο h() () g() h() ln( + ) h() ln( + ). Παρατηρούμε ότι h() ln. Επιπλέον είναι h () ( ). Για να προσδιορίσουμε τη μονοτονία της συνάρτησης η πρέπει να βρούμε το πρόσημο της h, το οποίο εξαρτάται από τη συνάρτηση φ(). Έχουμε φ() + >, για κάθε (, +). Επομένως η συνάρτηση φ είναι γνησίως αύξουσα. Όμως φ(). Άρα για κάθε > ισχύει Φ() > φ() και για κάθε < ισχύει φ() < φ(). Επομένως : + h() + h() h() Αν < <, τότε h() > h(). Άρα h() για κάθε (, ). Αν <, τότε h() > h(). Άρα h() για κάθε (, +). Συμπεραίνουμε ότι το είναι μοναδική λύση της εξίσωσης h(). Οι C και C g έχουν κοινή εφαπτόμενη στη θέση, αν ισχύει () g() και () g (). Έχουμε ότι () και g() ln( + ) + ln +, άρα () g(). Επιπλέον () και g (). Ισχύει () και g (), δηλαδή () g (). Συνεπώς οι γραφικές παραστάσεις και C g έχουν κοινή εφαπτόμενη στο σημείο, την ευθεία y y +.

2 ΘΕΜΑ Έστω η συνάρτηση με () ln +,. α). Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. β). Να βρεθεί το σύνολο τιμών της. γ). Να δείξετε ότι η εξίσωση : ( + ) (ln + 9) έχει μοναδική ρίζα στο [, +). d d δ). Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα :. α). Είναι () + διάστημα Α [, +). + > για κάθε, άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο β). Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα στο διάσ τημα Α [, +) έχουμε ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης είναι το σύνολο (Α) [(), lim ()). Όμως: () +. lim () lim ( ln + ) και επειδή ln lim () ln lim lim και lim lim DHL DHL έχουμε τελικά από την () ότι lim () (+)( + ) +, επομένως (Α) [ +, +). γ). Επειδή η συνάρτηση είναι, η σχέση ( + ) (ln + 9) συνεπάγεται ότι + ln + 9 ln + 9 () 9. Όμως ο αριθμός 9 ανήκει στο σύνολο τιμών της, δηλαδή 9 (Α), οπότε από το θεώρημα των ενδιαμέσων τιμών έχουμε σαν συμπέρασμα ότι υπάρχει ξ > τέτοιο ώστε (ξ) 9, και επειδή η συνάρτηση είναι το ξ είναι μοναδικό. δ). Για να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα : I d d, αλλαγή στη μεταβλητή στο ολοκλήρωμα Κ d θέτοντας (u), οπότε : d d((u)) d (u)du. όταν +, έχουμε + (u) () (u) u. όταν +, έχουμε + (u) () (u) u, άρα Κ d Άρα : I πρώτα θα κάνουμε u ' udu u ' udu u u udu u du d d d d d + Ι +.

3 ΘΕΜΑ Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : [α, β] R με < α < β, για την οποία ισχύει η σχέση () > () για κάθε [α, β]. Να αποδείξετε ότι : α). η συνάρτηση g( ), [α, β] είναι γνησίως αύξουσα. β)., [α, β]. < () < γ). υπάρχει τουλάχιστον ένα [α, β], ώστε ( ) d. ' ' α). Για κάθε [α, β] ισχύει g () Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα.. β). Επειδή η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο [α, β] για κάθε α β, θα ισχύει g(α) g() g(β), δηλαδή άρα (αφού < α β, άρα > ). γ). Από το προηγ ούμενο ερώτημα για κάθε [α, β] έχουμε διαδοχικά : και και d και d και d d.. d g d g (ερώτημα (α)) Παρατηρούμε ότι η g είναι συνεχής (σαν πηλίκο συνεχών) και γνησίως αύξουσα, οπότε ισχύει g(α) < g(β). Επομένως από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών συμπεραίνουμε ότι θα υπάρχει κάποιο [α, β] ώστε g( ) d ή d άρα ( ) d.

4 ΘΕΜΑ 4 Έστω ο μιγαδικός αριθμός C, με Im(). Θεωρούμε τη συνάρτηση : R R με () ln( + ). α). Να βρεθεί το lim (). β). Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και τη καμπυλότητα. γ). Να δειχθεί ότι για κάθε R, ισχύει ότι : < ( +) () <. δ). Να βρεθεί ο μιγαδικός αν ισχύει ότι : ' d ln. α). () ln( + ) () ln ln( + ) () ln. Αν θέσουμε g(), έχουμε : lim g() lim lim lim. Οπότε lim () lim g()). β). Αφού Im(), δηλαδή α + i, α R () ln( + ) () () () ' () >. ' >, για κάθε R, οπότε η συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα στο R., άρα η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα κάτω (κυρτή) στο R γ). Σχόλιο Επειδή στην προς απόδειξη σχέση έχουμε τη διαφορά των τιμών της συνάρτησης σε δυο θέσεις (( + ) ()), θα εφαρμόσουμε το Θ.Μ.Τ στο διάστημα [, + ], οπότε : Αφού λοιπόν η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [, + ], υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, + ) ώστε να ισχύει : (ξ) (ξ) ( + ) (), δηλαδή υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, + ) ώστε να ισχύει : (ξ) ( +) (). Όμως η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσ α ( () < ), οπότε αφού <ξ < + ( +) < (ξ) < () < ( +) () <. δ). ' d ln ' d ln ln

5 ln ln( + ) ln ln ln( + ) ln ln ln α + α. Άρα : i. ΘΕΜΑ 5 Αν,,, C * και να δείξετε ότι : Έχουμε :, οπότε : ΘΕΜΑ 6. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση :(, +) R με Αν () και (), να αποδειχθεί ότι Έστω g() t dt t dt,για κάθε >. d 4. t dt t dt, >. Θέτουμε t y και βρίσκουμε. t dt y dy, >. t dt t dt Άρα g() Απ την υπόθεση είναι g() > g(), για κάθε >. Σύμφωνα με το θεώρημα Frmat πρέπει g (). Έστω F αρχική της. Τότε g() [F() F()] t dt. Παραγωγίζουμε : g () [F() F()] + [() ()] Άρα g () [F() F()] + () () F() F() 6 d 4.

6 ΘΕΜΑ 7 Έστω η συνεχής συνάρτηση : (, +) R. για την οποία ισχύει () (, +). Να αποδείξετε ότι : α). Η είναι παραγωγίσιμη, β). () ln, >. α). Για κάθε > ισχύει : () t t t t dt t t dt () t t t t dt dt t t t t dt, για κάθε t Άρα η είναι παραγωγίσιμη σαν διαφορά παραγωγίσιμων με παράγωγο ' () () () () () () () β). Από τη σχέση της υπόθεσης θέτοντας για κάθε > όπου το βρίσκουμε : t t t t dt dt t t, άρα Άρα η σχέση () από τη () για κάθε > γίνεται : + () για κάθε > () () () (ln) () ln + c R, c σταθερά () Επίσης από τη σχέση της υπόθεσης με, βρίσκουμε (). Επομένως και η σχέση () με γράφεται : () ln + c, c + c c. Άρα με c η σχέση () μας δίνει () ln, >.

7 ΘΕΜΑ 8 Έστω : R R συνάρτηση συνεχής με () και C {}. Θεωρούμε τη συνάρτηση :. g : R R : g() t dt α). Να βρείτε τον g (). β). Αν g() για κάθε R, να δείξετε ότι :. γ). Να δείξετε ότι : R(). t dt α). g() g() t dt t dt g() t dt t dt g () g () g () Οπότε g () [() ()]. β). Ίσχύει g() για κάθε R. Όμως g(), άρα τελικά ισχύει ότι g() g() για κάθε R, οπότε το g() είναι ολικό ελάχιστο της συνάρτησης g και επειδή παρουσιάζεται σε εσωτερικό σημείο του πεδίο ορισμού της g στο οποίο είναι παραγωγίσιμη, από το θεώρημα του Frmat θα έχουμε g (). γ). και επειδή έχουμε τελικά, οπότε απλοποιώντας έχουμε τελικά ότι : + R() R().

8 ΘΕΜΑ 9 Έστω η μια συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [, +) με () >, για κάθε >. Ορίζουμε τις συναρτήσεις : G() α). Να δείξετε ότι η συνάρτηση : F() t t dt, και Η() t t G H β). Θεωρούμε τη συνάρτηση P : Ρ() Η() G(), >. Να δείξετε ότι : i). Ρ() > για κάθε >. ii).η συνάρτηση Ρ() είναι κυρτή στο διάστημα [, +). γ). Να βρεθεί το όριο : L α). Έχουμε : F () lim H G ln tdt ' H G' H H G t tdtt tdt, >. H dt,, είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (,+).. t t dt t t dt Είναι φανερό ότι το πρόσημο της F () εξαρτάται από το πρόσημο της παράστασης t t dt t t dt. Είναι : H t t dt t t dt t t dt t t dt t t t dt Όμως για κάθε t, με t είναι t( t) άρα και t(t)( t) συνεπώς t t dt άρα και F () οπότε η F είναι στο (, +). β). i). Είναι : Ρ () Η() + Η() G () Ρ() Η() + () () Ρ () Η() >, για κάθε > άρα η Ρ() είναι στο [, +) συνεπώς Ρ() Ρ() Ρ() για κάθε [, +). ii). Έχουμε : Ρ() Η () Ρ() () >, για κάθε [, +). Είναι : Ακόμη : H H' lim lim lim lim G G' DHL άρα L. ln t dt ln ln lim lim lim lim ln DHL DHL.

9 ΘΕΜΑ Δίνονται οι μιγαδικοί και η συνεχής συνάρτηση : R R με (). Θεωρούμε τη συνάρτηση: i t dt i. Αν g() για κάθε R, τότε : g() α). Να αποδείξετε ότι η εικόνα του στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ(, ) και ακτίνα ίση με. β). Να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης 4. α). g() i t dt i, άρα έχουμε ότι g() g(), οπότε από το θεώρημα του Frmat έχουμε ότι g (). Όμως g() i t dt i g () i() + i. Άρα g () g () Z I() i, άρα η εικόνα του μιγαδικού στο μιγαδικό επίπεδο κινείται σε κύκλο με κέντρο Κ(, ) και ακτίνα ίση με. β).o μιγαδικός είναι ένα σημείο του κύκλου κέντρου Κ(, ) και ακτίνας ρ. Αναζητάμε την ελάχιστη και την μέγιστη τιμή της παράστασης 4, που είναι τα τμήματα ΒΛ και ΑΛ. ΚΛ 4 5, οπότε : ΒΛ ΚΛ ρ 5. ΑΛ ΚΛ + ρ Πολυχρονιάδης Νικόλαος

Σχετικά έγγραφα

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους

Λύσεις του διαγωνίσματος στις παραγώγους Θέμα ο Α Έστω ότι f ), για κάθε α, ), β) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα α, ] και [, β) Επομένως, για ισχύει