Σελίδα 1 από 3. f ( x ) 0. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού ( Μονάδες 5 ) (Α3) Πότε η ευθεία y x

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σελίδα 1 από 3. f ( x ) 0. Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού ( Μονάδες 5 ) (Α3) Πότε η ευθεία y x"

Θεόκλεια Πολίτης
4 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Σελίδα από 3 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΕΛ ΑΙΓΑΛΕΩ ΚΥΡΙΑΚΗ 3 ΜΑΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ Α (Α) (Α) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα και του.αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο αυτό, να αποδείξετε ότι 0 0 ένα εσωτερικό σημείο 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο f ( ) 0 ( Μονάδες 7 ) Τι σημαίνει γεωμετρικά το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού ( Μονάδες 5 ) (Α3) Πότε η ευθεία y λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης (Α4) (α) μιας συνάρτησης f στο ; ( Μονάδες 3 ) Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος δυο μιγαδικών αριθμών είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτινών τους ( Μονάδες ) (β) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν πεδίο ορισμού το και ορίζονται οι συνθέσεις f g και g f, τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες ( Μονάδες ) (γ) Αν η συνάρτηση g f είναι συνεχής σε ένα διάστημα τότε και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο ( Μονάδες ) (δ) Όταν μια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο και στρέφει τα κοίλα (ε) προς τα άνω,τότε κατ ανάγκη θα ισχύει f ( ) 0 για κάθε πραγματικό αριθμό Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα και είναι ένα σημείο / του τότε f ()d f ( ) f ( ) ( Μονάδες ) ( Μονάδες )

2 Σελίδα από 3 ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί Z, W και ο πραγματικός αριθμός για τους οποίους ισχύουν Οι Z, W δεν είναι πραγματικοί αριθμοί ( ) Z W και Z W ( ) Z W ( 3 ) (Β) Να αποδείξετε ότι: Z W WZ W Z Z ( 4 ) ( Μονάδες 5 ) (Β) Να αποδείξετε ότι και ( Μονάδες 6 ) (Β3) Αν και Im( Z),Im( W) το φανταστικό μέρος των μιγαδικών Z, W αντίστοιχα, τότε να αποδείξετε ότι: (Β3α) Im( Z)Im( W) 0. ( Μονάδες 7 ) (Β3β) (Β4) Η εξίσωση: (ln( ))Im( Z) ( )Im( W) 0, έχει μια τουλάχιστον ρίζα ως προς στο (0,) ( Μονάδες 4 ) Έστω Z, W, οι μιγαδικοί των προηγούμενων ερωτημάτων και οι οποίοι επαληθεύουν την σχέση Z Wu, με Τότε να αποδείξετε ότι: Οι εικόνες των μιγαδικών 3 u u u3 u u 3 δεν βρίσκονται u οι μιγαδικοί u στην ίδια ευθεία. ( Μονάδες 3 ) ΘΕΜΑ Γ Να αποδείξετε ότι (Γ) Η εξίσωση ln( ), έχει μοναδική ρίζα στο [0, ) ( Μονάδες 7 ) (Γ) ln( ), για κάθε [0, ) ( Μονάδες 3 ) Δίνεται η συνάρτηση f : [0, ). Για κάθε υπάρχει μοναδικό 0 ώστε να ισχύει: f( ) ln( ).Τότε να αποδείξετε ότι (Γ3) f( ), για κάθε [0, ) ( Μονάδες 5 ) (Γ4) Η ευθεία ( ):y, είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( Μονάδες 5 ) (Γ5) Δεν υπάρχει ευθεία ( ) η οποία να εφάπτεται στη γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f και να είναι παράλληλη με την ευθεία () του ερωτήματος (Γ4) ( Μονάδες 5 ) C f

3 ΘΕΜΑ Δ Σελίδα 3 από 3 Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : (0, ),για τις οποίες ισχύουν f () f () g( ) d d Η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο και f ( )f ( ) 0 για κάθε Η εξίσωση f ( ) 0 έχει μοναδική ρίζα την f ( ) (f ( )) f ( )f ( ) f ( )(f ( )) f ( ), για κάθε (Δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο και να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ( Μονάδες 6 ) (Δ) Να υπολογίσετε την τιμή f () και να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη ( Μονάδες 6 ) Αν f ( ) ln, τότε (Δ3) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ] ( Μονάδες 5 ) (Δ4) Να υπολογίσετε το εμβαδόν ( ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C g της συνάρτησης g, τον άξονα και τις ευθείες και ( Μονάδες 8 )

4 Σελίδα από 6 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΓΕΛ ΑΙΓΑΛΕΩ ΚΥΡΙΑΚΗ 3 ΜΑΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ Α (Α) ΟΕΔΒ 60 (Α) ΟΕΔΒ 47 (Α3) ΟΕΔΒ 80 (Α4) Σ Λ Λ Λ - Λ ΘΕΜΑ Β Δίνονται οι μιγαδικοί Z, W και ο πραγματικός αριθμός για τους οποίους ισχύουν Οι Z, W δεν είναι πραγματικοί αριθμοί ( ) Z W και Z W ( ) Z W ( 3 ) (Β) Να αποδείξετε ότι: Z W WZ W Z Z ( 4 ) ( Μονάδες 5 ) (Β) Να αποδείξετε ότι και ( Μονάδες 6 ) (Β3) Αν και Im( Z),Im( W) το φανταστικό μέρος των μιγαδικών Z, W αντίστοιχα, τότε να αποδείξετε ότι: (Β3α) Im( Z)Im( W) 0. ( Μονάδες 7 ) (Β3β) (Β4) Η εξίσωση: (ln( ))Im( Z) ( )Im( W) 0, έχει μια τουλάχιστον ρίζα ως προς στο (0,) ( Μονάδες 4 ) Έστω Z, W, οι μιγαδικοί των προηγούμενων ερωτημάτων και οι οποίοι επαληθεύουν την σχέση Z Wu, με Τότε να αποδείξετε ότι: Οι εικόνες των μιγαδικών 3 u u u3 u u 3 δεν βρίσκονται u οι μιγαδικοί u στην ίδια ευθεία. ( Μονάδες 3 ) (Β) Ενδεικτική απάντηση Z W ZW W Z ( ZW ) Z W Z Αν ZW 0, τότε Z ( 4 ), όμως από ( 3 ) έχουμε WW, άρα W άτοπο λόγω της ( ).Επομένως ZW 0.Οπότε Z W WZ Z W

5 (Β) Όταν τότε, από ( 4 ) (Β3α) Όταν τότε, από ( 4 ) Σελίδα από 6 Z W Z άτοπο, άρα W Z Z άτοπο, άρα Z W Z W WZ Z W WZ WZ ( )( ) ( )( ) 4i Im Im 0 Im Im 0 Z W Z W WZ WZ Z W Z W (Β3β) Θεωρούμε τη συνάρτηση με ( ) (ln( ))Im( Z) ( )Im( W), η συνάρτηση είναι συνεχής ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ των συνεχών συναρτήσεων. (0) ( )Im( W), 0 () lnim( Z), ln 0, άρα (0) () 0 Οπότε η συνάρτηση ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο διάστημα [0,].άρα υπάρχει 0 (0,) ώστε ( 0) 0 Άρα 0 ρίζα της εξίσωσης (Β4) Z W Z W (ln( ))Im( Z) ( )Im( W) 0 u u και λόγω της ( 4 ) u Οπότε οι εικόνες των μιγαδικών άρα δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία. u3 ανήκουν στο μοναδιαίο κύκλο

6 ΘΕΜΑ Γ Να αποδείξετε ότι Σελίδα 3 από 6 (Γ) Η εξίσωση ln( ), έχει μοναδική ρίζα στο [0, ) ( Μονάδες 7 ) (Γ) ln( ), για κάθε [0, ) ( Μονάδες 3 ) Δίνεται η συνάρτηση f : [0, ). Για κάθε υπάρχει μοναδικό 0 ώστε να ισχύει: f( ) ln( ).Τότε να αποδείξετε ότι (Γ3) f( ), για κάθε [0, ) ( Μονάδες 5 ) (Γ4) Η ευθεία ( ):y, είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f ( Μονάδες 5 ) (Γ5) Δεν υπάρχει ευθεία ( ) η οποία να εφάπτεται στη γραφική παράσταση Cf της συνάρτησης f και να είναι παράλληλη με την ευθεία () του ερωτήματος (Γ4) ( Μονάδες 5 ) C f Ενδεικτική απάντηση (Γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση με ( ) ln( ), 0.Παρατηρούμε ότι (0) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο [0, ) ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων και ( ).Είναι και για κάθε 0, άρα ( ) 0, για κάθε 0,οπότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο [0, ) Επομένως η εξίσωση ln( ), έχει μοναδική ρίζα στο [0, ) (Γ) Από το (Γ) η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο [0, ) άρα ( ) (0) 0, οπότε ln( ), για κάθε [0, ) (Γ3) f ( ) ln( ), [0, ) (Γ4) οπότε ln( ) ( ) 0 ( ). Όμως, από το ερώτημα(γ), ( ) (0) 0 άρα 0,συνεπώς ( ) 0 ( ), άρα 0. Οπότε έχουμε f ( ),επομένως f( ) Είναι f ( ) lim lim [ ] και lim [f ( ) ] lim [ ] άρα η ευθεία ( ) :y, είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης Cf της συνάρτησης f ()

7 Σελίδα 4 από 6 (Γ5) Είναι f ( ), ο συντελεστής διεύθυνσης κάθε ευθείας( ) η οποία εφάπτεται ΘΕΜΑ Δ στη γραφική παράσταση C της συνάρτησης f, είναι. f Αν ( ) //( ) πρέπει, άρα 0,άτοπο. Οπότε κάθε ευθεία ( ) η οποία εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, δεν είναι παράλληλη με την ευθεία () Δίνονται οι συναρτήσεις f, g : (0, ),για τις οποίες ισχύουν f () f () g( ) d d Η συνάρτηση f έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο και f ( )f ( ) 0 για κάθε Η εξίσωση f ( ) 0 έχει μοναδική ρίζα την f ( ) (f ( )) f ( )f ( ) f ( )(f ( )) f ( ), για κάθε (Δ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο και να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ( Μονάδες 6 ) (Δ) Να υπολογίσετε την τιμή f () και να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη ( Μονάδες 6 ) Αν f ( ) ln, τότε (Δ3) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ] ( Μονάδες 5 ) (Δ4) Να υπολογίσετε το εμβαδόν ( ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C g της συνάρτησης g, τον άξονα και τις ευθείες και ( Μονάδες 8 ) Ενδεικτική απάντηση - Λύση (Δ) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0, ), αν δεν διατηρεί σταθερό τότε υπάρχει ώστε f ( ) 0, άτοπο. Άρα f ( ) 0,επομένως η συνάρτηση f διατηρεί σταθερό πρόσημο. Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (0, ), οπότε f ( ) lim[(f ( )) f ( )f ( ) f ( )(f ( )) lim[f ( ), άρα (f ()) f () οπότε f (), άρα f ( ) 0, οπότε η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, ) C f

8 (Δ) Σελίδα 5 από 6 f ( ) f ( ) f ( )(f ( )) (f ( )) και f ( ) συνεχής f ( ) f ( ) f ( ) lim[f ( ) f ( )(f ( )) (f ( )) ] 0 και Από τους κανόνες D l Hospial έχουμε lim f ( ) 0 f ( ) f ( ) 3 lim f ( ) 0 f ( ) (f ( )) (f ( )) f ( )f ( )f ( ) f ( )f ( ) lim f ( ) f () f () f () f () και f ( ) 0 άρα f ( ) 0 για κάθε,οπότε η συνάρτηση f είναι κοίλη στο f ( ) ln και (Δ3) f () f () g( ) d d f ( ) ln g( ) 0, για κάθε [, ] άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο [, ] f () f () (Δ4) Είναι g() d d οπότε g( ) 0, για κάθε [, ],άρα f () g() ( ) d 0 f () f () Επομένως ( ) g( )d [ d] d d d f () f () ( ) [ [ d] d ( ) d] f () f ( ) f () ( ) [ d] d d ln ( ) d (ln ) d [ ] Δεύτερη Ενδεικτική απάντηση Λύση η Περίπτωση (0,) f ( ) f ( ) f ( ) (f ( )) f ( )f ( ) f ( )(f ( )) f ( ), για κάθε f ( ) f ( ) ( f ( )f ( ) ) f ( ), άρα f ( )f ( ) f ( ) C, όμως οι συναρτήσεις f, f είναι συνεχείς στο και f () 0. f ( ) Είναι lim( f ( )f ( ) lim( f ( ) C), άρα C 0 f ( ), οπότε f ( )f ( ) f ( )

9 Σελίδα 6 από 6 ( ) f ( ) f ( ) f ( ), άρα f ( ) C είναι f ( ) άρα C 0 επομένως, οπότε f ( ) ln. η Περίπτωση (, ), όμοια f ( ) ln ( Έτσι αντιμετωπίζονται τα ερωτήματα Δ,Δ,Δ3 ) f ( ) lim f ( ) lim( C ) Και για τον υπολογισμό του εμβαδού ή f () ln d d ( ) ln d ln ] d, άρα f () d ln, άρα g ή f () ln d d, f () ( ) ln d κ.τ.λ

Σχετικά έγγραφα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι: