ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α Απόδειξη θεωρήματος σελ 99 σχολικού βιβλίου Α α Ψευδής β, 0 Θεωρούμε τη συνάρτηση g, 0 παράσταση (σχήμα σχολικού βιβλίου σελ5): y η οποία έχει γραφική y=g() O Η g() είναι συνάρτηση στο αφού είναι γνησίως αύξουσα στο όπως φαίνεται από το παραπάνω σχήμα A g Ag αλλά δεν είναι γνησίως μονότονη στο,0 Α Διατύπωση θεωρήματος σελ 6 σχολικού βιβλίου Α4 α Λάθος (σελ σχ βιβλίου) β Λάθος (σχόλιο σελ 6 σχ βιβλίου) γ Σωστό (τύπος σελ 5 σχ βιβλίου) δ Σωστό (σελ 7 σχ βιβλίου) ε Σωστό (σελ 7 σχ βιβλίου) και γνησίως φθίνουσα στο 0, ΘΕΜΑ Β Β Ισχύει : A, 00, f

2 Η f() είναι παραγωγίσιμη στο A f ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων (άθροισμα πολυωνυμικής με ρητή) με: 4 f Επίσης : και 8 f f Επομένως Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήματα, ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο, 0 Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στη θέση 0 με τιμή: 4 4 f 4 Β Η είναι παραγωγίσιμη στο, 0 0,, 0, 8 f ως ρητή με f για κάθε, 00,

3 Άρα,0 f 0 και στο για κάθε, 00, οπότε η 0, f είναι κοίλη στο Β Κατακόρυφη ασύμπτωτη θα αναζητήσουμε : στο 0 0 οπότε: 4 4 lim f lim lim lim 0 4 lim αφού lim lim f lim lim lim 0 4 lim Άρα η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f Εξετάζουμε αν η C f έχει πλάγια ασύμπτωτη στο μια ευθεία (ε) της μορφής f ε : y λ + β όπου λ lim και β = lim f λ 4 4 f Τότε 4 λ lim lim lim lim lim, δηλαδή λ = λ= 4 4 και β = lim f λ lim lim 0, άρα β = 0 Τότε η ευθεία ε : y 0 y είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο μια ευθεία (ε) της μορφής Εξετάζουμε αν η C f έχει πλάγια ασύμπτωτη στο f y λ + β όταν λ = lim και β = lim f λ 4 4 f Τότε 4 λ = lim lim lim lim lim δηλαδή λ και λ= 4 β lim f λ lim 4 lim δηλαδή β 0 Άρα η ευθεία δηλαδή ε : y είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο

4 Β4 4

5 ΘΕΜΑ Γ Γ Η πλευρά του τετραγώνου θα έχει μήκος 8 m m 4 8 οπότε ο κύκλος θα έχει ακτίνα m Άρα, το εμβαδόν του τετραγώνου είναι E m 4 6 και το εμβαδόν του κύκλου είναι ίσο με E Το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων είναι: Γ Η E και το μήκος του κύκλου θα είναι , με E είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο 0,8 και παραγωγίσιμη στο διάστημα αυτό με: To πρόσημο της τιμών: E E' και η μονοτονία της m E φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα Άρα, το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων γίνεται ελάχιστο για, 4 που είναι η πλευρά του τετραγώνου όταν ισούται με την διάμετρο του κύκλου αφού:

6 E 5 Γ Αρκεί να δείξω ότι η εξίσωση H E 0,8 έχει μοναδική λύση για είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα στο 0, 4 οπότε 6 6 E lim, lim E, H E είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο,8 4 οπότε 6 E, lim E, E Αφού το οποία είναι μοναδική αφού Τέλος το 5E γνησίως φθίνουσα στο τότε η εξίσωση άρα η εξίσωση E 5 E 5 έχει μία τουλάχιστον λύση στο είναι αδύνατη στο, η ΘΕΜΑ Δ Δ Η f είναι φορές παραγωγίσιμη στο R ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: α α f e και f e f 0 e 0 e α 0 α α α Λύνω την Άρα η f παρουσιάζει μοναδικό σημείο καμπής στο Α α,f α Δ Είναι lim f lim e α,, διότι e e e lim f lim e lim [e 0 α α α lim lim 0 e e DLH Σύμφωνα με τον παραπάνω πίνακα προσήμων της f, προκύπτει ότι η f γνησίως φθίνουσα στο, και γνησίως αύξουσα στο, είναι Στο Δ,α η f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής οπότε 6

7 Στο Δ α, η f f Δ f α, lim f α, είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής, οπότε f Δ lim f, lim f α, α Αφού 0 προκύπτει ότι: οπότε η εξίσωση 0f Δ f 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα οποία είναι μοναδική αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο 0f Δ οπότε η εξίσωση οποία είναι μοναδική αφού η f f 0 Δ έχει μία τουλάχιστον ρίζα είναι γνησίως αύξουσα στο Δ Δ Δ, η, η Σύμφωνα με τα παραπάνω f f f f 0, για f για <α f f f 0, f για α f f f 0, f f f f 0 για Σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα Άρα η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο και τοπικό ελάχιστο στο Δ Έστω ότι η εξίσωση f f έχει ρίζα στο τέτοιο ώστε f ρ f α,, δηλαδή υπάρχει ρ α, Αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο α, τότε η f είναι οπότε f ρ f ρ f, το οποίο είναι άτοπο αφού Άρα η εξίσωση f f είναι αδύνατη στο Δ4 Για α τμ : f e και ρ α, και α α, f e Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο 0 είναι η y f f y y τελ 7

8 , Αφού η f είναι κυρτή στο από την με εξαίρεση το σημείο επαφής, δηλαδή C f την ισότητα να ισχύει μόνο για Άρα για τότε η εξίσωση της εφαπτομένης βρίσκεται κάτω 0 είναι f y f με f f, Αφού οι συναρτήσεις f και είναι συνεχείς στο και η ισότητα ισχύει μόνο για, τότε f d d Για το d θέτω Τότε d udu και για είναι u 0, για είναι u Άρα, u u d u u udu u u du u u u 4u du Επομένως f d 5 8