ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0

Transcript

1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο σελ.6 (i) Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο σελ.4 Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο σελ Α4. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό ΘΕΜΑ Β Β. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με f ( ) Λύνουμε την εξίσωση f ( ) Λύνουμε την ανίσωση f ( ) Λύνουμε την ανίσωση f ( ) Το πρόσημο της πρώτης παραγώγου και η μονοτονία της f φαίνεται στον παρακάτω πίνακα: X f - + f Ολικό ελάχιστο Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και γνησίως αύξουσα στο [,+ ). Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για το f ()

2 6 Β. Η f είναι παραγωγίσιμη στο R με: f ( ) Λύνουμε την εξίσωση 6 f ( ) 6 Λύνουμε την ανίσωση 6 f ( ) Το πρόσημο της δεύτερης παραγώγου και η κυρτότητα της f φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: f ( ) f H f είναι κοίλη στα διαστήματα, και, και κυρτή στο διάστημα Η f έχει σημεία καμπής τα,., f, 4 και, f, 4 αφού η f αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν αυτών και ορίζεται εφαπτομένη στα σημεία αυτά. Β. Η f είναι συνεχής στο R ως πηλίκο συνεχών και δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη. Βρίσκουμε το lim f ( ) lim lim. Όμοια θα έχουμε lim f ( ) lim lim

3 Συνεπώς η γραφική παράσταση της έχει στο + και στο οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία y=. Β4.. y= ΘΕΜΑ Γ Γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση ( ), f e Η εξίσωση f ( ) έχει προφανή ρίζα την = αφού Η f είναι παραγωγίσιμη στο με f ( ) e f () e.. Λύνουμε την εξίσωση ( ). Κατασκευάζουμε τον πίνακα f e - + e + + f ( ) - + f ( )

4 Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] και γνησίως αύξουσα στο [,+ ). Για = έχει ολικό ελάχιστο το f (). Άρα για f ( ) f () f ( ) και για f ( ) f () f ( ) Άρα η εξίσωση f ( ) έχει μοναδική λύση την =. Γ. Η f είναι συνεχής στο. Η εξίσωση f ( ) είναι ισοδύναμη με την f ( ) e e και λόγω του (Γ) η τελευταία εξίσωση έχει μοναδική ρίζα το =. Επομένως η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στα διαστήματα (,) και (,+ ). Είναι f ( ) e f ( ) e ( ) f e. Στο διάστημα, ισχύει είτε ( ) f άρα f ( ) e είτε f ( ) οπότε ( ) f e. Αντίστοιχα στο διάστημα, ισχύει είτε f ( ) άρα είτε ( ) f ( ) e f οπότε ( ) f e. Συνδυάζοντας τις παραπάνω περιπτώσεις όλες οι συνεχείς συναρτήσεις που ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη είναι οι εξής: ( ), f e ή ( ) ( ), f e ή f ( ) e e,, ή f ( ) e ( ), e, Γ. Η f είναι φορές παραγωγίσιμη στο R με: και Είναι f ( ) e f ( ) e 4 e 4 e e 4 e e Για κάθε με την ισότητα να ισχύει μόνο για = αφού ισχύει e και 4 e για κάθε.

5 Γ4. Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) f ( ) f ( ),, Η g είναι παραγωγίσιμη στο, με g( ) f ( ) f ( ) Από το Γ γνωρίζουμε ότι η f είναι κυρτή στο R άρα και στο διάστημα,, άρα η f θα είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό. Για κάθε με f ( ) f ( ) αφού η f είναι γνησίως αύξουσα. Άρα g( ) για κάθε Επομένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,, άρα έχει την ιδιότητα -. Επίσης και ορίζεται η σύνθεση g στο εξίσωση, και η f f f ( ) f ( ) γράφεται ισοδύναμα: g g( ) g Είναι γνωστό ότι για ισχύει με την ισότητα να ισχύει μόνο όταν =. Άρα η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση την =. ΘΕΜΑ Δ Δ. Ισχύουν ισοδύναμα: ( ) ( ) f f d f ( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) f ( ) d f ( ) d f ( ) f ( ) d f ( ) f () f ( ) f (), () f ( ) Για τη συνάρτηση h( ) ισχύει lim h( ). Είναι f ( ) h( ) κοντά στο =. Άρα lim f ( ) lim h( ) lim o Όμως η f είναι συνεχής στο =, άρα θα ισχύει f () lim f ( ). Έτσι η () γράφεται f ( )

6 Επίσης ισχύει : f ( ) f ( ) f () lim lim. Δ. α) Υποθέτουμε ότι η f παρουσιάζει ένα τουλάχιστον τοπικό ακρότατο στη θέση R. Επειδή είναι παραγωγίσιμη στο, από το Θεώρημα Fermat ισχύει f ( ) ( ) Παραγωγίζοντας τη σχέση f ( ) e f ( ) f f ( ) f ( ) e f e f f ( ) e, θα έχουμε:, για κάθε. Για γίνεται: αφού f e f f f f e e f ( ). Δηλαδή f (), άτοπο αφού είναι f (). β) Ισχύει f ( ) για κάθε. Η f είναι συνεχής στο, άρα η f διατηρεί πρόσημο στο. Δηλαδή η f είναι γνησίως μονότονη στο. Επειδή όμως είναι f () ισχύει f ( ) για κάθε. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Δ. Για κάθε ισχύει: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Δηλαδή f ( ) f ( ) f ( ), () Επειδή f, και η f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο θα ισχύει: lim f ( ) lim. f ( ) Από τη σχέση () και το κριτήριο παρεμβολής θα έχουμε: lim f ( )

7 (ln ) Δ4. Είναι έχουμε: du d και όταν u e f d f ( u ) du f ( ) d αφού θέτοντας u ln θα και όταν e u. Για κάθε f () f ( ) f ( ) f ( ) αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο. Η f δεν είναι παντού μηδέν (αφού f ( ) ) άρα θα ισχύει ισοδύναμα: f ( ) d d f ( ) d (ln ) e f d. Επιμέλεια λύσεων: Γιάννης Μοσχονάς - μαθηματικός