ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ"

Transcript

1 Νίκος Ζανταρίδης (Φροντιστήριο Πυραμίδα) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης Χρήσιμες Προτάσεις Ασκήσεις για λύση Μικρό βοήθημα για τον υποψήφιο μαθητή της Γ Λυκείου λίγο πριν τις εξετάσεις Απρίλιος 4 Επιμέλεια Κώστας Δόρτσιος Μάκης Χατζόπουλος

2 Πρόλογος Το μικρό αυτό πόνημα απευθύνεται κυρίως προς τους μαθητές της Γ Λυκείου οι οποίοι εξετάζονται στις Πανελλαδικές Εξετάσεις στο μάθημα των Μαθηματικών, ταυτόχρονα όμως μπορεί να αποτελέσει κι ένα ανάγνωσμα οποιουδήποτε άλλου που ασχολείται ευρύτερα με τα Μαθηματικά. Η μέχρι τώρα εμπειρία διδάσκει ότι η έννοια της μονοτονίας είναι μια έννοια αρκετά ενδιαφέρουσα και χρήσιμη σε όλη την έκταση της εξεταζόμενης ύλης. Η μονοτονία διαποτίζει και υποστηρίζει σχεδόν πάντοτε τα προβλήματα που τίθενται στις εξετάσεις, όπως για παράδειγμα τα προβλήματα που αφορούν ανισότητες, ανισώσεις, ακρότατες τιμές, εξισώσεις και διάφορα άλλα. Έτσι μια συνολική θεώρηση της μονοτονίας μέσα από το παρόν πόνημα ελπίζω ότι θα προσφέρει στον υποψήφιο μαθητή αρκετή γνώση και εμπειρία στην αντιμετώπιση των προβλημάτων αυτών. Ειδικότερα το θέμα με τίτλο: «Ένα γενικό θέμα Ανάλυσης» εμφανίζει μέσα από τα επεξεργασμένα ερωτήματα μια συνολική εικόνα της δυναμικής που εμπεριέχεται στην έννοια της μονοτονίας. Στην ίδια αντίληψη κινείται και το δεύτερο τμήμα όπου παρουσιάζονται διάφορες χρήσιμες προτάσεις που καποιες από αυτές σχετίζονται με τη μονοτονία. Τέλος μια σειρά από 8 ασκήσεις αποτελούν μια πρόκληση και μια δοκιμασία για μια τελική αυτοαξιολόγηση του υποψήφιου μαθητή. Τέλος αισθάνομαι την υποχρέωση να ευχαριστήσω τους φίλους μαθηματικούς Κώστα Δόρτσιο και Μάκη Χατζόπουλο για την επιμέλεια των κειμένων. Νίκος Ζανταρίδης Έδεσσα Απρίλιος 4

3 Γενικό Θέμα Ανάλυσης Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : για την οποία ισχύει:, e για κάθε. Να δειχθεί ότι η συνάρτηση είναι. Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα.. Να δειχθεί ότι και να βρείτε το πρόσημο της 4. Να βρείτε το σύνολο τιμών της 5. Να βρείτε τα όρια: lim, lim 6. Να οριστεί η 7. Να δειχθεί ότι: e για κάθε 8. Να μελετηθεί η ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής. 9. Να λυθεί η ανίσωση:. Να βρείτε το lim και το lim. Να δειχθεί ότι υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της C η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. t dt,. Να δειχθεί ότι:. Να δειχθεί ότι: b,, a b a a b 4. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της παράλληλη προς την ευθεία : y 5. Να εξεταστεί αν υπάρχουν ασύμπτωτες της C στο ή στο. 6. Να γίνει πρόχειρη γραφική παράσταση της. 7. Να βρεθεί το d συναρτήσει του.. C η οποία είναι 8. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C, την ασύμπτωτη της C στο και τις ευθείες και e

4 4 9. Να δειχθεί ότι:,,. Να δειχθεί ότι:. Να δειχθεί ότι οι C και C δεν έχουν κοινά σημεία.. e : Απαντήσεις e e... e e Άρα η είναι συνάρτηση.. ος τρόπος: e e e, e Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο g e ος τρόπος: Θεωρώ την g e,. Είναι, άρα η g είναι γνησίως αύξουσα. Η () γράφεται : g Έστω, με. Έχουμε g g (* * αφού η g είναι γνησίως αύξουσα στο ) Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο. ος τρόπος: Απαγωγή σε άτοπο. Έστω ότι η δεν είναι γνησίως αύξουσα στο, τότε θα υπάρχουν, με. Έχουμε: g g (γιατί η g γν. αύξουσα στο ) και,ατοπο, αφού. Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο.. Από την () για έχουμε: e g g, g e (γιατί η g ως γνησίως μονότονη στο είναι συνάρτηση ) Έχουμε:,

5 5, Άρα:, για κάθε,, για κάθε, 4. y g g y (γιατί η g ως γν. μονότονη στο είναι συνάρτηση ) g y Άρα για κάθε y η εξίσωση y έχει λύση ως προς στο D οποία είναι η y, οπότε και επειδή είναι και g y e y έπεται ότι., 5. Επειδή η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο έπεται ότι: Όμως είναι:, Επομένως είναι: lim, lim, οπότε: lim, lim, lim και lim 6. Η ως γνησίως μονότονη στο είναι συνάρτηση, οπότε η έχει αντίστροφη συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού είναι το επειδή ισχύει η ισοδυναμία έπεται ότι: y y e y y y gy e y. Άρα η αντίστροφη συνάρτηση της ορίζεται ως εξής: 7. Για κάθε ισχύει: 8. Είναι: : e : e και, οπότε η είναι παραγωγίσιμη στο ως πηλίκο e παραγωγίσιμων συναρτήσεων με e e e e

6 6 e e, e e e Άρα η είναι κοίλη στο και η C δεν έχει σημείο καμπής. 9. Έχουμε:. Είναι: έτσι προκύπτει: : 4 e e, e e e e,, Άρα η δοθείσα ανίσωση αληθεύει για κάθε,. lim lim lim u lim lim u lim u e e lim lim lim u lim lim u lim u e e. Η εξίσωση της εφαπτομένης της y o o o Για να διέρχεται από το σημείο, C στο σημείο της, O πρέπει και αρκεί να ισχύει: M είναι: o o o o o o Θα δείξουμε ότι η εξίσωση:, E έχει μοναδική λύση στο. Είναι: και e, οπότε η εξίσωση E είναι e ισοδύναμη με την: e e e e e o

7 7 Επειδή όμως έπεται ότι η εξίσωση έχει λύση στο και μάλιστα μοναδική, αφού η είναι γνησίως μονότονη στο. Επομένως υπάρχει μοναδική εφαπτομένη της διέρχεται από την αρχή των αξόνων.... t dt,. Είναι:... e e e C η οποία, e, Όμοια: Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο,,, οπότε η παρουσιάζει μέγιστο στο o ma Επομένως για κάθε ισχύει ma και γνησίως φθίνουσα στο, το οποίο είναι το: και συνεπώς: t dt t dt. Θεωρούμε τη συνάρτηση: a h a, Η h είναι παραγωγίσιμη στο με a h Έχουμε: a h... a,, ί a +

8 8 h a h a... h, a,, h a,... h h a... min Άρα για κάθε ισχύει : a h h min a a a. Επομένως: a b a b, a, b 4. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της N,, είναι Για να είναι η. C στο σημείο της παράλληλη (με την ευρεία σημασία) προς την ευθεία : y, πρέπει και αρκεί να ισχύει: e e e e e e '' '',. ό Είναι:, e e και η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης είναι: y y y

9 9 5. Στο έχουμε : και lim lim lim. Άρα στο η C δεν έχει ασύμπτωτη. Στο έχουμε: και lim lim lim u lim e lim e lim e. u lim u Άρα η ευθεία : y είναι ασύμπτωτη της C στο. 6. Για τη συνάρτηση ισχύουν τα ακόλουθα: Η είναι γνησίως αύξουσα στο Η είναι κοίλη στο Η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της C στο σχήμα. Έτσι μια πρόχειρη γραφική παράσταση της φαίνεται στο παρακάτω 7. ος τρόπος: e e e e d d ή

10 e d d d e d d e e d e e d * d e ος τρόπος : Θέτουμε u είναι u είναι u Για Για Άρα: 8. Είναι:, οπότε είναι: u u e u u και u d e du d u e du u u u u e u du u e u u e u du * * u e e u du u u e e e * e e e e E d e d u u Θέτουμε u, οπότε είναι u e u και έχουμε u Για e e e *, Για e έχουμε u e e ** * * e, d e du

11 Άρα: u u u u E e e du e e du u u e e e e.. 9. Για κάθε έχουμε: e e. Για κάθε. η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. στο οπότε υπάρχει,, ώστε: : Όμως, έχουμε: : b a διότι, (αφού η είναι κοίλη στο ). Από τις (a),(b) προκύπτει: e e e,. Για κάθε ισχύει : Από την θέτοντας όπου το ισχύει : :. Από τις Σ και Σ προκύπτει ότι για κάθε ισχύει. Επομένως οι C και C δεν έχουν κοινό σημείο.,, έχουμε ότι για κάθε

12 Χρήσιμες προτάσεις ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση : A είναι γνησίως μονότονη στο Α, τότε η μονότονη στο A με ίδιο είδος μονοτονίας με την. είναι γνησίως Απόδειξη Επειδή η είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της Α, έπεται ότι η είναι συνάρτηση -, οπότε η έχει αντίστροφη συνάρτηση και το πεδίο ορισμού της είναι το A. Έστω ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο Α, θα δείξουμε ότι η αύξουσα στο A. Υποθέτουμε ότι η y, y A με δεν είναι γνησίως αύξουσα στο y y και y y. Εχουμε όμως είναι γνησίως A, τότε θα υπάρχουν y y. (*)(αφού y y ά y A * : A y y y y y y άτοπο αφού Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο, ) A. Ομοίως αποδεικνύεται ότι αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο Α, τότε και η γνησίως φθίνουσα στο A. είναι Από όλα τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι αν η είναι γνησίως μονότονη στο Α, τότε και η A με το ίδιο είδος μονοτονίας με την. είναι γνησίως μονότονη στο ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση : A είναι γνησίως αύξουσα στο Α, να δείξετε ότι η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση Απόδειξη Έστω. μια ρίζα της εξίσωσης, τότε θα ισχύει : Από της () προκύπτει ότι A, A και A (αφού A). Έχουμε : Θα δείξουμε ότι Έστω ότι, τότε θα είναι ή. Υποθέτουμε ότι, τότε θα έχουμε. : A, ΑΤΟΠΟ,, A αφού υποθέσαμε ότι. Ομοίως σε άτοπο καταλήγουμε αν υποθέσουμε ότι είναι ρίζα της εξίσωσης, οπότε ο αριθμός. Επομένως είναι. Άρα κάθε ρίζα της

13 εξίσωσης είναι και ρίζα της εξίσωσης Αντιστρόφως Έστω μια ρίζα της εξίσωσης., τότε θα ισχύει : (). Από την () προκύπτει ότι A A (αφού ). Από την () έχουμε : 4 Από () και (4) προκύπτει ότι. Άρα ο αριθμός είναι ρίζα της εξίσωσης εξίσωσης είναι και ρίζα της εξίσωσης. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι οι εξισώσεις και ισοδύναμες. ΘΕΜΑ Αν για τις συναρτήσεις, : lim o g ισχύει g, τότε είναι και lim. Απόδειξη Επειδή είναι lim o o g έπεται ότι ισχύει. Επομένως κάθε ρίζα της είναι g κοντά στο και είναι ότι ισχύει g κοντά στο. Έτσι κοντά στο ισχύει g, οπότε κοντά στο ισχύει: Είναι lim και lim o o g προκύπτει ότι Επειδή είναι lim o lim o lim o. (αφού και ισχύει, δηλαδή lim o g κοντά στο. Ακόμα δόθηκε : g lim g ) οπότε, λόγω της (), o. Σημείωση: Αν ισχύει g κοντά στο και είναι lim. o κοντά στο, έπεται ότι lim g o, τότε και ΘΕΜΑ 4 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα Δ, παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του διαστήματος Δ και ισχύει ' για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είναι αύξουσα στο Δ. Απόδειξη

14 4 Έστω, με. Επειδή η είναι συνεχής στο διάστημα Δ, παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ και είναι,, έπεται ότι η είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο,,, άρα υπάρχει, Είναι όμως, οπότε η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ στο, ώστε ' ' : ' και (αφού ), οπότε έχουμε: ' ' Επομένως για κάθε, με ισχύει, οπότε η είναι αύξουσα στο Δ. Σημείωση: Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα Δ, παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ και για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει ', τότε η είναι φθίνουσα στο διάστημα Δ. ΘΕΜΑ 5 α) Αν η συνάρτηση :, είναι συνεχής και περιττή, τότε 4 t t β) Να βρεθεί το Λύση 4 e e t t dt. Θεωρώ την συνάρτηση,, g t dt. Είναι g t dt t dt t dt t dt. Επειδή η είναι συνεχής στο παραγωγίσιμη στο t dt,, η συνάρτηση,,, με ' h και η συνάρτηση h t dt είναι tdt h, a, a είναι παραγωγίσιμη στο, ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με ' ' Έτσι η g είναι παραγωγίσιμη στο,. ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων g t dt t dt.,. με '... Επειδή η είναι περιττή έπεται ότι ισχύει για κάθε.

15 Έτσι για κάθε, είναι στο,. Επομένως για κάθε, ισχύει Για = α έχουμε 5 g ', οπότε η g είναι σταθερή g g t dt t dt t dt t dt. Σημείωση: Ένας ος τρόπος επίλυσης είναι με αλλαγή μεταβλητής ( u t). β) Για την συνάρτηση : Η φ είναι συνεχής στο με e e και e e e e e e, ά Άρα η φ είναι συνεχής στο 4 4 t t tdt δηλαδή ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση :, t dt Απόδειξη, ισχύει και περιττή, οπότε από το (α) ερώτημα έχουμε e e t t dt. είναι συνεχής και άρτια, τότε t dt. Επειδή η είναι άρτια ισχύει, ά, : () Θεωρώ την συνάρτηση tdt tdt,, Είναι: t dt t dt t dt t dt t dt tdt t dt

16 6 Έχουμε, '... ',, a, a, οπότε για κάθε, ά a a Άρα η φ είναι σταθερή στο t dt t dt t dt t dt Για t dt t dt t dt t dt έχουμε: tdt tdt. Σημείωση: ος τρόπος μεταβλητής ( u t). t dt t dt t dt a a ισχύει και για το t dt αλλαγή ΘΕΜΑ 7 Αν η συνάρτηση : για κάθε Απόδειξη, όπου Δ διάστημα, είναι συνεχής στο Δ και ισχύει t dt και Θεωρώ την συνάρτηση, g t dt με,, τότε είναι α = β. (, σταθερό σημείο του Δ). Επειδή η είναι συνεχής στο διάστημα Δ έπεται ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο Δ με g ', για κάθε. Επειδή η είναι συνεχής στο διάστημα Δ κα ισχύει για κάθε έπεται ότι η διατηρεί στο Δ σταθερό πρόσημο, οπότε θα είναι () > για κάθε ή ()< για κάθε g' για κάθε g' για, δηλαδή θα είναι ή κάθε. Επομένως η g θα είναι γνησίως αύξουσα στο Δ ή γνησίως φθίνουσα στο Δ. Έτσι η g, ως γνησίως μονότονη στο Δ, είναι συνάρτηση. Έχουμε,

17 7 t dt t dt t dt g t dt t dt g t dt t dt Άρα είναι α = β. ί g ί ά ΘΕΜΑ 8 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [α, β], τότε υπάρχει, d Απόδειξη Θεωρώ την συνάρτηση g tdt,,. ώστε Επειδή η είναι συνεχής στο [α, β] έπεται ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο [α, β] με ',, οπότε η g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ g, για κάθε στο [α, β] (αφού η g είναι συνεχής στο [α, β] και παραγωγίσιμη στο (α, β)).,, ώστε Επομένως υπάρχει g' g g t dt t dt a ΘΕΜΑ 9 t dt t dt Αν οι συναρτήσεις, g:, είναι συνεχείς και ισχύει a,, τότε Απόδειξη d g d Θεωρώ τη συνάρτηση,, h g. g για κάθε Η h είναι συνεχής στο [α,β], ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων. Ακόμα για κάθε, g g h. a ισχύει Επειδή η h είναι συνεχής στο [α, β] και ισχύει h για κάθε, έπεται ότι

18 8 h d g d d g d d g d Βασικές ανισότητες ), ά (η ισότητα ισχύει μόνο αν = ) ) e (η ισότητα ισχύει μόνο αν = ) ) ln, ά (η ισότητα ισχύει μόνο αν = ) 4), ά, (η ισότητα ισχύει μόνο αν α = β) 5), ά 6) Αν m M, ά τότε (η ισότητα ισχύει μόνο αν a = ) m M... m M m M ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση : (Δ: διάστημα) είναι παραγωγίσιμη και ισχύει ' για κάθε, τότε η είναι συνάρτηση. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι η ΔΕΝ είναι συνάρτηση, τότε θα υπάρχουν, με και. Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και, έπεται ότι η είναι συνεχής στο και παραγωγίσιμη,., Ακόμη είναι στο,, οπότε υπάρχει, ώστε ' για κάθε.. Άρα η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. olle Επομένως η είναι συνάρτηση. ', ΑΤΟΠΟ, αφού δόθηκε ότι ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση : (Δ: διάστημα) είναι συνεχής και, τότε η είναι γνησίως μονότονη στο Δ. Απόδειξη Έστω ότι η ΔΕΝ είναι γνησίως μονότονη στο Δ, τότε δεδομένου ότι η είναι συνάρτηση -, θα υπάρχουν,, με και ή

19 9 Έστω, τότε επειδή η είναι συνεχής στο,, ώστε ή ή και ισχύει έπεται, λόγω του θεωρήματος ενδιαμέσων τιμών, ότι υπάρχει και επειδή η είναι - προκύπτει ότι ΑΤΟΠΟ, αφού. Ομοίως σε άτοπο καταλήγουμε και στις υπόλοιπες περιπτώσεις. Επομένως η είναι γνησίως μονότονη στο Δ., ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ και εξίσωση () = έχει ν διαφορετικές ρίζες v στο Δ, τότε η εξίσωση ' έχει τουλάχιστον (ν ) ρίζες στο Δ. Απόδειξη Έστω,,..., με... οι ν στο πλήθος ρίζες της εξίσωσης () =. Επειδή η είναι παραγωγίσιμη στο Δ έπεται ότι η είναι συνεχής στα διαστήματα,,,,...,,,,,,...,,. και παραγωγίσιμη στα διαστήματα Ακόμη είναι..., αφού οι αριθμοί,,..., είναι οι ρίζες της εξίσωσης () =. Άρα η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ. olle σε καθένα από τα διαστήματα,,,,...,,. Επομένως υπάρχουν,,,,...,, ', ',..., ', οπότε η εξίσωση ' ΘΕΜΑ Για κάθε zw, ώστε έχει τουλάχιστον (ν -) ρίζες στο διάστημα Δ. ισχύουν:. z w z w e z w z w e z w. z w z w z w. z w z w 4e z w 4ez w Απόδειξη. Έχουμε, z w z w z w z w z w zz zw wz ww z w zw zw οπότε e e z w z w z w z w z w z w και z w z w z w z w z w z w

20 . Έχουμε, z w z w z w z w z w z w z w z w z w z w z z z w wz w w z z z w wz ww z w z w. Έχουμε, z w z w z w z w z w z w z w z w z w z wz w zz z w w z w w zz z w w z w w z w z w z w z w z w zw e 4e Ακόμη είναι e e e Έτσι έχουμε z w z w z w. 4e z w z w 4e z w z w.

21 Ασκήσεις για λύση. Για τη συνάρτηση: : ισχύει: y y, για κάθε, Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο.. Για τη συνάρτηση : ισχύει: y με y. y y y y, για κάθε, y με y. Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία.. Για τη συνάρτηση : ισχύει: y y y, για κάθε, y. Να δειχθεί ότι: Α) η είναι συνεχής στο. Β) η συνάρτηση g, είναι γνησίως φθίνουσα στο. Γ) αν επιπλέον ισχύει: 4, για κάθε να δειχθεί ότι: 4. Για τη συνάρτηση : ισχύει:,. e, για κάθε. Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο και να συγκριθεί το e με το,. 5. Για τη συνάρτηση : ισχύει: y y, για κάθε, Να δειχθεί ότι: y y, για κάθε, y. Α) y. Β) αν για κάθε ισχύει:,τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο και να λυθεί στη συνέχεια η ανίσωση: e. 6. Για τη συνάρτηση : e για κάθε. Α) Να δειχθεί ότι i) η είναι γνησίως αύξουσα στο. ii), ισχύει: B) Να οριστεί η αντίστροφη συνάρτηση της. 7. Για τη συνάρτηση :, ισχύει:

22 , για κάθε και για κάθε. Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα,. 8. Για τη συνάρτηση :, ισχύει: y y και η δεν είναι σταθερή συνάρτηση. Α) Να δειχθεί ότι: i), για κάθε. ii), για κάθε. iii) y y Β) Αν για κάθε, για κάθε y, για κάθε y,., τότε: ισχύει i) Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως φθίνουσα στο,. ii) Να λυθεί η ανίσωση: 9. Για τη συνάρτηση : ισχύει: 7 6 e, για κάθε. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο.. Για τη συνάρτηση : ισχύει: y y y, για κάθε, y με y. Α) Να δειχθεί ότι: i) Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο. ii) Η συνάρτηση g, είναι γν. αύξουσα στο. iii) Η συνάρτηση h, είναι γν. φθίνουσα στο. Β) Να λυθεί η εξίσωση:.. Α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: ln,. Β) Να λυθεί η εξίσωση: ln 4,.. Α) Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση: e, Β) Να βρεθούν οι,, ώστε: e e

23 . Δίνεται η συνάρτηση: ln,. i) Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να συγκριθούν οι αριθμοί:, iii) Να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης: k e,,για τις διάφορες τιμές της πραγματικής παραμέτρου k. iv) Να βρεθεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την άξονα και την ευθεία e. v) Να βρεθούν οι,, ώστε: 4. Δίνεται η συνάρτηση: ln e 6. e i) Να δειχθεί ότι D ii) Να δειχθεί ότι η είναι γν. αύξουσα στο iii) Να δειχθεί ότι η είναι περιττή 6, iv) Να λυθεί η εξίσωση: v) Να οριστεί η αντίστροφη συνάρτηση της vi) Να βρείτε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την άξονα των και την ευθεία vii) Να δείξετε ότι για κάθε ισχύει: e 5 5. Α) Να δείξετε ότι: 6 6 5, για κάθε Β) Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο, και ισχύει να δείξετε ότι: 6 d Γ) Αν,, να δείξετε ότι: i) ii) Δ) Αν, y, και ισχύει: να βρεθούν οι y,, y y C, τον C, τον d, τότε

24 4 6. Δίνεται η συνάρτηση: e, Α) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία. Β) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης διάφορες τιμές της παραμέτρου. e, για τις 7. Η συνάρτηση : είναι γνησίως αύξουσα, παραγωγίσιμη και ισχύει: y y y για κάθε, y με y. Ακόμα είναι:. Στη συνέχεια θεωρούμε τη συνάρτηση:, g, i) Να δειχθεί ότι η είναι κυρτή στο ii) Να δειχθεί ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο iii) Να λυθεί στο η εξίσωση: iv) Να δειχθεί ότι για κάθε ισχύει: με ισχύει: v) Να δειχθεί ότι για κάθε,, d ln 8. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση : για κάθε. i) Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο. ισχύει ii) Να δειχθεί ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια πραγματική ρίζα. iii) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της. iv) Να δειχθεί ότι: tdt tdt, για κάθε 9. Να βρείτε ποιος από τους μιγαδικούς της μορφής έχει το μικρότερο μέτρο. z i, 8. Α) Να δειχθεί ότι κάθε μιγαδικός της μορφής: z 8 8 i, δεν είναι πραγματικός αριθμός. Β) Να δειχθεί ότι η εικόνα κάθε μιγαδικού αριθμού της μορφής: 4 z i, ανήκει στο ημιεπίπεδο: y.. Η συνάρτηση : είναι παραγωγίσιμη, κυρτή στο και ισχύει:

25 5 lim. Να δειχθεί ότι: i) Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο. ii),, για κάθε. iii) tdt. Η συνάρτηση : είναι παραγωγίσιμη και κυρτή στο. A) Να δειχθεί ότι: i), για κάθε, ii), για κάθε,, iii), για κάθε, iv) d, για κάθε Β) Αν να δείξετε ότι: i), για κάθε, ii) d.. Η συνάρτηση : είναι παραγωγίσιμη, κυρτή στο και υπάρχουν,, με ώστε: t dt t dt. Να δειχθεί ότι: i) Η δεν είναι συνάρτηση ii) Η έχει ολικό ελάχιστο. 4. Για την δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: για κάθε και. i) Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο. ii) Να δειχθεί ότι υπάρχουν,, τέτοια, ώστε: iii) Αν επιπλέον ισχύει:., για κάθε, τότε να δειχθεί ότι:. 5. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει:

26 6 e e, για κάθε όπου, με. Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία. 6. Η συνάρτηση : είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο. i) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση: tdt g,, Είναι γνησίως αύξουσα στο. t dt. ii) Να δειχθεί ότι: tdt 7. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση :, e e, για κάθε Τότε να δειχθεί ότι:, για κάθε. (Βασίλης Μαυροφρύδης) ισχύει: και είναι 8. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει:. tdt e, για κάθε και η είναι συνεχής στο o. i) Να βρεθεί η ii) Να δειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο. t dt. iii) Να δειχθεί ότι: tdt iv) Να μελετηθεί η ως προς τα κοίλα. v) Να δειχθεί ότι: tdt 9. Για την δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει:, για κάθε. i) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση: g, και είναι σταθερή στο. ii) Να βρεθεί ο τύπος της. iii) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία στο,. (Βασίλης Μαυροφρύδης). Για την δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει:,,

27 7 και η είναι συνεχής και δεν μηδενίζεται στο. i) Να δειχθεί ότι η είναι κυρτή στο. ii) Να δειχθεί ότι η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο σ ένα μόνο σημείο o iii) Αν για το o ισχύει: d, τότε να δειχθεί ότι. iv) Να δειχθεί ότι:, α), για κάθε β), για κάθε, γ) d δ) ε) d, για κάθε v) Να λυθούν οι εξισώσεις:, α) β) y y,, y. Αν για τον μιγαδικό αριθμό z ισχύει: δειχθεί ότι: z. 4, όπου,, να 4 z z. Α) Να μελετηθεί ως προς τη μονοτονία η συνάρτηση: ln,. Β) Να βρεθεί το σύνολο τιμών της. Γ) Να λυθεί η εξίσωση:..., όπου * N. Για τη συνάρτηση : ισχύει: 5, i) Να μελετηθεί η ως προς τη μονοτονία. ii) Να δειχθεί ότι 5 4. Να δειχθεί ότι: i) e e, ii) e e,. iii) e,. 6

28 8 5. Να βρείτε τη μικρότερη τιμή του ώστε να ισχύει: e, για κάθε 6. Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση : ισχύει: 4 5, για κάθε i) Να βρεθούν τα όρια: lim, lim ii) Να βρεθεί το 7. Για τη συνάρτηση : ισχύει: για κάθε e e e και. i) Να δειχθεί ότι: e, για κάθε ii) Να δειχθεί ότι:, iii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της οποία διέρχεται από το σημείο O,. iv) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την και την ευθεία yy 8. Για τη συνάρτηση :, για κάθε ισχύει: e e, και. Να δειχθεί ότι:, 9. Δίνεται η συνάρτηση F k kσυν d C με θετική κλίση και η C, τον άξονα A) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της F B) Να αποδειχθεί ότι η F είναι γνησίως αύξουσα. Berkeley Problems in Mathematics

29 9 Περιεχόμενα:.Γενικό Θέμα Ανάλυσης Σελ.. Χρήσιμες Προτάσεις Σελ.. Ασκήσεις για λύση Σελ.

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης

35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης 4 5 35 Χρήσιμες Προτάσεις με αποδείξεις Γ Λυκείου Μαθηματικά Κατεύθυνσης Περίληψη: Στο ένθετο αυτό περιλαμβάνονται 35 βασικές προτάσεις, μικρά λήμματα χρήσιμα για τις εξετάσεις. Μας βοηθούν να «ξεκλειδώνουμε»

Διαβάστε περισσότερα

x R, να δείξετε ότι: i)

x R, να δείξετε ότι: i) ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R για την οποία ισχύουν: f ( ), f ( ) για κάθε R και f ( ) f ( ) α) Να βρείτε τον τύπο της f για κάθε R g( ) β) Αν g είναι

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα 0 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος σχολικό έτος 03-04) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Μπούζας Δημήτρης Πετρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 7 ΘΕΜΑ Α A Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ Αν f σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 σχολικό έτος 4-5) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.

Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση.

2. Έστω η συνάρτηση f :[0, 6] με την παρακάτω γραφική παράσταση. . Έστω η συνάρτηση f : με την παρακάτω γραφική παράσταση. Α. Να προσδιορίσετε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, γνησίως φθίνουσα, κυρτή, κοίλη, καθώς και τα τοπικά ακρότατα και τα σημεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15 MAΪOY 14 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της

Διαβάστε περισσότερα

f ( x) f ( x ) για κάθε x A

f ( x) f ( x ) για κάθε x A ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4. [ ] z, w. 3 f x, x 1,3 όπου 3 μιγαδικοί των οποίων οι εικόνες ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4 1. i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό 3 3 0 1, ώστε: 3 e, 1 ln 0 + 0 = 0 ii) Δίνεται ο μιγαδικός 3 z = ln + i, > 0 a) Να βρείτε την ελάχιστη απόσταση k της εικόνας του z από την αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016

Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης 1-Πανελλαδικές Εξετάσεις 2016 Λύσεις θεμάτων προσομοίωσης -Πανελλαδικές Εξετάσεις 06 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 06 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος

Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 16 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 16 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 6 MAΪΟΥ Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (6/5/,

Διαβάστε περισσότερα

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]

, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ] ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και

Διαβάστε περισσότερα

( ) t, για κάθε x R. f t. xxκαι ' τις ευθείες x = 2 ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 60 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

( ) t, για κάθε x R. f t. xxκαι ' τις ευθείες x = 2 ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 60 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 6 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Α ΕΚΔΟΣΗ:// ΑΣΚΗΣΗ (από Περικλή Παντούλα) Έστω η συνεχής συνάρτηση :, με ( ) α. Να δείξετε ότι ( )

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

και γνησίως αύξουσα στο 0,

και γνησίως αύξουσα στο 0, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελ 6 (i) A. Σχολικό βιβλίο σελ 141 Α. Σχολικό βιβλίο σελ 46-47 Α4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β Β1. Ισχύει D f επειδή 1 1 1 Για κάθε η f είναι παραγωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 2016 ΘΕΜΑ Α Απαντήσεις στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης 6 Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ.6-(i) Α.. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 4 Α. Σχολ. Βιβλίο, Θεωρία, σελ. 46,47 Α.4. α. Λ β. Σ γ. Λ δ. Σ ε. Σ ΘΕΜΑ Β B. Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο

(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2012 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2012 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Aπόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 53 Α Ορισμός σχολικού βιβλίου σελίδα 9 Α3 Ορισμός σχολικού βιβλίου σελίδα 58 Α4 α) Σ β) Σ γ)

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2

f(x) x 3x 2, όπου R, y 2x 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο,. Μαθηματικά κατεύθυνσης f(), όπου R, α) Να αποδειχθεί ότι η f παρουσιάζει ένα τοπικό μέγιστο, ένα τοπικό ελάχιστο και ένα σημείο καμπής. β) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f()

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης 6 Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης ΘΕΜΑ Έστω η συνεχής συνάρτηση f : (, ) R τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει: t f ( ) dt. f () t te ( ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε ισχύει: β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι:

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι: ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ ο A. Αν z, z

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Ο Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λανθασµένες.. Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 253 σχολικού βιβλίου. Έστω x1,

Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 253 σχολικού βιβλίου. Έστω x1, Πανελληνίων Θέμα Α Α. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 53 σχολικού βιβλίου. Έστω, με. Θα δείξουμε ότι. Πράγματι, στο διάστημα, ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει, Επειδή, οπότε έχουμε και,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης.

( x) β ], παρουσιάζει ελάχιστη τιµή α, δηλαδή υπάρχει. ξ µε g( ξ ) = 0. Το ξ είναι ρίζα της δοσµένης εξίσωσης. . Έστω συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιµη στο R, µε συνεχή δεύτερη παράγωγο και σύνολο τιµών το διάστηµα [, ] a β, όπου a< < β. Να αποδείξετε ότι: i) υπάρχουν δύο τουλάχιστον σηµεία,, µε, ώστε f ( ) =

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1, ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική

x x = e, x > 0 έχει ακριβώς δυο Γ4. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Γ. Δίνεται η συνάρτηση f() ( )ln, >. Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ (, ] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ [, ). Στη συνέχεια να βρείτε το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

55 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.:

55 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.: ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ: 7647-7679 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία, απόδειξη σχολικό σελίδα 36 Α Θεωρία, ορισμός σχολικό σελίδα 73 Α3 Θεωρία, ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.:

52 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΑΒΒΑΪΔΗ-ΜΑΝΩΛΑΡΑΚΗ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 26 και Φιλολάου : Τηλ.: 5 Χρόνια ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΓΚΡΑΤΙ : Εκφαντίδου 6 και Φιλολάου : Τηλ.: 107601470-107600179 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 01 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ 1 ο Α. i) Θεωρία, σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) και (z ) Αν f() ( z )( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( )

Φροντιστήρια. Κεφαλά. ( x) = + ( ) ( ) ( ) Ασκήσεις Μαθηµατικών Όρια και Παράγωγος (4 ο θέµα) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιµη στο µε ( ) =, η οποία για κάθε, y R * ικανοποιεί τη σχέση ( y) = + ( y) ( ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ευτέρα, 8 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3) 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο,, 3) ΘΕΜΑ Α. (i) Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0, τότε να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σημείο αυτό.

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0, τότε να αποδείξετε ότι είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )

Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 5 Διάρκεια: 3 ώρες A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν f ()

Διαβάστε περισσότερα

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014

aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2014 aμαθηματικα ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑ Α Α. Σελ 5 Α. Σελ 73 Α3. Σελ 5 Α4. α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ε) Λ ΘΕΜΑ Β B. Θέτω z yi στην εξίσωση και έχουμε: z z z i 4 i yi yi yi i 4 i y i 4 i y i 4 i y 4 i Συνεπώς πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 18 ΜΑΪΟΥ 16 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x

0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Θέμα Α ΑΈστω μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή"

Τομέας Mαθηματικών ρούλα μακρή Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή" ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Πρότυπου Εκπαιδευτικού Οργανισμού ρούλα μακρή ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1η Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 5 α) f β) f 1 1 9 γ) f δ) f log 1 4 ημ ημ συν ε) f α) Για να ορίζεται η f() πρέπει και αρκεί + (1) Έχουμε: (1).(

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

x είναι f 1 f 0 f κ λ

x είναι f 1 f 0 f κ λ 3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ

Διαβάστε περισσότερα

. Β2. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με: 1 1 1, και f ( x) ( ln(ln x) ).

. Β2. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με: 1 1 1, και f ( x) ( ln(ln x) ). 4 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Σε όλη την ύλη) ΘΕΜΑ Α Σχολικό βιβλίο, σελίδα 4 Σχολικό βιβλίο, σελίδα Σχολικό βιβλίο, σελίδα 6 4 α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό δ) Σωστό ε) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β Θέτουμε f()

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt

ΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 1. Αν f συνεχής στο [α, β] είναι f ( ) d 0 f ( ) 0 2. Αν f συνεχής και γν. αύξουσα στο [α, β] ισχύει ότι: f ( ) d 0. 3. Αν f ( ) d g( ) d, ό f ( ) g( ) ά [, ]. 4. Το σύνολο τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 13/04/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 13/04/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f( ως προς το στο σημείο 0 ;

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΝΕΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ (Α κύκλος) Δίνεται η εξίσωση z-=z-3i,zc α) Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία ε: -3y+4= β) Να βρείτε την εικόνα του μιγαδικού z, για τον οποίο το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΟΝΤΑΙ ΜΙΑ ΔΕΥΤΕΡΗ ΜΑΤΙΑ? Εύρεση πεδίου ορισμού σε συνθέσεις.. Δίνεται η γν. αύξουσα συνάρτηση :[ -, ] R. Α. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της g () = ( + ) + ( + ). Β. Να βρεθεί η μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι:

ΘΕΜΑ Α. A1. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [α, β], τότε να αποδείξετε ότι: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ - ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα