Kεφ. 1 TAΛANTΩΣEIΣ (part 1, pages 1-9)

Transcript

1 Mάθημα: Φυσική, Ακαδ. Ετος: Tμήμα: Πολιτικών Mηχανικών, Πανεπιστήμιο Πάτρας Eγχειρίδιο: Mαθήματα Φυσικής Παν. Berkeley, τόμος 3: Kυματική Διδάσκων: Αναπληρωτής Καθηγητής Μ. Βελγάκης Kεφ. TAΛANTΩΣEIΣ (prt, pges -9) Eνα σώμα εκτελεί ταλάντωση όταν η δύναμη που δρά πάνω στο σώμα είναι ανάλογη προς την απομάκρυση από την θέση ισορροπίας του και κατευθύνεται πάντοτε προς το σημείο ισορροπίας του (δύναμη επαναφοράς). Είδη κίνησης: μεταφορική κίνηση, περιστροφική κίνηση, κύλιση, ταλάντωση, κλπ

2 AΠΛH APMONIKH TAΛANTΩΣH: ψ Αcs(ωt + ψψ(,y,z,t) είναι η μετατόπιση του σώματος από τη θέση ισορροπίας του ή συνάρτηση κύματος (,y,z): η θέση του σώματος στο χρόνο t ω: κυκλική συχνότητα (rd/sec) A: πλάτος ταλάντωσης (μονάδες;) νω/π: συχνότητα ταλάντωσης (Hertz ή κύκλοι/sec) T/ν: περίοδος ταλάντωσης (sec) Συστήματα ενός βαθμού ελευθερίας: η θέση του συστήματος (ή η κατάστασή του, γενικώτερα) προσδιορίζεται πλήρως αν δίδεται ένα χαρακτηριστικό του μέγεθος (όπως η μετατόπιση ψ). H ταχύτης του σώματος: H επιτάχυνση του σώματος: φ) dψ υ -ωα sin(ωt + φ) dυ -ω Αcs(ωt + φ) H δύναμη επαναφοράς: F m -ω mψ δηλ. επανακαλύπτουμε τον νόμο του Hke, F-kψ, όπου kmω H ενέργεια του σώματος:

3 3 m Ε kψ + υ kα ΠAPAΔEIΓMATA AΠΛHΣ APMONIKHΣ TAΛANTΩΣHΣ: Παράδειγμα. Aπλό ή μαθηματικό εκκρεμές: θ T y θ Mg Eξισώσεις κίνησης του σώματος M (στο σύστημα y ): άξονας (κυκλική κίνηση): υ Τ - Μg csψ Μ () άξονας y (επιτρόχιος κίνηση): - Μg sinψ Μ () t d ψ όπου t είναι η επιτρόχιος επιτάχυνση (ενώ η ποσότης r υ / είναι η κεντρομόλος επιτάχυση). Eπίλυση του συστήματος: 3 d ψ g ψ d ψ g H () γράφεται sin ψ. Για μικρές γωνίες sin ψ ψ +..., άρα ψ. H λύση 3 της είναι ψasin(ωt+φ), όπου ω g /. Οι σταθερές ολοκλήρωσης (A,φ) υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες, δηλ. για t0 ισχύουν τις εξισώσεις, ψ(0)αsin(φ) και ψ (0)-ωΑcs(φ) με άγνωστους τα (Α,φ).

4 4 Παράδειγμα. Σώμα M προσδεδεμένο στο άκρο ελατηρίου: (προσοχή στο σημείο 0, δηλ. την αρχή του άξονα) Η ασκούμενη δύναμη επί του σώματος: F-k H εξίσωση κίνησης του σώματος M (κατά τον άξονα ): ή - k M - k M d () H () είναι ομογενής διαφορική εξίσωση ας τάξεως και η λύση της είναι: (σημειώνουμε ότι η μετατόπιση από το σημείο ισορροπίας ψ ) ψ A cs(ωt+δ) Επίλυση της (): H διαφορική εξίσωση d / - k/m γράφεται: -k/m. Πολλαπλασιάζομε και τα τα δύο μέλη επί d ( ) k d, οπότε προκύπτει, -k/m ή ή ( ) +k/m c ή Μ ± c k / M ή k / M cμ / k. Ονομάζομε ω k / M και α cm / k, οπότε ±

5 5 η προηγούμενη εξίσωση γράφεται, d α ± ω ± ω α ή d ± ω. Ολοκληρώνοντάς την α παίρνουμε, sin - (/α)±ωt+φ. Aντιστρέφοντας τη συνάρτηση αυτή έχουμε, αsin(±ωt+φ) ή αν καλέσουμε, A±α και δ±φ+90 ο λαμβάνουμε τη γενική λύση της () στη γενική μορφή: Acs(ωt+δ), όπου οι αυθαίρετες σταθερές (Α,φ) προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες της θέσης (0) και και της ταχύτητος (0). Παράδειγμα 3. Σώμα M προσδεδεμένο σε δύο ελατήρια (διαμήκεις ταλαντώσεις): H ασκούμενη δύναμη επι του σώματος: F - k (z- ) + k (-z- ) - k(z-) k: είναι η σταθερά και των ελατηρίων : η απόσταση των σταθερών τοιχωμάτων εξάρτησης των ελατηρίων

6 6 : το φυσικό μήκος κάθε ελατηρίου z: η z-συντεταγμένη του σώματος ως προς το αριστερό τοίχωμα H εξίσωση κίνησης του σώματος M (κατά τον άξονα z, διαμήκης ταλάντωση) είναι: ή - k(z-) M - k(z-) M d z H μετατόπιση του σώματος από την θέση ισορροπίας του είναι: ψz- οπότε η εξ. κίνησης γράφεται: d ψ - k M ψ H λύση της εξίσωσης αυτής είναι: ΨΑcs(ω Δ t+δ) όπου ω Δ k / M Παράδειγμα 4. Σώμα M προσδεδεμένο σε δύο ελατήρια (εγκάρσιες ταλαντώσεις): H κίνηση είναι πάνω στο επίπεδο z, όμως με τον εξαναγκασμό ότι το σώμα κινείται πάνω στη κατακόρυφο z (η υπόθεση αυτή δεν περιορίζει τη γενικότητα του προβλήματος).

7 7 Θεωρούμε το σώμα σε τυχούσα θέση. H -συνιστώσα της ασκούμενης δύναμης επί του σώματος είναι: F T sin θ Τ sin θ k( - ) k( - k( ) ) k: είναι η σταθερά κάθε ελατηρίου : το μήκος κάθε ελατηρίου, + : το φυσικό μήκος κάθε ελατηρίου : η απόσταση των σταθερών τοιχωμάτων εξάρτησης των ελατηρίων z: η z-συντεταγμένη του σώματος ως προς το αριστερό τοίχωμα H εξίσωση κίνησης του σώματος M κατά την εγκάρσια διεύθυνση (άξονας ) είναι, d Μ k( () )

8 8 α) Προσέγγιση μαλακού ελατηρίου, <<: d - k M H λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι: A cs( ω E t+δ) όπου ω Ε k / M, δηλ. ίση με εκείνην των διαμήκων ταλαντώσεων (που δεν αληθεύει γενικά) β) Προσέγγιση μικρών ταλαντώσεων, <<α: ( ) ( ) + + ε + 3ε / / ε , όπου ε(/α), άρα η διαφ. εξ. () γράφεται: d k Μ k Μ k ( ) [ Μ k( - ) [] Μ ] H λύση της εξίσωσης αυτής (στη η προσέγγιση) είναι: Acs(ω E t+δ)

9 9 όπου ω k ( ) ω Μ Ε Δ. ωδ Επεται ότι >, ω / Ε δηλ. οι διαμήκεις είναι πιό γρήγορες από τις εγκάρσιες Ορολογία διαφορικών εξισώσεων:. Oμογενής διαφ. εξίσωση: όταν κάθε όρος της εξίσωσης περιέχει και την εξηρτημένη μεταβλητή ψ, π.χ. dψ 3 t ψcsψ.. Γραμμική διαφ.εξίσωση: είναι οι εξισώσεις εκείνες που είναι γραμμικές ως προς την εξηρτημένη μεταβλητή ψ, δηλ. περιέχουν μόνο την δύναμη των ψ, ψ,ψ, κλπ. π.χ. dψ csψ + t δεν είναι γραμμική διαφ. εξίσωση. 3. Tάξη της διαφ. εξίσωση: είναι η μεγαλύτερη παράγωγος της εξηρτημένης μεταβλητής ψ, π.χ. d 3 ψ d t ψ e + t + είναι 3ης τάξεως Θεώρημα των ομογενών διαφορικών εξισώσεων: αν ψ (t) και ψ (t) είναι λύσεις της εξίσωσης, τότε και το άθροισμά τους είναι λύση της εξίσωσης (αρχή της υπέρθεσης).