Physics by Chris Simopoulos. rad. rad. 10 β) Είναι Α=0,4 m και 0,4 10. Η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης είναι ) 3 U U 3

Transcript

1 . ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ΛΥΣΕΙΣ 9. α) Από το κανόνα του παραλληλογράμμου έχουμε, (, ),,,,, π Οπότε θ, / sec και, sec β) Είναι Α=, και, / sec Η χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης είναι A (ωt ), (πt ) () t γ) (), (π ), ( ), (ωt ) (π ) ( ) (), δ) U U U U U U U / sec D Δεκτή η τιμή με το θετικό πρόσημο (δεύτερο τεταρτημόριο) DA / sec A, (),(t ),(t ) (t ) t t t t, sec 5. α) Από το κανόνα του παραλληλογράμμου έχουμε,,,,, Physics by Chris Siopoulos,,

2 . ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Οπότε, (t ) () β) Η αρχική φάση είναι ίση με ή,, / sec,,8 / sec γ) Από τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης έχουμε, (),(t ),(t ) (t ) ( ) t t 7 7 t t sec 5. α) Από το κανόνα του παραλληλογράμμου έχουμε,,,,,,, Οπότε, (πt ) () β) (ωt ), (πt ) () (πt ),8 (πt ) () γ) Από τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης έχουμε Physics by Chris Siopoulos

3 . ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ, (),(t ),(t ) (t ) ( ) t t t t t sec (), δ), 9 (π ), / sec ( ), 9,8 (π ),8 ( ),8 ( ), 5. α) Από το κανόνα του παραλληλογράμμου έχουμε,,,,,,, Οπότε, (πt ) () β) Θέτω στην () τις τιμές της απομάκρυνσης, (),(t ),(t ) (t ) ( ) t t t t t sec Physics by Chris Siopoulos / sec

4 . ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ, (),(t ),(t ) (t ) ( ) t t 5 7 t t t sec Άρα 9 t t t sec γ) Οι χρονικές εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης είναι β) (ωt ), (πt ) () (πt ) 8 (πt ) () (),, 9 (π ), / sec ( ), 9 ( ) 8 (π ) 8 ( ) 8 ( ) (),, (π ), / sec ( ), ( ) 8 (π ) 8 ( ) 8 ( ) 5. α) Εφαρμόζουμε μέθοδο αξόνων,8, και,8, y και y Και για τη συνισταμένη ταλάντωση / sec / sec Physics by Chris Siopoulos

5 5. ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ,8, και,8, y Οπότε θα έχουμε y y y,,,,,8 Άρα η εξίσωση της απομάκρυνσης για τη δεύτερη ταλάντωση είναι,8(πt ) β) Η εξίσωση της δύναμης επαναφοράς είναι F D F F,8 γ) Γραφική παράσταση (πt ) 5. α) Από το κανόνα του παραλληλογράμμου έχουμε, (, ),9,,,,,8,8 Οπότε, (πt ) () FNt ( ) β) Μέγιστη ταχύτητα αποκτά στη θέση = οπότε t(sec) Physics by Chris Siopoulos T

6 . ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ( ), (πt ) (πt ) πt πt sec πt t πt sec 8 γ) Θέτω στην () τις τιμές της απομάκρυνσης, (), (t ), (t ) (t ) ( ) t t t t t sec 9, (), (t ), (t ) (t ) ( ) t t 5 7 t t t sec 9 Άρα t t t 9 9 sec δ) Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής δίνεται από τη σχέση p p p p 9,,9 Nt F 9 t t t t 9(, ),9 Nt 55. Από τις χρονικές εξισώσεις έχουμε F D,,,,8 Physics by Chris Siopoulos

7 7. ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ (t ),8,8 ( ) ( ) Άρα,8 (t ) () Εφαρμόζουμε μέθοδο αξόνων,,9,8 και,,8,5 y 8 8 και y Και για τη συνισταμένη ταλάντωση,8,, και,8,79 y Οπότε θα έχουμε y y y,,8,,79,5,, (,) Ακόμη,9, 5 Και,,9,,97 8 Άρα η εξίσωση της απομάκρυνσης για τη δεύτερη ταλάντωση είναι 5, (t ) 8 5. α) Υπολογίζουμε τις κυκλικές συχνότητες των δύο ταλαντώσεων f 8 / sec και f / sec Επομένως οι χρονικές εξισώσεις είναι,5(8πt),5(πt) β) Από τη σύνθεση προκύπτει ότι Physics by Chris Siopoulos

8 8. ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ,5(8πt),5(πt) (8 )t (8 )t,5,(t) (t) γ) Η συχνότητα των διακροτημάτων είναι ίση με f f f δ) Γραφική παράσταση Hz, -, y () 57. Από τη σχέση της φάσης έχουμε t ft 55 Οπότε οι χρονικές εξισώσεις των ταλαντώσεων είναι (πft),( t) (πft ), Τδιακ (t ) Από το κανόνα του παραλληλογράμμου έχουμε, (, ),,,,, Οπότε, (πt ) () β) Γραφική παράσταση Physics by Chris Siopoulos t(sec)

9 9. ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ 58. Από τη σχέση ενεργειών έχουμε D D Επειδή οι ταλαντώσεις παρουσιάζουν διαφορά φάσης κατά π ισχύει Και,5,5, Επομένως οι χρονικές εξισώσεις δίνονται από τις σχέσεις, (t) και,5(t π) 59. Από τις σχέσεις των ενεργειών έχουμε,5 D D(, ) D Nt / α) 8 D 8 8, β) D, 5 γ) Από το κανόνα του παραλληλογράμμου έχουμε (, 5),5,,, Από ΑΔΕ ταλάντωσης έχουμε,,, () =f(t) =f(t) (, ), (, ), T =f(t) t(sec) Physics by Chris Siopoulos 7

10 . ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ U U D DA,, (, 5),, / sec. Από τις σχέσεις των ενεργειών έχουμε 9 D 9 D 8 D D Διαιρώντας κατά μέλη έχουμε 8 D D D D D( ( ) D ( 8 D D ) D( ) 9 Joule D. Οι χρονικές εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων είναι A t,t και A t,t,(t ) Από το κανόνα του παραλληλογράμμου έχουμε A 7 ) D( ), (,),,,,, Οπότε, (t ) () β) Από την ενέργεια ταλάντωσης έχουμε D Physics by Chris Siopoulos D(, ) D,8 D Nt /

11 . ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ ( ) Άρα F D F, (t ) F (t ). Από τη σχέση περιόδου έχουμε, / sec Η μέγιστη ταχύτητα δίνεται από τη σχέση Από ΑΔΕ ταλάντωσης έχουμε U U ( Οπότε ) D DA,9 7,9,, 9,9 8 A,. Από ΑΔΕ ταλάντωσης για τη δεύτερη ταλάντωση έχουμε U U D DA (, ) (,5) (,),,5, / sec Επομένως sec Το πλάτος της ταλάντωσης είναι,5 D 5 D D. Τα δύο σώματα έχουν περίοδο, D, D sec sec,5, Physics by Chris Siopoulos Επειδή έχουν την ίδια περίοδο και ξεκινούν ταυτόχρονα από την ακραία θέσης ταλάντωσης περνούν την ίδια στιγμή από τη θέση ισορροπίας.

12 . ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Ισορροπία ελατηρίων στην αρχική τους θέση F F g, y F g, Fy Από ΑΔΕ για κάθε σώμα χωριστά έχουμε U U W U U W g ( ) W g ( ) W,8,, W U U W U U W W Joule g W ( ) W ( ) g W,, W 7 Joule γ) Οι χρονικές εξισώσεις δίνονται από τις σχέσεις (ωt ),8 (5t (ωt ), (5t π ) π ) δ) Η σύμθεση των χρονικών εξισώσεων δίνει,8,, π (ωt ), (5t ) 5. α) Από τη σχέση της σταθεράς επαναφοράς για κάθε ταλάντωση έχουμε D D β) Από τη διαφορά φάσης έχουμε / sec Physics by Chris Siopoulos / sec

13 . ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ t t sec t 5 t γ) Από το κανόνα του παραλληλογράμμου έχουμε,,, Οπότε, (t ) () Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής του σώματος είναι F F Nt (,), (,)(,) () F D F, ( ) F δ) Το έργο των δυνάμεων δίνεται από τη σχέση W W W Από την εξίσωση της ταχύτητας έχουμε t ( ωt ) (t ) ( ) ( ) ( ) / sec Οπότε η σχέση () γράφεται () W (, ) ( ) W W 9 Joule Physics by Chris Siopoulos. α) Από τη σχέση της διαφοράς φάσης έχουμε ()

14 . ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ β) Από το κανόνα του παραλληλογράμμου έχουμε (, ) (,),,,,, Οπότε, (t ) () γ) Στη θέση βρίσκεται τη χρονική στιγμή, (t ),5, (t ) (t ) 5 t t t t sec 5 5 Εκείνη τη στιγμή η συνισταμένη ταλάντωση έχει απομάκρυνση t ( ), ( ), ( ) Από τη σχέση της δυναμικής ενέργειας έχουμε U D δ) Το άθροισμα των ενεργειών είναι ίσο με D D D( ) D 7. α) Από τα διαγράμματα έχουμε, / sec ( t ) (t ) ( t ) (t ) β) Από το κανόνα του παραλληλογράμμου έχουμε Physics by Chris Siopoulos

15 5. ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Οπότε (t ) () γ) U D, () U Joule δ) Επειδή η χρονική εξίσωση της πρώτης ταλάντωσης έχει την ίδια φάση με την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης θα έχουμε σύνθεση ταλαντώσεων στην ίδια διεύθυνση. Άρα,5,5 Και,5 (t ) 8. α) Από τα διαγράμματα έχουμε 5, / sec ( t ) (5t) ( t ) (5t ) β) Από το κανόνα του παραλληλογράμμου έχουμε Οπότε (5πt ) () t,5 γ) () (5π,5 ) ( ) δ) Από τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας έχουμε () t,5 Physics by Chris Siopoulos (5π,5 ) (,5 ) ( )

16 . ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Άρα ( ωt ) (5π,5 ) ( ) U D, (5) ( ) U 5 Joule και, ( ) 5 Joule 9. α) Από τα διαγράμματα έχουμε 8 / sec ( t ) ( t) ( t ) ( t ) β) Από το κανόνα του παραλληλογράμμου έχουμε ( ) 9 7 π π 7 Οπότε ( t ) ( t ) 7. α) Από τη σύνθεση έχουμε, (t), (t) ( )t ( )t,,(t) (t) β) sec f f γ) Από τη σχέση της συχνότητας έχουμε N N N f,5 Physics by Chris Siopoulos ώ 7. Από τη σχέση της διαφοράς φάσης έχουμε / sec

17 7. ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Έ, ό sec, Έ ό sec sec Ακόμη,5 () f f,5 β) Από τη σχέση της διαφοράς φάσης έχουμε f f,55 z Αλλά f,55,5 () Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων έχουμε, 5,5 / sec ( ) 5,5,5 5 / sec 7. Από τη σχέση της σύνθεσης και της άσκησης προκύπτουν οι εξισώσεις,,5 8 () () Με πρόσθεση κατά μέλη των σχέσεων έχουμε 8 / sec ( ) 9 / sec Άρα οι χρονικές εξισώσεις δίνονται από τις σχέσεις t,5t και t,59t 7. α) Οι χρονικές εξισώσεις δίνονται από τις σχέσεις t,99 t και t, t t t t t,t t Physics by Chris Siopoulos β) Από τη σχέση της συχνότητας θα είναι

18 8. ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ f f f t t t ώ γ) Η περίοδος είναι 99 f f f Hz f Άρα sec f δ) Η μέγιστη ενέργεια δίνεται από τη σχέση U U DA A U, (), U 7. α) Η μέγιστη ενέργεια δίνεται από τη σχέση 99 t 8 Joule DA A, β) Οπότε 9 / sec ( ) 8,,, γ) Οι συχνότητες των δύο ταλαντώσεων είναι f 9 f 98 Hz Hz Η περίοδος του διακροτήματος δίνεται από τη σχέση f f,5 sec 98 / sec Physics by Chris Siopoulos () Μετά τη μεταβολή της συχνότητας η περίοδος του διακροτήματος γίνεται ίση με

19 9. ΣΥΝΘΕΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ Άρα έχουμε sec f f Hz f f f f f f 98 Hz δ) Η νέα ταλάντωση που εκτελεί το σώμα έχει εξίσωση, (t), (πt) ( )t ( )t,,(t) (t) Physics by Chris Siopoulos