KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση"

Ίσις Μιαούλης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΦΥΣ Διαλ.34 1 KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω στην χορδή Αποτέλεσµα: O παλµός αναστρέφεται Ανακλώμενος q Παλµός πάνω σε χορδή: Το άκρο της δεν είναι σταθερό (π.χ. αβαρής θηλιά) Προσπίπτων Φανταστείτε µια θηλιά σε ένα στύλο να µπορεί να ανεβοκατεβαίνει ελεύθερα. Ανακλώμενος Αποτέλεσµα: O παλµός δεν αναστρέφεται

δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω στην χορδή Αποτέλεσµα: O παλµός αναστρέφεται

2 ΦΥΣ Διαλ.34 2 Κύµατα - Υπέρθεση σταθερό άκρο ελεύθερο άκρο Για να καταλάβουµε την ανάκλαση και µετάδοση, εισάγουµε την έννοια της υπέρθεσης των κυµάτων Παράδειγµα: Δύο ηµιτονοειδή κύµατα οδεύουν κατά την ίδια διεύθυνση αλλά µε διαφορετική φάση y 1 (x,t) = Asin kx! "t ( ) ( ) y 2 (x,t) = Asin kx! "t! # Ποια είναι η υπέρθεση των κυµάτων: y = y 1 + y 2 ( ) + sin( kx! " t! #) y(x,t) = A $% sin kx! " t &' / ) sin( + sinb = 2 cos a! b, ) * sin a + b 1, * Υπέρθεση: y(x,t) = 2Acos! 2 sin $ kx " #t "! ' % & 2 ( ) a = kx! "t, b = kx! "t! # a + b = 2(kx! "t)! # a! b = " Αρµονικό πλάτος " 2Acos! % # $ 2 & '

Δύο ηµιτονοειδή κύµατα οδεύουν κατά την ίδια διεύθυνση αλλά µε διαφορετική φάση y 1 (x,t) = Asin kx! "t

3 ΦΥΣ Διαλ.34 3 Υπέρθεση Συµβολή Συµβολή: y(x,t) = 2Acos! 2 sin $ kx " #t "! ' % & 2 ( ) q Ανάλογα µε τη τιµή της διαφοράς φάσης, φ, µπορούµε να έχουµε ενισχυτική ή καταστροφική συµβολή q Αν! = ", 3",!,( 2n + 1)" # 2Acos! 2 = καταστροφική! =, 2",!,2n" # 2Acos! 2 = ±2A ενισχυτική! =, 2",!,2n" # 2Acos! 2 = ±2A! = ", 3",!,( 2n + 1)" # 2Acos! 2 =

ή καταστροφική συµβολή q Αν! = ", 3",!,( 2n + 1)" # 2Acos! 2 = καταστροφική! =, 2",!

4 ΦΥΣ Διαλ.34 4 Υπέρθεση κυµάτων Ø To Τρικ της φυσικής: Όλες οι λύσεις σ αυτά τα προβλήµατα είναι υπερθέσεις των λύσεων (αρχή υπέρθεσης) Θεωρήστε µια λύση στο ακόλουθο πρόβληµα είναι η: σταθερό άκρο y y(x,t) = f (x + vt) + g(x! vt) x = x Όλοι ξέρουµε ότι στη θέση x=, y(,t) = Άρα y(,t) = Συνοριακές συνθήκες y(,t) = f (vt) + g(!vt) = " f είναι το ανάστροφο της g πραγµατικός κόσµος σταθερό άκρο x φανταστικός κόσµος διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις και ανάστροφα To τρικ είναι να χρησιµοποιηθούν δύο παλµοί, ένας πραγµατικός και ένας φανταστικός που να ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες

ακόλουθο πρόβληµα είναι η: σταθερό άκρο y y(x,t) = f (x + vt) + g(x!

5 ΦΥΣ Διαλ.34 5 Ανάκλαση σε ελεύθερο άκρο Η συνοριακή συνθήκη στην περίπτωση αυτή είναι: F y =!"# x = Από τη στιγµή που τη θηλιά έχει θεωρηθεί αµελητέας µάζας, m= F y =!F sin" # F tan" =!$ %y %x θ Εποµένως:!" #y #x x= = Για ελεύθερο άκρο Τ Aν η λύση είναι της µορφής: y(x,t) = f (x + vt) + g(x! vt) F F y x = τότε οι κλίσεις είναι ίσες και αντίθετες στο x=!f (x + vt)!x x= +!g(x " vt)!x x= =

6 ΦΥΣ Διαλ.34 6 Μερική µετάδοση Όταν το όριο είναι ενδιάµεσο των δύο προηγούµενων καταστάσεων τότε ένα µέρος του παλµού µεταδίδεται στο επόµενο µέσο ενώ ένα τµήµα του παλµού ανακλάται Στην περίπτωση αυτή ένα µέρος της ενέργειας περνά το όριο. Ανακλώμενος Προσπίπτων Μεταδιδόμενος Αν υποθέσουµε ότι έχουµε ένα βαρύτερο σχοινί είναι συνδεδεµένο σε ελαφρύτερο τότε το ανακλώµενο τµήµα δεν αναστρέφεται Ανακλώμενος Προσπίπτων Μεταδιδόμενος

µεταδίδεται στο επόµενο µέσο ενώ ένα τµήµα του παλµού ανακλάται Στην περίπτωση αυτή ένα µέρος της ενέργειας

7 ΦΥΣ Διαλ.34 7 Μερική µετάδοση Προσπίπτων Ανακλώμενος Μεταδιδόμενος y i = A i cos( k i x! " i t) y r = A r cos( k r x +! r t) y T = A T cos( k T x! " T t) Προσπίπτον κύµα κινείται δεξιά Ανακλώµενο κύµα κινείται αριστερά Διαδιδόµενο κύµα κινείται δεξιά Δεξί τέλος αριστερού σχοινιού y j = y i,t Αριστερό τέλος δεξιού σχοινιού y j = y T,t A i cos (!" i t) + A r cos (" r t) = A T cos (!" T t) ( ) + y r (,t) ( )! i =! r =! T =! A i + A r = A T

" T t) Προσπίπτον κύµα κινείται δεξιά Ανακλώµενο κύµα κινείται αριστερά Διαδιδόµενο κύµα κινείται δεξιά Δεξί

8 ΦΥΣ Διαλ.34 8 Μερική µετάδοση Προσπίπτων Ανακλώμενος Μεταδιδόμενος Δεξί τέλος αριστερού σχοινιού!y j!x =!y i!x +!y r!x Αριστερό τέλος δεξιού σχοινιού!y j!x =!y T!x!k i A i sin (!"t )! k i A r sin ("t) =!k T A T sin (!"t ) k i A i! k i A r = k T A T A i + A r = A T A T = 2k i k i + k T A i A r = k i! k T k i + k T A i

σχοινιού!y j!x =!y i!x +!y r!x Αριστερό τέλος δεξιού σχοινιού!y j!x =!y T!x!k i A i sin (!

9 ΦΥΣ Διαλ.34 9 Ενέργεια κυμάτων Ενέργεια διαδίδεται σε ένα οδεύον κύμα Κινώντας το χέρι μου θα κάνω τη μάζα m να κινηθεί και επομένως η ενέργεια μεταδίδεται m Θεωρήστε ένα τμήμα μιας χορδής: Αυτό το μικρό κομμάτι είναι αρμονικός ταλαντωτής µ =!m!x Δm γραμμική πυκνότητα!u = 1 2 ky 2! 2 = k /m για!x " du = 1 2 µ# 2 y 2 dx du = 1 2 µ! 2 A 2 sin 2!U = 1 2 m" 2 y 2 #!U = 1 2 µ" 2!xy 2 αλλά y 2 =! 2 sin 2 ( kx " #t) ( kx "! t)dx # du = 1 2 µ! 2 A 2 sin 2 ( kx)dx για οποιοδήποτε χρονική στιγμή

η ενέργεια μεταδίδεται m Θεωρήστε ένα τμήμα μιας χορδής: Αυτό το μικρό κομμάτι είναι αρμονικός ταλαντωτής µ =!m!x Δm γραμμική πυκνότητα!

10 ΦΥΣ Διαλ.34 1 Ενέργεια κυμάτων Η ολική δυναμική ενέργεια σε ένα τμήμα χορδής ίσο με ένα μήκος κύματος είναι: U! =! " du = " U! = 1 2 µ" x 2 A 2 $ % & 2! 1 2 µ# 2 A 2 sin 2 ( kx)dx = # sin 2kx 4k ' ( )! 1 2 µ# 2 A 2! " sin 2 ( kx)dx $ + 2* = 1 sin 2 2 µ"! 2 A 2 2 #!! k 1, - / U! = 1 2 µ"! 2 A 2 # & $ % 2 ' ( ) U! = 1 4 µ" 2 A 2! Oλική δυναμική ενέργεια σε ένα μήκος κύματος Ισοδύναμα η κινητική ενέργεια σε ένα μήκος κύματος θα είναι: "! " = # d! = # " K! = 1 2 µ" 2 A µ$ 2 A 2 cos 2 (kx)dx = v 2 # x 2 + sin2kx & $ % 4k ' (! 1 2 µ$ 2 A 2 " # cos 2 (kx)dx % ) K! = 1 4 µ" 2 A 2! Oλική κινητική ενέργεια σε ένα μήκος κύματος

2 A 2 # & $ % 2 ' ( ) U! = 1 4 µ" 2 A 2! Oλική δυναμική ενέργεια σε ένα μήκος κύματος Ισοδύναμα η κινητική ενέργεια σε ένα μήκος κύματος θα είναι: "! " = # d!

11 ΦΥΣ Διαλ Ενέργεια κυμάτων Eπομένως η συνολική ενέργεια σε ένα μήκος κύματος θα είναι: E! = U! + "! = 1 2 µa2 # 2! q Καθώς το κύμα οδεύει Ε λ ενέργεια περνά από ένα σημείο της χορδής στην διάρκεια μιας περιόδου. q Στα στάσιμα κύματα δεν υπάρχει μετάδοση κύματος και επομένως δεν υπάρχει μετάδοση ενέργειας. Η ενέργεια που έχει αποθηκευθεί είναι η ενέργεια του αρχικού κύματος που προξένησε τα στάσιμα κύματα. Η ενέργεια αυτή συνεχώς μεταβάλλεται από δυναμική σε κινητική. t= U=E K= t=t/4 U= K=E t=τ/8 U=1/2E K=1/2E

q Στα στάσιμα κύματα δεν υπάρχει μετάδοση κύματος και επομένως δεν υπάρχει μετάδοση ενέργειας.

12 ΦΥΣ Διαλ Ισχύς Ένταση κυμάτων H ισχύς ορίζεται από τη σχέση Power =! " #t = E " $ = 1 2 P = 1 2 µa2! 2 " µa 2 % 2 " & $ Η χορδή στα αριστερά καταναλώνει έργο στη χορδή στα δεξιά P =! F!! " = F y " y = F y #y #t I = P 4!r 2 = $T #y #x #y #t % P & A, f Ένταση ενός κύματος είναι η μέση ισχύς που διαδίδεται με το κύμα διαμέσου ενός τετραγωνικού μέτρου το οποίο είναι κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος P I = Eµ!"#$ Για κύματα που κινούνται ισοτροπικά (ίδια προς όλες τις κατευθύνσεις) σε 3 διευθύνσεις, η ισχύς διανέμεται ίδια ως προς το εμβαδό της σφαίρας που περικλείει την κυματική πηγή Ένταση μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα του τετραγώνου της ακτίνας

r 2 = $T #y #x #y #t % P & A, f Ένταση ενός κύματος είναι η μέση ισχύς που διαδίδεται με το κύμα διαμέσου ενός τετραγωνικού μέτρου το οποίο είναι κάθετο στη διεύθυνση

13 ΦΥΣ Διαλ Στάσιμα κύματα Θεωρήστε μια χορδή, μήκους L με τα άκρα της ακλόνητα. x= x=l Χτυπήσετε την! Μετά από κάποιο χρονικό διάστημα θα έχετε προσπίπτοντα κύματα και ανακλώμενα κύματα. Τα κύματα αυτά συμβάλλουν. [ ( ) + cos( kx + " t + # + $ )] y(x,t) = A cos kx!" t + # αντίθετη κατεύθυνση αναστροφή Συνοριακές συνθήκες: Ακλόνητα άκρα y(,t) = y(l,t) = [ ( ) + cos (" t + # + $ )] = ( )! cos (" t + # ) y(,t) = A cos!" t + # [ ] =! = y(x,t) = A[ cos( kx!" t)! cos( kx + " t) ] y(,t) = A cos!" t + # Επομένως

14 ΦΥΣ Διαλ Στάσιμα κύματα Μπορούμε να γράψουμε την τελευταία σχέση καλύτερα: αλλά [ ( )! cos( kx + " t) ] y(x,t) = A cos kx!" t " cosa! cosb = 2sin a + b % " $ ' sin b! a % $ ' # 2 & # 2 & a = kx!" t b = kx +! t Επομένως η πρώτη εξίσωση γίνεται y(x,t) = 2Asinkx sin! t Το κύμα αυτό δεν διαδίδεται αλλά στέκεται!!! Η χορδή ταλαντώνεται πάνω και κάτω. Το πλάτος ταλάντωσης κάθε σημείου είναι 2Asinkx Μέγιστο πλάτος είναι 2Α και αυτό για ορισμένα σημεία Όταν sinkx = έχουμε δεσμό - το πλάτος ταλάντωσης είναι Όταν sinkx = ±1 έχουμε αντι-δεσμό - το πλάτος ταλάντωσης είναι Α Δεσμούς έχουμε για kx = nπ, n =,1,2 Aντιδεσμούς έχουμε για kx = (2n+1)π/2, n =,1,2,

t Το κύμα αυτό δεν διαδίδεται αλλά στέκεται!!! Η χορδή ταλαντώνεται πάνω και κάτω.

15 ΦΥΣ Διαλ Στάσιμα κύματα y(x,t) = 2Asinkx sin! t Στην περίπτωση της χορδής οι συνοριακές συνθήκες είναι δύο μια και τα δύο άκρα της είναι ακλόνητα. Είπαμε ότι y(l,t) = Αντικαθιστώντας στην κυματοσυνάρτηση των στάσιμων κυμάτων έχουμε: y(l,t) = 2AsinkLsin! t = " kl = n# " 2# $ L = n# Άρα υπάρχουν συνθήκες για το σχηματισμό στάσιμων κυμάτων:! n = 2L n Επομένως μόνο συγκεκριμένα μήκη κύματος επιτρέπονται x= x=l n=1 λ=2l n=2 λ=l n=3 λ=2l/3 n=4 λ=l/2

Είπαμε ότι y(l,t) = Αντικαθιστώντας στην κυματοσυνάρτηση των στάσιμων κυμάτων έχουμε: y(l,t) = 2AsinkLsin!

16 ΦΥΣ Διαλ Παράδειγμα στάσιμου κύματος Χορδή με ακλόνητα σημεία. Χορδή κιθάρας! k = v = T µ Μια χορδή έχει συχνότητες: f n = v " = v n % $ ' =! n # 2L& n 2L T µ H θεμελιώδης συχνότητα είναι n =1 f 1 = v 2L Οι υπόλοιπες αρμονικές n>1 T μ f f

17 ΦΥΣ Διαλ Θεώρημα Fourier Σύνθετα κύματα q Κάθε περιοδική κυματομορφή μπορεί να αναλυθεί σαν συμβολή πολλών ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών κυματοσυναρτήσεων που αποτελούν αρμονική σειρά Oι συχνότητές τους είναι ακέραια πολλαπλάσια μιας θεμελιώδους συχνότητας y(t)= " n ( A n sin2! f n t + B n cos2! f n t) όπου f n = nf 1 και f 1 = θεμελιώδης συχνότητα Οι συντελεστές Α n και Β n παριστάνουν τα πλάτη των διαφόρων κυμάτων Το πλάτος του n-αρμονικού είναι A n 2 + B n 2 Ανάλυση τετραγωνικής κυματομορφής σε σειρά από ημιτονοειδείς αρμονικές με συχνότητες περιττά πολ/σια της θεμελιώδους συχνότητας

κυματοσυναρτήσεων που αποτελούν αρμονική σειρά Oι συχνότητές τους είναι ακέραια πολλαπλάσια μιας θεμελιώδους συχνότητας y(t)= " n ( A n sin2!

18 Διακροτήματα ΦΥΣ Διαλ Συμβολή δύο αρμονικών κυμάτων με διαφορετικές συχνότητες διαδιδόμενα στην ίδια διεύθυνση Εξετάζουμε ένα σημείο x, y 1 y 2 ( t) = Acos2! f 1 t ( t) = Acos2! f 2 t ) # y = y 1 + y 2 = 2Acos 2! f " f 1 2 &, + $ % 2 ' ( t. * - cos ) 2! # f + f 1 2 &, + $ % 2 ' ( t. * - Έχει δύο συχνότητες: f 1! f 2 2 μικρή αργή f 1 + f 2 2 μεγάλη γρήγορη t Περιοδική μεταβολή στην ένταση του κύματος με συχνότητα ( ) 2 f 1 + f 2 ) # Όταν cos 2! f " f 1 2 &, + $ % 2 ' ( t. * - = ±1 τότε υπάρχει μέγιστο - Διακρότημα Υπάρχουν 2 μέγιστα/περίοδο Διακροτήματα/sec f! = f 1 " f 2

f 1 t ( t) = Acos2! f 2 t ) # y = y 1 + y 2 = 2Acos 2! f " f 1 2 &, + $ % 2 ' ( t. * - cos ) 2! # f + f 1 2 &, + $ % 2 ' ( t.

Σχετικά έγγραφα

ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA

ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA ΦΥΣ 131 - Διαλ.33 1 KYMATA q Κύµατα εµφανίζονται σε συστήµατα µε καταστάσεις ισορροπίας. Τα κύµατα είναι διαταραχές από τη θέση ισορροπίας. q Τα κύµατα προκαλούν κίνηση σε πολλά διαφορετικά σηµεία σε ένα