Το στάσιμο κύμα είναι ειδική περίπτωση συμβολής

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Το στάσιμο κύμα είναι ειδική περίπτωση συμβολής"

Αιθήρ Καραμανλής
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Το στάσιμο κύμα είναι ειδική περίπτωση συμβολής Θεωρούμε μια οριζόντια ελαστική χορδή μεγάλου μήκους, Έστω Σ Σ 2 ένα τμήμα της χορδής μήκους d=36cm. Την στιγμή t=0 ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους Α=5cm συχνότητας f=2hz και ταχύτητας διάδοσης υ=48cm/s φτάνει στο σημείο Σ με φορά διάδοσης από το Σ προς το Σ 2. Την ίδια χρονική στιγμή στο σημείο Σ 2 φτάνει ένα δεύτερο κύμα με το ίδιο πλάτος την ίδια συχνότητα και το ίδιο μήκος κύματος διαδιδόμενο από το Σ 2 προς το Σ. Υποθέτουμε ότι τα σημεία Σ και Σ 2 την στιγμή t=0 έχουν ταχύτητες παράλληλες και ομόρροπες Α) Να εξηγήσετε γιατί μεταξύ των σημείων Σ και Σ 2 θα δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Έστω t η χρονική στιγμή κατά την οποία έχει ολοκληρωθεί η δημιουργία στασίμου κύματος σε ολόκληρο το τμήμα Σ Σ 2 B) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης των σημείων του τμήματος Σ Σ 2 ως συνάρτηση της απόστασής τους από το σημείο Σ, μετά την χρονική στιγμή t. Γ) Να υπολογίσετε το πλήθος και τις θέσεις των δεσμών που σχηματίζονται στο τμήμα Σ Σ 2. Δ) Να υπολογίσετε το πλήθος και τις θέσεις των κοιλιών που σχηματίζονται στο τμήμα Σ Σ 2. Ε) Να κάνετε την γραφική παράσταση της απομάκρυνσης των σημείων του τμήματος Σ Σ 2 ως συνάρτηση της απόστασής τους από το σημείο Σ τις στιγμές t 2 =s και t 3 =,25s Να μελετηθεί το ίδιο πρόβλημα αν την στιγμή t=0 τα σημεία Σ και Σ 2 έχουν ταχύτητες παράλληλες και αντίρροπες. Απάντηση Α) Στο τμήμα Σ Σ 2 διαδίδονται δύο κύματα που έχουν ίδια διεύθυνση διάδοσης, ίδια διεύθυνση ταλάντωσης, ίδια συχνότητα, ίδιο πλάτος, ίδιο μήκος κύματος και αντίθετη φορά διάδοσης.. Επομένως στο τμήμα Σ Σ 2 θα δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. υ Β) Από την θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής έχουμε: λ= = 24cm. f Η εξίσωση της ταλάντωσης των σημείων Σ και Σ 2 πριν την χρονική στιγμή t είναι = y2 = A ημ( ω t) Έστω Μ ένα σημείο του τμήματος Σ Σ 2 το οποίο απέχει απόσταση r Σ 2. Οι εξισώσεις των δύο κυμάτων είναι: t r t x = ημ π = ημ π λ λ A 2 A 2 = xαπό το Σ και r 2 = d xαπό το t r2 t d x t x d y2 = Aημ2π = Aημ2π = Aημ2π + λ λ λ λ Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, όταν θα έχει ολοκληρωθεί η συμβολή των δύο κυμάτων στο τμήμα Σ Σ 2, η εξίσωση της ταλάντωσης του σημείου Μ θα είναι:

2 t x t x d y= + y2 = Aημ2π + Aημ2π + λ λ λ α β α+β Εφαρμόζοντας την τριγωνομετρική ταυτότητα ημα + ημβ = 2συν ημ έχουμε: 2x d t d y= 2Aσυν2π ημ2π 2λ Άρα το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Μ είναι: () 2x d x 8 πx 3π A = 2A συν2π A = 0 συνπ A = 0 συν 2 πx A = 0 ημ, x, A σε cm. 2 Γ) Οι δεσμοί του στασίμου κύματος είναι σημεία απόσβεσης. Επομένως 2x d 2x d π λ A = 0 συν2π = 0 π = Nπ+ 2x d = (2N+ ) λ x Δ = (2N+ ) + xδ = 2Ν+ 24, Ν. x Δ σε cm. 4 2 λ λ Εναλλακτικά: r r 2 = (2N+ ) x (d x) = (2N+ ) x = (2N+ ) +, Ν 4 2 Πρέπει 0 xδ d 0 2Ν Ν 2 2 Ν Άρα σχηματίζονται 4 δεσμοί, οι οποίοι απέχουν από το σημείο Σ αποστάσεις 0, 2, 24, 36 cm. Δ) Οι κοιλίες του στασίμου κύματος είναι σημεία ενίσχυσης. Επομένως 2x d 2x d A = 2A συν2π = π = Nπ 2x d =Νλ λ xκ = N + xk = 2N+ 8, x K σε cm, Ν. λ λ Εναλλακτικά: r r 2 = (2N) x (d x) = (2N) x =Ν +, Ν. Πρέπει xk d 0 2N N N, Ν. Άρα σχηματίζονται 3 κοιλίες οι οποίες απέχουν από το σημείο Σ αποστάσεις 6, 8, 30 cm. Παρατήρηση Οι θέσεις των δεσμών και των κοιλιών μπορούν να βρεθούν και ως εξής: Το μέσον του τμήματος Σ Σ 2 ισαπέχει από τα σημεία Σ και Σ 2. Συνεπώς είναι σημείο ενίσχυσης, δηλαδή κοιλία. Θεωρώντας ως αρχή το μέσον του τμήματος Σ Σ 2 οι θέσεις των κοιλιών είναι

3 λ d d xk = N = 2Ν. Πρέπει xk 8 2Ν 8 N 2 Άρα σχηματίζονται 3 κοιλίες, οι οποίες απέχουν από το μέσον Μ αποστάσεις 0, 2 cm και επομένως από το Σ αποστάσεις 6, 8, 30 cm. Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να βρούμε και τις θέσεις των δεσμών. Ε) Αντικαθιστώντας στη σχέση () d=36cm, λ=24cm, T=0.5s έχουμε για τις απομακρύνσεις των σημείων του Σ Σ 2 : 2x d t d 3π 3π y= 2Aσυν2π ημ2π = 0συν ημ 4πt 2λ 2 y= 0 ημ συν(4πt) Την στιγμή t 2 =s y= 0ημ ( x, y σε cm) Την στιγμή t 3 =.25s y=0. Η γραφικές παραστάσεις των παραπάνω σχέσεων στο διάστημα [0,36] είναι: Έστω τώρα ότι την στιγμή t=0 οι ταχύτητες των Σ και Σ 2 είναι παράλληλες και αντίρροπες. Η εξίσωση της ταλάντωσης των σημείων Σ και Σ 2 πριν την χρονική στιγμή t είναι = A ημ( ω t) και y2 = A ημ( ω t) = A ημ( ω t + π ) Έστω Μ ένα σημείο του τμήματος Σ Σ 2 το οποίο απέχει απόσταση r Σ 2. Οι εξισώσεις των δύο κυμάτων είναι: = xαπό το Σ και r 2 = d xαπό το

4 t r t x = ημ π = ημ π λ λ A 2 A 2 t r t d x t x d = ημ π + π T = ημ π + = ημ π + + λ λ 2 λ λ 2 2 y2 A 2 A 2 A 2 Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, όταν θα έχει ολοκληρωθεί η συμβολή των δύο κυμάτων στο τμήμα Σ Σ 2, η εξίσωση της ταλάντωσης του σημείου Μ θα είναι: t x t x d y= + y2 = Aημ2π + Aημ2π + + λ λ λ 2 2x d t d y= 2Aσυν2π + ημ2π + () 4 2λ 4 Άρα το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Μ είναι: 2x d Α= 2A συνπ x d x 8 πx A = 2A συν2π + A = 0 συνπ + A = 0 συν π 4 πx A = 0 συν, x,a σε cm. 2 Γ) Οι δεσμοί του στασίμου κύματος είναι σημεία απόσβεσης. Επομένως 2x d 2x d π π A = 0 συν2π + = 0 π + = Nπ+ 2x d = Nλ 4 λ xδ = N + xδ = 2N+ 8, x Δ σε cm, Ν. Άρα σχηματίζονται 3 δεσμοί, οι οποίοι απέχουν από το σημείο Σ αποστάσεις 6, 8, 30 cm. Δ) Οι κοιλίες του στασίμου κύματος είναι σημεία ενίσχυσης. Επομένως 2x d 2x d π λ A = 2A συν2π + = π + = Nπ 2x d = (2N ) 4 λ x Κ = (2N ) + xκ = 2Ν+ 2, Ν. x Δ σε cm. 4 2 Πρέπει 0 xκ d 0 2Ν Ν 24 Ν 2 Άρα σχηματίζονται 4 κοιλίες, οι οποίες απέχουν από το σημείο Σ αποστάσεις 0, 2, 24, 36 cm. Ε) Αντικαθιστώντας στη σχέση (2) d=36cm, λ=24cm, T=0.5s έχουμε για τις απομακρύνσεις των σημείων του Σ Σ 2 : 2x d t d y= 2Aσυν2π + ημ2π + = 0συν π ημ( 4πt π) 4 2λ 4

5 y= 0συν ημ 4πt ( ) Την στιγμή t 3 =s y=0. Την στιγμή t 2 =,25s y= 0συν ( x, y σε cm). Η γραφικές παραστάσεις των παραπάνω σχέσεων στο διάστημα [0,36] είναι: Παρατήρηση 2πx 2πt Η εξίσωση του στασίμου κύματος y= 2Aσυν ημ δεν είναι η μοναδική. λ T Η παραπάνω εξίσωση ισχύει με την προϋπόθεση ότι η αρχή του άξονα είναι κοιλία του στασίμου και την στιγμή t=0 η κοιλία αυτή βρίσκεται στη θέση ισορροπίας της κινούμενη προς την θετική κατεύθυνση. 2πx 2πt Η γενική εξίσωση του στασίμου κύματος είναι y= 2Aσυν + ϕ ημ + ϕ2 λ T. Οι τιμές των φ, φ 2 εξαρτώνται τόσο από τις απομακρύνσεις των σημείων του μέσου την στιγμή t=0, όσο και από το σημείο του μέσου που επιλέχθηκε ως αρχή του άξονα. Ε. Κορφιάτης korfiatis@sch.gr

Σχετικά έγγραφα

2.2. Συµβολή και στάσιµα κύµατα. Οµάδα Γ.

2.2. Συµβολή και στάσιµα κύµατα. Οµάδα Γ. 2.2.21. σε γραµµικό ελαστικό µέσο. ύο σύγχρονες πηγές Ο 1 και Ο 2 παράγουν αρµονικά κύµατα που διαδίδονται µε ταχύτητα υ=2m/s κατά µήκος ενός γραµµικού ελαστικού