Ύλη πάνω στις ταλαντώσεις :

Transcript

1 Ταλαντώσεις

2 Ταλαντώσεις

3 Ύλη πάνω στις ταλαντώσεις : Απλή αρμονική κίνηση (ΑΑΤ SHO) F και E της απλής αρμονικής κίνησης Η δυναμική της ΑΑΚ (αντίστροφο) Απλό εκκρεμές Φυσικό εκκρεμές (στροφικό εκκρεμές) Υπερθέσεις Συζευγμένες και μη αρμονικός Ταλαντώσεις με απόσβεση Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις συντονισμός Fast Fourier Transform (FFT) ( εκτός εξεταστέας ύλης)

4 Απλή αρμονική κίνηση (ΑΑΤ SHO)

5 Ταλαντώσεις Περιοδική κίνηση (επανάληψη σε ίσα χρονι- κά διαστήματα με cos ή sin αρμονική κίνηση (xf(t)f(t+t) Περιοδική σε ίδια τροχιά ταλάντωση Τριβές (κατανάλωση ενέργειας) φθίνουσα Όχι μόνο μηχανικά συστήματα αλλά και το φως, ραδιοκύματα ταλάντωση ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου Κοινή η μαθηματική τους περιγραφή

6 Βασικές έννοιες απλής αρμονικής κίνησης xacos(ωt+φ) φάση (ωt) και αρχική φάση (t φ) περίοδος συχνότητα μετατόπιση, πλάτος (Α)) (μέγιστο( ελάχιστο), θέση ισορροπίας αίτιο κίνησης: δύναμη επαναφοράς και δυναμική ενέργεια ενέργεια αρμονικού ταλαντωτή ταχύτητα κίνησης και επιτάχυνση

7 Έστω X x Acos t ( +) A

8 Πειραματικές μετρήσεις x(t) μετρήσεις x Acos ( t + ) min v(t) a(t) max

9 x Acos ( t + ) T u dx -Asin ( t + ) a du d x - Acos ( t + ) - x d x + x Στην AAK: επιτάχυνση -μετατόπιση

10 9 ο 18 ο κλειστή Fma-kx -9 ο

11

12 Κβαντομηχανική Αρμονικός ταλαντωτής Εξίσωση Schrodinger

13

14 Αρμονική Δύναμη F και Ενέργεια E της απλής αρμονικής κίνησης F F ( r ) -r ( ή F iˆ + x F y ˆj + F kˆ z - ύ) xiˆ + yj ˆ + zkˆ

15 F ma F -m x -kx k m k m ελατήριο k μάζα ά T m T k 1 k m Ενέργεια : κινητική, δυναμική, ολική

16 E kin - 1 mu 1 m A A x + A 1 m A sin ( t + ) ( ( )) ( 1- cos t + 1 m A - x ) F - de dx p - de dx -kx EP x 1 1 de kx E kx P P p m x E 1 1 E + E m A ka ή kin P f ( k, A)

17 Η δυναμική της ΑΑΚ (αντίστροφο) Αν έχω μια ελκτική δύναμη F ανάλογη προς τη μετατόπιση x έχω απλή αρμονική κίνηση F ma x

18 ( ) t A x x x d m k kx x d m kx x d m cos ( ) & tan sin & cos sin u x A x u A u A x t t A dx u

19 Απλό Απλό εκκρεμές εκκρεμές

20 dθ - - sin sin mg d ml mg F T ( ) g l T T t l g & cos & + l dx θ sin + + l g d l g d mg mg s R R θ s

21 sin sinθ σε σε μοίρες μοίρες θ σε σε rads rads % διαφορά διαφορά 4,7% 4,7% 3 3 ο sin 64 9 sin g l g l T ( ) sin sin sin g l T

22 Φυσικό εκκρεμές - στροφικό εκκρεμές

23

24 Ζ O Φυσικό εκκρεμές b θ C Ζ Wmg

25 WDDS

26

27 - - sin sin, mgb d I mgb z z ό K gb K gb d mk I + sin + + I mgb d I mgb d Steiner mr I I gb K T T C + C O θ Ζ Ζ b Wmg Wmg

28 I T T I ό ό - - sin sin ό ό d I sin + + I d I d C θ Ι

29 cm l R cm l L cm l R cm l disc rod ring 1 33, 3 / 4 37, / 3 1,4 /,8 4 Εκκρεμές Εκκρεμές Δακτύλιος Δακτύλιος Ράβδος Ράβδος Δίσκος Δίσκος ( ) g l T g l T g l g R T g l T disc rod ring pend l R ring L rod R??, 1 l Hz R disc Άσκηση Άσκηση Υπολογίστε Υπολογίστε

30 U6-1( r) U - r r 1 6 Ε ολ U+Ε κ > < Α Α Ε κ (Τ) Τ >Τ <r> r <r> Τ Ε κ (Τ) Β Τ <Τ Β E ολ Ε κ + U(r) Αέριο Υγρό Στερεό r E ολ > (αέριο) E ολ ~ (υγρό) E ολ < (στερεό

31 Ταλαντώσεις με απόσβεση k

32 Ταλάντωση με απόσβεση F(t) Οι ταλαντώσεις μετά από κάποιες αιωρήσεις συνεχώς μικραίνουν σε πλάτος και στο τέλος σταματάνε. Η ταλάντωση είναι φθίνουσα. X(t) Δυναμικά θα πρέπει πέρα από την ελαστική δύναμη F-kx να δρα πάνω στο σώμα και μια άλλη αντίθετη δύναμη ανάλογη με τη ταχύτητά του δηλ. F -λu ma -kx - u

33 Φθίνουσα (με απόσβεση) ταλάντωση (μετρήσεις από Α5 Cavendish) Y(t) YY(V) V(t) σπειροειδής με κατάληξη το κέντρο dumped & long

34 x u t x a(f) t u x Φθίνουσα αρμονική ταλάντωση ελατηρίου (1 min!)

35 F ma d x dx + + & m -t x Ae cos -kx o x - u ( ό) m o d x + dx + kx ( ή. ) ή ό ( t + ) ( Α, ί έ ) - k - m k m 4m Σχόλιο: χρόνος απόσβεσης πλάτους κατά 1% και συχνότητα ταλάντωσης από τον αέρα : F-6πηRv γ~6,4 * 1-4 s -1 (A.F. 7 min & 9,8. /. 4 * 1-7 αμελητέο

36 Overdamped Εργαστήριο Φ3

37

38 Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις - συντονισμός

39 Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις k m ω x ma -kx - u + F cos o. t d x + dx + x o F o m cos. t e.g. Tacoma Narrows Bridge, Washington 194

40 1 1 4 ( ) - + Tacoma Narrows Bridge, Washington 194 Η κρεμαστή γέφυρα ήταν σαν μια σανίδα που όμως εγκλώβιζε τον άνεμο αντί να το αφήνει να περνάει από μέσα. Ο άνεμος δημιούργησε μια δύναμη σε συντονισμό με τη φυσική συχνότητα της γέφυρας (με u μικρή) Το πλάτος της ταλάντωσης αυξήθηκε μέχρι που η γέφυρα κατέπεσε (film)

41

42 Υπέρθεση και σύζευξη ταλαντώσεων (μη εξεταστέα ύλη χρήση) Υπέρθεση δύο απλών αρμονικών κινήσεων ίδιας συχνότητας και κατεύθυνσης (συμβολή) Υπέρθεση δύο απλών αρμονικών κινήσεων διαφο- ρετικής συχνότητας και ίδιας κατεύθυνσης (διακροτήματα/κινητήρεςκινητήρες ελικοφόρων αεροπλάνων) Υπέρθεση δύο απλών αρμονικών κινήσεων ίδιας συχνότητας με κάθετες κατευθύνσεις ή/και διαφορετικές συχνότητες (εικόνες Lissajous) Συζευγμένες ταλαντώσεις (ενέργεια σύζευξης) Αναρμονικός ταλαντωτής (6-1 Lenard-Jones Jones/Φ)

43 διακροτήματα

44 Lissajous f f 1

45 Θεώρημα Fourier Ανάλυση Fourier Fast Fourier Transform (FFT) f ( t) f ( t + T ) f ( t) a + a cos sin n n n 1 ( nt) + b ( nt)

46 f ( t) a + a n cos n sin n 1 ( nt) + b ( nt) a n T t + T t f ( t)cos T + T ( n t) b ( ) n f ( t)sin nt t t a o T t f(-t) )f(t) + T t f ( t) g n t + T -in t n, ± 1, ±,... T t f ( t) e άρτια b n μόνο συνημίτονα f(-t) )-f(t) περιττή a n μόνο ημίτονα f ( t) n - g n e int Φ4

47 Τετραγωνικός παλμός - προσέγγιση 3 και 9 Hz 3, 9, 15 και 1 Hz

48 F(t) ωπν4,54 ν,7 x(t) v(t) F-kx

49 Σύνθετη περιοδική κίνηση (πολλές αρμονικές)