Μηχανική - Ρευστομηχανική

Transcript

1 Μηχανική - Ρευστομηχανική Ενότητα 9: Ταλαντώσεις Διδάσκων: Πομόνη Αικατερίνη, Αναπλ. Καθηγήτρια Επιμέλεια: Γεωργακόπουλος Τηλέμαχος, Υπ. Διδάκτωρ Φυσικής 015 Θετικών Επιστημών Φυσικής

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Απλή αρμονική ταλάντωση Φυσικό εκκρεμές Αποσβεννυμένες ταλαντώσεις Εξαναγκασμένη ταλάντωση

5 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 1 Απλή Αρμονική Ταλάντωση Όταν το ελατήριο υπακούει στο νόμο του Hooke F kxxˆ, δηλαδή η δύναμη επαναφοράς εξαρτάται γραμμικά από την απομάκρυνση x, dx F kxxˆ ma m xˆ dx dt m xˆkxxˆ0 και με ω =k/m dt dx x ˆ xx ˆ 0 dt Η λύση αυτής της διαφορικής εξίσωσης είναι η x(t) = Acos (ωt + φ) (1) με Α το πλάτος της κίνησης και φ την αρχική φάση που ορίζει την απομάκρυνση τη χρονική στιγμή t=0 dx Asin( t )() dt x A -A F m x m x=0 m x F F 0 x x x T t

6 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ οριακές συνθήκες Αν την t=0, x=x ο και υ=0, οι (1) και () γράφονται: x o =Acosφ, υ=-αωsinφ=0 και κατά συνέπεια φ=0 και A=x o Επομένως x=x o cosωt και υ=-x o ωsinωt x x o -x o Τ υ ωx o t -ωx o Τ t Αν την t=0, x=0 και υ=υ ο, οι (1) και () γράφονται: 0=Acosφ, υ=υ ο = -Αωsinφ Από αυτές προκύπτει A=-υ ο /ω και φ=π/. Επομένως x= (υ ο /ω) sinωt και υ=υ ο cosωt x υ o /ω -υ o /ω Τ υ υ o t -υ o Τ t

7 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 3 κατακόρυφο ελατήριο Στο στιγμιότυπο (a), ελατήριο κρέμεται από στήριγμα έχοντας το φυσικό του μήκος. Στη συνέχεια προσαρτάται σ αυτό σώμα μάζας m και τo σύστημα ισορροπεί στη θέση x=x o (b). Εκτρέπουμε το σώμα από τη θέση αυτή και το αφήνουμε ελεύθερο (c). Να ευρεθεί η απομάκρυνσή του σαν συνάρτηση του χρόνου. α τρόπος: Στο στιγμιότυπο (b), (a) (b) (c) F 1 F x o m x m mg mg x x=0 x =0 + F mg 0 kx xˆ mgxˆ 0 x 1 O O mg k

8 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 4 κατακόρυφο ελατήριο Αν κατά την επιστροφή του προς τη θέση ισορροπίας (στιγμιότυπο c), τη χρονική στιγμή t η απομάκρυνση του είναι x, dx F kxxˆ, F mg ma m xˆ mgxˆ kxxˆ dt d x k d x k gm x g 0 ( x ) 0 (1) dt m dt m k mg dy dx d y d x y x,, k dt dt dt dt η εξίσωση (1) γράφεται: d y k 0 y dt m Κι επομένως έχει λύση την y=acos(ωt+φ) με ω =k/m ή x= y+mg/k = Acos(ωt+φ) +x o, δηλ. το σώμα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση γύρω από τη θέση x o

9 ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 5 κατακόρυφο ελατήριο β τρόπος: Συγκρίνοντας το στιγμιότυπο (c) με το στιγμιότυπο (b), αν ορίσουμε σαν x =0 τη θέση x o, τότε x=x o +x και F kxxˆ k( x x) xˆ o H μόνη επιπλέον δύναμη που δρα στο σώμα στο στιγμιότυπο (c) είναι η Fkx, d x d x m kx m kx 0 dt dt Συνεπώς η λύση της θα είναι x Acos( t ), k / m ή x x Acos( t ) o

10 Φυσικό εκκρεμές 1 Κάθε στερεό που μπορεί να ταλαντώνεται γύρω από οριζόντιο άξονα υπό την επίδραση της βαρύτητας λέγεται φυσικό εκκρεμές O C mg (a) z y x x τ O O θ Για πολύ μικρές γωνίες εκτροπής,, r C mg (b) Στο σχήμα μια τομή του σώματος που περνά από το κέντρο μάζας του C έστω ότι ορίζει το επίπεδο ΥΖ. Στη θέση (a) το σώμα ηρεμεί. Τα Ο και C βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφο και έστω OC=d. Στη θέση (b) το σώμα έχει εκτραπεί κατά μικρή γωνία θ. Το βάρος του προκαλεί ροπή rxmg dmgsinx ˆ (1) O ως προς το Ο d d sin () OX OX dt dt

11 Φυσικό εκκρεμές Από τις (1) και () προκύπτει: I d d mgd dmg OX dt dt IOX Επομένως: 0, 0 mgd I OX I mgd OX Προφανώς, η περίοδος ταλάντωσής του συμπίπτει με αυτήν απλού εκκρεμούς αν το απλό εκκρεμές έχει μήκος L=I OX /md

12 x Φυσικό εκκρεμές Παράδειγμα 1 1. Δίσκος ακτίνας R και μάζας m καρφώνεται στην περιφέρειά του σε σημείο Ο. Να υπολογίσετε την περίοδό της ταλάντωσής του για μικρές γωνίες εκτροπής και το μήκος του ισοδύναμου απλού εκκρεμούς Z Y R mg O C O θ r C mg d 3 d I mgr 0, mr mgr 0 OX dt dt d g 3 0 g R dt 3R 3R g Το μήκος του ισοδύναμου απλού εκκρεμούς είναι 3R/ r xmg Rmgsin xˆ (1) O d d () OX OX dt dt 1 3 OC R, I I mr mr mr mr OX CX

13 Φυσικό εκκρεμές Παράδειγμα Λεπτή ράβδος μήκους L και μάζας m καρφώνεται στο άκρο της Α. Να υπολογίσετε την περίοδό της ταλάντωσής της για μικρές γωνίες εκτροπής και το μήκος του ισοδύναμου απλού εκκρεμούς. L C A A x L r xmg mgsin xˆ (1) O θ d d () AX AX C dt dt 1 L 1 AC L /, I I m( AC) ml m ml AX CX d L 1 d L mg I mg 0, ml mg 0 AX dt 3 dt d 3 g 3 0 g L dt L L 3g Το μήκος του ισοδύναμου απλού εκκρεμούς είναι L/3

14 Αποσβεννυμένες Ταλαντώσεις 1 Σώμα μάζας m που κρέμεται από ελατήριο σταθεράς k είναι βυθισμένο μέσα σε υγρό με συντελεστή απόσβεσης b και ισορροπεί. Το σώμα απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας κινώντας το προς τα κάτω και αφήνεται ελεύθερο. Αν η δύναμη απόσβεσης δίνεται από την T b να δοθεί η εξίσωση της κίνησής του. (α) (β) (γ) Στο στιγμιότυπο (β) F1 F1 A B 0 (1) F ( A η άνωση που δέχεται x o A x από το υγρό) A x=0 Επειδή το σώμα ηρεμεί x a T 0, F kxox ˆ 1 B T B x =0 +

15 Αποσβεννυμένες Ταλαντώσεις Στο στιγμιότυπο (γ) το σώμα επιστρέφει προς τη θέση ισορροπίας F AB T m (), F kxxˆ k( x ˆ ˆ ˆ 1 ˆ o x )x kxox kx x F kx x από την () F1 kx xˆ ABb m όμως F1 AB 0 Οπότε dx d x kx xˆ b ma kx xˆ b xˆ m xˆ (3) dt dt dx dx d x d x με x x xo, dt dt dt dt και η (3) γράφεται: dx d x d x dx kx b m m b kx dt dt dt dt και γενικά 0 d x b dx k x 0 (4) dt m dt m

16 Αποσβεννυμένες Ταλαντώσεις 3 Για τη λύση της διαφορικής αυτής εξίσωσης χρησιμοποιείται το χαρακτηριστικό πολυώνυμο b k 0 m m b k Η διακρίνουσά του είναι 4 m m 1. Αν Δ<0, δηλαδή η δύναμη απόσβεσης είναι μικρότερη από τη δύναμη επαναφοράς, η λύση της (4) είναι: b t k b m x Ae cos( t ) (5) με (6) m 4m x t

17 Αποσβεννυμένες Ταλαντώσεις 4 b t m Η κίνηση είναι φθίνουσα ταλάντωση με πλάτος Ae, εκθετικά μειούμενο με το χρόνο. Οι σταθερές Α και φ προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Όπως φαίνεται από τη (5), αύξηση του συντελεστή απόσβεσης b οδηγεί σε μείωση της ω, καθώς επίσης και σε μείωση του πλάτους Ae b t m Χρόνος αποκατάστασης τ στη φθίνουσα ταλάντωση είναι ο χρόνος 1 που απαιτείται ώστε το πλάτος να πάρει το της αρχικής τιμής, e δηλαδή: b 1 b m m Ae A 1 (7) e m b

18 Αποσβεννυμένες Ταλαντώσεις 5 Αν δίνεται ότι τη χρονική στιγμή t=0 : x=0, υ=υ ο (δηλαδή t=0 όταν το σώμα περνά από τη θέση ισορροπίας), από την (5) προκύπτει: x 0 Acos b b dx b t t m m A e cos( t ) e ( )sin( t ) dt m για t=0 b A cos A( )sin m και με, A Τελικά η (5) γράφεται b b t t m m x e cost x e sin t (8)

19 Αποσβεννυμένες Ταλαντώσεις 6 b k. 0 4, δηλαδή η δύναμη απόσβεσης είναι m m συγκρίσιμη με τη δύναμη επαναφοράς Η λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι η και η ταλάντωση καλείται κρίσιμη απεριοδική. Το σώμα επανέρχεται στη θέση ισορροπίας στον ελάχιστο χρόνο b k , δηλαδή η δύναμη απόσβεσης είναι μεγάλη m m σε σύγκριση με τη δύναμη επαναφοράς. b t m ( 1 ) (9) x a a t e

20 Αποσβεννυμένες Ταλαντώσεις 7 Η λύση της (4) δίνεται από τη σχέση: b t m t t b k x e a 1e ae (10) (11) και η ταλάντωση είναι απεριοδική. 4m m x Αν για t=0: x=x o και υ=0 απεριοδική κρίσιμη απεριοδική t Παράδειγμα ταλάντωσης με υψηλή απόσβεση αποτελούν τα αμορτισέρ των αυτοκινήτων, τα οποία εξασφαλίζουν δύναμη απόσβεσης με υψηλό b, τέτοια ώστε το αυτοκίνητο όταν περνά από κάποια ανωμαλία του δρόμου να μη συνεχίζει να αναπηδά επ αόριστον. Φθορά των αμορτισέρ οδηγεί σε μείωση του b και επομένως μεγαλύτερη διάρκεια αναπήδησης

21 Παράδειγμα φθίνουσας ταλάντωσης Μάζα m κρέμεται από ελατήριο και ισορροπεί. Σε αυτή προστίθεται μάζα Δm και πάλι το σύστημα ισορροπεί, αφού το ελατήριο επιμηκυνθεί κατά ΔL. Στη συνέχεια αφαιρείται απότομα η μάζα Δm, οπότε το ελατήριο κάνει φθίνουσα αρμονική ταλάντωση, τέτοια ώστε το πλάτος της να ελαττώνεται στο αρχικής του τιμής σε χρόνο τ. Να υπολογιστεί η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης και ο συντελεστής απόσβεσης. Να βρεθεί η εξίσωση της κίνησης της μάζας m. Δίνονται m=0.5kg, g=10m/s, 1 6 s, ΔL=4cm και Δm=0.Kg. 1 e της

22 Παράδειγμα φθίνουσας ταλάντωσης 1 (α) m F (β) + F F 1 Οι επιπλέον δυνάμεις που ασκούνται στο (β) στιγμιότυπο σε σχέση με το (α) είναι B mg και F1 klxˆ. Στο στιγμιότυπο (β) το m mg ισορροπεί mg kl k 50 N / m L ΔL B m+δm Η εξίσωση κίνησης της m όταν αφαιρεθεί η Δm δίνεται ότι είναι φθίνουσα: B B b t m x Ae cos( t ) (1) b 1 m m Ae A b 6 Kg / s e b k b k 1 8 rad / s m 4m m

23 Παράδειγμα φθίνουσας ταλάντωσης Η (1) γράφεται: 6 t x Ae cos(8 t ) () Για t=0: x=δl και υ=0 η () γίνεται: L Acos A dx t Ae cos(8 t ) Ae ( 8)sin(8 t ) dt Για t=0: υ= Acos A( 8)sin tan cos cos 1 tan 5 5 Επομένως η () παίρνει τη μορφή: L 6t 4 x e cos(8 t ) cos cos 5 6t 4 x 0.05e cos(8 t ) cos 5 L cos

24 Εξαναγκασμένη ταλάντωση Όταν σε ένα σύστημα που ταλαντώνεται δράσει μια εξωτερική περιοδική δύναμη F=F o cosωt, η διαφορική εξίσωση παίρνει τη μορφή: dx d x d x dx F cos ή o t b kx m m b kx F cos o t dt dt dt dt Η λύση της είναι: b t m x x e sin t Asin( t ) o α όρος β όρος Ο α όρος φθίνει εκθετικά με το χρόνο, δηλαδή είναι ένα πρόσκαιρο φαινόμενο και τελικά το σύστημα κάνει ταλάντωση με τη συχνότητα ω της εξωτερικής δύναμης F=F o cosωt x=asin(ωt+φ)

25 Εξαναγκασμένη ταλάντωση 1 Το πλάτος αυτής της ταλάντωσης βρίσκεται ότι δίνεται από τη σχέση F o k m( ) A (1) tan m ( ) b m b Το Α γίνεται μέγιστο όταν m ( ) b min ή b δηλαδή για 1 (14) m Αυξανομένου του b, το ω 1 μειώνεται. Με ω=ω 1 η (1) γράφεται F o Amax b b 4m Όταν μειώνεται το b το πλάτος Α max αυξάνεται d m ( ) b 0 (13) dt

26 Εξαναγκασμένη ταλάντωση Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση του πλάτους Α της εξαναγκασμένης ταλάντωσης σε συνάρτηση με το ω της εφαρμοζόμενης εξωτερικά δύναμης, για b=0 και b 1 <b. Όλες οι καμπύλες ξεκινούν από το Fo Fo Fo k για 0: A για 4 m m b 0: A k 1 max Όταν η συχνότητα της εφαρμοζόμενης δύναμης είναι ίση με την F o A b=0 b 1 οπότε το πλάτος Α m γίνεται μέγιστο, έχουμε συντονισμό πλάτους F o k 0 b 1 ω ω 1 ω ο b >b 1 ω

27 Παραδείγματα συντονισμού 1. Αν το βάδισμα στρατιωτικού τμήματος πάνω σε γέφυρα γίνει με συχνότητα πλησίον της ιδιοσυχνότητας της γέφυρας μπορούν να δημιουργηθούν επικίνδυνα μεγάλες ταλαντώσεις.. Αν οι δονήσεις από τις μηχανές ενός αεροπλάνου μπορούσαν να έχουν συχνότητα πλησίον της ιδιοσυχνότητας των φτερών του θα αναπτύσσονταν επικίνδυνα μεγάλες ταλαντώσεις που θα μπορούσαν να οδηγήσουν ακόμα και σε αποκόλλησή τους. 3. Σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα RLC το ρόλο της απόσβεσης παίζει η αντίσταση R. Για την επιλογή ορισμένου ραδιοφωνικού σταθμού, ώστε να μην ακούγονται οι γειτονικοί του, απαιτείται οξύς συντονισμός κι επομένως μικρή R. 4. Στην μουσική αντίθετα δεν είναι επιθυμητό να χάνονται πληροφορίες από το σήμα που φτάνει στα ηχεία. Επομένως ο συντονισμός δεν πρέπει να είναι υπερβολικά οξύς οπότε η απαιτούμενη απόσβεση δεν πρέπει να είναι ιδιαίτερα χαμηλή.

28 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Φυσική Halliday-Resnick-Krane 4 η έκδοση Τόμος 1 Φυσική για επιστήμονες και μηχανικούς Serway: απόδοση στα ελληνικά Λεωνίδα Κ. Ρεσβάνη, τόμος I Μηχανική 3 η έκδοση Θεμελιώδης Πανεπιστημιακή Φυσική, Μηχανική και Θερμοδυναμική, Alonso/Finn η έκδοση Τόμος 1 Πανεπιστημιακή Φυσική, Μηχανική- Θερμοδυναμική, H. D. Young Τόμος Α Physics, Foundations and Applications" Robert M. Eisberg, Lawrence S. Lerner, combined volume, McGraw-Hill, Inc. Φυσική τόμος 1 Μηχανική, Berkeley

29 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Αικατερίνη Πομόνη. «Μηχανική- Ρευστομηχανική. Ενότητα 9». Έκδοση: 1.0. Πάτρα 015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

30 Τέλος Ενότητας