Κεφάλαιο 13. Περιοδική Κίνηση

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 13. Περιοδική Κίνηση"

Πιλάτος Κωνσταντίνος Γιάγκος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Κεφάλαιο 13 Περιοδική Κίνηση

2 Περιοδική Κίνηση Η ταλαντωτική κίνηση είναι σημαντική Είναι μια πάρα πολύ κοινή κίνηση. Βάση για κατανόηση της κυματικής κίνησης Κάθε σύστημα που βρίσκεται σε ευσταθή ισορροπία μετά από διαταραχή θα εμφανίσει ταλαντωτική κίνηση (π.χ. μια μπίλια στον πυθμένα ενός ημισφαιρικού δοχείου, ένα ατομικό ή μοριακό σύστημα, ένα κρυσταλλικό υλικό) Είναι η γέφυρα που θα μας οδηγήσει από την μηχανική των σωματιδίων στην φυσική της κυματικής κίνησης.

3 Περιγραφή ταλάντωσης Κινηματικές και δυναμικές ποσότητες x μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας F x δύναμη επαναφοράς F( x) = kx A το πλάτος, μέγιστη απόσταση από την ισορροπία T η περίοδος, χρόνος μια πλήρους ταλάντωσης f συχνότητα, αριθμός ταλαντώσεων στην μονάδα του χρόνου (Hz) ω γωνιακή συχνότητα, (rad/s)

4 Απλή Αρμονική Κίνηση Η περιοδική κίνηση είναι μια επαναλαμβανομένη κίνηση σε ένα χαρακτηριστικό χρόνο (π.χ. η κίνηση ενός πλανήτη ή του εκκρεμούς. Η ταλάντωση είναι ένας ειδικός τύπος περιοδικής κίνησης κατά την οποία το σύστημα κινείται απομακρυνόμενο και επανερχόμενο σε μια θέση ευσταθούς ισορροπίας. Απλή αρμονική, η δύναμη είναι ανάλογη της μετατόπισης. dυ F( x) = kx = = dt d x dt = kx, d x dt Εξίσωση απλής αρμονικής κίνησης

5 Λύση της εξίσωσης της απλής αρμονική κίνησης Η εξίσωση είναι ης τάξης και είναι εύκολο να φανταστούμε μια λύση της αφού υπάρχουν συναρτήσεις που η η παράγωγος τους είναι ο εαυτός τους, π.χ.: xt ( ) = Acos ωt και με αντικατάσταση: dx = Aω ωt = Aω ωt dt dt d x Aω = Aω cos ωt = kx x( t) = cosωt dt k d x sin cos και με αντικατάσταση: A k ω ω xt ( ) = cosωt= Acosωt = 1 ω =± k k

6 Λύση της εξίσωσης της απλής αρμονική κίνησης Η λύση της εξίσωσης μπορεί να είναι οποιαδήποτε «αρμονική» συνάρτηση γι αυτό αρμονική κίνηση. Σχέση κινηματικών ποσοτήτων και περιστρεφόμενων διανυσμάτων: x( t) = Acos t ( t) = A sin t a( t) = A cos t ω υ ω ω ω ω k ω 1 1, k π ω = f = =, T = = π π f ω k απλή αρμονική κίνηση

7 Ενέργεια στην απλή αρμονική κίνηση Στην ΑΑΚ οι δυνάμεις είναι διατηρητικές Μηχανική ενέργεια διατηρείται: E = υ x + kx = ka = σταθερή Μέγιστη μετατόπιση A υ Μέγιστη ταχύτητα x,ax k = A = ω A

8 Ενέργεια στην απλή αρμονική κίνηση Παράδειγμα: Λύση της ενεργειακής εξίσωσης dx E = Ek ( t) + E p( x) = υ + kx E = + kx dt 1 dx dx dx = E Ep ( x) dt dt ή 1 1 dt = = 1 E Ep ( x ) E kx dx dx dx = dt = dt = dt k 1 1 E E E kx k x x k k E k dx dx k παίρνει Θέτοντας : A = και ω = = dt = dt =ωdt 1 1 τη μορφή: k k E x A x k Η τελευταία με ολοκλήρωση δίνει: A dx 1 x x() t = dt = + A ω ω φ xt = A ωt+ φ 1 sin t ( ) sin( )

9 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Απλό εκκρεμές: Από την δυναμική, κινούσα δύναμη F = g sinθ θ Η δύναμη επαναφοράς είναι ~του sinθ, για μικρές αποκλίσεις sinθ ~ θ οπότε: x Fθ = g sinθ gθ = g = kx L g όπου k = L k g ω 1 1 ω =, f = g και T L, = L = π π π L = f = g μικρό πλάτος

10 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Φυσικό εκκρεμές: Στο σώμα ασκείται η ροπή z του βάρους ως προς το στήριγμα: iˆ ˆj kˆ τ = d g = d cosθ d sinθ 0 gd sinθkˆ = g 0 0 τ = gd sinθ gdθ z θ θ τ = I = ( ) θ = ( ) θ z d d gd gd dt dt I x y 1 1 ω = gd, f = gd και T = = π I, I π I f gd μικρό πλάτος Μέθοδος μέτρησης ροπής αδράνειας

11 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΛΗΣ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Γενικά: Δέσμιο σύστημα(π.χ. Πυρήνας, άτομο, ηλιακό, κ.τ.λ. βρίσκονται σε ευσταθή ισορροπία και η δυναμική ενέργεια θα έχει ελάχιστο. Θεωρούμε τη δυναμική ενέργεια του συστήματος U(r) (άγνωστη) και τη θέση ευσταθούς ισορροπίας r 0, τότε μπορούμε να προσεγγίσουμε τη συνάρτηση μέσω του αναπτύγματος Taylor: n d U n du d U n r= r r r r r 1 1 U( r) = ( r r ) = U( r ) + ( r r ) + r r n! dr dr dr n ( ) Ο πρώτος όρος ορίζεται αυθαίρετα, άρα τον λαμβάνουμε ως μηδέν. Ο δεύτερος όρος είναι μηδέν. Οπότε: Η δυναμική ενέργεια προσεγγίζεται με την ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή: 1 du 1 1 U() r = r r = k r r όπου k = dr du ( 0) ( 0) dr r r r r 0 0 Κάθε δυναμικό σε κατάσταση ευσταθούς ισορροπίας προσεγγίζεται από το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή. Μικρή διαταραχή από την θέση ισορροπίας οδηγεί σε απλή αρμονική κίνηση με k που δίνεται από την παραπάνω σχέση.

12 Παράδειγμα: Μοριακές ταλαντώσεις Διατομικό μόριο, τα άτομα απέχουν απόσταση r και, R0, η θέση ισορροπίας. Περιγραφή του δυναμικού με πολλές συναρτήσεις ένα πολύ γνωστό δυναμικό είναι το Lennard Jones: 1 6 R R du U = U k = = U r r dr R r R U0 7U0 Ueq = kr = r και F eq = kr = r R R 0 0

13 Αποσβενόμενες ταλαντώσεις Απόσβεση ταλάντωσης: Συνεχής ελάττωση του πλάτους λόγω τριβών. Τριβές για μικρές ταχύτητες F και οι x = bυ x δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα θα είναι: F = kx bυ ος Νόμος του Νεύτωνα και την κίνηση: d x = x kx bυ Λύση dt ( b/ π ) t x = Ae cos( ω t + φ) μικρή απόσβεση Η γωνιακή συχνότητα δίνεται από: Κρίσιμη απόσβεση: x x k ω = b 4 ω = 0 = k b 0 b 4 = k μικρή απόσβεση

14 Αποσβενόμενες ταλαντώσεις Σχέση παραμέτρων καθορίζει το είδος ταλάντωσης Διακρίνουμε 3 είδη: a) b < k υποκρίσιμη β) b = k κρίσιμη γ ) b > k υπερκρίσιμη Στην α) Υποαποσβενόμενη ταλάντωση. Το πλάτος μειώνεται εκθετικά. β) Δεν ταλαντώνεται, επανέρχεται στην αρχική θέση γ) Υπεραποσβενόμενη ταλάντωση, το σύστημα επιστρέφει στην αρχική θέση αργότερα από ότι στην κρίσιμη. Αμορτισέρ: Έλεγχος αναπηδήσεων, καλύτερη συνθήκη η κρίσιμη, επανέρχεται ταχύτερα. Συνήθως ρυθμίζονται για ελαφρά υπεραπόσβεση. Με τον καιρό b ελαττώνεται συνθήκη υπεραπόσβεσης, καθυστερεί η επαναφορά.

15 Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις και συντονισμός Ταλάντωση με σταθερό πλάτος απαιτεί εφαρμογή περιοδικής δύναμης με συγκεκριμένα χαρακτηριστικά. Εξίσωση κίνησης; d x + + υ x = ax cos dt kx b F ωdt x t = Acos ω t+ Δοκιμάζουμε λύση, Για το πλάτος της ταλάντωσης έχουμε: F A = ( k ω ) + b ax d ωd πλάτος εξαν. ταλαντωτή Μέγστο πλάτος: k k ωd = 0 ωd = ( ) ( ) d φ

16 Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις και συντονισμός Όταν η συχνότητα της εξαναγκάζουσας δύναμης γίνει ίση με την φυσική συχνότητα του συστήματος τότε έχουμε το φαινόμενο του συντονισμού. ω d = ω = k Μεγιστοποιείται το πλάτος της ταλάντωσης και γίνεται ανάλογο του 1/b. Μεγιστοποιείται η ενέργεια της ταλάντωσης. Άλλες φορές έχει καταστροφικά αποτελέσματα Π.χ. δες Γέφυρα Άλλες φορές επιθυμητά. Πχ. Συντονισμός Στους πομπούς Η/Μ Ακτινοβολίας.

17 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Βιβλίο Πανεπιστημιακή Φυσική Young 13.36, 13.40, 13.63, 13.81, 13,95, 13.96, 13.10

Σχετικά έγγραφα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά