ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA

Transcript

1 ΦΥΣ Διαλ.33 1 KYMATA q Κύµατα εµφανίζονται σε συστήµατα µε καταστάσεις ισορροπίας. Τα κύµατα είναι διαταραχές από τη θέση ισορροπίας. q Τα κύµατα προκαλούν κίνηση σε πολλά διαφορετικά σηµεία σε ένα διαταραγµένο σύστηµα Ø Η κίνηση είναι συζευγµένη και η έτσι µπορεί να διαδοθεί ενέργεια σε µια απόσταση αλλά όχι ύλη. q Απορροφώντας και ανακλώντας κύµατα τα όρια του συστήµατος έχουν µια πολύ σηµαντική επιρροή στην συµπεριφορά του συστήµατος q Ένα σύστηµα µπορεί να υποστηρίξει περισσότερες από µία διαταραχές την ίδια χρονική στιγµή. Αυτές µπορούν να περάσουν ενδιαµέσου των υπόλοιπων άλλων διαταραχών διατηρώντας την ταυτότητά τους

2 ΦΥΣ Διαλ.33 2 Κύµατα Ένας κυµατικός παλµός είναι µια διαταραχή πεπερασµένου µεγέθους χωρικά (αρχίζει σε ένα σηµείο x 1 και τελειώνει σε ένα σηµείο x 2 ενώ είναι µηδέν έξω απ αυτό) και ο οποίος οδεύει µέσω ενός συστήµατος χρόνος Ø Πηγή του κυµατικού αυτού παλµού είναι η κίνηση του χεριού. Ø Το σχοινί είναι το µέσο µέσω του οποίου διαδίδεται ο παλµός. Ø Ο παλµός έχει συγκεκριµένο ύψος και συγκεκριµένη ταχύτητα διάδοσης στο µέσο. Ø Συνεχή διέγερση του σχοινιού θα δηµιουργήσει µια περιοδική διαταραχή που θα δηµιουργήσει ένα κύµα

3 ΦΥΣ Διαλ.33 3 Είδη κυµάτων q Μηχανικά κύµατα Διαδίδονται σε κάποιο µέσο Ø εν αντιθέσει των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων τα οποία δεν χρειάζονται κάποιο µέσο (π.χ. φως, ραδιοφωνικά κύµατα, ακτίνες-x) q Ανάλογα µε τον τρόπο διάδοσης τα χαρακτηρίζουµε εγκάρσια (µέσο κινείται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης) ταλάντωση διεύθυνση διάδοσης διαµήκη Μέσο κινείται παρ/λα της διάδοσης Ένας ακόµα διαχωρισµός: Οδεύοντα Στάσιµα

4 Κύµατα ΦΥΣ Διαλ.33 4 Έστω ένα σχοινί και ένας παλµός να διαδίδεται διαµέσου του σχοινιού µε ταχύτητα v Μετά από χρόνο t o παλµός έχει κινηθεί κατά µια απόσταση vt Το σχήµα του παλµού δεν αλλάζει Η θέση του είναι y=f(x-vt) y(t)=f(x-vt) y(x,0)=f(x) Μορφή παλµού τη στιγµή t = 0 Μορφή παλµού τη στιγµή t Η συνάρτηση y(x) περιγράφει τη κατακόρυφη θέση ενός σηµείου του σχοινιού σε κάθε x τη στιγµή t=0

5 ΦΥΣ Διαλ.33 5 Συναρτησιακή µορφή κύµατος Ποια είναι η συναρτησιακή µορφή ενός «γενικού» κύµατος? y A x 0 v t=0 x Την χρονική στιγµή t=0 y(x 0 ) = A = f (x 0 ) y Αργότερα, τη χρονική στιγµή t=t 1, A x 1 t=t 1 y(x 1,t 1 ) = f (x 1 + vt 1 ) Κύµα που οδεύει αριστερά v x x 1 = x 0 + vt 1! y(x 1 ) = A Στην θέση x=x 1 και χρονική στιγµή t=t 1 η αποµάκρυνση είναι y(x 1 ) = A y(x 1,t 1 ) = A = y(x 0, t 0 ) = f (x 0 ) x 0 = x 1! vt 1! y(x 1,t 1 ) = f (x 1 " vt 1 ) y(x,t): ονοµάζεται κυµατοσυνάρτηση Κύµα που οδεύει δεξιά Η µορφή του κύµατος σε µια ορισµένη χρονική στιγµή

6 ΦΥΣ Διαλ.33 6 Κύµατα και απλός αρµονικός ταλαντωτής Από τον απλό αρµονικό ταλαντωτή t Σ αυτή την περίπτωση θέλουµε y(t) και y(x) y λ x σε χρόνο t λ-µήκος κύµατος: η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών κορυφών y Τ t σε θέση x Τ-περίοδος: το χρονικό διάστηµα µεταξύ δύο διαδοχικών κορυφών

7 ΦΥΣ Διαλ.33 7 Μορφή κυµάτων Εν γένει τα κύµατα δεν είναι ηµιτονοειδούς µορφής y λ Συχνότητα κύµατος: Τ x αριθµός των παλµών που περνούν από ένα ορισµένο σηµείο σε 1 sec: f=1/t t Οποιαδήποτε µορφή µπορεί να αναλυθεί σε επιµέρους ηµιτονοειδείς ή συνηµιτονοειδείς συνιστώσες

8 ΦΥΣ Διαλ.33 8 Ταχύτητα κύµατος Ένα κύµα διανύει απόσταση λ µε ταχύτητα v σε χρόνο t=λ/v Εποµένως: λ T =! v = 1 f " v =! f Για παράδειγµα: µια χορδή κιθάρας λ/2 f=440hz, λ=1.2m. H ταχύτητα του κύµατος είναι v=λf=530m/s! H ταχύτητα ενός εγκάρσιου κύµατος σε χορδή εξαρτάται από την τάση και την πυκνότητα µάζας της χορδής v = T µ Εξάρτηση από πυκνότητα κατανοητή αδρανειακή µάζα Η ταχύτητα αυξάνει για ίδια λ, f αυξάνοντας την τάση

9 ΦΥΣ Διαλ.33 9 Αρµονικά κύµατα Θεωρούµε την ιδιαίτερη περίπτωση που τα κύµατα είναι αρµονικά: y λ Προσθέτουµε τώρα χρονική εξάρτηση: $ y(x,t) = Asin 2! % & " x v=λ/τ )# 2! &, y(x) = Asin + $ % " ' ( x. * - Η εξίσωση είναι περιοδική σε x n=2 sin2πn = 0 Όταν x x+λ, t t + T επαναλαμβάνετε Όταν x=nλ τότε sin[(2π/λ)nλ]=sin2πn n=0 sin2πn = 0 n=1 sin2πn = 0 x # vt ' * $ y(x,t) = Asin, 2! x " # t % & ( ) * + T ( ) Ακριβής έκφραση της περιοδικότητας και σε x και σε t. ' ( ) - /.

10 ΦΥΣ Διαλ Αρμονικά κύματα Ορίζουµε ως κυµατικό αριθµό: k = 2! " Ορίζουµε ως κυµατική συχνότητα:! = 2" f και ταχύτητα κύµατος: v =! k v =! f = 2" k # 2" = # k Εποµένως η κυµατοσυνάρτηση: y(x,t) = Asin( kx! "t) Όλα τα παραπάνω αντιστοιχούν σε αρµονικό κύµα διαδιδόµενο στα δεξιά Οι περισσότερες γενικές περιγραφές ενός κύµατος θα περιέχουν και φάση που προκύπτει γιατί για t=0, x 0 Γενική εξίσωση κυµατοσυνάρτησης y(x,t) = Asin( kx! "t + # 0 )

11 ΦΥΣ Διαλ Ταχύτητα και επιτάχυνση Ποια είναι η ταχύτητα και επιτάχυνση κάθε σηµείου της χορδής? v y = dy dt!"#$µ%&! x = 'y ( x,t ) 't = ()*cos( kx ( )t) v y έχει διαφορετική φάση από το y a y =!v y!t ( x,t) = "# 2 $sin( kx " #t) = "# 2 y v y max =!" #$%& y = 0 a y max =! 2 " #$%& y = 'A

12 ΦΥΣ Διαλ Γραµµική Κυµατική Εξίσωση q Όλα τα µονοδιάστατα κλασσικά κύµατα που διαδίδονται µε σταθερή ταχύτητα ικανοποιούν µια και µόνο εξίσωση που ονοµάζεται κλασσική κυµατική εξίσωση q Είδαµε ότι 1-D κύµατα που διαδίδονται µε σταθερή ταχύτητα προς τα δεξιά (αυξανόµενο x) περιγράφονται από την κυµατοσυνάρτηση Ψ(x-vt) (συνάρτηση 2 µεταβλητών: x και t) q Στην περίπτωση αυτή µπορούµε να πάρουµε τις παραγώγους της Ψ και ως προς τις δύο µεταβλητές. Aλλά όταν παίρνουµε τη παράγωγο ως προς τη µια µεταβλητή, η άλλη κρατείται σταθερή Αυτές οι παράγωγοι καλούνται µερικές παράγωγοι d Γράφουµε τη µερική παράγωγο ως: dx! " "x Έτσι για τη µερική παράγωγο της Ψ ως προς x γράφουµε!"!x όπου χρησιµοποιούµε το t σα σταθερό. Ανάλογα έχουµε τη µερική παράγωγο του Ψ ως προς t, θεωρώντας το t σταθερό

13 ΦΥΣ Διαλ Γραµµική Κυµατική Εξίσωση Για κύµα που κινείται δεξιά, έχουµε Ορίζουµε µια νέα µεταβλητή!(x " vt) u = x! vt H µερική παράγωγος της Ψ ως προς x γράφεται: H δεύτερη µερική παράγωγος της Ψ ως προς x γράφεται: 1! 2 "!x = )! 2 + *!u # $ %!"!x & ' (,.!u -!x =!2 "!u 2 (β) Εφαρµόζοντας τα παραπάνω ως προς t έχουµε:!"!x =!"!u!"!t =!"!u!u!x!u!t 1 -v (α) (γ) Από (α) και (γ) θα µπορούσαµε να πούµε ότι!"!t = #v!"!x Αυτό θα ήταν αρκετό αλλά δυστυχώς έχουµε διαφορετική εξίσωση αν πάρουµε κύµατα που κινούνται αριστερά : Ψ(x+vt) Εποµένως συνεχίζουµε µε την δεύτερη µερική παράγωγο:

14 ΦΥΣ Διαλ Γραμμική Κυματική Εξίσωση Παίρνοντας τη δεύτερη µερική παράγωγο της Ψ ως προς t έχουµε:! 2 " ) =!!t 2 + *!u # $ %!"!t & ' (,.!u -!t = ) +! *!u Χρησιµοποιώντας την (β) έχουµε: # $ % /v!"!u! 2 "!t 2 = v 2! 2 "!x 2 #!2 "!x 2 $ 1 v 2! 2 "!t 2 = 0 & ' (,. - /v ( ) = v2! 2 "!u 2 Κλασσική κυµατική εξίσωση για 1-D κύµατα Κύµατα στην κβαντοµηχανική δεν ικανοποιούν την εξίσωση αυτή αλλά µια άλλη κυµατική εξίσωση που ονοµάζεται εξίσωση Schrödinger

15 ΦΥΣ Διαλ KYMATA Ανάκλαση - Μετάδοση q Παλµός πάνω σε χορδή: Ένα άκρο της σταθερό (δεµένο) Προσπίπτων Ο παλµός ασκεί µια δύναµη προς τα πάνω στον τοίχο ο οποίος ασκεί µια δύναµη προς τα κάτω στην χορδή Αποτέλεσµα: O παλµός αναστρέφεται Ανακλώμενος q Παλµός πάνω σε χορδή: Το άκρο της δεν είναι σταθερό (π.χ. αβαρής θηλιά) Προσπίπτων Φανταστείτε µια θηλιά σε ένα στύλο να µπορεί να ανεβοκατεβαίνει ελεύθερα. Ανακλώμενος Αποτέλεσµα: O παλµός δεν αναστρέφεται

16 ΦΥΣ Διαλ Κύµατα - Υπέρθεση σταθερό άκρο ελεύθερο άκρο Για να καταλάβουµε την ανάκλαση και µετάδοση, εισάγουµε την έννοια της υπέρθεσης των κυµάτων Παράδειγµα: Δύο ηµιτονοειδή κύµατα οδεύουν κατά την ίδια διεύθυνση αλλά µε διαφορετική φάση y 1 (x,t) = Asin kx! "t ( ) ( ) y 2 (x,t) = Asin kx! "t! # Ποια είναι η υπέρθεση των κυµάτων: y = y 1 + y 2 ( ) + sin( kx! " t! #) y(x,t) = A $% sin kx! " t &' / ) sin( + sinb = 2 cos a! b, ) * sin a + b 1, 0 * Υπέρθεση: y(x,t) = 2Acos! 2 sin $ kx " #t "! ' % & 2 ( ) a = kx! "t, b = kx! "t! # a + b = 2(kx! "t)! # a! b = " Αρµονικό πλάτος " 2Acos! % # $ 2 & '

17 ΦΥΣ Διαλ Υπέρθεση Συµβολή Συµβολή: y(x,t) = 2Acos! 2 sin $ kx " #t "! ' % & 2 ( ) q Ανάλογα µε τη τιµή της διαφοράς φάσης, φ, µπορούµε να έχουµε ενισχυτική ή καταστροφική συµβολή q Αν! = ", 3",!,( 2n + 1)" # 2Acos! 2 = 0 καταστροφική! = 0, 2",!,2n" # 2Acos! 2 = ±2A ενισχυτική! = 0, 2",!,2n" # 2Acos! 2 = ±2A! = ", 3",!,( 2n + 1)" # 2Acos! 2 = 0

18 ΦΥΣ Διαλ Υπέρθεση κυµάτων Ø To Τρικ της φυσικής: Όλες οι λύσεις σ αυτά τα προβλήµατα είναι υπερθέσεις των λύσεων (αρχή υπέρθεσης) Θεωρήστε µια λύση στο ακόλουθο πρόβληµα είναι η: σταθερό άκρο y y(x,t) = f (x + vt) + g(x! vt) x = 0 x Όλοι ξέρουµε ότι στη θέση x=0, y(0,t) = 0 Άρα y(0,t) = 0 Συνοριακές συνθήκες y(0,t) = f (vt) + g(!vt) = 0 " f είναι το ανάστροφο της g πραγµατικός κόσµος σταθερό άκρο x φανταστικός κόσµος διαδίδονται σε αντίθετες κατευθύνσεις και ανάστροφα To τρικ είναι να χρησιµοποιηθούν δύο παλµοί, ένας πραγµατικός και ένας φανταστικός που να ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες

19 ΦΥΣ Διαλ Ανάκλαση σε ελεύθερο άκρο Η συνοριακή συνθήκη στην περίπτωση αυτή είναι: F y = 0!"# x = 0 Από τη στιγµή που τη θηλιά έχει θεωρηθεί αµελητέας µάζας, m=0 F y =!F sin" # F tan" =!$ %y %x θ Εποµένως:!" #y #x x=0 = 0 Για ελεύθερο άκρο Aν η λύση είναι της µορφής: y(x,t) = f (x + vt) + g(x! vt) Τ F F y x = 0 τότε οι κλίσεις είναι ίσες και αντίθετες στο x=0!f (x + vt)!x x=0 +!g(x " vt)!x x=0 = 0

20 ΦΥΣ Διαλ Μερική µετάδοση Όταν το όριο είναι ενδιάµεσο των δύο προηγούµενων καταστάσεων τότε ένα µέρος του παλµού µεταδίδεται στο επόµενο µέσο ενώ ένα τµήµα του παλµού ανακλάται Στην περίπτωση αυτή ένα µέρος της ενέργειας περνά το όριο. Ανακλώμενος Προσπίπτων Μεταδιδόμενος Αν υποθέσουµε ότι έχουµε ένα βαρύτερο σχοινί είναι συνδεδεµένο σε ελαφρύτερο τότε το ανακλώµενο τµήµα δεν αναστρέφεται Ανακλώμενος Προσπίπτων Μεταδιδόμενος

21 ΦΥΣ Διαλ Μερική µετάδοση Προσπίπτων Μεταδιδόμενος y i = A i cos( k i x! " i t) y r = A r cos( k r x +! r t) y T = A T cos( k T x! " T t) Ανακλώμενος Προσπίπτον κύµα κινείται δεξιά Ανακλώµενο κύµα κινείται αριστερά Διαδιδόµενο κύµα κινείται δεξιά Δεξί τέλος αριστερού σχοινιού y j = y i 0,t Αριστερό τέλος δεξιού σχοινιού y j = y T 0,t A i cos (!" i t) + A r cos (" r t) = A T cos (!" T t) ( ) + y r ( 0,t) ( )! i =! r =! T =! A i! A r = A T

22 ΦΥΣ Διαλ Μερική µετάδοση Προσπίπτων Ανακλώμενος Μεταδιδόμενος Δεξί τέλος αριστερού σχοινιού!y j!x =!y i!x +!y r!x Αριστερό τέλος δεξιού σχοινιού!y j!x =!y T!x!k i A i sin (!"t )! k i A r sin ("t) =!k T A T sin (!"t )!k i A i! k i A r =!k T A T A i! A r = A T A T = 2k i k i + k T A i A r = k i! k T k i + k T A i

23 ΦΥΣ Διαλ o Mini Exam Έτοιμοι?