ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. D = mω 2

Transcript

1 ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Φυσική Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ (Το τυπολόγιο αυτό δεν αντικαθιστά το βιβλίο. Συγκεντρώνει απλώς τις ουσιώδεις σχέσεις του βιβλίου και επεκτείνεται σε κάποιες άλλες που θεωρεί χρήσιμες). Γραμμική αρμονική ταλάντωση (α.τ.) είναι η γραμμική ταλάντωση που η δύναμη επαναφοράς είναι ανάλογη της απομάκρυνσης από την θέση ισορροπίας F = - Dx () Το D είναι η σταθερά επαναφοράς. Ισχύει γενικά D = ω 2 (2α) όπου η μάζα του ταλαντωτή και ω η γωνιακή συχνότητά του. Αν ο ταλαντωτής είναι ελατήριο με σκληρότητα στο οποίο είναι συνδεδεμένο μάζα η σταθερά επαναφοράς είναι D = (2β) ή = ω 2 (2γ). Σχέσεις x, υ, a. Η απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας στην α.τ. είναι x = Aημ(ωt+φ) (3) Η στιγμιαία ταχύτητα υ = ωασυν(ωt+φ) (4α) με μέγιστη ταχύτητα υ ax = ωα (4β) Η επιτάχυνση a = -ω 2 Α ημ(ωt+φ) (5α) με μέγιστη επιτάχυνση a ax = ω 2 Α (5β) Το Α είναι η μέγιστη απομάκρυνση από την θέση ισορροπίας το πλάτος της ταλάντωσης. Το ω είναι η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης με μονάδα rad/s. To (ωt+φ) ονομάζεται φάση της ταλάντωσης και εκφράζεται σε rad. Η γωνία φ είναι η αρχική φάση της ταλάντωσης. Δηλ. για t=0 x=x 0, υ=υ 0, a=a 0 όπου ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ

2 x 0 = Aημφ (6) υ 0 = ωασυνφ (7) a 0 = -ω 2 Α ημφ (8) Οι (3), (4α), (5α) μπορούν να γραφούν και ως x = Aημ(ωt+φ) (3) υ = ωαημ(ωt+φ+ π 2 ) a = ω 2 Α ημ(ωt+φ+π) (4α) (5α) Επομένως η υ προηγείται του x κατά π/2 και η a της υ κατά π/2. 2. Περίοδος Τ, γωνιακή συχνότητα ω. Η περίοδος της α.τ. είναι Τ = 2π D (9α) ή για ελατήριο Τ = 2π (9β) Ισχύουν προφανώς οι γνωστές σχέσεις f=/t και ω=2π/τ Αρα ω = D (0α) ή για ελατήριο ω = ή ω2 = (0β) 3. Προσδιορισμός αρχικής φάσης Για την αρχική φάση ημφ = x 0 Α () Για την αρχική φάση επίσης από την (7) και την (8) εφφ = ωx 0 υ 0 (2) Προσοχή! Στις () και (2) τα x 0 και υ 0 να αντικαθιστώνται με τις αλγεβρικές τους τιμές! Για τον πλήρη προσδιορισμό της γωνίας είναι απαραίτητη και η γνώση της φοράς της ταχύτητας. Σε αυτό βοηθάει και η χρήση του κύκλου αναφοράς. Θεωρώ σώμα Β που κάνει ομαλή κυκλική κίνηση με γωνιακή ταχύτητα ω. Η προβολή του Γ πάνω στον κατακόρυφο άξονα κάνει α.τ. με ακραίες θέσεις τις Ρ και Ρ, θέση ισορροπίας την Ο και με γωνιακή συχνότητα ω. ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 2 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ

3 x (c), υ(c/s), a(c/s^2) ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤ. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Οταν ωt=φ τότε υ=υ 0 και ΟΓ=x 0. Γνωρίζοντας επομένως αν τα x 0 και υ 0 είναι αρνητικά ή θετικά μπορώ να προσδιορίσω σε ποιο τεταρτημόριο ακριβώς βρίσκεται το Β και επομένως που βρίσκεται το φ. + P υ Γ Β ωt - O + P Σχήμα. Συσχετισμός ομαλής κυκλικής κίνησης με αρμονική ταλάντωση Ο κύκλος αναφοράς είναι πολύ χρήσιμο εργαλείο για να προσδιορίζουμε χρονικές στιγμές ή διάρκειες κινήσεων ανάμεσα σε συγκεκριμένες θέσεις στην Γ.Α.Τ - 4. Γραφικές παραστάσεις x, υ, a. x-t, υ-t, a-t x υ a ,0000 0,0625 0,250 0,875 0,2500 0,325 0,3750 0,4375 0,5000 0,5625 0,6250 0,6875 0,7500 0,825 0,8750 0,9375, Χρόνος (σε κλάσμα της περιόδου Τ) Σχήμα 2. Γραφικές παραστάσεις x, υ, a σε α.τ. με πλάτος Α=3 c. Ο χρόνος δίνεται ως κλάσμα της περιόδου Τ. 5. Ενέργεια στην γ.α.τ. Η κινητική ενέργεια στην α.τ. (χωρίς αρχική φάση) είναι K = 2 υ2 = 2 ω2 Α 2 συν 2 ωt = 2 DΑ2 συν 2 ωt (3) ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 3 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ

4 Ενέργεια (Joule) Ενέργεια (Joule) ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤ. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ και η δυναμική U = 2 Dx2 = 2 DΑ2 ημ 2 ωt = 2 DΑ2 ημ 2 ωt (4) όπου το x μετράται από την θέση ισορροπίας. Αν το σύστημα περιέχει ελατήριο που κάνει α.α.τ. (δηλ. ισχύει ΣF = -Dx) το x μετράται από την θέση ισορροπίας ακόμη και αν το ελατήριο είναι πλάγιο ή κατακόρυφο. 0,0025 E-t, K-t, U-t K U E 0,002 0,005 0,00 0, , 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Χρόνος σε κλάσμα της περιόδου Τ Σχήμα 3. Γραφικές παραστάσεις K, U, E ως συνάρτηση του χρόνου σε α.τ. με πλάτος Α=3 c, D=5 N/ E-x, U-x, K-x K U E 0,0025 0,002 0,005 0,00 0, ,0005 Απομάκρυνση x (c) Σχήμα 4. Γραφικές παραστάσεις K, U, E ως συνάρτηση της απομάκρυνσης σε α.τ. με πλάτος Α=3 c, D=5 N/ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 4 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ

5 Η συνολική (μηχανική) ενέργεια είναι Ε = K + U = 2 υ2 + 2 Dx2 = 2 DΑ2 (5) Εφ όσον η δύναμη του ταλαντωτή είναι συντηρητική δύναμη η μηχανική ενέργεια του ταλαντωτή Ε διατηρείται. 6. Εργο δύναμης ελατηρίου Αν οι δυνάμεις δεν είναι συντηρητικές (π.χ. υπάρχει τριβή) δεν μπορώ να χρησιμοποιήσω την Α.Δ.Ε. για την επίλυση του προβλήματος. Πρέπει να χρησιμοποιήσω το Θεώρημα Εργου Ενέργειας (ή ΘΜΚΕ Θεώρημα μεταβολής της κινητικής ενέργειας). Υπενθυμίζουμε λοιπόν ότι το έργο της δύναμης του ελατηρίου F ελ για μια μετατόπιση από μια θέση x σε μία θέση x 2 είναι W Fελ ( 2) = 2 x 2-2 x 2 2 (6) όπου τα x και x 2 τα μετράμε από το ελεύθερο άκρο του ελατηρίου (θέση φυσικού μήκους). Προσοχή! Αν το ελατήριο είναι κατακόρυφο ή πλάγιο η θέση φυσικού μήκους και η Θέση Ισορροπίας δεν συμπίπτουν! Αρα το x στην (5) είναι διαφορετικό από το x στην (6). 7. Συσχέτιση υ - x Από την (5) προκύπτει η σχέση υ = D (A2 - x 2 ) (7α) ή υ = (A2 - x 2 ) (7β) ή υ = ω (A 2 - x 2 ) (7γ) Από την (5) χρησιμοποιώντας την (2α) και την (4β) προκύπτει η σχέση x = D 2 (υ ax - υ 2 ) (8α) ή x = 2 (υ ax - υ 2 ) (8β) ή x = ω 2 (υ ax - υ 2 ) (8γ) ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 5 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ

6 8. Υπολογισμός Κ/U Αντικαθιστώντας στην σχέση της κινητικής ενέργειας την (7γ) και στην σχέση της δυναμικής ενέργειας την D=ω 2 προκύπτει K U = (A x )2 (8) 8. Ηλεκτρικές ταλαντώσεις Κύκλωμα περιλαμβάνει πυκνωτή χωρητικότητας C και ιδανικό πηνίο L (πηνίο χωρίς ωμική αντίσταση). Αν ο πυκνωτής είναι φορτισμένος με φορτίο Q και για t=0 κλείσει ο διακόπτης ο πυκνωτής εκφορτίζεται δια μέσου του πηνίου, κατόπιν το πηνίο λόγω του φαινομένου της αυτεπαγωγής φορτίζει αντίθετα από πριν τον πυκνωτή, στην συνέχεια αυτός εκφορτίζεται και πάλι για να φορτιστεί τελικά όμοια όπως πρώτα. Για την ταλάντωση αυτή : Η στιγμιαία τιμή του φορτίου q είναι q = Qσυνωt (9) Η στιγμιαία τιμή του ρεύματος i = -ωqημωt (20α) όπου η μέγιστη τιμή του ρεύματος Ι = ωq (20β) Επίσης ω = LC (2) Αν για t=0 το φορτίο δεν έχει την μέγιστή του τιμή Q τότε q = Qσυν(ωt+φ) (22) και i = ωqημ(ωt+φ) (23) Ο πυκνωτής φορτίζεται αν η απόλυτη τιμή του φορτίου αυξάνεται ή αλλιώς αν το φορτίο και ο ρυθμός μεταβολής του φορτίου (δηλ. η ένταση του ρεύματος) είναι ομόσημα. 9. Ενέργεια στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις Για κάθε t η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου είναι U E = 2 q 2 C (24) και του μαγνητικού U Β = 2 Li2 (25) ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 6 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ

7 Οι μέγιστες τιμές είναι U E = 2 Q 2 C (26) καί U B = 2 LΙ2 (27) Επειδή Ε = U E + U Β = 2 λόγω των (9) έως(2) Ε = 2 Δηλ. η συνολική ενέργεια παραμένει σταθερή. 0. Συσχέτιση q - i Χρησιμοποιώντας την (28) και την (29) q 2 C + 2 Li2 (28) Q 2 C = 2 LΙ2 (29) i = LC (Q 2 - q 2 ) = ω (Q 2 - q 2 ) (30) καί q = LC (I 2 - i 2 ) = ω (I2 - i 2 ) (3). Συσχέτιση μηχανικής και ηλεκτρικής ταλάντωσης. Μάζα ελατήριο Κύκλωμα με Πηνίο Πυκνωτή Κινητική ενέργεια: 2 υ2 Μαγνητική ενέργεια 2 Li2 Δυναμική ενέργεια: 2 Dx2 Ηλεκτρική ενέργεια 2 2 υ2 + 2 x2 = 2 A2 2 Li2 + q 2 2 C = Q 2 2 C q 2 C υ = (A2 - x 2 ) i = LC (Q 2 - q 2 ) D = D = C ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 7 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ

8 Τ = 2π L Τ = 2π LC ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 8 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ

9 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 2. Φθίνουσες ταλαντώσεις. Α. Μηχανικές Αν στον ταλαντωτή επιδρά δύναμη που αντιτίθεται στην κίνηση το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται ως συνάρτηση του χρόνου. Η ενέργεια του ταλαντωτή μειώνεται επίσης και οι απώλειες της ενεργείας ισούνται με την θερμική ενέργεια που απελευθερώνει ο ταλαντωτής στο περιβάλλον. Εστω ότι η αντιτιθέμενη δύναμη είναι ανάλογη με την στιγμιαία ταχύτητα του ταλαντωτή και αντίθετης κατεύθυνσης από αυτήν F = -bυ (32) όπου b η σταθερά απόσβεσης που έχει μονάδες [b] = N.s = g s (33) Τότε ΣF = -Dx bυ ή α+dx +bυ = 0 (34) Προφανώς η δύναμη αυτή δεν είναι συντηρητική. Η μείωση της ενέργειας του ταλαντωτή αποδίδεται μέσω των τριβών ως θερμική ενέργεια στο περιβάλλον. Β. Ηλεκτρικές Φθίνουσες ηλεκτρικές ταλαντώσεις έχουμε όταν το πηνίο στο κύκλωμα LC δεν είναι ιδανικό και έχει αντίσταση R. Τότε η μείωση της ενέργειας της ταλάντωσης αποδίδεται ως θερμική ενέργεια στην αντίσταση. 3. Φθίνουσες ταλαντώσεις. Α. Μηχανικές - Πλάτος και απομάκρυνση Αν η σταθερά b είναι μικρή τότε ισχύει για το πλάτος Α την χρονική στιγμή t A(t) = A 0 e -Λt (35) όπου Λ είναι ένας συντελεστής που εξαρτάται από την σταθερά απόσβεσης b. Η εξίσωση αυτή ισχύει αν για t=0 ο ταλαντωτής είναι στην θέση της μέγιστης απομάκρυνσης A 0. Εφ όσον μιλάμε για πλάτος οι τιμές του χρόνου μπορούν να παίρνουν τιμές που είναι ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου. Δηλ. t = T ακέραιος θετικός (36) Η εξίσωση x(t) = A 0 e -Λt (37) ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 9 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ

10 x (c) ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤ. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ αποτελεί μία περιβάλλουσα καμπύλη της μετατόπισης (βλ. σχ. 5) και σε αυτήν ο χρόνος μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. Όμως στην (35) που αναφέρεται σε πλάτος ο χρόνος πρέπει να παίρνει ακέραια πολλαπλάσια της περιόδου. Θα πρέπει να τονιστεί ότι η περίοδος της ταλάντωσης με απόσβεση είναι μεγαλύτερη από την περίοδο της αμείωτης ταλάντωσης. Η περίοδος αυξάνει όσο αυξάνει το b όμως στα πλαίσια του σχολικού βιβλίου η περίοδος θεωρείται αμετάβλητη. Προφανώς Α 0 Α = Α Α 2 = Α 2 Α 3 =..= e +ΛΤ (38) 3 Ταλάντωση με απόσβεση 2 Aoexp(-b/2) t t (s) Σχήμα 5. Γραφική παράσταση απομάκρυνσης χρόνου σε φθίνουσα ταλάντωση με αρχικό πλάτος Α=3 c, b=0,5 g/s, =,3 g. Υπάρχει και η περιβάλλουσα καμπύλη. [ Συγκεκριμένα για ταλάντωση ελατηρίου με μάζα Λ = b 2 (39) Η απομάκρυνση x είναι x = A 0 e -(b/2)t συνω t (40) Τα κομμάτια μέσα στις αγκύλες [ ] είναι εκτός ύλης. ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 0 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ

11 x (c) ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤ. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ όπου ω = ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - b2 4 2 (4) Δηλ. η φθίνουσα ταλάντωση έχει διαφορετική συχνότητα από την αμείωτη ταλάντωση! ] Σε περίπτωση που η τιμή του b είναι πολύ μεγάλη ο ταλαντωτής επιστρέφει στην θέση ισορροπίας χωρίς να ταλαντωθεί. Μια τέτοια κίνηση λέγεται απεριοδική. 3 2,5 2,5 0,5 0-0,5 Απεριοδική κίνηση 0 0,5,5 t (s) 2 Σχήμα 6. Γραφική παράσταση απομάκρυνσης χρόνου σε απεριοδική κίνηση. Αρχικό πλάτος Α=3 c, b=20 g/s, =,3 g. Β. Ηλεκτρικές Ενταση ρεύματος Αν η αντίσταση R είναι μικρή ισχύει Ι(t) = Ι 0 e -Λt (42) Σε αυτό τον τύπο ταλάντωσης όσο μεγαλώνει η R τόσο μεγαλώνει η περίοδος. [ Για την ηλεκτρική ταλάντωση Λ = R 2L (43) ] ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ

12 K - U - E (J) ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤ. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 4. Η ενέργεια στις φθίνουσες ταλαντώσεις. Η ολική ενέργεια σε φθίνουσα ταλάντωση με μικρή τιμή b μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο. Συγκεκριμένα E(t) = E 0 e -2Λt (44) Το ποσοστό μεταβολής της ολικής ενέργειας σε φθίνουσα ταλάντωση ανά καθορισμένα χρονικά διαστήματα είναι σταθερό, όπως φαίνεται και από την (44). Π.χ. για καθορισμένο χρόνο t το % ποσοστό της μεταβολής είναι Το ποσοστό αυτό είναι προφανές αρνητικό. 00(e -2Λt - ) (45) Ο ρυθμός μεταβολής της ενέργειας όμως δεν είναι σταθερός! [ Συγκεκριμένα όπου υ η στιγμιαία ταχύτητα.] de dt = - bυ 2 (46) 0,006 0,005 0,004 Ενέργεια σε φθίνουσα ταλάντωση 0,003 0,002 Κ U E 0, t(s) Σχήμα 7. Γραφική παράσταση κινητικής, δυναμικής, ολικής ενέργειας ως συνάρτηση του χρόνου σε φθίνουσα ταλάντωση. Αρχικό πλάτος Α=3 c, b=0,5 g/s, =,3 g. ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 2 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ

13 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 5. Χρήσιμες σχέσεις για τους νεπέρειους λογαρίθμους. Αν y = e x (47) τότε lny = x (48) Αρα ln e = (49) ln = 0 (50) ln (a.b) = lna + lnb (5) ln( a b ) = lna lnb (52) lna = lna (53) ln a = lna / = lna (54) Ισχύει e x = + x + x2 2! + x3 3! +.. (55) ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Σελ. 3 Χ.ΦΑΝΙΔΗΣ