Στροφορμή. Μερικές όψεις. Ένα φυλλάδιο θεωρίας και µερικών εφαρµογών. L r. O r. r O L r υ r υ. κάτοψη (1) υ r. 1

Transcript

1 Στροφορμή. Μερικές όψεις Ένα φυλλδιο ερίας και µερικών εφαρµογών. Με βση το σχολικό µας βιβλίο, ορίζουµε τη στροφορµή ενός υλικού σηµείου το οποίο εκτελεί κυκλική κίνηση κέντρου Ο, το δινυσµα το οποίο είναι κετο στο επίπεδο της κυκλικής τροχις, στο κέντρο Ο και έχει µέτρο =mυ, ενώ η φορ της προσδιορίζεται µε τον κανόνα του δεξιού χεριού. υ Αλλ η παραπν τοποέτηση, αφήνει στο µυαλό του µαητή την αντίληψη ότι για έχει ένα υλικό σηµείο στροφορµή, α πρέπει να εκτελεί κυκλική κίνηση, πργµα που προφανώς δεν είναι σστό. Αρκεί να δούµε την περίπτση του παρακτ σχήµατος: υ υ υ κτοψη Το υλικό σηµείο µζας m διαγρφει την οριζόντια κυκλική τροχι του σχήµατος και τη στιγµή που διέρχεται από το σηµείο Α, το νήµα κόβεται. Τι α κνει; Προφανώς α κινηεί ευύγραµµα. Πόση είναι η στροφορµή του ς προς το σηµείο Ο, ελχιστα κοπεί το νήµα και πόση αµέσς µετ; Πόση είναι η στροφορµή του ς προς το σηµείο Ο, τη στιγµή που περν από το σηµείο Β; Ασκήηκε κποια ροπή στο σώµα που του λλαξε τη στροφορµή στη έση Α; Προφανώς όχι. Οπότε αν, κοπεί το νήµα το υλικό σηµείο έχει στροφορµή ς προς το σηµείο Ο, κετη στο επίπεδο του σχήµατος µε φορ προς τον αναγνώστη και µέτρο =mυ, τότε και µετ το κόψιµο του νήµατος και στη έση Β, α έχει την ίδια στροφορµή. Αλλ τότε α ήταν πολύ προτιµότερο, να ορίζαµε τη στροφορµή υλικού ση- µείου ς προς σηµείο Ο, µε βση το διπλανό σχήµα, ς το δινυσµα το κετο στο επίπεδο που ορίζουν το σηµείο Ο και ο φορέας της ταχύτητας (ευεία ε) και η απόσταση του Ο από την (ε). Αλλ πέρα από ορισµούς και συµβσεις, ας εξετσουµε και δυο περιπτώσεις για δούµε πόσο κατανοούµε την αναγκαιότητα «ανοίγµατος» του ορισµού του βιβλίου µας. Στο παρακτ σχήµα το υλικό σηµείο () εκτελεί κυκλική κίνηση κέντρου Ο, ενώ το () κινείται ευύγραµ- µα από τη έση Α µέχρι τη έση Β. () ( ) υ υ (ε ) υ

2 Για έναν παρατηρητή στο Ο και τα δυο υλικ σηµεία στρέφονται γύρ από το Ο, αφού α πρέπει να «στρίψει» το πρόσπό του, για να παρακολουήσει, τόσο την µετακίνηση του κινητού () όσο και του κινητού (). Αλλ ας έρουµε τώρα σε µια ρβδο (ένα στερεό) που εκτελεί µεταφορική κίνηση, κινούµενο ευύγραµµα όπς στο σχήµα. υ υ d υ υ Για ένα παρατηρητή που βρίσκεται στο σηµείο Ο «βλέπει» τη ρβδο να «στρέφεται» κατ γνία παρότι αυτή δεν αλλζει προσανατολισµό, οπότε υπολογίζει στροφορµή οφειλόµενη στη µεταφορική κίνηση µε µέτρο ο =Μυ d. Αντίετα για έναν παρατηρητή Κ στον φορέα της ταχύτητας, δεν υπρχει καµι «στροφή» συνεπώς η στροφορµή είναι µηδενική. Περίεργο να έχουµε στροφορµή για τον ένα παρατηρητή και όχι για τον λλον; Όχι βέβαια, ας µην ξεχνµε ότι το πρώτο χαρακτηριστικό κε κίνησης συνδέεται µε το σύστηµα αναφορς µας. Απλ αξίζει να τονισεί ότι η στροφορµή αυτή εξαρτται από το σηµείο ς προς το οποίο υπολογίζεται ενώ η ρβδος αντιµετπίζεται ς υλικό σηµείο. ) Και η στροφορµή κατ τον ξονα; Παραπν ορίσαµε τη στροφορµή ενός υλικού σηµείου ς προς το σηµείο Ο. ηλαδή ορίζουµε τη στροφορµή ς προς σηµείο και όχι ς προς ξονα! Αλλ ας επιστρέψουµε στο υλικό σηµείο που κινείται κυκλικ σε οριζόντιο κύκλο. Η στροφορµή είναι κατακόρυφη, οπότε α µπορούσαµε να σκεφτούµε ότι z έχουµε περιστροφή γύρ από τον κατακόρυφο ξονα z και να µιλήσουµε για τη στροφορµή του υλικού σηµείου κατ τον ξονα z. υ Το µέτρο της στροφορµής α ήταν z =mυ =m και η κατεύυνσή της α ήταν ίδια µε την κατεύυνση της γνιακής ταχύτητας, όπς στο σχήµα, οπότε α µπορούσαµε να γρψουµε για την στροφορµή: Αναγνρίζοντας την ποσότητα (m ) ς την ποσότητα που αντιστοιχεί στη ροπή αδρνειας! z = ( m )

3 Αλλ ας υπολογίσουµε τη στροφορµή της σηµειακής µζας όχι ς προς το ση- µείο Ο του ξονα, αλλ ς προς το σηµείο Μ, όπς στο διπλανό σχήµα. Η στροφορµή ς προς το σηµείο Μ, είναι κετη στο επίπεδο που ορίζει το Μ και ο φορέας της ταχύτητας και µέτρο Μ =mυr. Αν αναλύσουµε την παραπν στροφορµή, η συνιστώσα της πν στον ξονα z έχει φορ προς τα πν και µέτρο: z = Μ συν= mυr R = mυ Ίση δηλαδή µε τη στροφορµή όπς υπολογίστηκε ς προς το κέντρο του κύκλου Ο. Συµπέρασµα: Ως προς όλα τα σηµεία του ξονα, η στροφορµή του υλικού σηµείου δεν είναι ίδια, αλλ αν προυµε την εκστοτε συνιστώσα της πν στον ξονα, αυτή έχει σταερή τιµή ίση µε z =mυ. Τη στροφορµή αυτή υπολογίζουµε όταν αναφερόµαστε στη στροφορµή του υλικού σηµείου κατ (ς προς) τον - ξονα. Θα µπορούσε όµς να µας ενδιαφέρει η στροφορµή του υλικού σηµείου κατ τον ξονα z, ο οποίος δεν είναι κετος στο επίπεδο της κυκλικής τροχις αλλ σχηµατίζει γνία µε την κατακόρυφη, όπς στο δεξιό σχήµα. Z M z R M x υ o z z υ z z d υ Τότε, αναφερόµενοι στο σηµείο Ο του ξονα z, ς προς το οποίο το υλικό σηµείο έχει στροφορµή όπς στο πρώτο σχήµα µε µέτρο ο =mυ, τότε η στροφορµή κατ τον ξονα z α είναι η συνιστώσα της στροφορµής ο στη διεύυνση του ξονα z. ηλαδή: z = o συν Αλλ, ας προυµε µια έση του υλικού σηµείου, τη στιγµή που βρίσκεται στο επίπεδο που ορίζουν η κετη στο επίπεδο και ο ξονας z και ας φέρουµε την κετη στον ξονα z από τη έση που βρίσκεται το υλικό σηµείο, η γνία που σχηµατίζει µε την ακτίνα του κύκλου είναι επίσης (γνίες µε πλευρές κετες) και η παραπν σχέση γίνεται: z d = o συν = ( m ) = mυ d Όπου d η απόσταση του υλικού σηµείου από τον ξονα z. Αξίζει να τονίσουµε στο σηµείο αυτό ότι η στροφορµή κατ τον ξονα z και η γνιακή ταχύτητα, δεν έ- χουν την ίδια κατεύυνση! Στο βιβλίο την στροφορµή κατ έναν ορισµένο ξονα, την ονοµζει στροφορµή ς προς τον ξονα, έκφραση όχι ιδιαίτερα πετυχηµένη, αφού η στροφορµή ορίζεται ς προς σηµείο (στο παραπν παρδειγµα ς προς το σηµείο Ο ή ς προς το σηµείο Κ). 3

4 ) Και η στροφορµή ενός στερεού ς προς ένα σηµείο, σε µια επίπεδη κίνηση; Ας προυµε το απλούστερο στερεό S, το οποίο αποτελείται από δυο ίσες σηµειακές µζες m στα κρα µιας αβαρούς ρβδου (λέγοντας αβαρούς εννοούµε µιας ρβδου µε πολύ-πολύ µικρότερη µζα, από τις µζες τν δύο σηµειακών σµτν), µήκους. Το στερεό µας S στρέφεται όπς στο σχήµα, γύρ από κατακόρυφο ξονα z, ο οποίος διέρχεται από το µέσον Ο της ρβδου, µε γνιακή ταχύτητα. i) Πόση είναι η στροφορµή του στερεού µας ς προς το σηµείο Ο; ii) Να βρεεί η στροφορµή του στερεού µας, ς προς τα σηµεία Α και Β του σχήµατος. Απντηση: i) Το στερεό S µπορούµε να το δούµε σαν ένα σύστηµα αποτελούµενο από δυο σηµειακές µζες και µια ρβδο. Συνεπώς η στροφορµή του α είναι ίση µε το διανυσµατικό ροισµα τριών στροφορµών: = + + s Αλλ αφού η ρβδος είναι αβαρής δεν έχει στροφορµή, οπότε µένουν οι στροφορµές τν δύο σηµειακών µαζών οι οποίες είναι κατακόρυφες µε φορ προς τα πν και η συνολική στροφορµή είναι: s =m υ +m υ = ρ m + m = m = I Παρατηρούµε ότι η στροφορµή του στερεού, ς προς το κέντρο µζας του Ο, έχει την κατεύυνση της γνιακής ταχύτητας και δικαιούµαστε να γρψουµε: = s I ii) Η στροφορµή του στερεού S ς προς το σηµείο Α (έση της µιας σηµειακής µζας) α είναι ίση µε: = + + s / ρ s/α =m υ d=m = m = I Με κατεύυνση όπς στο διπλανό σχήµα. Μπορούµε να επισηµνουµε ότι η στροφορµή του στερεού ς προς το ένα κρο της ρβδου, έχει κατεύυνση παρλληλη προς την γνιακή ταχύτητα, κετη στο επίπεδο που διαγρφει το στερεό και µέτρο ίσο µε το µέτρο της στροφορµής και ς προς το κέντρο µζας Ο. Ας έρουµε τώρα στον υπολογισµό της στροφορ- µής ς προς το σηµείο Β, τροποποιώντας το σχήµα µας, προς διευκόλυνση. Έστ η στροφορµή ς προς το σηµείο Β της z υ υ υ υ s / υ υ Γ 4

5 σηµειακής µζας µε ταχύτητα υ και η αντίστοιχη στροφορµή της σηµειακής µζας m. Για τα µέτρα τους α έχουµε: =m υ (ΒΓ) = m (ΒΓ) και = m υ (Β ) = m (Β ) Αλλ τότε η συνολική στροφορµή προς το σηµείο Β α έχει διεύυνση κετη στο επίπεδο του σχήµατος µε φορ προς τον αναγνώστη και µέτρο: = = m( ) m( Γ ) s / s / = m ( Γ ) = m = m = I s / s / υ υ Συνεπώς αναφερόµενοι στο αρχικό σχήµα µας και για ένα τυχαίο σηµείο, η στροφορµή του στερεού µας S, ς προς το Β έχει µέτρο ξαν Ι και κατεύυνση ίδια µε την γνιακή ταχύτητα! Συµπέρασµα: Ένα επίπεδο στερεό που στρέφεται γύρ από ξονα που διέρχεται από το κέντρο µζας του µε γνιακή ταχύτητα, έχει µια στροφορµή µε µέτρο =Ι την οποία µπορούµε να αποδώσουµε στην «ιδιοπεριστροφή» του και η οποία είναι πντα ίδια, ανεξρτητα του σηµείου υπολογισµού της. 3) Και η στροφορµή του στερεού κατ (ς προς) ένα ξονα; Το παραπν στερεό S στρέφεται όπς και. Να υπολογιστεί η στροφορµή του: i) Κατ τον ξονα z τον κετο στο επίπεδο περιστροφής του. ii) Κατ τον ξονα z ο οποίος σχηµατίζει γνία µε τον προηγούµενο ξονα z. Απντηση: i) Η στροφορµή που προηγούµενα υπολογίσαµε ς προς το ση- µείο Ο, το κέντρο µζας, είναι κατακόρυφη έχοντας την κατεύυνση της γνιακής ταχύτητας και µέτρο = m και συνεπώς έχει την κατεύυνση του ξονα z. Θα µπορούσαµε λοιπόν να γρψουµε για την στροφορµή του στερεού S κατ τον ξονα z την µαηµατική εξίσση: = I s / z / z z 5 z υ z z υ

6 ii) Στην περίπτση τώρα για την στροφορµή κατ τον ξονα z, µε βση το σχήµα α έχουµε ότι η στροφορµή z είναι ίση µε την προβολή της στροφορµής z, πν στην διεύυνση του ξονα: z = z συν = Ι /z συν Βέβαια α µπορούσαµε να υπολογίσουµε τη στροφορµή κε σηµειακής µζας ανεξρτητα, όπς στο παρακτ σχήµα, όπου η σηµειακή µζα m απέχει κατ d από τον ξονα z, ενώ η m απέχει αντίστοιχα απόσταση d, τη στιγµή που οι ξονες z, z και οι δυο µζες βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο, τότε: =m υ d =m συν=m συν= z υ m d Λ d υ Οι δυο αυτές στροφορµές έχουν την διεύυνση του ξονα, συνεπώς: m z = m συν= Ι /z συν Αλλ α µπορούσαµε να αναλύσουµε κε ταχύτητα σε δυο συνιστώσες, µια συνιστώσα υ // παρλληλη στον ξονα z και µια κετη υ στην ΑΚ (πν σε κετο επίπεδο στον ξονα z που περν από το Κ), όπς στο διπλανό σχήµα, οπότε µπορούµε να γρψου- µε: z =m υ d =m d d = m d οπότε: ( m d + m d ) = m d + m d = ή z z = I z Όπου Ι z η ροπή αδρνειας του στερεού για την περιστροφή του ς προς τον ξονα z. Όµς προσοχή!!! Η στροφορµή και η γνιακή ταχύτητα δεν έχουν την ίδια κατεύυνση και η παραπν σχέση δεν µπορεί να γραφεί µε διανυσµατική µορφή!!! d z υ // υ υ 4) Και κατ την σύνετη επίπεδη κίνηση στερεού; Όταν µιλµε για σύνετη κίνηση απλ πρέπει να εφαρµόσουµε τα προηγούµενα, τόσον όσον αφορ την περιστροφή όσο και την µεταφορ. Έτσι στην περίπτση που ένας κύλινδρος κυλίεται σε ένα οριζόντιο επίπεδο, όπς στο σχήµα, πόση είναι η στροφορµή του κυλίνδρου κατ τους ξονες, τους κετους στο επίπεδο του σχήµατος που περνούν από τα ση- µεία Ο, Α, Β, Γ και. ίνεται Ι = ½ ΜR. υ R Γ 6

7 Απντηση: Θερούµε ετική την γνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου, κετη στο επίπεδο της σελίδας µε φορ προς τα µέσα. i) Ως προς οριζόντιο ξονα που περν από το κέντρο µζας Ο έχουµε: Με φορ προς τα µέσα, όπς στο σχήµα. Ο =Ι = ½ ΜR o ii) Ως προς οριζόντιο ξονα ο οποίος περν από το Α: υ R Γ Γ Α =Μυ R + Ι =ΜR R+ ½ ΜR = Της ίδια κατεύυνσης µε την στροφορµή στο Ο. iii) Ως προς τον ξονα στο σηµείο Β: Με φορ προς τα έξ. Β = -Μυ R + Ι =- ΜR R+ ½ ΜR = iv) Ως προς οριζόντιο ξονα ο οποίος περν από το Γ: Α =Μυ d + Ι =ΜR 0+ ½ ΜR = 3 MR MR MR Της ίδια κατεύυνσης µε την στροφορµή στο Ο (αλλ και ίδιου µέτρου) v) Ως προς οριζόντιο ξονα ο οποίος περν από το : Με φορ προς τα έξ. Α =Μυ d + Ι =-ΜR R+ ½ ΜR = 3 MR 5) Πώς α εφαρµόσουµε την αρχή διατήρηση της στροφορµής σε µια κρούση; Α) Μια κρούση µε ελεύερο στερεό. Σε ένα λείο οριζόντιο επίπεδο ηρεµεί µια οµογενής δοκός µήκους που ερείται υλικό σηµείο µζας m=6kg είναι δεµένη στο κρο νήµατος µήκους = 4mκαι µζας Μ=6kg. Μια σφαίρα = 6mκαι στρέφεται οριζόντια µε ταχύτητα υ=m/s, όπς στο σχήµα, όπου (ΟΑ)=m η απόσταση του κρου της δοκού Α από το 7

8 κέντρο της κυκλικής τροχις Ο. m υ Σε µια στιγµή η σφαίρα συγκρούεται µε τη δοκό στο κρο της Β, ενώ ταυτόχρονα το νήµα κόβεται. Αν η κρούση µεταξύ τν σµτν είναι πλαστική, να βρεεί για το νέο στερεό Σ που προκύπτει η ταχύτητα του κέντρου µζας του Κ και η γνιακή του ταχύτητα. ίνεται η ροπή αδρνειας της δοκού ς προς κετο - ξονα που περν από το µέσον της Απντηση: I = M. Κατ τη διρκεια της κρούσης η συνισταµένη τν εξτερικών δυνµεν (βρη και κετες αντιδρσεις) είναι µηδενική, συνεπώς ισχύει η αρχή διατήρησης της ορµής: = µετ mυ=(μ+m) υ υ = ½ υ= m/s όπου το κέντρο µζας, λόγ ισότητας τν δύο µαζών, είναι το σηµείο Κ, στο µέσον της ΒΡ, όπου Ρ το µέσον της δοκού. Για τον υπολογισµό της γνιακής ταχύτητας, α χρειαστούµε να εφαρµόσουµε και την αρχή διατήρησης της στροφορµής. Ως προς ποιο σηµείο; i) Ας εφαρµόσουµε την Α Σ ς προς το κέντρο Ο της κυκλικής τροχις: = µετ mυ = I + ( M + m ) υ ( ) mυ = M + M( ) + m( ) + ( M + m ) υ ( ) = ad / s= 0,6 ad / s ii) Ας εφαρµόσουµε την Α Σ ς προς το κέντρο µζας Κ του στερεού: = µετ υ µετ υ 8

9 mυ = ( ) I m υ = ( ) = M + M( ) + m( ) 6 6 ad / s= 0,6ad / s iii) Ας εφαρµόσουµε την Α Σ ς προς το µέσον Ρ της δοκού: = mυ µετ ( ) = I + ( M + m ) υ ( ) mυ ( ) = M + M( ) + m( ) + ( M + m ) υ ( ) = 6 ad / s= 0,6ad / s Συµπέρασµα; εν έχει καµι σηµασία ς προς ποιο σηµείο α εφαρµόσουµε την Α Σ, αρκεί να την εφαρµόσουµε σστ. Θα µπορούσαµε να προυµε ένα οποιοδήποτε σηµείο του επιπέδου, το οποίο απέχει κατ d από τον φορέα της υ, όπς στο σχήµα. Θα έχουµε: = µετ υ d mυ mυ ( d+ ( )) = I + ( M + m ) υ d ( d+ ( )) = M + M ( ) + m( ) + ( M + m ) υ d = 6 ( d+ ) d ad / s= 0,6ad / s µετ Β) Μια κρούση µε στερεό που µπορεί να στρέφεται γύρ από σταερό ξονα. Έχουµε το παραπν πρόβληµα κρούσης, αλλ τώρα η δοκός µπορεί να στρέφεται γύρ από κατακόρυφο ξονα που περν από το κρο Α της. Να υπολογίστε τώρα την ταχύτητα του κέντρου µζας Κ και τη γνιακή ταχύτητα του στερεού µετ την πλαστική κρούση. Απντηση: Από τη στιγµή που η δοκός µπορεί να στρέφεται γύρ από σταερό ξονα, στη διρκεια της κρούσης δεν 9

10 µπορούµε να εφαρµόσουµε την διατήρηση της ορµής, αφού το σύστηµα δεν είναι µονµένο, δεχόµενο δύναµη από τον ξονα. Οπότε α εφαρµόσουµε την αρχή διατήρησης της στροφορµής. Αλλ ς προς ποιο σηµείο; Ως προς το σηµείο εκείνο που α µηδενίζεται η ροπή της εξτερικής δύναµης που α δεχτεί η δοκός από τον ξονα, στη διρκεια της κρούσης. Επειδή όµς η δοκός α δεχτεί δύναµη στη διεύυνση της αρχικής ταχύτητας και η δύναµη από τον ξονα α έχει την ίδια διεύυνση. Ο- πότε µπορούµε να προυµε οποιοδήποτε σηµείο της ευείας (ε). i) Ας προυµε την ευκολότερη περίπτση. Ας δουλέψουµε µε το σηµείο Α, αφού το στερεό µας α περιστραφεί γύρ από τον ξονα στο Α: Αλλ τότε: = µετ = m υ= I υ m = M + M + m ad / s= 0,375ad / s υ =υ Κ = 3 = 4,5m / s ii) Ας δουλέψουµε µε τις στροφορµές ς προς ένα τυχαίο σηµείο Τ της ευείας (ε): = Αλλ τότε: µετ mυ= I + ( M + m ) υ d mυ = M + M ( ) + m( ) + ( M + m ) ( ) ( ) = ad / s= 0,375ad / s υ =υ Κ = 3 = 4,5m / s υ ) Η παραπν ανλυση απευύνεται σε συναδέλφους, προσπαώντας να δώσει απαντήσεις σε ερτήd T (ε ) µετ υ Σχόλια: 0

11 µατα που συχν παρουσιζονται. Κατ την διαπραγµτευση όµς έγινε προσπεια, να µην χρησι- µοποιηούν µαηµατικ που να κνουν αδύνατη τη µελέτη και από έναν µαητή. ) Το πρώτο σηµείο που ήελα να αναδείξ, ήταν ότι ορίζουµε στροφορµή, είτε υλικού σηµείου είτε στερεού, µόνο ς προς ένα σηµείο και όχι ς προς έναν ξονα. Μπορούµε να µιλµε και να χρησι- µοποιούµε τη στροφορµή κατ έναν ξονα, σαν µια συνιστώσα στροφορµής και µόνο. 3) Στο ο έµα του υπολογισµού της «ιδιοστροφορµής» του στερεού S, υπολογίστηκε η στροφορµή ς προς διαφορετικ σηµεία και βρέηκε να έχει ς προς όλα τα σηµεία την ίδια τιµή, αλλ και την ίδια κατεύυνση. Αλλ ενώ δόηκε για την στροφορµή ς προς το Ο η µαηµατική εξίσση: = s I για τα σηµεία Α και Β, προτιµήηκε να παραµείνει σηµειµένη στα σχήµατα η γνιακή ταχύτητα στο σηµείο Ο, ενώ τα διανύσµατα και s / σχεδιστηκαν στα σηµεία Α και Β και δόηκαν τα µέτρα τν δύο στροφορµών, αποφεύγοντας να γραφούν διανυσµατικές σχέσεις. s / Αλλ να λβουµε υπόψη ότι για ένα στερεό που στρέφεται η γνιακή ταχύτητα είναι ς προς όλα τα σηµεία η ίδια, α µπορούσαµε να κνουµε τα παρακτ σχήµατα. s / υ υ Αλλ τότε α µπορούσαµε να γρψουµε s / υ υ = I και = I. s / 4) Από εκεί και πέρα η µελέτη ασχολήηκε µόνο µε την επίπεδη κίνηση στερεού, αφού αυτήν την κίνηση διδσκουµε στο σχολείο. Έτσι αντί να γρψουµε πολύπλοκες εξισώσεις για την γενική κίνηση και να χανόµαστε σε τρισδιστατα σχήµατα, προσπαώντας να δούµε που µπορούµε να καταλήξουµε, ας ξεκινήσουµε από τα απλούστερα προς τα συνετότερα, έχοντας κααρό µυαλό, για το αντικείµενο s / που µελετµε. Τουλχιστον αυτή είναι η προσπική µου πρόταση Επιµέλεια ιονύσης Μργαρης