ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μηχανική Στερεού Σώματος. Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος. Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός

Transcript

1 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Μηχανική Στερεού Σώματος Ροπή Δυνάμεων & Ισορροπία Στερεού Σώματος Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός

2 Εισαγωγή Στην Α Λυκείου είχαμε μελετήσει τη δύναμη προκειμένου να αποφανθούμε για το είδος της κίνησης που κάνει το σώμα. Τότε το σώμα εκτελούσε απλά μεταφορική κίνηση, δεν υπήρχε στρέψη. Όταν ένα σώμα εκτελεί στροφική κίνηση, δεν μας ενδιαφέρει η δύναμη αυτή κάθε αυτή, αλλά ένα παράγωγο μέγεθος που το ονομάζουμε ροπή. Ροπή Δύναμης ως προς άξονα Ροπή της δύναμης ονομάζουμε το μέγεθος που μας περιγράφει την ικανότητα μιας δύναμης να στρίψει ένα σώμα. Τη συμβολίζουμε με το γράμμα. Μπορούμε να την υπολογίσουμε από την σχέση l (). Στο S.I. μετράμε τη ροπή σε N m Για να καταλάβουμε λίγο καλύτερα την ροπή ας σκεφτούμε πως ανοίγει και πως κλείνει μία πόρτα. Στην μία άκρη έχουμε τοποθετήσει τους μεντεσέδες, που επιτρέπουν στην πόρτα να κάνει την περιστροφική κίνηση (άξονας περιστροφής) και στην άλλη το πόμολο στο οποίο ασκούμε την δύναμη για να κλείσει η πόρτα. Όσο πιο μακριά από τους μεντεσέδες ασκήσουμε την δύναμη θα παρατηρήσουμε ότι η πόρτα κλείνει πιο εύκολα ενώ όσο πλησιάζουμε στον άξονα περιστροφής τόσο πιο δύσκολο είναι να κινήσουμε την πόρτα. Άρα ροπή της δύναμης, ως προς τον άξονα περιστροφής ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί την κάθετη απόσταση l της δύναμης από τον άξονα περιστροφής. Η ροπή έχει την ίδια διεύθυνση με τον άξονα περιστροφής και η φορά της δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Τα δάχτυλα κλείνουν σύμφωνα με τη φορά της κίνησης και ο αντίχειρας μας δείχνει την φορά του διανύσματος της ροπής. Αν η δύναμη ασκείται πάνω στον άξονα περιστροφής τότε η ροπή της δύναμης είναι μηδέν. Αν η δύναμη που μελετάμε είναι κάθετη στην κίνηση του σώματος η ροπή είναι πάλι μηδέν. Θεωρούμε θετική φορά των ροπών την αντίθετη φορά κίνησης απ αυτή των ρολογιών. Βέβαια σε κάθε πρόβλημα μπορούμε να ορίσουμε θετική φορά αυτή που θέλουμε εμείς.

3 Σε περίπτωση που σ ένα σώμα ασκούνται πάνω από μία δυνάμεις, π.χ. δύο δυνάμεις, που παράγουν ροπές, τότε η ολική ροπή θα δίνεται από τη σχέση (). Αν οι δυνάμεις παράγουν ροπές που στρέφουν το σώμα προς την ίδια κατεύθυνση τότε η συνολική ροπή θα είναι: l l. Ενώ αν οι δυνάμεις παράγουν ροπές που τείνουν να περιστρέψουν το σώμα προς αντίθετη κατεύθυνση θα ισχύει: l l Ροπή Δύναμης ως προς σημείο Αν η δύναμη που μελετάμε ασκείται στο κέντρο μάζας τότε το σώμα δεν πρόκειται να περιστρέφει, θα εκτελέσει μόνο μεταφορική κίνηση. Αντίθετα αν δε διέρχεται από το κέντρο μάζας τότε αυτό θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση, δηλαδή μεταφορική και περιστροφική κίνηση. Στις περιπτώσεις όπου η περιστροφική κίνηση δεν έχει σταθερό άξονα περιστροφής τότε χρησιμοποιούμε τη ροπή δύναμης ως προς σημείο. Ροπή δύναμης, ως προς σημείο Ο, ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το γινόμενο του μέτρου της δύναμης επί την απόστασή της από το σημείο Ο. Πάλι θα ισχύει l. Η διεύθυνση της ροπής θα είναι κάθετη στο επίπεδο που ορίζεται από τη δύναμη και το σημείο Ο και η φορά της θα δίνεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού. Αν είχαμε ένα ζεύγος δυνάμεων (ίσες κατά μέτρο με αντίθετη φορά) τότε η ροπή τους θα είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο και θα ισχύει ότι και μπορεί να αποδειχθεί ότι d (3), όπου d η απόσταση μεταξύ των σημείων εφαρμογής των δύο δυνάμεων. Συνθήκη Ισορροπίας Υπάρχει περίπτωση να ασκούνται δυνάμεις σ ένα σώμα και αυτό να παραμένει ακίνητο, να μην εκτελεί κανένα είδους κίνησης. Σ αυτή την περίπτωση γνωρίζουμε πως ισχύει ο ος Νόμος τους Νεύτωνα, δηλαδή έχουμε 0 (4). Επειδή όμως δεν μελετάμε πλέον μόνο μεταφορικές κινήσεις, αφού το σώμα παραμένει ακίνητο θα ισχύει και 0 (5).

4 Επειδή όμως μελετάμε σύνθετες κινήσεις μας συμφέρει να αναλύσουμε τις δυνάμεις σε άξονες και να έχουμε x 0 0 (6). Επιπλέον για τον υπολογισμό της ροπής μπορούμε να y 0 αποφασίσουμε εμείς το σημείο γύρω από το οποίο θέλουμε να υπολογίσουμε την περιστροφή. Αυτή η ελεύθερη επιλογή μας δίνει την δυνατότητα να μπορούμε να επιλέγουμε ως σημείο περιστροφής το σημείο εφαρμογής μίας άγνωστης δύναμης καθώς θα έχουμε πλέον στις εξισώσεις μας έναν άγνωστο λιγότερο. 3

5 Μεθοδολογία Ασκήσεων Πλέον είναι υποχρεωτικό να κάνουμε σχήμα προκειμένου να λύσουμε ένα πρόβλημα. Όταν φτιάξουμε το ανάλογο σχήμα ξεκινάμε και τοποθετούμε όλες τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. Θεωρούμε θετική φορά της κίνησης όποια εμείς θέλουμε και θετική φορά των ροπών όποια εμείς πάλι θέλουμε (δεν είναι υποχρεωτικό να ακολουθούμε το σχολικό βιβλίο, τα ίδια αποτελέσματα θα βγάλουμε). Για τον υπολογισμό των ροπών χρησιμοποιούμε τους τύπους που μας έχουν δοθεί παραπάνω. Αν θέλουμε να εξετάσουμε την ισορροπία του σώματος τότε μας συμφέρει πρακτικά να πάρουμε πρώτα την σχέση με τις ροπές και να ορίσουμε ως σημείο περιστροφής το σημείο εφαρμογής μίας από τις άγνωστες δυνάμεις που μας ζητάνε να υπολογίσουμε. Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε και τον ο Νόμο του Νεύτωνα προκειμένου να μπορέσουμε να υπολογίσουμε τελικά τις δυνάμεις. Λυμένο Παράδειγμα Σε μία οριζόντια ράβδο, της οποίας το αριστερό άκρο είναι ακλόνητο, ασκούνται δύο δυνάμεις, 60N και. Η πρώτη ασκείται 40cm από το αριστερό άκρο, ενώ η δεύτερη στο δεξί άκρο. Το μήκος της ράβδου είναι m και το βάρος της θεωρείται αμελητέο. Να βρείτε την αν η ράβδος ισορροπεί. Η ράβδος έχει ακλόνητο άκρο άρα σ αυτή την περίπτωση θα μελετήσουμε μόνο ροπές αφού η ράβδος δεν πρόκειται να μπορέσει να εκτελέσει μεταφορική κίνηση. Αρχικά κάνουμε λοιπόν το σχήμα όπως φαίνεται παρακάτω. Επιλέγουμε οι δυνάμεις να είναι αντίρροπες. Σε περίπτωση που στο τέλος μας βγει αρνητική μία δύναμη θα σημαίνει πως έχουμε επιλέξει αντίθετη φορά από την πραγματική της φορά. Επιλέγουμε θετική φορά της στρέψης αντίθετη του ρολογιού (δηλαδή θετικά μας στρέφει η ). 4

6 Στα αριστερά υπάρχει ένας άξονας γύρω από τον οποίο θα περιστραφεί η ράβδος αν αφεθεί ελεύθερη. Επιλέγουμε να πάρουμε το σημείο αυτό ως άξονα περιστροφής θα έχουμε λοιπόν: 0 d d 0 d N 0.6 d 0 d d Άρα η θα πρέπει να είναι 40Ν για να παραμείνει ακίνητη η ράβδος. Και αφού βγήκε θετική σημαίνει πως την τοποθετήσαμε σωστά και στο σχήμα. Επιλέξαμε να μην χρησιμοποιήσουμε τον ο Νόμο του Νεύτωνα αφού δεν υπάρχει περίπτωση να κάνει το σώμα μεταφορική κίνηση. Παρόλα αυτά όμως θα είχαμε κάθε δικαίωμα να τον χρησιμοποιήσουμε. Αν κάναμε κάτι τέτοιο θα είχαμε ότι 0 50N. Θα ήταν σωστό αυτό το αποτέλεσμα; Υπάρχει κάποια δύναμη που δεν έχουμε σχεδιάσει στο σχήμα μας; Λυμένο Παράδειγμα Το δίπλα σχήμα αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίνδρους με ακτίνες, R 4cm και R 3 cm, και στρέφονται γύρω από τον ίδιο σταθερό άξονα. Στους κυλίνδρους ασκούνται οι δυνάμεις 6N και 0N. Να υπολογίσετε την συνολική ροπή. Μας έχουν δώσει ήδη το σχήμα. Παρατηρούμε πως η ασκείται στο μικρό κύλινδρο ενώ η στον μεγάλο. Η συνολική ροπή θα είναι το «άθροισμα» των επιμέρους. Η ροπή στον μικρό κύλινδρο θα είναι: R N m ενώ η ροπή στον μεγάλο κύλινδρο θα είναι R N m. 6 5

7 Παρατηρούμε πως η ροπή της είναι μεγαλύτερη άρα μας συμφέρει να θεωρήσουμε θετική φορά στρέψης σύμφωνα με τη φορά του ρολογιού, δηλαδή όπως θα μας στρέψει η. Επομένως θα ισχύει: 0,4 0,3 0, 06N m 6