Υπολογισμός ροπής αδράνειας. Για συνεχή κατανομή μάζας έχουμε:

Transcript

1 Υπολογισμός ροπής αδράνειας Για συνεχή κατανομή μάζας έχουμε: I = r dm

2 Υπολογισμός ροπής αδράνειας Θεώρημα παράλληλων αξόνων Icm I p Ροπή αδράνειας ως προς άξονα που περνά από το κέντρο μάζας Ροπή αδράνειας ως προς άξονα παράλληλο προς τον προηγούμενο d Απόσταση των δύο αξόνων

3 Υπολογισμός ροπής αδράνειας 1 I = M + 3 ( L 3Lh 3h ) Αν ο άξονας περιστροφής περνά από το κέντρο της ράβδου δηλ. h=l/, 1 I CM = ML 1 Αν ο άξονας περιστροφής περνά από το άκρο της ράβδου δηλ. h=0, L I=ICM + M I= ML ML I= ML

4 Υπολογισμός ροπής αδράνειας Θεώρημα παράλληλων αξόνων

5 Τι προκαλεί την επιτάχυνση ενός υλικού σημείου; ΗάσκησηδύναμηςF πάνω του Τι προκαλεί την γωνιακή επιτάχυνση ενός στερεού σώματος; Ηροπήδύναμηςτ F τ

6 Για να αλλάξουμε την περιστροφική κατάσταση ενός σώματος παίζουν ρόλο: Το μέτρο της δύναμης που θα του ασκήσουμε. Η διεύθυνση της δύναμης. Η απόσταση της διεύθυνσης της δύναμης από το σημείο γύρω από το οποίο θέλουμε να περιστρέψουμε το σώμα. Το μέγεθος ροπή δύναμης μας δείχνει πόσο αποτελεσματικά μια δύναμη μπορεί να προκαλέσει την περιστροφή ενός σώματος.

7 Έστω πόρτα που μπορεί να περιστραφεί γύρω από άξονα που περνά από το σημείο Ο. Ασκούμε δύναμη F όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ροπή της δύναμης τ ως προς το Ο ορίζεται ως: Έναδιάνυσμαπουέχειμέτρο: τ = rf ιεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν τα r και F Φορά εκείνη κατά την οποία θα προχωρήσει δεξιόστροφη βίδα αν την στρίψουμε από το r προς το προς την πλευρά της F μικρότερης γωνίας.

8 Αν ασκήσουμε δύναμη όπως φαίνεται στο σχήμα κατά τη διεύθυνση του η πόρτα δε θα περιστραφεί. r Ηροπήτηςδύναμηςθαέχειμέτρο: τ = 0

9 Αν ασκήσουμε δύναμη F όπως φαίνεται στο σχήμα, η συνιστώσα της η παράλληλη προς το δε θα δώσει ροπή ενώ η κάθετη συνιστώσα της στο r θα δώσει ροπή που θα έχει μέτρο: r τ = rf sin(θ ) r sin(θ ) Προσέξτε ότι το είναι και η κάθετη απόσταση από τη διεύθυνση της δύναμης στο σημείο περιστροφής Ο. ιεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν τα r και F Φορά εκείνη κατά την οποία θα προχωρήσει δεξιόστροφη βίδα αν την στρίψουμε από το r προς το προς την πλευρά της F μικρότερης γωνίας.

10 Γενικός ορισμός της ροπής: τ = r F Η ροπή είναι το εξωτερικό γινόμενο των παραπάνω διανυσμάτων ιεύθυνση κάθετη στο επίπεδο που ορίζουν τα r και F Φορά εκείνη κατά την οποία θα προχωρήσει δεξιόστροφη βίδα αν την στρίψουμε από το r προς το προς την πλευρά της F μικρότερης γωνίας. Μονάδες ροπής; Nm

11 Σχέση ροπής δύναμης και γωνιακής επιτάχυνσης F = ma τ = Iα γ

12 Σχέση ροπής δύναμης και γωνιακής επιτάχυνσης τ = Iα γ Τα διπλανά σώματα έχουν ίδια μάζα ίδια ακτίνα και ίδια γωνιακή ταχύτητα. Εφαρμόζουμε την ίδια επιβραδυντικήροπήκαισταδύο. Ποιο θα σταματήσει τελευταίο και γιατί; τ = I α = A A I B α B Το Β

13 Θέλεις να ξεσφίξεις ένα παξιμάδι με το γαλικό κλειδί αλλά δεν τα καταφέρνεις. Εξήγησε γιατί θα πρέπει να πάρεις ένα άλλο κλειδί με μακρύτερο χερούλι. Θέλεις να ξεβιδώσεις μια ξυλόβιδα. Τι θα σε βοηθήσει περισσότερο ένα κατσαβίδι με χοντρό ή ένα με λεπτό χερούλι και γιατί;

14 Αν τραβήξεις το σκοινί θα τα καταφέρεις καλύτερα από το αν βάλεις την ίδια δύναμη στο μοχλό;

15 Ανησυνολικήδύναμησεένασώμαείναιμηδέν αυτό σημαίνει ότι και η συνολική ροπή είναι μηδέν; Εξήγησε. Ανησυνολικήροπήσεένασώμαείναι μηδέν αυτό σημαίνει ότι και η συνολική δύναμη είναι μηδέν; Εξήγησε.

16 ύναμη F=10N, μήκος ράβδου 4m. Βρείτε σε κάθε περίπτωση τη ροπή της δύναμης. τ = r F α) b) c) d) e) f) o τ = rf sin( θ ) = 4 10 sin(90 ) = 40Nm o τ = rf sin( θ ) = 4 10 sin(10 ) = 34,6Nm o τ = rf sin( θ ) = 4 10 sin(30 ) = τ = rf sin( θ) = 10 sin(60 ) = 17,3Nm τ = rf sin( θ ) = 0 10 = 0Nm o τ = rf sin( θ ) = 4 10 sin(180 ) = o 0Nm 0Nm φορά προς τα έξω φορά προς τα έξω φορά προς τα έξω φορά προς τα μέσα Σε όλες τις περιπτώσεις διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο του σχήματος

17 Ένας άνθρωπος σπρώχνει μια πόρτα με δύναμη 300Ν υπό γωνία 60 ο όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα και m από τους μεντεσέδες. Ποια η ροπή της δύναμης ως προς τον άξονα περιστροφής; τ = r F τ = rf sin( θ ) = 300 sin(60 ) = o 50Nm ιεύθυνση κάθετη στο επίπεδο του σχήματος και φορά προς τα έξω Τοποθετούμε σφήνα στην άλλη πλευρά της πόρτας σε απόσταση 1,5 m από τους μεντεσέδες. Ποιαηδύναμηπουασκείησφήναανηπόρταδεν ανοίγει με την παραπάνω δύναμη; τ + τ F = 0 Fσϕ1,5sin( 90) + 50Nm = 0 F = 347N μεντ + τ σϕ σϕ

18 Υπολογισμός ροπής δύναμης Ασκεί δύναμη 900Ν σεαπόσταση 80cm απότοκέντροτηςβίδας και το χερούλι του κλειδιού σχηματίζει 19 ο με την οριζόντιο. Ποιαηροπήτηςδύναμης; τ = r F τ = rfsin( f ) = 0,8 900 sin(109 ) = 680Nm o

19 Μεταφορική περιστροφική ισορροπία Γυναίκα βάρους 530Ν στέκεται στο δεξί άκρο βατήρα μήκους 3,9m. Αν ο βατήρας έχει αμελητέο βάρος, είναι στερεωμένος στο αριστερό άκρο και υπάρχει και υπομόχλιο σε απόσταση 1,4m από το άκρο στερέωσης, βρείτε τις τις δυνάμεις που ασκούνται από το υπομόχλιο και τον άξονα στερέωσης. Αφού ο βατήρας δεν μετακινείται Αφού ο βατήρας δεν περιστρέφεται

20 1 ος τρόπος: υναμική περιστροφικής κίνησης τ = Iα γ Αβαρές μη εκτατό σκοινί τυλίγεται γύρω από κύλινδρο μάζας 50kgr και διαμέτρου 1cm που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο άξονα. Αν τραβήξουμε το σκοινί με σταθερή δύναμη 9Ν για m χωρίς αυτό να ολισθαίνει στον κύλινδρο βρείτε την τελική γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου αν αυτός αρχικά ηρεμούσε και την ταχύτητα του σκοινιού (0,06 ) 0,09 I = MR I = kgr m I = kgr m o = R F = RFsin(90 ) = 0,06m9 N = 0,54Nm τ τ τ τ τ 0,54Nm α γ = α 6 rad / s I γ = α 0,09kgr m γ = o ϑ = s m 33,3rad R = 0,06m = ω = ω + α ϑ ω = α ϑ ω = 0 rad / s υ = ωr = (0 rad / s)0,06m = 1, m/ s γ γ

21 ος τρόπος: Περιστροφική κίνηση Θεώρημα έργου ενέργειας 1 Fs Δ K = WF Iω 0 = Fs ω = Αλλά I 1 1 I = MR I = 50 kgr (0,06 m ) I = 0,09 kgr m Fs 9N m ω = = = 0 rad / s I 0,09kgr m Αβαρές μη εκτατό σκοινί τυλίγεται γύρω από κύλινδρο μάζας 50kgr και διαμέτρου 1cm που μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο άξονα. Αν τραβήξουμε το σκοινί με σταθερή δύναμη 9Ν για m χωρίς αυτό να ολισθαίνει στον κύλινδρο βρείτε την τελική γωνιακή ταχύτητα του κυλίνδρου αν αυτός αρχικά ηρεμούσε και την ταχύτητα του σκοινιού. υ = ωr = (0 rad / s)0,06m = 1, m/ s