ΦΥΕ14-5 η Εργασία Παράδοση

Transcript

1 ΦΥΕ4-5 η Εργασία Παράδοση.5.9

2 Πρόβληµα. Συµπαγής οµογενής κύλινδρος µάζας τυλιγµένος µε λεπτό νήµα αφήνεται να κυλίσει από την κορυφή κεκλιµένου επιπέδου µήκους l και γωνίας φ (ϐλέπε σχήµα). Το ένα άκρο του νήµατος είναι στερεωµένο. Πόσο χρόνο ϑα κάνει ο κύλινδρος να ϕτάσει στη ϐάση και µε ποια ταχύτητα ϑα είναι εκεί ; Πρώτη λύση : Θεωρούµε ότι η επιτάχυνση του κυλίνδρου είναι a = dv/dt που λόγω της περιστροφικής κίνησης µπορεί να αναλυθεί ως a = Rα = Rdω/dt, όπου ω, α είναι η γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση, αντίστοιχα. Εποµένως, από το δεύτερο νόµο του Newton ϑα έχουµε a {}}{ dv dt = B sin φ T T R = dω = a }{{} dt R R α a = g sin φ a 3 a = g sin φ a = 3 g sin φ φ l όπου T είναι η τάση του νήµατος που ασκεί µια δύναµη στον κύλινδρο µε αποτέλεσµα να δηµιουργείται µια ϱοπή τ = T R. l = l at t = a = 3 l g sin φ t = 3l g sin φ v = at = 3 g sin φ 3l g sin φ = 3gl sin φ 3 εύτερη λύση : Εφαρµόζοντας διατήρηση ενέργειας, ϑα έχουµε gl sin φ = v + ω {}}{ v R }{{} R = 3 4 v ϱοπή αδρανείας v = 3 3gl sin φ Πρόβληµα. Σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας φ αφήνονται ταυτόχρονα να ολισθήσει ένα παραλληλεπίπεδο και να κυλίσει ένα λεπτό δακτυλίδι. Ποιος πρέπει να είναι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ κεκλιµένου επιπέδου και σωµάτων, ώστε αυτά να κινούνται έτσι ώστε να µην προσπερνά το ένα το άλλο ; Ποια ϑα είναι η ταχύτητά τους στη ϐάση, αν αφεθούν από ύψος h; Για το παραλληλεπίπεδο έχουµε m a = m g sin φ µm g cos φ a = g sin φ µg cos φ Για το δαχτυλίδι η ϱοπή δύναµης που αναπτύσσεται λόγω της τριβής, T, ϑα είναι τ = α α = a R = δύναµη τριβής T {}}{ T }{{ R } ϱοπή δύναµης τ=t R a = T R (..) όπου a είναι η γραµµική επιτάχυνση και α (a = α R) είναι η κυκλική επιτάχυνση και η ϱοπή αδρανείας είναι = m R dm = m R (..)

3 3 Επίσης, από τη µεταφορική κίνηση ϑα ισχύει m a = m g sin φ T a = g sin φ T m (..3) Συνδιάζοντας τις σχέσεις (..), (..), και (..3), έπεται Συνοψίζοντας, ϑα έχουµε για τα a και a : } a = g sin φ µg cos φ a = g sin φ a = g sin φ Αν ϑέλουµε να ισχύει a = a τότε έπεται g sin φ µg cos φ = g sin φ µ = tan φ m gh = m v + }{{} ω m gh = m v v = gh m R Η γωνία φ είναι τόση ώστε ο συντελεστής τριβής κατά την κύλιση συµπίπτει µε το συντελεστή τριβής ολίσθησης. Πρόβληµα.3 Μια οµογενής ϱάβδος µάζας m και µήκους l µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που περνά σε απόσταση a από το κέντρο µάζας της. Τι είδους κίνηση κάνει αν αποµακρυνθεί κατά µικρή γωνία από τη ϑέση ισορροπίας και ποια είναι η περίοδος ; Βρείτε την απόσταση a για την οποία η περίοδος γίνεται ελάχιστη και πόση είναι η περίοδος στη ϑέση αυτή. Υπολογίστε τη ϱοπή αδρανείας της ϱάβδου ως προς το κέντρο µάζας της. C = x dm = l/ l/ x ρs dx = ml, dm = ρdv όπου S είναι η επιφάνεια της τοµής της ϱάβδου, και η ϱοπή αδρανείας ως προς ένα άξονα που περνά από ένα σηµείο που απέχει µια απόσταση a από το κέντρο µάζας (µε τη ϐοήθεια του ϑεωρήµατος των παραλλήλων αξόνων ή ϑεώρηµα του Steiner) a = ml + ma d θ a dt = mga sin θ d θ dt + ga l / + a sin θ = για µικρές γωνίες ταλάντωσης (sin θ θ) ϑα έχουµε την εξίσωση του απλού εκκρεµούς d θ dt + ga l / + a } {{ } ω θ = και εποµένως αναγνωρίζουµε ως κυκλική συχνότητα ω = π/t µε περίοδο l / + a T = π ga T min A = l / + a = ϑα πρέπει να είναι ελάχιστο a και εποµένως η πρώτη παράγωγος του A ως προς το a ϑα πρέπει να µηδενίζεται και η δεύτερη παράγωγος να είναι ϑετική ( ) l a(a) da da = + a a = a l / a = a = l a = l

4 4 Παίρνοντας τη δεύτερη παράγωγο του A ως προς τη µεταβλητή a ϑα έχουµε d A da = l a=l/ 6a 3 > a=l/ και εποµένως ϑα έχουµε ελάχιστο. Η περίοδος σε αυτή τη ϑέση ϑα έχει την τιµή T min = π l 3 /4 g Πρόβληµα.4 Μια οµογενής ϱάβδος µάζας και µήκους που είναι στερεωµένη µε άρθρωση σε οριζόντιο άξονα O, είναι στην κατακόρυφη ϑέση και σε κατάσταση ασταθούς ισορροπίας, όπως ϕαίνεται στο σχήµα. Πλαστελίνη µάζας m που κινείται οριζόντια µε ταχύτητα v κολλάει στο άκρο της ϱάβδου η οποία πέφτει. Υπολογίστε την ταχύτητα του Κ.Μ. του συστήµατος τη στιγµή που χτυπά το δάπεδο. Τριβές δεν υπάρχουν. Για τη ϱάβδο, η ϱοπή αδρανείας είναι C = /. m,υ O Από τη διατήρηση στροφορµής έχουµε mv = ω mv = ( ) 3 + m 3mv ω ω = ( + 3m) v C = ωβ όπου β είναι η ϑέση του νέου κέντρου µάζας του συστήµατος ϱαβδου-πλαστελίνης το οποίο προσδιορίζεται από τον ορισµό του κέντρου µάζας i= β = m ix i / + m i= m = i + m όπου x = /, m = για τη ϱάβδο και x =, m = m για τη πλαστελίνη. Από τη διατήρηση της ενέργειας έχουµε 3 + m ω + ( + m)gβ = ( ) }{{}}{{} 3 + m ω (..4) δυναµική ενέργεια }{{} τελική κινητική ενέργεια όπου ω είναι η κυκλική γωνιακή ταχύτητα της ϱάβδου τη στιγµή που χτυπά το έδαφος. Από τη σχέση (..4) παίρνουµε : ( ω = ω + ( + m)gβ ( ) = ω + + m) g ( ) 3 + m 3 + m και εποµένως η ταχύτητα του Κ.Μ. του συστήµατος τη στιγµή που χτυπά το δάπεδο ϑα είναι ( v C = ωβ = ω + + m) g / + m ( ) 3 + m + m Πρόβληµα.5 Οµογενής ϱάβδος µήκους l και µάζας τοποθετείται σε λεία οριζόντια επιφάνεια. Μικρό σώµα µάζας m, κινούµενο µε ταχύτητα v και κάθετο στη ϱάβδο χτυπάει ελαστικά στην άκρη της ϱάβδου. Να ϐρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της ϱάβδου µετά το χτύπηµα. Να υποθέσετε ότι το µικρό σώµα δεν αποκλίνει από την αρχική του πορεία µετά την ελαστική κρούση µε τη ϱάβδο.

5 5 Από τη διατήρηση της ορµής έχουµε mv = mv + V Επίσης, από τη διατήρηση της ενέργειας ϑα έχουµε V = m(v v) (..5) Επιπλέον mv = mv + V + cω mv = mv + V + l ω (..6) Από τις σχέσεις (..5) και (..7) παίρνουµε και από τις (..6), (..7) και (..8) τελικά l mv = cω + mv l mv = lω + mv 6 v = v l m 6 ω (..7) m(v v ) + m l V = m 6 ω = l 6 ω (..8) mv = m (v + l ω ) m 36 v l 6m ω + 4l 36 ω ω = v m l(4m + ) Πρόβληµα.6 Μη οµογενής ϱάβδος µήκους µπορεί να ταλαντώνεται γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος είναι κάθετος στο άκρο της Ο. Αν η ϱάβδος έχει γραµµική πυκνότητα ρ(x) = kx, όπου k σταθερά και x η απόσταση από το άκρο Ο, ϐρείτε την εξίσωση της κίνησης και την περίοδο της ταλάντωσης για µικρές γωνίες ταλάντωσης όπου µπορείτε να χρησιµοποιήσετε την προσέγγιση sin θ θ. x C = = x dm = = ρ dx = xρ dx ρ dx = x kx dx = k4 4 kx dx = k xkx dx k3 = ρ dx 3k = 3 d θ dt = gx C sin θ d θ dt T = π 3 4 g g θ =

6 6 Πρόβληµα.7 Κυκλικός οµογενής δίσκος ακτίνας R ταλαντώνεται γύρω από άξονα κάθετο στο δίσκο (στο σηµείο Ο) που περνά σε απόσταση r από το κέντρο του δίσκου, όπως ϕαίνεται στο σχήµα. Ποια είναι η εξίσωση της κίνησης και η περίοδος ταλάντωσης για µικρές γωνίες ταλάντωσης όπου µπορείτε να χρησιµοποιήσετε την προσέγγιση sin θ θ. Για ποια τιµή της απόστασης r ο δίσκος ϑα έχει τη µικρότερη περίοδο ; R θ O r g Η εξίσωση κίνησης, ϑεωρώντας τη ϱοπή δύναµης τ, ϑα είναι d θ dt = τ d θ dt + gr sin θ = d θ dt + gr θ = Η ϱοπή αδράνειας ϑα είναι = C + r = (R + r ), για C = R Από την εξίσωση κίνησης, αναγνωρίσουµε ως περίοδο ταλάντωσης, T T = π gr = π R + r gr για να έχουµε T min dt dr = ή dt dr = 8gr R g 4gr 4g r = 4gr R g 4g r }{{ = } /g R /gr r = R Λαµβάνοντας τη δεύτερη παράγωγο του T έπεται d T dr = R r=r/ gr 3 > r=r/ δηλαδή ϑα έχουµε ένα ελάχιστο. Πρόβληµα.8 Ράβδος µάζας και µήκους που είναι στερεωµένη µε άρθρωση σε οριζόντιο άξονα Ο, είναι στην κατακόρυφη ϑέση και σε κατάσταση ασταθούς ισορροπίας, όπως ϕαίνεται στο σχήµα. Σφαίρα µάζας m κινείται µε ταχύτητα v και τρυπάει τη ϱάβδο ακαριαία στο άνω άκρο της (χωρίς να µεταβάλλει την κατανοµή µάζας) και συνεχίζει την πορεία της µε οριζόντια ταχύτητα v T, ενώ η ϱάβδος πέφτει. Υπολογίστε την ταχύτητα του Κ.Μ. της ϱάβδου τη στιγµή που χτυπά το δάπεδο. Τριβές δεν υπάρχουν. Για τη ϱάβδο, η ϱοπή αδρανείας είναι C = / Από τη διατήρηση τη στροφορµής ϑα έχουµε mv = mv T + ω ω = m(v v T ) m,υ = 3(v v T )m = C + = 4 3 ω + g = ω 9(v 6 v T ) m + g = 6 ω 9 m 6 (v v T ) + g = 6 ω ω = 9m (v v T ) + 3 g Εποµένως η ταχύτητα του Κ.Μ. της ϱάβδου τη στιγµή που χτυπά το δάπεδο ϑα είναι 9m O m,υ T v C = ω = (v v T ) + 3 g

7 7 Πρόβληµα.9 Ράβδος µήκους κρέµεται κατακόρυφα στερεωµένη σε άρθρωση (ϐλ. σχήµα). Ενα κοµµάτι πλαστελίνης ίδιας µάζας µε τη ϱάβδο κινείται οριζόντια µε ταχύτητα v, χτυπά τη ϱάβδο στο κέντρο της και κολλάει σε αυτήν. Κατά ποια γωνία ϑα αποκλίνει η ϱάβδος ; φ O Μ,υ Από το ϑεώρηµα της διατήρησης της στροφορµής ϑα έχουµε v ( ) = + ω ω = 6 v όπου v/ είναι η ατροφορµή της πλαστελίνης ως προς τον κάθετο άξονα του επιπέδου που κινείται η ϱάβδος και περνά από το σηµείο Ο. Από το ϑεώρηµα της διατήρησης ενέργειας ϑα έχουµε ω = g 7 ( cos φ) ω = g( cos φ) v cos φ = 3 4 g Πρόβληµα. Α) Σωµατίδιο µάζας m κινείται µε την επίδραση της δύναµης που έχει δυναµική ενέργεια U = mω r. Να δείξετε ότι η κίνηση λαµβάνει χώρα σ ένα επίπεδο το οποίο καθορίζεται µε ϐάση τις αρχικές συνθήκες του προβλήµατος. Αν κατά τη χρονική στιγµή t = το σωµατίδιο εκτοξεύεται µε ταχύτητα v κάθετη προς το διάνυσµα ϑέσης r, να δείξετε ότι τούτο διαγράφει κάποια τροχιά που η πολική του ακτίνα κυµαίνεται µεταξύ των τιµών r και v /ω: r r v ω. Β) Να αποδειχθεί ότι η ϱοπή αδρανείας συµπαγούς σφαίρας ως προς ένα διαµετρικό άξονα είναι = 5 R. (Η απόδειξη γίνεται εύκολα, αν ϑεωρήσουµε ότι η σφαίρα αποτελείται από ένα σύνολο κυκλικών δίσκων απειροστού πάχους dz, προσαρµοσµένους µέσα στη σφαιρική επιφάνεια όπως ϕαίνεται στο σχήµα.) z r dz z R y R x Σχήµα

8 8 Α) Από τη δυναµική ενέργεια, U ϑα έχουµε την δύναµη : F = ṗ = U r = mω r. Αν p = mv είναι η ορµή του σωµατιδίου τότε το διάνυσµα N = r p ϑα δώσει για την παράγωγο ως προς τον χρόνο : Ṅ = ṙ p + r ṗ = v mv mω r r =. Άρα το διάνυσµα N παραµένει σταθερό µε τον χρόνο. Εφ όσον το N είναι ένα διάνυσµα κάθετο στο διάνυσµα της ϑέσης, r N =, συνεπώς το r ϑα ϐρίσκεται στο επίπεδο το κάθετο στο N και δεν ϑα µεταβάλλεται µε τον χρόνο. Επιπλέον και για το αρχικό διάνυσµα ϑέσης r ϑα ισχύει r N =. Το επίπεδο το κάθετο στο N ϑα καθοριστεί από τη σχέση που προκύπτει αν αφαιρέσουµε τις σχέσεις : r N = και r N =, δηλαδή (r r ) N =. Η εξίσωση κίνησης για την ελκτική δύναµη F = mω r ϑα είναι m d r dt = mω r d r dt + ω r =. Αυτή είναι η διαφορική εξίσωση που περιγράφει τον αρµονικό ταλαντωτή, που έχει λύση της µορφής r(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt), όπου οι σταθερές A, B µπορούν να υπολογιστούν από τις αρχικές συνθήκες. Για την αρχική συνθήκη r() = r ϑα έχουµε r = B, και µε τη ϐοήθεια της αρχικής συνθήκης v() = ṙ() = v ϑα έχουµε v() = v = ωa όπου η ταχύτητα είναι A = v ω v = ṙ = ωa cos(ωt) ωb sin(ωt) Με τον ανωτέρω προσδιορισµό των σταθερών A, B το διάνυσµα ϑέσης ϑα είναι Το εσωτερικό γινόµενο του r µε τον εαυτό του ϑα είναι r(t) = v ω sin(ωt) + r cos(ωt) r r = r = v ω sin (ωt) + r cos (ωt) + ω v r sin(ωt) cos(ωt). Μας δίνεται ότι v r = (εφ όσον το σωµατίδιο εκτοξεύεται µε ταχύτητα v κάθετη προς το διάνυσµα ϑέσης r ), άρα ( r = v ω sin ωt + r cos v ) ωt = sin ωt + r ω ( sin ωt)

9 9 sin r r ωt = (v /ω) r, αλλά για το ηµίτονο ισχύει sin ωt, συνεπώς r r (v /ω) r r r ( v ) ω r r v ω. Β) Θεωρούµε ένα στοιχειώδη δίσκο ύψους dz και ακτίνας r = R sin θ και µάζας, dm dm = ρdv = ρπr dz = ρπr sin θdz, όπου ρ είναι η πυκνότητα µάζας της σφαίρας. Η στοιχειώδης ϱοπή αδρανείας, d αυτού του δίσκου είναι d = dmr = R4 (sin θ) 4 ρπrd(cos θ), όπου z = R cos θ dz = Rd(cos θ). Άρα αφού ολοκληρώσουµε το d ϑα έχουµε = ρπr5 sin 4 θd(cos θ) = + ρπr5 ( ω ) dω, π όπου έχουµε αντικαταστήσει cos θ = ω και sin 4 θ = (sin θ) = ( cos θ) = ( ω ). Το ολοκλήρωµα + ( ω ) dω = 6 5. Άρα η ϱοπή αδρανείας είναι και η πυκνότητα µάζας της σφαίρας είναι : = 8 5 ρπr5, ρ = V = (4/3)πR 3 ρπr 3 = 3 4. Άρα η ϱοπή αδρανείας είναι = 8 5 ρπr5 = R = 5 R.