ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Transcript

1 Κεφάλαιο ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΠΡΑΚΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Στη διαδικασία σχεδιασμού των Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου, η απαραίτητη και η πρώτη εργασία που έχουμε να κάνουμε, είναι να υπολογίσουμε τις συναρτήσεις μεταφοράς των προς μελέτη συστημάτων. Ο υπολογισμός μιας συνάρτησης μεταφοράς είναι επί της ουσίας η δημιουργία ενός δυναμικού μαθηματικού γραμμικού μοντέλου μίας πραγματικής φυσικής κατάστασης. Αυτό σημαίνει ότι προσπαθούμε να περιγράψουμε την δυναμική συμπεριφορά μιας πραγματικής κατάστασης κατά προσέγγιση με γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Το στάδιο αυτό κατά το οποίο προσπαθούμε να δημιουργήσουμε αυτό το γραμμικό μοντέλο ονομάζεται ανάλυση των συστημάτων, ενώ το στάδιο του σχεδιασμού ονομάζεται σύνθεση. Η περιγραφή ενός γραμμικού συστήματος χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις μεταφοράς είναι ένα μόνο από τα πολλά μοντέλα που υπάρχουν. Στη ενότητα αυτή θα δούμε τρόπους με του οποίους μπορούμε να υπολογίσουμε τις συναρτήσεις μεταφοράς σε διαφόρων ειδών συστήματα (ηλεκτρολογικά, μηχανολογικά, θερμικά κλπ). Θα δούμε επίσης μεθόδους με τους οποίους μπορούμε προσεγγιστικά να προσδιορίσουμε μια συνάρτηση μεταφοράς στο εργαστήριο. Υπολογισμός συνάρτησης μεταφοράς σε ηλεκτρολογικά κυκλώματα Οι συναρτήσεις μεταφοράς υπολογίζονται από την φυσική των συστημάτων. Σε ένα ηλεκτρολογικό κύκλωμα έχουμε τα παρακάτω φυσικά μεγέθη, νόμους και ηλεκτρικά στοιχεία. Νόμος του Ohm - Αντίσταση Όταν στα άκρα μιας ηλεκτρικής αντίστασης έχουμε _ + V ηλεκτρική τάση (διαφορά δυναμικού) τότε έχουμε ροή ρεύματος από το υψηλό δυναμικό (+) προς το χαμηλό (-) I και ισχύει ο νόμος του Ohm: V. I Ο νόμος του Ohm ισχύει και για συναρτήσεις, δηλαδή: v( ) i( ). Η Ηλεκτρική αντίσταση ενός μεταλλικού αγωγού μήκους l και διατομής s είναι:. l, όπου είναι η ειδική αντίσταση του μεταλλικού αγωγού. s

2 Ας θυμηθούμε ακόμα ότι το ρεύμα είναι η μεταβολή του ηλεκτρικού φορτίου με το χρόνο δηλαδή: dq() i (), όπου q είναι το ηλεκτρικό φορτίο. d Ακόμα μπορούμε να θυμίσουμε ότι στην αντίσταση καταναλώνεται ηλεκτρική ενέργεια η οποία μετατρέπεται σε θερμότητα. Η ενέργεια που καταναλώνεται πάνω στην αντίσταση είναι : W. I ή Πυκνωτής + dq( ) W d Ο πυκνωτής αποθηκεύει ηλεκτρικό φορτίο και ως γνωστό η διαφορά δυναμικού που αναπτύσσεται στα άκρα του είναι: q () v () και αφού έχουμε : C Q V, όπου C είναι η χωρητικότητα του πυκνωτή: H C σχέση αυτή για συναρτήσεις γίνεται: dq() i () ισχύει ότι: d σχέση του πυκνωτή μπορούμε να τη γράψουμε ως εξής: v( ) i( ) d C q( ) i( ) d και επομένως τη Η ενέργεια που αποθηκεύεται στον πυκνωτή είναι δυναμική ενέργεια αφού μπορεί να δώσει κινητική, δηλαδή κίνηση φορτίου να συνδέσουμε τους δύο του πόλους. Αυτεπαγωγή (Πηνίο) + Σ ένα πηνίο στο οποίο έχουμε μεταβολές του ηλεκτρικού ρεύματος αναπτύσσεται στα άκρα του διαφορά δυναμικού και ισχύει: v() di() L d, όπου L είναι η αυτεπαγωγή του πηνίου. Στη περίπτωση του πηνίου έχουμε αποθήκευση κινητικής ενέργειας η οποία είναι: dq( ) W L d Μέθοδος υπολογισμού συνάρτησης μεταφοράς Αν πάρουμε τις τρείς βασικές σχέσεις που γράψαμε παραπάνω για τα τρία στοιχεία αντίσταση, πυκνωτή και πηνίο και υποθέσουμε ότι οι αρχικές τιμές όλων των μεγεθών είναι, τότε μπορούμε να τις μετατρέψουμε κατά Laplace και έτσι θα έχουμε: v() i() v() i()

3 v( ) i( ). ML V ( s) I ( s) ML IS ( ) v( ) i( ) d V ( s) C C s di() ML v( ) L V ( s) LsI( s) d Αν θέσουμε: Z () C s και ZL() s Ls τότε παρατηρούμε ότι ισχύει μια σχέση που μοιάζει με το νόμο του Ohm και για τις τρείς παραπάνω σχέσεις. Η μέθοδος για τον υπολογισμό συναρτήσεων μεταφοράς σε ηλεκτρολογικά κυκλώματα που έχουμε αντιστάσεις, πυκνωτές και πηνία είναι η εξής: Μεταφέρουμε όλα τα στοιχεία στο πεδίο του Laplace οπότε θα ρεύματα και οι αντιστάσεις έχουν τη μορφή Is () και Vs (). Επιπλέον θεωρούμε τους πυκνωτές και τα πηνία σαν αντιστάσεις στο πεδίο του Laplace με τιμές αντίστοιχα: Z () C s και Z () L s Ls. Μετά από αυτές τις μεταφορές για το ηλεκτρικό κύκλωμα ισχύουν όλοι οι κανόνες και οι νόμοι που γνωρίζουμε για τα ηλεκτρικά κυκλώματα συνεχούς ρεύματος. Παράδειγμα. Θέλουμε να βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς στο παρακάτω κύκλωμα του σχήματος. με είσοδο V και έξοδο V. C L V + I + V Σχήμα.: Αν μεταφερθούμε στο πεδίο του Laplace έχουμε :

4 / Ls + V(s) I(s) + V(s) Σχήμα. Μπορούμε να εφαρμόσουμε το «νόμο του Ohm» στα άκρα όπου έχουμε τάση V(s), τότε επειδή όλες οι «αντιστάσεις» είναι στη σειρά και άρα η συνολική αντίσταση θα είναι το άθροισμα έχουμε: L V ( s) I( s)( Ls ) I( s) Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το νόμο του Ohm στην αντίσταση : V ( s) I( s) s και άρα η συνάρτηση μεταφοράς V ( s) I( s) ( s) είναι: Hs () V ( s) L C s L Is () Ας δώσουμε στα στοιχεία τις παρακάτω τιμές: 6 C F F 6 M 3 L mh H 7 M Τότε η συνάρτηση μεταφοράς γίνεται: Hs () s 9 s s Εάν βάλουμε τη συνάρτηση στο MATLAB μπορούμε να δούμε τη βηματική απόκριση της εξόδου. Αν δώσουμε άλλες τιμές ως εξής έχουμε: 6 C F F LH 3

5 Ampliude Ampliude Τότε η συνάρτηση μεταφοράς γίνεται: H() s s ( ) s s.9 Sep esponse x -3 Sep esponse Σχήμα.3 Time (sec) Time (sec) Στο σχήμα.3 δείχνουμε τις λύσεις από το MATLAB για να δείξουμε την πρακτική αξία των συναρτήσεων μεταφοράς, οι οποίες μας δίνουν απαντήσεις σε δυναμικά προβλήματα (μεταβατικά) των ηλεκτρολογικών κυκλωμάτων. Παράδειγμα Διακόπτης C L C Πηγή τάση V dc v() Σχήμα.4 Θέλουμε στο παραπάνω κύκλωμα του σχήματος.4 να βρούμε τη μεταβατική κατάσταση στην έξοδο v(). Κατ αρχήν μεταφέρουμε το κύκλωμα στο πεδίο του Laplace. Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι μπορούμε να θεωρήσουμε την «Αντίσταση του πυκνωτή C» και την «αντίσταση του πηνίου» συνδεδεμένα παράλληλα. Το ίδιο και για τον πυκνωτή C και την αντίσταση. Τη αντιστάσεις αυτές (κατά Laplace) τις ονομάζω αντίστοιχα Z και Z καί έχουν τις εξής τιμές: 4

6 L Ls C Ls Z() s Ls L ( L ) ` Z() s C s C s Στη συνέχεια εφαρμόζουμε το νόμο του Ohm σε όλο το κύκλωμα και έχουμε: V ( s) I( s)( Z ( s) Z ( s) ) το ίδιο κάνουμε μόνο για την αντίσταση και έχουμε: V ( s) I( s) και άρα έχουμε συνάρτηση μεταφοράς: I() s H() s I( s)( Z ( s) Z ( s) ) Z ( s) Z ( s) έχουμε: H() s Z( s) Z( s) Ls L C s Ls( C s) ( LC s ) ( C s)( LC s ) ( C s)( L ) ( C s)( L ) ( C s) ( LC s ) ( C s)( LC s ) Δίνουμε στα στοιχεία τιμές ως εξής: L.H H 5 C F F 4 C F F 3 K κάνουμε αντικατάσταση και Αν αντικαταστήσουμε τις τιμές και κάνουμε πράξεις πρέπει να λάβουμε την απόκριση του σχήματος.5 την οποία λάβαμε από την προσομοίωση του κυκλώματος στο SIMULINK. 5

7 Ampliude 5 Sep esponse Σχήμα Time (sec) Εύρεση συνάρτησης μεταφοράς με τη μέθοδο των βρόχων. Στα παραπάνω παραδείγματα επιλύσαμε τα κυκλώματα με το νόμο του Ohm αφού στην ουσία και στα δύο παραδείγματα είχαμε ένα ηλεκτρικό βρόχο. Τι γίνεται όταν έχουμε πολλούς βρόχους. Υπενθυμίζουμε στη συνέχεια την μέθοδο των βρόχων για την εύρεση συναρτήσεων μεταφοράς. Η μέθοδος θα αναπτυχθεί μέσω παραδείγματος. Παράδειγμα Να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς του κυκλώματος του σχήματος.6 με είσοδο V() και έξοδο v(). L + _ v() Είσοδος Ι C Ι C v() Έξοδος Ι3 3 4 Σχήμα.6 6

8 Κατ αρχήν μεταφέρουμε το κύκλωμα στο πεδίο του Laplace. Στο σημείο εισόδου θεωρούμε ότι εφαρμόζουμε πηγή τάσης v(). Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη μέθοδο των βρόχων ως εξής: Βήμα : Αριθμούμε τους βρόχους και θεωρούμε ότι όλοι οι βρόχοι διαρρέονται από ρεύμα I, I, I 3. Σε όλα τα ρεύματα δίνουμε την ίδια φορά όποια θέλουμε εμείς. Βήμα : Σχηματίζουμε ένα πίνακα ως εξής: a a a a a a a a a Όπου: a Το άθροισμα όλων των αντιστάσεων που συναντούμε καθώς κινούμαστε κατά τη φορά που επιλέξαμε στο βρόχο. Στην προκειμένη περίπτωση έχουμε: a Ls a Το άθροισμα όλων των αντιστάσεων που συναντούμε καθώς κινούμαστε κατά τη φορά που επιλέξαμε στο βρόχο. Στην προκειμένη περίπτωση έχουμε: a 4 a33 Το άθροισμα όλων των αντιστάσεων που συναντούμε καθώς κινούμαστε κατά τη φορά που επιλέξαμε στο βρόχο 3. Στην προκειμένη περίπτωση έχουμε: a a 4 3 a Το άθροισμα των αντιστάσεων στο κοινό τμήμα των βρόχων και αλλά με το πρόσημο (-). Στην προκειμένη περίπτωση έχουμε: a a a a 3 3 Το άθροισμα των αντιστάσεων στο κοινό τμήμα των βρόχων και 3 αλλά με το πρόσημο (-). Στην προκειμένη περίπτωση έχουμε: a a a a 3 3 Το άθροισμα των αντιστάσεων στο κοινό τμήμα των βρόχων και 3 αλλά με το πρόσημο (-). Στην προκειμένη περίπτωση έχουμε: a a 4 7

9 Βήμα 3: Δημιουργούμε το παρακάτω σύστημα εξισώσεων a a a3 I( s) V ( s) a a a. I ( s) 3 a3 a3 a 33 I3( s) Τα ρεύματα είναι τα ρεύματα των τριών βρόχων. Στη στήλη με τις τάσεις βάζουμε το άθροισμα των πηγών τάσης που συναντούμε στον κάθε βρόχο (, και 3). Το πρόσημο είναι θετικό όταν κατά την φορά του βρόχου συναντούμε το πλην (-) της πηγής τάσης. Στην προκειμένη περίπτωση έχουμε μόνο την πηγή τάσης v () που θεωρούμε είσοδο. Το παραπάνω σύστημα γράφεται: a I ( s) a I ( s) a I ( s) V ( s) 3 3 a I ( s) a I ( s) a I ( s) 3 3 a I ( s) a I ( s) a I ( s) Από το κύκλωμα βλέπουμε ότι: V( s) I( s) Η συνάρτηση μεταφοράς είναι: V () s H() s V () s Για να βρούμε την συνάρτηση μεταφοράς επομένως θα πρέπει να λύσουμε το παραπάνω σύστημα ως προς I () s 8

10 Υπολογισμός συνάρτησης μεταφοράς σε Μηχανολογικά συστήματα μεταφοράς. Δύναμη τριβής ολίσθησης Fτ() δύναμη αυτή της τριβής ολίσθησης είναι: F ( ) B. ( ) T Όταν ένα σώμα μάζας Μ κινείται με ταχύτητα υ(), ολισθαίνοντας πάνω σε μια επιφάνεια, τότε στο σώμα αυτό ασκείται δύναμη Τριβής ολίσθησης η οποία αντιτίθεται στην κίνηση. Η. Το B είναι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης. Για την τριβή θα δούμε περισσότερα πράγματα στην ενότητα της προσομοίωσης στο MATLAB Αν θυμηθούμε ότι η ταχύτητα είναι το ρυθμός μεταβολής της μετατόπισης, dx() δηλαδή: () τότε η παραπάνω σχέση γράφεται: d dx() FT () B d Στην περίπτωση της τριβής έχουμε κατανάλωση ενέργειας η οποία μετατρέπεται σε θερμότητα και έχουμε: ( ) W B, όπου και είναι η τελική και η αρχική ταχύτητα Νομός ελαστικότητας του Hook Σε ένα ελατήριο, ισχύει στη γραμμική περιοχή βέβαια (για μικρές αποστάσεις δηλαδή) ο νόμος της ελαστικότητας του Hook ο οποίο διατυπώνεται ως εξής: F K. x όπου F είναι η δύναμη, x η μετατόπιση και K ο συντελεστής ελαστικότητας του Ηοοκ. Η σχέση βέβαια γράφεται και ως εξής: F( ) K. x( ) και αν γράψουμε τη σχέση σε συνάρτηση με την ταχύτητα έχουμε: F( ) K. ( ) d K x() Πρέπει να πούμε ακόμη ότι στο ελατήριο αποθηκεύεται δυναμική ενέργεια και δίνεται από τον τύπο: W Kx υ() M F() 9

11 Νόμος του Newon Σύμφωνα με το νόμο του Νεύτωνα αν ένα σώμα κινείται η αιτία της κίνησης είναι μια δύναμη F η οποία ισούται με την Μάζα του σώματος επί την επιτάχυνση, δηλαδη: F M. και βέβαια ισχύει: F( ) M. ( ) και βέβαια μπορούμε να γράψουμε τις σχέσεις σε συνάρτηση με την ταχύτητα () και τη μετατόπιση x () ως εξής: d d x F( ) M. ( ) M. M. d d ( ) ( ) Ας σημειώσουμε εδώ ότι η δύναμη αδρανείας είναι ανάλογο με την ταχύτητα και ότι στη μάζα αποθηκεύεται κινητική ενέργεια η οποία ισούται: W M. Μέθοδος υπολογισμού συνάρτησης μεταφοράς. Ας ανακεφαλαιώσουμε τις σχέσεις οι οποίες μας δίνουν τη δύναμη της τριβής, του ελατηρίου και της αδράνειας: dx() FT ( ) B. ( ) B. d F( ) K ( ) d K. x( ) d d F( ) M. ( ) M. M. d d ( ) ( ) Tις παραπάνω σχέσεις αν τις μετασχηματίσουμε κατά Laplace, με την προϋπόθεση ότι όλες οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές θα πάρουμε: dx() ML FT( ) B. ( ) B. FT( s) B. ( s) B. sx ( s) d ML K F( ) K ( ) d K. x( ) F( s) ( s) K. X ( s) s υ() M x() d( ) d x( ) ML ( ). ( ).. ( ). ( ). ( ). ( ) F M M M F s M s M s s M s X s d d Ο τρόπος με τον οποίο υπολογίζουμε τις συναρτήσεις μεταφοράς θα περιγραφεί μέσα από τα παρακάτω παραδείγματα: F()

12 Παράδειγμα : Να υπολογισθεί η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος του σχήματος.7 με είσοδο F () και έξοδο x (). Σχήμα.7 K Στη μάζα Μ εφαρμόζουμε δύναμη F(), το ελατήριο έχει συντελεστή ελαστικότητας Κ και η τριβή με την επιφάνεια που εφάπτεται έχει συντελεστή ολίσθησης B. Η λογική της μεθόδου είναι σε κάθε μάζα που θα έχουμε θα πρέπει να γράψουμε την εξίσωση κίνησης, δηλαδή η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σώμα το οποίο κινείται πρέπει να ισούται με την Μάζα επί την επιτάχυνση. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα στη μάζα Μ εφαρμόζονται στην ίδια διεύθυνση 3 δυνάμεις. Στη δύναμη F() αντιτίθενται η δύναμη του ελατηρίου και η δύναμη της τριβής. ΠΡΟΣΟΧΗ: θα γράφουμε τις δυνάμεις που υπάρχουν όταν η μάζα κινείται. τις εξισώσεις θα τις γράψουμε κατευθείαν στο πεδίο του Laplace και έχουμε: F( s) KX ( s) BsX ( s) Ms X ( s) () X() s Η συνάρτηση μεταφοράς είναι: Hs () και επομένως από τι σχέση () έχουμε: Fs () X( s) F( s) ( Ms Bs K). X ( s) H( s) Παράδειγμα : M x() B F() F() s Ms Bs K K ` x() M K x() M F() Σχήμα.8 B B Στο παραπάνω σύστημα του σχήματος.8 θέλουμε την συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος με είσοδο F() και έξοδο το x(). Η εξίσωση κίνησης θα πρέπει να γραφεί για την κάθε μάζα ξεχωριστά. Εδώ χρειάζεται προσοχή ποιες είναι η δυνάμεις που ασκούνται στην κάθε μάζα. Ας

13 ξεκινήσουμε με την εξίσωση κίνησης της μάζας Μ. Στη δύναμη F αντιτίθενται η δύναμη της τριβής με συντελεστή B και η δύναμη του ελατηρίου Κ, και έτς έχουμε: F( s) B sx ( s) K ( X ( s) X ( s)) M s X ( s) ΠΡΟΣΟΧΗ: στο ελατήριο Κ βλέπουμε ότι είναι κινούμενα και τα δύο του άκρα, άρα η επέκταση του είναι Χ-Χ. Στη μάζα Μ, η δυνάμεις που αντιτίθενται είναι: στη δύναμη του ελατηρίου Κ αντιτίθενται η τριβή Β και το ελατήριο Κ, έτσι έχουμε: K ( X ( s) X ( s)) K X ( s) B sx ( s) M s X ( s) Θα πρέπει να λύσουμε τη δεύτερη σχέση ως προς το X () s και να αντικαταστήσουμε στη σχέση () K ( X ( s) X ( s)) K X ( s) B sx ( s) M s X ( s) K X ( s) X ( s)( M s B s K K ) X () s K X () s Ms Bs K K Από τι σχέση () έχουμε : F( s) B sx ( s) K ( X ( s) X ( s)) M s X ( s) F( s) X ( s)( M s B s K ) K X ( s) K X () s F( s) X ( s)( M s B s K ) K ( M s B s K K ) K F( s) X ( s) ( M s Bs K) ( Ms Bs K K) ( M s B s K )( M s F( s) X ( s) H() s ( Ms Bs K K) ( ) ( )( ) () () B s K K ) K X ( s) ( M s B s K K ) F s M s B s K M s B s K K K Ας δούμε ποιες είναι οι μονάδες όλων αυτών των μηχανολογικών μεγεθών για να μπορέσουμε να δούμε τις αποκρίσεις των συναρτήσεων μεταφοράς των δύο παραδειγμάτων. Θα χρησιμοποιήσουμε τις μονάδες του διεθνούς συστήματος όπως χρησιμοποιούνται και στον προσομοιωτή του MATLAB, δηλαδή θα έχουμε: Μάζα Μ σε Kg (κιλά) Συντελεστή ελαστικότητας Κ σε N/m (Νιούτον ανά μέτρο) Συντελεστής τριβής Β σε Ν/(m/s) (Νιούτον ανά μέτρο ανά δευτερόλεπτο) Στο σύστημα του παραδείγματος θέτουμε: M=M= Kg

14 K=K= N/m B=B= N/(m/s) Αν αντικαταστήσουμε τις τιμές και κάνουμε πράξεις έχουμε: H() s s s s s s s Λαμβάνουμε στο MATLAB τη βηματική απόκριση την οποία βλέπουμε στο σχήμα.8α Σχήμα.8α Παράδειγμα 3 Θέλουμε στον μηχανισμό του Κ σχήματος.9 να βρούμε την συνάρτηση μεταφοράς του Μ X() συστήματος με είσοδο F() και έξοdο X(). Στο παράδειγμα Κ Β Κ3 αυτό παρατηρούμε κάποιες ιδιαιτερότητες σε σχέση με τα δύο προηγούμενα Μ X() παραδείγματα. Η μία ιδιαιτερότητα είναι η ύπαρξη ενός νέου στοιχείου το οποίο Σχήμα.9 F() εμφανίζουμε με συντελεστή τριβής Β. Το στοιχείο αυτό είναι ένας Αποσβεστήρας (dumper). Στον αποσβεστήρα ισχύει ο νόμος τις τριβής όπως 3

15 τον έχουμε παρουσιάσει, δηλαδή η δύναμη που ασκείται στα άκρα του είναι: dx() ML FT( ) B. ( ) B. FT( s) B. ( s) B. sx ( s) με την διαφορά όμως ότι d άκρα του αποσβεστήρα είναι κινούμενα και τα δύο, όπως είναι στο συγκεκριμένο παράδειγμα τότε θα έχουμε: FT ( s) B.( ( s) ( s)) B. s( X ( s) X( s)). Η άλλη ιδιαιτερότητα είναι ότι οι κινούμενες μάζες δεν κινούνται οριζόντια, αλλά κατακόρυφα. Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να προστεθούν και τα βάρη των μαζών στις δυνάμεις της κίνησης; Η απάντηση είναι όχι και ο λόγος είναι ο εξής: Τα βάρη των μαζών δημιουργούν μια αρχική ισορροπία στο σύστημα καθώς εξουδετερώνονται από τις αρχικές επεκτάσεις των ελατηρίων. Εμείς θεωρούμε ότι σε αυτή την αρχική θέση το σύστημα βρίσκεται στο σημείο μηδέν και μας ενδιαφέρει η κίνηση γύρω από αυτό το μηδενικό σημείο ισορροπίας. Επομένως δεν θα υπολογίσουμε τα βάρη των μαζών. Μετά τις διευκρινήσεις αυτές μπορούμε να προχωρήσουμε να γράψουμε τις εξισώσεις κίνησης για τις δύο μάζες: Εξίσωση μάζας Μ: Στην δύναμη εισόδου F() αντιτίθενται οι δυνάμεις του ελατηρίου Κ, του αποσβεστήρα Β των οποίων τα δύο άκρα είναι κινούμενα, και του ελατηρίου Κ3 το οποίο έχει το ένα άκρο σταθερό, άρα έχουμε: F( ) K X ( s) K ( X ( s) X ( s)) Bs( X ( s) X ( s)) M s X ( s) 3 Εξίσωση μάζας Μ: Στις δυνάμεις του ελατηρίου Κ και του αποσβεστήρα Β, αντιτίθεται η δύναμη του ελατηρίου Κ, άρα έχουμε: K ( X ( s) X ( s)) Bs( X ( s) X ( s)) K X ( s) M s X ( s) 3 Για να βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς πρέπει να λύσουμε τη δεύτερη εξίσωση ως προς X () s και να το αντικαταστήσουμε στην πρώτη. K ( X ( s) X ( s)) Bs( X ( s) X ( s)) K X ( s) M s X ( s) 3 K X ( s) BsX ( s) M s X ( s) K X ( s) BsX ( s) K X ( s) 3 M s K Bs K X ( s) X ( s) 3 K Bs Από τη σχέση () έχουμε: () () 4

16 F( ) K X ( s) K ( X ( s) X ( s)) Bs( X ( s) X ( s)) M s X ( s) 3 F( ) ( M s K K Bs) X ( s) ( K Bs) X ( s) 3 M s K Bs K F( ) ( M s K K Bs) X ( s) ( K Bs) X ( s) 3 3 K Bs ( M s K3 K Bs)( Ms K Bs K3) F( ) ( K Bs) X() s K Bs ( M s K3 K Bs)( Ms K Bs K3) ( K Bs) F( ) X( s) K Bs X () s K Bs H() s F s M s K K Bs M s K Bs K K Bs ( ) ( 3 )( 3) ( ) Υπολογισμός συνάρτησης μεταφοράς σε Μηχανολογικά συστήματα περιστροφής Τα μηχανολογικά συστήματα περιστροφής είναι ακριβώς ανάλογα με τα μηχανολογικά συστήματα μεταφοράς. Δηλαδή ισχύουν ο νόμος του Newon, ο νόμος της ελαστικότητας και ο νόμος της τριβής, αλλά τα μεγέθη είναι διαφορετικά. Στον πίνακα δίνουμε την αναλογία των μεγεθών που υπάρχουν στα μηχανολογικά συστήματα μεταφοράς. Συστήματα Μεταφοράς Συστήματα Περιστροφής Δύναμη F Ροπή Τ Μετατόπιση X γωνία θ Ταχύτητα υ Γωνιακή ταχύτητα ω Μάζα Μ Ροπή Αδρανείας J Επιτάχυνση γ Γωνιακή επιτάχυνση ωγ Συντελεστής ελαστικότητας Κ Συντελεστής στροφικής Kσ ελαστικότητας Συντελεστής τριβής ολίσθησης Β Συντελεστής τριβής ολίσθησης Β Πίνακας Στη συνέχεια παρουσιάζουμε τους νόμους που παρουσιάσαμε στη προηγούμενη παράγραφο πως ισχύουν για τα περιστροφικά μηχανολογικά συστήματα. 5

17 Τριβή ολίσθησης ω = γωνιακή ταχύτητα Τριβή ολίσθησης Περιστροφικός αποσβεστήρας Βσ Σχήμα. Όπως και στα μηχανολογικά συστήματα μεταφοράς στα συστήματα περιστροφής ισχύουν τα ίδια δηλαδή όταν ένα σύστημα περιστρέφεται με ταχύτητα περιστροφής ω τότε αναπτύσσεται ροπή τριβής αντίθετη προς τη ροπή που δημιουργεί την περιστροφή και ισχύει: T ( ) B. ( ) T Το B είναι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης. Η γωνιακή ταχύτητα είναι το ρυθμός d () μεταβολής της γωνίας περιστροφής, δηλαδή: () τότε η παραπάνω σχέση d γράφεται: T () B T d () d Στην περίπτωση της τριβής έχουμε κατανάλωση ενέργειας η οποία μετατρέπεται σε θερμότητα και έχουμε: W B ( ), όπου και είναι η τελική και η αρχική ταχύτητα Νομός ελαστικότητας του Hook θ = γωνία περιστροφής Τ = Ροπή Σχήμα. Κσ = Συντελεστής στροφικής ελαστικότητας 6

18 Όπως σε ένα ελατήριο ισχύει ο νόμος της ελαστικότητας με τον ίδιο τρόπο υπάρχει και η στροφική ελαστικότητα. Πάλι για γραμμική περιοχή (για μικρές γωνίες περιστροφής) ισχύει ο νόμος της ελαστικότητας του Hook ο οποίο διατυπώνεται ως εξής: T K όπου T είναι η δύναμη, η μετατόπιση και K ο συντελεστής στροφικής ελαστικότητας του Ηοοκ. Η σχέση βέβαια γράφεται και ως εξής: T ( ) K ( ) και αν γράψουμε τη σχέση σε συνάρτηση με την γωνιακή ταχύτητα έχουμε: T( ) K ( ) d Πρέπει να πούμε ακόμη ότι στο ελατήριο αποθηκεύεται δυναμική ενέργεια και δίνεται από τον τύπο: W K Νόμος του Newon Σύμφωνα με το νόμο του Νεύτωνα αν ένα σώμα περιστρέφεται η αιτία της περιστροφής είναι μια ροπή Τ για την οποία ισχύει: T J όπου J είναι η ροπή αδρανείας του περιστρεφόμενου σώματος και η γωνιακή επιτάχυνση: J = ροπή αδρανείας θ = γωνία περιστροφής ω = γωνιακή ταχύτητα Τ = Ροπή (αιτία που δημιουργεί την περιστροφή) Οι σχέσεις μπορούν να γραφούν ως εξής: T ( ) J ( ) και στη συνέχεια θα γράψουμε τις σχέσεις σε συνάρτηση με την γωνιακή ταχύτητα () και τη γωνία περιστροφής () ως εξής: d d T ( ) J ( ) J J d d ( ) ( ) Ας σημειώσουμε εδώ στο σώμα αποθηκεύεται κινητική ενέργεια η οποία ισούται: W J 7

19 Tις παραπάνω σχέσεις αν τις μετασχηματίσουμε κατά Laplace, με την προϋπόθεση ότι όλες οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές θα πάρουμε τις αντίστοιχες με τα συστήματα μεταφοράς σχέσεις ως εξής: d () ML TT( ) B ( ) B FT( s) B ( s) B s( s) d K T ( ) K ( ) d K ( ) T ( s) ( s) K ( s) ML s d( ) d ( ) ML ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T J J J T s J s Js s Js s d d Παράδειγμα Μήκος L Μήκος L Γωνία περιστροφής θ Δύναμη F Σχήμα. Κσ = Συντελεστής στροφικής ελαστικότητας και Bσ = Συντελεστής στροφικού αποσβεστήρα Στο σχήμα. δίνεται μια περιστρεφόμενη βελόνα. Στην μία της άκρη ασκούμε δύναμη F. Η βελόνα περιστρέφεται σε σημείο το οποίο απέχει μήκος L από το άκρο όπου εφαρμόζεται η δύναμη και L από το ελεύθερο άκρο του. Η περιστρεφόμενη βελόνα έχει συντελεστή στροφικής ελαστικότητας Κσ και συντελεστή στροφικού αποσβεστήρα Bσ. Η ροπή αδρανείας της βελόνας είναι J. Θέλουμε να βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος με είσοδο την δύναμη F και έξοδο την γωνίας στροφής θ. Η δύναμη F δημιουργεί ροπή η οποία περιστρέφει η βελόνα η ροπή αυτή είναι: T ( s) F( s) L. Στο περιστρεφόμενο σύστημα η συνολική ροπή η οποία περιστρέφει την βελόνα είναι: Η ροπή της δύναμης F μείον τη ροπή της ελαστικότητας και μείον τη ροπή του αποσβεστήρα άρα έχουμε: T s B s s K s Js s ( ) ( ) ( ) ( ) Και αν αντικαταστήσουμε τη ροπή Τ με το ίσο της έχουμε: 8

20 F( s) L B s ( s) K ( s) Js ( s) F( s) L ( Js B s K ) ( s) () s Hs () L F() s Js Bs K Παράδειγμα Έχουμε το περιστροφικό σύστημα στο σχήμα.3 έχουμε στην ουσία δύο περιστρεφόμενα σώματα τα οποία συνδέονται με αποσβεστήρα και ελατήρια Η αιτία που δημιουργεί την περιστροφή είναι η ροπή Τ. Στο σύστημα το κάθε σώμα θα έχει διαφορετική γωνία περιστροφής θ και θ. Θέλουμε να βρούμε τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος με είσοδο τη ροπή Τ και έξοδο την μετατόπιση θ. Όπως και στα μηχανολογικά συστήματα μεταφοράς θα γράψουμε την εξίσωση κίνησης για το κάθε περιστρεφόμενο σώμα: Κσ = Ελλατήριο Θ = γωνία περιστροφής Βσ3 = Αποσβεστήρας J Θ = γωνία περιστροφής Θ = γωνία περιστροφής Κσ = Ελλατήριο Τ=ροπή J Βσ = Τριβή Βσ = Τριβή Σχήμα.3 Η ροπή που δημιουργεί την περιστροφή του σώματος J είναι η ροπή που ασκεί το ελατήριο Kσ. Άρε η εξίσωση κίνησης στο περιστρεφόμενο σώμα J είναι: Η εξίσωση κίνησης για το περιστρεφόμενο σώμα J είναι: K ( ( s) ( s)) B s ( s) B s( ( s) ( s)) J s ( s) () 3 Προσοχή : ( s) ( s) Ο αποσβεστήρας μεταξύ των δύο σωμάτων έχει γωνία στροφής Η αιτία που δημιουργεί την περιστροφή στο σώμα J είναι η ροπή που ασκεί σε αυτό ο αποσβεστήρας και επομένως η εξίσωση κίνησης του σώματος J θα είναι: 9

21 B s( ( s) ( s)) K ( s) B s ( s) J s ( s) () 3 Η ροπή εισόδου Τ εφαρμόζεται στο ελατήριο Κσ και επομένως έχουμε: T ( s) K( ( s) ( s)) (3) Λύνουμε τη εξίσωση () ως προς το θ : B s( ( s) ( s)) K ( s) B s ( s) J s ( s) 3 B s ( s) ( J s B s K B s) ( s) 3 3 B s () s () s J s B s K B s 3 3 B 3s Ονομάζουμε για λόγους ευκολίας πράξεων : A J s B s K B s 3 και άρα ( s) A ( s) Από τη σχέση () και (3) έχουμε: T( s) B s ( s) B s( ( s) ( s)) J s ( s) 3 T( s) ( J s B s B s) ( s) B s ( s) 3 3 Αντικαθιστούμε στη σχέση αυτή το θ(s) και έχουμε: T( s) ( J s B s B s) ( s) B sa ( s) 3 3 () s T( s) ( J s B s B s) B sa 3 3 Ακόμα και από το σημείο αυτό οι πράξεις είναι πάρα πολλές για να καταλήξουμε στην τελική συνάρτηση μεταφοράς. 3