Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών

2 12 Ο Δ Π Μ δακτύλιο με τις πράξεις τού R και όπου το μοναδιαίο στοιχείο τού R συμπίπτει με το μοναδιαίο στοιχείο τού R Είναι δυνατόν ένας δακτύλιος (R, +, ) να μην είναι σώμα, αλλά ωστόσο να περιέχει έναν υποδακτύλιο ο οποίος να είναι σώμα Παραδείγματα 114 Θεωρούμε το ευθύ γινόμενο Q Q τού σώματος των ρητών αριθμών (Q, +, ) με τον εαυτό του Το υποσύνολο = {(q, q) q Q} Q Q είναι ένας υποδακτύλιος τού Q Q, που αποτελεί ένα σώμα 12 Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής Ένα πολυώνυμο μιας μεταβλητής με συντελεστές από έναν μεταθετικό μοναδιαίο δακτύλιο (R, +, ) ορίζεται ως μια απεικόνιση f : N {0} R, όπου το σύνολο {n N {0} f(n) 0 R } είναι πεπερασμένο Το σύνολο των πολυωνύμων μιας μεταβλητής με συντελεστές από έναν μεταθετικό μοναδιαίο δακτύλιο (R, +, ) συμβολίζεται με R[x] Στο σύνολο R[x] ορίζουμε την πράξη τής πρόσθεσης + : R[x] R[x] R[x], (f, g) f + g, όπου(f + g)(n) := f(n) + g(n), n N {0} και την πράξη τού πολλαπλασιασμού : R[x] R[x] R[x], (f, g) f g, όπου(f g)(n) := Κάθε στοιχείο a R, το ταυτίζουμε με το πολυώνυμο a : N {0} R, i+j=n f(i)g(j), n N {0} (*) που απεικονίζει το 0 N {0} στο a R και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία τού N {0} στο 0 R Κάθε τέτοιου είδους πολυώνυμο ονομάζεται σταθερό πολυώνυμο (η απλώς σταθερά) Ειδικότερα το πολυώνυμο 0 : N {0} R, δηλαδή το πολυώνυμο που απεικονίζει κάθε στοιχείο τού N {0} στο 0 R, το ονομάζουμε μηδενικό πολυώνυμο Συμβολίζοντας με x : N {0} R 5 Ν Μ

3 1 Π Έ το πολυώνυμο που απεικονίζει το 1 N {0} στο μοναδιαίο στοιχείο 1 R R και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία τού N {0} στο 0 R, διαπιστώνουμε ότι οποιοδήποτε πολυώνυμο f παριστάνεται μοναδικώς ως f = f(i)x i i N {0} Προσέξτε, ότι από τον ορισμό τού πολλαπλασιασμού πολυωνύμων, η δύναμη x i : N {0} R, i N, i N απεικονίζει το i N {0} στο 1 R και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία τού N {0} στο 0 R Τέλος, δεχόμαστε ότι η δύναμη x 0 ταυτίζεται με το πολυώνυμο 1, δηλαδή απεικονίζει το 0 N {0} στο 1 R και όλα τα υπόλοιπα στοιχεία τού N {0} στο 0 R Έτσι, γράφοντας a 0 x 0 + a 1 x + + a n x n ή απλώς a 0 + a 1 x + + a n x n εννοούμε το πολυώνυμο f : N {0} R με f(i) = a i, i = 0, 1, 2,, n και f(i) = 0, i > n Τα a 0, a 1,, a n ονομάζονται οι συντελεστές τού πολυωνύμου Πρόταση 121 Αν (R, +, ) είναι ένας μοναδιαίος μεταθετικός δακτύλιος, τότε η τριάδα (R[x], +, ) αποτελεί επίσης έναν μοναδιαίο μεταθετικό δακτύλιο Ο δακτύλιος R[x] ονομάζεται ο δακτύλιος πολυωνύμων μιας μεταβλητής με συντελεστές από τον δακτύλιο R (ή υπεράνω τού δακτυλίου R) Παραδοσιακά, η έννοια τού πολυωνύμου προέρχεται από την έννοια τής πραγματικής πολυωνυμικής συνάρτησης f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n : R R, r a 0 + a 1 r + + a n r n, όπου n N, a 0, a 1,, a n R Έτσι για να δηλώσουμε ένα πολυώνυμο, θα γράφουμε συχνά f(x) και θα ονομάζουμε το x μια μεταβλητή, μολονότι όπως είδαμε πιο πάνω το x δεν είναι μεταβλητή, αλλά μια εντελώς συγκεκριμένη απεικόνιση Ορισμός 121 Καλούμε βαθμό ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n τον μεγαλύτερο αριθμό i N {0} με f(i) = a i 0 R Επιπλέον, θεωρούμε ότι ο βαθμός τού μηδενικού πολυωνύμου ισούται με το (πλην άπειρο) Συνήθως συμβολίζουμε με deg f(x) τον βαθμό τού πολυωνύμου f(x) Συνεπώς, {deg f(x) f(x) R[x]} = N {0} { } Ν Μ 6

4 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i) = a i με το μεγαλύτερο i N {0}, όπου f(i) 0 R Ονομάζουμε ένα μη μηδενικό πολυώνυμο μονοστό, αν ο επικεφαλής του συντελεστής ισούται με 1 R Παραδείγματα 121 Έστω ο δακτύλιος των ακεραίων αριθμών (Z, +, ) και Z[x] ο αντίστοιχος δακτύλιος των πολυωνύμων μιας μεταβλητής υπεράνω τού Z Το πολυώνυμο f 1 (x) = 2 Z[x] έχει deg f 1 (x) = 0, το f 2 (x) = 2+x 3n Z[x], n N έχει deg f 2 (x) = 3n και το πολυώνυμο f 3 (x) = 1 + x + x x n, n N έχει deg f 3 (x) = n Ο επικεφαλής συντελεστής τού f 1 (x) είναι 2 Tα f 2 (x) και f 3 (x) είναι μονοστά πολυώνυμα Πρόταση 122 Αν ο δακτύλιος (R, +, ) είναι ακέραια περιοχή, τότε και ο δακτύλιος R[x] είναι ακέραια περιοχή και μάλιστα f(x), g(x) R[x] είναι deg f(x)g(x) = deg f(x) + deg g(x) Απόδειξη Αν ένα από τα δύο πολυώνυμα είναι το μηδενικό, τότε το γινόμενό τους είναι επίσης το μηδενικό πολυώνυμο και από την παραδοχή που κάναμε, βλ (**), σχετικά με τον βαθμό τού μηδενικού πολυνωύμου έπεται η ισότητα deg f(x)g(x) = deg f(x) + deg g(x) Αν ούτε το f(x) = a 0 +a 1 x+ +a n x n είναι το μηδενικό πολυώνυμο, ας πούμε ότι deg f(x) = n, ούτε το g(x) = b 0 +b 1 x+ +b m x m είναι το μηδενικό πολυώνυμο, ας πούμε ότι deg g(x) = m, τότε ο επικεφαλής συντελεστής τού γινομένου f(x)g(x) είναι ο a n b m 0 R, επειδή a n 0 R, b m 0 R και επειδή ο R είναι ακεραια περιοχή Συνεπώς, deg f(x)g(x) = n + m = deg f(x) + deg g(x) Παρατηρήσεις 121 Εππιλέον αν, (R, +, ) είναι οποιοσδήποτε μοναδιαίος δακτύλιος, f(x), g(x) R[x], deg(f(x) + g(x)) max{deg f(x), deg g(x)} 13 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Έστω (R, +, ) ένας μοναδιαίος μεταθετικός δακτύλιος και I R ένα υποσύνολό του Υπενθυμίζουμε ότι Ορισμός 131 Το I R είναι ένα ιδεώδες τού (R, +, ) αν, το ζεύγος (I, +) είναι μια υποομάδα τού (R, +) και το I είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό με τα στοιχεία τού R, δηλαδή a I και r R, το στοιχείο ra ανήκει στο I 7 Ν Μ

5 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

6 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος «Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής» Έκδοση: 10 Ιωάννινα 2014 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 40 [1] ή μεταγενέστερη [1]