Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο"

Transcript

1 Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2 Αν R είναι ένας δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, με περισσότερα από ένα στοιχείο, και χωρίς διαιρέτες του μηδενός, δείξτε ότι ισχύει ab = 1 αν και μόνον αν ba = 1. (Υπόδειξη. Προφανώς a 0 και b 0. Αν ab = 1, τότε (ba)(ba) = b(ab)a = ba ba(ba 1) = 0. Όμως ba 0, διότι διαφορετικά θα ήταν a = 1 a = (ab)a = a(ba) = 0.) Ά σ κ η σ η 1.3 Ένας δακτύλιος R είναι αντιμεταθετικός τότε και μόνον τότε όταν για οποιαδήποτε στοιχεία a και b του R ισχύει (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2. Ά σ κ η σ η 1.4 Να βρεθούν οι διαιρέτες του μηδενός και τα αντιστρέψιμα στοιχεία των δακτυλίων Z 8, Z 12 και Z 7. Ά σ κ η σ η 1.5 Δείξτε ότι ένας δακτύλιος R με μοναδιαίο στοιχείο είναι αντιμεταθετικός αν και μόνον αν ισχύει (ab) 2 = a 2 b 2, για κάθε a, b R. Ά σ κ η σ η 1.6 Δείξτε ότι, για κάθε ελεύθερου τετραγώνου ακέραιο n, το σύνολο Z[ n] = {a + b n/a, b Z} είναι μια ακεραία περιοχή. Είναι υποδακτύλιος του δακτυλίου R, όταν ο n είναι θετικός, και υποδακτύλιος του δακτυλίου C, όταν ο n είναι αρνητικός αριθμός. Ά σ κ η σ η 1.7 Δείξτε ότι ο δακτύλιος Z[ 3] έχει άπειρα αντιστρέψιμα στοιχεία. (Υπόδειξη: Παρατηρείστε ότι (2 + 3)(2 3) = 1, και θεωρείστε, για κάθε φυσικό αριθμό n, τις δυνάμεις (2 + 3) n.) Ά σ κ η σ η 1.8 Δείξτε ότι ένας δακτύλιος R με μοναδιαίο στοιχείο, που περιέχει υποδακτύλιο S με μοναδιαίο στοιχείο διάφορο από αυτό του R, δεν είναι ποτέ ακεραία περιοχή. Ά σ κ η σ η 1.9 Δείξτε ότι, για κάθε ελεύθερου τετραγώνου ακέραιο n, το σύνολο Q[ n] = {a + b n/a, b Q}, είναι υπόσωμα του R, όταν n > 0, ή υπόσωμα του C, όταν n < 0. Να εξεταστεί αν το σύνολο {a + b 3 2/a, b Q} είναι υπόσωμα του R. 1

2 Ά σ κ η σ η 1.10 Αν i = 1, δείξτε ότι το σύνολο Z[i] = {a + bi/a, b Z} είναι υποδακτύλιος του C. Να εξεταστεί αν ο δακτύλιος Z[i] είναι ακεραία περιοχή. Ο δακτύλιος Z[i] λέγεται δακτύλιος του Gauss. Ά σ κ η σ η 1.11 Δείξτε ότι σε ένα πεπερασμένο δακτύλιο R με n στοιχεία ισχύει η σχέση na = 0, για κάθε a R. Ά σ κ η σ η 1.12 Αν R είναι ένας δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, δείξτε ότι το σύνολο των αντιστρέψιμων στοιχείων του R αποτελεί μια πολλαπλασιαστική ομάδα. Ά σ κ η σ η 1.13 Έστω a τυχόν στοιχείο ενός δακτυλίου R. Δείξτε ότι το σύνολο C(a) = {r R/ra = ar} είναι υποδακτύλιος του R. 2 Ομάδα II Ά σ κ η σ η 2.1 Έστω R ένας δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο 1 και a ένα αντιστρέψιμο στοιχείο του R. Δείξτε ότι η συνάρτηση f : R R, που ορίζεται από τη σχέση f(r) = ara 1, για κάθε r R, είναι ένας αυτομορφισμός του R. Ά σ κ η σ η 2.2 Έστω f : R S ένας ομομορφισμός δακτυλίων, και έστω ότι ισχύει char R > 0. Δείξτε ότι ισχύει η σχέση 0 < char f(r) char R. Ά σ κ η σ η 2.3 Αν f : R R είναι ένας ενδομορφισμός του R, δείξτε ότι το σύνολο S = {a R/f(a) = a} είναι υποδακτύλιος του R. Ά σ κ η σ η 2.4 Θεωρούμε το δακτύλιο M 2 (Z) όλων των 2 2 πινάκων με στοιχεία ακέραιους αριθμούς. Δείξτε ότι (i) Το υποσύνολο S = {( n 0 2n 0 ) /n Z} του M 2 (Z) είναι υποδακτύλιος του M 2 (Z). (ii) Ο δακτύλιος S είναι ισόμορφος με τον δακτύλιο Z των ακεραίων. Ά σ κ η σ η 2.5 Έστω f : R S ένας ομομορφισμός δακτυλίων τέτοιος, ώστε να ισχύει f(r) 0 για κάποιο r R {0}. Αν ο R έχει μοναδιαίο στοιχείο 1, και ο S δεν έχει διαιρέτες του μηδενός, δείξτε ότι το f(1) είναι μοναδιαίο στοιχείο του S. (Υπόδειξη: Για κάθε s S ισχύουν f(r)s = f(r 1)s = f(r)f(1)s και sf(r) = sf(1 r) = sf(1)f(r).) Ά σ κ η σ η 2.6 Δίνονται τα υποσώματα του σώματος R, των πραγματικών αριθμών F = Q( 2) = {a + b 2/a, b Q}, και K = Q( 3) = {a + b 3/a, b Q}. Να εξεταστεί αν τα σώματα αυτά είναι ισόμορφα. 2

3 Ά σ κ η σ η 2.7 Δείξτε ότι το σύνολο F = {( a ) } b b a /a, b R, εφοδιασμένο με τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού πινάκων, είναι ένα σώμα ισόμορφο με το σώμα C των μιγαδικών αριθμών. 3 Ομάδα III Ά σ κ η σ η 3.1 Έστω Z[x] ο δακτύλιος όλων των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές. Δείξτε ότι το σύνολο S όλων των σταθερών πολυωνύμων του Z[x] είναι υποδακτύλιος αλλά όχι ιδεώδες του Z[x]. Ά σ κ η σ η 3.2 Έστω Z[x] ο δακτύλιος όλων των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές. Δείξτε ότι το σύνολο I όλων των πολυωνύμων του Z[x] με άρτιο σταθερό όρο είναι ένα ιδεώδες του Z[x]. Δείξτε ότι το ιδεώδες I δεν είναι κύριο. (Υπόδειξη. Αν I = ( p(x) ), τότε το 2 πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του p(x), διότι 2 I. Δηλαδή p(x) = ±2. Επομένως θα πρέπει να ισχύει x = (±2)r(x), διότι x I.) Ά σ κ η σ η 3.3 Αν I 1, I 2,, I n, είναι ιδεώδη ενός δακτυλίου R, τέτοια ώστε να ισχύει I 1 I 2 I n, δείξτε ότι η ένωση I = I i, i=1 όλων των ιδεωδών I i, είναι επίσης ιδεώδες του R. Ά σ κ η σ η 3.4 Έστω F ένα σώμα, και φ ένας αυτομορφισμός του F. Δείξτε ότι το σύνολο L = {x F /φ(x) = x}, όλων των στοιχείων του F που σταθεροποιούνται από τον αυτομορφισμό φ, αποτελεί υπόσωμα του F. Ά σ κ η σ η 3.5 Έστω a τυχόν στοιχείο ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου R. Δείξτε ότι το σύνολο I = {x R/xa = 0} είναι ένα ιδεώδες του R. Ά σ κ η σ η 3.6 Δείξτε ότι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος R με μοναδιαίο στοιχείο, και μοναδικά ιδεώδη τα (0) και R είναι σώμα. Ά σ κ η σ η 3.7 Έστω F ένα σώμα χαρακτηριστικής p, όπου p είναι ένας πρώτος αριθμός, και k ένας ακέραιος που δεν διαιρείται από τον p. Δείξτε ότι αν a F και ισχύει ka = 0, τότε θα είναι a = 0. Ά σ κ η σ η 3.8 Αν D είναι μια πεπερασμένη ακεραία περιοχή, δείξτε ότι για κάθε μη μηδενικό στοιχείο a D, υπάρχει ένας θετικός ακέραιος k τέτοιος, ώστε να ισχύει a 1 = a k. Ά σ κ η σ η 3.9 Να βρεθούν όλα τα διαφορετικά κύρια ιδεώδη των δακτυλίων Z 5, Z 9 και Z 12. 3

4 Ά σ κ η σ η 3.10 Δείξτε ότι το σύνολο όλων των μη αντιστρέψιμων στοιχείων του δακτυλίου Z 8 είναι ένα ιδεώδες του Z 8. Δείξτε το ίδιο για το δακτύλιο Z 9. Δώστε παράδειγμα ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου R με μοναδιαίο στοιχείο, στον οποίο το σύνολο των μη αντιστρέψιμων στοιχείων δεν είναι ιδεώδες του R. 4 Ομάδα IV Ά σ κ η σ η 4.1 Έστω Z[x] το σύνολο όλων των πολυωνύμων με ακέραιους συντελεστές και I το σύνολο όλων των πολυωνύμων του Z[x] με άρτιο σταθερό όρο. Δείξτε ότι το I είναι ένα ιδεώδες του Z[x] και να προσδιοριστεί ο δακτύλιος πηλίκο Z[x]/I. Ά σ κ η σ η 4.2 Δείξτε ότι ισχύει Z[x]/ ( x ) = Z. Ά σ κ η σ η 4.3 Θεωρούμε τα σύνολα {( ) } {( a b R = /a, b R, και I = 0 a 0 b 0 0 ) /b R Δείξτε ότι το R είναι ένας δακτύλιος με πράξεις την πρόσθεση, και τον πολλαπλασιασμό πινάκων, και το I ένα ιδεώδες του R. Να προσδιοριστεί η μορφή των στοιχείων στον δακτύλιο πηλίκο R/I. Ά σ κ η σ η 4.4 Αν F είναι σώμα, R ένας μη μηδενικός δακτύλιος, και η f : F R είναι ένας επιμορφισμός δακτυλίων, δείξτε ότι ο δακτύλιος R είναι σώμα. Ά σ κ η σ η 4.5 Αν I 1 και I 2 είναι ιδεώδη ενός δακτυλίου R τέτοια, ώστε να ισχύει η σχέση R = I 1 I 2, δείξτε ότι θα ισχύουν R/I 1 = I2 και R/I 2 = I1. Ά σ κ η σ η 4.6 Δείξτε ότι ισχύει Z 20 / ( 5 ) = Z5. Ά σ κ η σ η 4.7 Έστω f : R S ένας ομομορφισμός δακτυλίων, και F ένας υποδακτύλιος του R, ο οποίος συμβαίνει να είναι σώμα. Δείξτε ότι αναγκαστικά θα ισχύει F Ker f ή ο δακτύλιος S περιέχει έναν υποδακτύλιο ισόμορφο με τον F. Ά σ κ η σ η 4.8 Δείξτε ότι κάθε υπόσωμα του σώματος R των πραγματικών αριθμών περιέχει αναγκαστικά το σώμα Q των ρητών αριθμών. }. 5 Ομάδα V Ά σ κ η σ η 5.1 Δείξτε ότι σε ένα αντιμεταθετικό δακτύλιο R με μοναδιαίο στοιχείο οι παρακάτω συνθήκες είναι ισοδύναμες: (i) R είναι σώμα, (ii) ( 0 ) είναι μέγιστο ιδεώδες στο R, (iii) R δεν έχει μη μηδενικά γνήσια ιδεώδη. 4

5 Ά σ κ η σ η 5.2 Να βρεθεί ένα μέγιστο ιδεώδες I του δακτυλίου Z 8. Δίνεται το στοιχείο 3 + I του σώματος Z 8 /I. Να βρεθεί το αντίστροφό του. Ά σ κ η σ η 5.3 Έστω R μια ακεραία περιοχή και p 0 ένα στοιχείο της R. Υποθέτουμε ότι το ( p ) είναι ένα πρώτο ιδεώδες του R. Αν ισχύει p = ab, δείξτε ότι θα πρέπει να είναι a αντιστρέψιμο ή b αντιστρέψιμο. Ά σ κ η σ η 5.4 Έστω f : R S ένας επιμορφισμός αντιμεταθετικών δακτυλίων. Δείξτε ότι ισχύουν (i) αν M είναι μέγιστο ιδεώδες του R που περιέχει τον πυρήνα Ker f, τότε το f(m) είναι μέγιστο ιδεώδες του S. (ii) αν P είναι πρώτο ιδεώδες του R που περιέχει τον πυρήνα Ker f, τότε το f(p ) είναι πρώτο ιδεώδες του S. (iii) αν M είναι ένα μέγιστο ιδεώδες του S, τότε το f 1 (M ) είναι ένα μέγιστο ιδεώδες του R. (iv) αν P είναι ένα πρώτο ιδεώδες του S, τότε το f 1 (P ) είναι ένα πρώτο ιδεώδες του R. Δείξτε όλα τα προηγούμενα στην περίπτωση που οι δακτύλιοι R και S περιέχουν μοναδιαίο στοιχείο. Ά σ κ η σ η 5.5 Δίνεται ο δακτύλιος R[x] όλων των πολυωνύμων με συντελεστές από το σώμα των πραγματικών αριθμών και ένας πραγματικός αριθμός a. Δείξτε ότι το σύνολο I = {φ(x) R[x]/φ(a) = 0} είναι ένα μέγιστο ιδεώδες του δακτυλίου R[x]. Ά σ κ η σ η 5.6 Αν I είναι το ιδεώδες του δακτυλίου R[x] που παράγεται από το πολυώνυμο x 2 + 1, δείξτε ότι ισχύει R[x]/ ( x ) = C. Ά σ κ η σ η 5.7 Ένα γνήσιο ιδεώδες M ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου R με μοναδιαίο στοιχείο είναι μέγιστο αν και μόνον αν για κάθε r R M υπάρχει στοιχείο x R τέτοιο ώστε να ισχύει 1 rx M. 6 Ομάδα VI Ά σ κ η σ η 6.1 Δείξτε ότι ο δακτύλιος Z[ 6] δεν είναι δακτύλιος με μονσήμαντη ανάλυση. Ά σ κ η σ η 6.2 Δείξτε ότι τα στοιχεία 2, και 3 5 είναι ανάγωγα, αλλά όχι πρώτα στοιχεία του δακτυλίου Z[ 5]. Ά σ κ η σ η 6.3 (i) Δείξτε ότι τα στοιχεία 3, και 2 5 είναι ανάγωγα, αλλά όχι πρώτα στοιχεία του δακτυλίου Z[ 5]. 5

6 Ά σ κ η σ η 6.4 Δείξτε ότι τα στοιχεία a = και b = 1 3 του δακτυλίου Z[ 3] είναι πρώτα μεταξύ τους. Ά σ κ η σ η 6.5 Έστω R δακτύλιος με μονοσήμαντη ανάλυση, και P ένα μη μηδενικό πρώτο ιδεώδες του R. Δείξτε ότι υπάρχει ένα στοιχείο a R {0} τέτοιο, ώστε να ισχύει Ra P, και Ra πρώτο ιδεώδες του R. Ά σ κ η σ η 6.6 Δείξτε ότι ο αριθμός 5 είναι ένα πρώτο στοιχείο του δακτυλίου Z[ 2], αλλά δεν είναι πρώτο στοιχείο στο δακτύλιο Z[i]. Να εξεταστεί πότε ένας πρώτος φυσικός αριθμός είναι πρώτο στοιχείο και στο δακτύλιο Z[i]. Ά σ κ η σ η 6.7 Δείξτε ότι το σύνολο R = { a 2 n /a Z, n N }, εφοδιασμένο με τις συνήθεις πράξεις των ρητών αριθμών, είναι μια ακεραία περιοχή. Να βρεθούν τα αντιστρέψιμα στοιχεία του R, και να εξεταστεί αν τα στοιχεία 2 και 6 είναι ανάγωγα στοιχεία του R. 7 Ομάδα VII Ά σ κ η σ η 7.1 Να εξεταστεί αν το πολυώνυμο φ(x) είναι παράγοντας του πολυωνύμου ψ(x) στον αντίστοιχο δακτύλιο, σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις. (i) (ii) (ii) φ(x) = x 3, ψ(x) = 3x 3 9x 2 7x + 21 στο Q[x], φ(x) = x + 2, ψ(x) = x 3 + 8x 2 + 6x 8 στο R[x], φ(x) = x 2, ψ(x) = 2x 5 3x 4 4x 3 + 3x στο Z 5 [x]. Ά σ κ η σ η 7.2 Να βρεθούν όλοι οι περιττοί πρώτοι αριθμοί p, για τους οποίους το πολυώνυμο x 2 είναι παράγοντας του x 4 + 2x 3 + x 2 + 2x + 2 στο δακτύλιο Z p. Ά σ κ η σ η 7.3 Να βρεθούν οι τιμές του k Q, ώστε το x 1 να είναι παράγοντας του πολυωνύμου k 2 x 3 + 2x 2 2kx k στο δακτύλιο Q[x]. Ά σ κ η σ η 7.4 Να εξεταστεί αν το πολυώνυμο x + 2 είναι παράγοντας του πολυωνύμου x 3 + 2x 2 + x + 2 του δακτυλίου Z 3 [x]. Ά σ κ η σ η 7.5 Να βρεθεί ο αριθμός όλων των πολυωνύμων βαθμού δύο και τρία στο δακτύλιο Z 4 [x]. Να γίνει το ίδιο για το δακτύλιο Z 5 [x]. Ά σ κ η σ η 7.6 Να εξεταστεί ποια από τα παρακάτω πολυώνυμα είναι ανάγωγα στο δακτύλιο Z[x], ή στο δακτύλιο Q[x]. (i) 2x 6 (ii) 3x + 2 (iii) 5x + 25 (iv) 2x 7 6

7 Ά σ κ η σ η 7.7 Να εξεταστεί αν το πολυώνυμο φ(x) = x 4 x 2 + 2x + 1 είναι ανάγωγο στο δακτύλιο Q[x]. Ά σ κ η σ η 7.8 Να εξεταστεί αν το πολυώνυμο φ(x) = x 4 + x 2 + 2x + 1 είναι ανάγωγο στο δακτύλιο Z 3 [x]. Ά σ κ η σ η 7.9 Έστω F ένα σώμα, και f(x), g(x) F [x]. Αν f(x) = kg(x), όπου k F {0}, δείξτε ότι τα πολυώνυμα f(x) και g(x) έχουν το ίδιο σύνολο ριζών. Να εξεταστεί αν ισχύει και το αντίστροφο. Ά σ κ η σ η 7.10 Έστω R μια ακεραία περιοχή και φ(x), ψ(x) πολυώνυμα του R[x] βαθμού m. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν m + 1 διαφορετικά στοιχεία a 1, a 2,, a m+1 του R, τέτοια ώστε να ισχύει φ(a k ) = ψ(a k ), για κάθε k = 1, 2,..., m + 1. Δείξτε ότι θα ισχύει φ(x) = ψ(x). Ά σ κ η σ η 7.11 Θεωρούμε το σώμα F = Z 11, και το πολυώνυμο p(x) = x F [x]. Δείξτε ότι το πολυώνυμο p(x) είναι ανάγωγο στο F [x]. Επίσης, δείξτε ότι ο δακτύλιος πηλίκο F [x]/ ( p(x) ) είναι ένα σώμα με 121 στοιχεία. 8 Ομάδα VIII Ά σ κ η σ η 8.1 Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα είναι ανάγωγα στον αντίστοιχο δακτύλιο 1. φ(x) = 2x 5 6x 3 + 9x 2 15 στο Q[x], 2. g(x) = 8x 3 + 6x 2 9x + 24 στο Z[x], 3. ψ(x) = x x 13 15x 4 + 3x 2 9x + 12 στο Z[x]. Ά σ κ η σ η 8.2 Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα είναι ανάγωγα στον αντίστοιχο δακτύλιο 1. φ(x) = x 3 + 2x 2 + 5x + 2 στο Z[x], 2. g(x) = x 3 + 6x 2 + 5x + 25 στο Z[x]. Ά σ κ η σ η 8.3 Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα είναι ανάγωγα στον αντίστοιχο δακτύλιο 1. σ(x) = x 3 + 6x 2 + 5x + 25 στο Q[x], 2. φ(x) = x 3 + 6x x + 17 στο Z[x], 3. g(x) = x 5 + 8x 4 + 3x 2 + 4x + 7 στο Z[x]. Ά σ κ η σ η 8.4 Να εξεταστεί αν τα πολυώνυμα είναι ανάγωγα στον αντίστοιχο δακτύλιο 1. φ(x) = 1 + x + x x p 1, p πρώτος, στο Z[x], 7

8 2. g(x) = x 4 + 4x + 1 στο Q[x], 3. τ(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 στο Z[x]. Ά σ κ η σ η 8.5 Να εξεταστεί αν ο δακτύλιος πηλίκο Z 2 [x]/(x 4 + x + 1) είναι σώμα, και να βρεθεί η μορφή των στοιχείων του. 9 Ομάδα IX Ά σ κ η σ η 9.1 Δείξτε ότι το σύνολο Q( 3, 5) = Q( 3)( 5) = {a + b 5/a, b Q( 3)} είναι υπόσωμα του σώματος R των πραγματικών αριθμών και περιέχει το Q. Να βρεθεί ο βαθμός επέκτασης [Q( 3, 5) : Q] του Q( 3, 5) πάνω στο Q. Ά σ κ η σ η 9.2 Θεωρούμε ένα πεπερασμένο σώμα K και ένα υπόσωμα F του K τέτοιο, ώστε [K : F ] = n. Αν το F περιέχει p στοιχεία, δείξτε ότι το σώμα K περιέχει p n στοιχεία. Ά σ κ η σ η 9.3 Δείξτε ότι ένα πεπερασμένο σώμα περιέχει p n στοιχεία για κάποιο πρώτο αριθμό p και κάποιο θετικό ακέραιο n. Ά σ κ η σ η 9.4 Δείξτε ότι ο μιγαδικός αριθμός a = 1+i είναι ένα αλγεβρικό στοιχείο πάνω στο σώμα Q των ρητών αριθμών. Ά σ κ η σ η 9.5 Δείξτε ότι ο πραγματικός αριθμός a = είναι ένα αλγεβρικό στοιχείο πάνω στο σώμα Q των ρητών αριθμών. Ά σ κ η σ η 9.6 Συμβολίζουμε με u τη θετική πραγματική τετάρτη ρίζα του 2. Δείξτε ότι η απλή επέκταση Q(u) του σώματος Q είναι αλγεβρική πάνω στο Q. Επίσης, να βρεθούν: (i) το ελάχιστο πολυώνυμο του u πάνω στο Q, (ii) ο βαθμός επέκτασης [Q(u) : Q] του Q(u) πάνω στο Q, και (iii) το αντίστροφο του στοιχείου a = 2 u 4 + 3u 5 του Q(u). Ά σ κ η σ η 9.7 Να κατασκευαστεί ένα σώμα με 2 3 = 8 στοιχεία. 8

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k =

(a + b) n = a k b n k, k. (a + b) p = a p + b p. k=0. n! k! (n k)! k = ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Χρήστος Α. Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με Z m το δακτύλιο των ακεραίων modulo m, με ā Z m την κλάση (mod m) του a Z και με M n (R) το δακτύλιο

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ. Στοιχεία από την Άλγεβρα ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Αʹ Στοιχεία από την Άλγεβρα Στο Παράρτημα αυτό, το οποίο παρατίθεται για να συμβάλει στην αυτοδυναμία του βιβλίου, ο αναγνώστης θα μπορεί να προστρέχει για αρωγή σε έννοιες και αποτελέσματα που

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 2. όπου a (4 i) (1 2 i), b i. Στη συνέχεια βρείτε κάθε τέτοιο d. b. Δείξτε ότι [ i] (4 i) 6 Δακτύλιοι και Πρότυπα 016-17 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Περιοχές κυρίων ιδεωδών. 1. Θεωρούμε το δακτύλιο [ i]. a. Βρείτε ένα d [ i] με ( a, b) d, όπου a (4 i) (1 i), b 16 1 i.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7

Πρόλογος 3. Εισαγωγή 7 Πρόλογος Η σύγχρονη Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό και ουσιαστικό κομμάτι της μαθηματικής εκπαίδευσης σε όλα τα πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτό δεν οφείλεται μόνο στο γεγονός ότι πολλοί άλλοι κλάδοι των μαθηματικών,

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα

Περιεχόμενα Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 3 1.1 Μάθημα 1..................................... 3 1.1.1 Στοιχεία αλγεβρικής θεωρίας....................... 4 1.2 Μάθημα 2.....................................

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Πέµπτη 27 εκεµβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Ι(Μ) Λύσεις Ασκήσεων-Φυλλαδίο 9

Άλγεβρα Ι(Μ) Λύσεις Ασκήσεων-Φυλλαδίο 9 140/140 Άλγεβρα Ι(Μ) Λύσεις Ασκήσεων-Φυλλαδίο 9 Τσάνγκο Ιωσήφ 24 Απριλίου 2017 1. Εχω ότι R δακτύλιος, S υποδακτύλιος και I ιδεώδες του R. (Σχόλιο:Το πλήθος των απαντήσεων μου είναι ίδιο με αυτό των ερωτήσεων,

Διαβάστε περισσότερα

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac, ad + bc)

(a, b) (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac, ad + bc) ΒΑΣΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Χειμερινό Εξάμηνο 2016 Ασκήσεις 1. Δείξτε ότι ο a 1 διαιρεί τον a n 1 για κάθε a Z και κάθε n N. 2. Δίνονται οι ακέραιοι a = 126 και b = 434. (α Υπολογίστε το µκδ(a, b. (β Βρείτε x, y Z

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 12 Ο Δ Π Μ δακτύλιο με τις πράξεις τού R και

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου 2014

Α Δ Ι. Παρασκευή 24 Ιανουαρίου 2014 Α Δ Ι Α - Φ 11 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 24 Ιανουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a) 11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3

Περιεχόμενα. Πρόλογος 3 Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα είναι ένα σημαντικό συστατικό στο πρόγραμμα σπουδών, όχι μόνο των Μαθηματικών, αλλά και άλλων τμημάτων, όπως είναι το τμήμα Φυσικής, Χημείας, των τμημάτων του Πολυτεχνείου,

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης

Α Δ Ι Ε Υ Μ. Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Α Δ Ι Ε Υ Μ Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 28 Ι 2014 Το παρόν κείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

a pn 1 = 1 a pn = a a pn a = 0,

a pn 1 = 1 a pn = a a pn a = 0, Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 14 Ιανουαρίου 2015 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 60

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα & Κρυπτογραφία. Σημειώσεις σύμφωνα με τις παραδόσεις του Αριστείδη Κοντογεώργη

Πεπερασμένα σώματα & Κρυπτογραφία. Σημειώσεις σύμφωνα με τις παραδόσεις του Αριστείδη Κοντογεώργη Πεπερασμένα σώματα & Κρυπτογραφία Σημειώσεις σύμφωνα με τις παραδόσεις του Αριστείδη Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ιωάννης, Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών, 2012 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Νίκος Μαρμαρίδης. Σημειώσεις στη. Θεωρία Δακτυλίων

Νίκος Μαρμαρίδης. Σημειώσεις στη. Θεωρία Δακτυλίων Νίκος Μαρμαρίδης Σημειώσεις στη Θεωρία Δακτυλίων Ιωάννινα 2014 Περιεχόμενα 1 Αρχικές Έννοιες Δακτυλίων 1 1.1 Δακτύλιοι................................... 1 1.2 Ομομορφισμοί Δακτυλίων..........................

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 14 Ο Π Ιδιαιτέρως, αν τα f(x), g(x) είναι σχετικώς

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής:

Α Δ Ι. Παρασκευή 25 Οκτωβρίου Ασκηση 1. Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών R ορίζουμε μια σχέση R R R ως εξής: Α Δ Ι Α - Φ 1 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 25 Οκτωβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2. ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 4.. Η ταυτότητα της διαίρεσης A. Όπως στους ακέραιους αριθμούς, έτσι και στα πολυώνυμα ισχύει η ταυτότητα της διαίρεσης. Πιο συγκεκριμένα ισχύει ότι: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), με δ(x) 0

Διαβάστε περισσότερα

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ

2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΔΟΜΕΣ Η θεωρία αριθμών και οι αλγεβρικές δομές τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιούνται όλο και περισσότερο στην κρυπτολογία. Αριθμο-θεωρητικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιούνται σήμερα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πολυωνυμικοί-Κυκλικοί Κώδικες. 3.1 Πολυωνυμικοί κώδικες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Πολυωνυμικοί-Κυκλικοί Κώδικες. 3.1 Πολυωνυμικοί κώδικες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Πολυωνυμικοί-Κυκλικοί Κώδικες Στα προηγούμενα ασχοληθήκαμε με τους γραμμικούς κώδικες και είδαμε πώς η δομή ενός γραμμικού κώδικα, ως διανυσματικού χώρου, καθιστά τις διαδικασίες κωδικοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Σηµειώσεις, Άνοιξη 2016 (σε εξέλιξη) Χαρά Χαραλαµπους Τµήµα Μαθηµατικών, ΑΠΘ Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1: 3 1.1 Απαρχές της Αντιµεταθετικής Άλγεβρας...................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι

ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι Κεφάλαιο 6 ακτύλιοι και Υποδακτύλιοι 6.1 Συνοπτική Θεωρία Στην παρούσα ενότητα υπενθυµίζουµε εν συντοµία την έννοια του δακτυλίου και υποδακτυλίου, και επικεντρωνόµαστε στις ϐασικές ιδιότητες και κατασκευές

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2015-2016 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2015/ringtheory2015.html 4 εκεµβρίου 2015 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2016/ringtheory2016.html 15 Φεβρουαρίου 2017 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα.

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 6. Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα6, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα. Δακτύλιοι και Πρότυπα 0-7 Ασκήσεις Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα, Εφαρμογές Θεωρημάτων Δομής στη Γραμμική Αλγεβρα Βρείτε τη ρητή κανονική μορφή και μια κανονική μορφή Jorda του M( ) 0 0 Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Αλγεβρικες οµες Ι. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Αλγεβρικες οµες Ι Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html 22

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 11

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 11 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 11 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 26 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Να

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2

Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2 2 Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 11 Νοεμβρίου 2014 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 2

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Η συνάρτηση φ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n > 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρμογή: Το θεώρημα του Bursde a b Θα αποδείξουμε εδώ ότι κάθε ομάδα τάξης pq ( p, q πρώτοι) είναι επιλύσιμη Το θεώρημα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιμοποίησε τη νέα

Διαβάστε περισσότερα

Γιάννη Α. Αντωνιάδη Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Εφαρμοσμένη Άλγεβρα. Σημειώσεις Μάριου Μαγιολαδίτη

Γιάννη Α. Αντωνιάδη Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Εφαρμοσμένη Άλγεβρα. Σημειώσεις Μάριου Μαγιολαδίτη Γιάννη Α. Αντωνιάδη Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης Εφαρμοσμένη Άλγεβρα Σημειώσεις Μάριου Μαγιολαδίτη Έκδοση ΕΠΕΑΕΚ «Μαθηματικά για το» Ηράκλειο, Εφαρμοσμένη Άλγεβρα Εισαγωγή Η θεωρία των πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING

Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Το Θεώρημα CHEVALLEY-WARNING Ανθή Ζερβού Διδάσκων: Ιωάννης Αντωνιάδης 3/02/2015 1 ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΩΜΑΤΑ Ορισμός. Εστω Κ σώμα. Χαρακτηριστική του Κ, συμβολίζεται ch(k), είναι ο ελάχιστος φυσικός αριθμός n

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ασύμμετρα Κρυπτοσυστήματα κλειδί κρυπτογράφησης k1 Αρχικό κείμενο (m) (δημόσιο κλειδί) Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. x A αντιστοιχίζεται (συσχετίζεται) με ένα μόνο. = ονομάζεται εξίσωση της ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. IΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 25 Φεβρουαβρίου

Διαβάστε περισσότερα

α) f(x(t), y(t)) = 0,

α) f(x(t), y(t)) = 0, Ρητές καμπύλες Μια επίπεδη αλγεβρική καμπύλη V (f) είναι το σύνολο όλων των σημείων του επιπέδου K 2 που μηδενίζουν κάποιο συγκεκριμένο ανάγωγο πολυώνυμο f K[x, y], δηλαδή V (f) = {(x 0, y 0 ) K 2 f(x

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R)

Α Δ Ι. Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου GL n (R) / SL n (R) Α Δ Ι Α - Φ 8 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2013/asi2013.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 20 Δεκεμβρίου

Διαβάστε περισσότερα

= k. n! k! (n k)!, k=0

= k. n! k! (n k)!, k=0 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Συμπληρωματικές Ασκήσεις Χειμερινό Εξάμηνο 2015 Χρήστος Α Αθανασιάδης Συμβολίζουμε με O το μηδενικό πίνακα καταλλήλων διαστάσεων, με I (ορισμένες φορές, με I n τον n n ταυτοτικό πίνακα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1 Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου Θέµα Α Α1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωσης α ν χ ν + α ν 1 χ ν 1 +... + α 1 χ + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο

Κεφάλαιο 8. Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα. 8.1 Το γενικό πολυώνυµο Κεφάλαιο 8 Το γενικό πολυώνυµο και το αντίστροφο πρόβληµα Σε αυτό το κεφάλαιο αρχικά αποδεικνύουµε ότι υπάρχει επέκταση σωµάτων µε οµάδα Galois την S n. Για το σκοπό αυτό εξετάζουµε τα συµµετρικά πολυώνυµα.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 15 Αναλλοίωτοι Υπόχωροι, Ιδιόχωροι Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 2/5/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 15 2/5/2014 1 / 12 Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα. Στοιχεία από τη Θεωρία Οµάδων

Παράρτηµα. Στοιχεία από τη Θεωρία Οµάδων Παράρτηµα I Στοιχεία από τη Θεωρία Οµάδων Ορισµός I.1. Ενα µη κενό σύνολο G λέγεται οµάδα (group) αν σε αυτό ορίζεται µία πράξη µε τις ακόλουθες ιδιότητες : : G G G, (a, b) ab α. Η πράξη είναι προσεταιριστική,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Herman Weyl

Εισαγωγή. Herman Weyl Εισαγωγή Όσο σηµαντικές και αν είναι οι γενικές έννοιες και προτάσεις που απορρέουν από το σύγχρονο πάθος για αξιωµατική θεµελίωση και γενίκευση, είµαι όµως πεπεισµένος ότι τα ειδικά προβλήµατα µε όλη

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου ακαδηµαϊκού έτους 29-2 Τρίτη, 3 Αυγούστου 2 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 37 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Αργύρης Φελλούρης Αν. Καθηγητής ΕΜΠ

Αργύρης Φελλούρης Αν. Καθηγητής ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Εισαγωγή Αργύρης Φελλούρης Αν. Καθηγητής ΕΜΠ Η εργασία αυτή έχει στόχο να αποτελέσει βοήθημα των μαθητών που συμμετέχουν στις Ελληνικές και στις Διεθνείς Μαθηματικές Ολυμπιάδες.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κεφάλαιο Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund, Katznelson 4 και Stein and Shakarchi.. Μερικά βασικά περί μιγαδικών αριθμών Υποθέτουμε ως γνωστές

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Χαρά Χαραλάµπους

ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Χαρά Χαραλάµπους ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Σηµειώσεις (σε εξέλιξη) Χαρά Χαραλάµπους Τµήµα Μαθηµατικών, ΑΠΘ Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Σηµειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι

Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων

ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων Κεφάλαιο 9 ακτύλιοι Πολυωνύµων και Σώµατα Κλασµάτων Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε διεξοδικότερα τις ϐασικές ιδιότητες του δακτυλίου πολυωνύµων, κυ- ϱίως µιας µεταβλητής, µε στοιχεία από έναν µεταθετικό

Διαβάστε περισσότερα