إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA الفهرس

Transcript

1 ISLEM إسالم بوزنية إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA

2 ISLEM إسالم بوزنية الفهرس مقدمة... الدوال العددية... ص 1 كثيرات الحدود... ص 11 االشتقاقية...ص 11 تطبيقات االشتقاقية...ص 12 فرض أول للفصل األول...ص 33 فرض ثاني للفصل األول...ص 31 اختبار أول للفصل األول...ص 37 مدخل إلى النهايات...ص 33 المتتاليات العددية...ص 33 وضعية إدماجيه...ص 11 إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA

3 ISLEM إسالم بوزنية بسم هللا الرحمن الرحيم يشرفني أن أضع بين أيديكم تالميذ السنة الثانية ثانوي هذا العمل المتواضع الذي يمثل جزءا من مسيرتي مع مادة الرياضيات وما ستجد هنا من تمارين هو عمل ومجهود شخصي إال في بعض التمارين القليلة وأنا ال أزكي هذه التمارين ولكن كل ما يمكنني قوله أنك إذا لم تستطع حل وفهم هذه التمارين فأنت لست جاهزا كليا لتحل فروضك أو اختباراتك... لذلك احرص على أن تلقي نظرة عليها على األقل وهي تمثل البداية فقط فيجب عليك البحث عن تمارين أفضل وأوسع... وفي النهاية طالب العلم عليك باالجتهاد الفردي وعدم االكتفاء بما يقدمه األستاذ فقط إذا أردت التميز فال يوجد أمامك سوى العمل... وكما يقولون: " من أراد الدنيا فعليه بالعلم ومن أراد اآلخرة فعليه بالعلم ومن أرادهما معا فعليه بالعلم" وفي الختام إن أحسنا فتحدثوا عنا وإن أسأنا فتحدثوا إلينا... "وما يلفظ من قول إال لديه رقيب عتيد" إسالم بوزنية إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA

4 الدوال العددية االشتقاقية كثيرات الحدود bouzeniaبوزنية Islem إسالم

5 BOUZENIA islem بوزنية إسالم 1 في كل التمارين المستوي منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس (j,o):,i األول: أوجد مجموعة تعريف الدوال التالية: )يجب حل كل األمثلة ألن كل مثال يعبر عن فكرة جديدة(. f(x) = x 2 + x 2 ; g(x) = x 2 h(x) = 1 x ; c(x) = x 2 2x 2 + 2x 3 p(x) = x 2 + 4x + 9 ; E(x) = x 2 x 2 + x 4 أدرس اتجاه تغير الدوال: f, g, h, c, p الثاني: من أجل كل عددين حقيقيين f(a) f(b) عين مجموعة تعريف الدالة التالية: + 5 2x f(x) = x 3 a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) a > b D f بين أن a bو ليكن a و b عددان من بحيث أدرس إشارة استنتج اتجاه تغير f. بين أن منحني الدالة f يقبل مركز تناظر يطلب تعيينه. الثالث: f(x) = x + 1 x لتكن f دالة معرفة ب: من أجل كل معدومين. عين مجموعة تعريف f. a b بين أن ) (1 b) (a = a b ab عددين حقيقيين غير استنتج اتجاه تغير f. شكل جدول تغيرات f. استنتج أنه من أجل كل + xεr فان 2.f(x) BOUZENIA ISLEM 1 بوزنية إسالم

6 BOUZENIA islem بوزنية إسالم 2 استنتج أنه من أجل كل R xε فان 2.f(x) استنتج أن مجموع عدد حقيقي موجب تماما ومقلوبه أكبر من أو يساوي.2 a, b ε R + بين أن b)² a + b 2 ab = ( a من أجل استنتج أن a + b 2 ab x استنتج 2 x x + 1 مرة أخرى أن من أجل موجب تماما. الرابع: f(x) = x + 2 ; g(x) = (x + 2) 2 دالتين معرفتين ب: g و f اذكر شروط تساوي دالتين. عين مجموعة تعريف كل من الدالتين f و g. أحسب g( 3) f( 3) ; استنتج ان f g نذكر أن x x 2 = أكتب g بداللة f استنتج مرة أخرى أن f g في أي مجال من مجموعة التعريف تتحقق المساواة: f = g f(x) = 2x 2 1 ; g(x) = 4x + 3 لتكن لتكن الخامس: و g دالتان معرفتان على R كما يلي: ارسم منحني f انطالقا من منحني الدالة مربع. ( f+g هو صورة لمنحني الدالة مربع بين أن منحني الدالة (x)( 2 بانسحاب يطلب تعيين شعاعه ثم ارسمه. f. f+g 2 ادرس اتجاه تغير الدالة السادس: المعرفة ب: = f(x) x 2 x لتكن الدالة f عين مجموعة تعريفها. BOUZENIA ISLEM 2 بوزنية إسالم

7 ا BOUZENIA islem بوزنية إسالم 3 بين أن ( = f(x) x 2 )2 1 4 درس اتجاه التغير وشكل جدول التغيرات. السابع: نعتبر الدالة 1 x f(x) = x 2 عين مجموعة تعريفها. ادرس اتجاه التغير. عين قيم x التي تحقق: = x x أوجد الحلول الحقيقية للمعادلة: = x 4 2x 3 x يسمى الحل الموجب للمعادلة األولى بالعدد الذهبي. f(x) = x : f الثامن: نعتبر الدالة 1 x 2 عين مجموعة التعريف. أدرس اتجاه تغير الدالة f. عين تقاطع منحني f مع حامل محور الفواصل ومع حامل التراتيب. احسب f( 2).f(2), أنشئ منحني f. ناقش حسب قيم الوسيط الحقيقي m عدد واشارة حلول المعادلة x 4 (1 + m)x 2 + m 1 = 0 التاسع: محور f(x) = x (1 + 1 R دالة معرفة على f بين أن f فردية. 2) 1+x أدرس اتجاه تغير f. عين تقاطع منحني حامل مع محور الفواصل ومع حامل محور التراتيب. f BOUZENIA ISLEM 3 بوزنية إسالم

8 BOUZENIA islem بوزنية إسالم 4 BOUZENIA ISLEM 4 بوزنية إسالم أدرس وضعية منحني f بالنسبة للمستقيم ذو المعادلة g(x) = x (1 + 1 g دالة معرفة على R ب بين أن g زوجية. 2) 1+x y = x + 1 اشرح كيف يمكن رسم منحني الدالة g العاشر: نعتبر الدالة انطالقا من منحني الدالة.f المعرفة ب: f f(x) = x 2 x+1 عين مجموعة تعريف.f ادرس اتجاه تغير ليكن.f C f منحني f أدرس الوضعية النسبية ل C f عين تقاطع C f لتكن g في مستو منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس: والمنصف األول)المستقيم ذو المعادلة x y.( = مع حامل محور التراتيب ومع حامل محور الفواصل. الدالة المعرفة على g(x) = f(x) x ب: R + ادرس اتجاه تغير g تقبل أن الدلة g ماذا يمكن القول عن وشكل جدول تغيراتها. تؤول إلى الصفر لما x C f والمستقيم ذو المعادلة يؤول إلى +.y = x C f أنشئ تقريبيا إذا علمت أن الدالة تؤول إلى f x لما ناقش حسب قيم الوسيط الحقيقي m عدد واشارة حلول المعادلة: يؤول إلى 1. x 3 + (1 m)x 2 + (m² 2m)x + m² 4 = 0 نعتبر الدالة المعرفة على g(x) = f(x) ب: D f بين كيف يمكن إنشاء انطالقا من C g C f ثم ارسمه. ناقش بيانيا وحسب قيم الوسيط الحقيقي m عدد واشارة حلول المعادلة:

9 BOUZENIA islem بوزنية إسالم 5 g(x) = m 2 11: نعتبر الدالة f المعرفة ب: 1 + tanx f(x) = tan 2 x عين مجموعة تعريف f. بين أن f دورية مع تحديد الدور. ادرس اتجاه تغير الدالة f. حل في R المعادلة = 0 f(x) بطريقتين. 11: لتكن f دالة معرفة على R ب: 2 2 f(x) = x ادرس اتجاه تغير f. ليكن C f المنحني الممثل ل f في مستوي منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس. أدرس تقاطع C f مع حاملي محوري المعلم. بين كيف يمكن إنشاء C f انطالقا من منحني الدالة مربع. أنشئ.C f ناقش بيانيا حسب قيم الوسيط الحقيقي m عدد واشارة حلول المعادلة: x 2 x m 2 = 0 ليكن (D) المستقيم ذو المعادلة.y = x + m استنتج مما سبق قيم m التي من أجلها (D) يقطع C. f عين بداللة m إحداثيات Aو B نقط تقاطع.(D)وC f لتكن I منتصف [AB] عين احداثيات I بداللة.m ما هي مجموعة النقط I لما m يمسح + [ 2;.] f(x) = x 2 + 6x 4 + cos(x) 1 x 2 11: نعتبر الدالة f المعرفة ب: أوجد مجموعة تعريف الدالة f. BOUZENIA ISLEM 5 بوزنية إسالم

10 BOUZENIA islem بوزنية إسالم 6 أدرس شفعية الدالة f. ما هو عدد حلول المعادلة = 0 f(x) في المجال: [60 ;60 ]. ناقش حسب قيم الوسيط الحقيقي m إشارة و عدد حلول المعادلة: (mx) 2 + 6m 2 x 4m 2 + m. cos x = m2 x 2m 2 + m x 2 إذا علمت أن فاصلة نقطة التقاطع هي 2.31 x جد قيمة تقريبية ل: cos 4π 15 يعطى بيان الدالة f في الشكل المقابل: BOUZENIA ISLEM 6 بوزنية إسالم

11 BOUZENIA islem بوزنية إسالم 7 11: نعتبر الدالة f المعرفة ب:( sin(x f(x) = cos(x) + بين أن f دورية وعين دورها. أدرس شفعية f. g(x) = x+1 x 2 +1 [0 ; 2π] نعتبر الدلة g المعرفة على كما يلي: بين أنه من أجل كل 2π] xε[0 ; تكون: 2 g(x) في المستوي المنسوب إلى معلم متعامد ومتجانس (v O) ; u ;.y = tan (x) (D و( x = 1 نعتبر المستقيمين ( D )ذو المعادلة: ذو المعادلة:.(D ).(D)و(D ) نقطة تقاطع M(x, y) θ الزاوية المحصورة بين حامل محور الفواصل والمستقيم لتكن لتكن.y عين فاصلة النقطة M. عبر عن (θ) cos و sin(θ) بداللة y. استنتج عبارة sin(θ) cos(θ) + بداللة استنتج أن 2.f(x) بين أن 2 = ) (π.cos (π) + sin 4 4 استنتج أكبر f. قيمة للدالة.f(x) = 2 هل توجد قيم أخرى ل x ;0] [2π في المجال بحيث 11:. f(x) = sin(x) cos(x) نعتبر الدالة: عين مجموعة تعريف f. BOUZENIA ISLEM 7 بوزنية إسالم

12 BOUZENIA islem بوزنية إسالم 8 f(x) = ax + b +.π بين أن f حل المعادلة دورية ودورها.f(x) = 0 f(x) = cos(x) f(x) = حل المعادلة: حل المعادلة:( sin(x.f(x) = x2 2x 1 :11 نعتبر الدالة المعرفة ب: عين مجموعة تعريف الدالة f. بين أنه من أجل كل 1 x فان 1.f(x) حل المعادلة = 0.f(x) f(x) = x2 +5 x+2 c x+2 :11 f لتكن دالة معرفة كما يلي: عين مجموعة تعريف الدالة f. عين األعداد الحقيقة,a,b c بحيث: أدرس الوضع النسبي بين بالمعادلة: 2 x.y = منحني الدالة والمستقيم (D) المعرف f C f ] ; 1[U] 1 ; + [ :11 f لتكن دالة معرفة على: يعطى جدول تغيراتها كما يلي: أجب بصحيح أو خطأ مع التبرير: BOUZENIA ISLEM 8 بوزنية إسالم

13 BOUZENIA islem بوزنية إسالم 9 المعادلة = 0 f(x) تقبل حال وحيدا. مجموعة حلول المتراحة = 0 f(x) هي 1[ ; =] S على المجال 1[ ; ] يكون: f(x) f( 2) > لما 2 > x النقطة 1) A( 3; تنتمي إلى C f منحني الدالة f. الدالة f زوجية. 11: ] ; 2[U]2 ; + [ لتكن f دالة معرفة على: يعطى جدول التغيرات: g(x) = 1 f(x) نعتبر الدالة g المعرفة ب: أوجد مجموعة تعريف g. شكل جدول تغيراتها. 12: x f(x) = x2 +ax+b cx 2 +dx 2 لتكن دالة معرفة ب: من أجل كل ال يحقق BOUZENIA ISLEM 9 بوزنية إسالم f cx 2 + dx 2 = 0 أوجد,a,b,c d إذا علمت أن: منحني f يشمل النقطة (2,1) و 2 هي القيمة الممنوعة الوحيدة و f( 1).f(0) = تحقق أنه من أجل كل x من f(4 x) + f(x) = 10 :D f ماذا تستنتج بالنسبة ل C. f

14 BOUZENIA islem بوزنية إسالم 10 يعطى C f ناقش بيانيا حسب قيم الوسيط الحقيقي m حلول المعادلة: x 2 (m 1)x + 2m = 0 f(x) = (2x 1) :11 لتكن f دالة معرفة ب: بين التمثيل البياني ل f هو صورة منحني دالة من الشكل: ax² g(x) = بانسحاب يطلب تعيين شعاعه و تعيين g. يعطى منحني الدالة g انطالقا من C g أرسم C. f نعتبر المستقيمات D m معادلتها 1 m y = mx + مع m وسيط حقيقي. بين أن المستقيمات D m تشمل نقطة ثابتة يطلب تعيينها. ناقش بيانيا حسب قيم الوسيط الحقيقي m حلول المعادلة 16 (x + m ) 4m + 4 (m + 4) 2 = 0 f(x) = f(x) = a + x 2x 1 b 2x 1 f :11 مسألة: نعتبر الدالة عين مجموعة تعريف المعرفة ب:.f عين عددين حقيقين a و b استنتج تغيرات بحيث: على كل مجال من مجاالت التعريف. f f برهن أن منحني ناقش حسب قيم الوسيط الحقيقي m يقبل مركز تناظر يطلب تعيينه. عدد واشارة حلول المعادلة: 2x 1 = 1 2 mx BOUZENIA ISLEM 10 بوزنية إسالم

15 BOUZENIA islem بوزنية إسالم 11 نعتبر مجموعة النقط M ذات المعادلة: x 2 + y 2 = r ما هي قيم r حتى تكون مجموعة النقط M غير خالية. ما هي قيم r حتى تكون في المجموعة نقطة وحيدة. لتكن النقطة y) M(x, بين أن OM² = x 2 + y² ما هو تعريف الدائرة. بين أن مجموعة النقط M هي دائرة لما > 0 r يطلب تعيين مركزها ونصف قطرها. أدرس حسب قيم r تقاطع مجموعة النقط M مع منحني f. ما هي قيم r حتى يكون التقاطع في 4 نقط بين في هذه الحالة أن الرباعي الناتج هو شبه منحرف متساوي الساقين. r تعطى مساحة شبه منحرف:االرتفاع نسمي الكبرى القاعدة+الصغرى القاعدة 2 S r أوجد عالقة بين مساحة شبه منحرف من أجل قيمة معينة ل r S و r1 S r2 من أجل قيمتين r 1 لتكن المجال و.r 2 I r تقاطع أقطار شبه المنحرف ماهي مجموعة النقط.]3, + [ 11: نعتبر الدالة: sin(x) f(x) = cos(x) I r عين مجموعة التعريف شفعية ودور الدالة f. عين حلول المعادلة: = 0 f(x) في المجال [2π,0]. استنتج بقية الحلول على R. ليكن C منحني الدالة cos و C منحني الدالة sin المعرفتان على R. أوجد تقاطع C و C على [2π,0]. أوجد معادلة المستقيم ( D )المار من نقطتي التقاطع. لما يمسح BOUZENIA ISLEM 11 بوزنية إسالم

16 BOUZENIA islem بوزنية إسالم 12 بين أن المستقيمات المارة بنقطتي التقاطع على مجاالت من الشكل: 2kπ] [2kπ, 2π + توازي المستقيم (D) يطلب تعيين معادالتها. ال حظ البيان: x 11: لدينا خيط طوله 1 متر أنشأنا به مثلثا متقايس األضالع طول ضلعه طول ضلعه a.الحظ الشكل: ومربعا BOUZENIA ISLEM 12 بوزنية إسالم

17 BOUZENIA islem بوزنية إسالم 13 بين أن مجموع مساحتي المربع والمثلث تعطى بالعالقة: x a S(x) = 3 4 x2 + 1 (1 3x)² 16 من أجل أي قيمة ل x تكون S صغرى. من أجل قيمة x السابقة جد قيمة النسبة f(x) = ax + b + c x 1 :11 f نعتبر الدالة المعرفة ب : مع,a,b c أعداد حقيقية. أوجد,a,b c إذا علمت أن (4,2)A نقطة من المنحني الممثل ل f f C f و النقطة 1) ( 3 4, B و مركز تناظر ل منحني.g(x) = f(x + 1) حيث.g( 1) = : لتكن f(x) = x دالة معرفة ب: f أوجد مجموعة تعريف الدالة f. أوجد اتجاه تغير f. BOUZENIA ISLEM 13 بوزنية إسالم

18 BOUZENIA islem بوزنية إسالم 14 ما هو التحويل النقطي الذي يمكن من رسم C f إنطالقا من منحني الدالة.x x نعتبر الدالة h المعرفة ب x h(x) = أدرس الوضعية النسبية C h و C. f حيث C h هو المنحني الممثل لh و C f هو المنحني الممثل ل f. أرسم C h و.C f ليكن Q هو نصف المستوي المعرف ب 0 y و C المنحني المعرف ب: (C f C h ) Q أرسم C في معلم آخر. وأعط عبارة k الدالة التي منحنيها C. 11: حل هندسيا الجمل والمعادالت التالية: { y = 3 x y = x 1 x 1 x 3 2 x 4 x 2 x+1 1 x 2 x BOUZENIA ISLEM 14 بوزنية إسالم

19 الحدود كثيرات األول: حل في مجموعة االعداد الحقيقية المعادلة التالية: 0 = 1 + 3x x 2 x x 0 2 = ليكن x 0 بين أن حل لهذه المعادلة بين أن: x x 0 x 0 يحقق: 3 = (x x 0 أنشر )² استنتج كتابة مبسطة ل الثاني: حل في مجموعة األعداد الحقيقة المعادلتين التاليتين: x 4 + x 3 + x + 1 = 0 12x 4 56x x 2 56x + 12 = 0 مالحظة: يمكن استعمال فكرة السابق. الثالث: بين أن (x + 1 x )2 = x x إذا علمت أن: = 1 x xأحسب + 1 x2 + 1 x 2 الرابع: نعتبر كثير الحدود التالي: x E(x) = x 4 2x 3 61x 2 + بين أن: 4) + 6)(x E(x) = (x 5)(x 7)(x + استنتج جذور E(x) بين أن: 42) x E(x) = (x 2 x 20)(x 2 حل في R المعادلة: = x x 4 2x 3 61x 2 + BOUZENIA ISLEM BOUZENIA ISLEM 51

20 16 BOUZENIA ISLEM Polynômes EXERCICES. الخامس: في كم نقطة على األكثر يمكن أن يتقاطع منحنيي كثيري حدود من الدرجة الرابعة. هو 5. x 4 السادس: نفس السؤال إذا كان معامل نعتبر (Γ) القطع المكافئ ذو المعادلة y = ax 2 + bx + c ذروته النقطة( k (h, وليكن (P) القطع المكافئ ذو المعادلة yنظير = dx 2 + ex + f (Γ) بالنسبة للمستقيم ذو المعادلة y. = k أحسب.a + b + c + d + e + f السابع: إذا كانت = ) x p ( فما هي قيم x التي تحقق = 7 f(3x) 3 x2 + x + 1 إذا = 3 xy x + y = أحسب.x 3 + y 3 حل في مجموعة األعداد الحقيقية المعادلة التالية: x 2 5x + 2 x 2 5x + 3 = 12 الثامن: ما هو حاصل ضرب جذور المعادلة: x x + 30 = 2 x x + 45 P(x) = (x 3 + 7x 2 3x )( 5 4 x x2 5 x 1) 4 P(1) + P( 1) = 9.P(x) التاسع: نعتبر كثير الحدود: أحسب مجموع معامالت كثير الحدود P(x) = (ax 4 + bx 2 + c)(dx 8 + ex 6 + fx 4 + gx 2 + h) العاشر: نعتبر كثير الحدود: أحسب مجموع معامالت كثير الحدود P(x) إذا علمت أن استنتج قيمة: h).(a + b + c)(d + e + f + g + إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA 16

21 17 BOUZENIA ISLEM Polynômes EXERCICES. 11: نعتبر كثير الحدود: dx P(x) = ax 7 + bx 5 + cx 3 + أحسب P( 1).P(1) + P(x) = ax 8 + bx 7 + cx 6 + dx 5 + ex 4 + fx 3 + gx 2 + hx + y أحسب P( 1).P(1) + استنتج قيمة a + c + e + g + y إذا علمت أن = 1 P( 1) P(1) + P(x) = (ax 5 + bx 3 + cx)(dx 6 + ex 5 + fx 4 + gx 3 + h) إذا علمت أن: 30 = P( 1) a + b + c = 5 ; e. g = 4 ; P(1) + أحسب قيمة كل من g و e. نعتبر كثير الحدود: نعتبر كثير الحدود: :11 نعتبر في R المعادلة ذات المجهول الحقيقي x والوسيط الحقيقي m التالية: (E): (m + 2)x 2 2mx + 2m 3 = 0 عين حلول المعادلة (E) من أجل 2 = m. عين قيم العدد الحقيقي m حتى تقبل المعادلة حلين متمايزين. عين قيم العدد الحقيقي m حتى تقبل المعادلة حلين مختلفين في اإلشارة. عين قيم العدد الحقيقي m حتى تقبل المعادلة حلين x 1, x 2 حيث x 1 + x 2 = 1 f m (x) :11 نعتبر كثيرالحدود المعرف كالتالي: f m (x) = (m 3)x 2 (2m 8)x + m + 2 أوجد قيم العدد الحقيقي m بحيث من أجل كل f m (x) = x: ε R.0 أوجد قيم m بحيث المعادلة( x ) f m تقبل حلين x 1, x 2 يحققان: 1 x x 2 = 1 2 إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA 17

22 18 BOUZENIA ISLEM Polynômes EXERCICES. 14 : نعتبر المعادلة ذات المجهول 2x 3 5x + 2 = 0: x إذا علمت أن هذه المعادلة تقبل ثالثة حلول: x 1, x 2, x 3 أحسب: x 1 + x 2 + x 3 x 1. x 2. x 3.x 1. x 2 + x 2. x 3 + x 3. x 1 : m والوسيط x 15: نعتبر المعادلة ذات المجهول 4x 2 + 4(m 1)x 3 8m = 0 بين أن المعادلة تقبل حلوال من أجل أي قيمة ل m ثم أكتب الحلول بداللة m.. ناقش حسب قيم الوسيط الحقيقي m حلول المعادلة التالية: 2x 7 = 4x 2 +16x+15 e a x+c + b x+d :16 aبحيث ; b ; c ; d x + x 1 + x 2 = e أوجد قيم حل المعادلة: مع عدد حقيقي موجب. حتى تحقق x 1, x 2 :17 عين قيم العدد الحقيقي m حلول المعادلة الشرط المعطى: 1 = 0 6 mx x 2 + حيث: = x 1 x 2 6 = 0 3 m (m + 1)x 2 2(m + 2)x + حيث: (4x 1 + 1)(4x 2 + 1) = 18 = 0 2m mx 2 (4 m)x + حيث: 2(x x 2 2 ) = 5x 1 x 2 إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA 18

23 19 BOUZENIA ISLEM Polynômes EXERCICES. 18: جد قيمة الوسيط الحقيقي m بحيث يكون المقدار 3) (m x 2 + (m 2)x أصغر ما يمكن. جد قيم m بحيث يكون مجموع حلول المعادلة = 0 3) (m x 2 + (m 2)x أصغر ما يمكن. 11: a b = 25 { a. b = 100 a + b = 13 { a. b = عين العددين الحقيقين a و b في كل حالة: a + 2b = 25 a + b = 17 { { a. b = 100 a. b = 8 2. عين العددين الحقيقين a و b في كل حالة: a + b = 12 { a² + b² = 73 { = 4 a²b² = 24 a b 10: دون حساب قيمة كل من x و y. عين العددين الحقيقين xو y: x + y = 17 { x 3 + y 3 = 1241 جد طريقة لحساب x 2 + y² 11: نعتبر الدالة f(x) = (x cos x) 2 3x 4 + (x sin x)² 3 :f عين مجموعة تعريف f. هل f كثير حدود أوجد حلول المعادلة: = 0.f(x) ناقش حسب قيم الوسيط الحقيقي m عدد واشارة حلول المعادلة:)المناقشة حسابيا( f(x) = mx 2 إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA 19

24 20 BOUZENIA ISLEM Polynômes EXERCICES. 11: نريد ملئ علبة قاعدتها مربعة الشكل بمكعبات متقايسة. ما هو عدد المكعبات الممكنة التي تشملها العلبة حيث إذا حذفنا المكعبات الموجودة في المحيط يبقى في العلبة 4 مكعبات 11: ليكن x و y عددين حقيقين بحيث: = 4 2 x 2 + xy + y و = 8 4 x 4 + x 2 y 2 + y أحسب: x 6 + x 3 y 3 + y 6 14: a b = 1 ليكن a و b عددين حقيقين بحيث a 3 b بين أن: :15 مستطيل مساحته 9cm² وطول قطره 82 أحسب محيطه. إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA 20

25 BOUZENIA ISLEM بوزنية إسالم االشتقاقية األول: نعتبر الدالة f القابلة لالشتقاق على مجال I من : R أجب بصحيح أو خطأ مع التبرير: حيث f مشتق f(1+h) f(1) h فان = 3 (2).f = f (1) قابلة لالشتقاق عند 1 إذن: f f(2+h) f(2) h f(2 + h) f(2) = f( 4 + h) f( 4) f(3+h) f(3). lim h 0 h فان.f إذا + 3 2h = 5h 2 اذا كان f ( 4) f (2) = إذا = 2 (3) f فان = 2 إذا كانت معادلة المماس عند 1 هي: + 2 3x y = فان: 3 = (1) f إذا كانت 2 = (0) f فان معادلة المماس هي:.y = 2x منحني الدالة f يقبل مماسا أفقيا عند فاصلة a إذا كانت = 0 (a) f. الدالتان f و f + b لهما نفس الدالة المشتقة على I حيث b عدد حقيقي ثابت. الثاني: ادرس قابلية اشتقاق الدوال التالية عند 0. p(x) = sin x h(x) = 1 x g(x) = x f(x) = x الثالث: عين مجموعة تعريف الدوال التالية ومجاالت قابلية االشتقاق والدالة المشتقة لكل منها: f(x) = a مع a عدد حقيقي ثابت..R ثابتان من a, b مع g(x) = ax + b BOUZENIA ISLEM 21 بوزنية إسالم

26 BOUZENIA ISLEM بوزنية إسالم I.h(x) = x².n مع 2 H(x) = x n.p(x) = 1 x P(x) = 1 x n.f(x) = x.c(x) = sin(x) k(x) = cos(x).s(x) = x الرابع: v u و لتكن دالتان قابلتان لالشتقاق على مجال من R: بين أن: [u + v] = u + v [u. v] = u. v + v. u [ 1 v ] = v v 2 [ u v ] = u v v u u 2 u [au] = a. مع a عدد حقيقي ثابت. و g الخامس: دالتان معرفتان وقابلتان لالشتقاق على R : ومن أجل كل :xεr f (x) = (1 + x 2 )f(x) g (x) = (1 + x 2 )g(x) gf f. g ثابتة. f بين أن: BOUZENIA ISLEM 22 بوزنية إسالم

27 BOUZENIA ISLEM بوزنية إسالم هل السادس: بين أن مشتق دالة زوجية هو دالة فردية ومشتق دالة فردية هو دالة زوجية. لتكن f و g دالتان قابلتان لالشتقاق على R حيث g f. = f = g = f تقبل االشتقاق عند 2 وعين العدد المشتق. بين أن الدالة x+1 بين أن الدالة: f(x) = 4 + x تقبل االشتقاق عند 2 واحسب (2).f مالحظة: عندما تعطى أي دالة ويطلب تبيان أنها تقبل االشتقاق عند قيمة معينة نقوم بحساب نسبة التزايد ونبين أنها تقبل نهاية حقيقة عند تلك القيمة وقد يأتي السؤال بصيغة "أحسب العدد المشتق عند قيمة باستعمال التعريف" وتكون نفس اإلجابة. السابع: ادرس قابلية اشتقاق الدوال التالية عند 0: x ; x 4 g(x) = { x + 8 ; x > 4 f(x) = x 2 2x h(x) = { (x + 2)2 ; x 0 x ; x > 0 الثامن: f(x) = 1 x10 1 x لتكن f دالة معرفة ب: بين أن f(x) = 1 + x + x 2 + x x 9 أحسب f بطريقتين. استنتج عبارة مبسطة ل: 1 + 2x + 3x 2 + 4x x 8 BOUZENIA ISLEM 23 بوزنية إسالم

28 k 2 BOUZENIA ISLEM بوزنية إسالم التاسع: عين مجال االشتقاق واحسب مشتقات الدوال التالية:.S(x) = x 2 s(x) = x.h(x) = x x g(x) = 1 2x f(x) = 1 (1 x) 2 x 2 +2 G(x) = 2x 2 ( x 3 + 1) 3 F(x) = ( 3x 2 + 1) 3 p(x) = x3 +x H(x) = 1 c(x) = 4x 1 x 2x+3 x+1 f(x) = 1 (x a) ليكن العاشر: عدد حقيقي ونعتبر الدالة: احسب f مشتقة f. نضع "f مشتقة f و f 3 مشتقة "f و من أجل كل عدد صحيح.f مشتقة k 1 f k احسب (x).f k g(x) = 1+x نعتبر الدالة : g 1 x أحسب (x) g k من أجل 2.k 11: f و g دالتان قابلتان لالشتقاق على R وال تنعدمان و n عدد طبيعي غير معدوم بين أن: a. (f n ) f n f = n f (fg) fg = f + g f g ( f g ) f g = f g f g BOUZENIA ISLEM 24 بوزنية إسالم

29 BOUZENIA ISLEM بوزنية إسالم 11: نعتبر الدالة: ) + (x.f(x) = بين أن C f منحني f يقبل مماسين يمران من النقطة (0,1) يطلب تعيين معادلتيهما. ناقش حسب قيم الوسيط الحقيقي m عدد المماسات لمنحني الدالة f التي لها معامل توجيه معدوم حيث: 1 + 6x f(x) = mx 3 + 2x 2 نفس السؤال لكن معامل التوجيه هو. m 11: أوجد جميع الدوال f المعرفة من R نحو R القابلة لالشتقاق والتي تحقق: من أجل كل: (x, y)εr² لدينا: f(y) f(x + y) = f(x) + لتكن f دالة قابلة لالشتقاق مرتين على األقل معرفة من R نحو R و f ال تنعدم بين أن f ال يمكن أن تكون دورية. إذا كانت f دورية هل f دورية 11: لتكن f دالة معرفة على R ب: 1 + 9x f(x) = x 3 + 6x 2 بين أن f قابلة لالشتقاق على R واحسب f وادرس اشارتها وارسم جدول تغيرات f. أوجد قيم حدية محلية ل f. ما هو عدد حلول المعادلة = 0.f(x) ناقش حسب قيم الحقيقي m حلول المعادلة: x 3 + 6x 2 9x + 1 m = 0 BOUZENIA ISLEM 25 بوزنية إسالم

30 BOUZENIA ISLEM بوزنية إسالم.x 0 :11 بين أن 1 x 1 من أجل كل 1+x.x من أجل كل 0 1 x 1 استنتج أن 1+x بين أن + x x 1 من أجل كل 2 لتكن f(x) = x 1 f دالة: + 1 x 2 4 x عين مجموعة التعريف واحسب f. أدرس إشارة f x 1 4 x2 x استنتج أن تحقق أن هي قيمة تقريبية ل بتقريب إلى : و αεr : متباينة برنولي: بين أنه من أجل كل nεn (1 + α) n 1 + nα 11: لتكن a 1, a 2, a 3,, a n أعداد حقيقية و f دالة معرفة على R ب: = f(x) (a 1 x) 2 + (a 2 x) (a n x) 2 f ما هي قيمة x التي من أجلها تأخذ قيمتها الحدية الصغرى. :11 من بين جميع المستطيالت التي محيطها يساوي 22 ما هو المستطيل الذي لديه أكبر مساحة)عين طوله وعرضه(. BOUZENIA ISLEM 26 بوزنية إسالم

31 BOUZENIA ISLEM بوزنية إسالم f(x) = ax 3 + 3x 11: نعتبر الدالة f المعرفة على R ب: أوجد قيمة العدد الحقيقي a إذا علمت أن الدالة f تقبل قيمتين حديتين محليتين عند 1 و 1. ارسم جدول تغيرات f وبين نوع القيم الحدية)صغرى أو كبرى(. g(x) = x a مع a عدد حقيقي. نعتبر الدالة: a x 2 عين قيمة a اذا علمت أن g تقبل قيمة حدية محلية عند 1 وبين نوعها. h(x) = x + 1 g(x) = (x + 1) 3 H(x) = sin x 12: عين التقريب التآلفي للدوال التالية عند ال 0. G(x) = 1 (1+x) 2 f(x) = (x + 1) 2 F(x) = 1 1+x BOUZENIA ISLEM 27 بوزنية إسالم

32 بوزنية إسالم ISLEM BOUZENIA تطبيقات االشتقاقية األول: لتكن V دالة معرفة على R ب: V(x) = 4x 3 60x x ادرس اتجاه تغير f وشكل جدول التغيرات. من مربع طول ضلعه 15 ننزع من جوانبه األربعة مربعات طول ضلعها x. لصنع علبة الحظ الشكل: بوزنية إسالم 28 BOUZENIA ISLEM برر انتماء x إلى المجال [7.5,0]. برهن أن عبارة حجم العلبة هي.V(x) ما هي قيمة x التي تجعل الحجم أعظمي ثم أحسبه. الثاني: ليكن ABCD مستطيل حيث = 2 AB و = 3 AD و M نقطة من [DC] نضع DM = x المستقيمان (AM) و (DB) يتقاطعان في N. نرمز ب S(x) لمجموع مساحتي ABN و.DNM بين أن االرتفاع المتعلق بالضلع (AB) في المثلث ABN يعطى بالعالقة: h(x) = 2 x+1 S(x) = x2 +1. بين أن x+1 من أجل أي قيمة ل x تكون S(x) أصغر ما يمكن أحسبها.

33 بوزنية إسالم ISLEM BOUZENIA Γ a الثالث: في المستوي المنسوب إلى معلم متعامد ومتجانس نعتبر النقط,A,B C إحداثياتها على الترتيب 1) (0; ; 1) (0, ; 0) (2, من أجل كل نقطة M من المستوي نضع: d(m) = MA + MB + MC M 0 بحيث من أجل كل نقطة M من المستوي الهدف هو البحث عن نقطة.d(x) بصيغة أخرة نبحث عن أصغر قيمة ل d(m) d(m 0 ) بين أنه من أجل كل نقطة M من المستوي: 2 MC.MB + M التي تحقق: Γ a مجموعة النقط 1 a عدد حقيقي لتكن ليكن.MB + MC = 2a تعرف على المجموعة Γ. 1 Γ a من أجل 1.a تعرف على ارسم في نفس المعلم,Γ 1 و. Γ 2 I a Γ a تقطع محور الفواصل في نقطة بين أنه من اجل كل 1 a يطلب تحديد فاصلتها. إحداثياتها هي( y,x) حيث: بين أن كل نقطة من عن { x = a2 1. cos t, t ε [0, 2π] y = a. sin t MA 2 I a A² وبين أنه إذا كانت M تختلف أكتب بداللة t الفرق: I a فان هذا الفرق موجب تماما. عن M I a و M ε Γ a فان ) a.d(m) > d(i استنتج أنه إذا كان بين أنه من أجل كل نقطة من المستوي تختلف لتكن ( 1, 0 M 3.d(M) > d(m 0 ) لدينا: M 0 الرابع: على طريق عرضها 3m تمر شاحنة عرضها حوالي 3m أيضا أي أنها تأخذ كامل الطريق عرضا سرعتها 60km/h على بعد 10m من هاته الشاحنة حاول أرنب أن يقطع الطريق وذلك بأقصى سرعته وهي.20km/h مقدمة بوزنية إسالم 29 BOUZENIA ISLEM

34 بوزنية إسالم ISLEM BOUZENIA الشاحنة ممثلة بالقطعة ] [CC واألرنب موجود في النقطة A النقطة.D نعتبر الزاوية θ = BAD ويريد الوصول إلى بوزنية إسالم 30 BOUZENIA ISLEM أوجد المسافة AD بدالة θ و الزمن t 1 الالزم لكي يقطع األرنب هاته المسافة. أوجد المسافة CD بدالة θ و الزمن t 2 الالزم لكي تقطع الشاحنة هاته المسافة. 3 tan(θ) f(θ) = 10 + برهن أن األرنب يقطع نضع 3 cos(θ) الطريق قبل مرور الشاحنة إذا وفقط إذا > 0.f(θ) ادرس اتجاه تغير f وشكل جدول التغيرات وبين أنها تنعدم في قيمتين يطلب إعطاء القيم التقريبية إلى ) D f = [0, π 2 [(.10 2 استنتج. الخامس: لدينا خيط طوله m شكلنا منه دائرة نصف قطرها x ومثلثا متقايس األضالع. نسمي S(x) مجموع مساحتي الدائرة والمثلث. ما هو المجال الذي ينتمي إليه x. S(x) = 36x2 π+(m 2πx). 2 بين أن 36 ما هي قيم x التي تجعل S(x) أكبر ما يمكن. السادس: u و v دالتان معرفتان على مجال [b,a] وقابلتان لالشتقاق على هذا المجال حيث من أجل كل b] x ε [a, لدينا (x) :u (x) v

35 بوزنية إسالم ISLEM BOUZENIA و بين أن (u v) متناقصة على المجال [b,a] ثم استنتج أن:.v(b) v(a) u(b) u(a) بين أن (u v) + متزايدة على [b,a] ثم استنتج أن:.v(a) v(b) u(b) u(a) استنتج أن: g(a). f(b) f(a) g(b) بين أن: sin x x من أجل: x < π.0 2. sin π sin π 2π استنتج أن: السابع: من بين المثلثات القائمة والتي لها نفس المحيط ما هو المثلث الذي يكون نصف قطر دائرته المحاطة أكبر ما يمكن. الثامن: نعتبر الدوال التالية: 1 2 g(x) = x 2 + x + 1 f(x) = x.r معرفة على h(x) = 2x + 1 ليكن x عدد حقيقي حيث: > 1 x: بين أنه يمكن إنشاء مثلث ABC بحيث: h(x) AB = و g(x) AC =.BC = f(x) بين أن الزاوية ABC مستقلة عن x.)أي مهما تغير x فان الزاوية ال تتغير(. هل يمكن أن يكون المثلث ABC متساوي الساقين. التاسع: أجب بصحيح أو خطأ مع التبرير: إذا انعدمت الدالة المشتقة عند قيميتين فان الدالة أصلية تقبل قيمتين حديتين. إذا قبل منحني دالة f مماسا موازيا لمحور التراتيب عند قيمة a فان.f (a) = 0 بوزنية إسالم 31 BOUZENIA ISLEM

36 بوزنية إسالم ISLEM BOUZENIA إذا قبلت دالة f قيمة حدية محلية عند فاصلة a فان المماس عند a يوازي محور الفواصل. إذا كانت دالة f متزايدة على مجال D f فان دالتها المشتقة f موجبة على.D f يوجد كثير حدود من الدرجة الثالثة موجب تماما. العاشر: في (x 3)2 C f(x) = منحنيها البياني: و f نعتبر الدالة x 2 أدرس وجود وعدد حلول المعادلة:.f(x) = mx لتكن M و N نقطتي تقاطع C f والمستقيم ذو المعادلة y = mx حال وجودهما نسمي I m منتصف.[MN] أوجد احداثيات I m بداللة m. ما هي مجموعة النقط I m لما تمسح m كل األعداد الحقيقة. 11: نعتبر الدالة: 1 = f(x) معرفة على.R 3 x3 + x أوجد مركز تناظر C f منحني الدالة f. أكتب معادلة المماس ل C f عند مركز التناظر. أدرس الوضعية النسبية للماس و C. f 11:. f(x) = (x 4)2 نعتبر الدالة: x 2 بين أن النقطة (4,2)I مركز تناظر. أكتب معادلة المماس لمنحني f عند I. بوزنية إسالم 32 BOUZENIA ISLEM

37 إسالم إسالم إسالم األول: 4 ن نعتبر الدالة نعتبر فرض أول للفصل األول: المعرفة ب: 1 + tanx f(x) = tan 2 x ISLEM BOUZENIA 33 إسالم بوزنية f عين مجموعة تعريف f. بين أن f دورية مع تحديد الدور. أدرس اتجاه تغير f. حل في R الثاني: 6 ن المعادلة f(x) = 0 : P(x) بطريقتين. P(x) = x 3 (m 2 1)x+1 + (m 2)x2 + x m + 2 m 2 x 3mx+2x 1 مع m وسيط حقيقي. أوجد قيم x حتى يكون P معرف. أوجد قيم m حتى يكون P كثير حدود ثم حل المعادلة = 0 P(x) من أجل قيم m المحصل عليها. ما هو مجموع حلول المعادلة = 0 P(x) لما = 2 m. الثالث: 6 ن نعتبر الدالة :. f(x) = 1 x 2 +1 أوجد مجموعة تعريف f وادرس شفعيتها. أدرس اتجاه تغير f وشكل جدول التغيرات. أعط حصرا للدالة f. من أجل xε[0; + [ نعرف دالة g بحيث: g(f(x)) = x و.f(g(x)) = x ما هي مجموعة تعريف g ادرس اتجاه تغير g وشكل جدول التغيرات. أوجد عبارة g.

38 إسالم إسالم إسالم برهن أنه إذا كانت النقطة M نظيرة النقطة (y M(x, بالنسبة للمنصف األول)المستقيم ذو المعادلة y( = x فان إحداثيات M هي (x.m (y, ماذا يمكن القول عن C f و C g منحنيي الدالتين f و g على الترتيب. )في هذا السؤال نأخذ اقتصار الدالة f على + R(..A(x) الرابع: 4 ن أدرس حسب قيم x إشارة A(x) = x 3 + x 2 + 4x + 4 x + 1 x x ISLEM BOUZENIA 34 إسالم بوزنية

39 السنة ثانية رياضيات. الفرض المحروس األول للفترة األولى في الرياضيات المدة: ساعة. األول: ( 50 نقا ط ) اختر اإلجابة الصحيحة من بين اإلجابات التالية: x 2 + 6x + 5 المعادلة = 0 1. ليس لها حلول في R. 2. لها حالن هما )3( و )1(. 5. لها حل مضاعف. 2. f ( x) و x 1 g( x) x كما يلي: 0; المعرفتان على المجال f لتكن الدالتان g.1 الدالة g f متزايدة تماما..2 الدالة g f متناقصة تماما..5 الدالة g f ثابتة. f ( x) 2 x ( x 1) 2 x x ;0 لتكن الدالة f المعرفة على المجال كما يلي: هي:. f ( x) 1.5 جدول تغييراتها هو:. f ( x) ( x 3) f ( x) كما يلي:. المعرفة على IR f ( x f ) x.1 لتكن الدالة x 3 x 3 x 0 f (x) 15 f (x) 4 f (x) 15 D, C, B, A 1.V 1..5 f ( x) x. f ( x) 9 0 f لتكن الدالة منحنى الدالة f 53 إسالم بوزنية ( 1) المعرفة على IR كما يلي: 2 1 هو منحنى الدالة المربع بانسحاب شعاعه f ( x) x 2 f ( x) ( x 2) x 0 1.V 1 4x 2 f ( x) AD xcm.2 1.V 1.1 الثاني. نعتبر النقاط. DA CD BC : ( 57 نقاط ) ليكن كثير الحدود( f(xحيث: 5 1. تحقق أن من أجل كل عدد حقيقي :9 x 0 f ( x) 2. حل المعادالت التالية: 5 الثالث : ( 58 نقاط ) ABCD مستطيل حيث AB 4cm و منتصفات القطع المستقيمة على الترتيب AB 1. أنجز رسما مناسبا A B 16.2 بين أن : x. A 2 5. أحسب مساحة المثلث. A BB 4. استنتج مساحة الرباعي B C D

40 *** مالحظة: هذا الفرض تم تقديمه في ثانوية فهو عمل ليس شخصيا. 53 إسالم بوزنية

41 ISLEM BOUZENIA إسالم بوزنية اختبار أول األول:) 2 ن( بين أنه من أجل كل عددين حقيقين x في مادة الرياضيات و y غير معدومين: الثاني :) 6 ن( نعتبر الدالة 2 ( x2 y 2 + y2 x 2) 3 (x y + y x ) + 6 > 0.f(x) = x 2 C f عين مجموعة تعريف f. بسط عبارة f. أدرس تغيرات f )النهايات عند حدود مجموعة التعريف الدالة المشتقة إشارة الدالة المشتقة اتجاه التغير جدول التغيرات( بين أن الدالة f تقبل محور تناظر يطلب تعيينه. ارسم منحني الدالة f في معلم متعامد ومتجانس. نعتبر Γ مجموعة النقط (y M(x, المتساوية البعد r عن مبدأ المعلم حيث r حقيقي ثابت. ما هو الشكل الهندسي الذي تأخذه. Γ أعط عبارة r بداللة x و y. C. f أدرس تقاطع Γ و أعط إحداثيات نقط التقاطع بداللة r. r 2 مساحة شبه r 2 قيمتين مختلفتين ل r. أعط بداللة r 1 و لتكن r 1 و C f لما C f لما r = r 1 و تقاطع Γ مع المنحرف الناتج عن تقاطع Γ مع.r = r 2 الثالث:) 7 ن( f نعتبر الدالة المعرفة على R ب: 18 15x f(x) = 2x 3 + x 2 + ما هو عدد وإشارة حلول المعادلة = 0.f(x) 37 إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA

42 ISLEM BOUZENIA إسالم بوزنية أعط حصرا للحل السالب وأعط قيمته المضبوطة إذا علمت أنه عدد صحيح نسبي. أدرس حسب قيم x إشارة.f(x) استنتج حلول المعادلة: = x.2x x x بين أن منحني الدالة f يقبل محور تناظر يطلب تعيينه. الرابع:) 5 ن( نعتبر الدالة g n (x) = [cos(x)] n + [sin(x)] n معرفة من أجل كل عدد حقيقي x وكل عدد طبيعي 1 n. هل يمكن أن تكون g n ثابتة من أجل قيمة ل n. ما هي قيم n حتى تكون g n زوجية. بين أن x).g n (x) = n. sin x. cos x (sin n 2 x cos n 2 من أجل كل > 2 n ومن أجل كل x. εr أدرس اتجاه تغير g n على [2π ;0] وشكل جدول التغيرات. علل لماذا يكفي دراسة g n على [2π ;0]. أعط حصرا ل g. n حل المعادلة + 1 n.g n (x) = [sin x] 38 إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA

43

44 األول: ISLEM BOUZENIA لتكن f دالة دورية غير ثابتة معرفة على R برهن أن f ال تقبل نهابة عند +. إذا كان 2 f 2 هل lim x + g(x) دالة تآلفية و( h(x دالة بحيث lim x + h(x). f(x) = g(x) + ماذا يمكن القول عن المستقيم الذي معادلته: g(x) y = هل يمكن لدالة أن تقبل أكثر من نهاية. الثاني: أجب بصحيح أو خطأ: إذا كانت الدالة f ليست معرفة عند a فهي ال تقبل نهاية عند a. a. أو على يسار a إذا وفقط إذا قبلت نهاية على يمين a تقبل نهاية عند f جميع الدوال المحدودة تقبل نهاية عند +. إذا قبلت f نهاية عند a فان f تقبل نهاية عند a. الثالث: أحسب النهايات التالية عند كل قيمة ل a. 40

45 ISLEM BOUZENIA الرابع: ليكن P كثير حدود معرف ب: P(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 + a 0 أحسب: ) lim. x 0 (P(x) P(0) x (x+2) 3 2. lim x 0 x استنتج. g(x) = 1+x2 1 أحسب: g(x) lim نعتبر الدالة x 0 x g(x) أحسب:. lim x 0. lim P(x) = lim a nx n x + x + x برهن أن ليكن Q(x) كثير حدود: Q(x) = a m x m + a m 1 x m a 0 أو.x. lim x + معناه + x P(x) Q(x) = lim x + a n x n a m x m بين أن: مالحظة: الرمز + x استنتج القواعد التالية: نهاية كثير حدود عند الالنهاية هي نهاية الحد الذي له أكبر أس. نهاية دالة ناطقة عند الالنهاية هي نهاية )الحد الذي له أكبر درجة في البسط على الحد الذي له أكبر درجة في المقام(. الخامس:. x lim 2 4 باستعمال تعريف نهاية دالة بين أن: = 4 x 2 x 2. lim 1 و = 0 1 باستعمال التعريف أن + = lim x + x x 0 x بين أن الدوال: cos (x) (1 ) n sin (x) ال تقبل نهاية عند +. بين أن الدالة (1) sin f(x) = ال تقبل نهاية عند الصفر. x لتكن u و v دالتان معرفتان على مجال I و a عنصر من I. بين أنه اذا قبلت u و v نهاية حقيقية عند a فان:. lim(u + v)(x) = lim u(x) + lim v(x) x a x a x a 41

46 lim u(x) = b x a u < z < v :x ε I و فان: lim u(x) = + x + u(x) = lim x +.. sin x x sin x x ISLEM BOUZENIA. lim(u. v)(x) = lim x a x a u(x) lim = x a. lim u(x) x a v(x) lim x a v(x). lim tan x x π 2 u(x). lim x a v(x) z من أجل 0 v تطبيق: بين أن: نعتبر أيضا الدالة المعرفة على I. بين أنه إذا كانت و من أجل كل + = v(x) lim فان x + v(x) = lim x + b ε R مع lim v(x) = b x a. lim z(x) = b x a بين أنه إذا كانت u > v و بين أنه إذا كانت u < v السادس: و فان. f(x) = 1 : cos x : sin x x R ب: نعتبر الدالة f بين أنه من اجل كل العرفة على xε ] π 2 ; 0[ [0; π 2 [ بين أنه من اجل كل [ 2 xε ] π 2 ; 0[ [0; π استنتج: lim sin x x 0 استنتج تقريب تآلفي للدالة sin عند الصفر.. lim x استنتج x 0 sin x احسب العدد المشتق للدالة sin عند الصفر. استنتج مرة أخرى النهاية: lim sin x. x 0 السابع: نعتبر الدالة f المعرفة ب:.g(x) = sin ²x f(x) = cos ²x + x أحسب lim x + اسحب g)(x) lim (f + x + هل يمكنك استنتاج lim انطالقا من f)(x) lim (g + x + x + 42

47 إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA المتتاليات العددية األول:. n ε N من أجل u n = sin( nπ ) : المعرفة ب u 2 n نعتبر المتتالية n أحسب الحدود األربعة األولى. ما هي البواقي الممكنة لقسمة n على العدد 4. استنتج أن كل طبيعي يكتب على أحد األشكال التالية: n = 4p أو + 1 4p n = أو.p ε N من أجل n = 4p أو + 3 n = 4p + 2 استنتج عبارة مبسطة ل u n حسب قيم n. ما هو اتجاه تغير u. n أحسب. lim n + u n مثل الحدود األربعة األولى على مستقيم عددي. الثاني: نعتبر المتتالية المعرفة على N ب: w n = n ( 1) n احسب الحدود الثالثة األولى ومثلها. حدد اتجاه تغير w. n احسب النهاية. lim w n n + الثالث: u n متتالية معرفة ب: f(n) u n = لتكن f دالة معرفة على + [ [0, و u n متزايدة. برهن أنه اذا كانت f متزايدة فان u n متناقصة. برهن أنه إذا كانت f متناقصة فان لتكن ) n (u متتالية معرفة ب: cos(2πn) u n = من أجل كل N بين أن ) n u) ثابتة. + R ب: cos(2πx).f(x) = نعتبر الدالة f المعرفة على هل f ثابتة. BOUZENIA 40 ISLEM إسالم بوزنية

48 إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA استنتج أن اتجاه تغير المتتالية ال يحدد اتجاه تغير الدالة المرفقة أي أن االستلزام العكسي في السؤال األول ليس دائما صحيح. مما سبق حدد اتجاه تغير المتتاليات اآلتية:.w v u n = cos 1 n = 2n 1 n = n n n لها. :4 u n u n+1 u n نعتبر المتتالية.u n = n 2 n قارن النسبة N ب: المعرفة على مع 1. استنتج اتجاه تغير u. n بين أن u n محدودة. بين أن 2 n n من أجل كل 1.n 5: نعتبر المتتالية ) n u) المعرفة بالحد األول u 0 ومن أجل كل :nεn.b و a مع u n+1 = au n + b نفرض = 0 b و 0 aأعط عبارة ) n (u بداللة n ونوع المتتالية. نفرض = 0 a أعط عبارة ) n.(u نفرض = 1 a أعط عبارة ) n (u و نوع المتتالية. نفرض 1 a و 0 :b w n ثابتة تحقق العالقة: w 1+n = aw n + b أعط هل يوجد متتالية عبارتها بداللة a و b. v n = u n w n بين أن ) n (v هندسية وأوجد عبارتها نعتبر المتتالية بداللة n. استنتج عبارة ) n (u بداللة.n عددي: أوجد الحد العام للمتتالية: + 1 n.z n+1 = 3z تطبيق BOUZENIA 41 ISLEM إسالم بوزنية

49 إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA 6: نعتبر المتتالية( u) n حدها األول u 0 والثاني u 1 ومن أجل كل :nεn u n+2 = au n+1 + bu n مع a و b عددان حقيقيان. α + β = a جد عددين حقيقين α و β بحيث: }. α. β = b من أجل كل عدد طبيعي n نضع:.v n = u n+1 αu n بين أن.β أساسها v )هندسية n ) من أجل كل عدد طبيعي n نضع:.w n = u n+1 βu n بين أن.α هندسية أساسها (w n ) أكتب v n و w n بداللة n ثم استنتج عبارة u n بداللة.n تطبيق عددي: أوجد الحد العام لمتتالية فيبوناتشي المعرفة ب: { u 0 = 1, u 1 = 1 ; n 0 u n+2 = u n+1 + u n (v n ) :7 نعتبر المتتالية الهندسية إذا علمت أن: حدودها كلها موجبة وحدها األول: = 3 1 v.. v 3 + v 5 = عين أساس المتتالية ) n v). ما هو اتجاه تغير ) n v). احسب. lim v n n + أحسب بداللة.S n = v 1 + v 2 + v v n :n أحسب. lim S n n + 8: a n > a n نعتبر المتتالية ) n (u ب: حقيقي المعرفة من أجل كل حيث عدد مع. v n = 1 u n u n 1 u n = 1 u n 1 u n 2 n+a a n 1 ونعتبر المتتالية BOUZENIA 42 ISLEM إسالم بوزنية

50 إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA.(a + 1) 3 a 3 = 3a 2 + 3a + 1 :a بين أن ) n v) حسابية. ادرس حسب قيم a اتجاه تغير ) n v). :9 بين أنه من أجل كل عدد حقيقي استنتج أنه من أجل كل عدد طبيعي n: (n + 1) 3 n 3 = 3n 2 + 3n + 1 اجمع طرفا لطرف المساويات التالية: 1 3 = = = حتى (n + 1) 3 n 3 = 3. n 2 + 3n + 1 استنتج المجموع: + n² :01 نعتبر المتتاليتين ) n u) و ) n v) المعرفتان من أجل كل طبيعي n غير. v u n = cos(3n π) n = sin(3(n π)) معدوم ب: n n بين أنه من أجل كل طبيعي n غير معدوم: 1 n u. n استنتج نهاية ) n.(u استنتج نهاية ) n.(v (w n ) نعتبر المتتالية المعرفة من أجل كل عدد طبيعي غير معدوم: w n = u 2 n + v n ² أكتب عبارة ) n w) بداللة n. ( على أبسط شكل ممكن(. أدرس اتجاه تغير ) n w). أحسب المجموع:.S n = w 1 + w 2 + w w n BOUZENIA 43 ISLEM إسالم بوزنية

51 . u n = 1 بالحد االول 1 = 1 u. إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA N ب: n(n+1) 1 = 1 1 n(n+1) n n+1 (u n ) 00: نعتبر المتتالية أثبت أنه من أجل كل المعرفة على غير معدوم: ادرس اتجاه تغير u. n أثبت أنه من أجل كل عدد طبيعي غي معدوم: S n = u 1 + u 2 + u u n = n n + 1 أحسب نهاية ) n (u ونهاية.S n n 1 n (u n ) :01 نعتبر المتتالية والعالقة التراجعية: المعرفة من أجل كل طبيعي.u n+1 = u n + n + 1 اجمع طرفا لطرف الحدود u 1 و u 2 و u 3 و u. 4 ماذا تالحظ. n(n+1) u n =.من أجل كل طبيعي n غير معدوم. بين أن: 2 :01 المستوي منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس أرسم Γ منحني الدالة: 1.x x علم النقطة 1) (1, 0.A نعتبر النقط A n, B n من Γ بحيث من أجل كل عدد طبيعي n المستقيم ) n (A n B معامل توجيهه هو.2 والمستقيم ) n (A n+1 B معامل توجيهه b n A n B 0 و A 1 ثم عين إحداثياهما. علم النقط a n فاصلة من أجل كل عدد طبيعي n نعتبر a n و 1+n a. عين عالقة بين a n وبين نوع المتتالية ) n a). استنتج عبارة b. n استنتج عبارة و فاصلة.B n BOUZENIA 44 ISLEM إسالم بوزنية

52 إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA.n B n استنتج إحداثيات A n بداللة و :14 نعتبر المتتالية الهندسية ) n v) المعرفة على N أساسها q وحدها األول q. أساسها w n نعتبر المتتالية الهندسية v.كما 0 أحسب المجموع: S n = v m 0 + v m 1 + v m v m n مع m عدد طبيعي ثابت.)المجموع بداللة ) q n m أحسب المجموع: s n = v 0. w 0 + v 1. w v n. w n أحسب المجموع: ) n.t n = (v m 0 w m 0 ) + (v m 1 w m 1 ) + + (v m n w m أحسب المجموع: t n = v 0 (w 0 + 1) + v 1 (w 1 + 2) + v 2 (w 2 + 4) + + v n (w n + 2 n ) :15 بين أنه من أجل كل > 0 α و + α) n > 1 + nα :n ε N.(1 ليكن q عدد حقيقي. من أجل > 1 q استنتج. lim qn n + من أجل < 1 q < 1 استنتج. lim n + qn من أجل 1 q هل يمكنك استنتاج النهاية. قدم برهانا على نهاية متتالية هندسية حسب قيم أساسها. :06 لتكن,a,b,c,d e خمسة حدود متتابعة بهذا الترتيب حيث a هو الحد ذو أصغر رتبة من متتالية حسابية ) n u) : حيث تحقق: = 60 e a + b + c + d + و = 48 2 a 2 e أوجد الحدود a, b, c, d, e و عبارة ) n.(u BOUZENIA 45 ISLEM إسالم بوزنية

53 إسالم بوزنية ISLEM BOUZENIA 07: لتكن a, b, c, d, e خمسة حدود متتابعة من متتالية هندسية ) n (v الترتيب حيث a هو الحد ذو أصغر رتبة. وتحقق: = 1 e a + b + c + d + و = 1 c a. e + أوجد حدود المتتالية ) n v) والحد العام. بهذا BOUZENIA 46 ISLEM إسالم بوزنية

54 بوزنية إسالم ثانوية الرياضيات الدفعة األولى. وضعية إدماجيه: األول:) 8 ن( u 0 نعتبر المتتالية ) n (u الموجبة تماما حدها األول و المعرفة على N بالعالقة: n r n u n+1 = u n+1 u n. 3 u n u n ² + 3 أدرس اتجاه تغير ) n u). برهن أنه من أجل كل :nεn u n u 0 استنتج أن. 3 n استنتج نهاية ) n.(u الثاني:) 21 ن( نعتبر العدد الصحيح n بحيث 3 n نعتبر المضلع المنتظم C ضلع رؤوسه تنتمي لدائرة قطرها 1. [AB] أحد أضالع نعتبر القطعة.r n المضلع أحد أضالع هي [AC] القطعة عدد r 2n مضلع منتظم آخر أضالعه 2n رؤوسه تنتمي للدائرة.C هي ضلع لمضلع [EF] القطعة منتظم R n محيط بالدائرة C نحصل r. n عليه انطالقا من رسم المماسات للدائرة C عند رؤوس المضلع ب r n R n p n P n و نرمز ب لمحيطي المضلعين و على الترتيب. برهن أن طول أحد أضالع المضلع r n هو: π] a n = cos [( 1 1 ) برهن أن طول أحد أضالع المضلع الكبير هو: ) π 2 n. A n = tan ( n استنتج و بداللة n. p n P n 50 بوزنية إسالم BOUZENIA ISLEM

55 بوزنية إسالم ثانوية الرياضيات الدفعة األولى. f(x) = (1 + 1 x )(cos[(1 2 1 x+1 )π] يعطى جدول تغيرات الدالة ) )π] cos[( x المجال + [ [3; على. AC 2 = ( AB2 ) 4 4 استنتج أن.p 4n < p 2n < p n < π بين أن.P 4n > P 2n > P n > π الحظ أن.AC 2 = DC. HC بين أن.p 2n = 2n n n 2 p n 2 استنتج أن:. lim P n = n + استنتج أن: π]. p 2n = n. 2 2 sin [( 1 1 ) 2 n EF = AB الحظ أن:.AO. AH = AE. OH بين أن : lim 1 AB 2 n + p n. P n p n =. P n = np n n 2 p n 2 p n 3 n 2 p n 2 (n+ n 2 p n 2 ) استنتج أن: بين أن: بين أن: = 0 ) n lim (P n p ثم استنتج أن: n + استنتج أن:. lim p n = π n + n n = 4 n = 8. استنتج: lim n + [(1 1 ) π] 2 n أكمل الجدول: قيمة مقربة ل p n قيمة مقربة ل P n حصر π 51 بوزنية إسالم BOUZENIA ISLEM