الا شتقاق و تطبيقاته

Transcript

1 الا شتقاق و تطبيقاته سيدي محمد لخضر الفهرس قابلية ا شتقاقدالةعددية قابلية ا شتقاق دالة في نقطة المماس لمنحنى دالة في نقطة التقريب التا لفي لدالة بجوار نقطة قابلية ا شتقاق دالة على مجال الدالةالمشتقةوالمشتقاتالمتتالية العملياتعلىالدوالالمشتقة رتابةومطارفدالةقابلةللاشتقاق المعادلةالتفاضلية: 0 = y. y +w القدرات المنتظرة تقريب دالة بجوار نقطة بدالة تالفية. التعرف على ان العدد المشتق لدالة في xهو 0 المعامل الموجه لمماس منحناها في النقطة التي افصولها x. 0 التعرف على مشتقات الدوال المرجعية. التمكن من تقنيات حساب مشتقة دالة. تحديد معادلة المماس لمنحنى دالة في نقطة و انشاو ه. تحديد رتابة دالة انطلاقا من دراسة اشارة مشتقتها. تحديد اشارة دالة انطلاقا من جدول تغيراتها او من تمثيلها المبياني. حل مساي ل تطبيقية حول القيم الدنوية و القيم القصوية. تطبيق الاشتقاق في حساب بعض النهايات.

2 قابلية ا شتقاق دالة عددية. قابلية ا شتقاق دالة في نقطة تعريف. لتكن f دالة عددية معرفة على مجال مفتوح I و x. 0 I f(x) f(x. 0 ) = l x x0 نقول ا ن f قابلة للا شتقاق في x 0 ا ذا و فقط ا ذا وجد عدد حقيقي l بحيث: العدد l يسمى العدد المشتق للدالة f في x 0 و نرمز له بالرمز ) 0 f. x) لتكن f دالة عددية معرفة على مجال من نوع ]α; x]. 0 نقول ا ن f قابلة للا شتقاق على اليمين في x 0 ا ذا و فقط ا ذا وجد عدد حقيقي l بحيث:. x x + 0 f(x) f(x 0 ) = l العدد l يسمى العدد المشتق للدالة f على اليمين في x 0 و نرمز له بالرمز (0 f. d x) لتكن f دالة عددية معرفة على مجال من نوع ] 0.]α;x نقول ا ن f قابلة للا شتقاق على اليسار في x 0 ا ذا و فقط ا ذا وجد عدد حقيقي l بحيث:. x x 0 f(x) f(x 0 ) = l العدد l يسمى العدد المشتق للدالة f على اليسار في x 0 و نرمز له بالرمز ) 0 f. g(x. x x0 h x x0 ملحوظة. بوضع h = يكون x = h+x 0 و = 0 0 x x f(x) f() x x f(x) f(x 0 ) f(x 0 +h) f(x 0 ) x x 0 h 0 h و بالتالي: مثال. لندرس قابلية ا شتقاق الدالة x+5 f : x 3x في : 3x x+5 (3 +5) x x 3x x 8 x x (x )(3x+4) x x x 3x+4 = 0 ا ذن الدالة f تقبل الا شتقاق في و لدينا العدد المشتق ل f في هو = 0 () f. خاصية. تكون الدالة f قابلة للا شتقاق في x 0 ا ذا و فقط ا ذا كانت الدالة f قابلة للا شتقاق على اليمين في.f d (x 0) = f g(x 0 ) و و على اليسار في x 0 x 0 تمرين. ادرس قابلية ا شتقاق الدالة f في x 0 في كل حالة من الحالات التالية: f(x) = x ;x 0 x 0 و = 0 x f(x) = x ;x > 0-5 x 0 و = f(x) = x x+ - x 0 = π - sinx f(x) = و x 0 و = 4 f(x) = x 4-6 x 0 و = 3 f(x) = x 3-3 x 0 و = f(x) = x 5x+6-4

3 . المماس لمنحنى دالة في نقطة تعريف. لتكن f دالة قابلة للا شتقاق في x 0 و C المنحنى الممثل لها. المستقيم الذي معامله الموجه هو ) 0 f x) و المار من النقطة (( 0 A(x 0 ;f(x يسمى المماس للمنحنى C في النقطة A. j (C f ) (T) O i خاصية. لتكن f دالة قابلة للا شتقاق في x. 0 معادلة المماس لمنحنى الدالة f في النقطة ذات الا فصول x 0 هي: ) 0.y = f (x 0 )( )+f(x مثال. لنحدد المعادلة المختزلة للمماس (T) لمنحنى الدالة g : x 3x في النقطة ذات الا فصول. g(x) g() x x 3x 3 x x 3(x )(x+) x x 3(x+) x = 6 لدينا = 3 g() و ا ذن = 6 ().g و بالتالي المعادلة المختزلة للمماس (T) هي: ()(x )+g() y = g ا ي 6x 3.y = تمرين. ا عط المعادلة المختزلة لكل من ) (T و ) (T و ) 3 (T المماسات لمنحنى الدالة f : x x على التوالي في النقط ذات الا فاصيل و 0 و. ملحوظة. ا ذا كانت f تقبل الا شتقاق على اليمين في x 0 ) على التوالي على اليسار في ( x 0 فهذا يعني ا ن منحنى الدالة f يقبل نصف مماس ) T] ) على التوالي ) T] ( في النقطة ذات الا فصول x 0 معامله الموجه هو 0) ) f d (x على التوالي هو 0).( f g (x [T ) : { y = f g (x 0 )( )+f(x 0 ) x x 0 : ) [T و { y = f d (x 0 )( )+f(x 0 ) x x 0 و لدينا: ا ذا كانت f تقبل الا شتقاق على اليمين و على اليسار في x 0 بحيث ) 0 f d (x 0) f g(x فا ن النقطة.f تسمى نقطة مزواة لمنحنى A(x 0 ;f(x 0 )) 3

4 f فهذا يعني ا ن منحنى الدالة x x + 0 f(x) f(x 0 ) ا و = x x 0 f(x) f(x 0 ) ا ذا كانت = يقبل نصف مماس موازي لمحور الا راتيب في النقطة ذات الا فصول x. 0 تمرين 3. g دالة عددية معرفة على R ب: 4.g(x) = x - ادرس قابلية ا شتقاق الدالة g على اليمين و على اليسار في. - حدد نصفي المماس لمنحنى الدالة g على اليمين و على اليسار في النقطة ذات الا فصول. 3. التقريب التا لفي لدالة بجوار نقطة تعريف.3 لتكن f دالة قابلة للا شتقاق في.x 0 الدالة ) 0 x f (x 0 )( )+f(x تسمى الدالة التا لفية المماسة للدالة f في x 0 ا و التقريب التا لفي للدالة f بجوار x. 0 خاصية 3. لتكن f دالة قابلة للا شتقاق في.x 0 لدينا بجوار.f(x) f (x 0 )( )+f(x 0 ) :x 0 مثال 3. لنحدد التقريب التا لفي للدالة f : x x+ بجوار 0 و لنستنتج قيمة مقربة للعدد,0008 : ا ذن f(x) f(0). x 0 x 0 x 0 +x x = لدينا = +0 = f(0) و +x+ x 0 f (0) = و بالتالي التقريب التا لفي للدالة f بجوار 0 هو الدالة g المعرفة ب: (0)f+ g(x) = f (0 x)(0) ا ي: ا ي,0004,0008..g(x) = x+ و بالتالي بجوار 0 لدينا: g(x). f(x) ا ذن g(0,0008) f(0,0008) ا ي 0, ,0008 تمرين 4. x g : بجوار.0 x+.,006 - حدد التقريب التا لفي للدالة - ا ستنتج قيمة مقربة للعدد 4. قابلية ا شتقاق دالة على مجال تعريف 4. نقول ا ن دالة f قابلة للا شتقاق على مجال مفتوح ]b ;a[ ا ذا كانت f قابلة للا شتقاق في كل نقطة من.]a;b[ نقول ا ن دالة f قابلة للا شتقاق على مجال مغلق [a;b] ا ذا كانت f قابلة للا شتقاق على المجال المفتوح b. و على اليسار في a و قابلة للا شتقاق على اليمين في ]a;b[ بنفس الطريقة نعرف قابلية ا شتقاق دالة على مجالات من نوع [a;b[ و ] +;a] و [b; [ و.]a;b] مثال 4. لتكن f الدالة العددية المعرفة ب: +x.f(x) = مجموعة تعريف الدالة f هي: [ ;+ [ = 0}.D f = {x R/x+ 4

5 f(x) f(a) x a f(x) f( ) x+ = 0+ لا ن x ( ) + x ( ) + x ( ) x+ a+ x a x a (x a)( x++ a+) x++ a+ = a+ ليكن a من ] +; [. ا ذن الدالة f قابلة للا شتقاق على المجال المفتوح ] + ; [. x ( ) + x+ x+ x ( ) + x+ و لدينا: + = ا ذن الدالة f لا تقبل الا شتقاق على اليمين في ( ). نستنتج ا ن الدالة f معرفة على المجال ] + ; ] و قابلة للا شتقاق على المجال ] + ; [. الدالة المشتقة و المشتقات المتتالية تعريف 5. لتكن f دالة قابلة للا شتقاق على مجال I. الدالة المعرفة على I بما يلي: (x) x f تسمى الدالة المشتقة للدالة f على المجال I و نرمز لها بالرمز.f ا ذا كانت الدالة المشتقة f قابلة ا يضا للا شتقاق على المجال I فا ن دالتها المشتقة تسمى الدالة المشتقة الثانية للدالة f على المجال I و نرمز لها بالرمز f. بنفس الطريقة نعرف الدالة المشتقة من الرتبة n للدالة f حيث {;0}\N n و نرمز لها بالرمز.f (n) = (f (n ) ) و لدينا:.f (n) مثال 5. لتكن f الدالة العددية المعرفة ب:.f(x) = x 3 مجموعة تعريف الدالة f هي R لا نها دالة حدودية. f(x) f(a) x a x 3 a 3 x a (x a)(x +ax+a ) x a x +ax+a = 3a ليكن a من R. ا ذن الدالة f تقبل الا شتقاق على R و مشتقتها الاولى هي الدالة f. : x 3x f (x) f (a) x a 3x 3a x a 3(x a)(x+a) x a 3(x+a) = 6a ليكن a من R. ا ذن الدالة f تقبل الا شتقاق على R و المشتقة الثانية للدالة f هي الدالة f. : x 6x مشتقات بعض الدوال الا عتيادية 5

6 الدالةf حيز تعريفf الدالة f حيز تعريف f R x 0 R x k / k R R x nx n R x x n / n N R x x R x x R + x x R + x x R x cosx R x sinx R x sinx R x cosx.( x ) = x ملحوظة 3. نكتب ا صطلاحا: (f(x)).f (x) = مثلا: (. f ( ) f = f g g f. g 3 العمليات على الدوال المشتقة خاصية 4. لتكن f و g دالتين قابلتين للا شتقاق على مجال I و k عددا حقيقيا. الدالة f +g قابلة للا شتقاق على I و لدينا: +g.(f +g) = f الدالة k.f قابلة للا شتقاق على I و لدينا: k.f.(k.f) = الدالة f g قابلة للا شتقاق على I و لدينا: (f g) = f g +g f. ) = f الدالة f قابلة للا شتقاق على كل مجال ضمن I لا تنعدم فيه f و لدينا: f الدالة f g قابلة للا شتقاق على كل مجال ضمن I لا تنعدم فيه gو لدينا: g ملحوظة 4. الدوال الحدودية و الدوال الجذرية قابلة للا شتقاق على كل مجال ضمن مجموعة تعريفها. :h : x xcosx و g : x x3 6x مثال 6. لنحدد مشتقات الدوال التالية: 3 f : x 6x5 +8x و x+5 g (x) = ( ) x 3 6x x+5 f (x) = ( 6x 5 +8x 3) = ( 6x 5 ) +(8x ) +( 3) = 6(x 5 ) +8(x ) = 6 5x 4 +8 x = 30x 4 +6x = (x3 6x) (x+5) (x+5) (x 3 6x) (x+5) = (3x 6)(x+5) (x 3 6x) (x+5) = 6x3 +5x x 30 x 3 +x (x+5) = 4x3 +5x 30 (x+5) 6 لكل x من :R لكل x من } 5 :R\{

7 f(x) = 3x 7 f(x) = tanx x+9 (4) f(x) = 3x+7 (8) f(x) = x x+ h (x) = ( xcos(x)) = ( x) cos(x)+(cos(x)) x = x cos(x) sin(x) x لكل x من + :R تمرين 5. حدد مشتقة الدالة f في كل حالة من الحالات التالية: (3) f(x) = 4x 5 3x 3 +x 8 () f(x) = 6x + x () (7) f(x) = (x 3 x)(5x+6) (6) f(x) = (x 3)sinx (5) خاصية 5. لتكن f دالة قابلة للا شتقاق على مجال I و a و b عددين حقيقيين و N n. الدالة f n قابلة للا شتقاق على I و لدينا: n (f n ) = n.f f. الدالة f n قابلة للا شتقاق على كل مجال ضمن I لا تنعدم فيه f و لدينا: = ) n f). n.f f n الدالة f قابلة للا شتقاق على كل مجال ضمن I تكون فيه f موجبة قطعا و لدينا:.( f) = f f الدالة b) x f(ax + قابلة للا شتقاق في كل x من R بحيث ax + b I و لدينا:.(f(ax+b)) = a.f (ax+b).f(x) = (x +x+3) مثال 7. نعتبر الدالة f المعرفة ب: 5 مميز الحدودية +x+3 x هو: < 0 = 4 3 = و منه الحدودية +x+3 x لا تنعدم على.R و بالتالي الدالة الجذرية f معرفة و قابلة للا شتقاق على R. f (x) = ( (x +x+3) 5 ) = ((x +x+3) 5 ) = 5(x +x+3) (x +x+3) 6 = 5(x+)(x +x+3) 6 = 5(x+) (x +x+3) 6 و لكل x من R لدينا: مثال.8 نعتبر الدالة g المعرفة ب: 7) sin(4x.g(x) = لدينا الدالة sin قابلة للا شتقاق على R. ا ذن الدالة g قابلة للا شتقاق على R. و لكل x من R لدينا: g (x) = (sin(4x 7)) = 4sin (4x 7) = 4cos(4x 7) مثال 9. نعتبر الدالة h المعرفة ب: +3x.h(x) = x مميز الحدودية +3x x هو: > 0 = 4 ( ) ( ) = 3 و منه الحدودية +x+3 xلها جذران 3+. و جدول ا شارتها هو: 3 و = ( ) هما: = ( ) x + x +3x و بالتالي الدالة h معرفة على [; ] و قابلة للا شتقاق على ]; [. 7

8 h (x) = ( x +3x ) = ( x +3x ) x +3x 4x+3 = x +3x و لكل x من ]; ] لدينا: تمرين 6. حدد مشتقة الدالة f في كل حالة من الحالات التالية: f(x) = 5x 3 (3) f(x) = sin( 7x+8) () f(x) = (4x+) 3 () f(x) = x 5x+6 (6) f(x) = x 3 cos(3x+) (5) f(x) = ( 3x 3 +7x 8) 7 (4) 4 رتابة و مطارف دالة قابلة للاشتقاق مبرهنة. نقبل المبرهنة التالية: لتكن f دالة قابلة للا شتقاق على مجال I. ا ذا كانت f موجبة قطعا على I فا ن f تزايدية قطعا على I. ا ذا كانت f سالبة قطعا على I فا ن f تناقصية قطعا على I. ا ذا كانت f منعدمة على I فا ن f ثابتة على I. مثال 0. نعتبر الدالة العددية f المعرفة ب: 0x+.f(x) = 5 3 x3 + 5 x بما ا ن f دالة حدودية فا نها معرفة و قابلة للا شتقاق على R. لكل x من R لدينا: +x ).f (x) = 5x +5x 0 = 5(x مميز الحدودية +x x هو: > 0 9 = 4 ( ) = و = x + f (x) و منه للحدودية x+ x جذرين هما: = و بالتالي جدول ا شارة المشتقة f: و منه f تزايدية قطعا على كل من المجالين ] ; ] و ] + ;[ و تناقصية قطعا على المجال ] ; [. نشرك مع جدول تغيرات الدالة f جدول ا شارة مشتقتها f و نهايات f عند محدات حيز تعريفها و مطارفها: x3 = + و f(x) نهايات f عند محدات حيز تعريفها: = x3 x x 3 جدول تغيرات الدالة f: f(x) x x + x + f (x) f(x) خاصية 6. لتكن f دالة قابلة للا شتقاق على مجال مفتوح I و x. 0 I ا ذا كان ) 0 f(x مطراف للدالة f فا ن f تنعدم في.x 0 ا ذا كانت f تنعدم في x 0 مغيرة ا شارتها فا ن ) 0 f(x مطراف للدالة f. 8

9 مثال. نعتبر الدالة العددية h المعرفة ب:.h(x) = 3x 4 +8x 3 +6x بما ا ن h دالة حدودية فا نها معرفة و قابلة للا شتقاق على R. لكل x من R لدينا: x(x+).h (x) = x 3 +4x +x = و بالتالي جدول ا شارة المشتقة h: x 0 + x 0 + (x+) h (x) المشتقة h تنعدم في ( ) و 0 لكن لا تغير ا شارتها ا لا عند 0. ا ذن للدالة h مطراف واحد هو: = 0 (0)h. تمرين 7. احسب (x) fثم ا ستنتج رتابة الدالة fو حدد مطارفها ا ن وجدت في كل حالة من الحالات التالية: f(x) = x + (4) f(x) = x+ (3) f(x) = x 4 x +7 () f(x) = x 3 6x () x x f(x) = x 3 x +4x (8) f(x) = x 3 ( x) (7) f(x) = 3x (6) f(x) = x (5) x + x 5 المعادلةالتفاضلية: 0 = y y +w تعريف 6. ليكن w عددا حقيقيا. المتساوية = 0 y y w+ حيث المجهول y دالة عددية مشتقتها الثانية y تسمى معادلة تفاضلية. مثال. المعادلات التالية هي معادلات تفاضلية من نوع = 0 y y: w+. g 9g = 0 5y +6y = 0 f +f = 0 6y +y = 0 مبرهنة. حلول المعادلة التفاضلية = 0 y y + w حيث R w هي الدوال المعرفة على R بما يلي: x acoswx+bsinwx مع a و b عددان حقيقيان. حلول المعادلة التفاضلية = 0 y هي الدوال المعرفة على R بما يلي: x ax+b مع a و b عددان حقيقيان. مثال 3. لنحدد g حل المعادلة التفاضلية = 0 +9y (E) : y الذي يحقق = (0) g :g(0) = حلول المعادلة التفاضلية (E) هي الدوال المعرفة على R ب: x αcos3x+βsin3x مع α و β عددان حقيقيان. g(x) = αcos3x+βsin3x حيث α و β عددان حقيقيان. { g(0) = g (0) =.g(x) = cos3x+ 3 sin3x ليكن.x R نضع ا ذن.g (x) = 3αsin3x+3βcos3x { { αcos0+βsin0 = α = 3αsin0+3βcos0 = β = 3 و بالتالي الدالة g هي الدالة المعرفة على R ب: تمرين 8. نعتبر المعادلة التفاضلية = 0 +4y.(E) : y - حدد مجموعة حلول المعادلة (E). - حدد الدالة f حل المعادلة (E) التي تحقق = ) f(π و = 3 π).f ( تمرين 9. لتكن f دالة عددية معرفة على R ب: λcos( x+θ) f(x) = مع λ و θ من R. بين ا ن f حل للمعادلة التفاضلية = 0 +4y.y 9