ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη λύση κάθε άσκησης καλό είναι να μελετούνται τα παραδείγματα και οι λυμένες ασκήσεις από τις παραπομπές στα συγγράμματα και στο βοηθητικό υλικό Οι ασκήσεις της 6 ης εργασίας αναφέρονται στα: Ενότητα ( 5) (Βασική Πιθανοθεωρία) Ενότητα ( ) (Τυχαίες μεταβλητές και χαρακτηριστικά των κατανομών τους Χρήσιμα πρότυπα κατανομών) του συγγράμματος του ΕΑΠ «Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας» Τόμος Α Πιθανότητες και Στατιστική Ι του κ Ι Κουτρουβέλη Για την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη ως εξής: Συνοδευτικό Εκπαιδευτικό Υλικό : Πιθανότητες Πιθανότητες Ι και Πιθανότητες ΙΙ Στόχοι: Σκοπός της εργασίας αυτής είναι : α) η κατανόηση της έννοιας της πιθανότητας καθώς και ο υπολογισμός της πιθανότητας ενδεχομένων βάσει προτάσεων από την αξιωματική θεωρία των πιθανοτήτων β) η κατανόηση της έννοιας της τυχαίας μεταβλητής και ο υπολογισμός βάσει κατάλληλων συναρτήσεων της συμπεριφοράς τυχαίων μεταβλητών που περιγράφουν τα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης

2 Άσκηση (0 μονάδες) Ι) (0 μονάδες) Από τον έλεγχο που έγινε σε μια ημέρα σε ένα μεγάλο αριθμό οδηγών (δείγμα) βρέθηκε ότι το 70% των οδηγών δε φορούσε ζώνη ασφαλείας το 40% των οδηγών δεν είχε πυροσβεστήρα στο αυτοκίνητο ενώ στο 0% των οδηγών διαπιστώθηκαν και οι δύο παραβάσεις Την επόμενη ημέρα ελέγχεται ένας οδηγός και θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α={ο οδηγός δε φορά ζώνη ασφάλειας} και Β={ο οδηγός δεν έχει πυροσβεστήρα στο αυτοκίνητό του} Να διατυπωθούν τα ενδεχόμενα B ' B' B' B' ' B και να υπολογιστεί η πιθανότητα τους ΙΙ) (0 μονάδες) Τα ποσοστά των φοιτητών του ΕΑΠ που πέρασαν τις Θεματικές Ενότητες Α Β Γ μετά την πρώτη εξεταστική είναι τα ακόλουθα: Α: 50% Β: 40% Γ: 0% Α και Β: 5% Α και Γ: 5% Β και Γ: 0% και τις τρείς Θεματικές Ενότητες: 5% Να βρεθεί το ποσοστό των φοιτητών που πέρασαν τουλάχιστον ένα από τα τρία μαθήματα Λύση Ι) Επειδή το μέγεθος του δείγματος είναι μεγάλο από το στατιστικό ορισμό πιθανότητας (βλέπε βιβλίο Ι Κουτρουβέλη σελ 6) προκύπτει (προσεγγιστικά) ότι στον πληθυσμό των οδηγών οι πιθανότητες των ενδεχομένων είναι ίσες με B B 07 P 04 P B 0 P B Τα ζητούμενα ενδεχόμενα είναι: B{ο οδηγός δε φορά ζώνη ασφάλειας ή δεν έχει πυροσβεστήρα στο αυτοκίνητό του} ' B' {ο οδηγός φορά ζώνη ασφάλειας και έχει πυροσβεστήρα στο αυτοκίνητό του} B' {ο οδηγός δε φορά ζώνη ασφάλειας και έχει πυροσβεστήρα στο αυτοκίνητό του} B' {ο οδηγός δε φορά ζώνη ασφάλειας ή έχει πυροσβεστήρα στο αυτοκίνητό του} και ' B {ο οδηγός φορά ζώνη ασφάλειας και δεν έχει πυροσβεστήρα στο αυτοκίνητό του} Από τον κανόνα της πρόσθεσης (θεώρημα 6 σελ 5 βιβλίου Ι Κουτρουβέλη) έχουμε: P B P( ) P B P B Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του de Morgan (άσκηση 45 ΣΕΥ Πιθανότητες ) έχουμε: P ' B' P B ' P B 08 0 Επίσης παίρνουμε (σελ 5 βιβλίου Ι Κουτρουβέλη) P B' P( ) P( B) Χρησιμοποιώντας πάλι τον κανόνα της πρόσθεσης έχουμε: P B' P( ) P B' P B' 07 ( 04) Τέλος χρησιμοποιώντας το θεώρημα 5 από το βιβλίο του Ι Κουτρουβέλη (σελ 4) έχουμε: P ' B P B' ' P B' 09 0 ΙΙ) Σύμφωνα με τα δεδομένα της άσκησης έχουμε: P( B )=05 Το ζητούμενο είναι να βρεθεί το ποσοστό P( B ) Χρησιμοποιώντας τον κανόνα της πρόσθεσης P( B)=P()+P(B)-P( B) έχουμε: P() 05 P(B) 0 4 P( ) 0 P( B)=05 P( B )=P B =P()+P(B )-P B P()+P(B)+P( )-P(B )-P B P( )=05 P()+P(B)+P( )-P(B )- P( B)+P( )-P ( B) ( ) P()+P(B)+P( )-P(B )-P( B)-P( )+P( B ) P(B )= Σημειώνουμε ότι στον παραπάνω υπολογισμό χρησιμοποιήθηκε και η επιμεριστική ιδιότητα B = B (βλέπε επίσης παράδειγμα ΣΕΥ Πιθανότητες ) Επομένως το ζητούμενο ποσοστό είναι 55% και

3 Άσκηση (0 μονάδες) Ι) (0 μονάδες) Μια κάλπη περιέχει 4 διακεκριμένα άσπρα και διακεκριμένα μαύρα σφαιρίδια Επιλέγουμε τυχαία το ένα μετά το άλλο δύο σφαιρίδια από την κάλπη χωρίς επανάθεση (α) ( μονάδες) Να δοθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος (β) Θεωρώντας τα ενδεχόμενα: Α ={το πρώτο σφαιρίδιο είναι άσπρο} και Α ={το δεύτερο σφαιρίδιο είναι άσπρο} να υπολογισθεί η πιθανότητα να είναι: (β) ( μονάδες) το δεύτερο σφαιρίδιο άσπρο (β) ( μονάδες) το πρώτο σφαιρίδιο άσπρο δοθέντος ότι το δεύτερο ήταν άσπρο και (β) ( μονάδες) και τα δύο σφαιρίδια άσπρα δοθέντος ότι τουλάχιστον ένα ήταν άσπρο ΙΙ) (0 μονάδες) Ρίχνουμε ένα νόμισμα τέσσερις φορές και θεωρούμε τα εξής ενδεχόμενα: Α={στην πρώτη ρίψη έρχεται κεφαλή} Β={έρχονται τουλάχιστον φορές γράμματα} και Γ={στη δεύτερη ρίψη έρχεται κεφαλή και στην τέταρτη έρχεται γράμματα} (α) ( μονάδες) Να βρείτε το δειγματοχώρο Ω του παραπάνω πειράματος Πόσα στοιχεία έχει; (β) ( μονάδες) Να βρείτε ποια υποσύνολά του αντιστοιχούν στα ενδεχόμενα Α Β και Γ και στη συνέχεια να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α) Ρ(Β) Ρ(Γ) (γ) (4 μονάδες) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες P( ) P( ) και P( ) Λύση Ι) (α) Ας υποθέσουμε ότι τα άσπρα σφαιρίδια είναι αριθμημένα από το έως το 4 και τα μαύρα σφαιρίδια από το 5 έως το 7 Η πρώτη σφαίρα μπορεί να επιλεγεί με 7 τρόπους και η δεύτερη με 6 αφού η πρώτη σφαίρα δεν ξαναμπαίνει στην κάλπη Επομένως έχουμε 6*7=4 δυνατά αποτελέσματα Συγκεκριμένα ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος τύχης είναι: : 7 και {() () (4) (5) (6) (7) () () (4) (5) (6) (7) () () (4) (5) (6) (7) (4) (4) (4) (45) (46) (47) (5) (5) (5) (54) (56) (57) (6) (6) (6) (64) (65) (67) (7) (7) (7) (74) (75) (76)} Πράγματι βλέπουμε ότι το πλήθος των στοιχείων του Ω είναι Ν(Ω)=4 (β) Επίσης έχουμε: Α ={() () (4) (5) (6) (7) () () (4) (5) (6) (7) () () (4) (5) (6) (7) (4) (4) (4) (45) (46) (47)} Ν(Α )=4 Α ={() () (4) () () (4) () () (4) (4) (4) (4) (5) (5) (5) (54) (6) (6) (6) (64) (7) (7) (7) (74)} Ν(Α )=4 (β) Από τον κλασσικό ορισμό της πιθανότητας (σελ 4 βιβλίου Ι Κουτρουβέλη) έχουμε: (β) Έχουμε ότι Ν( ) P 4 4 ( ) 4 7 {() () (4) () () (4) () () (4) (4) (4) (4)} Από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας (σελ 4 βιβλίου Ι Κουτρουβέλη) έχουμε ότι η ζητούμενη πιθανότητα είναι ίση με Ν( ) P ( ) P 4 P Ν( ) 4 ( ) 4 (β) Για τη ζητούμενη πιθανότητα έχουμε P P P Όμως {το ενδεχόμενο οι σφαίρες να είναι άσπρες και τουλάχιστον σφαίρα να είναι άσπρη} = {το ενδεχόμενο οι σφαίρες να είναι άσπρες} = Οπότε παίρνουμε

4 P P P P P P P ΙΙ) (α) Ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από όλες τις διατεταγμένες τετράδες (α β γ δ) όπου τα α β γ δ ανήκουν στο σύνολο {Κ Γ} (Κ = κεφαλή Γ = γράμματα} των δυνατών αποτελεσμάτων της ρίψης του νομίσματος Οπότε το Ω θα έχει στοιχεία Συγκεκριμένα έχουμε Ω = {(ΚΚΚΚ) (ΚΚΚΓ) (ΚΚΓΚ) (ΚΚΓΓ) (ΚΓΚΚ) (ΚΓΚΓ) (ΚΓΓΚ) (ΚΓΓΓ) (ΓΚΚΚ) (ΓΚΚΓ) (ΓΓΚΚ) (ΓΓΚΓ) (ΓΚΓΚ) (ΓΚΓΓ) (ΓΓΓΚ) (ΓΓΓΓ)} Το πλήθος των στοιχείων του Ω είναι Ν(Ω)=6 (β) Το γεγονός Α={στην πρώτη ρίψη έρχεται κεφαλή} περιέχει τις ακόλουθες 8 τετράδες = {(ΚΚΚΚ) (ΚΚΚΓ) (ΚΚΓΚ) (ΚΚΓΓ) (ΚΓΚΚ) (ΚΓΚΓ) (ΚΓΓΚ) (ΚΓΓΓ)} Οπότε το πλήθος των στοιχείων του Α είναι Ν(Α)=8 Το γεγονός Β={έρχονται τουλάχιστον φορές γράμματα} περιέχει τις ακόλουθες 5 τετράδες Β = {(ΚΓΓΓ) (ΓΓΚΓ) (ΓΚΓΓ) (ΓΓΓΚ) (ΓΓΓΓ)} Οπότε το πλήθος των στοιχείων του Β είναι Ν(Β)=5 Τέλος το γεγονός Γ={στη δεύτερη ρίψη έρχεται κεφαλή και στην τέταρτη έρχεται γράμματα} περιέχει 4 τετράδες Γ = {(ΚΚΚΓ) (ΚΚΓΓ) (ΓΚΚΓ) (ΓΚΓΓ)} Οπότε το πλήθος των στοιχείων του Γ είναι Ν(Γ)=4 Επομένως οι πιθανότητες των ενδεχομένων είναι ( ) 8 ( ) 6 ( B) 5 ( ) 6 και 4 6 ( ) 4 ( ) 6 4 (γ) Από το (β) έχουμε ότι ={(ΚΓΓΓ)} ={(ΚΚΚΓ) (ΚΚΓΓ)} και Β Γ= {(ΚΓΓΓ) (ΓΓΚΓ) (ΓΓΓΚ) (ΓΓΓΓ)} οπότε έχουμε ότι ( ) P( ) ( ) 6 και τέλος ( ) 4 P( ) ( ) 6 4 ( ) P( ) ( ) 6 P( ) P( ) ( ) 4 ( ) 6 4

5 Άσκηση (0 μονάδες) Ι) (0 μονάδες) Σε μία έκθεση ζωγραφικής υπάρχουν πίνακες από τους οποίους 0 είναι αυθεντικοί και είναι αντίγραφα Ένας επισκέπτης επιλέγει στην τύχη έναν πίνακα και πριν τον αγοράσει ρωτά τη γνώμη ενός ειδικού για την αυθεντικότητα του πίνακα Ο ειδικός μπορεί να εκφέρει σωστή γνώμη τόσο για ένα αυθεντικό πίνακα όσο και για ένα αντίγραφο κατά μέσο όρο 9 στις 0 φορές (α) (5 μονάδες) Αν ο ειδικός αποφανθεί ότι ο πίνακας είναι αυθεντικός ποια είναι η πιθανότητα να είναι πράγματι αυθεντικός; (β) (5 μονάδες) Εάν ο ειδικός αποφανθεί ότι ο πίνακας είναι αντίγραφο και ο επισκέπτης τον επιστρέψει και αγοράσει τυχαία έναν από τους υπόλοιπους πίνακες ποια είναι πιθανότητα ο πίνακας που αγόρασε να είναι αυθεντικός; Υπόδειξη: Στο ερώτημα (α) θεωρήστε τα ενδεχόμενα Α={ο πίνακας είναι αυθεντικός} Β={ο ειδικός θεωρεί τον πίνακα αυθεντικό} και στο ερώτημα (β) τα ενδεχόμενα Α={ο δεύτερος πίνακας που επιλέγει ο επισκέπτης είναι αυθεντικός} Η={ο ειδικός θεωρεί σωστά ότι ο πρώτος πίνακας είναι αντίγραφο} Η={ο ειδικός θεωρεί λανθασμένα ότι ο πρώτος πίνακας είναι αντίγραφο} ΙΙ) (0 μονάδες) Ένα κατάστημα ηλεκτρονικών ειδών προμηθεύεται φορητές μνήμες από εργοστάσια Από το εργοστάσιο Α προμηθεύεται το 0% από το εργοστάσιο Β το 0% και από το εργοστάσιο Γ το 50% των μνημών Η πιθανότητα μια μνήμη να είναι ελαττωματική είναι %% και 4% από το εργοστάσια Α Β και Γ αντίστοιχα Αγοράζει κάποιος μια φορητή μνήμη από το κατάστημα (α) (5 μονάδες) Ποια η πιθανότητα να είναι ελαττωματική η μνήμη; (β) (5 μονάδες) Αν η μνήμη είναι ελαττωματική ποιά η πιθανότητα να έχει παραχθεί από το εργοστάσιο Γ; Λύση Ι) (α) Θεωρώντας τα ενδεχόμενα: Α={ο πίνακας είναι αυθεντικός} και Β={ο ειδικός θεωρεί τον πίνακα αυθεντικό} ψάχνουμε την πιθανότητα P(/B) Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε: 9 P(B/)= 0 = P(B'/') οπότε P(B /)= P()= = 6 P(B/ ) οπότε και P( )= = 6 Ο κανόνας του Bayes (θεώρημα 4 σελ 4 βιβλίου Ι Κουτρουβέλη) δίνει 5 9 P( B) P()P(B/) P(/B)= P(B) P()P(B/)+P( )P(B/ ) (β) Έστω το ενδεχόμενο Α={ο δεύτερος πίνακας που επιλέγει ο επισκέπτης είναι αυθεντικός} Αυτό μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο σε συνδυασμό με ένα από τα δυο ξένα μεταξύ τους ενδεχόμενα: Η={ο ειδικός θεωρεί σωστά ότι ο πρώτος πίνακας είναι αντίγραφο} και Η={ο ειδικός θεωρεί λανθασμένα ότι ο πρώτος πίνακας είναι αντίγραφο} Ψάχνουμε την πιθανότητα 0 P(/H)= P(H)= 0 P() 9 P(/H)= Από τα δεδομένα της άσκησης έχουμε: 5 9 P(H)= 0 Από το θεώρημα ολικής πιθανότητας (θεώρημα σελ 4 βιβλίου Ι Κουτρουβέλη) έχουμε: P()=P(H) P(/H)+P(H) P(/H)= ΙΙ) (α) Θεωρούμε τα ακόλουθα ενδεχόμενα: Α={η φορητή μνήμη έχει παραχθεί από το εργοστάσιο Α} Β={η φορητή μνήμη έχει παραχθεί από το εργοστάσιο Β} Γ={η φορητή μνήμη έχει παραχθεί από το εργοστάσιο Γ} και Ε={η μνήμη να είναι ελαττωματική} Τότε γνωρίζουμε τα εξής:

6 P( E / ) 00 P( E / B) 00 P( E / ) 004 P( ) 00 P( B) 00 P( ) 050 Έχουμε ότι τα ενδεχόμενα Α Β Γ είναι ξένα ανά δύο και ότι από αυτά προέρχεται όλη η παραγωγή Εφαρμόζοντας το θεώρημα ολικής πιθανότητας παίρνουμε: P( E) P( E / ) P( ) P( E / B) P( B) P( E / ) P( ) Άρα η πιθανότητα να αγοράσουμε μια ελαττωματική μνήμη είναι % (β) Γνωρίζουμε ότι μια μνήμη είναι ελαττωματική η πιθανότητα να έχει παραχθεί από το εργοστάσιο Γ είναι P( / E) P( E ) P( E / ) P( ) 00 P( / E) 0645 P( E) P( E) 00 Δηλαδή η πιθανότητα μια ελαττωματική μνήμη να έχει παραχθεί από το εργοστάσιο Γ είναι 645% 6

7 Άσκηση 4 (0 μονάδες) Η τυχαία μεταβλητή X έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας 0 x a f( x) be bx x a όπου abπραγματικοί αριθμοί και μέση τιμή ίση με (α) (5 μονάδες) Να προσδιορισθούν τα ab (β) (4 μονάδες) Να βρεθεί η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής X (γ) ( μονάδες) Να βρεθεί η μέση τιμή και η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής (δ) (4 μονάδες) Να βρεθεί η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή X να είναι μεγαλύτερη από 9 (ε) (4 μονάδες) Να βρεθεί η τιμή k κάτω από την οποία βρίσκεται το 50% των τιμών της X Λύση (α) Για να είναι η f( x) συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας πρέπει 7 f ( x) dx Από τον τύπο της συνάρτησης για τον κλάδο όπου x a Αν όμως b 0 έχουμε f( x) 0 Υπολογίζουμε το αόριστο ολοκλήρωμα οπότε και έχουμε f ( x) dx 0 bx bx f ( x) dx be dx e c Στη συνέχεια υπολογίζουμε το γενικευμένο ολοκλήρωμα a Y 6X 00 f( x) 0 και bx f ( x) 0 be 0 b 0 Επομένως θα πρέπει bx bx bx f ( x) dx 0dx be dx lim be dx lim e a b ba ba lim e e e ( b0) a a b 0 Συνεπώς πρέπει Από τον ορισμό της μέσης τιμής μια τυχαίας μεταβλητής (σελ 78 βιβλίου Ι Κουτρουβέλη) έχουμε ba e ba ln ab 0 a 0 0 bx bx E( X ) xf ( x) dx x0 dx xbe dx xbe dx 0 0 Υπολογίζουμε το αόριστο ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση (σχέση (95) σελ 49 βιβλίου Γ Δάσιου): bx bx bx bx xf ( x) dx xbe dx x e dx x e x e dx Τότε bx bx bx bx xe e dx xe e c b bx bx bx bx E( X ) xf ( x) dx xbe dx lim xbe dx lim xe e b 0 0 b b lim e e b b b b Όπου το όριο το lim ( e ) υπολογίζεται με κανόνα L Hospital b b e e b e b ' e ' lim ( ) lim ( ) lim lim lim 0 b be Έχουμε EX ( ) από όπου παίρνουμε b b 0

8 (β) Για τη διακύμανση της X έχουμε Var( X ) E X E X Ι Κουτρουβέλη) Για τον υπολογισμό της ποσότητας EX ( ) έχουμε: 0 x x E( X ) x f ( x) dx x 0dx x e dx lim x e dx Υπολογίζουμε το αόριστο ολοκλήρωμα Οπότε τελικά παίρνουμε Όπου το 0 0 x x x x x e dx x e dx x e x e dx x x x x x e xe dx x e 6xe dx x x x x x x (σχέση (9) σελ 8 βιβλίου x e 6xe 6 e dx x e 6xe 8 e c x x x ( ) lim 6 8 lim E X x e xe e e e e b lim ( e ) 0 υπολογίζεται όμοια με τα όσα υπολογίσαμε παραπάνω όπου ' ' b b lim ( e ) lim ( e ) lim lim lim lim b b b b ' e e be be lim 0 b be ' b και Συνεπώς έχουμε Var X E X E X ( ) 8 9 (γ) Εφαρμόζοντας τις σχέσεις (4) και (4) του βιβλίου του Ι Κουτρουβέλη έχουμε για την μέση τιμή και την διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής Y 6X 00 E( Y) E(6X 00) 6 E( X ) 00 8 Var Y Var X Var X ( ) (6 00) 6 ( ) 4 (δ) Για να βρούμε την πιθανότητα PX ( 8) εργαζόμαστε ως εξής 9 x x 9 ( 9) ( 9) P X P X e dx e e e 0 0 (ε) Έστω k η τιμή κάτω από την οποία βρίσκεται το 50% των τιμών X δηλαδή P( X k) 05 Επομένως έχουμε: k x x k k k ( ) P X k e dx e e e 0 0 k ln(05) k ln(05) k

9 Άσκηση 5 (0 μονάδες) Το βάρος του περιεχομένου μιας κονσέρβας τόνου ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 50 γρ και τυπική απόκλιση σ Είναι γνωστό ότι η πιθανότητα το βάρος του περιεχομένου μιας κονσέρβας να είναι λιγότερο από 40 γρ είναι ίση με 587% (α) (4 μονάδες) Να βρεθεί η τυπική απόκλιση σ (β) (4 μονάδες) Να βρεθεί η πιθανότητα το βάρος μιας κονσέρβας που επιλέγεται τυχαία να είναι μεταξύ 45 γρ και 55 γρ (γ) (4 μονάδες) Κάτω από ποια τιμή βρίσκεται το βάρος του περιεχομένου του 90% των κονσερβών; (δ) (4 μονάδες) Να βρεθεί η πιθανότητα μια κονσέρβα που επιλέγεται τυχαία να περιέχει παραπάνω από 65 γρ τόνου (ε) (4 μονάδες) Να βρεθεί η πιθανότητα σε 0 κονσέρβες που επιλέγονται τυχαία τουλάχιστον οι να περιέχουν ποσότητα μεγαλύτερη από 65 γρ Λύση Η τυποποιημένη τυχαία μεταβλητή Z X 50 (θεώρημα 4 σελ βιβλίου Ι Κουτρουβέλη): (α) Γνωρίζουμε ότι και έχουμε: PX ( 40) 0587 Η πιθανότητα αυτή αντιστοιχεί σε ακολουθεί την τυπική κανονική κατανομή Z X 50 N(0) Οπότε για να υπολογίσουμε το σ θέτουμε 0 P( Z 50 40) 0587 PZ 0587 ( ) () 0587 Π στη σελ 78 του βιβλίου του Ι Κουτρουβέλη) Συνεπώς έχουμε (β) Ζητάμε την πιθανότητα P(45 X 55) Θέτοντας N(0) 50 (με χρήση των στοιχείων του πίνακα Z 0 παίρνουμε P(45 X 55) P(45 0Z 50 55) P( 5 0Z 5) P( 05 Z 05) (05) ( 05) (05) (05) (05) 080 (γ) Θέλουμε να βρούμε την τιμή Κ για την οποία ισχύει ότι 50 P(0Z 50 ) 09 P( Z ) 09 Επειδή Φ(8) = 09 έχουμε ότι 0 και επομένως Κ = 68 γρ (δ) Για τη ζητούμενη πιθανότητα έχουμε: P( X 65) P(0Z 50 65) P(0Z 5) P( Z 5) PZ ( 5) ( 5) PX ( ) 09 ή ισοδύναμα 50 = 8 0 (ε) Αν θεωρήσουμε επιτυχία το να περιέχει η κονσέρβα περισσότερο από 65 γρ τότε η πιθανότητα της επιτυχίας είναι 668% Αν είναι ο αριθμός των επιτυχιών τότε η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την διωνυμική κατανομή Bernoulli με 0 δοκιμές Δηλαδή Y 0 0 P Y k p p k k k 0k k 0k ( ) ( ) ( ) Ζητάμε την πιθανότητα να έχουμε τουλάχιστον επιτυχίες σε 0 δοκιμές Δηλαδή την πιθανότητα P( Y ) P( Y ) P( Y 0) P( Y ) P( Y ) ( ) ( ) ( ) p p p p p p Y 9

10 Για τον προγραμματισμό της μελέτης σας υπάρχει το Χρονοδιάγραμμα Μελέτης που περιέχεται στον Οδηγό Σπουδών της ΘΕ Ο ακόλουθος πίνακας δεν έχει σκοπό να υποκαταστήσει το Χρονοδιάγραμμα Μελέτης αλλά να υποδείξει ορισμένα σημεία του διδακτικού υλικού που σχετίζονται άμεσα με τις ασκήσεις της Εργασίας 6 Άσκ Θεωρία Συναφείς Ασκήσεις Άλλες Ασκήσεις Η άσκηση αναφέρεται στον υπολογισμό πιθανοτήτων Η αντίστοιχη θεωρία είναι: Κεφάλαιο και του βιβλίου (δες επίσης ΣΕΥ Κεφ από Πιθανότητες Ι) Εργασία 6 η Ασκ 8 Α) Εργασία Ασκ γ) Συμπληρωματικές Σημειώσεις στις Πιθανότητες Παράδειγμα σελίδα 7 Άσκηση Άσκηση και Άσκηση -ΣΕΥ Ασκήσεις 4 και ειδικότερα Η άσκηση αναφέρεται στην εύρεση του δειγματοχώρου και τον υπολογισμό πιθανοτήτων δεσμευμένων πιθανοτήτων Η αντίστοιχη θεωρία είναι: Κεφάλαιο 4 και 5 του βιβλίου (δες επίσης ΣΕΥ Κεφ και από Πιθανότητες Ι) Η άσκηση αυτή αναφέρεται στη δεσμευμένη πιθανότητα το θεώρημα ολικής πιθανότητας και το θεώρημα Bayes Θα πρέπει να μελετήσετε: Βιβλίο 5 Δεσμευμένη πιθανότητα ΣΕΥ Πιθανότητες Ι Δεσμευμένη Πιθανότητα 4 Η άσκηση αυτή αφορά τις κατανομές των τυχαίων μεταβλητών την μέση τιμή και την διακύμανση τους Θα πρέπει να μελετήσετε: Βιβλίο Κεφ Τυχαίες ματαβλητές και μονοδιάστατες κατανομές Κεφ Περιγραφικά μέτρα κατανομών ΣΕΥ Πιθανότητες ΙΙ Διακριτές και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Αριθμητικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας μεταβλητής 5 Η άσκηση 5 αναφέρεται στην κανονική κατανομή Η αντίστοιχη θεωρία είναι στο κεφάλαιο 4 παράγραφο 45 και ο πίνακας στην σελίδα 78 (δες επίσης ΣΕΥ Κεφ από Πιθανότητες ΙΙ) Ασκ αυτοαξιολόγησης σελ (βιβλίο Πιθανότητες και Στατιστική) Εργασία Ασκ Εργασία Ασκ Εργασία 5 00-Ασκ Συμπληρωματικές Σημειώσεις στις Πιθανότητες Παράδειγμα σελίδα Βιβλίο Παραδείγματα 8 και 9 Άσκηση 6 σελ 4-44 ΣΕΥ Πιθανότητες Ι Άκσηση 4 Εργασία Άσκηση 4 Εργασία 5 00 Άσκηση 4 Βιβλίο Παράδειγμα σελ6 Άσκηση σελ 6 ΣΕΥ Πιθανότητες ΙΙ Άσκηση 6 Εργασία 5 00 Άσκηση 5 Εργασία 6 00 Άσκηση 6β Εργασία Άσκηση 6β Άσκηση αυτοαξιολόγησης 45 σελ 4 και η απάντηση σελ 6 7 (βιβλίο Πιθανότητες και Στατιστική) Εργασία Ασκ 6 Εργασία Ασκ 5β 5γ Εργασία Ασκ 6 Εργασία Ασκ 6 Εργασία Ασκ 5β Εργασία Ασκ 8Γ Εργασία Ασκ 8 -ΣΕΥ Ασκήσεις 4 και ειδικότερα Εργασία Άσκηση 4 Εργασία 6 00 Άσκηση 6α Εργασία Άσκηση 6α Εργασία Άσκηση 5 Εργασία Άσκηση 5α Εργασία Άσκηση 5α ΣΕΥ ασκήσεις 6 και ειδικότερα Σημείωση: Οι παραπάνω παραπομπές αναφέρονται στο βιβλίο «Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας» Τόμος Α Πιθανότητες και Στατιστική Ι του κ Ι Κουτρουβέλη (αναφέρεται ως Βιβλίο στον προηγούμενο πίνακα) στο υλικό ΣΕΥ και στις εργασίες παλαιοτέρων ετών που υπάρχουν αναρτημένα στην ιστοσελίδα 0