H επίδραση της µεταβολής της γεωµετρίας του πρανούς κατά την ολίσθηση στις προβλέψεις της σεισµικής µετακίνησης µε µοντέλα Mohr- Coulomb

Transcript

1 H επίδραση της µεταβολής της γεωµετρίας του πρανούς κατά την ολίσθηση στις προβλέψεις της σεισµικής µετακίνησης µε µοντέλα Mohr- Coulomb The eect o geometry chages o a slope urg the sle o the sesmc splacemet precte by slg-block moels ΣΤΑΜΑΤΟΠΟΥΛΟΣ Κ. ιδάσκων, Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο, Ισαύρων 5, 47, Αθήνα ΜΑΥΡΟΜΙΧΑΛΗΣ Κ. Σπουδαστής, Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο, 28ης Οκτωβρίου 29, 575, Πλαγιάρι, Θεσσαλονίκη ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Η παρούσα εργασία µελετά την επίδραση της µεταβολής της γεωµετρίας των πρανών, καθώς ολισθαίνουν στις προβλέψεις της σεισµικής µετακίνησης µε σπονδυλωτά προσοµοιώµατα. (α Για απλοποιηµένη γεωµετρία βρίσκεται ένας συντελεστής που περιγράφει την επίδραση. (β Η επίδραση αυτή διερευνάται για γεωµετρία δύο σωµάτων µε την εκτέλεση παραµετρικών αναλύσεων και µε τη βοήθεια του προγράµµατος mult-block. Με βάση τα (α και (β διαµορφώνονται αναλυτικές σχέσεις που περιγράφουν την επίδραση και διορθώνουν τις προβλέψεις της σεισµικής µετακίνησης µε τη µέθοδο Newmark. ABSTRACT: The paper stues the eect o the chage geometry o slopes urg ther movemet the sesmc splacemet a precte by mult-block moels. (a For a smple geometry, a actor that escrbes ths eect s erve. (b Ths eect s stue or a geometry o two blocks wth parametrc aalyses usg the computer program assocate wth the Mult- Block moel. Base o (a a (b aalytcal equatos that escrbe ths eect that correct Newmark's slg block sesmc splacemet are ormulate.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η µέθοδος ολίσθησης σώµατος σε κεκλιµένο επίπεδο (µέθοδος Newmark, 965 αποτελεί την βάση απλών µεθόδων που υπολογίζουν την σεισµική µετακίνηση φυσικών πρανών και εδαφικών κατασκευών: Ένα σώµα µε αντοχή κατά Mohr-Coulomb βρίσκεται πάνω σε κεκλιµένο επίπέδο στο οποίο ασκείται οριζόντια σεισµική επιτάχυνση. Κρίσιµη επιτάχυνση ορίζεται ως η οριζόντια επιτάχυνση για την οποία επικρατεί οριακή ισορροπία και κατά την οποία οι δυνάµεις αντίστασης µόλις που µπορούν να αποτρέψουν την κίνηση της µάζας και εποµένως την αστοχία. Τις στιγµές που η σεισµική επιτάχυνση ξεπερνά την κρίσιµη επιτάχυνση το σώµα ολισθαίνει. Η συνολική µετακίνηση είναι το άθροισµα των επιµέρους ολισθήσεων. Η σεισµική µετακίνηση πρανών και εδαφικών κατασκευών υπολογίζεται µε τη µέθοδο Newmark λαµβάνοντας σώµα σε κεκλιµένο επίπεδο µε κρίσιµη επιτάχυνση και ασκούµενη επιτάχυνση ίσες µε αυτές του πρανούς (Κramer, 996. Η µέθοδος δεν περιγράφει την µεταβολή της γεωµετρίας του πρανούς προς περισσότερο ευσταθή θέση που επηρεάζει τις προβλέψεις, όταν η σεισµική µετακίνηση είναι µεγάλη. Εναλλακτικά, όταν η µετακίνηση είναι µεγάλη, έχουν προταθεί σπονδυλωτά προσοµοιώµατα για την περιγραφή της µετατόπισης ολισθήσεων (Stamatopoulos et al. 2, Sarma a Chlmtzas, 2. Το περισσότερο γενικό προσοµοίωµα ως προς την γεωµετρία είναι αυτό των Sarma a Chlmtzas (2. Το ολισθαίνον σώµα χωρίζεται σε σώµατα που η µάζα τους µεταβάλλεται συναρτήσει της διανυόµενης απόστασης. Η µέθοδος περιγράφει την 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/9 / 2, Βόλος

2 µεταβολή της γεωµετρίας του πρανούς προς περισσότερο ευσταθή θέση. Στην παρούσα εργασία µελετάται η επίδραση της µεταβολής της γεωµετρίας του πρανούς κατά την ολίσθηση στις προβλέψεις της σεισµικής µετακίνησης µε µοντέλα Mohr- Coulomb και διαµορφώνονται γραφήµατα που διορθώνουν τις προβλέψεις της µεθόδου Newmark. Η µεθοδολογία που ακολουθείται είναι η ακόλουθη:. Αναλυτική διερεύνηση της επίδρασης: ιαµορφώνονται συντελεστές που περιγράφουν την επίδραση για απλές γεωµετρίες. 2. Αριθµητική διερεύνηση της επίδρασης: Εξετάζονται παραµετρικά διαφορετικές γεωµετρίες πρανών µε το πρόγραµµα mult-block µε και χωρίς µεταβολή µάζας µε την διανυόµενη απόσταση. 3. ιαµόρφωση γραφηµάτων που διορθώνουν τις προβλέψεις της µεθόδου ολίσθησης σώµατος-σε-κεκλιµένο-επίπεδο (Newmark, βάσει των αναλυτικών συντελεστών που διαµορφώθηκαν στο και των αριθµητικών αναλύσεων του ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΜΕΤΑΚΙΝΗΣΗ ΠΡΑΝΩΝ ΜΕ ΤΗ ΣΠΟΝ ΥΛΩΤΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Παρόµοια µε τη µέθοδο ευστάθειας του Sarma (979, που δίδεται στο Σχ., λαµβάνεται γενική µάζα που ολισθαίνει σε επιφάνεια ολίσθησης η οποία αποτελείται από ευθύγραµµα τµήµατα. Για να κινηθεί η µάζα, στους κόµβους µεταξύ των ευθυγράµµων τµηµάτων, δηµιουργούνται διεπιφάνειες που ασκούνται δυνάµεις αντίστασης, συνεπώς η µάζα διαχωρίζεται σε σώµατα που ολισθαίνουν σε διαφορετικά επίπεδα. Στις διεπιφάνειες η ταχύτητα είναι συνεχής και αυτή η προϋπόθεση δίδει τη γεωµετρική συσχέτιση της µετακίνησης µεταξύ διαδοχικών σωµάτων. Κατά τη διάρκεια της ολίσθησης το έδαφος θεωρείται ότι συµπεριφέρεται σύµφωνα µε το νόµο Mohr Coulomb τόσο στην επιφάνεια ολίσθησης, όσο και στις διεπιφάνειες µεταξύ των διαδοχικών σωµάτων. Η εξίσωση της κίνησης που υπολογίζεται, όταν ασκείται σεισµική διέγερση µε οριζόντια επιτάχυνση g*k(t, όπου g είναι η επτάχυνση της βαρύτητας δίδεται από τους Sarma a Chlmtzas (2: ( t mq cos( ϕ u&& [ c b cos( ϕ + U s( ϕ ] + x U ( m gk( t + H v[ m g + Q ] c l cos( ϕ s( ϕ όπου s s β + β + φ φ+ cos ( φ + ϕ β δ cos φ + ϕ β δ x v ( ( ( φ β ( φ β cos s q cos cos s ( β + + δ ( β + δ + + ( όπου u είναι η µετακίνηση του άνω σώµατος (σώµα, λαµβάνοντας κατωφερική µετακίνηση θετική, β είναι η κλίση του τµήµατος της επιφάνειας ολίσθησης µε την οριζόντιο, θετική στη διεύθυνση που είναι αντίθετη µε τη φορά του ρολογιού, δ είναι η κλίση που η διεπιφάνεια σχηµατίζει µε την κατακόρυφο, θετική στη διεύθυνση της φοράς του ρολογιού, ϕ είναι η αντίσταση τριβής του τµήµατος της επιφάνειας ολίσθησης, c l είναι η δύναµη ανά µονάδα µήκους (κάθετη στο χαρτί λόγω της συνοχής κατά µήκος της επιφάνειας ολίσθησης του σώµατος, ϕ είναι η αντίσταση τριβής της εσωτερικής διεπιφάνειας (µεταξύ των σωµάτων και +, c l είναι η δύναµη ανά µονάδα µήκους λόγω της συνοχής της εσωτερικής διεπιφάνειας, m είναι η µάζα του σώµατος ανά µονάδα µήκους, Q είναι η κατακόρυφη εξωτερική δύναµη στο σώµα, θετική κατωφερικά, H είναι η οριζόντια εξωτερική δύναµη στο σώµα, θετική στην κατωφερική διεύθυνση της ολίσθησης, U είναι η δύναµη που ασκείται στο σώµα, κάθετα και κατά µήκος της βάσης του λόγω της πίεσης πόρων και U είναι η δύναµη που ασκείται στο σώµα λόγω της πίεσης πόρων, κάθετα και κατά µήκος της εσωτερικής διεπιφάνειας. Η σχέση ( µπορεί να διατυπωθεί ως u& & Z g ( k(t - k (2 c 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/9 / 2, Βόλος 2

3 όπου Z k c { x ( m g } m q cos ϕ ( + + [ c b cos( ϕ U s( ϕ ] x + c l U ( H + v[ m g + Q ] cos( ϕ s( ϕ { x ( m g } s όπου Z είναι ένας συντελεστής και (k c g είναι η κρίσιµη επιτάχυνση, που ορίζεται ως η ελάχιστη οριζόντια επιτάχυνση που απαιτείται για να µετακινηθεί η ολίσθηση. Για να επιλυθεί η εξίσωση ισορροπίας για µεγάλη µετακίνηση, οι µάζες και τα µήκη του κάθε σώµατος επαναϋπολογίζονται συναρτήσει της απόστασης που διανύεται. Θεωρείται ότι η θέση των κόµβων της επιφάνειας ολίσθησης και των εσωτερικών διεπιφανειών δεν αλλάζει. Στην περίπτωση που η µετακίνηση u είναι µικρότερη από την αρχική τιµή του µήκους l η µεταβολή των µηκών l σε κάθε διάστηµα u ισούται µε l u q (3 l - u l 2 l 3... l -. Επιπροσθέτως, η µεταβολή στα µήκη των εσωτερικών επιφανειών b είναι b sθ q u cos( θ + β + δ (4 Η µεταβολή των µαζών µπορεί να υπολογισθεί ως: m Α *ρt + (6 όπου ρt + είναι το (ολικό ειδικό βάρος του σώµατος + και η µεταβολή των επιφανειών του σώµατος, Α, είναι: Α b ( + cos( β +.5 cos( β+ + δ+ sθ cos( θ+ + β+ + δ+ b cos( β + δ q u cos( β + δ sθ ( q u cos( θ + β + δ + δ q u ( q u ι (5 Η παραµόρφωση που αυτές οι σχέσεις προβλέπουν για σύστηµα δύο σωµάτων παρουσιάζεται στο Σχ. 2. Για πολύ µικρή µετακίνηση η εξίσωση (2 µπορεί να προσεγγισθεί ως u& & Z g ( k(t - k (7 -o c-o όπου Z -o και k c-o είναι οι συντελεστές Z και k c, οι οποίοι δίδονται από τη σχέση (2, όταν τα l, b, και m ισούνται µε τις αρχικές τιµές τους l -o, b -o και m -o. Σε αυτό το σηµείο µπορεί να αναφερθεί ότι, όπως αναφέρεται και στον Σταµατόπουλο (23 η γενική εξίσωση της κίνησης της προσοµοίωσης ολίσθησης σώµατος-σεκεκλιµένο-επίπε-δο (Newmark δίνεται από τη σχέση (7 µε: cos( φ β cos β Ζ -ο cosφ mg s( φ β + cl cosφ k c-o mg cos( φ β (8 όπου β είναι η κλίση του επιπέδου, φ και c είναι η τριβή και συνοχή στην επιφάνεια ολίσθησης, l είναι το µήκος του σώµατος και m η µάζα του. Παρατηρείται ότι η σπονδυλωτή προσοµοίωση για µικρή µετακίνηση έχει την µορφή της προσοµοίωσης ολίσθησης σώµατος-σε-κεκλιµένο-επίπεδο. Μια ισοδύναµη κλίση και αντοχή µπορεί να βρεθεί µε ισοδύναµη συµπεριφορά. Από τον Σταµατόπουλο έχει αναπτυχθεί πρόγραµµα ηλεκτρονικού υπολογιστή (το πρόγραµµα mult-block, µε το οποίο επιλύονται οι σχέσεις (2 (6 (Σταµατόπουλος και Αναιρούσης, 28 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/9 / 2, Βόλος 3

4 Σχήµα. Η µέθοδος ευστάθειας mult block που έχει προταθεί από τον Sarma (979. Fg.. The mult-block metho that has bee propose by Sarma ( Ital Fal Σχήµα 2. Παραµόρφωση που προβλέπει το προσοµοίωµα για την περίπτωση δύο σωµάτων. Fg. 2. The eormato that the metho prects or the case o two blocks, cos(φ, +, (9 v s( β x cos( β, s s( β+ β (, cos β δ Λόγω των συνθηκών (γ και (δ l l + u ( l l - u όπου l -o και l -o είναι οι αρχικές τιµές των l και l. Επίσης τα µήκη l 2, l 3,.., l -, καθώς και τα εσωτερικά µήκη b δε µεταβάλλονται. Επίσης, οι µάζες των σπονδύλων ισούνται µε: 3. ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΓΙΑ ΑΠΛΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Επιλογή απλοποιηµένης γεωµετρίας Η εξίσωση της κίνησης της σπονδυλωτής προσοµοίωσης απλοποιείται δραστικά εάν (α φ, (β δ -(β +β - /2, (γ θ θ 2..., (δ η ακριανή πλευρά του πρανούς στο πρώτο σώµα είναι παράλληλη µε την ακριανή πλευρά στο τελευταίο σώµα, (ε δεν υπάρχουν υπερπιέσεις πόρων και εξωτερικές δυνάµεις. Η συνθήκη (β σηµαίνει ότι οι εσωτερικές διεπιφάνειες διχοτοµούν τις γωνίες που σχηµατίζει η επιφάνεια ολίσθησης. Η συνθήκη (γ δίδει ότι η επιφάνεια του εδάφους είναι παράλληλη µε την επιφάνεια ολίσθησης. Λόγω των συνθηκών (α και (β: m m -o + u ρ b 2o cos (β 2 +δ 2 m o +u m tot / l (2 m m -o - u m tot / l όπου l είναι το µήκος της επιφάνειας ολίσθησης και m -o και m -o είναι οι αρχικές τιµές των m και m. Επιπροσθέτως, οι µάζες m 2, m 3,...m - δε µεταβάλλονται. Άρα, αντικαθιστώντας τη µεταβολή των µαζών και µηκών και λαµβάνοντας υπόψη και τις συνθήκες (ε και (ζ στην εξίσωση της κίνησης έχουµε s u( t && [ c b ] / mtotal + ({( m o g( k cos β s β c + + l} / m + u g{ k(cos β cos β + s β s β }/ l (2 Εάν δε η µεταβολή των µαζών και µηκών δεν ληφθεί υπόψη, η εξίσωση της κίνησης διαµορφώνεται ως total 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/9 / 2, Βόλος 4

5 ( t [ c b ] u&& s / m ({( m o g ( k cos β + s β + c l }/ m total total Παράγοντες που επηρεάζουν τη λύση + (3 Αναφέρθηκε προηγουµένως ότι η εξίσωση της κίνησης της σπονδυλωτής προσοµοίωσης για µικρή µετακίνηση έχει τη µορφή της προσοµοίωσης ολίσθησης σώµατος-σεκεκλιµένο επίπεδο. Επιπροσθέτως, στην περίπτωση µεγάλης µετακίνησης και απλοποιηµένης γεωµετρίας η σχέση (2 δείχνει ότι η εξίσωση της κίνησης µεταβάλλεται (σχετικά µε την περίπτωση µικρής µετακίνησης ή χωρίς µεταβολή µηκών και µαζών µε το συντελεστή K u g{ k(cos β cos β + s β s β} / l (4 Τα αποτελέσµατα θα διατυπωθούν ως ο λόγος (u /u -o, όπου u είναι η συνολική µετακίνηση του σπονδυλωτού προσοµοιώµατος λόγω της σεισµικής διέγερσης, ενώ u -o είναι η αντίστοιχη µετακίνηση εάν η µεταβολή µαζών και µηκών δε ληφθεί υπόψη. Η εξίσωση (2 δείχνει ότι εάν η µεταβολή µαζών και µηκών δε ληφθεί υπόψη η λύση εξαρτάται από τους συντελεστές k(t, k c-o, Z -o. Επιπροσθέτως, η εξίσωση (2 δείχνει ότι όταν λαµβάνεται υπόψη η µεταβολή µαζών και µηκών, η σεισµική µετακίνηση του σπονδυλωτού προσοµοιώµατος για την απλοποιηµένη γεωµετρία εξαρτάται όχι µόνον από τους συντελεστές (α k(t, (β k c-o, (γ Z -o, αλλά και από τους συντελεστές (δ {u (sβ - sβ /l}, (ε {uk(t(cosβ -cosβ /l}. Άρα, η µεταβολή της γεωµετρίας επηρεάζει την διαφορική εξίσωση κυρίως µε τους συντελεστές (α {u (sβ -sβ /l}, (β {u k(t (cosβ -cosβ /l}. Εξετάζεται η συσχέτιση (ι του συντελεστή (sβ - sβ και (ιι του συντελεστή (cosβ - cosβ µε το συντελεστή (β - β. Ως β λαµβάνονται οι τιµές ως 4 ο και ως β οι τιµές ως 45 ο ανά 5 µοίρες, µε την προϋπόθεση ότι β >β. Τα αποτελέσµατα δίδονται στο Σχ. 3. Παρατηρείται ότι ο συντελεστής (sβ-sβ έχει ισχυρή συσχέτιση µε το συντελεστή (θ-θ. Αυτό ισχύει (αλλά σε µικρότερο βαθµό, και µε το συντελεστή (cosβ-cosβ. Επίσης παρατηρείται ότι (sβ - sβ > 2 (cosβ - cosβ. Επίσης, ο συντελεστής k κυµαίνεται συνήθως µεταξύ των τιµών +/-.5. Συµπεραίνεται ότι ο πρώτος συντελεστής επηρεάζει σε σηµαντικότερο βαθµό από το δεύτερο τη λύση. Βάσει των παραπάνω, συµπεραίνεται ότι ο συντελεστής L u (β - β / l (5 επηρεάζει το λόγο (u /u -o που ορίσθηκε παραπάνω. Ο συντελεστής L εξαρτάται από την γεωµετρία του πρανούς και τη σεισµική µετακίνηση. Ειδικότερα, η γεωµετρία επηρεάζει το συντελεστή µέσω του µήκους της επιφάνειας ολίσθησης και της διαφοράς της κλίσης του άνω και κάτω τµήµατος της επιφάνειας ολίσθησης. Παρατηρείται ότι ο συντελεστής ισούται µε µηδέν όταν (ι η σεισµική µετακίνηση είναι µηδενική, (ιι το µήκος της επιφάνειας ολίσθησης είναι τεράστιο και (γ η διαφορά της κλίσης του άνω και κάτω τµήµατος της επιφάνειας ολίσθησης είναι µηδενική. Πράγµατι, σε αυτές τις τρεις περιπτώσεις δεν υπάρχει επίδραση της µεταβολής της µάζας κατά την ολίσθηση στη σεισµική µετακίνηση. Επιπροσθέτως, µία πρακτική προσέγγιση του συντελεστή (5 είναι ο συντελεστής F u -o (β - β / l (6 όπου u -o ορίσθηκε προηγουµένως ως η συνολική µετακίνηση που προβλέπεται στην περίπτωση που η µεταβολή των µαζών και µηκών δε λαµβάνεται υπόψη. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/9 / 2, Βόλος 5

6 y.58x + 3E-6 R των σπονδύλων λαµβάνεται και δε λαµβάνεται υπόψη αντίστοιχα y.65x R δ l 2.2 β 2. θ β l (β-β s(β-s(β Lear (s(β-s(β cos(β-cos(β Lear (cos(β-cos(β Σχήµα 3. Η συσχέτιση των συντελεστών (ι (sβ -sβ και (ιι (cosβ -cosβ µε τον συντελεστή (β -β. Fg. 3. The correlato o the actors (ι (sβ - sβ a (ιι (cosβ -cosβ wth the actor (β - β. 4. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ Ο τρόπος που ο συντελεστής F της σχέσης (6 επηρεάζει το λόγο (u /u -o µελετήθηκε µε εφαρµογή του προγράµµατος mult-block (ενότητα 2 στη γεωµετρία δύο σωµάτων του Σχ. 4. Από το Σχήµα 4 φαίνεται ότι η γεωµετρία καθορίζεται από τις παραµέτρους β, β 2, δ, θ, l (l +l 2, φ, c. Όλες αυτές οι παράµετροι µεταβλήθηκαν παραµετρικά. Η αρχική και κύρια περίπτωση που εξετάστηκε είχε δ- ο, β 5 ο, β 2 4 ο, θ3 ο, l2m Γιά όλες τις άλλες περιπτώσεις των παραµετρικών αναλύσεων µόνο µία παράµετρος µεταβλήθηκε. Σε όλες τις περιπτώσεις ασκήθηκε το επιταχυνσιογράφηµα El-Cetro και θεωρήθηκε οµοιόµορφη αντοχή. Ο πίνακας δίδει τις περιπτώσεις που εξετάστηκαν. H διαδικασία επίλυσης είναι η ακόλουθη: Αρχικά ετοιµάζουµε το αρχείο για εισαγωγή στο πρόγραµµα mult-block της γεωµετρίας που εξετάζουµε. Στη συνέχεια για φ υπολογίζουµε την οριακή τιµή του c, δηλαδή τη µέγιστη τιµή του c που δίνει θετική κρίσιµη επιτάχυνση (δηλαδή στην περίπτωση χωρίς σεισµό µηδενική µετακίνηση. Η τιµή της κρίσιµης επιτάχυνσης πρέπει να βρίσκεται µεταξύ και.g. Έπειτα ανεβάζουµε την τιµή της συνοχής c κατά µικρά διαστήµατα πολλαπλασιάζοντάς την µε.5 κάθε φορά. Όταν η κρίσιµη επιτάχυνση α c ξεπεράσει τη µέγιστη επιτάχυνση α max της δόνησης που ασκείται στο πρανές, τότε η ανάλυση σταµατά. Για κάθε µία περίπτωση καταγράφονται οι τελικές µετακίνησεις u και u -o για τις περιπτώσεις που η µεταβολή της γεωµετρίας Σχήµα 4. Γεωµετρία δύο σωµάτων που εξετάζεται παραµετρικά Fg 4. The geometry o two blocks that s stue a parametrc asho. 5. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΣΧΕΣΗ Όσον αφορά τα αποτελέσµατα, δηλαδή τον λόγος (u /u -o συναρτήσει του συντελεστή F πρώτα παρατηρούµε ότι: (α για µικρές τιµές του συντελεστή Fu -o (β 2 -β /l, η συνάρτηση (u /u -o είναι κοντά στη µονάδα και (β για τιµές του συντελεστή F µεγαλύτερες από µία τιµή, η συνάρτηση (u /u -o µειώνεται από τη µονάδα προς το µηδέν µε µορφή S σε λογαριθµική κλίµακα. Tα αποτελέσµατα µπορούν να περιγραφούν µε τη σχέση: (u /u -o,5[+tah(l(a/f B ] (8 όπου Α, Β είναι παράµετροι που υπολογίζονται για τη βέλτιστη συσχέτιση. Ο πίνακας δείχνει ότι η καµπύλη, δηλαδή οι παράµετροι Α και Β µεταβάλλονται µε την παράµετρο l, ενώ η επίδραση των άλλων παραµέτρων είναι ελάχιστη. Εποµένως, τα αποτελέσµατα του δεν µπορούν να προσεγγιστούν απόλυτα από µία και µόνο καµπύλη, και οι συντελεστές Α και Β πρέπει να ληφθούν συναρτήσει του l. Στο Σχήµα 5 αποτυπώνονται τα αποτελέσµατα των αναλύσεων µε µεταβολή των παραµέτρων β, β, c, δ και θ. εν συµπεριλαµβάνονται τα αποτελέσµατα µε µεταβολή του µήκους l, που λαµβάνεται ως 2m. Η υπολογισθείσα (P µε τη σχέση (8 και Α.5, Β.56, συναρτήσει των πραγµατικών (X τιµών της σεισµικής µετακίνησης της προσοµοίωσης ολίσθησης σώµατος σε κεκλιµένο επίπεδο δίδονται στo σχήµα. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/9 / 2, Βόλος 6

7 Πίνακας. Παραµετρική ανάλυση της γεωµετρίας του Σχ. 4 και αριθµός τιµών (Ν και συσχέτιση (συντελεστής C και συντελεστής συσχέτισης R 2 της αναλυτικής σχέσης για κάθε περίπτωση. Table. Parametrc aalyss o the geometry o Fg. 4 a umber o values (N, a correlato (the actor C a the coecet o correlato R 2 o the aalytcal relatoshp or every case Παρά- µετρος β ( ο β 2 ( ο δ( ο θ( ο l (m c (kpa - (µεταβάλλεται το φ Σχέση (8, µε Α.5, Β.56 Σχέσεις (8, (2 Τιµή C R 2 N C R 2 N Επιπροσθέτως, συγκρίνεται η προβλεφθεί-σα (P µε την πραγµατική (X τιµή της σεισµικής µετακίνησης θεωρώντας γραµµική συσχέτιση: P C X (9 όπου C είναι ένας συντελεστής. Ο συντελεστής C, αλλά και ο συντελεστής συσχέτισης (R 2 πρέπει να είναι κοντά στη µονάδα για ικανοποιητική πρόβλεψη. Όπως λοιπόν φαίνεται από το Σχ. 5 το σύνολο των αποτελεσµάτων προσεγγίζεται ικανοποιητικά (C.9957 και R Όπως έχει ήδη αναφερθεί ο ρόλος του µήκους της επιφάνειας ολίσθησης l µελετάται ξεχωριστά. Aκολουθήθηκε η εξής διαδικασία: Για κάθε τιµή του l βρέθηκε η τιµή του συντελεστή Α που περιγράφει καλύτερα τα αποτελέσµατα (πίνακας 2. Κατόπιν από γράφηµα του Α συναρτήσει του l (Σχ.6 υπολογίσθηκε η βέλτιστη συσχέτιση ως {Α -,3l(b+2,33} και παρατηρήθηκε ότι η συσχέτιση είναι ισχυρή (R Πρέπει να αναφερθεί ότι ο συντελεστής Β παραµένει σταθερός και ίσος µε.56. Άρα, τελικά προτείνονται για τους συντελεστές Α και Β της σχέσης (8 οι τιµές A (-.3l(l+2,33, B.56. (2 όπου το l είναι σε m 6. ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ - ΣΥΖΗΤΗΣΗ Η εξίσωση (8 µε τους συντελεστές Α και Β µε τις εξισώσεις (2 επαληθεύονται στον πίνακα. Για κάθε περίπτωση των β, β 2, θ, c, δ, l που εξετάστηκε δίδεται ο αριθµός τιµών (Ν και η συσχέτιση (συντελεστής C και συντελεστής συσχέτισης R 2. Για όλες τις περιπτώσεις η συσχέτιση είναι ισχυρή, καθώς οι συντελεστές C και R 2 προσεγγίζουν ή είναι ίσοι µε τη µονάδα. Στην παρούσα µελέτη εξετάστηκε µόνον το επιταχυνσιογράφηµα El-Cetro και η γεωµετρία του Σχ. 4. Πριν την εφαρµογή των σχέσεων για οποιοδήποτε πρανές και σεισµό χρειάζεται να εξετασθεί η ικανότητα των εξισώσεων (8, (2 να περιγράψουν την επίδραση της µεταβολής της γεωµετρίας στη σεισµική µετακίνηση που προβλέπει η µέθοδος Newmark και για άλλους σεισµούς και άλλες γεωµετρίες πρανών. 7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα εργασία µελετάται η επίδραση της µεταβολής της γεωµετρίας του πρανούς κατά την ολίσθηση στις προβλέψεις της σεισµικής µετακίνησης µε µοντέλα Mohr- Coulomb και προτείνοντονται οι εξισώσεις (8 και (2 που διορθώνουν τις προβλέψεις της µεθόδου Newmark. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/9 / 2, Βόλος 7

8 (α u/u-o β β c δ θ FIT E-6.. u -o (β -β /l A y -.3L(x R l (m (β Precte u /u-o y.9968x R Compute u /u -o Σχήµα 5. Εύρεση των συντελεστών Α και Β και επιβεβαίωση των τιµών Α.5, Β.56. Εξετάζεται η απλοποιηµένη γεωµετρία για l2m και του σεισµού του El-Cetro. Μελετώνται όλα τα ζεύγη τιµών του πίνακα (πλην της επίδρασης του l. Fg. 5. Estmato o the actors A a B a vercato o the values Α.5, Β.56. The case o the smple geometry or l2m a the El-Cetro earthquake. All cases o table are stue (except rom the eect o l. Πίνακας 2. Βέλτιστος συντελεστής Α για κάθε l της γεωµετρίας του Σχ. 4 και συσχέτιση (συντελεστής C, συντελεστής συσχέτισης R 2, αριθµός τιµών Ν για κάθε περίπτωση Table 2. The optmum value o the actor A or every l o the geometry o Fg. 4 a correlato (actor C, coecet o correlato R 2, umber o values Ν or each case l (m A C R 2 N Σχήµα 6. Επίδραση του µήκους της επιφάνειας ολίσθησης στο συντελεστή Α Fg. 6. The eect o the slp surace o the actor A. 8. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Kramer S. Geotechcal Earthquake Egeerg. Pretce-Hall, 996, pp Newmark, N. M. (965. Eects o earthquakes o ams a embakmets. Geotechque, 5(2, Sarma, S. K. a Chlmtzas, G. (2 Aalyss o sesmc splacemet o slopes usg mult-block moel. Fal report perorme uer the grat o the Europea Commsso Proect ENV4-CT97-392, 2, Jauary. Sarma S.K. (979. Stablty aalyss o embakmets a slopes. Joural o Geotechcal Egeerg ASCE; Vol.5, No. 2, pp Stamatopoulos C. Α., Velgak E. a Sarma S. (2. Slg-block back aalyss o earthquake-uce sles. Sols a ouatos, The Japaese Geotechcal Socety, Vol. 4, No. 6, Dec., pp Σταµατόπουλος Κ. Αναιρούσης Σ. (28 Ενσωµάτωση καταστατικών σχέσεων σε σπονδυλωτή προσοµοίωση πρανών και πρόβλεψη της σεισµικής µετακίνησης της ολίσθησης Nkawa, 3 o Πανελλήνιο Συνέδριο Αντισεισµικής Μηχανικής, Αθήνα. 6ο Πανελλήνιο Συνέδριο Γεωτεχνικής & Γεωπεριβαλλοντικής Μηχανικής, ΤΕΕ, 29/9 / 2, Βόλος 8