ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΕΣ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΕ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΡΑΠΕΖΑ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΕΣ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΣΕ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΓΕΩΡΓΙΟΥ Πολιτικός Μηχανικός Πάτρα 2015

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διατριβή εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Σεισμικής Τράπεζας του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών υπό την επίβλεψη του Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Ευστάθιου Μπούσια. Ευχαριστώ θερμά τον Καθηγητή μου Ευστάθιο Μπούσια για την επιστημονική καθοδήγηση και την πολύτιμη βοήθειά του σε όλη τη διάρκεια εκπόνησης της Διατριβής. Παράλληλα θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Καθηγητή κ. Δ. Καράμπαλη και τον Καθηγητή κ. Α. Τριανταφύλλου για το επιστημονικό ενδιαφέρον που επέδειξαν και τη συμμετοχή τους στην εξεταστική επιτροπή. Ακόμη, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Διδάκτωρ Ηλία Στρεπέλια, ο οποίος παρά το φορτωμένο πρόγραμμά του ήταν πάντα διαθέσιμος για οποιαδήποτε απορία είχα. Η παρούσα εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια του ερευνητικού προγράμματος SeismoRockBridge: Σεισμική προστασία γεφυρών μέσω λικνισμού των βάθρων με επαναφορά λόγω βαρύτητας διδασκόμενοι από την ευστάθεια των μνημείων: Πειραματική και αναλυτική διερεύνηση (MIS 2295), το οποίο συγχρηματοδοτήθηκε από το Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο (ESF) και Εθνικούς πόρους μέσω του προγράμματος ΑΡΙΣΤΕΙΑ Επιχειρησιακό πρόγραμμα Εκπαίδευση και δια-βίου μάθηση.

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η παρούσα διατριβή πραγματεύεται το φαινόμενο του λικνισμού. Αυτή η συμπεριφορά έχει ληφθεί υπόψη στο σχεδιασμό κατασκευών και κυρίως γεφυρών τα τελευταία χρόνια. Συγκεκριμένα, εξετάζεται με πειραματικές δοκιμές λικνιζόμενο βάθρο και πλαίσιο στη σεισμική τράπεζα. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται η βασική θεωρία λικνισμού. Δίνονται οι εξισώσεις κίνησης στερεού σώματος και συστήματος στύλων επιστυλίου που εκτελούν λικνισμό με και άνευ προέντασης. Επίσης, αναφέρονται και οι βασικές παράμετροι που επηρεάζουν το φαινόμενο. Στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζεται πειραματικά η επιρροή του υλικού της επιφάνειας έδρασης στην απόκριση λικνιζόμενου βάθρου γέφυρας. Τα υλικά που εξετάζονται είναι το σκυρόδεμα και ο χάλυβας. Υπολογίζεται ο συντελεστής επαναφοράς, το πλάτος και η περίοδος της ταλάντωσης πειραματικά και θεωρητικά. Γίνεται σύγκριση των αποτελεσμάτων των δοκιμών για να διαπιστωθεί σε ποια από τις δύο επιφάνειες έδρασης χάνεται περισσότερη ενέργεια και συγκρίνεται ο θεωρητικός συντελεστής επαναφοράς που προκύπτει από τη θεωρία του Housner με τον πραγματικό για να διαπιστωθεί εάν υπάρχουν αποκλίσεις. Στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάζεται πειραματικά η απόκριση λικνιζόμενου βάθρου και λικνιζόμενου πλαισίου με και χωρίς προένταση. Οι δοκιμές γίνονται στη σεισμική τράπεζα. Σκοπός είναι να διερευνήσουμε την σεισμική απόκριση του βάθρου και του πλαισίου με τένοντες προέντασης και να δούμε εάν η προσθήκη των καλωδίων βελτιώνουν την σεισμική ευστάθειά τους. Ενώ η δυσκαμψία του λικνιζόμενου πλαισίου άνευ προέντασης είναι πάντα αρνητική, η δυσκαμψία του πλαισίου με προένταση μπορεί να πάρει αρνητικές αλλά και θετικές τιμές ανάλογα με την τιμή της αδιάστατης ατένειας του τένοντα. Γίνονται δοκιμές με προένταση για θετική και αρνητική δυσκαμψία του συστήματος. Στο πέμπτο κεφάλαιο δίνονται τα κυριότερα αποτελέσματα και παρουσιάζονται τα συμπεράσματα που εξάγονται μετά το πέρας των αναλύσεων.

4 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΓΕΝΙΚΑ ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΠΡΟΓΕΝΕΣΤΕΡΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ ΛΙΚΝΙΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΛΙΚΝΙΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΥΛΩΝ ΕΠΙΣΤΥΛΙΩΝ ΦΑΣΜΑΤΑ ΑΝΑΤΡΟΠΗΣ ΑΥΤΟΟΜΟΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΓΙΑ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΣΤΥΛΩΝ ΜΕ ΕΠΙΣΤΥΛΙΟ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΕΝΟΝΤΑ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗΣ ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΕΝΟΝΤΑ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΥΛΩΝ-ΕΠΙΣΤΥΛΙΟΥ ΜΕ ΤΕΝΟΝΤΕΣ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗΣ ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΥΛΩΝ ΕΠΙΣΤΥΛΙΟΥ ΜΕ ΤΕΝΟΝΤΑ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗΣ ΕΠΙΡΡΟΗ ΤΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΕΔΡΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΟΚΙΜΩΝ Έδραση βάθρου πάνω σε μεταλλική επιφάνεια Έδραση βάθρου πάνω σε επιφάνεια σκυροδέματος Σύγκριση μεταξύ των δύο επιφανειών έδρασης ΔΟΚΙΜΕΣ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΥ ΒΑΘΡΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΥ ΒΑΘΡΟΥ ΜΕ ΤΕΝΟΝΤΑ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗΣ Δυναμοκυψέλη... 48

5 4.4 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΕΝΟΝΤΕΣ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΟΚΙΜΩΝ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΥ ΒΑΘΡΟΥ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΟΚΙΜΩΝ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Α.1 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΥ ΒΑΘΡΟΥ ΧΩΡΙΣ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗ Α.2 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΥ ΒΑΘΡΟΥ ΓΙΑ EA/mg= Α.3 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΥ ΒΑΘΡΟΥ ΓΙΑ EA/mg= Α.4 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΧΩΡΙΣ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗ A.5 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΓΙΑ EA/mg= A.6 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΓΙΑ EA/mg= ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β

6 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΓΕΝΙΚΑ Το φαινόμενο του λικνισμού μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μια πρώτη προσέγγιση της συμπεριφοράς αρχαίων ναών. Ο λόγος που οι ναοί αυτοί στέκονται ακόμα και σήμερα είναι ότι αντίθετα με ότι θα συνέβαινε με μια στατική φόρτιση, όταν διεγείρονται από σεισμό, μπορούν να ανασηκώνονται χωρίς να ανατρέπονται. Η μάζα του επιστυλίου αυξάνει την ευστάθεια του συστήματος. Η συμπεριφορά αυτή έχει ληφθεί υπόψη στον σχεδιασμό κατασκευών. Τα τελευταία χρόνια, έχουν κατασκευαστεί γέφυρες που εκτελούν λικνιστική ταλάντωση υπό σεισμική διέγερση, όπως η σιδηροδρομική γέφυρα στον ποταμό South Rangitikei στη Νέα Ζηλανδία και η γέφυρα Ρίου Αντιρρίου στην Ελλάδα. Τα βάθρα της γέφυρας του Rangitikei έχουν ύψος 60m. Γενικά, ο σχεδιασμός των νέων κατασκευών βασίζεται στην πλαστιμότητα και την δημιουργία πλαστικών αρθρώσεων στους κόμβους. Τα δομικά μέλη αναπτύσσουν ανελαστικές παραμορφώσεις απορροφώντας σεισμική ενέργεια. Υπό την επίδραση μιας μεγάλης σεισμικής δράσης, θα δημιουργηθούν μόνιμες παραμορφώσεις και βλάβες στην κατασκευή οι οποίες θα πρέπει να επισκευαστούν. Όταν η κατασκευή συμπεριφέρεται ελαστικά, η παραμόρφωση είναι ανάλογη της δύναμης που ασκείται. Μετά τη διαρροή του οπλισμού, η παραμόρφωση παύει να είναι ανάλογη της δύναμης. Τα μέλη του φορέα παραμορφώνονται χωρίς να παραλαμβάνουν περαιτέρω δύναμη. Η δυσκαμψία των κατασκευών παραμένει θετική πάντα. Η καμπύλη δύναμης παραμόρφωσης είναι μη γραμμική. Ενώ στις συμβατικές κατασκευές η δυσκαμψία είναι πάντα θετική, σε λικνιζόμενο σύστημα η δυσκαμψία είναι αρνητική (σχήμα 1.1). Το σύστημα έχει άπειρη δυσκαμψία μέχρι να ανασηκωθεί. Η ροπή επαναφοράς μειώνεται σχεδόν γραμμικά για να μηδενιστεί. Κατά τη διάρκεια της λικνιστικής ταλάντωσης, η καμπύλη δύναμης μετατόπισης περικλείει μηδενικό εμβαδόν. Η πλαστιμότητα του συστήματος είναι μηδενική. Ενέργεια χάνεται μόνο κατά την κρούση.

7 2 Σχήμα 1.1 Σύγκριση μεταξύ συμβατικής (αριστερά) και λικνιζόμενης γέφυρας (δεξιά) (Makris και Vassiliou (2014) [11]) 1.2 ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ Αρχικά, υπολογίζεται ο συντελεστής επαναφοράς του βάθρου μετά από μια σειρά εργαστηριακών δοκιμών στις οποίες ανασηκώνεται το βάθρο και αφήνεται ελεύθερο να εκτελέσει ταλάντωση. Συγκρίνονται δύο υλικά επιφανειών έδρασης, σκυρόδεμα και χάλυβας. Σκοπός αυτών των δοκιμών είναι να διαπιστωθεί σε ποια από τις δύο επιφάνειες έδρασης χάνεται περισσότερη ενέργεια και να συγκριθεί ο θεωρητικός συντελεστής επαναφοράς που προκύπτει από τη θεωρία του Housner με τον πραγματικό για να δούμε εάν και γιατί υπάρχουν αποκλίσεις. Στη συνέχεια, συγκρίνεται η απόκριση του λικνιζόμενου μεμονωμένου βάθρου και του λικνιζόμενου πλαισίου για να δούμε την επιρροή της μάζας στο σύστημα. Στόχος των δοκιμών είναι να επιβεβαιώσουμε ότι η μάζα αυξάνει την ευστάθεια του συστήματος και μειώνει τις μετακινήσεις. Τοποθετούνται τένοντες προέντασης στα βάθρα και συγκρίνεται η λικνιστική απόκριση του βάθρου χωρίς και με προένταση καθώς και του πλαισίου. Ανάλογα με την δυσκαμψία των τενόντων πετυχαίνεται αρνητική και θετική δυσκαμψία του συστήματος. Σκοπός είναι να δούμε εάν οι τένοντες που προσφέρουν θετική δυσκαμψία στο σύστημα ενισχύουν την σεισμική ευστάθεια του και να συγκρίνουμε την απόκριση των συστημάτων με

8 3 προένταση, θετικής και αρνητικής δυσκαμψίας, με το αντίστοιχο χωρίς προένταση για να δούμε εάν βελτιώνει ή όχι την ευστάθεια και υπό ποιες προϋποθέσεις. 1.3 ΠΡΟΓΕΝΕΣΤΕΡΗ ΕΡΕΥΝΑ Οι Elgawady et al. (2010) [4] διερεύνησαν την επιρροή της επιφάνειας έδρασης τεσσάρων διαφορετικών υλικών, του ξύλου, του σκυροδέματος, του χάλυβα και του καουτσούκ. Τα λικνιζόμενα σώματα ανασηκώνονταν με μια αρχική γωνία και αφήνονταν να εκτελέσουν ταλάντωση. Οι δοκιμές έγιναν για διαφορετικές αρχικές γωνίες και για 9 διαφορετικούς λόγους ύψους προς πλάτους. Αποδείχθηκε ότι η βάση από καουτσούκ είχε τη μεγαλύτερη ενέργεια παραμόρφωσης, ακολουθούσε το σκυρόδεμα και μετά το ξύλο. Οι πειραματικές τιμές της περιόδου της λικνιστικής ταλάντωσης συμφωνούσαν με τις αντίστοιχες τιμές που προέρχονταν από το θεωρητικό μοντέλο του λικνισμού για τις βάσεις από ξύλο και σκυρόδεμα. Στις δοκιμές με τη βάση από καουτσούκ, το θεωρητικό μοντέλο υποεκτιμούσε την περίοδο της ταλάντωσης. Στις δοκιμές με τη βάση από σκυρόδεμα και ξύλο ο συντελεστής επαναφοράς ήταν μεγαλύτερος απ ότι στις δοκιμές με τη βάση από καουτσούκ. Οι Makris και Zhang (2001) διερεύνησαν την λικνιστική απόκριση άκαμπτων σωμάτων με τένοντες προέντασης και κατέληξαν ότι οι τένοντες εμποδίζουν την ανατροπή μικρών σωμάτων που υπόκεινται σε παλμούς χαμηλής συχνότητας. Η σεισμική ευστάθεια μεγάλων στύλων προέρχεται από τη δυσκολία ενεργοποίησης της ροπής αδράνειάς τους παρά από την συνεισφορά των τενόντων. Οι Mander και Cheng (1997) [12] διέκοψαν τον διαμήκη οπλισμό των στύλων πριν φτάσει στη δοκό και στη θεμελίωση, βάζοντας προεντεταμένους τένοντες μέσα στα βάθρα οι οποίοι αύξησαν την πλευρική αντίσταση. Η δυσκαμψία του τένοντα μπορεί να είναι αρκετά μεγάλη ώστε να προσφέρει στο λικνιζόμενο πλαίσιο θετική δυσκαμψία. Ο Cheng εκτέλεσε δοκιμές σε λικνιζόμενο πλαίσιο με τένοντες σε σεισμική τράπεζα αλλά η αποτελεσματικότητα των τενόντων δεν συζητήθηκε. Η ιδέα της προσθήκης τενόντων σε συστήματα που εκτελούν λικνιστική ταλάντωση βελτιώθηκε με την ταυτόχρονη μείωση ή και διακοπή του διαμήκους οπλισμού των στύλων, όπως αρχικά πρότειναν οι Mander και Cheng. Αυτή η τεχνική εφαρμόστηκε σε

9 4 προκατασκευασμένες γέφυρες όπου τα βάθρα συνδέονταν με τη θεμελίωση και το κατάστρωμα της γέφυρας με τένοντες και ταυτόχρονα μειωνόταν ο διαμήκης οπλισμός τους με σκοπό να αυξηθεί η πλευρική αντίσταση και η δυσκαμψία να είναι θετική. (Palermo et al. 2005, Mahin et al. 2006, Sakai et al. 2006, Cheng 2007, Kam et al. 2010)[13]

10 5 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ 2.1 ΛΙΚΝΙΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Η εξίσωση κίνησης ενός λικνιζόμενου στερεού σώματος με μέγεθος και ραδινότητα α=atan(b/h) για περιστροφή περί το Ο και Ο αντίστοιχα είναι ( Housner 1963) [3,4] I ( t) MgR sin( ( t)) Rcos( ) Mu ( t), ( t) 0 o I ( t) MgR sin( ( t)) Rcos( ) Mu ( t), ( t) 0 o g g (2.1) όπου Ι ο είναι η ροπή αδράνειας του σώματος γύρω από το σημείο Ο, θ η γωνία στροφής και p η συχνότητα της λικνιστικής ταλάντωσης που είναι ένα μέτρο των δυναμικών χαρακτηριστικών του σώματος. Οι παραπάνω εξισώσεις μπορούν να γραφτούν στην παρακάτω συνεπτυγμένη μορφή: u 2 g ( t) p sin sgn( ( t)) ( t) cos sgn( ( t)) ( t) g (2.2) Για στερεά σώματα ορθογωνικού σχήματος, όπως του σχήματος 2.1, ισχύει. Όταν το έδαφος επιταχύνεται προς τα δεξιά ( θετική οριζόντια επιτάχυνση εδάφους), το στερεό σώμα θα ανασηκωθεί προς τα αριστερά (θ(t)<0). Η ελάχιστη επιτάχυνση για να ανασηκωθεί ένα σώμα είναι u,min g tan a. Η ελάχιστη επιτάχυνση ανασηκώματος εξαρτάται μόνο από τη ραδινότητα του σώματος. g

11 6 Σχήμα 2.1 Λικνιζόμενο στερεό σώμα (Makris και Vassiliou (2012) [10]) Οι κύριες θεωρήσεις για να ισχύει το μοντέλο του Housner είναι οι ακόλουθες : (a) το στερεό σώμα δεν αναπηδά κατά την κίνηση του (b) η κρούση είναι στιγμιαία (c) τα σώματα είναι άκαμπτα και (d) η κρούση είναι σημειακή. Κατά τη διάρκεια της λικνιστικής ταλάντωσης του ελεύθερα εδραζόμενου στερεού σώματος η σχέση ροπής στροφής ακολουθεί την καμπύλη του σχήματος 2.2 περικλείοντας μηδενικό εμβαδόν (Makris and Vassiliou, [10]). Το σύστημα έχει άπειρη δυσκαμψία μέχρι η εφαρμοζόμενη ροπή να φτάσει την τιμή mgrsina. Τότε το σώμα ανασηκώνεται και η ροπή επαναφοράς μειώνεται σχεδόν γραμμικά για να μηδενιστεί για θ = α. Σχήμα 2.2 Διάγραμμα ροπής στροφής για ένα λικνιζόμενο σώμα (Makris και Vassiliou (2012) [10])

12 7 Ενέργεια χάνεται μόνο κατά την κρούση, κατά την αλλαγή του πόλου περιστροφής. Όταν ο πόλος περιστροφής μετατίθεται από το Ο στο Ο, η ωστική δύναμη είναι σημειακή και συγκεντρωμένη στο νέο σημείο περιστροφής Ο. Με αυτή την παραδοχή η ωστική δύναμη ασκεί μηδενική ροπή περί το Ο. Επομένως, διατηρείται η στροφορμή περί το Ο. Η διατήρηση της στροφορμής γύρω από το Ο ακριβώς πριν και ακριβώς μετά την κρούση δίνει I m 2bR sin( ) I (2.3) όπου είναι η γωνιακή ταχύτητα ακριβώς πριν την κρούση και είναι η γωνιακή ταχύτητα ακριβώς μετά την κρούση. Ο συντελεστής επαναφοράς, που περιγράφει την ενέργεια που χάνεται σε κάθε κρούση, ορίζεται ως ο λόγος των γωνιακών ταχυτήτων πριν και μετά την κρούση r (2.4) το οποίο σημαίνει ότι η γωνιακή ταχύτητα μετά την κρούση είναι φορές μεγαλύτερη από την γωνιακή ταχύτητα πριν την κρούση. Με αντικατάσταση της εξίσωσης 2.3 στην 2.4 προκύπτει r 2 MR 1 1 cos 2 (2.5) I 0 Η τιμή του συντελεστή επαναφοράς παίρνει τιμές από 0 έως 1 ( τέλεια ελαστική κρούση). Ο συντελεστής επαναφοράς εξαρτάται μόνο από τη γεωμετρία και την κατανομή της μάζας του σώματος. Για στερεά σώματα με ορθογωνικό σχήμα, οπότε από την εξίσωση 2.5 προκύπτει r max sin (2.6) Η τιμή του συντελεστή επαναφοράς που δίνεται από την εξίσωση 2.5 είναι η μέγιστη τιμή του r για την οποία ένα σώμα με ραδινότητα α θα εκτελέσει λικνιστική κίνηση. Επομένως, για να παρατηρηθεί λικνιστική κίνηση η κρούση πρέπει να είναι ανελαστική. Όσο λιγότερο ραδινό είναι ένα σώμα (μεγαλύτερο α), τόσο πιο πλαστική είναι η κρούση. Κατά

13 8 την λικνιστική κίνηση σωμάτων, εάν χάνεται περαιτέρω ενέργεια λόγω ανελαστικής συμπεριφοράς κατά τη στιγμή της κρούσης, η τιμή του συντελεστή επαναφοράς είναι μικρότερη από αυτή που δίνεται από την εξίσωση 2.5, δηλαδή χάνεται περισσότερη ενέργεια. Αν το σώμα ανασηκωθεί με αρχική γωνία θ 0, ο χρόνος που απαιτείται για να επιστρέψει το σώμα στην κατακόρυφη θέση είναι (ElGawady et al, [4]): T cosh 4 p 10 (2.7) όπου Φ 0 =θ 0 /α. Η ενέργεια που χάνεται σε κάθε κρούση μειώνει την περίοδο και το πλάτος της ταλάντωσης. Ύστερα από n κρούσεις, το πλάτος και η περίοδος της ελεύθερης λικνιστικής ταλάντωσης ενός στερεού σώματος υπολογίζονται n 1 r 1 1 (2.8) n H Tn 2 2 tanh 1 n rh (2.9) p Παρατηρούμε ότι η περίοδος και το πλάτος της ταλάντωσης δεν είναι σταθερά αλλά εξαρτώνται από τον αριθμό των κρούσεων και την αρχική γωνία εκτροπής θ 0. Στο σχήμα 2.3 φαίνεται η απόκριση ενός σώματος που εκτελεί λικνιστική κίνηση. Σχήμα 2.3 Απόκριση λικνιζόμενου στερεού σώματος

14 9 2.2 ΛΙΚΝΙΣΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΥΛΩΝ ΕΠΙΣΤΥΛΙΩΝ Το ελεύθερα εδραζόμενο λικνιζόμενο πλαίσιο του σχήματος 2.4 είναι μια κατασκευή μεγέθους και ραδινότητας α=atan(b/h). Η μόνη παράμετρος που επηρεάζει τη δυναμική του λικνιζόμενου πλαισίου είναι ο λόγος της μάζας του επιστυλίου, m b, προς τη μάζα όλων των Ν λικνιζόμενων στύλων, m c, γ =m b /Nm c. [4]. Για τον ναό του Απόλλωνα στη Κόρινθο ο λόγος γ είναι 0.3 ενώ για προκατασκευασμένες γέφυρες είναι γ>2. Ο συντελεστής τριβής είναι αρκετά μεγάλος ώστε να αποφεύγεται η ολίσθηση στο σημείο περιστροφής στη βάση και στην κορυφή του στύλου. Σχήμα 2.4 Σύστημα στύλων επιστυλίου (Makris και Vassiliou (2012) [10]) Η οριζόντια και η κατακόρυφη μετακίνηση του επιστυλίου είναι συναρτήσεις της γωνίας στροφής θ(t). Η εξίσωση κίνησης του λικνιζόμενου πλαισίου είναι : I0 2 R 2mR C ug t sin sgn t t cos sgn t t 1 t g 2 (2.10) Για ορθογωνικά υποστυλώματα με η εξίσωση 2.10 μπορεί να γραφτεί στην παρακάτω συνεπτυγμένη μορφή 1 2 u 2 g p sin sgn t t cos sgn t t 1 3 t t (2.11)

15 10 Η εξίσωση 2.11, που περιγράφει τη λικνιστική συμπεριφορά ενός συστήματος στύλων επιστυλίου είναι ίδια με την εξίσωση 2.2, που περιγράφει τη λικνιστική συμπεριφορά ενός ελεύθερου εδραζόμενου στύλου (χωρίς την παρουσία επιστυλίου) με την ίδια ραδινότητα α, με τη διαφορά ότι στο λικνιζόμενο πλαίσιο ο όρος p 2 πολλαπλασιάζεται με το συντελεστή (1 + 2γ)/(1 + 3γ). Η συχνότητα της λικνιστικής ταλάντωσης του λικνιζόμενου πλαισίου,, είναι : pˆ 1 2 p 1 3 (2.12) όπου p είναι η συχνότητα ταλάντωσης του λικνιζόμενου στύλου και γ =m b /Nm c είναι ο λόγος της μάζας του επιστυλίου προς τη μάζα όλων των Ν στύλων. Για ένα ελαφρύ επιστύλιο (γ =m b /Nm c 0), ο πολλαπλασιαστικός συντελεστής (1 + 2γ)/(1 + 3γ) τείνει στη μονάδα και το σύστημα των στύλων με το ελαφρύ επιστύλιο έχει την ίδια λικνιστική συμπεριφορά με το ελεύθερα εδραζόμενο άκαμπτο στύλο. Αντίθετα, καθώς η μάζα του επιστυλίου αυξάνεται, ισχύει lim Η λικνιστική συμπεριφορά του πλαισίου με ένα πολύ βαρύ επιστύλιο στηριζόμενο σε στύλους με ραδινότητα α και συχνότητα ταλάντωσης pˆ 23p είναι ίδια με τη λικνιστική συμπεριφορά του στύλου ραδινότητας α και με συχνότητα ταλάντωσης p 3g 4R. Αποδεικνύεται ότι ˆp p. Επομένως, η παρουσία του επιστυλίου αυξάνει την ευστάθεια των στύλων και όσο μεγαλύτερη μάζα έχει το επιστύλιο, τόσο πιο ευσταθές και ασφαλές είναι το σύστημα. Αυτή η συμπεριφορά είναι τελείως αντίθετη με τη συμπεριφορά ενός κλασικού δίστυλου πλαισίου όπου η αύξηση της μάζας της δοκού θα επέφερε αύξηση των ροπών κάμψης και μείωση της ασφάλειας του πλαισίου. Ακόμη, όσο μεγαλύτερη είναι η ραδινότητα α, τόσο πιο ευσταθές είναι ο στύλος. Η ευστάθεια του λικνιστικού πλαισίου είναι ανεξάρτητη του αριθμού των στύλων και εξαρτάται μόνο από τον λόγο γ, το μέγεθος R και τη ραδινότητα των στύλων α. Μπορεί να ορισθεί μια ισοδύναμη ημιδιαγώνιος,, ως η ημιδιαγώνιος ενός στύλου ο οποίος χωρίς την παρουσία του επιστυλίου θα είχε τα ίδια δυναμικά χαρακτηριστικά με το σύστημα στύλοι επιστύλιο [4].

16 11 ˆ 1 3 R R 1 R (2.13) όπου R η ημιδιαγώνιος των στύλων του συστήματος. Από την εξίσωση 2.13 προκύπτει ότι ˆR R, δηλαδή το σύστημα στύλοι επιστύλιο είναι πάντα πιο ευσταθές από τους στύλους χωρίς το επιστύλιο. Στο σχήμα 2.5 σχεδιάζεται η ισοδύναμη διαγώνιος συναρτήσει του λόγου μαζών γ. Σχήμα 2.5 Ημιδιαγώνιος ισοδύναμου μεμονωμένου στύλου συναρτήσει του λόγου μαζών γ (Makris και Vassiliou (2012) [10]) Στο σχήμα 2.6 παρατηρούμε την αυξανόμενη σεισμική ευστάθεια καθώς πηγαίνουμε από το μεμονωμένο ελεύθερα εδραζόμενο στύλο στο ελεύθερα εδραζόμενο σύστημα στύλων επιστυλίου [3].

17 12 Σχήμα 2.6 Αυξανόμενη σεισμική ευστάθεια από το μεμονωμένο στύλο στο σύστημα στύλων επιστυλίου (Makris (2014) [7]) Ο συντελεστής επαναφοράς του λικνιζόμενου πλαισίου είναι sin a cos a (2.14) Στο σχήμα 2.7 φαίνονται οι τιμές του συντελεστή επαναφοράς η συναρτήσει της ραδινότητας α για διαφορετικές τιμές γ. Ο συντελεστής επαναφοράς του συστήματος στύλων επιστυλίου είναι πάντα μικρότερος (αποσβένεται περισσότερη ενέργεια σε κάθε κρούση) από την περίπτωση του λικνισμού στύλων χωρίς επιστύλιο. Από το σχήμα προκύπτει ότι η απόσβεση μεγαλώνει με την αύξηση του γ τείνοντας ασυμπτωτικά σε ένα όριο [4].

18 13 Σχήμα 2.7 Τιμές του συντελεστή επαναφοράς n συναρτήσει ης ραδινότητας α για διαφορετικές τιμές γ (Makris και Vassiliou (2012) [10]) Η ελάχιστη επιτάχυνση για να ανασηκωθεί ένα σύστημα στύλων επιστυλίου είναι u g a. Η προσθήκη του επιστυλίου δεν μεταβάλλει την επιτάχυνση που g,min tan απαιτείται για να ανασηκωθούν οι στύλοι. Η ελάχιστη επιτάχυνση ανασηκώματος εξαρτάται μόνο από τη ραδινότητα του σώματος και είναι ανεξάρτητη της μάζας του επιστυλίου. 2.3 ΦΑΣΜΑΤΑ ΑΝΑΤΡΟΠΗΣ ΑΥΤΟΟΜΟΙΑ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΓΙΑ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ Ο ελάχιστος αριθμός παραμέτρων για να περιγραφεί μαθηματικά ένας παλμός είναι δύο, το πλάτος της επιτάχυνσης, α p, και η διάρκεια του παλμού, T p. Το πιο πολύπλοκο μοντέλο του Μαυροειδή και Παπαγεωργίου περιλαμβάνει τέσσερις παραμέτρους : την περίοδο του παλμού, το πλάτος του παλμού, τη φάση του παλμού και τον αριθμών των μισών κύκλων που εκτελούνται. Ο Βασιλείου και ο Μακρής [18] χρησιμοποίησαν το μοντέλο του Μαυροειδή και Παπαγεωργίου σε σχέση με την ανάλυση κυματιδίων (wavelet analysis) για να αναπτύξουν ένα μαθηματικό μοντέλο που θα εξάγει την κλίμακα χρόνου και την κλίμακα μήκους δυνατών επιταχύνσεων εδάφους.

19 14 Οι πρόσφατες μεθοδολογίες για να υπολογίσουμε τα χαρακτηριστικά των παλμών βασίζονται στο γινόμενο. Το γινόμενο αποτελεί μια χαρακτηριστική κλίμακα μήκους της εδαφικής διέγερσης [4]. Ανάμεσα σε δύο παλμούς με διαφορετικές επιταχύνσεις (έστω α p1 > α p2 ) και διαφορετικές διάρκειες ( T p1 <T p2 ), η ανελαστική παραμόρφωση της κατασκευής δεν προκαλείται από τον παλμό με την μεγαλύτερη επιτάχυνση αλλά με τη μεγαλύτερη κλίμακα μήκους. Από την 2.2 προκύπτει ότι η απόκριση του σώματος είναι συνάρτηση πέντε μεταβλητών [4] t f p,,, p, p (2.15) Οι έξι μεταβλητές που εμφανίζονται στην εξίσωση 2.15 εμπλέκουν μόνο δύο διαστάσεις αναφοράς : τις διαστάσεις του μήκους [L] και του χρόνου [T]. Σύμφωνα με το θεώρημα Π του Buckingham, το πλήθος των αδιάστατων μονωνύμων που απαιτούνται για την περιγραφή του προβλήματος είναι ίσο με τον αριθμό των μεταβλητών στην εξίσωση (=6) μείον το πλήθος των διαστάσεων αναφοράς (=2). Επομένως απαιτούνται τέσσερα αδιάστατα μονώνυμα για την περιγραφή του προβλήματος. Ως επαναλαμβανόμενες μεταβλητές επιλέγονται τα χαρακτηριστικά του παλμού a p και 2. Οι τέσσερις p T p ανεξάρτητες μεταβλητές είναι :, p, tan a p και ap g g χρήση των παραπάνω αδιάστατων όρων η εξίσωση 2.15 μπορεί να γραφτεί g p t tan,, p p. Κάνοντας (2.16) Στο σχήμα 2.8 δίνονται τα φάσματα ανατροπής ελεύθερα εδραζόμενων στερεών σωμάτων ραδινότητας α=14º υποκειμένων σε παλμό επιτάχυνσης μορφής ενός ημιτόνου (αριστερά), μορφής συμμετρικού παλμού Ricker (κεντρικά) και αντισυμμετρικού παλμού Ricker (δεξιά) [17]. Καθώς το p αυξάνεται (μεγαλύτερα σώματα-βραχύτερη p παλμοί), η επιτάχυνση που χρειάζεται για να ανατραπεί το σώμα γίνεται αρκετά μεγαλύτερη από την επιτάχυνση που χρειάζεται για να το ανασηκώσει η οποία είναι ίση με

20 15 gtana. Η λευκή περιοχή αντιστοιχεί σε συνδυασμούς a p gtan a και p p που δεν ανατρέπουν το σώμα. Η μαύρη περιοχή αντιστοιχεί σε ανατροπή χωρίς κρούση. Η γκρι περιοχή κάτω από τη μαύρη αντιστοιχεί σε ανατροπή με μια κρούση. Η γκρι περιοχή πάνω από τη μαύρη αντιστοιχεί σε ανατροπή με πολλαπλές κρούσεις, η οποία δεν υπάρχει στην περίπτωση παλμού επιτάχυνσης σε μορφή ημιτόνου. Σημειωτέον ότι και στα τρία γραφήματα η περιοχή ευστάθειας περιλαμβάνει και σημεία που αντιστοιχούν σε επιτάχυνση ικανή να ανασηκώσει το σώμα, μια συμπεριφορά που πηγάζει από την έντονα μη γραμμική φύση του προβλήματος. Το πλέον σημαντικό αποτέλεσμα είναι ότι καθώς ο λόγος αυξάνεται (μικρότερης διάρκειας παλμοί ή μεγαλύτερα σώματα) η ελάχιστη επιτάχυνση που απαιτείται για την ανατροπή του σώματος αυξάνεται σημαντικά [17]. p p Σχήμα 2.8 Φάσματα ανατροπής ελεύθερα εδραζόμενων στερεών σωμάτων ραδινότητας α=14º υποκειμένων σε παλμό επιτάχυνσης μορφής ενός ημιτόνου (αριστερά), μορφής συμμετρικού παλμού Ricker (κεντρικά) και αντισυμμετρικού παλμού Ricker (δεξιά) (Makris (2014) [7]) Στο παραπάνω συμπέρασμα θα μπορούσε κανείς να οδηγηθεί και με μια απλή επισκόπηση των εξισώσεων 2.1. Οι σεισμικές ροπές ανατροπής είναι ανάλογες του όρου mru g δηλαδή ανάλογες του R. Μέρος της ροπής αντίστασης είναι η αδρανειακή ροπή η

21 16 οποία είναι ανάλογη του όρου I0 δηλαδή ανάλογη του R 2. Επομένως, καθώς το R, ο λόγος των δυνάμεων που αρχικά τείνουν να ανατρέψουν το σώμα προς τις δυνάμεις που ανθίστανται στην ανατροπή, mru g I 0, τείνει στο μηδέν, άρα η ανατροπή είναι αδύνατη εκτός εάν το 0. Δηλαδή πολύ μεγάλα σώματα μπορεί να ανατραπούν με μεγάλη επιτάχυνση [17]. 2.4 ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΖΕΥΓΟΥΣ ΣΤΥΛΩΝ ΜΕ ΕΠΙΣΤΥΛΙΟ Όπως φαίνεται από την εξίσωση 2.10 η απόκριση του συστήματος στύλων επιστυλίου είναι συνάρτηση έξι μεταβλητών t f p,,, g, p, p (2.19) Δηλαδή η απόκριση εξαρτάται από τις ίδιες μεταβλητές που εξαρτάται και η απόκριση ενός στύλου χωρίς επιστύλιο, συν μια αδιάστατη παράμετρο, τον λόγο μαζών γ. Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Π του Buckingham, το πρόβλημα μπορεί να περιγραφεί από τα ίδια αδιάστατα μονώνυμα που περιγράφεται και το πρόβλημα λικνισμού στερεού σώματος επί ανυποχώρητου εδάφους, συν την αδιάστατη παράμετρο γ [17]. Τότε η εξίσωση 2.19 περιορίζεται στην g p t tan,,, p p (2.20) Στο σχήμα 1.9 φαίνονται τα φάσματα ελάχιστης επιτάχυνσης ανατροπής για διάφορους λόγους μαζών. Η συχνότητα ταλάντωσης p είναι η συχνότητα ταλάντωσης των στύλων του συστήματος στύλων επιστυλίου (όχι το ˆp ). Γίνεται ξεκάθαρη η ευεργετική επίδραση του επιστυλίου. Για τιμές μέχρι ω p /p 4, η ελάχιστη επιτάχυνση ανατροπής δεν παρουσιάζει μεγάλες διαφορές για τον μεμονωμένο στύλο και για το σύστημα στύλων επιστυλίου. Για τιμές ω p /p >4 (μεγάλοι στύλοι ή μικρές περιόδους), η ελάχιστη επιτάχυνση ανατροπής του συστήματος στύλου-επιστυλίου είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη επιτάχυνση του μεμονωμένου στύλου, αποδεικνύοντας την ευεργετική επίδραση των βαριών επιστυλίων [4].

22 17 Σχήμα 2.9 Φάσματα ελάχιστης επιτάχυνσης ανατροπής για διάφορους λόγους μαζών, για ραδινότητες α=10º και α=14º και για διέγερση μορφής συμμετρικού και αντισυμμετρικού παλμού Ricker (Makris και Vassiliou (2012) [10]) 2.5 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΕΝΟΝΤΑ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗΣ Με σκοπό τον έλεγχο της απόκρισης ενός λικνιζόμενου σώματος προστίθεται ένα καλώδιο που περνά από το κέντρο του μεμονωμένου στύλου το οποίο μπορεί να προεντείνεται ή όχι. Το καλώδιο προσθέτει δυσκαμψία στο στύλο τόσο λόγω της ατένειάς του, ΕΑ, όσο και λόγω της προέντασής του (εάν είναι προεντεταμένο). Η εξίσωση κίνησης ενός λικνιζόμενου στερεού σώματος με καλώδιο προέντασης είναι [11]: () t p 2 t ug sin sgn( ( t)) t cos sgn( ( t)) t g P0 sin ( t) EA sin a tan asin asin t mg 2 2cos t 2mg (2.21)

23 18 Στην παραπάνω εξίσωση, η πρώτη σειρά περιγράφει την απόκριση του ελεύθερα εδραζόμενου λικνιζόμενου σώματος και η δεύτερη σειρά περιγράφει την συνεισφορά του τένοντα. Η ελάχιστη επιτάχυνση ανασηκώματος είναι: P0 ug,min 1 g tan a mg (2.22) Επομένως, η ελάχιστη επιτάχυνση για ανασήκωση είναι μεγαλύτερη από την περίπτωση που δεν υπάρχει προένταση, όπως αναμενόταν. Να σημειωθεί ότι η ατένεια του τένοντα δεν επηρεάζει την ελάχιστη επιτάχυνση ανασηκώματος. 2.6 ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΕΝΟΝΤΑ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗΣ Όπως φαίνεται από την εξίσωση 2.21, η απόκριση του συστήματος είναι συνάρτηση επτά μεταβλητών. EA P0 t f p,, g, p, p,, mg mg (2.23) Συγκριτικά με την περίπτωση του μεμονωμένου στύλου χωρίς τένοντα προστίθενται η αδιάστατη ατένεια του τένοντα και η αδιάστατη δύναμη προέντασης. Σύμφωνα με το θεώρημα Π του Buckingham, το πρόβλημα μπορεί να περιγραφεί με τα αδιάστατα μονώνυμα που περιγράφεται και το πρόβλημα χωρίς τον τένοντα συν τις αδιάστατες παραμέτρους ΕΑ/m c g και P 0 /m c g [11]. Τότε η εξίσωση 2.23 γίνεται p p EA P 0 t tan,,,, g p mg mg (2.24) Στο σχήμα 2.10 δίνεται η ελάχιστη τιμή της εδαφικής επιτάχυνσης που απαιτείται για να ανατραπεί το λικνιζόμενο σώμα με τένοντα προέντασης για α=14 ο και για διάφορα χαρακτηριστικά του τένοντα και για διέγερση παλμού συμμετρικού παλμού Ricker. Για μικρές τιμές της ατένειας του τένοντα η μορφή του φάσματος είναι όμοια με τη μορφή του φάσματος άνευ τένοντα. Αντίθετα, για μεγάλες τιμές της ατένειας του τένοντα η μορφή

24 19 είναι τελείως διαφορετική : το φάσμα παρουσιάζει μέγιστο για ω p /p=1. Δηλαδή έχουμε μεγαλύτερη μέγιστη μετακίνηση για ω p /p=1 απ ότι για στατική φόρτιση. Επομένως για μεγάλες τιμές της αδιάστατης ατένειας, το σύστημα παρουσιάζει τελείως διαφορετική συμπεριφορά από τα απλά λικνιζόμενα συστήματα και προσομοιάζει συστήματα που μπορούν να βρεθούν σε κατάσταση συντονισμού [17]. Σχήμα 2.10 Φάσματα ελάχιστης επιτάχυνσης ανατροπής λικνιζόμενου σώματος με τένοντα ραδινότητας α=14º και για διάφορα χαρακτηριστικά του τένοντα προέντασης και για διέγερση μορφής συμμετρικού παλμού Ricker (Vassiliou (2010) [17])

25 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΥΛΩΝ-ΕΠΙΣΤΥΛΙΟΥ ΜΕ ΤΕΝΟΝΤΕΣ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗΣ Με σκοπό τον περιορισμό των μετακινήσεων μελετάται η απόκριση συστήματος στύλων επιστυλίου με τένοντες προέντασης. Η εξίσωση κίνησης του συστήματος είναι: 1 2 u t p t t t t 1 3 g t 2 g ( ) sin sgn( ( )) cos sgn( ( )) 2 2 EA P0 1 p sin asin tan a 1 3 2mcg mcg 2 2cos t (2.25) Στην παραπάνω εξίσωση η πρώτη παρένθεση περιγράφει την απόκριση του λικνιστικού συστήματος στύλου επιστυλίου και η δεύτερη παρένθεση περιγράφει την συνεισφορά του τένοντα. Καθώς αυξάνεται το μέγεθος των στύλων ( μικρότερη συχνότητα ταλάντωσης p ), καταστέλλεται η αποτελεσματικότητα των καλωδίων. Επίσης, καθώς αυξάνεται το βάρος του επιστυλίου ( μεγάλο γ) μειώνεται η αποτελεσματικότητα των τενόντων. Ενώ ο συνδυασμός ψηλών στύλων με ένα βαρύ επιστύλιο ενισχύει την ευστάθεια του λικνιζόμενου πλαισίου χωρίς τένοντες προέντασης, μειώνει την αποτελεσματικότητα των καλωδίων σε πλαίσιο με τένοντες προέντασης. Αν γ=0, το σύστημα στύλων επιστυλίου με τένοντες έχει τέσσερις φορές μεγαλύτερη δυσκαμψία και δύο φορές μεγαλύτερη δύναμη προέντασης από το μεμονωμένο βάθρο με τον ίδιο τένοντα ( ίδιο ΕΑ/m c g και P 0 /m c g ) [11]. Η ελάχιστη επιτάχυνση ανασηκώματος είναι: 2 P 2 1mg 0 ug,min 1 g tan a (2.26) Επομένως, παρουσία προέντασης, όταν αυξάνεται ο λόγος του βάρους του επιστυλίου προς το βάρος των στύλων,γ, μειώνεται η ελάχιστη επιτάχυνση ανασήκωσης και τείνει να πάρει την τιμή gtanα που είναι η επιτάχυνση ανασηκώματος για το σύστημα στύλων επιστυλίου χωρίς τένοντες.

26 21 Το διάγραμμα ροπής στροφής του λικνιζόμενου πλαισίου με τένοντες εξαρτάται από την ατένεια και την δύναμη προέντασης των τενόντων, όπως φαίνεται από τα σχήματα 2.11 για α=10 ο και γ=2 [11]. Η καμπύλη ροπής στροφής περικλείει μηδενικό εμβαδόν. Ενέργεια χάνεται μόνο κατά την κρούση, κατά την αλλαγή του πόλου περιστροφής. Όταν η ατένεια του τένοντα είναι μικρή σε σχέση με το βάρος των στύλων,m c g, η δυσκαμψία του συστήματος παραμένει αρνητική. Εάν αυξηθεί η ατένεια, η δυσκαμψία αυξάνεται σταδιακά από αρνητική σε θετική. Σχήμα 2.11 Διαγράμματα ροπής- στροφής για διάφορες τιμές αδιάστατης ατένειας ΕΑ/m c g (αριστερά) και αδιάστατης προεντεταμένης δύναμης P 0 /m c g (δεξιά) για α=10 ο και γ=2 (Makris και Vassiliou (2014) [11]) Από την αρχή διατήρησης της στροφορμής πριν και μετά την κρούση προκύπτει ότι ο συντελεστής επαναφοράς του λικνιζόμενου πλαισίου με τένοντες προέντασης είναι ίδιος με τον συντελεστή επαναφοράς του συστήματος στύλων επιστυλίου χωρίς προένταση και δίνεται από την εξίσωση sin a 3 cos2a 2 r (2.27)

27 ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΣΤΥΛΩΝ ΕΠΙΣΤΥΛΙΟΥ ΜΕ ΤΕΝΟΝΤΑ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗΣ Όπως φαίνεται από την εξίσωση 2.25, η απόκριση του συστήματος είναι συνάρτηση οκτώ μεταβλητών. EA P0 t f p,,, g, p, p,, mg mg (2.28) Συγκριτικά με την περίπτωση του συστήματος χωρίς τένοντα προστίθενται η αδιάστατη ατένεια του τένοντα και η αδιάστατη δύναμη προέντασης. Σύμφωνα με το θεώρημα Π του Buckingham, το πρόβλημα μπορεί να περιγραφεί με τα αδιάστατα μονώνυμα που περιγράφεται και το πρόβλημα χωρίς τον τένοντα συν τις αδιάστατες παραμέτρους ΕΑ/m c g και P 0 /m c g [17]. Τότε η εξίσωση 2.28 γίνεται p p EA P 0 t tan,,,,, g p mg mg (2.29) Στο σχήμα 2.12 δίνεται η ελάχιστη τιμή της εδαφικής επιτάχυνσης που απαιτείται για να ανατραπεί το σύστημα.

28 23 Σχήμα 2.12 Ελάχιστη επιτάχυνση ανατροπής λικνιζόμενου συστήματος στύλων επιστυλίου με προένταση, ραδινότητας στύλων α=14 ο και λόγου μαζών γ=5, για διάφορα χαρακτηριστικά του τένοντα προέντασης και για διέγερση μορφής συμμετρικού παλμού Ricker (Vassiliou (2010) [17]) Η μορφή του φάσματος είναι όμοια με τη μορφή του φάσματος άνευ τένοντα. Αντίθετα με την περίπτωση του σώματος άνευ επιστυλίου, οι τιμές της αδιάστατης ατένειας που επιλέχθηκαν δεν είναι ικανές να καταστήσουν θετική τη ακαμψία έτσι ώστε να παρουσιάζεται το φαινόμενο του συντονισμού [17]. Για να επιτευχθεί η τιμή EA/mg=200 για βάθρο γέφυρας βάρους 4ΜΝ που φέρει φορτίο 20ΜΝ (γ=5) και για χαλύβδινο τένοντα (Ε=200GPa), ο τένοντας που απαιτείται έχει διάμετρο περίπου 7cm, οπότε τιμές EA/mg>200 δεν έχουν νόημα γιατί θα απαιτούσαν υπέρμετρα μεγάλες διατομές τένοντα για συνήθη φορτία.

29 24 3. ΕΠΙΡΡΟΗ ΤΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΤΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΕΔΡΑΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 3.1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ Κατασκευάστηκαν δύο βάθρα κοίλης διατομής υπό κλίμακα 1:3. Η διάμετρος του βάθρου είναι 2b=0.5 m, το ύψος του βάθρου 2h=3.0 m και το πάχος της κοίλης διατομής 8 mm (εικόνα 3.1). Με αυτές τις διαστάσεις η ραδινότητα του βάθρου προκύπτει rad και η συχνότητα της λικνιστικής ταλάντωσης είναι. Εικόνα 3.1 Βάθρο δοκιμών Η επιρροή του υλικού της επιφάνειας έδρασης στην απόκριση του λικνιζόμενου βάθρου γέφυρας διερευνήθηκε πειραματικά με δοκιμές που έγιναν στο εργαστήριο σεισμικής τράπεζας του Πανεπιστημίου Πατρών. Εξετάστηκε η επιρροή δύο υλικών, του σκυροδέματος (εικόνα 3.2) και του μετάλλου (εικόνα 3.3). Αρχικά ανασηκώνουμε το βάθρο με μια αρχική γωνία θ 0 και το αφήνουμε, με μηδενική γωνιακή ταχύτητα τη στιγμή t=0, να εκτελέσει ταλάντωση. Δεσμεύεται η κίνησή του κατά την εγκάρσια διεύθυνση, τοποθετώντας το ανάμεσα σε δύο ξύλα. Ανασηκώνουμε το βάθρο με τέσσερις διαφορετικές αρχικές γωνίες θ 0 /α (0.5, 0.4, 0.3, 0.2) που αντιστοιχούν σε μετακίνηση κορυφής 25, 20, 15, και 10 cm αντίστοιχα. Για κάθε αρχική γωνία εκτελούνται 4 δοκιμές

30 25 όπου το βάθρο εδράζεται πάνω σε μεταλλική πλάκα πάχους 20mm και 4 δοκιμές όπου το βάθρο εδράζεται πάνω σε πλάκα σκυροδέματος πάχους 300 mm. Σε κάθε περίπτωση, οι δύο δοκιμές γίνονται με θετική αρχική γωνία και οι άλλες δύο δοκιμές με αρνητική αρχική γωνία. Οι πλάκες αγκυρώνονται πάνω στη σεισμική τράπεζα. Παρακάτω παρουσιάζεται ο πίνακας δοκιμών. Πίνακας 3.1 Πίνακας δοκιμών Υλικό έδρασης Έδραση σε μεταλλική επιφάνεια Έδραση σε επιφάνεια σκυροδέματος Φ 0 =θ 0 /α δοκιμές

31 26 Εικόνα 3.2 Έδραση βάθρου πάνω σε επιφάνεια σκυροδέματος Εικόνα 3.3 Έδραση βάθρου πάνω σε μεταλλική πλάκα

32 ΣΥΣΤΗΜΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Κατά τη διάρκεια των δοκιμών καταγράφονται βασικές παράμετροι της απόκρισης του δοκιμίου. Στις δοκιμές με τη μεταλλική πλάκα χρησιμοποιούνται 6 δίμετροι αισθητήρες μετακίνησης τύπου ποτενσιομέτρου και 6 επιταχυνσιόμετρα που μπορούν να μετρήσουν επιταχύνσεις μέχρι 10g. Η συχνότητα της δειγματοληψίας είναι 800Hz. Οι τρεις αισθητήρες μετακίνησης συνδέονται με το δοκίμιο σε απόσταση 37.2 cm από την κορυφή του στη μια πλευρά του βάθρου (παράλληλα στη διεύθυνση κίνησης) και οι άλλοι τρεις αισθητήρες συνδέονται με το δοκίμιο σε απόσταση 34 cm από την κορυφή στην απέναντι πλευρά του δοκιμίου. Κάθε αισθητήρας ορίζει μια σφαίρα στο χώρο. Το κέντρο της κάθε σφαίρας είναι ο αντίστοιχος αισθητήρας. Ορίζεται σαν αρχή των αξόνων μια γωνία της τράπεζας και μετριούνται οι συντεταγμένες των κέντρων των τριών σφαιρών (x i, y i, z i ) καθώς και οι ακτίνες τους (r i ), όπως φαίνεται στον πίνακα 3.2. Στο σχήμα 4.1 φαίνεται η διάταξη των αισθητήρων. Λύνουμε το παρακάτω σύστημα. Ο κώδικας matlab φαίνεται στο Παράρτημα Β x x1 y y1 z z1 r x x2 y y2 z z2 r x x3 y y3 z z3 r 3 Πίνακας 3.2 Συντεταγμένες αισθητήρων Αισθητήρες x i (mm) y i (mm) z i (mm) r i (mm)

33 28 Σχήμα 3.1 Θέση αισθητήρων μετακίνησης για τις δοκιμές σε μεταλλική πλάκα (αριστερά) και σε πλάκα σκυροδέματος (δεξιά) Το σημείο τομής των τριών σφαιρών είναι η μετακίνηση του βάθρου στο σημείο όπου συνδέουμε τους αισθητήρες. Έτσι έχουμε τη μετακίνηση του συγκεκριμένου σημείου του βάθρου κατά την οριζόντια διεύθυνση της κίνησης, κατά την εγκάρσια και κατά την κατακόρυφη. Με τριγωνομετρία βρίσκουμε την μετακίνηση της κορυφής. Στη βάση του δοκιμίου τοποθετούνται 3 επιταχυνσιόμετρα, ένα καταγράφει επιταχύνσεις κατά την διεύθυνση κίνησης, ένα κατά την εγκάρσια διεύθυνση και ένα κατά την κατακόρυφη. Αντίστοιχα, 3 επιταχυνσιόμετρα τοποθετούνται στην κορυφή του δοκιμίου. Στις δοκιμές με την πλάκα σκυροδέματος χρησιμοποιούνται 8 αισθητήρες μετακίνησης και 6 επιταχυνσιόμετρα. Οι τρεις αισθητήρες μετακίνησης συνδέονται με το βάθρο σε απόσταση 60 cm από την κορυφή του στη μια πλευρά του βάθρου (παράλληλα στη διεύθυνση κίνησης) και οι υπόλοιποι πέντε αισθητήρες συνδέονται με το δοκίμιο σε απόσταση 59.5 cm στην απέναντι πλευρά του. Τοποθετήσαμε τους δύο επιπλέον αισθητήρες συνευθειακά κατά τη διεύθυνση κίνησης για να επαληθεύσουμε τη μετακίνηση στη συγκεκριμένη διεύθυνση. Κάθε ένας από αυτούς τους αισθητήρες ορίζει έναν κύκλο στο επίπεδο x-z. Το σημείο τομής των δύο κύκλων είναι η μετακίνηση του σημείου. Τα επιταχυνσιόμετρα τοποθετήθηκαν στην ίδια θέση με τις προηγούμενες δοκιμές.

34 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΟΚΙΜΩΝ Έδραση βάθρου πάνω σε μεταλλική επιφάνεια Για τον υπολογισμό του συντελεστή επαναφοράς χρησιμοποιήθηκαν τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις. Στην πρώτη περίπτωση, χρησιμοποιήθηκε ο ακόλουθος τύπος: r n 1 τύπος (3.1) n 1 Στην δεύτερη περίπτωση, χρησιμοποιήθηκε ο τύπος: r n 1 1 n τύπος (3.2) [4] Στην τρίτη περίπτωση, ο συντελεστής επαναφοράς βασίστηκε στον ακόλουθο τύπο: r 3 cos( n) cos( ) cos( ) cos( ) n1 τύπος (3.3) [4] Σκοπός αυτής της διαδικασίας είναι να δούμε ποιος από τους παραπάνω τύπους δίνει αποτελέσματα πιο κοντά στα πειραματικά, ποια είναι η πραγματική τιμή του συντελεστή επαναφοράς και εάν αποκλίνει ή όχι από την τιμή 0.96 που προκύπτει από τη θεωρία Ηousner. Σύμφωνα με τη θεωρία Housner, ο συντελεστής επαναφοράς υπολογίζεται από τον τύπο 2.5 του κεφαλαίου 2 και για το δεδομένο βάθρο προκύπτει r=0.96. Με τη χρήση των πειραματικών δεδομένων υπολογίζεται ο συντελεστής επαναφοράς για κάθε μια από τις παραπάνω περιπτώσεις. Αυτές οι τιμές αντικαθίσταται στις εξισώσεις 2.8 και 2.9 του κεφαλαίου 2 για να υπολογιστούν το πλάτος Φn και η περίοδος Τn της ταλάντωσης. Στα σχήματα γίνεται σύγκριση μεταξύ των θεωρητικών και των πειραματικών αποτελεσμάτων για το πλάτος (c) και την περίοδο (d) της ταλάντωσης. Στα σχήματα που ακολουθούν παρουσιάζονται η μετακίνηση κορυφής παράλληλα στη διεύθυνση της κίνησης, ο συντελεστής επαναφοράς υπολογισμένος με τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις, το πλάτος και η περίοδος της ταλάντωσης για τις διάφορες αρχικές γωνίες. Να σημειωθεί

35 30 ότι για κάθε γωνία έγιναν 4 δοκιμές. Τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται είναι ο μέσος όρος των δοκιμών αυτών. Σχήμα 3.2 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα στη διεύθυνση της κίνησης (a), συντελεστής επαναφοράς με τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις (b), πλάτος (c) και περίοδος (d) της ταλάντωσης για Φ 0 =0.5

36 Σχήμα 3.3 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα στη διεύθυνση της κίνησης (a), συντελεστής επαναφοράς με τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις (b), πλάτος (c) και περίοδος (d) της ταλάντωσης για Φ 0 =0.4 31

37 Σχήμα 3.4 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα στη διεύθυνση της κίνησης (a), συντελεστής επαναφοράς με τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις (b), πλάτος (c) και περίοδος (d) της ταλάντωσης για Φ 0 =0.3 32

38 33 Σχήμα 3.5 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα στη διεύθυνση της κίνησης (a), συντελεστής επαναφοράς με τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις (b), πλάτος (c) και περίοδος (d) της ταλάντωσης για Φ 0 =0.2 Σε όλες τις περιπτώσεις, οι τιμές του r που υπολογίζονται σύμφωνα με τους τύπους είναι μικρότερες από την τιμή που προκύπτει από την κλασική θεωρία λικνισμού (0.96). Παρατηρούμε ότι ο υπολογισμός του συντελεστή επαναφοράς κατά Housner (r=0.96) υπερεκτιμά τις πραγματικές τιμές του πλάτους και της περιόδου. Η χρήση του τύπου 3.2 δίνει αποτελέσματα Τn και Φn πολύ κοντά στα πειραματικά αφού οι αντίστοιχες καμπύλες σχεδόν ταυτίζονται με τις πειραματικές τιμές για τις διάφορες τιμές αρχικής γωνίας. Η τιμή του r προκύπτει 0.80, δηλαδή η πραγματική τιμή του συντελεστή επαναφοράς είναι κατά 16% μικρότερη από την θεωρητική τιμή του Housner.

39 Έδραση βάθρου πάνω σε επιφάνεια σκυροδέματος Η ίδια διαδικασία ακολουθείται για αυτή τη σειρά πειραματικών δεδομένων. Στα σχήματα που ακολουθούν παρουσιάζονται η μετακίνηση κορυφής παράλληλα στη διεύθυνση της κίνησης, ο συντελεστής επαναφοράς υπολογισμένος με τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις, το πλάτος και η περίοδος της ταλάντωσης για τις διάφορες αρχικές γωνίες. Να σημειωθεί ότι για κάθε γωνία έγιναν 4 δοκιμές. Τα αποτελέσματα που παρουσιάζονται είναι ο μέσος όρος των δοκιμών αυτών. Σχήμα 3.6 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα στη διεύθυνση της κίνησης (a), συντελεστής επαναφοράς με τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις (b), πλάτος (c) και περίοδος (d) της ταλάντωσης για Φ 0 =0.5

40 Σχήμα 3.7 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα στη διεύθυνση της κίνησης (a), συντελεστής επαναφοράς με τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις (b), πλάτος (c) και περίοδος (d) της ταλάντωσης για Φ 0 =0.4 35

41 Σχήμα 3.8 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα στη διεύθυνση της κίνησης (a), συντελεστής επαναφοράς με τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις (b), πλάτος (c) και περίοδος (d) της ταλάντωσης για Φ 0 =0.3 36

42 37 Σχήμα 3.9 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα στη διεύθυνση της κίνησης (a), συντελεστής επαναφοράς με τρεις διαφορετικές προσεγγίσεις (b), πλάτος (c) και περίοδος (d) της ταλάντωσης για Φ 0 =0.2 Παρατηρούμε ότι ο υπολογισμός του συντελεστή επαναφοράς κατά Housner (r=0.96) υπερεκτιμά τις πραγματικές τιμές του πλάτους και της περιόδου. Η χρήση του τύπου 3.2 δίνει αποτελέσματα Τn και Φn πολύ κοντά στα πειραματικά αφού οι αντίστοιχες καμπύλες σχεδόν ταυτίζονται με τις πειραματικές τιμές για τις διάφορες τιμές αρχικής γωνίας. Η τιμή του r προκύπτει 0.70, δηλαδή η πραγματική τιμή του συντελεστή επαναφοράς είναι κατά 27% μικρότερη από την θεωρητική τιμή του Housner. Ο συντελεστής επαναφοράς για την έρδαση σε βάση σκυροδέματος είναι μικρότερος από αυτόν που προκύπτει για έδραση σε μεταλλική βάση. Άρα χάνεται περισσότερη ενέργεια στη βάση από σκυρόδεμα.

43 Σύγκριση μεταξύ των δύο επιφανειών έδρασης Η εξίσωση του θεωρητικού μοντέλου του Housner για τον υπολογισμό του συντελεστή επαναφοράς του λικνιζόμενου στερεού σώματος δεν λαμβάνει υπόψη την επιρροή του υλικού της επιφάνειας έδρασης. Εξετάστηκε η επιρροή δύο υλικών, του χάλυβα και του σκυροδέματος. Όπως φαίνεται από το σχήμα 3.10, το υλικό της επιφάνειας έδρασης έχει σημαντική επιρροή στην απόκριση του λικνιζόμενου βάθρου. Μεγαλύτερη ενέργεια παραμόρφωσης έχει η μεταλλική επιφάνεια. Καθώς μειώνεται η αρχική γωνία θ 0, μειώνεται η ενέργεια παραμόρφωσης και αυξάνεται η συχνότητα της ταλάντωσης. Όταν το δοκίμιο εδράζεται στη μεταλλική επιφάνεια έχει μεγαλύτερη περίοδο ταλάντωσης απ ότι αν εδράζεται σε βάση από σκυρόδεμα. Από το σχήμα 3.12, παρατηρείται ότι στις δοκιμές με την βάση από σκυρόδεμα ο συντελεστής επαναφοράς έχει μικρότερη τιμή, άρα χάνεται περισσότερη ενέργεια σε κάθε κρούση. Σχήμα 3.10 Σύγκριση γωνιών στροφής για έδραση σε μεταλλική επιφάνεια (a) και σε επιφάνεια σκυροδέματος (b) για τις διάφορες αρχικές γωνίες

44 Σχήμα 3.11 Σύγκριση της περιόδου Τn για έδραση σε μεταλλική επιφάνεια (a) και σε επιφάνεια σκυροδέματος (b) για τις διάφορες αρχικές γωνίες 39

45 40 Σχήμα 3.12 Σύγκριση του συντελεστή επαναφοράς r για έδραση σε μεταλλική επιφάνεια (a) και σε επιφάνεια σκυροδέματος (b) για τις διάφορες αρχικές γωνίες Σύμφωνα με τον Housner ο συντελεστής επαναφοράς του λικνιζόμενου βάθρου είναι Από τα πειραματικά αποτελέσματα υπολογίστηκε 0.80 για έδραση σε μεταλλική επιφάνεια και 0.70 για έδραση σε επιφάνεια σκυροδέματος. Η χρήση του τύπου 3.2 για τον υπολογισμό του r δίνει τιμές πιο κοντά στις πειραματικές. Λιγότερη ενέργεια χάνεται με τη μεταλλική βάση, γι αυτό στις επόμενες δοκιμές στη σεισμική τράπεζα επιλέγεται να χρησιμοποιηθεί αυτή.

46 41 4. ΔΟΚΙΜΕΣ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΤΡΑΠΕΖΑ 4.1 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ Οι δοκιμές έγιναν στο εργαστήριο σεισμικής τράπεζας του Πανεπιστημίου Πατρών. Η τράπεζα αποτελείται από μια μεταλλική πλάκα διαστάσεων 3x5m. Είναι επαρκώς δύσκαμπτη ώστε να μην ταλαντώνεται η ίδια και να μπορεί να μεταφέρει αυτούσια τη διέγερση στην υπό δοκιμή κατασκευή. Σερβοελεγχόμενο υδραυλικό έμβολο 250ΚΝ ορίζει την μετακίνηση της τράπεζας η οποία είναι ενός βαθμού ελευθερίας. Το μέγιστο φορτίο που μπορεί να φέρει είναι 10ton. Η μέγιστη επιτάχυνση της τράπεζας είναι 0.75g (7.5 m/sec 2 ). Η μέγιστη ταχύτητα που μπορεί να επιβάλλει το έμβολο είναι 1.2 m/sec. Το σύστημα καταγραφής δεδομένων έχει 16 κανάλια. Εικ. 4.1 Εργαστήριο σεισμικής τράπεζας του Πανεπιστημίου Πατρών Απαιτείται τόσο η μάζα όσο και το επιταχυνσιογράφημα να υπακούουν στους νόμους ομοιότητας για να διατηρηθεί ομοιότητα στις δυναμικές φορτίσεις. Η συχνότητα της λικνιστικής ταλάντωσης της πρωτότυπης κατασκευής είναι ίση με και η συχνότητα του μοντέλου είναι. Αφού το βάθρο έχει κατασκευαστεί υπό

47 42 κλίμακα 1:3, ο όρος είναι ίσος με. Όλες οι τιμές του άξονα του χρόνου στα επιταχυνσιογραφήματα πολλαπλασιάζονται με για να πληρούνται οι νόμοι ομοιότητας. Το μέγεθος της σεισμικής διέγερσης που επιβάλλει η τράπεζα καθορίζεται από τις ταχύτητες που περιέχει το επιταχυνσιογράφημα επειδή αυτές σχετίζονται άμεσα με τον όγκο λαδιού που μπορούν να παράσχουν η αντλία του συστήματος, οι συσσωρευτές και να διοχετεύσουν οι σερβοβαλβίδες των εμβόλων. Δίνοντας το σήμα-εντολή προς τη σερβοβαλβίδα παίρνουμε έξοδο την μετακίνηση του εμβόλου καθώς αποτελεί την τιμή ανάδρασης για το σύστημα ελέγχου. Το σύστημα ελέγχου δέχεται αυτήν την τιμή και δημιουργεί διορθωτική εντολή προς την σερβοβαλβίδα. Το διορθωτικό ηλεκτρικό σήμα είναι η διαφορά μεταξύ της επιθυμητής μετακίνησης και της πραγματικής. Σημειώνεται ότι αυτό που ζητείται είναι η μέσω της σεισμικής τράπεζας επιβολή δεδομένου επιταχυνσιογραφήματος, η επιθυμητή μετακίνηση προκύπτει από διπλή ολοκλήρωση της καταγραφής της επιτάχυνσης. Όμως η διαδικασία ολοκλήρωσης ενός σήματος ενδυναμώνει τις χαμηλότερες συχνότητες και για το λόγο αυτό το σήμα που προκύπτει από τη διπλή ολοκλήρωση πρέπει να υποστεί επεξεργασία μέσω ενός υψηπερατού φίλτρου (highpass). Η παραπάνω διαδικασία διόρθωσης του σήματος επαναλαμβάνεται έως ότου πραγματοποιηθεί η επιθυμητή μετακίνηση. Επειδή οι ιδιότητες τράπεζας δοκιμίου δεν είναι γνωστές με τον επιθυμητό βαθμό ακρίβειας, πριν τη διεξαγωγή των πειραμάτων γίνεται βαθμονόμηση τράπεζας (calibration) δηλαδή τοποθετούμε στην τράπεζα μάζα ίση με τη μάζα του μοντέλου και προσπαθούμε να ταυτίσουμε το επιθυμητό φάσμα της διέγερσης ( required response spectrum RRS ) με το φάσμα της τράπεζας ( test response spectrum TRS ) για να βρεθεί η κατάλληλη συνάρτηση μεταφοράς. Παρακάτω φαίνεται η σύγκριση των δύο φασμάτων για τους σεισμούς του Αιγίου, της Λευκάδας και της Καλαμάτας.

48 Σχήμα 4.1 Σύγκριση επιθυμητού φάσματος διέγερσης (RRS) και φάσματος τράπεζας (TRS) για τον σεισμό του Αιγίου (πάνω), της Λευκάδας (μεσαίο) και της Καλαμάτας (κάτω) 43

49 44 Παρατηρούμε ότι δεν ταυτίζονται απόλυτα τα δύο φάσματα. Η μη ταύτιση των δύο διαγραμμάτων μπορεί να οφείλεται σε υδραυλικούς λόγους όπως ανεπιθύμητη διαρροή λαδιού, αλλαγές στην πίεση του λαδιού, στις σερβοβαλβίδες, στη συχνότητα του λαδιού της αντλίας (oil column frequency) αλλά και σε μηχανικούς λόγους όπως δυνάμεις τριβής, αλληλεπίδραση τράπεζας και κατασκευής. 4.2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΥ ΒΑΘΡΟΥ Αρχικά, διερευνήθηκε πειραματικά η απόκριση του λικνιζόμενου βάθρου γέφυρας ελεύθερα εδραζόμενου πάνω σε μεταλλική πλάκα πάχους 20mm. Οι δοκιμές έγιναν για τις εδαφικές διεγέρσεις του πίνακα 4.1. Χρησιμοποιούνται 9 αισθητήρες μετακίνησης και 6 επιταχυνσιόμετρα. Η συχνότητα της δειγματοληψίας είναι 800 Hz. Όλοι οι αισθητήρες μετακίνησης τοποθετούνται πάνω στην τράπεζα. Τρεις από αυτούς συνδέονται με το βάθρο σε απόσταση 5cm από την κορυφή του στη μια πλευρά παράλληλα στη διεύθυνση του σεισμού και άλλοι τρεις συνδέονται στην απέναντι πλευρά του. Σε απόσταση 10cm από τη βάση του συνδέονται οι υπόλοιποι τρεις αισθητήρες. Κάθε αισθητήρας ορίζει μια σφαίρα στο χώρο. Το κέντρο της κάθε σφαίρας είναι ο αντίστοιχος αισθητήρας. Ορίζεται σαν αρχή των αξόνων μια γωνία της τράπεζας και μετριούνται οι συντεταγμένες των κέντρων των τριών σφαιρών (x i, y i, z i ) καθώς και οι ακτίνες τους (r i ), όπως φαίνονται στον πίνακα 4.2. Το σημείο τομής των τριών σφαιρών είναι η μετακίνηση του εκάστοτε σημείου. Έτσι έχουμε τη μετακίνηση της κορυφής και της βάσης του βάθρου κατά την οριζόντια διεύθυνση της κίνησης, κατά την εγκάρσια και κατά την κατακόρυφη. Καταγράφονται οι επιταχύνσεις στη βάση και στην κορυφή του δοκιμίου κατά την διεύθυνση του σεισμού, την εγκάρσια και την κατακόρυφη διεύθυνση. Δηλαδή, τοποθετούνται 3 επιταχυνσιόμετρα στη βάση και 3 στην κορυφή. Ακόμη, καταγράφονται η μετακίνηση και η επιτάχυνση της τράπεζας.

50 45 Πίνακας 4.1 Πίνακας δοκιμών μεμονωμένου βάθρου Σεισμός Ένταση Αριθμός δοκιμών Αίγιο, Ελλάδα % 100% 2 Λευκάδα, Ελλάδα % 100% 2 Καλαμάτα, Ελλάδα % 100% 2 Parkfield, Καλιφόρνια % 100% 2 Βουκουρέστι, Ρουμανία % 2 San Fernando, Καλιφόρνια % 2 Northridge, Καλιφόρνια % 2 Loma Prieta, Καλιφόρνια % 2 Πίνακας 4.2 Συντεταγμένες αισθητήρων Αισθητήρες x i (mm) y i (mm) z i (mm) r i (mm) ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΥ ΒΑΘΡΟΥ ΜΕ ΤΕΝΟΝΤΑ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗΣ Στόχος είναι να διερευνήσουμε την σεισμική απόκριση και την ευστάθεια του μεμονωμένου βάθρου με τένοντα προέντασης. Ενώ η δυσκαμψία του λικνιζόμενου βάθρου άνευ προέντασης είναι πάντα αρνητική, η δυσκαμψία του βάθρου με προένταση μπορεί να πάρει αρνητικές αλλά και θετικές τιμές ανάλογα με την τιμή της αδιάστατης ατένειας του τένοντα. Όταν η ατένεια του τένοντα, ΕΑ, είναι μικρή σε σχέση με το βάρος του βάθρου, m c g, η δυσκαμψία του βάθρου παραμένει αρνητική. Εάν αυξηθεί η ατένεια, η δυσκαμψία αυξάνεται σταδιακά από αρνητική σε θετική. Θα εξετάσουμε δύο περιπτώσεις, μια για αδιάστατης ατένειας του τένοντα ΕΑ/mg=25 και μια για ΕΑ/mg =100. Στην πρώτη

51 46 περίπτωση το βάθρο έχει αρνητική δυσκαμψία και στην δεύτερη περίπτωση έχει θετική. Προστίθεται ένα καλώδιο που περνά από το κέντρο του βάθρου και αγκυρώνεται στη σεισμική τράπεζα. Η δύναμη του καλωδίου μετριέται με δυναμοκυψέλη ( 4.3.1). Οι δοκιμές έγιναν για τις εδαφικές διεγέρσεις του πίνακα 4.3. Πίνακας 4.3 Πίνακας δοκιμών μεμονωμένου βάθρου με τένοντα προέντασης Σεισμός Ένταση Αριθμός δοκιμών Αίγιο, Ελλάδα % 100% 2 Λευκάδα, Ελλάδα % 100% 2 Καλαμάτα, Ελλάδα % 100% 2 Χρησιμοποιούνται 12 αισθητήρες μετακίνησης και 6 επιταχυνσιόμετρα. Όλοι οι αισθητήρες μετακίνησης τοποθετούνται πάνω στην τράπεζα. Τρεις από αυτούς συνδέονται με το βάθρο σε απόσταση 5cm από την κορυφή του στη μια πλευρά παράλληλα στη διεύθυνση του σεισμού και άλλοι τρεις συνδέονται στην απέναντι πλευρά του. Σε απόσταση 10cm από τη βάση του συνδέονται τρεις αισθητήρες από τη μια πλευρά και τρεις από την άλλη. Για να καταγραφούν οι επιταχύνσεις κατά τη διεύθυνση του σεισμού, την εγκάρσια και την κατακόρυφη στην κορυφή και την βάση του δοκιμίου, τοποθετούνται τρία επιταχυνσιόμετρα στην κορυφή και τρία στη βάση. Στις εικόνες 4.2 και 4.3 φαίνεται η πειραματική διάταξη και το σύστημα μετρήσεων. Εικ 4.2 Πειραματική διάταξη

52 47 Εικ 4.3 Τοποθέτηση αισθητήρων στη σεισμική τράπεζα Για να επιτύχουμε την επιθυμητή ατένεια του τένοντα χρησιμοποιούμε ελατήρια (ροδέλες) σε μορφή δίσκων που μπορούν να τοποθετηθούν σε σειρά ή παράλληλα ή παράλληλα σε σειρά ανάλογα με την δυσκαμψία που θέλουμε να πετύχουμε κάθε φορά. Η βύθιση του ενός ελατηρίου είναι s=0,75h 0 =1,2mm και με δύναμη 2512Ν προκύπτει η δυσκαμψία του ενός ελατηρίου κ=2512/1,2=2093,3ν/mm=2093,3κν/m. Για την περίπτωση της αδιάστατης δυσκαμψίας ΕΑ/mg =100 τοποθετούνται 35 παράλληλα ελατήρια σε σειρά. Έτσι πετύχαμε δυσκαμψία 2093,3/(35/2)=119,62 αντί για 100 σε μετακίνηση 35x1,2=42mm. Για την περίπτωση της αδιάστατης δυσκαμψίας ΕΑ/mg =25 τοποθετούνται 100 ελατήρια σε σειρά. Αντί για ΕΑ/mg =25 πετύχαμε 31,05 σε μετακίνηση 40 mm. Εικ 4.3 Τοποθέτηση ελατηρίων σε σειρά, παράλληλα ή παράλληλα σε σειρά

53 48 Εικ 4.3 Τομή ελατηρίου ( διαστάσεις σε mm) Εικ 4.4 Τοποθέτηση ελατηρίων για ΕΑ/mg =100 (αριστερά) και ΕΑ/mg =25 (δεξιά) Δυναμοκυψέλη Κατασκευάζεται μια δυναμοκυψέλη για να μετρηθεί η αξονική θλιπτική δύναμη του καλωδίου (Εικ. 4.5). Χρησιμοποιούνται 4 strain gauges τα οποία κολλιούνται πάνω σε ένα μεταλλικό σωλήνα μέσα από τον οποίο περνά το καλώδιο. Ένα strain gage τοποθετείται κατά μήκος της διεύθυνσης που εφαρμόζεται η δύναμη και ένα κατά την εγκάρσια διεύθυνση από τη μια πλευρά του σωλήνα. Τα άλλα δύο κολλιούνται στην ακριβώς απέναντι πλευρά με τον ίδιο τρόπο.

54 49 Εικ 4.5 Τοποθέτηση των strain gages (αριστερά) και Δυναμοκυψέλη (δεξιά) Κάθε strain gage αποτελεί μια αντίσταση στην ολόκληρη γέφυρα Wheatstone (Εικ. 4.6). Η γέφυρα τροφοδοτείται με τάση U E και στην έξοδο δίνει τάση U Α. Γενικά για την τάση εισόδου και εξόδου ισχύει: U A R1 R3 R2R4 U R R R R E Αν R 1 =R 2 =R 3 =R 4 τότε η γέφυρα βρίσκεται σε ισορροπία και U Α / U Ε =0. Εικ 4.6 Γέφυρα Wheatstone Όταν ασκείται κάποια δύναμη στην δυναμοκυψέλη, τα strain gages παραμορφώνονται. Η ελαστική παραμόρφωση είναι η αιτία που μεταβάλλονται οι διαστάσεις των strain gages με άμεση συνέπεια τη μεταβολή της αντίστασης τους, προκαλώντας αλλαγή στο αποτέλεσμα της τάσης. Όταν τοποθετούνται δυο strain gages σε γειτονικούς βραχίονες της γέφυρας τότε αφαιρείται το σήμα τους. Όταν τοποθετούνται σε αντίθετους βραχίονες, προστίθεται το σήμα τους. Η παραμόρφωση στη διεύθυνση που θα ασκηθεί δύναμη είναι

55 E W, 3 1 E (όπου ν ο λόγος poisson 0.3). W και στην εγκάρσια διεύθυνση 2 1, 4 3 U U A E k Ο συντελεστής k ισούται με 2 για τα μεταλλικά strain gages. Τέλος, όλη η κατασκευή βαθμονομείται για να μετρά τη δύναμη. Μέσα σε μια ντίζα τοποθετούνται η δυναμοκυψέλη που θέλουμε να βαθμονομήσουμε και μια ήδη βαθμονομημένη δυναμοκυψέλη, όπως φαίνεται στην εικόνα 4.7. Καθώς βιδώνουμε το παξιμάδι ασκούμε δύμανη στις δυναμοκυψέλες. Μετράμε την τάση εξόδου της δυναμοκυψέλης με βολτόμετρο και την ίδια στιγμή καταγράφουμε την δύναμη που ασκείται στην ήδη βαθμονομημένη δυναμοκυψέλη (εικόνα 4.8). Αυτή η διαδικασία γίνεται για διάφορες τιμές δύναμης, από 0 έως13κν. Με γραμμική παρεμβολή προκύπτει ο συντελεστής μετατροπής των mv σε KN, ο οποίος είναι 2,2362 (εικόνα 4.9). Εικ 4.7 Βαθμονόμηση δυναμοκυψέλης

56 51 Εικ 4.8 Διαδικασία βαθμονόμησης της δυναμοκυψέλης Εικ 4.9 Διάγραμμα τάσης - δύναμης

57 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ Πάνω στα δύο βάθρα τοποθετείται το κατάστρωμα της γέφυρας για να εξεταστεί πειραματικά αν η παρουσία του καταστρώματος αυξάνει την ευστάθεια των στύλων. Το κατάστρωμα της γέφυρας ζυγίζει 2tn και έχει μήκος 4.2m, πλάτος 0.85m και ύψος 0.24m. Η μάζα της πλάκας επιλέχθηκε έτσι ώστε γ=m b /2m c =6, δηλαδή 6 φορές μεγαλύτερη από τη μάζα του ενός βάθρου. Για τιμές του γ μεγαλύτερες από 6 έχει αποδειχθεί ότι δεν επηρεάζεται σημαντικά η απόκριση και η ευστάθεια του συστήματος στύλων επιστυλίου. Τα δύο βάθρα είναι ελεύθερα εδραζόμενα στην τράπεζα. Οι δοκιμές έγιναν για τις εδαφικές διεγέρσεις του πίνακα 4.4. Πίνακας 4.4 Πίνακας δοκιμών ελεύθερα εδραζόμενου πλαισίου Σεισμός Ένταση Αριθμός δοκιμών Αίγιο, Ελλάδα % 100% 2 Λευκάδα, Ελλάδα % 100% 2 Καλαμάτα, Ελλάδα % 100% 2 Χρησιμοποιούνται 12 αισθητήρες μετακίνησης και 9 επιταχυνσιόμετρα. Η συχνότητα της δειγματοληψίας είναι 800 Hz. Τρεις αισθητήρες συνδέονται στην κορυφή του βάθρου, τρεις στην βάση του από τη μια πλευρά και άλλοι τρεις στη βάση από την απέναντι πλευρά. Οι αισθητήρες που συνδέονται με το δοκίμιο τοποθετούνται πάνω στην τράπεζα, ενώ οι τρεις αισθητήρες που συνδέονται με το κατάστρωμα της γέφυρας τοποθετούνται σε μεταλλικό πλαίσιο που βρίσκεται εκτός της τράπεζας. Καταγράφονται οι επιταχύνσεις κατά τη διεύθυνση του σεισμού, την εγκάρσια και την κατακόρυφη για την κορυφή, την βάση του δοκιμίου και την πλάκα καταστρώματος. Έτσι, βάζουμε τρία επιταχυνσιόμετρα στην κορυφή, τρία στη βάση του βάθρου και τρία στην πλάκα. Η πειραματική διάταξη φαίνεται στην εικόνα 4.10.

58 53 Εικ 4.10 Πειραματική διάταξη 4.5 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΔΙΑΤΑΞΗΣ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ ΜΕ ΤΕΝΟΝΤΕΣ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗΣ Στόχος είναι να διερευνήσουμε την σεισμική απόκριση του πλαισίου με τένοντα προέντασης και να δούμε εάν η προσθήκη των καλωδίων που δίνουν θετική δυσκαμψία

59 54 στο σύστημα βελτιώνουν την σεισμική ευστάθειά του. Ενώ η δυσκαμψία του λικνιζόμενου πλαισίου άνευ προέντασης είναι πάντα αρνητική, η δυσκαμψία του πλαισίου με προένταση μπορεί να πάρει αρνητικές αλλά και θετικές τιμές ανάλογα με την τιμή της αδιάστατης ατένειας του τένοντα. Θα εξετάσουμε δύο περιπτώσεις, μια για αδιάστατη ατένεια του τένοντα ΕΑ/mg=50 και μια για ΕΑ/mg =150. Στην πρώτη περίπτωση το σύστημα έχει αρνητική δυσκαμψία και στην δεύτερη περίπτωση έχει θετική. Προστίθεται ένα καλώδιο που περνά από το κέντρο των βάθρων και αγκυρώνεται στη σεισμική τράπεζα. Οι δυνάμεις των καλωδίων μετριούνται με 2 δυναμοκυψέλες. Οι δοκιμές έγιναν για τις εδαφικές διεγέρσεις του πίνακα 4.5. Πίνακας 4.5 Πίνακας δοκιμών πλαισίου με τένοντες προέντασης Σεισμός Ένταση Αριθμός δοκιμών Αίγιο, Ελλάδα % 100% 2 Λευκάδα, Ελλάδα % 100% 2 Καλαμάτα, Ελλάδα % 100% 2 Χρησιμοποιούνται 12 αισθητήρες μετακίνησης και 9 επιταχυνσιόμετρα. Τρεις αισθητήρες συνδέονται στην κορυφή του βάθρου, τρεις στην βάση του από τη μια πλευρά και άλλοι τρεις στη βάση από την απέναντι πλευρά. Οι αισθητήρες που συνδέονται με το δοκίμιο τοποθετούνται πάνω στην τράπεζα, ενώ οι τρεις αισθητήρες που συνδέονται με την πλάκα τοποθετούνται σε μεταλλικό πλαίσιο που βρίσκεται εκτός της τράπεζας. Καταγράφονται οι επιταχύνσεις κατά τη διεύθυνση του σεισμού, την εγκάρσια και την κατακόρυφη διεύθυνση στην κορυφή και την βάση του δοκιμίου. Τοποθετούντα τρία επιταχυνσιόμετρα στην κορυφή και τρία στη βάση. Ακόμη, καταγράφονται οι αντίστοιχες επιταχύνσεις και για την πλάκα της γέφυρας από τρία επιταχυνσιόμετρα.

60 55 Εικ 4.11 Πειραματική διάταξη Για να πετύχουμε αδιάστατη ατένεια τένοντα ΕΑ/mg=50, χρησιμοποιούμε 39 ελατήρια σε σειρά. Με αυτή τη διάταξη ελατηρίων τελικά πετυχαίνουμε δυσκαμψία 2093,3/39=53,68 σε μετακίνηση 39x1,2=46,8mm. Για την περίπτωση αδιάστατης ατένειας τένοντα ΕΑ/mg=150 χρησιμοποιούνται 24 παράλληλα ελατήρια σε σειρά. Τελικά πετυχαίνουμε δυσκαμψία 2093,3/(24/2)=174,44 σε μετακίνηση 1,2x24=28,8mm. Οι διατάξεις των ελατηρίων φαίνονται στην εικόνα 4.12 Εικ 4.12 Τοποθέτηση ελατηρίων για ΕΑ/mg =50 (αριστερά) και ΕΑ/mg =150 (δεξιά)

61 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΟΚΙΜΩΝ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΥ ΒΑΘΡΟΥ Τα αποτελέσματα της κάθε δοκιμής χωριστά παρουσιάζονται στο παράρτημα Α.1 και Α.2. Εδώ φαίνονται τα συγκριτικά αποτελέσματα των δοκιμών. Στους πίνακες 4.6 και 4.7 παρουσιάζονται οι μέγιστες μετακινήσεις στην κορυφή του βάθρου σε mm κατά την διεύθυνση του σεισμού και κατά την εγκάρσια για όλες τις σεισμικές διεγέρσεις με και άνευ προέντασης. Πίνακας 4.6 Μέγιστη μετακίνηση κορυφής κατά τη διεύθυνση του σεισμού με και άνευ προέντασης(mm) Σεισμός ΕΑ/mg=0 ΕΑ/mg=25 ΕΑ/mg=100 Καλαμάτα 80% Καλαμάτα 100% Λευκάδα 80% Λευκάδα 100% Αίγιο 80% Αίγιο 100% Πίνακας _4.7 Μέγιστη μετακίνηση κορυφής εγκάρσια στη διεύθυνση του σεισμού με και άνευ προένταση (mm) Σεισμός ΕΑ/mg=0 ΕΑ/mg=25 ΕΑ/mg=100 Καλαμάτα 80% Καλαμάτα 100% Λευκάδα 80% Λευκάδα 100% Αίγιο 80% Αίγιο 100% Η μεγαλύτερη μετακίνηση κορυφής και στις δύο διευθύνσεις παρατηρούνται στο σεισμό του Αιγίου. Στους σεισμούς της Καλαμάτας και της Λευκάδας 80% μειώνονται οι μέγιστες μετακινήσεις κορυφής κατά τη διεύθυνση του σεισμού με την προσθήκη των καλωδίων προέντασης. Αντίθετα, στους σεισμούς της Λευκάδας 100% και του Αιγίου αυξάνονται οι αντίστοιχες μετακινήσεις με την προσθήκη των τενόντων. Κατά την εγκάρσια διεύθυνση κίνησης, οι μέγιστες μετακινήσεις είναι μεγαλύτερες στην περίπτωση αρνητικής δυσκαμψίας (ΕΑ/mg=25) απ ότι στην περίπτωση θετικής (ΕΑ/mg=100) αλλά

62 57 και στις δύο περιπτώσεις προέντασης αυξάνονται σε σχέση με τις αντίστοιχες χωρίς προένταση. Η μεγαλύτερη μετακίνηση κατά τη διεύθυνση του σεισμού είναι 186mm (ΕΑ/mg=25, Αίγιο 100%) και κατά την εγκάρσια 140mm (ΕΑ/mg=25, Αίγιο 100%). Στους πίνακες 4.8 και 4.9 φαίνονται οι μετακινήσεις λόγω ολίσθησης κατά την διεύθυνση του σεισμού και κατά την εγκάρσια διεύθυνση. Πίνακας 4.8 Μετακίνηση λόγω ολίσθησης κατά τη διεύθυνση του σεισμού με και άνευ προένταση (mm) Σεισμός ΕΑ/mg=0 ΕΑ/mg=25 ΕΑ/mg=100 Καλαμάτα 80% Καλαμάτα 100% Λευκάδα 80% Λευκάδα 100% Αίγιο 80% Αίγιο 100% Πίνακας 4.9 Μετακίνηση λόγω ολίσθησης εγκάρσια στη διεύθυνση του σεισμού με και άνευ προένταση (mm) Σεισμός ΕΑ/mg=0 ΕΑ/mg=25 ΕΑ/mg=100 Καλαμάτα 80% Καλαμάτα 100% Λευκάδα 80% Λευκάδα 100% Αίγιο 80% Αίγιο 100% Στην εντός επιπέδου διεύθυνση η ολίσθηση είναι μεγαλύτερη όταν δεν χρησιμοποιείται τένοντας προέντασης. Στην εκτός επιπέδου διεύθυνση η ολίσθηση είναι μεγαλύτερη στην περίπτωση της θετικής δυσκαμψίας και μικρότερη στην περίπτωση χωρίς προένταση. Η μεγαλύτερη ολίσθηση κατά τη διεύθυνση κίνησης είναι 27mm που παρατηρείται στο σεισμό της Λευκάδας 100% και του Αιγίου 100% χωρίς προένταση και κατά την εγκάρσια διεύθυνση 24mm στο σεισμό του Αιγίου 100% με τη θετική δυσκαμψία βάθρου. Στον πίνακα 4.10 παρουσιάζονται οι μετακινήσεις λόγω στροφής.

63 58 Πίνακας 4.10 Μετακίνηση λόγω στροφής με και άνευ προένταση (mm) Σεισμός ΕΑ/mg=0 ΕΑ/mg=25 ΕΑ/mg=100 Καλαμάτα 80% Καλαμάτα 100% Λευκάδα 80% Λευκάδα 100% Αίγιο 80% Αίγιο 100% Το βάθρο έχει μεγαλύτερη μετακίνηση λόγω στροφής με την προσθήκη των καλωδίων απ ότι χωρίς τα καλώδια. Η μεγαλύτερη μετακίνηση λόγω στροφής είναι 33mm Παρακάτω παρουσιάζονται συγκριτικά διαγράμματα για κάθε σεισμό χωριστά για τις μετακινήσεις κορυφής παράλληλα και εγκάρσια στη διεύθυνση του σεισμού.

64 59 Καλαμάτα 80% Σχήμα 4.2 Μετακίνηση κορυφής με και χωρίς προένταση παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού Καλαμάτα 80% Παράλληλα στη διεύθυνση του σεισμού οι μετακινήσεις είναι μεγαλύτερες όταν δεν χρησιμοποιείται καλώδιο προέντασης. Στην εγκάρσια διεύθυνση, μεγαλύτερες μετακινήσεις σημειώνονται στην περίπτωση αρνητικής δυσκαμψίας με τένοντα. Η μεγαλύτερη μετακίνηση είναι 111mm (ΕΑ/mg=0) και 105mm (EA/mg=25) παράλληλα και εγκάρσια της διεύθυνσης του σεισμού αντίστοιχα. Ενδεικτικά παρουσιάζονται τα διαγράμματα για τη μετακίνηση λόγω ολίσθησης και λόγω στροφής.

65 60 Σχήμα 4.3 Μετακίνηση λόγω ολίσθηση με και χωρίς προένταση παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού και μετακίνηση λόγω στροφής (c) Καλαμάτα 80% Στην περίπτωση της αρνητικής δυσκαμψίας με προένταση οι ολισθήσεις και η μετακίνηση λόγω στροφής είναι μεγαλύτερες απ οτι στις άλλες δύο περιπτώσεις.

66 61 Καλαμάτα 100% Σχήμα 4.4 Μετακίνηση κορυφής με και χωρίς προένταση παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού Καλαμάτα 100% Παράλληλα στη διεύθυνση του σεισμού η μεγαλύτερη μετακίνηση εμφανίζεται στην περίπτωση χωρίς προένταση και είναι 130mm. Στην εγκάρσια διεύθυνση, μεγαλύτερες μετακινήσεις σημειώνονται στις περιπτώσεις με καλώδια προέντασης σε σχέση με αυτήν χωρίς. Η μεγαλύτερη μετακίνηση είναι 105mm (EA/mg=25).

67 62 Λευκάδα 80% Σχήμα 4.5 Μετακίνηση κορυφής με και χωρίς προένταση παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού Λευκάδα 80% Η μεγαλύτερη μετακίνηση είναι 112mm (ΕΑ/mg=100) και 63mm (EA/mg=25) παράλληλα και εγκάρσια της διεύθυνσης του σεισμού αντίστοιχα.

68 63 Λευκάδα 100% Σχήμα 4.6 Μετακίνηση κορυφής με και χωρίς προένταση παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού Λευκάδα100% Κατά την παράλληλη και κατά την εγκάρσια διεύθυνση, μεγαλύτερες μετακινήσεις σημειώνονται στην περίπτωση αρνητικής δυσκαμψίας με προένταση. Η μεγαλύτερη μετακίνηση είναι 127mm (ΕΑ/mg=25) και 70mm (EA/mg=25) παράλληλα και εγκάρσια της διεύθυνσης του σεισμού αντίστοιχα.

69 64 Αίγιο 80% Σχήμα 4.7 Μετακίνηση κορυφής με και χωρίς προένταση παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού Αίγιο 80% Κατά την παράλληλη και κατά την εγκάρσια διεύθυνση, μεγαλύτερες μετακινήσεις σημειώνονται στην περίπτωση θετικής δυσκαμψίας. Όταν δεν χρησιμοποιείται προένταση οι μετακινήσεις είναι μικρότερες. Η μεγαλύτερη μετακίνηση είναι 178mm (ΕΑ/mg=100) και 100mm (EA/mg=25) παράλληλα και εγκάρσια της διεύθυνσης του σεισμού αντίστοιχα.

70 65 Αίγιο 100% Σχήμα 4.8 Μετακίνηση κορυφής με και χωρίς προένταση παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού Αίγιο 100% Οι μετακινήσεις είναι μικρότερες και για τις δύο διευθύνσεις του σεισμού όταν δεν υπάρχουν τένοντες προέντασης. Η μεγαλύτερη μετακίνηση είναι 186mm (ΕΑ/mg=100) και 140mm (EA/mg=25) παράλληλα και εγκάρσια της διεύθυνσης του σεισμού αντίστοιχα. Ενδεικτικά παρουσιάζονται τα διαγράμματα για τη μετακίνηση λόγω ολίσθησης και λόγω στροφής.

71 66 Σχήμα 4.9 Μετακίνηση λόγω ολίσθηση με και χωρίς προένταση παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού και μετακίνηση λόγω στροφής (c) Αίγιο 100% Η ολίσθηση στην εντός επιπέδου διεύθυνση είναι μεγαλύτερη για την περίπτωση αρνητικής δυσκαμψίας χωρίς προένταση, ενώ για την εκτός επιπέδου διεύθυνση η μεγαλύτερη ολίσθηση παρατηρείται για την περίπτωση θετικής δυσκαμψίας, όπου σημειώνεται και η μεγαλύτερη στροφή.

72 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΔΟΚΙΜΩΝ ΛΙΚΝΙΖΟΜΕΝΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ Τα αποτελέσματα της κάθε δοκιμής χωριστά φαίνονται στο παράρτημα Α.3 και Α.4. Στους πίνακες 4.11 και 4.12 παρουσιάζονται οι μέγιστες μετακινήσεις στην κορυφή του βάθρου σε mm κατά την διεύθυνση του σεισμού και κατά την εγκάρσια για όλες τις σεισμικές διεγέρσεις με και άνευ προέντασης. Πίνακας 4.11 Μέγιστη μετακίνηση κορυφής κατά τη διεύθυνση του σεισμού με και άνευ προένταση (mm) Σεισμός ΕΑ/mg=0 ΕΑ/mg=50 ΕΑ/mg=150 Καλαμάτα 80% Καλαμάτα 100% Λευκάδα 80% Λευκάδα 100% Αίγιο 80% Αίγιο 100% Πίνακας _4.12 Μέγιστη μετακίνηση κορυφής κατά την εγκάρσια διεύθυνση του σεισμού με και άνευ προένταση (mm) Σεισμός ΕΑ/mg=0 ΕΑ/mg=50 ΕΑ/mg=150 Καλαμάτα 80% Καλαμάτα 100% Λευκάδα 80% Λευκάδα 100% Αίγιο 80% Αίγιο 100% Η μεγαλύτερη μετακίνηση κορυφής και στις δύο διευθύνσεις παρατηρείται στο σεισμό του Αιγίου. Στους σεισμούς της Καλαμάτας και της Λευκάδας 80% αυξάνονται οι μέγιστες μετακινήσεις κορυφής κατά τη διεύθυνση του σεισμού με την προσθήκη των καλωδίων προέντασης. Αντίθετα, στους σεισμούς της Λευκάδας 100% και του Αιγίου μειώνονται οι αντίστοιχες μετακινήσεις με την προσθήκη των τενόντων. Κατά την εγκάρσια διεύθυνση κίνησης, οι μέγιστες μετακινήσεις είναι μεγαλύτερες στην περίπτωση αρνητικής δυσκαμψίας (ΕΑ/mg=50) απ ότι στην περίπτωση θετικής (ΕΑ/mg=150). Η μεγαλύτερη μετακίνηση κατά τη διεύθυνση του σεισμού είναι 150mm (ΕΑ/mg=0, Αίγιο

73 68 100%) και κατά την εγκάρσια 117mm (ΕΑ/mg=0, Καλαμάτα 100%). Γενικά, οι μετακινήσεις μειώνονται με την παρουσία του καταστρώματος της γέφυρας. Κάτι αναμενόμενο αφού η παρουσία επιστυλίου κάνει πιο ευσταθές το σύστημα. Όσο πιο βαρύ είναι, τόσο πιο ευσταθές γίνεται το σύστημα στύλου-επιστυλίου. Στους πίνακες 4.13 και 4.14 φαίνονται οι μετακινήσεις λόγω ολίσθησης κατά την διεύθυνση του σεισμού και κατά την εγκάρσια διεύθυνση και στον πίνακα 4.15 οι μετακινήσεις λόγω στροφής. Πίνακας 4.13 Μετακίνηση λόγω ολίσθησης κατά τη διεύθυνση του σεισμού με και άνευ προένταση (mm) Σεισμός ΕΑ/mg=0 ΕΑ/mg=50 ΕΑ/mg=150 Καλαμάτα 80% Καλαμάτα 100% Λευκάδα 80% Λευκάδα 100% Αίγιο 80% Αίγιο 100% Πίνακας 4.14 Μετακίνηση λόγω ολίσθησης εγκάρσια στη διεύθυνση του σεισμού με και άνευ προένταση (mm) Σεισμός ΕΑ/mg=0 ΕΑ/mg=50 ΕΑ/mg=150 Καλαμάτα 80% Καλαμάτα 100% Λευκάδα 80% Λευκάδα 100% Αίγιο 80% Αίγιο 100% Παράλληλα στη διεύθυνση του σεισμού μικρότερη ολίσθηση παρατηρείται στην περίπτωση θετικής δυσκαμψίας. Στην εγκάρσια διεύθυνση μεγαλύτερη ολίσθηση παρουσιάζεται στην περίπτωση αρνητικής δυσκαμψίας με τένοντα προέντασης. Η μεγαλύτερη ολίσθηση κατά τη διεύθυνση του σεισμού εμφανίζεται στο σεισμό του Αιγίου 80% με EA/mg=50 και είναι 16mm ενώ κατά την εγκάρσια διεύθυνση είναι 39mm και παρουσιάζεται στον σεισμό Αιγίου 100% με EA/mg=50.

74 69 Πίνακας 4.15 Μετακίνηση λόγω στροφής με και άνευ προένταση (mm) Σεισμός ΕΑ/mg=0 ΕΑ/mg=50 ΕΑ/mg=150 Καλαμάτα 80% Καλαμάτα 100% Λευκάδα 80% Λευκάδα 100% Αίγιο 80% Αίγιο 100% Η μεγαλύτερη μετακίνηση λόγω στροφής είναι 23mm. Παρακάτω παρουσιάζονται συγκριτικά διαγράμματα για όλες τις σεισμικές διεγέρσεις για τις μετακινήσεις κορυφής παράλληλα και εγκάρσια στη διεύθυνση του σεισμού.

75 70 Καλαμάτα 80% Σχήμα 4.13 Μετακίνηση κορυφής με και χωρίς προένταση παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού Αίγιο 100% Οι μετακινήσεις έχουν παρόμοιες τιμές και για τις τρεις περιπτώσεις με και άνευ προέντασης. Η μεγαλύτερη μετακίνηση είναι 100mm (ΕΑ/mg=50) και 84mm (EA/mg=0) παράλληλα και εγκάρσια της διεύθυνσης του σεισμού αντίστοιχα.

76 71 Καλαμάτα 100% Σχήμα 4.14 Μετακίνηση κορυφής με και χωρίς προένταση παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού Καλαμάτα 100% Οι μετακινήσεις είναι παρόμοιες και για τις τρεις περιπτώσεις με και άνευ προέντασης. Η μεγαλύτερη μετακίνηση είναι 114mm (ΕΑ/mg=50) και 117mm (EA/mg=0) παράλληλα και εγκάρσια της διεύθυνσης του σεισμού αντίστοιχα.

77 72 Λευκάδα 80% Σχήμα 4.15 Μετακίνηση κορυφής με και χωρίς προένταση παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού Λευκάδα 80% Η μέγιστη μετακίνηση και στις δύο διευθύνσεις προκύπτει για την περίπτωση της θετικής δυσκαμψίας (ΕΑ/mg=150). Η μεγαλύτερη μετακίνηση είναι 100mm και 50mm παράλληλα και εγκάρσια της διεύθυνσης του σεισμού αντίστοιχα.

78 73 Λευκάδα 100% Σχήμα 4.16 Μετακίνηση κορυφής με και χωρίς προένταση παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού Λευκάδα 100% Η μεγαλύτερη μετακίνηση είναι 100mm (ΕΑ/mg=150) και 59mm (EA/mg=50) παράλληλα και εγκάρσια της διεύθυνσης του σεισμού αντίστοιχα.

79 74 Αίγιο 80% Σχήμα 4.10 Μετακίνηση κορυφής με και χωρίς προένταση παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού Αίγιο 80% Μεγαλύτερες μετακινήσεις εμφανίζονται στην περίπτωση της αρνητικής δυσκαμψίας με τένοντα προέντασης (ΕΑ/mg=50). Η μεγαλύτερη μετακίνηση είναι 134mm και 108mm παράλληλα και εγκάρσια της διεύθυνσης του σεισμού αντίστοιχα.

80 75 Στο σχήμα 4.11 παρουσιάζονται συγκριτικά διαγράμματα για τις μετακινήσεις του βάθρου λόγω ολίσθησης και στροφής με και χωρίς προένταση. Σε αυτό τον σεισμό παρατηρήθηκαν οι μεγαλύτερες ολισθήσεις. Σχήμα 4.11 Μετακίνηση λόγω ολίσθηση με και χωρίς προένταση παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού και μετακίνηση λόγω στροφής (c) Αίγιο 80% Η ολίσθηση στην εντός επιπέδου διεύθυνση είναι μεγαλύτερη για την περίπτωση αρνητικής δυσκαμψίας ΕΑ/mg=50, ενώ για την εκτός επιπέδου διεύθυνση η μεγαλύτερη ολίσθηση παρατηρείται για την περίπτωση θετικής δυσκαμψίας, όπου σημειώνεται και η μεγαλύτερη στροφή.

81 76 Αίγιο 100% Σχήμα 4.12 Μετακίνηση κορυφής με και χωρίς προένταση παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού Αίγιο 100% Η μέγιστη μετακίνηση κατά τη διεύθυνση του σεισμού είναι μεγαλύτερη στην περίπτωση χωρίς προένταση. Η μεγαλύτερη μετακίνηση είναι 150mm (ΕΑ/mg=0) και 100mm (ΕΑ/mg=150) παράλληλα και εγκάρσια της διεύθυνσης του σεισμού αντίστοιχα.

82 77 5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Στην παρούσα διατριβή αρχικά εξετάστηκε πειραματικά η επιρροή του υλικού της επιφάνειας έδρασης στην απόκριση λικνιζόμενου βάθρου γέφυρας. Τα υλικά που εξετάστηκαν ήταν το σκυρόδεμα και ο χάλυβας. Υπολογίστηκε ο συντελεστής επαναφοράς, το πλάτος και η περίοδος της ταλάντωσης πειραματικά και θεωρητικά. Μεγαλύτερη ενέργεια παραμόρφωσης είχε η μεταλλική επιφάνεια. Καθώς μειώνεται η αρχική γωνία θ 0, μειώνεται η ενέργεια παραμόρφωσης και αυξάνεται η συχνότητα της ταλάντωσης. Σύμφωνα με τον Housner, ο συντελεστής επαναφοράς του λικνιζόμενου βάθρου είναι Από τα πειραματικά αποτελέσματα υπολογίστηκε 0.80 για έδραση σε μεταλλική επιφάνεια και 0.70 για έδραση σε επιφάνεια σκυροδέματος. Το μοντέλο του Housner, επομένως, υπερεκτιμά την τιμή του συντελεστή επαναφοράς κατά 16% για την περίπτωση έδρασης σε μεταλλική βάση. Στις δοκιμές με την βάση από σκυρόδεμα ο συντελεστής επαναφοράς είχε μικρότερη τιμή, άρα έχανε περισσότερη ενέργεια σε κάθε κρούση. Οι δοκιμές που ακολούθησαν στη σεισμική τράπεζα έγιναν με τη μεταλλική βάση. Διερευνήθηκε πειραματικά η απόκριση λικνιζόμενου βάθρου και λικνιζόμενου πλαισίου με και χωρίς προένταση. Έγιναν δοκιμές με προένταση για θετική και αρνητική δυσκαμψία του συστήματος. Γενικά με την παρουσία του καταστρώματος της γέφυρας μειώθηκαν οι μετακινήσεις του βάθρου και το σύστημα έγινε πιο ευσταθές, όπως ήταν αναμενόμενο. Για το μεμονωμένο βάθρο η μεγαλύτερη μετακίνηση κατά τη διεύθυνση του σεισμού είναι 186mm (ΕΑ/mg=25, Αίγιο 100%) και κατά την εγκάρσια 140mm (ΕΑ/mg=25, Αίγιο 100%). Στην εντός επιπέδου διεύθυνση, η ολίσθηση είναι μεγαλύτερη όταν δεν χρησιμοποιείται προένταση. Η μεγαλύτερη ολίσθηση σε αυτή τη διεύθυνση είναι 27mm που παρατηρείται στο σεισμό της Λευκάδας 100% και του Αιγίου 100% χωρίς προένταση. Στους σεισμούς της Καλαμάτας και της Λευκάδας 80% μειώνονται οι μέγιστες μετακινήσεις κορυφής κατά τη διεύθυνση του σεισμού με την προσθήκη των καλωδίων προέντασης. Αντίθετα, στους σεισμούς της Λευκάδας 100% και του Αιγίου αυξάνονται οι αντίστοιχες μετακινήσεις με την προσθήκη των τενόντων. Στην εγκάρσια διεύθυνση, η ολίσθηση είναι μεγαλύτερη στην περίπτωση της θετικής δυσκαμψίας και μικρότερη στην περίπτωση χωρίς προένταση. Η μεγαλύτερη ολίσθηση είναι 24mm στο σεισμό του Αιγίου

83 78 100%. Σε αυτή τη διεύθυνση, οι μέγιστες μετακινήσεις είναι μεγαλύτερες στην περίπτωση αρνητικής δυσκαμψίας (ΕΑ/mg=25) απ ότι στην περίπτωση θετικής (ΕΑ/mg=100). Για το πλαίσιο η μεγαλύτερη μετακίνηση κορυφής και στις δύο διευθύνσεις παρατηρείται στο σεισμό του Αιγίου. Η μεγαλύτερη μετακίνηση κατά τη διεύθυνση του σεισμού είναι 150mm (ΕΑ/mg=0, Αίγιο 100%) και κατά την εγκάρσια 117mm (ΕΑ/mg=0, Καλαμάτα 100%). Στους σεισμούς της Καλαμάτας και της Λευκάδας 80% αυξάνονται οι μέγιστες μετακινήσεις κορυφής κατά τη διεύθυνση του σεισμού με την προσθήκη των καλωδίων προέντασης. Αντίθετα, στους σεισμούς της Λευκάδας 100% και του Αιγίου μειώνονται οι αντίστοιχες μετακινήσεις μετά την προσθήκη των τενόντων. Κατά την εγκάρσια διεύθυνση κίνησης, οι μέγιστες μετακινήσεις είναι μεγαλύτερες στην περίπτωση αρνητικής δυσκαμψίας (ΕΑ/mg=50) απ ότι στην περίπτωση θετικής (ΕΑ/mg=150). Στην εντός επιπέδου διεύθυνση, η μεγαλύτερη ολίσθηση εμφανίζεται στο σεισμό του Αιγίου 80% με EA/mg=50 και είναι 16mm ενώ κατά την εγκάρσια διεύθυνση είναι 39mm και παρουσιάζεται στον σεισμό του Αιγίου 100% με EA/mg=50.

84 79 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 1. Apostolou, M., Gazetas, G., and Garini, E. (2007). Seismic response of slender rigid structures with foundation uplifting Soil Dyn. Earthquake Eng., 27(7), Cheng. C. T. (2007). Energy dissipation in rocking bridge piers under free vibration tests. Earthquake Eng Struct. Dyn.., 36(4), DeJong, M. J., and Dimitrakopoulos, E. G. (2014). Dynamically equivalent rocking structures. Earthquake Eng Struct. Dyn.., 43(10), ElGawady, A., M., Quincy Ma, Butterworth, W., J., and Ingham, J., (2011). Effects on interface material on the performance of free rocking blocks Earthquake Eng Struct. Dyn.., 40, Hsiao-Hui Hung, Kuang-Yen Liu, Tzu-Hui Ho and Kuo-Chun Chang (2010). An experimental study on the rocking response of bridge piers with sread footing foundations Earthquake Eng Struct. Dyn.., 40, Mahim, S., Sakai, J., and Jeong, H., (2006). Use of partially prestressed reinforced concrete columns to reduce post earthquake residual displacements of bridges 5th National Seismic Conf. on Bridges & highways, San Francisco 7. Makris, N., (2014). The role of the rotational inertia on the seismic resistance of free standing rocking columns and articulated frames Bull. Seismol. Soc. Am. 104(5), Makris, N., and Konstantinidis, D., (2003). The rocking spectrum and the limitations of practical design methologies, Earthquake Eng Struct. Dyn..,. 32, Makris, N., and Roussos, Y.S., (2000). Rocking response of rigid blocks under nearsource ground motions, Geotechnique..,. 50(3), Makris, N., and Vassiliou, M.F., (2012). Planar rocking response and stability analysis of an array of free-standing columns capped with a freely supported rigid beam, Earthquake Eng Struct. Dyn.., 42(3),

85 Makris, N., and Vassiliou, M.F., (2014). Dymanics of the rocking frame with vertical restrainers, American Society of Civil Engineering.., /(ASCE)ST X Mander, J., B., and Cheng, C. T. (1997). Seismic resistance of bridge piers based on damage avoidance design Technical Rep. NCEER, 97, National Center for Earthquake Engineering Research, State Univ. of New York at Buffalo 13. Palermo, A., Pampanin, S., and Calvin, G. M., (2005). Concept and development of hybrid solutions for seismic resistance bridge systems J. Earthquake Eng, 9(6), Paolucci R, Shirato M, Yilmaz MT (2008). Seismic behavior of shallow foundations. Shake table experiments vs numerical modeling, Earthquake Eng Struct. Dyn.., 37, Pristley MJN, Tao JR (1993). Seismic response of precast prestressed concrete frames with partially debonded tendons J. Earthquake Eng, Roh H, Reinhorn A (2010). Non linear static analysis of structures with rocking columns J. Struct. Engineering., 136(5), Vassiliou, M., F., (2010). Analytical investigation of the dynamic response of a pair of columns capped with a rigid beam and of the effect of seismic isolation on rocking structures Ph.D. dissertation, Dept of civil Engineering, Univ. of Patras, Greece 18. Vassiliou, M., F., Makris, N. (2011). Estimating time scales and length scales in pulselike earthquake acceleration records with wavelet analysis Bull. Seismol. Soc. Am.., 101(2), Vassiliou, M., F., Makris, N. (2011). Analysis of the rocking response of rigid blocks standing free on a seismically isolated base Earthquake Eng Struct. Dyn.., 41(2),

86 81 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Α.1 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΥ ΒΑΘΡΟΥ ΧΩΡΙΣ ΠΡΟΕΝΤΑΣΗ ΕΑ/mg=0, Αίγιο 80% Σχήμα 5.1 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα (a), εγκάρσια (b) και κατακόρυφα (c) στη διεύθυνση του σεισμού, μετακίνηση λόγω ολίσθησης (d) και στροφής (e), επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση του σεισμού (f) κατά την εγκάρσια (g) και κατά την κατακόρυφη (h) για Αίγιο 80%

87 82 ΕΑ/mg=0, Αίγιο 100% Σχήμα 5.2 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα (a), εγκάρσια (b) και κατακόρυφα (c) στη διεύθυνση του σεισμού, μετακίνηση λόγω ολίσθησης (d) και στροφής (e), επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση του σεισμού (f) κατά την εγκάρσια (g) και κατά την κατακόρυφη (h) για Αίγιο 100%

88 83 ΕΑ/mg=0, Καλαμάτα 80% Σχήμα 5.3 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα (a), εγκάρσια (b) και κατακόρυφα (c) στη διεύθυνση του σεισμού, μετακίνηση λόγω ολίσθησης (d) και στροφής (e), επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση του σεισμού (f) κατά την εγκάρσια (g) και κατά την κατακόρυφη (h) για Καλαμάτα 80%

89 84 ΕΑ/mg=0, Καλαμάτα 100% Σχήμα 5.4 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα (a), εγκάρσια (b) και κατακόρυφα (c) στη διεύθυνση του σεισμού, μετακίνηση λόγω ολίσθησης (d) και στροφής (e), επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση του σεισμού (f) κατά την εγκάρσια (g) και κατά την κατακόρυφη (h) για Καλαμάτα 100%

90 85 ΕΑ/mg=0, Λευκάδα 80% Σχήμα 5.5 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα (a), εγκάρσια (b) και κατακόρυφα (c) στη διεύθυνση του σεισμού, μετακίνηση λόγω ολίσθησης (d) και στροφής (e), επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση του σεισμού (f) κατά την εγκάρσια (g) και κατά την κατακόρυφη (h) για Λευκάδα 80%

91 86 ΕΑ/mg=0, Λευκάδα 100% Σχήμα 5.6 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα (a), εγκάρσια (b) και κατακόρυφα (c) στη διεύθυνση του σεισμού, μετακίνηση λόγω ολίσθησης (d) και στροφής (e), επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση του σεισμού (f) κατά την εγκάρσια (g) και κατά την κατακόρυφη (h) για Λευκάδα 100%

92 87 ΕΑ/mg=0, Parkfield 40% Σχήμα 5.7 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα (a), εγκάρσια (b) και κατακόρυφα (c) στη διεύθυνση του σεισμού, μετακίνηση λόγω ολίσθησης (d) και στροφής (e), επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση του σεισμού (f) κατά την εγκάρσια (g) και κατά την κατακόρυφη (h) για Parkfield 40%

93 88 ΕΑ/mg=0, Parkfield 60% Σχήμα 5.8 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα (a), εγκάρσια (b) και κατακόρυφα (c) στη διεύθυνση του σεισμού, μετακίνηση λόγω ολίσθησης (d) και στροφής (e), επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση του σεισμού (f) κατά την εγκάρσια (g) και κατά την κατακόρυφη (h) για Parkfield 60%

94 89 ΕΑ/mg=0, Parkfield 80% Σχήμα 5.9 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα (a), εγκάρσια (b) και κατακόρυφα (c) στη διεύθυνση του σεισμού, μετακίνηση λόγω ολίσθησης (d) και στροφής (e), επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση του σεισμού (f) κατά την εγκάρσια (g) και κατά την κατακόρυφη (h) για Parkfield 80%

95 90 ΕΑ/mg=0, Parkfield 100% Σχήμα 5.10 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα (a), εγκάρσια (b) και κατακόρυφα (c) στη διεύθυνση του σεισμού, επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση του σεισμού (d) κατά την εγκάρσια (e) και κατά την κατακόρυφη (f) για Parkfield 100%

96 91 ΕΑ/mg=0, San Fernando 20% Σχήμα 5.11 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα (a), εγκάρσια (b) και κατακόρυφα (c) στη διεύθυνση του σεισμού, επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση του σεισμού (d) κατά την εγκάρσια (e) και κατά την κατακόρυφη (f) για San Fernando 20%

97 92 ΕΑ/mg=0, Northridge 20% Σχήμα 5.12 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα (a), εγκάρσια (b) και κατακόρυφα (c) στη διεύθυνση του σεισμού, μετακίνηση λόγω ολίσθησης (d) και στροφής (e), επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση του σεισμού (f) κατά την εγκάρσια (g) και κατά την κατακόρυφη (h) για Northridge 20%

98 93 ΕΑ/mg=0,Gilroy 20% Σχήμα 5.13 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα (a), εγκάρσια (b) και κατακόρυφα (c) στη διεύθυνση του σεισμού, μετακίνηση λόγω ολίσθησης (d) και στροφής (e), επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση του σεισμού (f) κατά την εγκάρσια (g) και κατά την κατακόρυφη (h) για Gilroy 20%

99 94 Α.2 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΜΕΜΟΝΩΜΕΝΟΥ ΒΑΘΡΟΥ ΓΙΑ EA/mg=25 ΕΑ/mg=25, Αίγιο 80% Σχήμα 5.14 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού, μετακίνηση λόγω ολίσθησης (c) και στροφής (d), επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση του σεισμού (e) κατά την εγκάρσια (f) και κατά την κατακόρυφη (g),δύναμη τένοντα (h) για Αίγιο 80%

100 95 ΕΑ/mg=25, Αίγιο 100% Σχήμα 5.15 Μετακίνηση κορυφής παράλληλα (a) και εγκάρσια (b) στη διεύθυνση του σεισμού, μετακίνηση λόγω ολίσθησης (c) και στροφής (d), επιτάχυνση κατά τη διεύθυνση του σεισμού (e) κατά την εγκάρσια (f) και κατά την κατακόρυφη (g),δύναμη τένοντα (h) για Αίγιο 100%