ΓΛ/Μ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ. Τεύχος 3ο: Φυσική Κατεύθυνσης: Κύματα

Transcript

1 ΓΛ/Μ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΟΡΟΣΗΜΟ Τεύχος 3ο: Φυσική Κατεύθυνσης: Κύματα

2 144 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα ΕΚΔΟΤΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΙ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Φυσική Κατεύθυνσης για την Γ' Τάξη του Λυκείου 1. Ταλαντώσεις (συνέχεια) σελ Κύματα σελ Επαλληλία κυμάτων - συμβολή κυμάτων σελ Στάσιμα κύματα σελ Ηλεκτρομαγνητικά κύματα σελ Ανάκλαση και διάθλαση του φωτός σελ Κύματα (συνέχεια). Μηχανική στερεού σώματος ΣΤΟ ΕΠΟΜΕΝΟ ΤΕΥΧΟΣ

3 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα δ. γ 3. β 4. α 5. γ 6. δ 7. α 8. α - Λ β - Λ γ - Λ δ - Λ 9. α - Λ β - Σ γ - Σ δ - Λ 30. α - Λ β - Σ γ - Λ 31. β 3. γ 33. β 34. δ Απαντήσεις ερωτήσεων:

4 146 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 35. α - Λ, β - Λ, γ - Λ, δ - Λ 36. α - Λ, β - Λ, γ - Λ 37. α - Λ, β - Λ, γ - Σ, δ - Λ 38. α - Σ, β - Σ, γ - Λ, δ - Λ 39. γ 40. γ 41. δ 4. β 43. α

5 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 147 Κύματα Κύματα Τι ονομάζουμε μηχανικό κύμα; Μηχανικό κύμα θα λέμε κάθε διαταραχή μέσα σ ένα ελαστικό μέσο, η οποία μεταφέρει ενέργεια και ορμή με καθορισμένη ταχύτητα. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι σταθερή και υπολογίζεται από τη σχέση (όπου x είναι η απόσταση x t του κύματος από την πηγή) Παρατηρήσεις: Φαινόμενα όπως η ανάκλαση, η διάθλαση και η συμβολή παρατηρούνται και στα μηχανικά και στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος δεν εξαρτάται από το πόσο ισχυρή είναι η διαταραχή αλλά μόνο από τις ιδιότητες του μέσου που διαταράσσεται. Η ταχύτητα του κύματος είναι σταθερή σε αντίθεση με την ταχύτητα με την οποία κινούνται τα σημεία του μέσου γύρω από τη θέση ισορροπίας τους, που δεν είναι σταθερή. Κατά τη διάδοση ενός κύματος δεν έχουμε μεταφορά ύλης από μια περιοχή του ελαστικού μέσου σε μια άλλη. Ελαστικό μέσο θεωρείται η περιοχή ενός χώρου με ιδιότητες, όπως η ισοτροπικότητα (δηλαδή εμφανίζει κοινές ιδιότητες σε κάθε σημείο)και η συνέχεια (δηλαδή αποτελείται από συνεχές σύνολο υλικών σημείων που αλληλεπιδρούν με ελαστικές δυνάμεις). Η ενέργεια στα κύματα είναι η κινητική και η δυναμική ενέργεια της ύλης. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται και στο κενό με ταχύτητα c = m /s σε αντίθεση με τα μηχανικά.

6 148 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Στην περίπτωση που η πηγή εκτελεί γραμική αρμονική ταλάντωση (γ.α.τ.) τότε το κύμα λέγεται αρμονικό. Η συχνότητα του κύματος και η συχνότητα της ταλάντωσης των μορίων ταυτίζονται. Τυχαία διαταραχή μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από το άθροισμα ενός αριθμού αρμονικών κυμάτων. Κατηγορίες κυμάτων Ανάλογα με το είδος της ενέργειας που μεταφέρουν τα κύματα τα διακρίνουμε σε δύο κατηγορίες. Α. Μηχανικά κύματα τα οποία διαδίδονται σε υλικά μέσα και μεταφέρουν μηχανική ενέργεια από σημείο σε σημείο του μέσου. Τα μηχανικά κύματα διακρίνονται σε : α. Γραμμικά (διάδοση σε μια διάσταση π.χ. νήμα) β. Επιφανειακά (διάδοση σε δύο διαστάσεις π.χ. επιφάνεια υγρού) γ. Κύματα χώρου (διάδοση σε όλες τις διευθύνσεις π.χ. ήχος-φως) Β. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα που μεταφέρουν ενέργεια ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου. Είδη κυμάτων ανάλογα με το πώς διαδίδονται Α. Εγκάρσια λέγονται τα κύματα στα οποία τα υλικά σωματίδια (μόρια) του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται σε διεύθυνση κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Διαδίδονται μόνο στα στερεά και κατά προσέγγιση στην επιφάνεια των υ- γρών και δημιουργούν όρη και κοιλάδες. Β. Διαμήκη λέγονται τα κύματα στα οποία τα υλικά σωματίδια (μόρια) του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται σε διεύθυνση παράλληλη στην διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Διαδίδονται στα στερεά, στα υγρά και στα αέρια και δημιουργούν πυκνώματα και αραιώματα.

7 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 149 Παρατήρηση: Επειδή τα εγκάρσια δημιουργούν όρη και κοιλάδες, δηλαδή παραμορφώνουν το ελαστικό μέσο στο οποίο διαδίδονται, χωρίς να αλλάξουν τον όγκο αλλά μόνο το σχήμα και αυτή την ελαστικότητα την παρουσιάζουν μόνο τα στερεά (και κατά προσέγγιση η επιφάνεια υγρών) διαδίδονται μόνο σε αυτά. Επειδή τα διαμήκη κύματα δημιουργούν πυκνώματα και αραιώματα, δηλαδή τοπικές μεταβολές της πυκνότητας του μέσου (κάτι που μπορεί να συμβεί και στα στερεά και στα υγρά και στα αέρια) επομένως διαδίδονται και στις τρεις καταστάσεις της ύλης. Τι ονομάζουμε συχνότητα, περίοδο και τι μήκος κύματος ενός κύματος; Συχνότητα κύματος f είναι η συχνότητα ταλάντωσης της πηγής και η οποία είναι ανεξάρτητη από το μέσο διάδοσης. Περίοδο Τ ενός κύματος ονομάζουμε το χρονικό διάστημα μέσα στο οποίο ένα σωματίδιο του μέσου ολοκληρώνει την κίνησή του, που είναι αρμονική ταλάντωση. Μήκος κύματος λ λέγεται η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο μιας περιόδου ή ισοδύναμα, η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών σημείων του μέσου που απέχουν το ίδιο από τη θέση ισορροπίας τους και κινούνται κατά την ίδια φορά. Παρατηρήσεις: H συχνότητα κύματος δεν αλλάζει καθώς το κύμα αλλάζει μέσο. Η ταχύτητα και το μήκος κύματος για ένα κύμα εξαρτώνται από το μέσο στο οποίο διαδίδονται.

8 150 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Ποιά είναι η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής ; x Ξεκινώντας από την εξίσωση ταχύτητας διάδοσης κύματος, αν θεωρήσουμε χρόνο t ίσο με το χρόνο μιας περιόδου Τ, τότε η απόσταση x που διαδίδεται το t κύμα είναι ίση με το μήκος κύματος λ f 1 f ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΜΑΤΙΚΗΣ Να αποδειχθεί η εξίσωση του αρμονικού κύματος. Πρέπει να γνωρίζουμε ότι για να δημιουργηθεί αρμονικό κύμα θα πρέπει η πηγή να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Θεωρούμε ότι έχουμε πηγή στην αρχή του άξονα x x.τη χρονική στιγμή t ο = 0 η πηγή αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y = Α. ημωt, όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης της πηγής και ωt η φάση. Ένα σημείο Μ που βρίσκεται δεξιά του σημείου Ο και απέχει από την πηγή απόσταση x θα x αρχίσει να εκτελεί ταλάντωση μετά από χρόνο t 1 (όπου υ η ταχύτητα του κύματος ) και t 1 ο χρόνος που χρειάζεται να έλθει το κύμα από την πηγή στο σημείο Μ. Άρα σε τυχαία χρονική στιγμή t η απομάκρυνση του Μ από τη θέση ισορροπίας του θα είναι ίδια με την απομάκρυνση του Ο πριν το χρόνο t 1 δηλαδή t - t 1. Έτσι η απομάκρυνση του Μ θα δίνεται για χρονική στιγμή t από την εξίσωση: y = Α. ημω( t - t 1 ) όπου Α, είναι το πλάτος της ταλάντωσης των μορίων του μέσου που είναι ίσο με το πλάτος ταλάντωσης της πηγής και όπου y είναι η απομάκρυνση των μορίων (υλικών σωματιδίων) του ελαστικού μέσου από τη θέση ισορροπίας που με τη βοήθεια των σχέσεων:

9 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 151 γράφεται: x t1 f T x t x t x y A t y T T t είναι η χρονική στιγμή που μελετάμε. x είναι η απόσταση του υλικού σωματιδίου από την αρχή των αξόνων. Παρατηρήσεις t x Η εξίσωση: y ισχύει όταν το κύμα διαδίδεται από αριστερά T προς τα δεξιά. Αν το κύμα κινείται αντίρροπα του άξονα x (από δεξιά προς τα αριστερά) τότε t x η εξίσωση παίρνει τη μορφή : y T Στην εξίσωση του αρμονικού κύματος η απομάκρυνση y είναι αρμονική συνάρτηση τόσο του χρόνου t, όσο και της απόστασης x από την πηγή, δηλαδή είναι συνάρτηση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών κάτι που κάνει αδύνατον το να παρασταθεί η εξίσωση του αρμονικού κύματος στο επίπεδο. t x Ο παράγοντας φ π (έχει διαστάσεις γωνίας) λέγεται φάση και ε- T λ ξαρτάται από τη μεταβλητή t (αυξάνεται με τον χρόνο) και από την απόσταση x του σημείου από το Ο (ελαττώνεται όσο αυξάνεται το x). Εάν η πηγή που παράγει το αρμονικό κύμα έχει αρχική φάση τότε η εξίσωση t x φ0 του αρμονικού κύματος θα έχει τη μορφή y Α ημπ T λ π

10 15 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Τι ονομάζουμε στιγμιότυπο κύματος; Να αποδώσετε γραφικά το στιγμιότυπο αρμονικού κύματος y = f ( x ) για t = σταθ. Αν στην εξίσωση του αρμονικού κύματος παγώσουμε το χρόνο, δηλαδή για δεδομένη χρονική στιγμή, η εξίσωση του αρμονικού κύματος γίνεται: x y., αφού t T = σταθερό. Το διάγραμμα της προηγούμενης εξίσωσης ονομάζεται στιγμιότυπο του κύματος και φαίνεται παρακάτω: Σχέση φάσης με την απομάκρυνση x απο την αρχή των αξόνων. πt1 π Η φάση γίνεται για t = t 1, φ x T λ

11 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 153 Π.χ. Στιγμιότυπο αρμονικού κύματος κατά τις χρονικές στιγμές 3,,,. 4 4

12 154 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Ταλάντωση ενός σημείου του μέσου. Διάγραμμα y = f ( t ) για x = σταθ. Στην περίπτωση που μελετάμε ορισμένο σημείο ( x = σταθερό ) του μέσου, για διάφορες χρονικές στιγμές, η εξίσωση του αρμονικού κύματος παίρνει τη μορφή : t y. T, αφού x. Η παραπάνω γραφική παράσταση είναι η γνωστή μας γραφική παράσταση για την απλή αρμονική ταλάντωση. Σχέση της φάσης με το χρόνο για δεδομένο σημείο πt πx 0 π φ, με εφθ ω. Τ λ Τ (x 0 = σταθ.) Διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων του μέσου που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d για συγκεκριμένη χρονική στιγμή t. Αν το σημείο Μ απέχει από την πηγή απόσταση x 1, ενώ την ίδια χρονική στιγμή το σημείο Ν απέχει από την πηγή απόσταση x, τότε οι φάσεις των σημείων Μ και Ν είναι αντίστοιχα: t x πt πx t x πt πx φ π, φ π T λ T λ T λ T λ Άρα η διαφορά φάσης τους θα είναι : πt πx πt πx π x x πd πd T λ T λ λ λ λ 1 1 Δφ φ1 φ Δφ

13 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 155 Διαφορά φάσης για σημείο Μ του ελαστικού μέσου για δύο χρονικές στιγμές t 1 και t. Έστω σημείο Μ που απέχει από την πηγή απόσταση x. t1 x πt1 πx Τότε φ1 π T λ T λ t x πt πx είναι η φάση του τη χρονική στιγμή t 1 και φ π T λ T λ είναι η φάση του τη χρονική στιγμή t,άρα η διαφορά φάσης των δύο χρονικών στιγμών είναι: πt πx πt πx π t t π T λ T λ Τ Τ 1 1 Δφ φ φ1 Δφ Δt Ταχύτητα και επιτάχυνση ταλάντωσης ενός σημείου του ελαστικού μέσου. Αν μέσα σ ελαστικό μέσο διαδίδεται αρμονικό κύμα της μορφής t x y A T τότε η ταχύτητα και η επιτάχυνση της ταλάντωσης θα δίνονται από τις εξισώσεις: t x A max T t x max T Μια χρήσιμη σχέση που συνδέει ταχύτητα και απομάκρυνση είναι y. Αν έχουμε αρχική φάση φ 0 στην απομάκρυνση, αυτή θα εμφανίζεται και στις εξισώσεις της ταχύτητας και της επιτάχυνσης: t x 0 t x 0, T T

14 156 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Επαλληλία ή υπέρθεση κυμάτων - Συμβολή κυμάτων Όταν σ ένα ελαστικό μέσο διαδίδονται δύο ή περισσότερα κύματα η απομάκρυνση ενός σημείου του ελαστικού μέσου είναι ίση με τη συνιστάμενη των απομακρύνσεων που οφείλεται στα διαδιδόμενα κύματα. Συμβολή ονομάζεται το αποτέλεσμα της ταυτόχρονης διάδοσης (επαλληλίας ή υπέρθεσης) δύο ή περισσοτέρων κυμάτων στην ίδια περιοχή, του μέσου. Παρατηρήσεις: Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας τα κύματα διέρχονται το ένα από το άλλο χωρίς να μεταβληθούν καθόλου. Το κάθε κύμα δεν αντιλαμβάνεται την ύπαρξη του άλλου και το κάθε κύμα διαδίδεται σα να μην υπήρχε το άλλο. H αρχή της επαλληλίας παραβιάζεται μόνο όταν τα κύματα έχουν μεγάλο πλάτος ή πολύ μεγάλη ένταση. (Στην περίπτωση αυτή τα κύματα μεταβάλλουν τις ιδιότητες του μέσου διάδοσης) Η συνιστάμενη των απομακρύνσεων θα ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων, αν οι ταλαντώσεις των σημείων του μέσου γίνονται στην ίδια διεύθυνση, διαφορετικά θα είναι το διανυσματικό άθροισμα. Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας μπορούμε να αναλύσουμε ένα σύνθετο κύμα στα επι μέρους κύματα από τα οποία συντίθεται αυτό. Η αρχή της επαλληλίας καθορίζει τη σύνθεση των κυμάτων.

15 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 157 Σύγχρονες και σύμφωνες πηγές κυμάτων Σύγχρονες λέγονται δύο πηγές κυμάτων που έχουν την ίδια φάση σε όλη τη διάρκεια εκπομπής τους. Οι σύγχρονες πηγές δημιουργούν ταυτόχρονα μέγιστα και ελάχιστα. Σύμφωνες λέγονται δύο πηγές κυμάτων που έχουν σταθερή διαφορά φάσης σε όλη τη διάρκεια εκπομπής τους. Μαθηματική απόδειξη συνθηκών για ενίσχυση ή απόσβεση εξαιτίας της συμβολής δύο κυμάτων. Έστω ένα σημείο Ο που απέχει από τις πηγές Α,Β αποστάσεις r 1 και r αντίστοιχα. Αν y 1 η απομάκρυνση του Ο τη χρονική στιγμή t λόγω της πηγής Α και y η απομάκρυνση του Ο στον ίδιο χρόνο t λόγω της πηγής Β θα έχουμε : t r1 t r y1 A ημπ( ) y A ημπ( ) T λ T λ H απομάκρυνση του Ο σε τυχαία χρονική στιγμή με βάση την αρχή της επαλληλίας και εφόσον οι ταλαντώσεις γίνονται στην ίδια διεύθυνση θα είναι t r1 t r y y1 y y A ( ) A ( ) T T t r1 t r y A ( ) ( ) T T Η σχέση αυτή με τη βοήθεια της τριγωνομετρικής σχέσης: α β α β ημα+ημβ= ημ συν π(r γίνεται y=aσυν 1 r ) t r1 r ημπ( ) λ T λ Η σχέση αυτή μας δείχνει την κίνηση που θα εκτελεί το Ο. Παρατηρούμε ότι η κίνηση αυτή θα είναι ταλάντωση μεταβλητού πλάτους που δίνεται από τη σχέση π(r1 r ) t r1 r Α = A συν. Η φάση είναι φ= π( ) λ T λ

16 158 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα α. Το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο Α = Α όταν (r1 r ) 1 ή (r1 r ) N r1 r N, με Ν=0, 1,... ή (r1 r ) ή r 1 r N ή Συμπέρασμα: Όλα τα σημεία των οποίων οι αποστάσεις r 1 και r από τις δύο πηγές διαφέρουν κατά ακέραιο πολλαπλάσιο του μήκους κύματος λ, ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος και στην περίπτωση αυτή έχουμε ενίσχυση. β. Το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μηδέν όταν Α =0 ή (r1 r ) 0 ή (r1 r ) ( 1) ή r1 r ( 1) με Ν=0, 1,,... Συμπέρασμα: Όλα τα σημεία των οποίων οι αποστάσεις από τις δύο πηγές διαφέρουν κατά περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος, είναι διαρκώς ακίνητα και στην περίπτωση αυτή έχουμε απόσβεση.

17 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 159 Παρατηρήσεις: Όλα τα άλλα σημεία που δεν ικανοποιούν τις προηγούμενες σχέσεις ταλαντώνονται με ενδιάμεσα πλάτη 0<Α <Α Μέχρι το σημείο συμβολής των δύο κυμάτων θεωρούμε ότι δεν έχει μεταβληθεί το πλάτος των κυμάτων. Οι εξισώσεις που περιέχονται στην ενότητα αυτή ισχύουν μόνο με την προϋπόθεση ότι οι ταλαντώσεις των μορίων του μέσου γίνονται στην ίδια διεύθυνση. Τα κύματα που μελετήσαμε α) παράγονται στην επιφάνεια υγρού β) τα θεωρήσαμε κατά προσέγγιση εγκάρσια γ) τα μόρια τους ταλαντώνονται στην ίδια διεύθυνση (κατακόρυφα). Τα παραπάνω κύματα θεωρήσαμε ότι έχουν το ίδιο πλάτος κάτι που γενικά δεν ισχύει Η ταχύτητα και η επιτάχυνση της ταλάντωσης ενός σημείου υπολογίζονται από τις εξι- t r1 r σώσεις με : υ = ωα συνπ( ) και T λ t r1 r r α = ( ) 1 r όπου Α =Α. Επίσης ισχύει α = ω y. T Ο χρόνος t είναι πάντα μεγαλύτερος των χρόνων t 1 και t που χρειάζονται τα κύματα για να φτάσουν στο σημείο Ο που δημιουργείται η συμβολή. Σε σημείο που παρουσιάζεται ενισχυτική συμβολή μπορεί να παρουσιαστεί καταστροφική συμβολή εάν αλλάξουμε το μήκος κύματος των κυμάτων που συμβάλλουν, άρα τη συχνότητα f της ταλάντωσης των πηγών. Έστω οι πηγές Α και Β είναι σύγχρονες με εξίσωση ταλάντωσης y=αημ ωt. Τα κύματα που παράγονται έστω ότι συμβάλλουν στο σημείο Ο. Αν t 1 και t οι χρόνοι που χρειάζονται για να φτάσουν τα κύματα από τις πηγές Α, Β στο σημείο Ο αντίστοιχα τότε ισχύει : α. Αν 0 t t1 το Ο είναι ακίνητο y = 0 ( t 1 t ) β. Αν t1 t t το Ο κάνει ταλάντωση λόγω του κύματος από την πηγή t r1 Α : y1 Aημπ( ) T λ γ. Αν t t τότε έχουμε ταλάντωση λόγω και των δύο κυμάτων : r1 r t r1 r y Aσυνπ ημπ λ T λ

18 160 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Στάσιμα κύματα Όταν δύο αρμονικά κύματα τα οποία έχουν την ίδια συχνότητα το ίδιο πλάτος και το ίδιο μήκος κύματος διαδίδονται στο ίδιο μέσο με αντίθετες κατευθύνσεις και συμβάλλουν, τότε δημιουργούν στάσιμα κύματα. Στάσιμα κύματα μπορούν να δημιουργηθούν στις παρακάτω περιπτώσεις : α. Πάνω σε νήμα (ή χορδή) τεντωμένη με το ένα άκρο της ακλόνητα στερεωμένο ενώ στο άλλο άκρο είναι η πηγή. Το προσπίπτον κύμα συμβάλλει προφανώς με το ανακλώμενο. β. Στο χώρο μεταξύ δύο σύμφωνων πηγών και πάνω στην ευθεία που ενώνει τις πηγές Σαν αρχή των αξόνων θεωρούμε το μέσο της απόστασης των δύο πηγών και t = 0 όταν τα κύματα συναντώνται στο Κ με συμφωνία φάσης. γ. Σε τεντωμένο νήμα που τα άκρα του είναι ακλόνητα στερεωμένα, αν τεντώσω το μέσο του νήματος και το αφήσω ελεύθερο.

19 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 161 Εξίσωση στάσιμου κύματος Αν θέσουμε σε ταλάντωση την άκρη ενός νήματος του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο, θα δημιουργηθεί αρμονικό κύμα με εξίσωση : t x y 1 =A ( ) T Mετά την ανάκλαση του κύματος στον τοίχο δημιουργείται αρμονικό κύμα ίδιου πλάτους και ίδιας περιόδου που κινείται προς τα αριστερά με εξίσωση: t x y =Α ( ) T Μετά τη συμβολή των δυο κυμάτων η απομάκρυνση y ενός σημείου σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των απομακρύνσεων x t των δύο κυμάτων με: y = y 1 y ή y = A συν T κύματος) ( εξίσωση στάσιμου Η προηγούμενη εξίσωση δεν είναι τίποτα άλλο από μια απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος: Α =A x συνπ λ Παρατηρήσεις: Κάθε σημείο του μέσου στο στάσιμο κύμα εκτελεί γ.α.τ. αλλά δεν έχουν όλα τα σημεία το ίδιο πλάτος, αφού το πλάτος εξαρτάται από τη θέση του σημείου. Το στάσιμο κύμα δεν είναι κύμα αλλά μια ταλάντωση του ελαστικού μέσου.

20 16 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Κοιλίες και Δεσμοί στάσιμου κύματος Κοιλίες ονομάζονται τα σημεία του στάσιμου κύματος που ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος Α =A (έχουμε ενισχυτική συμβολή) Στα σημεία αυτά ισχύει: x Α =A Α συνπ Α λ ή συν x 1 κ = 0,1,,3. ή π x ή x = κ λ Δύο διαδοχικές κοιλίες απέχουν μεταξύ τους Δεσμοί ονομάζονται τα σημεία του στάσιμου κύματος που παραμένουν ακίνητα (καταστροφική συμβολή) Στα σημεία αυτά ισχύει : Α =0 Α x συνπ 0 λ ή π x με ή x = (κ + 1) 4, με κ=0,1,,3,. Δύο διαδοχικοί δεσμοί απέχουν μεταξύ τους. Παρατηρήσεις: Η προηγούμενη μαθηματική μελέτη ισχύει αν ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων x 0 έχουμε κοιλία (Α =A). Αν μελετήσουμε στάσιμο κύμα πάνω σε τεντωμένο νήμα όπου τα άκρα του είναι ακλόνητα στερεωμένα τότε θα πρέπει να τροποποιήσουμε την εξίσωση του στάσιμου κύματος ώστε για x=0 να δίνει δεσμό.

21 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 163 Η εξίσωση στάσιμου κύματος με δεσμό στη θέση x = 0 είναι y = -Aημ x t T t x και προκύπτει από τη συμβολή των κυμάτων y 1 Aημπ( ) T λ και t x y Aημ π( ) π. Tότε οι αποστάσεις των δεσμών και των κοιλιών από την αρχή 0 T λ του άξονα δίνονται από τις σχέσεις x = ( Δεσμοί ), x=(κ+1) ( Κοιλίες ) με κ = 0,1,... Τα σημεία μεταξύ διαδοχικών δεσμών κινούνται με την ίδια φορά φτάνουν ταυτόχρονα στις θέσεις ισορροπίας και μέγιστης απομάκρυνσης και κάθε χρονική στιγμή έχουν την ίδια φάση. Σημεία εκατέρωθεν ενός δεσμού που απέχουν απόσταση μικρότερη του κινούνται με αντίθετη φορά, φτάνουν συγχρόνως στις θέσεις ισορροπίας και μέγιστης απομάκρυνσης αλλά έχουν διαφορά φάσης π. Τα Κ,Λ έχουν διαφορά φάσης π Τα Κ,Ν έχουν διαφορά φάσης 0. Η μέγιστη ταχύτητα για κοιλία είναι υ max = ωα Στο στάσιμο κύμα η φάση δε μετατοπίζεται, αφού φ = t ανεξάρτητη του x. Στα στάσιμα κύματα δεν έχουμε μεταφορά ενέργειας λόγω των δεσμών που παραμένουν διαρκώς ακίνητοι, αλλά η ενέργεια εναλλάσσεται μεταξύ κινητικής και δυναμικής. Η ενέργεια ταλάντωσης κάθε σωματιδίου είναι σταθερή, αφού το πλάτος του διατηρείται σταθερό. Διαφορές τρέχοντος και στάσιμου κύματος: α. Στο τρέχον κύμα μεταφέρεται ενέργεια και ορμή, ενώ στο στάσιμο κύμα δε μεταφέρεται ούτε ορμή ούτε ενέργεια. β. Στο τρέχον κύμα όλα τα σημεία του έχουν το ίδιο πλάτος, ενώ στο στάσιμο κύμα τα σημεία του έχουν πλάτος μεταξύ των τιμών 0<Α <Α γ. Στο τρέχον κύμα όλα τα σημεία του ταλαντώνονται, ενώ στο στάσιμο κύμα υπάρχουν και ακίνητα σημεία. δ. Στο τρέχον κύμα δεν περνούν ταυτόχρονα όλα τα σημεία από τη Θ.Ι.Τ, ενώ στο στάσιμο κύμα όλα τα σημεία περνούν ταυτόχρονα από τη Θ.Ι.Τ. ε. Στο τρέχον κύμα έχουμε μετατόπιση φάσης, ενώ στο στάσιμο κύμα η φάση δε μετατοπίζεται.

22 164 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Ηλεκτρομαγνητικά κύματα Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα (ραδιοφωνικά, φωτεινά) είναι διάδοση ενέργειας με τη βοήθεια επαγόμενων ηλεκτρικών και μαγνητικών πεδίων, τα οποία δονούνται με ρυθμό δόνησης ίδιο με των παλλομένων φορτίων που τα δημιούργησαν. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα δε χρειάζονται μέσο για να διαδοθούν. Διαδίδονται ακόμα και στο κενό με ταχύτητα c = m/s. Λόγω του ότι η διεύθυνση διάδοσης των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων είναι κάθετη στη διεύθυνση ταλάντωσης των "μορίων" τα Η/Μ κύματα είναι εγκάρσια κύματα. Ο πιο απλός τρόπος να παράγουμε ένα Η/Μ κύμα είναι να "πάλλουμε" δεξιά αριστερά ένα φορτισμένο αντικείμενο. Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο βρίσκονται σε φάση. Ηλεκτρικό δίπολο είναι ένα ζεύγος ηλεκτρικών φορτίων με ίσα μέτρα και αντίθετα πρόσημα που βρίσκονται σε συγκεκριμένη απόσταση. Αν το η- λεκτρικό δίπολο τεθεί σε ταλάντωση παράγει ένα Η/Μ κύμα. Οι εξισώσεις που περιγράφουν ένα Η/Μ κύμα είναι Ε = E t x t x max ημπ( ) Eo ημπ( ) Τ λ Τ λ Β = t x max ( ) = t x ( ) o

23 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 165 Κάθε χρονική στιγμή ισχύει : εντάσεων των δύο πεδίων. E c όπου Ε, Β τα μέτρα των στιγμιαίων B Παρατηρήσεις: α. Τα Η/Μ κύματα μπορούν να δώσουν στάσιμα κύματα β. Αιτία δημιουργίας του Η/Μ κύματος είναι η επιταχυνόμενη κίνηση των ηλεκτρικών φορτίων. γ. Η ταχύτητα του φωτός c είναι ίση: E E c, όπου Ε B 0, Β 0 πλάτη εντάσεων και Ε, Β οι στιγμιαίες τιμές. δ. Στη διάδοση ενός κύματος ισχύει η σχέση c = λ. f. Όταν το Η/Μ κύμα περνάει από οπτικά αραιότερο σε πυκνότερο μέσο μειώνεται η ταχύτητα και το μήκος κύματος του αλλά η συχνότητα είναι σταθερή (αφού είναι χαρακτηριστικό γνώρισμα της πηγής). ε. Xρονικά αμετάβλητα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία δεν παράγουν Η/Μ κύματα. Ηλεκτρομαγνητικό φάσμα Ακτίνες Ακτίνες Υπεριώδη Ορατό Υπέρυθρη Μικροκύματα γ x 0,1nm 1nm 400nm 700nm 0,1 nm

24 166 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Ανάκλαση και διάθλαση του φωτός Όταν μια φωτεινή δέσμη πέσει πάνω σε διαχωριστική επιφάνεια δύο μέσων τότε ένα μέρος της δέσμης συνεχίζει να διαδίδεται στο ίδιο μέσο με τη γωνία πρόσπτωσης να είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται ανάκλαση. Το υπόλοιπο μέρος της δέσμης εισέρχεται στο δεύτερο μέσο αλλάζοντας την αρχική του διεύθυνση διάδοσης. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται διάθλαση. Νόμος ανάκλασης: φ = θ. Παρατηρήσεις: α. Η προσπίπτουσα ακτίνα, η ανακλώμενη και η κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Επίσης στο ίδιο επίπεδο βρίσκονται η προσπίπτουσα, η διαθλώμενη και η κάθετη στη διαθλαστική επιφάνεια. β. Αιτία της διάθλασης είναι η διαφορετική ταχύτητα του φωτός στα δύο μέσα. γ. Όταν οι φωτεινές ακτίνες εισέρχονται από οπτικά αραιότερο σε πυκνότερο ισχύει: φ = θ, φ > ω δ. Όταν οι φωτεινές ακτίνες εισέρχονται από οπτικά πυκνότερο σε αραιότερο, τότε φ = θ, φ < ω. 8 ε. Στην οπτική για τον αέρα και το κενό θεωρούμε c 3 10 m /s.

25 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 167 στ. Όταν μονοχρωματική ακτινοβολία αλλάζει μέσο αλλάζει η ταχύτητα και το μήκος κύματος της χωρίς να αλλάζει η συχνότητά της (το χρώμα της) ζ. Έαν η επιφάνεια είναι λεία έχουμε κατοπτρική ανάκλαση, εάν δεν είναι, τότε έχουμε διάχυση. Δείκτης διάθλασης - Νόμος του Snell Ονομάζουμε δείκτη διάθλασης ενός οπτικού υλικού ύ ό ό c n 1 ύ ό έ το n = 1 ισχύει για το κενό ή τον αέρα. Με τη βοήθεια της εξίσωσης f και του c n βρίσκουμε : 0 f 0 n n f Στην περίπτωση που η μονοχρωματική ακτινοβολία διαδίδεται σε δύο διαφορετικά υλικά με δείκτες διάθλασης n 1, n τότε : 1 n n n n 0 1

26 168 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Παρατηρήσεις: α. Όσο μεγαλύτερη τιμή έχει ο δείκτης διάθλασης τόσο οπτικά πυκνότερο είναι το υλικό μας. β. Από την τελευταία σχέση βρίσκουμε ότι αν n > n 1 τότε λ < λ 1 δηλαδή στο οπτικά πυκνότερο μέσο το μήκος κύματος έχει μικρότερη τιμή. 1 n γ. Από τη σχέση n n n. 1 1 Νόμος του Snell n n b a 1 και με την βοήθεια της υ = λf,βρίσκουμε: O νόμος του Snell ισχύει για τη διάθλαση κύματος. Αν n α < n b τότε ω < φ δηλαδή η διαθλώμενη ακτίνα πλησιάζει την κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης. Η πορεία μιας φωτεινής ακτίνας είναι αντιστρέψιμη. Ολική εσωτερική ανάκλαση Το φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης μπορεί να συμβεί μόνον όταν το φως διαδίδεται από ένα μέσο (n a ) σε ένα άλλο (n b ) το οποίο έχει μικρότερο δείκτη διάθλασης (n b < n a )

27 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 169 Κρίσιμη (ή οριακή) γωνία ονομάζεται η γωνία για την οποία η διαθλώμενη ακτίνα κινείται παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων. Η κρίσιμη γωνία υπολογίζεται από το νόμο του Snell ως εξής: n b cr n a n n b a, με n a > n b, ω = 90 0, θ = θ cr Παρατηρήσεις: Α. Η κρίσιμη γωνία είναι γενικά μικρή όταν το οπτικά πυκνό μέσο έχει μεγάλο δείκτη διάθλασης και το οπτικά αραιό είναι ο αέρας. 1 (ημθ cr = ) na Β. Να διακρίνουμε περιπτώσεις: α. Αν θ α > θ cr συμβαίνει ολική εσωτερική ανάκλαση β. Αν θ α = θ cr τότε η ακτίνα εξέρχεται παράλληλα στη διαχωριστική επιφάνεια γ. Αν θ α < θ cr, έχουμε διάθλαση Γ. Με κατάλληλο πρίσμα σε συνδυασμό με το φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης, μπορούμε να μεταβάλλουμε τη διεύθυνση διάδοσης μιας δέσμης φωτός από 90 0 έως και (Εφαρμογή αυτών έχουμε στην κατασκευή των περισκοπίων των υποβρυχίων.)

28 170 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Ερωτήσεις: 44. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις που αναφέρονται σ ένα αρμονικό κύμα είναι σωστές και ποιες λανθασμένες: α. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι ίση με τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του μέσου β. Όλα τα σημεία του μέσου στον ίδιο χρόνο έχουν την ίδια φάση γ. Για ένα συγκεκριμένο σημείο του μέσου η φάση αυξάνεται σε συνάρτηση με το χρόνο δ. Ένα σημείο του μέσου για δύο χρονικές στιγμές έχει διαφορά φάσης π Δφ Δt Τ 45. Αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου. Η συχνότητα ταλάντωσης των μορίων του μέσου α. Εξαρτάται από το είδος του κύματος (εγκάρσιο ή διάμηκες) β. Είναι ίση με τη συχνότητα της πηγής γ. Εξαρτάται από τη μάζα των μορίων του μέσου δ. Εξαρτάται από το ελαστικό μέσο. 46. Η εξίσωση αρμονικού κύματος είναι y=0,3ημπ(t-x) (S.I.) α. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι m/s β. Το μήκος κύματος είναι 1m γ. Η συχνότητα είναι 1Ηz δ. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του μέσου είναι 0,6π m/s. 47. Δίνεται το στιγμιότυπο ενός αρμονικού κύματος: α. Μεγαλύτερη ταχύτητα από όλα τα σημεία έχει το Γ β. Μεγαλύτερη επιτάχυνση έχουν τα Β,Ε γ. Τα σημεία Α,Δ έχουν διαφορά φάσης π δ. Τα σημεία Β,Ε έχουν διαφορά φάσης π.

29 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Διαπασών δημιουργεί ηχητικό κύμα. Τότε: α. Αν ο ήχος ήταν πιο ισχυρός θα έχει μεγαλύτερη ταχύτητα διάδοσης β. Το ηχητικό κύμα είναι διάμηκες γ. Τα μόρια του αέρα κινούνται γύρω από τη θέση ισορροπίας τους με ταχύτητα ίση με την ταχύτητα του κύματος δ. Δημιουργούνται πυκνώματα και αραιώματα στα μόρια του αέρα. 49. Για τα κύματα ισχύουν: α. Το εγκάρσιο και το διάμηκες κύμα δε μπορούν να ανακλαστούν β. Το εγκάρσιο και το διάμηκες δε μπορούν να διαθλαστούν γ. Στο εγκάρσιο δημιουργούνται όρη και κοιλάδες ενώ στο διάμηκες πυκνώματα και αραιώματα δ. Και τα δύο είδη κυμάτων μεταφέρουν ενέργεια και ορμή. 50. Ποιο από τα παρακάτω αρμονικά κύματα διαδίδεται με μεγαλύτερη ταχύτητα στο ίδιο ελαστικό μέσο; t x α. y ημπ (S.I) 4 x β. y 1ημπ t (S.I) γ. y ημπ t x (S.I) t x 6 δ. y 1ημ S.I Συμβολή κυμάτων - στάσιμα κύματα 51. Αν το μήκος των κυμάτων που δημιουργούν ένα στάσιμο κύμα είναι λ, τότε η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών ή διαδοχικών κοιλιών είναι: α. λ/4 β. λ/ γ. λ δ. λ

30 17 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 5. Τα σημεία Β,Δ του διπλανού στιγμιότυπου ενός στάσιμου κύματος: α. Έχουν ίδια συχνότητα ταλάντωσης β. Διαφορά φάσης π γ. Ίδια φάση δ. Διαφορά φάσης π/ 53. Στο διπλανό σχήμα φαίνονται δύο στιγμιότυπα στάσιμου εγκάρσιου κύματος. Αν το στιγμιότυπο (1) αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή t 1 =T/4 (T: περίοδος κυμάτων) τότε το στιγμιότυπο () αντιστοιχεί στη χρονική στιγμή: α. 3Τ/4 β. Τ/ γ. Τ δ. Τ/3 54. Οι παρακάτω προτάσεις αναφέρονται σε στάσιμο κύμα. Ποιες είναι σωστές και ποιες λανθασμένες. α. Η απόσταση ενός δεσμού και της αμέσως επόμενης κοιλίας είναι λ/4. (όπου λ το μήκος κύματος των κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο κύμα) β. Στην περιοχή του ελαστικού μέσου που έχει δημιουργηθεί το στάσιμο κύμα όλα τα σημεία ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος γ. Όλα τα σημεία μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών έχουν διαφορά φάσης μηδέν δ. Για να δημιουργηθεί στάσιμο κύμα θα πρέπει τα αρμονικά κύματα να έχουν πανομοιότυπες εξισώσεις. 55. Δίνεται το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος τη χρονική στιγμή t. Tη χρονική στιγμή t: α. Τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν μόνο δυναμική ενέργεια β. Τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν μόνο κινητική ενέργεια γ. Τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν και κινητική και δυναμική ενέργεια δ. Τα σημεία Β, Δ έχουν ίσες κινητικές ενέργειες.

31 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Δύο σύμφωνες πηγές εκπέμπουν αρμονικά κύματα ίδιας συχνότητας και μήκους κύματος προς όλες τις κατευθύνσεις. Ενίσχυση λόγω συμβολής σ ένα σημείο του μέσου παρατηρούμε μόνο όταν: α. Η απόσταση των πηγών είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του λ β. Η διαφορά των αποστάσεων του σημείου από τις πηγές είναι άρτιο πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος γ. Η διαφορά των αποστάσεων του σημείου από τις πηγές είναι περιττό πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος δ. μόνο όταν οι πηγές εκπέμπουν εγκάρσια κύματα. 57. Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο δημιουργείται στάσιμο κύμα. Τότε: α. Όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου εκτελούν διαδοχικά την ίδια κίνηση β. Όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου εκτελούν γ.α.τ γ. Όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους δ. Όλα τα σημεία έχουν κινητική και δυναμική ενέργεια. x π 58. Έστω ότι στάσιμο κύμα περιγράφεται από την εξίσωση y Aσυνπ ημ t λ Τ. Σε ποια απόσταση από την πηγή βρίσκεται η τρίτη κοιλία και σε ποια ο τρίτος δεσμός; α. K Δ x λ, x 5λ 3 5 x λ, x λ 4 β. K Δ γ. K Δ x λ /, x λ δ. K Δ x λ, x,75λ Ηλεκτρομαγνητικά κύματα 59. Το εύρος τιμών ενέργειας φωτονίου ορατής ακτινοβολίας είναι: α.,81 ev Eφ 1,60eV β. 5eV Εφ ev

32 174 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα γ. 7eV Eφ ev δ. 3, 9eV Eφ,5eV 19 Δίνεται 1eV 1,6 10 J, 34 h 6 10 Js, c m / s. 60. Ποιες από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστές: α. c n υ λ n n β. 1 1 λ λ0 γ. λ n δ. c λ0 υ λ 61. Τι παθαίνει η τιμή του δείκτη διάθλασης όταν αυξάνεται η τιμή του μήκους κύματος της ακτινοβολίας: α. Αυξάνεται β. Μειώνεται γ. Μένει σταθερή δ. Τίποτα από τα παραπάνω. 6. Η εξίσωση που περιγράφει τα ηλεκτρικό πεδίο ενός Η/Μ κύματος είναι: 4 10 Ε 3 10 ημ 10 πt κx S.I.. Για το κύμα αυτό: 11 α. Έχει συχνότητα 510 Hz β. Έχει μήκος κύματος λ 0,06m γ. Η εξίσωση μαγνητικού πεδίου είναι 8 δ. Όταν B 10 T τότε E 3 10 N / C. 1 B 10 ημ πt πx 3

33 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Όταν έχουμε διάθλαση μονοχρωματικού φωτός: α. Αποκλείεται να έχουμε και ανάκλαση β. Αποκλείεται να έχουμε και διάχυση γ. Αλλάζει το μήκος κύματος της ακτινοβολίας δ. Αλλάζει το χρώμα του φωτός 64. Ο νόμος του Snell ισχύει: α. Και για μονοχρωματικό και για πολυχρωματικό φως β. Μόνο στην ανάκλαση γ. Μόνο στη διάθλαση δ. Και στην ανάκλαση και στη διάθλαση 65. Ο δείκτης διάθλασης για το νερό είναι: α. μονόμετρο μέγεθος β. μεγαλύτερος της μονάδας γ. 1,33 δ. αδιάστατο μέγεθος

34 176 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Παρατηρήσεις: t x Η εξίσωση: y ισχύει όταν το κύμα διαδίδεται από T αριστερά προς τα δεξιά. Αν το κύμα κινείται αντίρροπα του άξονα x (από δεξιά προς τα αριστε- t x ρά) τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή : y T Στην εξίσωση του αρμονικού κύματος η απομάκρυνση y είναι αρμονική συνάρτηση τόσο του χρόνου t, όσο και της απόστασης x,από την πηγή, δηλαδή είναι συνάρτηση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών κάτι που κάνει αδύνατο το να παραστήσουμε την εξίσωση του αρμονικού κύματος στο επίπεδο. t x Ο παράγοντας φ π (έχει διαστάσεις γωνίας) λέγεται φάση και T λ εξαρτάται από τις μεταβλητές : t (αυξάνεται με το χρόνο) και από την απόσταση x του σημείου από το Ο (ελαττώνεται όσο αυξάνεται το x). Εάν η πηγή που παράγει το αρμονικό κύμα έχει αρχική φάση τότε η εξίσωση του αρμονικού κύματος θα έχει τη μορφή φ 0 t x y Α ημπ T λ π

35 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 177 Παρατηρήσεις: Αν μελετήσουμε στάσιμο κύμα πάνω σε τεντωμένο νήμα όπου τα άκρα του είναι ακλόνητα στερεωμένα τότε θα πρέπει να τροποποιήσουμε την εξίσωση του στάσιμου κύματος ώστε για x=0 να δίνει δεσμό. Η εξίσωση στάσιμου κύματος με δεσμό στη θέση x = 0 είναι y = -Aημ x t και προκύπτει από τη συμβολή των κυμάτων T t x y 1 Aημπ( ) T λ και t x y Aημ π( ) π.tότε οι αποστάσεις των δεσμών και των κοιλιών από την αρχή 0 του άξονα δίνονται από τις T λ σχέσεις x = ( Δεσμοί ), x=(κ+1) ( Κοιλίες ) με κ = 0,1,... Τα σημεία μεταξύ διαδοχικών δεσμών κινούνται με την ίδια φορά φτάνουν ταυτόχρονα στις θέσεις ισορροπίας και μέγιστης απομάκρυνσης και κάθε χρονική στιγμή έχουν την ίδια φάση. Σημεία εκατέρωθεν ενός δεσμού που απέχουν απόσταση μικρότερη του κινούνται με αντίθετη φορά, φτάνουν συγχρόνως στις θέσεις ισορροπίας και μέγιστης απομάκρυνσης αλλά έχουν διαφορά φάσης π. Τα Κ,Λ έχουν διαφορά φάσης π Τα Κ,Ν έχουν διαφορά φάσης 0. Ç ì Ýãéóôç ôá ýôçôá ãéá êï éëßá åßí áé õ max = ωα Στο στάσιμο κύμα η φάση δε μετατοπίζεται αφού φ = t του x. ανεξάρτητη Στα στάσιμα κύματα δεν έχουμε μεταφορά ενέργειας λόγω των δεσμών που παραμένουν διαρκώς ακίνητοι, αλλά η ενέργεια εναλλάσσεται μεταξύ κινητικής και δυναμικής. Η ενέργεια ταλάντωσης κάθε σωματιδίου είναι σταθερή αφού το πλάτος του διατηρείται σταθερό.

36 178 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Μεθοδολογία ασκήσεων - Αποδείξεις θεωρίας - Λυμένα παραδείγματα: Αποδείξεις θεωρίας ου κεφαλαίου ΘΕΩΡΙΑ 1 Να αποδείξετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος. Απόδειξη Σε ελαστικό μέσο (π.χ. σε μία χορδή) διαδίδεται αρμονικό κύμα και θεωρούμε έναν άξονα x Οx στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Το σημείο Ο, αρχή του άξονα, κάνει γ.α.τ. με εξίσωση: y =A ημ ωt (1) Ένα τυχαίο σημείο Κ που βρίσκεται στη θέση x δεξιά του Ο θα αρχίσει να ταλαντώνεται μετά από χρόνο t 1 = x υ από τη στιγμή t=0. Η εξίσωση της απομάκρυνσης του σημείου Κ από τη θέση ισορροπίας του είναι: y =A ημ ωt () Όπου: t = t-t 1 =t- x υ (γιατί το Κ θα ξεκινήσει την κίνησή του μετά από χρόνο x υ ). Άρα η εξίσωση () για το σημείο Κ γράφεται: y =A. ημ ωt x υ π y =A. ημ t x υ Τ t x y =A. ημ π Τ υ Τ t x y=a. ημ π - Τ λ (3) Σημείωση Αν το αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά την αρνητική φορά του άξονα x Οx. Τότε η t x εξίσωση του αρμονικού κύματος γράφεται: y=a. ημ π Τ λ

37 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 179 ΘΕΩΡΙΑ Να αποδείξετε την εξίσωση της σύνθετης κίνησης που κάνει σημείο του μέσου, όταν συμβάλλουν δύο αρμονικά κύματα που παράγονται από σύγχρονες πηγές. Απόδειξη Θεωρούμε τις δύο πηγές των αρμονικών κυμάτων Π 1 και Π, όπως στο σχήμα, που ταλαντώνονται βάσει της εξίσωσης: y 1 =A. ημωt Τα δύο κύματα που παράγονται έχουν την ίδια ταχύτητα διάδοσης υ και έχουν το ίδιο μήκος κύματος λ. Ένα υλικό σημείο Κ της επιφάνειας του υγρού, στο οποίο συμβάλλουν (συναντώνται) τα δύο αρμονικά κύματα, εκτελεί συνισταμένη ταλάντωση. Η απομάκρυνση y του σημείου Κ από τη Θ.Ι. του θα είναι κάθε στιγμή, η συνισταμένη των δύο επιμέρους απομακρύνσεων y 1 και y, λόγω της αρχής της επαλληλίας. Δηλαδή: y=y 1 +y (1) Όπου: y 1 =A. 1 ημ π t r Τ λ και y =A. ημ π t r Τ λ Τότε η σχέση (1) γράφεται: y=a. 1 ημ π t r Τ λ +A. ημ π t r (*) Τ λ Από την τελευταία παίρνουμε την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης: y=a. r1 - r συν π. t r1 -r ημπ - λ T λ ()

38 180 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα όπου: Α =A. r1 - r συν π λ συγκεκριμένο σημείο. είναι το πλάτος, το οποίο είναι σταθερό για ένα Τα σημεία του μέσου κάνουν γ.α.τ. με ίδια συχνότητα, αλλά δεν έχουν το ίδιο πλάτος Α. (*) Από την τριγωνομετρία είναι γνωστό ότι: α β α + β ημα + ημβ = συν ημ ΘΕΩΡΙΑ 3 Να βρείτε τη συνθήκη ώστε σ ένα σημείο του μέσου να έχουμε απόσβεση και τη συνθήκη ώστε σ ένα σημείο του μέσου να έχουμε ενίσχυση των κυμάτων. Απόδειξη r1 r α. Σημεία για τα οποία τυχαίνει να ισχύει: συν π λ =0 ηρεμούν (Α =0) και τότε λέμε ότι στα σημεία αυτά έχουμε απόσβεση. r r π r1 - r = k +1 λ όπου: k=0, 1,,... λ Είναι: π 1 = k +1 r1 r β. Σημεία για τα οποία τυχαίνει να ισχύει: συν π λ = 1 ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος Α =Α και τότε λέμε ότι στα σημεία αυτά έχουμε ενίσχυση. r1 r Είναι: π = k π r 1 - r =k. λ όπου: k=0, 1,,... λ

39 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 181 ΘΕΩΡΙΑ 4 Í á áðï äåßî åôå ôçí åî ßóù óç ôï õ óôüóéì ï õ êýì áôï ò. Απόδειξη Σε μία χορδή διαδίδονται δύο αρμονικά κύματα. Τα δύο αυτά κύματα έχουν: ίδιο πλάτος Α, ίδια συχνότητα f, ίδια ταχύτητα διάδοσης υ και αντίθετες φορές διάδοσης. Θεωρούμε άξονα x Οx. Έστω ένα σημείο Β, που είναι στη θέση με τετμημένη (x). Το κύμα που διαδίδεται προς τα δεξιά, εξαναγκάζει σε ταλάντωση το σημείο Β με εξίσωση κίνησης, λόγω του κύματος αυτού, που είναι: t x y 1 =A. ημ π (1) Τ λ Λόγω του κύματος που διαδίδεται προς τα αριστερά,το σημείο Β αρχίζει να ταλαντώνεται με εξίσωση κίνησης, που είναι: t x y =A. ημ π + () Τ λ Η απομάκρυνση y του σημείου Β από τη Θ.Ι. του θα είναι κάθε στιγμή, η συνισταμένη των δύο απομακρύνσεων y 1 και y. t x t x Δηλαδή: y=y 1 +y y=a. ημ π Τ λ +A. ημ π + Τ λ Η τελευταία με τη βοήθεια της τριγωνομετρίας (*) γράφεται: x y=a. συν π. t ημ π λ T (4) (3) Το πλάτος της κίνησης είναι: Α =A. x συν π λ (5)

40 18 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα που είναι σταθερό για ένα συγκεκριμένο σημείο. Τα σημεία του μέσου κάνουν γ.α.τ. με ίδια συχνότητα, αλλά δεν έχουν το ίδιο πλάτος Α το οποίο εξαρτάται από τη θέση του σημείου αυτού. (*) Από την τριγωνομετρία είναι γνωστό ότι: α β α + β ημα + ημβ = συν ημ ΘΕΩΡΙΑ 5 Να βρείτε τη σχέση που δίνει τις θέσεις των δεσμών και τη σχέση που δίνει τις θέσεις των κοιλιών. Απόδειξη α. Σημεία, για τα οποία τυχαίνει να ισχύει: συν πx λ =0 ηρεμούν (Α =0) και τα σημεία αυτά τα ονομάζουμε δεσμούς. πx π Είναι: = k +1 λ λ x = k +1 4 όπου: k=0, 1,,... r1 r β. Σημεία, για τα οποία τυχαίνει να ισχύει: συν π λ = 1 ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος Α =Α και τα σημεία αυτά τα ονομάζουμε κοιλίες. Είναι: πx = k π λ λ x = k όπου: k=0, 1,,... Οι παραπάνω σχέσεις ισχύουν με την προϋπόθεση ότι στη θέση x=0 είναι κοιλία

41 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 183 ΘΕΩΡΙΑ 6 Να βρείτε τη σχέση που δίνει την κρίσιμη γωνία στο φαινόμενο της ολικής ανάκλασης. Απόδειξη Έστω μια φωτεινή πηγή Π σε υλικό μέσο 1. Ακτίνες φωτός μεταβαίνουν από το μέσο 1 στο οπτικά αραιότερο μέσο (δες σχήμα). Ο νόμος του Snell είναι: n n ημθ = n ημθ ημθ = ημθ 1 π δ π δ n1 Τότε: Αν θ π = 0 ο δηλαδή η ακτίνα προσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων, τότε αυτή δε διαθλάται, γιατί από το νόμο του Snell έχουμε: θ δ =0 ο

42 184 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Επειδή n < n 1 από το νόμο του Snell θα έχουμε: θ π <θ δ Αν θ δ =90 ο από το νόμο του Snell έχουμε: n ημθ π = n 1 Αυτή η γωνία πρόσπτωσης (θ π ) λέγεται κρίσιμη ή οριακή γωνία και συμβολίζεται με θ crit ή θ ορ. Άρα: crit n = n Αν θ π >θ crit τότε η ακτίνα δε διαθλάται και έχουμε μόνο φαινόμενο ανάκλασης που λέγεται ολική ανάκλαση. ημθ 1

43 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 185 Κύματα Λυμένες ασκήσεις Στην επιφάνεια ήρεμης λίμνης ρίχνουμε κέρματα με ρυθμό 15 κέρματα ανά λεπτό και δημιουργείται κύμα. Αν η απόσταση μεταξύ της 1ης κοιλάδας και του 3ου όρους είναι 15 cm, πόση είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος; Σε ποιά απόσταση θα έχει διαδοθεί το κύμα σε χρόνο t = 4 s. (Το κύμα ξεκινά με όρος). Λύση Την ταχύτητα διάδοσης του κύματος θα την υπολογίσουμε από τη σχέση υ = λ. f (1) Για τη συχνότητα έχουμε ό ά 15 f 0, 5Hz t 60 Από το διάγραμμα βρίσκουμε το μήκος κύματος : 15cm ή 10cm cm cm Τότε απο τη σχέση (1) παίρνουμε: 10 0, 5,5 s s. Επομένως προκύπτει: x t,54cm 10cm Αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου κατά τη διεύθυνση του άξονά του x. Δύο σημεία Μ, Ν του μέσου σε ορισμένη χρονική στιγμή t έχουν φάσεις λόγω της ταλάντωσής τους, φ Μ και φ Ν αντίστοιχα με φ Μ < φ Ν. Πως διαδίδεται το κύμα από το Μ προς το Ν ή αντίστροφα; Λύση α. Έστω ότι το κύμα διαδίδεται κατά τη θετική φορά. Τότε θα έχει εξίσωση: x M t y A T και για τα σημεία μας: t x M t x Μ : φμ π T λ : T

44 186 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα t x M t x Ν Από την εκφώνηση έχουμε : φμ φ Ν π π x M x Ν T λ T λ Άρα το Ν είναι πιο κοντά στην πηγή και το κύμα διαδίδεται από το Ν στο Μ. β. Αν το κύμα διαδίδονταν κατά την αρνητική φορά τότε θα είχαμε t x y A T t x t xν T λ T λ M Μ : φμ π Ν : φν π φ Μ < φ Ν άρα x M < x N. Άρα το Μ είναι πιο κοντά στην αρχή των αξόνων και το κύμα διαδίδεται από το Ν προς το Μ Πηγή βρίσκεται στην αρχή των αξόνων και εκτελεί αρμονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή t = 0 έχει απομάκρυνση y = 0,1 m. Η πηγή δημιουργεί αρμονικό κύμα που διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα x x και έχει πλάτος Α = 0,1 m, μήκος κύματος λ = 0,4 m και συχνότητα f = 4 Hz. Να βρείτε: Λύση α. Την περίοδο και την κυκλική συχνότητα του κύματος. β.την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. γ. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος. α. 1 1 s, 8 rad / s. β. υ = λ f 4 1. f = 0,4. 4 m s = 1,6 m s. 4 π γ. Επειδή η πηγή μας για t = 0 έχει y = 0,1 m έχουμε ημφ0 1 φ0 rad. Άρα η εξίσωση του κύματος είναι : φ 0 t x 1 y A ημπ y 0,1ημπ 4t, 5x T λ π 4 (S.I).

45 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Αρμονικό κύμα πλάτους Α = 0,1 m διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα x x. Αν η πηγή έχει εξίσωση απομάκρυνσης y = Αημωt και βρίσκεται στην αρχή Ο και η φάση του κύματος για t = s είναι όπως στο διάγραμμα, να βρείτε: Λύση α. Την περίοδο και το μήκος κύματος. β. Πόση είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος; γ. Την εξίσωση του κύματος. δ. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t = s. α. Από το διάγραμμα της φάσης βρίσκουμε x = 0, φ = 10 π, t = s φ = 0, x = m, t = s Από τις παραπάνω σχέσεις με τη βοήθεια της σχέσης Τ = 0,4 s και λ = 0,4 m. β. Για την ταχύτητα έχουμε 1m / s T γ. Η εξίσωση του κύματος είναι : t x y A y 0,1,5t,5x (S.I). T t x φ π T λ προκύπτει

46 188 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα δ. Για t = s και x = 0 έχουμε y 0,110 y 0. Για t s και x 0,1m έχουμε y 0,19,5 0,1m 4 Για t = s το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση : x t x m Με τη βοήθεια διεγέρτη δημιουργούμε σε ένα σημείο Ο ενός γραμμικού ελαστικού μέσου μία κίνηση που περιγράφεται από τη σχέση y = ημ10πt (S.I ). Σε σημείο Μ του ελαστικού μέσου, που βρίσκεται στη θέση x = 6 m, η διαταραχή φτάνει σε χρόνο t =3 s, καθώς το κύμα διαδίδεται προς τα δεξιά. Να κάνετε τη γραφική παράσταση της φάσης του κύματος : Λύση α. σε συνάρτηση με το χρόνο για το σημείο Μ β. σε συνάρτηση με την απόσταση τη χρονική στιγμή t = 5s. Το σημείο Ο βρίσκεται στη θέση x = 0. Η γενική εξίσωση της ταλάντωσης της πηγής είναι: t y A T Οπότε A 410 m 31, 4t ή 0,s. T Το κύμα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα διάδοσης x x οπότε η t x φάση κάθε σημείου δίνεται από τη σχέση φ π. T λ x 6 Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι : m / s m / s t 3 και το μήκος κύματος είναι: T 0, m 0, 4m t t x 0, 0,4 Συνεπώς φ π π 5t, 5x στο SI.

47 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 189 α. Για x = 6m έχουμε : φ = π (5t - 15), με t 3s. Η γραφική παράσταση φ - t φαίνεται στο διπλανό σχήμα. β. Για t = 5s έχουμε: φ = π (5 -,5x) με x 10 m. Η γραφική παράσταση φ - x φαίνεται στο διπλανό σχήμα Το άκρο Ο μιάς χορδής εκτελεί Γ.Α.Τ με y = 0,06ημπt (y σε cm και t σε s), κάθετα στη διεύθυνση της χορδής. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι υ = 0,5 m/s. α. Να βρείτε την εξίσωση του κύματος και να υπολογιστεί η απομάκρυνση y και η ταχύτητα υ ενός σημείου που απέχει από το Ο x = 4/3m, τη χρονική στιγμή t = 4 s. Λύση β. Να γίνει η γραφική παράσταση της εξίσωσης του κύματος i. Τη χρονική στιγμή α. Α = 0,06 cm, φ 0 = t T 1 ii. Στη θέση y 0, 06t t t rad / s s y A t 0 υ υ υ λf λ υt 1 m. f 1 T 7λ x 6

48 190 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Άρα η εξίσωση του κύματος είναι : (y cm, x m, t s) Για x = 4/3m και t = 4 s παίρνουμε : t x t y A 0, 06 x T t x υ A ωσυνπ 0,03π cm / s. T λ β. i. Όταν 17 t T η εξίσωση του κύματος είναι : 1 17 x y A 1 Για x = 0 είναι : 17 A y A y 1 Σε χρόνο 17 t T το κύμα έχει διαδοθεί x t. 1 1

49 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 191 ii. Για 7 x η εξίσωση του κύματος είναι : 6 t 7 y A η εξίσωση ισχύ- T 6 ει για t 7 0 t 7T δηλ. απο τη στιγμή που το κύμα έφτασε στο x. T Πότε δύο σημεία βρίσκονται σε συμφωνία φάσης και πότε σε αντίθεση φάσης; Λύση Δύο σημεία βρίσκονται: α. Σε συμφωνία φάσης όταν κάθε χρονική στιγμή έχουν την ίδια απομάκρυνση, την ίδια ταχύτητα και κινούνται με την ίδια φορά. β. Σε αντίθεση φάσης όταν σε κάθε χρονική στιγμή έχουν αντίθετες απομακρύνσεις, με το ίδιο μέτρο ταχύτητας και κινούνται με αντίθετη φορά. t x1 t x Έστω y1 A y A T T Αν είναι σε συμφωνία φάσης ισχύει : t x1 t x y1 y A A T T t x t x t x t x T T T T x x k 1 1 k 1 Δηλαδή, τα σημεία που απέχουν ακέραιο πολ/σιο μήκους κύματος βρίσκονται σε συμφωνία φάσης.

50 19 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Αν είναι σε αντίθεση φάσης ισχύει: t x1 t x y1 y A A T T t x x t t x x t T T T T 1 1 k x x1 k 1 Δηλαδή,τα σημεία που απέχουν περιττό πολ/σιο του ημικύματος βρίσκονται σε αντίθεση φάσης Η εικόνα παριστάνει το στιγμιότυπο κύματος τη χρονική στιγμή t 0. Το κύμα δημιουργείται από πηγή που αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t 0 χωρίς αρχική φάση και διαδίδεται με ταχύτητα υ m / s. Ζητούνται: α. Η χρονική στιγμή t 0. β. Η εξίσωση του κύματος. γ. Το διάγραμμα φ-x για τη χρονική στιγμή t 0. δ. Η χρονική στιγμή που ένα σημείο Κ, που βρίσκεται στη θέση x 3,3m θα απέχει για πρώτη φορά 0,1m από τη θέση ισορροπίας. ε. Να γίνουν τα διαγράμματα φ-t και y-t για το σημείο Ρ που βρίσκεται στη θέση x,4m. στ. Να βρεθεί η εξίσωση ενός άλλου κύματος, διπλάσιου πλάτους και τετραπλάσιας συχνότητας που διαδίδεται αντίθετα στο ίδιο μέσο, με αρχική φάση π/. Λύση x,7 α. t0 1,35s υ β. 9 λ,7 λ 1,m 4 άρα 9 T 1,35 T 0,6s 4

51 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 193 t x Η εξίσωση του κύματος είναι: y = 0,ημπ - S.I. (1) 0,6 1, 1,35 x π x γ. φ π φ = 4,5π -, όπου 0 x,7 m 0,6 1, 0,6 Το ζητούμενο διάγραμμα φαίνεται στο σχήμα της επόμενης σελίδας. δ. Από την εξίσωση (1) έχουμε: t 3,3 0,1 0, ημπ 0,6 1, t 33 π π t = 1,7s 0,6 1 6 ε. t, 4 t x φ π φ = π - οπου t 1,s 0,6 1, 0,6 υ Άρα: t,4 yp 0, ημπ 0,6 1, t y p = 0,ημπ - 0,6 στ. Θα είναι με βάση την (1): t x π y 0, 4 ημ π S.I. 0,15 0,3

52 194 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα υ λf λ λ 0,3m υ λ f T 0,6s T T T T T = 0,15s f 4f Αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου το οποίο έχει την διεύθυνση του άξονα x x. Πηγή του κύματος είναι το σημείο Ο που είναι και η αρχή του άξονα xx. H εξίσωση του κύματος είναι: t x y 10 ημπ x,y σε cm, t σε s T 0 α. Τη χρονική στιγμή t 1 η φάση ενός σημείου Α του ελαστικού μέσου με x A 10cm είναι ίση με π rad. Να υπολογισθεί αυτή τη στιγμή η απομάκρυνση ενός άλλου σημείου B του ελαστικού μέσου με xb 1,5cm β. Αν ο χρόνος που απαιτείται για τη διάδοση του κύματος από το σημείο Α έως το σημείο Β είναι Δt 0, 5s, να βρεθεί η περίοδος του κύματος. γ. Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή που το κύμα φτάνει στο σημείο Γ με x Γ 35cm εκείνη τη στιγμή. Ποιες είναι οι θέσεις των σημείων που έχουν εκείνη τη στιγμή υ=0; 3 δ. Αν το υλικό σημείο Γ του ελαστικού μέσου έχει μάζα m 10 Kg να υπολογισθεί η συνισταμένη δύναμη που βρίσκεται σ αυτό τη στιγμή 11 t s. Δίνεται 3 π 10.

53 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 195 Λύση α. t x y 10ημπ Α 10cm T t x λ 0cm y Aημπ λ 0 T λ Η φάση είναι: t x φ π T 0 Για το σημείο Α τη χρονική στιγμή t 1 : t1 xa t1 10 t1 1 t1 φα π π π T 0 T 0 T Τ t1 t1 11 t1 Τ Τ Τ Για το σημείο Β τη χρονική στιγμή t 1 : t1 x Β Τ 1,5 yb 10ημπ yβ 10ημπ T 0 Τ 0 y 10ημπ 10,65 Β 3π 3π yb 10ημ π 0,375 yb 10ημ yb10ημ π 4 4 π yb 10ημ yb 10 y B = 5 cm 4 β. B A Δx x x 1,5 10,5cm είναι η απόσταση στην οποία διαδόθηκε το κύμα από το Α ως το Β.

54 196 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Δx,5 cm Δx υ Δt υ υ 10 Δt 0, 5 s λ λ 0 υ Τ Τ s = s Τ υ 10 γ. Το κύμα φτάνει στο σημείο x=35cm τη στιγμή t=x/υ=3,5s. Άρα στην εξίσωση t x y 10ημπ T 0 αντικαθιστούμε t=3,5s και παίρνουμε: 3,5 x y = 10ημπ - 0 x 35cm 0 Τα σημεία που είναι σε ακραία θέση της ταλάντωσης τους και έχουν υ=0, εκείνη τη στιγμή βρίσκονται στις θέσεις: x 0,10, 0, 30cm. δ. ΣF D y, όπου: π π Ν D m ω m π Τ m 11 t x 3 35 y 10ημπ yγ 10ημπ T yγ 10ημπ yγ 10ημπ π yγ 10ημπ yγ 10ημ π yγ 10ημ yγ 10 = 5cm -4 ΣF D y N 5 10 N

55 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Κατά μήκος ενός γραμμικού ελαστικού μέσου και κατά τη θετική κατεύθυνση του άξονα διαδίδεται αρμονικό κύμα της μορφής: Λύση πx y -0,1ημ - 4πt SI Να βρεθούν: α. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β. Κάποια χρονική στιγμή t οι φάσεις των ταλαντώσεων δυο σημείων Μ και Ν του μέσου που είναι προς τα δεξιά της πηγής Ο, είναι 10π 17π φμ rad και φn rad. Να βρείτε ποιο από τα δυο σημεία 3 6 είναι πιο κοντά στην πηγή Ο και ποια είναι η απόσταση μεταξύ των δύο σημείων. γ. Ποια είναι η απομάκρυνση του σημείου Ν από τη θέση ισορροπίας του, κάθε φορά που το σημείο Μ αποκτά τη μέγιστη θετική απομάκρυνση. δ. Να βρείτε την τιμή της ταχύτητας ενός μορίου του μέσου, όταν η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του είναι: y 0,05m ε. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t=1s. á. Διαμορφώνουμε την εξίσωση που μας δίνεται με βάση την εξίσωση του αρμονικού κύματος της θεωρίας: πx x y = 0,1ημ 4πt - y = 0,1ημπ t - 4 Άρα είναι: Α = 0,1 m, Επομένως έχουμε: t x y = Aημπ - T λ 1 1 = T = s και f = Hz, λ = 4 m T υ = λ f = 8m/s

56 198 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 10π 0π 17π β. Επειδή είναι φ Μ = = rad > φ N = rad το σημείο Μ βρίσκεται πλησιέστερα στην πηγή Ο, (x = 0), σε σχέση με το σημείο Ν. π π φ Μ = t - x Τ λ π π φ N = t - x Τ λ M N Δφ = π xn - xm Δφ = π Δx 3π π Δx λ λ 6 λ 3 Δx Δx = 1m 6 4 π γ. Επειδή Δφ = rad η ταλάντωση του σημείου Ν καθυστερεί σε σχέση με την ταλάντωση του Μ κατά Τ/4. Άρα κάθε φορά που είναι y M =+A θα είναι y N = 0 κινούμενο κατά τη θετική φορά (υ>0). δ. Εφαρμόζουμε την Α.Δ.Ε. για την ταλάντωση του μορίου: E K U DA mυ Dy DA - Dy mυ A ω A - y υ υ ω A - y υ ω A - 4 υ = ±ω 3A 4 υ = ±0, π 3 m/s ε. Για t=1 s η εξίσωση του κύματος γίνεται: x y = 0,1ημπ - 4 S.I. Σε χρόνο t=1s το κύμα έχει διανύσει απόσταση x=υ. t=8m, δηλ: 0 x 8m

57 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα 199 Συμβολή κυμάτων - στάσιμα κύματα Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις για μια κοιλία και ένα δεσμό στάσιμου κύματος. α. Του πλάτους σε συνάρτηση με το χρόνο β. Της απομάκρυνσης από τη Θ.Ι.Τ σε συνάρτηση με το χρόνο Λύση Η απομάκρυνση y και το πλάτος ταλάντωσης ενός δεσμού είναι μηδέν κάθε χρονική στιγμή. Το πλάτος ταλάντωσης ενός σημείου που αντιστοιχεί σε κοιλία είναι σταθερό και ίσο με Α, ενώ η απομάκρυνση μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο: Δύο σύγχρονες πηγές Α,Β απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = m και εκπέμπουν αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους με συχνότητα f = 100 Hz και ταχύτητα u = 00m/s.Να βρείτε σε πόσα σημεία μεταξύ των Α και Β έχουμε απόσβεση και σε πόσα έχουμε ενίσχυση. Λύση Τα αρμονικά κύματα που εκπέμπουν οι δύο πηγές συμβάλλουν οπότε θα υπάρχουν σημεία όπου θα έχουμε ενίσχυση και σημεία όπου θα έχουμε απόσβεση.

58 00 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Απόσβεση θα έχουμε σ όλα τα σημεία για τα οποία ισχύει η σχέση r 1 r (N 1), με Ν = 0, 1,... Έστω ότι στο σημείο Κ έχουμε απόσβεση. Άρα: (ΑΚ)-(ΚΒ)=(Ν+1) d (ΑΚ)-[d-(AK)] = (N+1) ( ) d (N 1) ( ) ( 1) 4 Όπου d = m και Ν = 0, 1,... u m, (ΑΚ) = 1+(Ν+1) 1 f 3 (AK) N, με Όμως 0 (AK) d 0 ( ) 0. Η προηγούμενη σχέση ισχύει για Ν = 0, Ν = -1 Άρα τα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος που παραμένουν συνεχώς ακίνη- 1 τα είναι δύο τα Γ και Δ με r m και 3 r m. Για τα σημεία που έχουμε ενίσχυση θα ισχύει: r1 r N με Ν=0, 1,... Έστω ότι στο σημείο Λ έχουμε ενίσχυση. Άρα d (ΑΛ) - (ΛΒ) = Νλ ( ) [d ( )] ( ) d N ( ) N, με Ν = 0, 1,... όπου d = m και λ = m έχουμε (ΑΛ) =1+Ν,με Ν=0, 1,... Και 0 ( ) d. Από τις δύο σχέσεις έχουμε ότι Ν=0. Άρα υπάρχει ένα σημείο μεταξύ Α και Β στο οποίο έχουμε ενίσχυση και είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ.

59 ΦΥΣΙΚΗ: Κύματα Δύο σύμφωνες πηγές Α και Β βρίσκονται στην επιφάνεια υγρού και δημιουργούν αρμονικά κύματα συχνότητας f = Ηz και πλάτους Α = 5cm τα οποία διαδίδονται με ταχύτητα u = 4m/s. Ένα σημείο Δ της επιφάνειας του υγρού απέχει από τις πηγές αποστάσεις ΑΔ = 4m και ΒΔ = 16m. Βρείτε: α. Την εξίσωση απομάκρυνσης του Δ από τη ΘΙΤ για τυχαίο χρόνο t β. Τις χρονικές στιγμές που η απομάκρυνση του Δ από τη Θ.Ι.Τ. είναι 5cm. Λύση α. Εξετάζουμε τις περιπτώσεις: i. Επειδή η πιο κοντινή πηγή στο Δ είναι η Β και ο χρόνος που κάνει το κύμα να φτάσει από το Β στο Δ είναι t = x 16 s 4s συμπεραίνουμε ότι για t u 4 1 4s το Δ είναι ακίνητο. ii. Ο χρόνος που χρειάζεται να φτάσει το κύμα στο Δ από την πηγή Α είναι A 4 t s 6s. Άρα για τιμή 4s t 6s το Δ κάνει ταλάντωση λόγω του κύματος από την πηγή Β (δεν έχει φτάσει ακόμα το κύμα από την πηγή 4 Α).