ΚΕΦ 2 ΚΥΜΑΤΑ 1 O ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΑΣ 2016 ΚΥΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΨΩΜΑΘΙΑΝΟΣ

Transcript

1 1 O ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΤΡΑΣ 2016 ΚΥΜΑΤΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ ΨΩΜΑΘΙΑΝΟΣ 1

2 2

3 ΚΥΜΑΤΑ 2.1 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ορισμός κύματος Κύμα ονομάζεται η διάδοση μιας διαταραχής που μεταφέρει ενέργεια και ορμή µε σταθερή ταχύτητα. Ελαστικό µέσο ονομάζεται κάθε υλικό µέσο που, για λόγους απλότητας, δεχόμαστε ότι έχει τις εξής ιδιότητες: Αποτελείται από σωματίδια, τα οποία πληρούν το µέσο χωρίς διάκενα. Τα σωματίδια αυτά συνδέονται μεταξύ τους µε ελαστικές δυνάμεις. Κάθε Μηχανικό Κύμα έχει μία πηγή που είναι το σημείο του χώρου που αρχίζει η διαταραχή και ένα ελαστικό μέσο διάδοσης της διαταραχής Είδη κυμάτων Α. Τα κύματα, ανάλογα µε τον μηχανισμό παραγωγής και διάδοσης τους, διακρίνονται σε δύο βασικές κατηγορίες: Στα Μηχανικά Κύματα, που είναι η διάδοση μιας διαταραχής σε ένα ελαστικό µέσο. Τα μηχανικά κύματα (σεισμικά, υδάτινα, ηχητικά κλπ) διαδίδονται µόνο σε υλικά σώματα που έχουν την ικανότητα να δέχονται και να μεταβιβάζουν προσωρινές παραμορφώσεις. Στα Ηλεκτρομαγνητικά Κύματα, που είναι η διάδοση μιας ηλεκτρομαγνητικής διαταραχής. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα ( φωτεινά κύματα, ραδιοκύματα, ακτίνες Χ, ακτίνες γ) διαδίδονται και στο κενό µε ταχύτητα c= m/s. Β. Τα κύματα, ανάλογα µε τις διαστάσεις του ελαστικού μέσου, διακρίνονται σε τρείς βασικές κατηγορίες: Γραμμικά Κύματα ή μονοδιάστατα: τα κύματα που διαδίδονται µόνο σε µια διεύθυνση. Γραμμικά κύματα διαδίδονται κατά μήκος μιας τεντωμένης ελαστικής χορδής. Επιφανειακά Κύματα ή δισδιάστατα: τα κύματα που διαδίδονται στην επιφάνεια ενός υλικού μέσου. Επιφανειακά κύματα διαδίδονται στην επιφάνεια του νερού. Κύματα χώρου ή τρισδιάστατα: τα κύματα που διαδίδονται προς όλες τις διευθύνσεις ενός υλικού μέσου. Κύματα χώρου είναι τα ηχητικά κύματα που διαδίδονται στον αέρα. Γ. Τα κύματα, ανάλογα µε το μηχανισμό διάδοσης, διακρίνονται σε δύο βασικές κατηγορίες: Εγκάρσια Κύματα: τα σωματίδια του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται σε διεύθυνση κάθετη προς την διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται στα στερεά σώματα και στην ελεύθερη επιφάνεια των υγρών. Κατά τη διάδοση των εγκαρσίων κυμάτων σχηματίζονται «όρη» και «κοιλάδες». Για τη διάδοση των εγκαρσίων κυμάτων πρέπει το µέσο να παρουσιάζει ελαστικότητα σχήματος. Γι αυτό τα εγκάρσια κύματα διαδίδονται στα στερεά και κατά προσέγγιση στην επιφάνεια των υγρών. Διαμήκη Κύματα: τα σωματίδια του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται σε διεύθυνση παράλληλη προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Τα διαμήκη κύματα διαδίδονται στα στερεά, τα υγρά και τα αέρια. Κατά την διάδοση των διαμηκών κυμάτων εμφανίζονται «πυκνώματα» και «αραιώματα». Στα στερεά τα διαμήκη κύματα διαδίδονται µε μεγαλύτερη ταχύτητα από ότι στα εγκάρσια. Για τη διάδοση των διαμήκων κυμάτων πρέπει το µέσο να παρουσιάζει ελαστικότητα όγκου. Γι αυτό τα διαμήκη κύματα διαδίδονται στα στερεά, υγρά και αέρια. Δ. Τα κύματα, ανάλογα µε τη μετακίνηση ή όχι της φάσης, διακρίνονται σε δύο βασικές κατηγορίες: 3

4 o o Τρέχοντα Κύματα: συμβαίνει μετακίνηση της φάσης του κύματος από το ένα σημείο του μέσου στο άλλο µε πεπερασμένη ταχύτητα. Στάσιμα Κύματα: όπου η φάση του κύματος δεν μετακινείται. Στοιχεία κύματος Α. Περίοδος ή συχνότητα Η περίοδος ή η συχνότητα του κύματος ταυτίζεται με την περίοδο ή την συχνότητα της πηγής. Περίοδος (Τ) ενός αρμονικού κύματος είναι το χρονικό διάστημα στο οποίο ένα σωματίδιο του μέσου εκτελεί µια πλήρη ταλάντωση. Περίοδος ενός αρμονικού κύματος είναι το χρονικό διάστημα στο οποίο η κυματική εικόνα επαναλαμβάνεται. Β Ταχύτητα διάδοσης του κύματος Ταχύτητα διάδοσης (υ) ενός αρμονικού κύματος ονομάζεται η ταχύτητα µε την οποία διαδίδεται το κύμα σε ένα ορισμένο ελαστικό µέσο. Όταν το ελαστικό µέσο είναι ομογενές και ισότροπο, η ταχύτητα διάδοσης ενός μηχανικού κύματος είναι σταθερή και δίνεται από την σχέση: υ = x t Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος εξαρτάται από το αν το κύμα είναι εγκάρσιο ή διαμήκες και καθορίζεται μόνο από την ελαστικότητα και την αδράνεια του ελαστικού μέσου. Γ. Μήκος κύματος Μήκος Κύματος (λ) ενός αρμονικού κύματος που διαδίδεται σε ένα ελαστικό µέσο ονομάζεται η απόσταση την οποία διατρέχει το κύμα στο µέσο αυτό σε χρόνο ίσο µε µια περίοδο του κύματος. υ = λ Τ = λ f Θεμελιώδης εξίσωση της Κυματικής Στην θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής η συχνότητα f καθορίζεται από την πηγή του κύματος και η ταχύτητα υ από το µέσο διάδοσης του κύματος. Κατά συνέπεια, όταν ένα κύμα μεταβαίνει από ένα µέσο Α σε ένα άλλο µέσο Β, αλλάζει η ταχύτητα και κατά συνέπεια το μήκος κύματος. Εξίσωση κύματος Η πηγή ταλαντώνεται με τη μορφή: y=aημ(ωt) Ένα σημείο προς τα δεξιά της πηγής που απέχει απόσταση από αυτή x θα ταλαντωθεί μετά από χρόνο t-t1=t-x/υ Άρα η εξίσωση της απομάκρυνσης έχει τη μορφή: y=aημ 2π Τ (t x υ ) = Aημ2π ( t T x λ ) Κατά τη φορά διάδοσης του κύματος η φάση μειώνεται. Γραφική παράσταση Επειδή η απομάκρυνση y είναι μια συνάρτηση δύο μεταβλητών του χρόνου t και της θέσης x του σωματιδίου, διακρίνουμε 2 περιπτώσεις γραφικών παραστάσεων. α) Ταλάντωση σωματιδίου του μέσου Για ένα δεδομένο σωματίδιο του μέσου που βρίσκεται σε ένα σημείο του άξονα Ox, δηλαδή για x=x1 η εξίσωση του αρμονικού κύματος παριστάνει την εξίσωση ταλάντωσης του σωματιδίου και γράφεται: 4

5 y = Aημ2π ( t T x 1 λ ) = f(t), t x 1 υ Διαφορά φάσης του ίδιου υλικού σημείου σε δύο διαφορετικές χρονικές στιγμές. Για το υλικό σημείο Μ σε δύο τυχαίες χρονικές στιγμές t1 και t2 η διαφορά φάσης υπολογίζεται: ϐ) Στιγμιότυπο του κύματος Δφ = 2π ( t 2 T x 1 λ ) 2π (t 1 T x 1 λ ) Δφ = 2π Τ Δt Για µια δεδομένη χρονική στιγμή. δηλαδή για t=t1, η εξίσωση του αρμονικού κύματος γράφεται: y = Aημ2π ( t 1 T x λ ) = f(x) Διαφορά φάσης δύο υλικών σημείων του μέσου σε µια δεδομένη χρονική στιγμή. Θεωρούμε δυο σημεία το Α και το Β του άξονα Ox που απέχουν αποστάσεις xa και xb από το σημείο Ο. Οι φάσεις των ταλαντώσεων τους κατά την ίδια χρονική στιγμή t θα είναι αντίστοιχα: φ Α = 2π ( t x A ) T λ και φ Β = 2π ( t x Β ) T λ αν xa<xb τότε θα είναι φα>φβ και η διαφορά φάσης θα είναι: Δφ = 2π ( t x A ) 2π ( t x B Δx ) Δφ = 2π T λ T λ λ Από την παραπάνω σχέση συμπεραίνουμε τα εξής: α) Αν είναι Δx = κλ, τότε θα είναι: Δφ = 2κπ και κατά συνέπεια: ya=αημ(φα) ya=αημ(φβ+2κπ)=αημ(φβ) ya= yβ Δx=κλ, κ=1,2, Συμφωνία φάσης (πολλαπλάσιο του λ) β) Αν είναι Δx=(2κ+1)λ/2 τότε θα είναι: Δφ=(2κ+1)π και κατά συνέπεια: ya=αημ(φα) ya=αημ(φβ+2κπ+π)=-αημ(φβ) ya= -yβ Δx=(2κ+1)λ/2, κ=0,1,2, Αντίθεση φάσης (περιττό πολλαπλάσιο του λ/2) 5

6 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Για να βρούμε που έχει φθάσει το κύμα κάποια χρονική στιγμή t1, μηδενίζουμε τη φάση και λύνουμε ως προς x: φ = 2π ( t x ) 0 = 2π T λ (t 1 x ) x = λ t 1 T λ T 2. Αν ξέρουμε τη φάση δύο σημείων καταλαβαίνουμε τη φορά διάδοσης του κύματος. Το κύμα διαδίδεται από το σημείο με μεγαλύτερη φάση προς το σημείο με μικρότερη. 3. Από τη γραφική παράσταση της φάσης με τη συντεταγμένη x μπορούμε να βρούμε το μήκος κύματος λ. Δφ = 2π ( x A λ x B λ ) λ = 2π x Α x Β φ Α φ Β 4. Από τη κλίση της γραφική παράσταση της φάσης σε συνάρτηση με το χρόνο t μπορούμε να βρούμε την κυκλική συχνότητα ω και στη συνέχεια την συχνότητα f, από τη σχέση: ω = Δφ Δt = φ Α φ Β t Α t Β 5. Για το σχεδιασμό του στιγμιότυπου στηριζόμαστε στο γεγονός ότι για κάθε αύξηση της φάσης κατά π/2 (που απαιτεί χρόνο Τ/4) το κύμα διαδίδεται κατά λ/4. Έτσι για παράδειγμα αν τη χρονική στιγμή t1 είναι φο=5π/2rad, καταλαβαίνουμε ότι η αρχή συντεταγμένων ταλαντώνεται για χρόνο 5Τ/4 και άρα το κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση 5λ/4. Κύμα με αρχική φάση Αν η ταλάντωση του σημείου Ο (x=0), που το θεωρούμε ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων, έχει αρχική φάση φο, τότε: y = Aημ (2π t T + φ ο) και η εξίσωση του κύματος έχει τη μορφή: y = Aημ2π ( t T x λ + φ ο 2π ) Η αρχική φάση υπολογίζεται αν γνωρίζουμε το σημείο Α που τη χρονική στιγμή t=0 αρχίζει να ταλαντώνεται δηλ να έχει φάση 0: φ ο φ Α = 2π λ (x o 0) φ ο = 2π λ x o Αν xo>0 τότε το Α βρίσκεται από τα δεξιά της αρχής μέτρησης Αν xo<0 τότε το Α βρίσκεται από τα αριστερά της αρχής μέτρησης Αν το κύμα διαδίδεται προς τα αριστερά τότε η σχέση έχει τη μορφή: φ ο = 2π λ x o και ισχύουν τα αντίθετα Πρακτικά Αρχική φάση φο για ένα κύμα μπορεί να σημαίνει ότι: είτε ότι το σημείο Ο έχει αρχίσει να εκτελεί ταλάντωση πριν τη χρονική στιγμή που θεωρούμε εμείς ως t=0, οπότε αυτό έχει ως αποτέλεσμα τη χρονική στιγμή t=0 το κύμα να έχει διαδοθεί σε κάποια απόσταση πέρα από το Ο. είτε ότι τη χρονική στιγμή t=0 το κύμα δεν έχει φτάσει στο σημείο Ο. είτε το σημείο Ο ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t=0 µε φορά προς τα κάτω και µε ταχύτητα υ= υmax. Στην περίπτωση αυτή το κύμα δεν έχει διαδοθεί πέρα από το σημείο Ο τη χρονική στιγμή t=0, αλλά όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου στα οποία φτάνει το κύμα ξεκινούν να ταλαντώνονται µε φορά προς τα κάτω (όπως το σημείο Ο). Με βάση τα παραπάνω πρέπει να µας είναι σαφές ότι ένα κύμα δεν έχει αρχική φάση όταν τη χρονική στιγμή t=0 το σημείο Ο (x=0) ξεκινά να ταλαντώνεται µε ταχύτητα υ=+υmax. Επίσης αν και η αρχική φάση στις ταλαντώσεις παίρνει τιμές 0 φο 2πrad, στα κύματα μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. 6

7 2.2 ΣΥΜΒΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ Συμβολή είναι η ταυτόχρονη διάδοση στο ίδιο μέσο δύο ή περισσοτέρων κυμάτων Ισχύει κατά τη συμβολή η αρχή της επαλληλίας Σύγχρονες και Σύμφωνες πηγές κυμάτων Δύο πηγές κυμάτων ονομάζονται σύμφωνες πηγές, όταν οι ταλαντώσεις τους έχουν σταθερή διαφορά φάσης. Για να είναι η διαφορά φάσης δύο ταλαντώσεων σταθερή, πρέπει αυτές να έχουν την ίδια συχνότητα. Όταν η σταθερή διαφορά φάσης των δύο σύμφωνων πηγών είναι ίση µε μηδέν (Δφ=0), τότε οι δύο πηγές ονομάζονται σύγχρονες πηγές. Οι σύγχρονες πηγές δημιουργούν ταυτόχρονα μέγιστα και ελάχιστα. Μόνον τα αρμονικά κύματα που προέρχονται από δυο σύμφωνες ή σύγχρονες πηγές κυμάτων παρέχουν φαινόμενα συμβολής. Συμβολή δύο κυμάτων στην επιφάνεια υγρού Στην ήρεμη επιφάνεια ενός υγρού πηγές Π1 και Π2 εκπέμπουν αρμονικά κύματα πλάτους Α, περιόδου Τ και μήκους κύματος λ. Θεωρούμε ένα σημείο Σ που απέχει αποστάσεις r1 και r2 από τις πηγές Π1 και Π2 αντίστοιχα. Η απομάκρυνση του σημείου Σ: y = Aημ2π ( t T x 1 λ ) + Aημ2π ( t T x 2 λ ) = 2Aσυν (2π x 1 x 2 2λ ) ημ2π ( t T x 1 + x 2 ) 2λ Από την σχέση προκύπτει ότι το πλάτος της ταλάντωσης A = 2Aσυν (2π x 1 x 2 ) δεν είναι ίδιο για όλα τα 2λ υλικά σημεία της επιφάνειας του νερού αλλά εξαρτάται από τη θέση του σημείου σε σχέση µε τις δύο πηγές των κυμάτων. α. Το πλάτος Α γίνεται μέγιστο, δηλαδή Α =2Α, όταν είναι: συν (2π x 1 x 2 ) = 1 συν (2π x 1 x 2 ) = 1 2π x 1 x 2 = Νπ Συνθήκη ενίσχυσης 2λ 2λ 2λ ϐ. Το πλάτος Α γίνεται μηδενικό, δηλαδή Α =0 όταν είναι: x 1 x 2 = Νλ, όπου Ν = 0, ±1, ±2,. συν (2π x 1 x 2 ) = 0 2π x 1 x 2 = (2Ν + 1) π 2λ 2λ 2 Συνθήκη απόσβεσης x 1 x 2 = (2Ν + 1) λ, όπου Ν = 0, ±1, ±2,. 2 Ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του υγρού για τα οποία ισχύει x1 x2=σταθ. είναι µια υπερβολή. Επομένως τα σημεία στα οποία έχουμε ενίσχυση (συνεχείς γραμμές) και τα σημεία στα οποία έχουμε απόσβεση (διακεκομμένες γραμμές) βρίσκονται πάνω σε υπερβολές. Το σύνολο των υπερβολών αυτών χαρακτηρίζεται µε το όνομα κροσσοί συμβολής. 7

8 1η Παρατήρηση: Αν οι δύο πηγές Π1 και Π2, έχουν διαφορετικά πλάτη ταλάντωσης A1 και A2, τότε το πλάτος Α της συνισταμένης ταλάντωσης σε σημείο Σ υπολογίζετε από τη σχέση: 2η Παρατήρηση: Α = Α Α Α 1 Α 2 συνδφ, όπου Δφ = 2π x 1 x 2, λ Πρέπει να σημειωθεί ότι η παραπάνω μελέτη της συμβολής αφορούσε δύο κύματα οι πήγες των οποίων έχουν κάθε στιγμή ίδια φάση. Συμβολή όμως συμβαίνει σε κάθε περίπτωση όπου δύο κύματα διαδίδονται στο ίδιο µέσο, ανεξάρτητα αν προέρχονται από συμφασικές πηγές ή όχι. 3η Παρατήρηση Υπολογισμός του πλάτους της σύνθετης ταλάντωσης ενός σημείου Σ. Πρέπει να γνωρίζουμε τη διαφορά των αποστάσεων x1-x2 του Σ από τις δύο πηγές. Πρέπει να γνωρίζουμε τη διαφορά των χρόνων άφιξης κάθε κύματος t1-t2 στο Σ. Αν t1 είναι ο χρόνος για να φτάσει το κύμα από την πηγή Π1 στο Σ και t2 αντίστοιχα από την πηγή Π2 στο Σ, τότε: x1=ukt1 και x2=ukt2 άρα A = 2A συν (2π υ Κt 1 υ Κ t 2 ) = 2A συν (π t 1 t 2 ) 2λ T όπου t1-t2 η χρονική καθυστέρηση άφιξης του ενός κύματος σε σχέση με το άλλο. Πρέπει να γνωρίζουμε τη διαφορά φάσης φ1-φ2 των δύο κυμάτων στο σημείο Σ. Δφ = φ 1 φ 2 = ( 2πt 2πx 1 ) T λ (2πt 2πx 2 ) = 2π (x T λ λ 1 x 2 ) άρα π λ (x 1 x 2 ) = Δφ 2 4η Παρατήρηση Υπολογισμός των κροσσών συμβολής και A = 2A συν (2π x 1 x 2 2λ ) = 2Α συν Δφ 2 Από τις σχέσεις: x 1 x 2 = 2Ν λ 2 για κροσσούς ενίσχυσης και x 1 x 2 = (2Ν + 1) λ 2 για κροσσούς απόσβεσης, έχουμε την ενιαία σχέση: x 1 x 2 = k λ 2 όπου k=0,±1, ±2,. 8

9 Έτσι αν k είναι άρτιος θα έχουμε ενίσχυση και αν k είναι περιττός θα έχουμε απόσβεση. Στο σχήμα βλέπετε τις τιμές του αριθμού k για μερικούς κροσσούς και στο πάνω μέρος κάθε κροσσού τη διαφορά των αποστάσεων x1- x2 από τις δύο πηγές. ΠΡΟΣΟΧΗ: Στην περίπτωση που η απόσταση d=2kλ/2 ή d=(2k+1)λ/2 τότε από τις θέσεις των πηγών δεν περνάνε υπερβολές ενίσχυσης ή απόσβεσης. Οι υπερβολές που θα πέρναγαν από τις πηγές έχουν εκφυλιστεί στις δύο ημιευθείες δεξιά και αριστερά των πηγών. Άρα: Από τις πηγές ποτέ δεν διέρχονται υπερβολές ενίσχυσης ή απόσβεσης. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Αν η απόσταση μεταξύ των δύο πηγών είναι D=3,2λ και Σ ένα τυχαίο σημείο στη περιοχή συμβολής των δύο κυμάτων τότε σχηματίζεται ένα τρίγωνο Π1ΣΠ2. Είναι γνωστό ότι σε κάθε τρίγωνο η απόλυτη τιμή της διαφοράς των δύο πλευρών είναι πάντα μικρότερη ή ίση από την Τρίτη. Άρα: x 1 x 2 = k λ 2 D k 2D λ Έτσι ο αριθμός k είναι ακέραιος ανάμεσα στις τιμές: 2D λ k 2D λ τιμές -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 κροσσοί ενίσχυσης 7 (οι άρτιοι και το μηδέν) και απόσβεσης 6 (οι περιττοί) δηλαδή 2D/λ=6,4 και ο k μπορεί να πάρει Έτσι αν k είναι άρτιος θα έχουμε ενίσχυση και αν k είναι περιττός θα έχουμε απόσβεση. Στο σχήμα βλέπετε τις τιμές του αριθμού k για μερικούς κροσσούς και στο πάνω μέρος κάθε κροσσού τη διαφορά των αποστάσεων x1- x2. Στάσιμο Κύμα Στάσιμο Κύμα ονομάζεται το αποτέλεσμα της συμβολής δύο κυμάτων της ίδιας συχνότητας και του ίδιου πλάτους, που διαδίδονται στο ίδιο µέσο µε την ίδια ταχύτητα και προς αντίθετες κατευθύνσεις. Εξίσωση στάσιμου κύματος Όταν τα δύο κύματα συναντηθούν, η απομάκρυνση ενός σημείου Σ του ελαστικού μέσου θα είναι: y=y1+y2= Aημ2π ( t T x λ ) + Aημ2π ( t T + x λ ) 9

10 y = 2Aσυν2π x λ ημ2π t T Από την εξίσωση παρατηρούμε ότι η απομάκρυνση του σημείου Σ είναι ημιτονοειδής συνάρτηση μόvo του χρόνου. Αυτό σημαίνει πως πρόκειται για ταλάντωση και όχι για κύμα. Το πλάτος ταλάντωσης: Α = 2Aσυν2π x λ, οπότε τα σημεία του μέσου θα έχουν πλάτος που θα κυμαίνετε 0 Α 2Α Δεσμοί: Με Α =0 x = (2Ν + 1) λ, όπου Ν = 0, ±1, ±2,. 4 Κοιλίες: Με Α =2Α x = Ν λ, όπου Ν = 0, ±1, ±2,. 2 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 1. Από τον όρο ημ2πt/t της εξίσωσης που δεν περιέχει την απομάκρυνση x καταλαβαίνουμε ότι όλα τα σημεία μηδενίζονται και μεγιστοποιούνται ταυτόχρονα. Η εξίσωση περιγράφει στάσιμο κύμα όταν η αρχή των συντεταγμένων είναι κοιλία η οποία τη χρονική στιγμή t=0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της. Άλλες μορφές του στάσιμου κύματος: Α. y = 2Aσυν2π x λ συν2π t T η αρχή των συντεταγμένων είναι κοιλία και για t=0 βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας της Β. y = 2Aημ2π x λ ημ2π t T η αρχή των συντεταγμένων είναι δεσμός και για t=0 η πρώτη μετά την αρχή συντεταγμένων κοιλία διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα Γ. y = 2Aημ2π x λ συν2π t T η αρχή των συντεταγμένων είναι δεσμός και για t=0 η πρώτη μετά την αρχή συντεταγμένων κοιλία βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας της. Γενικότερα έχουμε εξίσωση στάσιμου κύματος, όταν οι μεταβλητές x και t δε βρίσκονται στο ίδιο τριγωνομετρικό αριθμό. 2. Δύο οποιαδήποτε σημεία του στάσιμου κύματος μπορεί να είναι μόνο ή συμφασικά ή αντιφασικά μεταξύ τους και καθορίζονται από το πρόσημο του όρου συν2πx/λ για κάθε ένα από τα δύο σημεία. Ομόσημοι οι όροι, τότε τα x1 και x2 συμφασικά (άρτιος ή μηδενικός αριθμός δεσμών μεταξύ τους). Ετερόσημοι οι όροι, τότε τα x1 και x2 αντιφασικά (περιττός αριθμός δεσμών μεταξύ τους). 3. Το στάσιμο κύμα δεν μεταφέρει ενέργεια γι αυτό δεν είναι κύμα. Η ενέργεια είναι εντοπισμένη ανάμεσα δύο διαδοχικών δεσμών. 4. Στάσιμο κύμα σε χορδή: Επειδή τα άκρα μιας χορδής είναι ακίνητα, θα πρέπει σ αυτά υποχρεωτικά να δημιουργηθούν δεσμοί του στάσιμου κύματος. Άρα θα πρέπει το μήκος L της χορδής και το μήκος κύματος λ να συνδέονται με τη σχέση: L=k.λ 2 με k=1,2,.. και ισχύει η εξίσωση (1Β) ή (1Γ). Στην περίπτωση που η χορδή είναι δεμένη στο ένα άκρο της και ελεύθερο το άλλο, τότε το ελεύθερο άκρο της θα είναι συνεχώς κοιλία και το δεμένο υποχρεωτικά δεσμός. Άρα για να σχηματιστεί στάσιμο 10

11 κύμα θα πρέπει το μήκος της χορδής L να επαληθεύει τη σχέση: L= λ 4 + k.λ με k=1,2,.. 2 Στη χορδή σχηματίζονται σχεδόν δεσμοί αφού το πλάτος ταλάντωσης είναι πολύ μικρό. Δεν μπορούν να είναι πραγματικοί δεσμοί, γιατί κατά μήκος της χορδής πρέπει να μεταφέρεται ενέργεια από την πηγή παραγωγής κυμάτων, αφού πάντα έχουμε αποσβέσεις οπότε πρέπει να αναπληρώνονται οι απώλειες ενέργειας και να έχουμε ταλάντωση σταθερού πλάτους. 5. Διαφορές Τρέχον και Στάσιμο κύμα. ΤΡΕΧΟΝ ΚΥΜΑ 1. Όλα τα υλικά σημεία του μέσου ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος ΣΤΑΣΙΜΟ ΚΥΜΑ 1. Το πλάτος ταλάντωσης των υλικών σημείων του μέσου κυμαίνεται από 0 μέχρι 2Α και εξαρτάται από τη θέση τους 2. Έχουμε μεταφορά ενέργειας 2. Δεν έχουμε μεταφορά ενέργειας 3. Όλα τα υλικά σημεία του μέσου κάνουν 3. Υπάρχουν σημεία του μέσου που παραμένουν ταλάντωση συνέχεια ακίνητα (Δεσμοί) 4. Τα υλικά σημεία του μέσου έχουν 4. Τα υλικά σημεία μεταξύ δύο διαδοχικών διαφορετικές φάσεις την ίδια χρονική δεσμών έχουν την ίδια φάση, ενώ εκατέρωθεν ενός δεσμού σε απόσταση μικρότερη από στιγμή λ/2 από τον δεσμό έχουν Δφ=π rad 5. Έχει ορισμένη διεύθυνση διάδοσης 5. Δεν έχει διεύθυνση διάδοσης 6. Τα υλικά σημεία του μέσου περνούν από τη θέση ισορροπίας τους σε διαφορετικές χρονικές στιγμές 6. Τα υλικά σημεία του μέσου περνούν ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους 11

12 2.3 ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Ηλεκτρομαγνητικό κύμα (ΗΜΚ) είναι η ταυτόχρονη διάδοση ενός ηλεκτρικού και ενός μαγνητικού πεδίου. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται στο κενό µε την ταχύτητα του φωτός. Σε όλα τα άλλα υλικά διαδίδονται µε μικρότερη ταχύτητα. Η ταχύτητα διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος εξαρτάται από την φύση του μέσου διάδοσης. Για το κενό η ταχύτητα του είναι cο= m/s. Χαρακτηριστικά ΗΜ κύματος 1. Το ΗΜ κύμα αποτελείται από δύο εγκάρσια κύματα. Ένα ηλεκτρικό και ένα μαγνητικό με την ίδια συχνότητα, το ίδιο μήκος κύματος και μακριά από την πηγή, την ίδια φάση. 2. Τα ΗΜ κύματα δημιουργούνται από επιταχυνόμενα ηλεκτρικά φορτία, που δημιουργούν μεταβαλλόμενα ηλεκτρικά και μαγνητικά πεδία. (Ταλαντευόμενο ηλεκτρικό δίπολο) Η αιτία δημιουργίας ΗΜ κύματος είναι η επιταχυνόμενη κίνηση των ηλεκτρικών φορτίων. 3. Το ΗΜ κύμα είναι εγκάρσιο, µε τα διανύσματα του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου να είναι κάθετα μεταξύ τους και κάθετα στην διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Σε αντίθεση με τα μηχανικά κύματα το ΗΜ κύμα διαδίδεται και στο κενό. 4. Κάθε στιγμή ο λόγος των μέτρων των εντάσεων του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου είναι ίσος µε την ταχύτητα διάδοσης c (για το κενό co). E B = c 5. Τα HM κύματα, όπως και τα μηχανικά, υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας. Εξισώσεις ΗΜ κύματος Οι εξισώσεις που περιγράφουν το ΗΜ κύμα: Ε = Ε ο ημ2π ( t T x λ ) B = B ο ημ2π ( t T x λ ) Το στιγμιότυπο ΗΜ Κύματος 12

13 Το φάσμα της ΗΜ ακτινοβολίας Όλες οι ΗΜ ακτινοβολίες υπακούν στην εξίσωση της κυματικής: c=λ. f Το φάσμα της ακτινοβολίας χωρίζεται σε 7 βασικές περιοχές ανάλογα με το λο που έχουν στο κενό. Ραδιοκύματα: 10 5 m <λ < 30cm Παράγονται από ηλεκτρικά δίπολα και χρησιμοποιούνται στις επικοινωνίες. Μικροκύματα: 30cm < λ < 1mm Παράγονται από ηλεκτρικά δίπολα και χρησιμοποιούνται στις επικοινωνίες. Υπέρυθρα: 1mm < λ < 700nm Παράγονται από ηλεκτρικά δίπολα και από αυτοδιέγερση ατόμων και χρησιμοποιούνται σε φωτογραφίσεις, στην ιατρική, στην αστρονομία. Ορατό φως: 700nm < λ < 400nm Παράγονται από αυτοδιέγερση ατόμων και ανιχνεύονται από τον ανθρώπινο οφθαλμό. Υπεριώδες: Ακτίνες Χ: Ακτίνες γ:. 400nm < λ < 60nm Παράγονται από αυτοδιέγερση ατόμων με μεγαλύτερη ενέργεια και με ειδικές λυχνίες. Μεγάλες δόσεις ακτινοβολίας βλάπτει τον άνθρωπο (μαύρισμα) 60nm < λ < 0,1pm Παράγονται από αυτοδιέγερση ατόμων και από επιταχυνόμενα ηλεκτρόνια. Χρησιμοποιούνται στην ιατρική και στη μελέτη κρυσταλλικών δομών. 100pm < λ < 0,01pm Παράγονται από αυτοδιέγερση ατομικών πυρήνων και στις πυρηνικές αντιδράσεις. Είναι πολύ διεισδυτικές και βλάπτουν τους οργανισμούς που τις απορροφούν. 13

14 2.4 ΑΝΑΚΛΑΣΗ-ΔΙΑΘΛΑΣΗ-ΟΛΙΚΗ ΑΝΑΚΛΑΣΗ Ανάκλαση Ανάκλαση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης διάδοσης μιας φωτεινής ακτίνας, όταν αυτή προσπίπτει πλαγίως σε μια επίπεδη επιφάνεια, χωρίς να απορροφάται από αυτή. Η προσπίπτουσα ακτίνα, η ανακλώμενη ακτίνα και η κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο της πρόσπτωσης βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ( επίπεδο πρόσπτωσης). Διάθλαση Η γωνία ανάκλασης θα είναι ίση µε τη γωνία πρόσπτωσης θπ θπ = θα Διάθλαση είναι η εκτροπή μιας φωτεινής ακτίνας από την αρχική διεύθυνσης διάδοσης, όταν αυτή αλλάζει μέσο διάδοσης, ενώ προσπίπτει πλαγίως σε μια διαχωριστική επίπεδη επιφάνεια των δύο μέσων. Ο λόγος της ταχύτητας cο του φωτός στο κενό προς την ταχύτητα του c σε ένα διαφανές υλικό ονομάζεται δείκτης διάθλασης n του διαφανούς υλικού. Δηλαδή: n = c o c Ο δείκτης διάθλασης είναι καθαρός αριθμός και για το κενό είναι ίσος εξ ορισμού µε την 1 (n=1) Για όλα τα διαφανή υλικά μέσα ο δείκτης διάθλασης είναι μεγαλύτερος της 1 (n>1). Νόμοι της διάθλασης: Η προσπίπτουσα ακτίνα, η διαθλώμενη ακτίνα και η κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο διαφανών μέσων, στο σημείο πρόπτωσης της ακτίνας, βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Όταν το φως είναι μονοχρωματικό, ο λόγος του ημιτόνου της γωνίας πρόπτωσης προς το ημίτονο της γωνίας διάθλασης είναι ίσος µε τον αντίστροφο λόγο των δεικτών διάθλασης των δύο μέσων. Δηλαδή: Ολική Ανάκλαση ημθ π ημθ δ = n 2 n 1 Νόμος του Snell. Όταν μία φωτεινή ακτίνα διέρχεται από ένα πυκνότερο σε ένα αραιότερο μέσο και προσπίπτει στην διαχωριστική επιφάνεια πλαγίως, τότε μπορεί να πάθει ολική ανάκλαση. Η γωνία θπ για την οποία η διαθλώμενη ακτίνα είναι παράλληλη προς την διαχωριστική επιφάνεια των δυο μέσων ονομάζεται κρίσιμη (ή οριακή) γωνία και συμβολίζεται µε θcrit. Για θδ=90 έχουμε: ημθ π = ημθ crit = n 2 n 1 Το φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης συμβαίνει µόνο όταν φώς μεταβαίνει από ένα πυκνό διαφανές µέσο σε ένα αραιό διαφανές µέσο και µόνο όταν η γωνία πρόσπτωσης είναι μεγαλύτερη της κρίσιμης γωνίας. Όταν το φώς μεταβαίνει από ένα διαφανές µέσο µε δείκτη διάθλασης n, στο κενό (ή στον αέρα) με nο=1 τότε η κρίσιμη γωνία για το διαφανές µέσο θα είναι: ημθcrit=1/n 14