Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων. Τμήμα Φυσικής. Σημειώσεις για το μάθημα. "Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές"

Transcript

1 Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις για το μάθημα "Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές" Α. Δούβαλης Α. Πολύμερος -. Ιωάννινα 2017

2

3 Κεφάλαιο 1-Λειτουργικά Συστήματα Λειτουργικό σύστημα (Operating System/OS) ονομάζεται ένα λογισμικό (software) που έχει ως στόχο να διαχειρίζεται τις διαδικασίες λειτουργίας ενός ή περισσοτέρων υπολογιστών καθώς και τις συσκευές υλικού οι οποίες είναι ενσωματωμένες σε ένα ή περισσότερα υπολογιστικά συστήματα, έτσι ώστε αυτές να είναι προσπελάσιμες από διάφορα εκτελέσιμα προγράμματα (executable programs) με ενιαίο τρόπο. Το λογισμικό είναι ένα σύνολο από πληροφορίες σε μορφή ψηφιακών δεδομένων (αρχείων) * που είναι εγκατεστημένα σε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή και τα ποία δίνουν την δυνατότητα στον υπολογιστή να εκτελέσει κάποιες διαδικασίες ή να καθορίσει την λειτουργία συσκευών που ελέγχει ο υπολογιστής. Το λειτουργικό σύστημα και τα διάφορα προγράμματα που εκτελεί ο υπολογιστής ανήκουν στην ευρεία έννοια του λογισμικού του. Σήμερα είναι διαθέσιμος ένας μεγάλος αριθμός λειτουργικών συστημάτων. Η επιλογή τους εξαρτάται από την μία πλευρά από τις δυνατότητες και τον σχεδιασμό του ηλεκτρονικού υπολογιστή στον οποίο πρόκειται να εγκατασταθούν, και από την άλλη από τις προτιμήσεις των χρηστών και την είδος της εργασίας που πρόκειται να διεξαχθεί από αυτούς. Στις μέρες μας δύο από τα πιο σύγχρονα λειτουργικά συστήματα ευρείας χρήσης είναι τα Windows ΤΜ της εταιρίας Microsoft και το Linux, το οποίο διατίθεται από ένα μεγάλο αριθμό εταιριών ή ομάδων δημιουργίας ελεύθερου λογισμικού, γι αυτό και διαθέτει διαφορετικές ονομασίες (π.χ. Ubuntu, Suse, Red Hat, Fedora κ.α.). Με την έννοια σύγχρονα λειτουργικά συστήματα αναφερόμαστε στην δυνατότητα των λογισμικών αυτών να υλοποιούν ιδέες όπως των παράλληλων διεργασιών (multitasking), της εξυπηρέτησης πολλαπλών χρηστών (multiuser), της ασφάλειας και δικαιωμάτων χρήστη (user security), της γραφικής διαδραστικής διαχείρισης διεπαφής με τον χρήστη (graphical user interface), της δικτύωσης (networking) κ.α. Στα επόμενα θα γίνει περιγραφή των βασικών σημείων του λειτουργικού συστήματος Windows Vista ΤΜ της Microsoft καθώς και του λειτουργικού συστήματος Linux Ubuntu. Εκκίνηση, πρώτη εικόνα Στις παρακάτω εικόνες εμφανίζονται οι τυπικές πρώτες απεικονίσεις εκκίνησης των δύο λειτουργικών συστημάτων. Όσον αφορά τα Windows Vista ΤΜ τα βασικά στοιχεία της πρώτης εικόνας που εμφανίζεται μετά την προσπέλαση στον υπολογιστή [Εικόνα 1(α)] είναι η οριζόντια γραμμή στο κάτω μέρος της οθόνης η οποία ονομάζεται "γραμμή εργασιών" στα αριστερά της οποίας υπάρχει ένα "κουμπί" με το σήμα των Windows Vista ΤΜ το οποίο αποκαλείται "έναρξη". Η ενεργοποίηση αυτού του κουμπιού με το ποντίκι μας παρουσιάζει ένα "μενού" επιλογών το οποίο περιλαμβάνει τα διαθέσιμα προς εκτέλεση προγράμματα μέσω της επιλογής της εντολής "Όλα τα προγράμματα". Εκεί βρίσκονται όλα τα προγράμματα που έχουν εγκατασταθεί στο λειτουργικό σύστημα και μπορούν να εκτελεστούν στον υπολογιστή. Πάνω από την επιλογή αυτή υπάρχει επίσης μία λίστα με τα πιο δημοφιλή προγράμματα ή τα τελευταία προγράμματα που έχουν εκτελεστεί μέσω του λειτουργικού συστήματος. Κάτω από την επιλογή αυτή υπάρχει μία πολύ χρήσιμη γραμμή αναζήτησης ονομάτων που αφορά εύρεση κάποιου αρχείο στον υπολογιστή ή κάποιου προς εκτέλεση προγράμματος. Χρησιμοποιούμε αυτή την γραμμή εύρεσης πληκτρολογώντας όλο ή μέρος από το όνομα του αρχείου που ψάχνουμε ή του προγράμματος που θέλουμε να εκτελέσουμε. Με τον τρόπο αυτό εμφανίζεται μία λίστα με τα σχετικά ονόματα των αρχείων ή προγραμμάτων από τα οποία μπορούμε να διαλέξουμε με το ποντίκι αυτό της επιλογής μας. Ανάλογες εντολές μπορούμε να πάρουμε από τα αντίστοιχα μενού εντολών στο λειτουργικό σύστημα Linux Ubuntu [Εικόνα 1(β)]. Η γραμμή εργασιών στην περίπτωση αυτή βρίσκεται στο * Η έννοια του αρχείου θα δοθεί παρακάτω. 1

4 οριζόντιο επάνω μέρος της οθόνης. Τα βασικά μενού στην περίπτωση αυτή είναι τα Applications (εφαρμογές), Places (μέρη - τοποθεσίες) και System (σύστημα). Παράθυρα, αποθηκευτικά μέσα, φάκελοι, αρχεία και η διαχείρισή τους Μια από τις κύριες διαδικασίες ενός λειτουργικού συστήματος είναι η δημιουργία και επεξεργασία δομών στα διάφορα ψηφιακά αποθηκευτικά μέσα. Τα κύρια ψηφιακά αποθηκευτικά μέσα των σύγχρονων υπολογιστών είναι ο "σκληρός δίσκος" (Hard Disc), ο οποίος στις περισσότερες των περιπτώσεων είναι μαγνητικός, δηλαδή η εγγραφή και διαγραφή των ψηφιακών δεδομένων γίνεται με εκμετάλλευση των μαγνητικών του ιδιοτήτων, το Compact Disc (CD) και το Digital Versatile Disc (DVD), στα οποία η εγγραφή των δεδομένων γίνεται με εκμετάλλευση των οπτικών τους ιδιοτήτων και τα Compact Flash (CF) ή Universal Serial Bus (USB) Flash όπου η εγγραφή και διαγραφή των δεδομένων γίνεται με ηλεκτρονικό τρόπο. Εικόνα 1(α). Πρώτη εικόνα εμφάνισης του λειτουργικού συστήματος Windows Vista ΤΜ. Εικόνα 1(β). Πρώτη εικόνα εμφάνισης του λειτουργικού συστήματος Linux Ubuntu. 2

5 Πολλές φορές για την περιγραφή αυτών των αποθηκευτικών μέσων χρησιμοποιείται ο όρος "οδηγός" (drive) ή "φυσικό μέσο" (physical medium), π.χ., οδηγός σκληρού δίσκου, φυσικό μέσο CD, οδηγός CF κ.τ.λ. Η δομή καταγραφής των πληροφοριών που περιέχουν τα αποθηκευτικά μέσα ορίζεται από το λειτουργικό σύστημα και ονομάζεται σύστημα αρχείων (filesystem). Στην περίπτωση των Windows Vista TM τα πλέον διαδεδομένα συστήματα αρχείων είναι το NTFS (New Technology File System) και το FΑΤ32 (File Allocation Table). Στην περίπτωση του Linux το αντίστοιχο σύστημα αρχείων ονομάζεται Ext2. Στο λειτουργικό σύστημα Windows Vista ΤΜ, οποιοδήποτε φυσικό μέσο ή οδηγός αποθήκευσης π.χ σκληρός δίσκος, είναι δυνατόν να διαμεριστεί σε λογικές ενότητες οι οποίες ονομάζονται διαμερίσματα (partitions) και αφού μορφοποιηθεί με ένα σύστημα αρχείων κάθε τέτοιο διαμέρισμα ονομάζεται τόμος (volume). Με κάθε τόμο συσχετίζεται και ένα γράμμα της αγγλικής γλώσσας π.χ C:. Διαφορετικοί τόμοι μπορούν να αντιστοιχούν σε ομοειδή ή και σε διαφορετικά φυσικά μέσα (Εικόνα 2), όπως σε ένα σκληρό δίσκο με διαμερίσματα (C:) και (D:), σε ένα οπτικό μέσο DVD (E:), σε ένα μέσο compact flash (F:) κ.ο.κ. Εικόνα 2. Φυσικά μέσα στο λειτουργικό σύστημα Windows Vista ΤΜ. Παράθυρα, φάκελοι, αρχεία και η διαχείρισή τους Κάθε τόμος διαμερίζεται συνήθως με την σειρά του σε λογικούς χώρους οι οποίοι ονομάζονται κατάλογοι ή φάκελοι (directories), π.χ C:\windows. Οι φάκελοι μπορούν να φιλοξενούν άλλους φακέλους ή αρχεία (files). Τα αρχεία είναι οι πραγματικές φυσικές μονάδες οι οποίες περιέχουν όλες τις ψηφιακές πληροφορίες του υπολογιστή. Η μορφή των αντικειμένων που εμφανίζονται προσομοιάζει "παράθυρα" από τα οποία πήρε και το όνομά του το λειτουργικό σύστημα Windows TM. Παρατηρούμε ότι τα παράθυρα αυτά έχουν τρία σύμβολα στο δεξί πάνω μέρος τους. Αυτά τα σύμβολα αφορούν την εμφάνιση, το μέγεθος και διαχείρισή τους. Το σύμβολο ελαχιστοποιεί το μέγεθος του παραθύρου που μεταβαίνει στην γραμμή εργασιών, στην οποία και εμφανίζεται μόνο με τον τίτλο του. Το σύμβολο μεγιστοποιεί το μέγεθος του παραθύρου στο πλήρες διαθέσιμο μέγεθος που εξαρτάται από το μέγεθος της οθόνης. Παρατηρήστε ότι όταν το παράθυρο μεγιστοποιηθεί το σύμβολο αντικαθιστάται από το σύμβολο με το οποίο μπορούμε να 3

6 επιστρέψουμε στο ενδιάμεσο μέγεθος του παραθύρου. Το σύμβολο κλείνει τελείως το παράθυρο. Οι διαστάσεις και η μορφή του ενδιάμεσου μεγέθους του παραθύρου μπορούν να μεταβληθούν χρησιμοποιώντας τo το ποντίκι μας, το οποίο από την μορφή λευκού βέλους αλλάζει κατάλληλα στις πλευρές ή τις κορυφές του παραθύρου. Μπορούμε να μετακινήσουμε το παράθυρο μόνο όταν αυτό βρίσκεται στην μορφή του ενδιάμεσου μεγέθους. Αυτό γίνεται επιλέγοντας την πάνω οριζόντια γραμμή στο περιθώριο του παραθύρου, η οποία ονομάζεται γραμμή τίτλου, κρατώντας την με το ποντίκι μας με συνεχή πίεση του αριστερού του πλήκτρου και μετακινώντας το παράθυρο στην θέση που θέλουμε. Για την διαχείριση των φακέλων και αρχείων όλα τα λειτουργικά συστήματα προσφέρουν εξειδικευμένα προγράμματα. Αυτά ονομάζονται γενικά διαχειριστές αρχείων (file managers). Στην περίπτωση των Windows Vista TM ο διαχειριστής αυτός ονομάζεται Windows Explorer (Εξερεύνηση των Windows). Και στα δύο λειτουργικά συστήματα (Windows Vista TM Ubuntu Linux) υπάρχει ένας ειδικός κατάλογος στον οποίο έχουμε άμεση και συνεχή οπτική πρόσβαση. Στην ουσία αυτός ο κατάλογος είναι η πρώτη εικόνα που βλέπουμε όταν εκκινήσει ο υπολογιστής μας και επειδή προσομοιάζει την επιφάνεια ενός πραγματικού γραφείου εργασίας ονομάζεται "επιφάνεια εργασίας" (Desktop). Κάθε χρήστης του λειτουργικού συστήματος έχει την δική του επιφάνεια εργασίας. Η διάρθρωση των φακέλων και των αρχείων ή άλλων φακέλων που περιέχουν μπορεί να απεικονιστεί με την μορφή δένδρου. Στο λειτουργικό σύστημα Windows Vista ΤΜ για να δούμε αυτή την δενδροειδή διάταξη πρέπει να καλέσουμε τον διαχειριστή αρχείων windows explorer. Η εκτέλεση αυτού του προγράμματος γίνεται με διάφορους τρόπους, δύο από τους πιο εύκολους είναι οι εξής: 1. Από το κουμπί "έναρξη" διαλέγουμε δεξιά την εντολή "Υπολογιστής" και στο "παράθυρο" που ανοίγει παρατηρούμε ότι εμφανίζονται όλα τα φυσικά μέσα που είναι διαθέσιμα στον υπολογιστή. 2. Στην γραμμή εύρεσης πληκτρολογούμε "windows explorer" και διαλέγουμε το αντίστοιχο όνομα από την λίστα που μας παρουσιάζεται. 4

7 Εικόνα 3. Δενδροειδής διάρθρωση των φακέλων και αρχείων του υπολογιστή όπως απεικονίζεται μέσω του διαχειριστή αρχείων των Windows Vista TM. Στο αριστερό μέρος του παραθύρου παρουσιάζονται τα φυσικά μέσα ή και οι φάκελοι που αυτά περιέχουν, ενώ στο δεξί μέρος τα περιεχόμενα του μέσου ή του φακέλου που έχουμε επιλέξει με το ποντίκι. Ο φάκελος αυτός (user στην Εικόνα 3), εμφανίζεται σκιασμένος στο αριστερό μέρος του παραθύρου. Στο λειτουργικό σύστημα Windows ΤΜ και στον τόμο που φιλοξενεί τα αρχεία του λειτουργικού μας συστήματος (συνήθως είναι ο C:) υπάρχουν δύο ειδικοί φάκελοι με τα ονόματα windows και user. Ο πρώτος περιέχει το ίδιο το λειτουργικό σύστημα και βοηθητικά αρχεία και ο δεύτερος, του οποίου το όνομα μπορεί να διαφέρει από υπολογιστή σε υπολογιστή, χρησιμοποιείται συνήθως για την αποθήκευση αρχείων που πρόκειται να δημιουργήσει ο τρέχον χρήστης. Στα επόμενα θα χρησιμοποιούμε τον φάκελο user (ή τον φάκελο με το ανάλογο όνομα) για να αποθηκεύουμε τους φακέλους και τα αρχεία που θα δημιουργήσουμε. Για να δημιουργήσουμε έναν καινούριο φάκελο επιλέγουμε στο αριστερό μέρος του παραθύρου τον φάκελο μέσα στον οποίο θα δημιουργηθεί ο καινούριος φάκελος (προσέξτε ότι στο λειτουργικό σύστημα Windows Vista ΤΜ όλοι οι φάκελοι περιέχονται στον μεγάλο γενικό φάκελο της "επιφάνειας εργασίας") και από το μενού στο οριζόντιο επάνω μέρος του παραθύρου επιλέγουμε Οργάνωση Νέος φάκελος. Σχηματίζεται έτσι ένα νέο εικονίδιο φακέλου στο οποίο πρέπει να δώσουμε, πληκτρολογώντας, ένα καινούριο όνομα. Αν δεν το κάνουμε τότε το όνομα του φακέλου παραμένει ως "Νέος φάκελος". Μπορούμε να μετονομάσουμε έναν φάκελο ή αρχείο μόνο στην περίπτωση που το αντικείμενο αυτό ή κάποιο/α από τα περιεχόμενά του δεν χρησιμοποιείται (είναι δηλαδή "ανοικτό") από το λειτουργικό σύστημα ή από κάποιο άλλο πρόγραμμα ή προγράμματα. Για να το κάνουμε αυτό επιλέγουμε τον φάκελο ή αρχείο που θέλουμε να μετονομάσουμε και πατάμε το δεξί πλήκτρο του ποντικιού. Από το μενού που παρουσιάζεται δίνουμε (με το αριστερό πλήκτρο) την εντολή Μετονομασία. Η ίδια εντολή μπορεί να δοθεί αφού έχουμε επιλέξει το αντικείμενο που θέλουμε να μετονομάσουμε και από το κεντρικό μενού επιλέγουμε Οργάνωση Μετονομασία του παραθύρου. Συντομεύσεις, μεταφορά και αντιγραφή φακέλων και αρχείων Πολλές φορές προκύπτει η ανάγκη να θέλουμε να εκτελέσουμε ένα πρόγραμμα ή να ανοίξουμε τα περιεχόμενα ενός αρχείου ή ενός φακέλου ενώ δεν έχουμε ανοίξει με τον διαχειριστή αρχείων το παράθυρο με τα περιεχόμενα του φακέλου που θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε. Για τον λόγο αυτό και χάριν συντομίας μπορούμε να δημιουργήσουμε τις λεγόμενες "συντομεύσεις" φακέλων ή αρχείων. Για οποιοδήποτε αρχείο ή φάκελο είναι δυνατόν να δημιουργήσουμε συντομεύσεις οι οποίες είναι ουσιαστικά μόνο αντιπροσωπευτικά αντικείμενα των πραγματικών αρχείων ή φακέλων. Η αναγνώριση ενός αντικειμένου ως πραγματικού φακέλου/αρχείου ή της συντόμευσης αυτού γίνεται με την διαφοροποίηση του αντίστοιχου εικονιδίου του. Αν το εικονίδιο περιέχει το σύμβολο στο κάτω αριστερό του μέρος τότε πρόκειται για συντόμευση. Π.χ. το εικονίδιο είναι πραγματικός φάκελος ενώ το εικονίδιο είναι η συντόμευση του πρώτου. Οι συντομεύσεις δημιουργούνται συνήθως σε διαφορετικούς φακέλους από αυτούς που βρίσκονται τα πραγματικά αρχεία ή φάκελοι. Συνήθως δημιουργούμε συντομεύσεις στην επιφάνεια εργασίας για να έχουμε γρήγορη πρόσβαση στα περιεχόμενα των φακέλων που χρησιμοποιούμε επί το πλείστον. 5

8 Για να δημιουργήσουμε μία συντόμευση επιλέγουμε το φάκελο που επιθυμούμε να δημιουργηθεί αυτή και πατώντας το δεξί πλήκτρο του ποντικιού από το μενού που εμφανίζεται επιλέγουμε Δημιουργία Συντόμευση. Από το παράθυρο που εμφανίζεται επιλέγουμε τον πραγματικό φάκελο ή αρχείο του οποίου την συντόμευση θέλουμε να δημιουργήσουμε. Ένας άλλος τρόπος είναι να επιλέξουμε με το ποντίκι πρώτα τον πραγματικό φάκελο ή το αρχείο που επιθυμούμε να δημιουργήσουμε την συντόμευσή του και να σύρουμε με το δεξί πλήκτρο του ποντικιού το εικονίδιο αυτό στον φάκελο που θέλουμε να δημιουργηθεί η συντόμευση και αφήνοντάς το εκεί από το μενού που εμφανίζεται να επιλέξουμε "Δημιουργία συντόμευσης εδώ". Προσέξτε ότι η μεταφορά του εικονιδίου χρησιμοποιώντας το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού όταν αυτή γίνεται μέσα στο ίδιο φυσικό μέσο οδηγεί σε πραγματική μεταφορά του φακέλου ή αρχείου και όχι στην δημιουργία συντόμευσης. Όταν γίνεται μεταξύ διαφορετικών μέσων οδηγεί στην αντιγραφή των επιλεγμένων αντικειμένων στο μέσο στο οποίο μεταφέρονται. Οι διαδικασία της αντιγραφής φακέλων ή αρχείων μπορεί να γίνει και σε δύο βήματα. Το πρώτο περιλαμβάνει την επιλογή του ή των αντικειμένων που θέλουμε να αντιγράψουμε. Η επιλογή περισσοτέρων του ενός αντικειμένου γίνεται με την ταυτόχρονη χρήση του πλήκτρου control (ctrl) ενώ επιλέγουμε τα αντικείμενα με το ποντίκι μας. Αφού γίνει η επιλογή τους μπορούμε να επιλέξουμε από το μενού του παραθύρου που βρίσκονται αυτά Οργάνωση Αντιγραφή και στην συνέχεια να ανοίξουμε τον φάκελο στον οποίο προορίζουμε να δημιουργήσουμε τα αντίγραφα των αντικειμένων και να επιλέξουμε από το μενού Οργάνωση Επικόλληση. Η διαδικασία των εντολών της αντιγραφής και επικόλλησης μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τα αντίστοιχα μενού που εμφανίζονται πατώντας το δεξί πλήκτρο του ποντικιού σε κάθε περίπτωση. Στο λειτουργικό σύστημα Linux Ubuntu, αν εξαιρέσουμε την έννοια του τόμου και την αναπαράστασή του με κάποιο γράμμα, ισχύουν τα ίδια όπως και παραπάνω (Εικόνα 4). Η βασική διαφορά βρίσκεται στο γεγονός ότι υπάρχει ένας κορυφαίος φάκελος που ονομάζεται Root, συμβολίζεται από το αλφαριθμητικό * "/" και τα διαμερίσματα είναι δυνατόν να προσδεθούν (mount) ως φάκελοι πάνω σε αυτόν. Υπάρχουν ειδικοί κατάλογοι με συγκεκριμένο περιεχόμενο αρχείων άμεσα προσδεμένοι στον Root. Αυτοί είναι: 1. /etc (Περιέχει αρχεία με ρυθμίσεις του λειτουργικού συστήματος) 2. /bin (Βασικά αρχεία του λειτουργικού συστήματος) 3. /usr/bin (Συμπληρωματικά αρχεία του λειτουργικού συστήματος) 4. /usr/home (Αρχεία χρηστών) 5. /var (Αρχεία ρυθμίσεων βοηθητικών προγραμμάτων) * Αλφαριθμητικό ονομάζουμε έναν χαρακτήρα που είναι είτε αλφαβητικός χαρακτήρας είτε σύμβολο, π.χ. α, a, %, *. 6

9 Εικόνα 4. Απεικόνιση αντικειμένων (φακέλων και αρχείων) στο λειτουργικό σύστημα Linux Ubuntu. Ονόματα και είδη αρχείων και γραμμές εντολών Για ιστορικούς λόγους ένα όνομα αρχείου και στα δυο λειτουργικά συστήματα έχει δύο τμήματα που χωρίζονται από το σύμβολο τελείας (.). Το πρώτο συνθετικό του ονόματος περιγράφει το θέμα που περιέχεται στο αρχείο και το δεύτερο, το οποίο αποκαλείται προέκταση (extension) και περιέχει συνήθως 3 γράμματα (χωρίς αυτό να είναι υποχρεωτικό), δηλώνει το είδος του αρχείου. Π.χ ένα αρχείο με το όνομα Readme.txt υποδηλώνει ότι πρόκειται για ένα αρχείο με οδηγίες χρήσης που πρέπει κάποιος να ακολουθήσει για να προβεί σε κάποια διαδικασία (Readme), και τα δεδομένα του μπορούν να απεικονιστούν με την χρήση ενός προγράμματος επεξεργασίας απλού κειμένου (text editor), από το οποίο προέρχεται και το όνομα της προέκτασης txt, (text). Πρέπει επίσης να επισημανθεί ειδικά για το λειτουργικό σύστημα windows ότι το μέγιστο μέγεθος ονόματος αρχείου είναι 255 χαρακτήρες (Unicode) συμπεριλαμβανομένων των τμημάτων ονόματος των γονικών καταλόγων. Επίσης και τα δύο λειτουργικά συστήματα μας προσφέρουν προγράμματα τα οποία η διαχείριση των αρχείων δεν γίνεται με γραφικό τρόπο αλλά με χρήση συγκεκριμένων εντολών από την λεγόμενη γραμμή εντολών (command line). Η διαδικασία αυτή ήταν κοινός τόπος τα παλαιότερα χρόνια για όλα τα λειτουργικά συστήματα, οι χρήστες των οποίων έπρεπε να απομνημονεύουν και να δίνουν όλες τις εντολές που αφορούσαν την διαχείριση των αρχείων και φακέλων μέσω της γραμμής εντολών. Αυτά τα προγράμματα ονομάζονται shells (κελύφη). Στην περίπτωση των windows ένα κέλυφος είναι το εκτελέσιμο αρχείο cmd.exe (Εικόνα 5) ενώ στην περίπτωση του Linux το σύνηθες κέλυφος είναι ο bash (Εικόνα 6). 7

10 Εικόνα 5. Γραμμή εντολών (cmd.exe) των Windows ΤΜ. Εικόνα 6. Γραμμή εντολών (bash) του Linux. Σε πολλές περιπτώσεις οι εφαρμογές γραμμής εντολών αποτελούν πολύ πιο ευέλικτα περιβάλλοντα για την εκτέλεση εργασιών, γιατί μας δίνουν την δυνατότητα προγραμματισμού. Στην περίπτωση του λειτουργικού συστήματος Linux με το κέλυφος bash ο χρήστης είναι δυνατόν να κατασκευάσει ιδιαίτερα περίπλοκες εφαρμογές. Τα αρχεία σε ένα λειτουργικό σύστημα μπορούν να χωριστούν σε 2 βασικές κατηγορίες: τα εκτελέσιμα αρχεία και τα αρχεία δεδομένων. Τα εκτελέσιμα αρχεία είναι αλλιώς γνωστά ως 8

11 προγράμματα. Αυτά δημιουργούνται με χρήση ειδικών εργαλείων τα οποία ονομάζονται μεταγλωττιστές (compilers). Τα αρχεία αυτά περιέχουν ένα σύνολο εντολών (κώδικας) υπό μορφή αλληλουχίας αριθμών (Εικόνες 7-8), ώστε ο υπολογιστής να επιτύχει ένα συγκεκριμένο στόχο. Όλα τα υπόλοιπα αρχεία δεδομένων είναι στην πραγματικότητα αποθηκευμένες ψηφιακές πληροφορίες που χρησιμοποιούνται από τα προγράμματα. Εικόνα 7. Αλληλουχίες αριθμών (κώδικας) που αντιστοιχούν στις εντολές που εκτελεί ο υπολογιστής μέσω ενός εκτελέσιμου αρχείου (προγράμματος). Εικόνα 8. Μνημονικά σύμβολα του πιο πάνω κώδικα. Μορφή και είδη παραθύρων εκτελέσιμων προγραμμάτων Όπως αναφέρθηκε πιο πάνω όλα τα σύγχρονα λειτουργικά συστήματα υλοποιούν την ιδέα της παράλληλης επεξεργασίας (preemptive multitasking). Αυτό σημαίνει ότι κάθε πρόγραμμα έχει τον δικό του χώρο στην οθόνη για τα δέχεται δεδομένα από τον χρήστη, και να παρουσιάζει τα αποτελέσματα που παράγει. Ο χώρος αυτός της οθόνης που διατίθεται από το λειτουργικό σύστημα σε κάθε πρόγραμμα που εκτελείται είναι ένα παράθυρο (Εικόνες 9-10). Αυτά τα παράθυρα, ανεξάρτητα της εφαρμογής από την οποία προκύπτουν, έχουν κοινά μορφολογικά χαρακτηριστικά και τρόπο διαχείρισης, όπως αυτά του διαχειριστή αρχείων που περιγράψαμε. Έχουν ένα μενού εντολών (menu), μια εργαλειοθήκη (tool bar) μια γραμμή κατάστασης (status bar), μια γραμμή τίτλου (title bar) μπορούν να αλλάξουν μέγεθος, να μετακινηθούν και να βρίσκονται σε διάφορες καταστάσεις π.χ μεγιστοποιημένα, ελαχιστοποιημένα, ενεργά, ανενεργά κ.τ.λ.. 9

12 Εικόνα 9. Τυπικό παράθυρο μιας εφαρμογής σε περιβάλλον Windows. Εικόνα 10. Τυπικό παράθυρο μιας εφαρμογής σε περιβάλλον Linux. 10

13 Από τις πιο πάνω εικόνες είναι εμφανές ότι τα δομικά στοιχεία ενός παραθύρου είναι εν γένει κοινά σε διαφορετικά λειτουργικά συστήματα. Μπορούμε να εκκινήσουμε μια εφαρμογή με διάφορους τρόπους, άμεσα ή έμμεσα. Ο έμμεσος τρόπος είναι με χρήση κάποιου εικονιδίου συντόμευσης στην επιφάνεια εργασίας μας ή από το κουμπί της έναρξης. Ο άμεσος τρόπος εκκίνησης ενός προγράμματος μπορεί να γίνει μέσω του διαχειριστή αρχείων, ή αν γνωρίζουμε μέρος ή το πλήρες όνομα του εκτελέσιμου αρχείου από την γραμμή αναζήτησης. Τα προγράμματα τα διακρίνουμε εύκολα από τα υπόλοιπα αρχεία γιατί έχουν την κατάληξη exe, π.χ ένα πρόγραμμα επεξεργασίας απλού κειμένου είναι το "σημειωματάριο" το οποίο έχει το όνομα notepad.exe. Εικόνα 11. Επιλογές τόπων εκτέλεσης προγραμμάτων (σημειοματάριο-notepad) στο λειτουργικό σύστημα Windows Vista TM. 11

14 Επιλογή πολλαπλών φακέλων και αρχείων Η επιλογή ενός μόνο φακέλου ή αρχείου γίνεται με ένα απλό πάτημα του αριστερού πλήκτρου του ποντικιού πάνω στο εικονίδιό του. Όταν όμως η λίστα περιεχομένων είναι μεγάλη ο εντοπισμός του αρχείου ή φακέλου για τον οποίο ενδιαφερόμαστε με χρήση μόνο της μπάρας κύλισης και την απλή παρατήρηση, προφανώς δεν είναι η καλύτερη μέθοδος αναζήτησης. Στις περιπτώσεις αυτές φροντίζουμε τα αρχεία μας να είναι ταξινομημένα με βάση το όνομά τους, επιλέγοντας τον τρόπο ταξινόμησης με αριστερό κλικ το ποντικιού στην κατηγορία "Όνομα" και πληκτρολογώντας ένα τμήμα του ονόματος του αρχείου για το οποίο ενδιαφερόμαστε γίνεται αυτόματα η μεταφορά στο κοντινότερο σε αυτό σημείο. Επίσης η χρήση του πλήκτρου shift μαζί με ένα αριστερό κλικ υποδηλώνει την έναρξη όπως επίσης και την λήξη μια περιοχής για πολλαπλές συνεχόμενες επιλογές. Αν τα αρχεία προς επιλογή δεν είναι συνεχόμενα αλλά διάσπαρτα, η μαζική επιλογή τους γίνει με χρήση του πλήκτρου ctrl σε συνδυασμό με αριστερό κλικ. Εικόνα 12. Παράδειγμα μη συνεχόμενης πολλαπλής επιλογής με χρήση του συνδυασμού ctrl-click Μαζική μετακίνηση ή αντιγραφή αρχείων Από την στιγμή που έχει γίνει μια απλή η πολλαπλή επιλογή η εφαρμογή κάποιας ενέργειας, γίνεται είτε με δεξί κλικ πάνω σε ένα σημείο της επιλεγμένης περιοχής οπότε ένα αναδυόμενο μενού επιλογών εμφανίζεται ως να επιλέξουμε την επιθυμητή ενέργεια (Αντιγραφή, Αποκοπή, Διαγραφή κοκ) για εφαρμογή. Εικόνα 13. Επιλογή ενεργειών διαχείρισης αρχείων με δεξί κλίκ. Παρόμοιο μενού επιλογών υπάρχει και στο πάνω μέρος του παραθύρου του διαχειριστή αρχείων όπως εμφανίζεται στην ακόλουθη εικόνα. 12

15 Εικόνα 14. Επιλογή ενεργειών διαχείρισης αρχείων από το μενού εντολών. Διαγραφή φακέλων και αρχείων Στο λειτουργικό σύστημα Windows Vista ΤΜ, για να διαγράψουμε έναν φάκελο ή ένα αρχείο μπορούμε να το επιλέξουμε και να το μεταφέρουμε με το ποντίκι μας σε έναν ιδιαίτερο φάκελο στην επιφάνεια εργασίας, τον "κάδο ανακύκλωσης". Το αντικείμενο δεν διαγράφεται αυτόματα αλλά παραμένει στον κάδο ανακύκλωσης έως την τελική διαγραφή του. Όταν ο κάδος ανακύκλωσης είναι άδειος έχει την μορφή της Εικόνας 15 (α), ενώ όταν περιέχει κάποιο/α αντικείμενα λαμβάνει την μορφή της Εικόνας 15 (β). (α) Εικόνα 15. (α) Άδειος κάδος ανακύκλωσης. (β) Κάδος ανακύκλωσης που περιέχει κάποιο/α αντικείμενα. Για να διαγράψουμε εντελώς τα περιεχόμενα του κάδου ανακύκλωσης τον επιλέγουμε με το ποντίκι και πατώντας το δεξί του πλήκτρο του από το μενού που εμφανίζεται επιλέγουμε "Άδειασμα κάδου ανακύκλωσης". Ανάλογη διαδικασία ακολουθούμε για την διαγραφή αρχείων και στο λειτουργικό σύστημα Linux Ubuntu στο οποίο ο κάδος ανακύκλωσης βρίσκεται συνήθως στο κάτω δεξιό μέρος της οθόνης. (β) 13

16 Διαχείριση Εργασιών Έχουμε ήδη αναφέρει ότι τα σύγχρονα λειτουργικά συστήματα παρέχουν την δυνατότητα ταυτόχρονη εκτέλεσης πολλών προγραμμάτων ή ακόμη και του ίδιου πολλαπλές φορές. Ο συνήθης όρος τον οποίο χρησιμοποιούμε για να περιγράψουμε ένα πρόγραμμα που εκτελείται είναι διεργασία. Δεν είναι λίγες οι περιπτώσεις στις οποίες κάποια διεργασία μοιάζει να μην αποκρίνεται. Στην περίπτωση αυτή η μέθοδος τερματισμού του παραθύρου που φιλοξενεί την διεργασία από το εικονίδιο δεν είναι εφικτή. Εικόνα 16. Τυπική εικόνα του διαχειριστή διεργασιών (task manager). Σε αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει μια συντόμευση πληκτρολογίου η οποία είναι κοινή και στο λειτουργικό σύστημα Windows αλλά και στο λειτουργικό σύστημα Linux με την οποία καλούμε ένα ειδικό πρόγραμμα διαχείρισης διεργασιών (Εικόνα 16). Μέσω αυτού του προγράμματος είναι δυνατόν να απεμπλακούμε από ένα σύνολο απρόβλεπτων και δυσάρεστων καταστάσεων που στην καθημερινή ομιλία αναφέρεται σαν «κόλλημα». Το πρόγραμμα αυτό ονομάζεται Task Manager και o συνδυασμός πλήκτρων με το οποίο το ενεργοποιούμε είναι το Ctrl-Alt-Delete. Εικόνα 17. Τερματισμός διεργασίας με τον διαχειριστή διεργασιών. 14

17 Όπως φαίνεται από την πιο πάνω εικόνα με δεξί κλικ πάνω σε κάποια διεργασία εμφανίζεται ένα μενού με διάφορες επιλογές για την διαχείριση της. Μία από αυτές είναι το «τέλος διεργασίας». Η ενεργοποίηση αυτής της επιλογής τερματίζει με βίαιο τρόπο τη συγκεκριμένη διαδικασία και συνήθως μας απεμπλέκει άμεσα από τις δυσάρεστες καταστάσεις που προκαλεί ένα παγωμένο πρόγραμμα. Παρ' όλ' αυτά, η χρήση του task manager πρέπει να γίνεται μόνο σε εξαιρετικές περιπτώσεις και μόνο όταν δεν υπάρχει άλλη επιλογή για την απεμπλοκή του "κολλημένου" προγράμματος, επειδή ο τερματισμός κάποιας διεργασίας μπορεί να προκαλέσει αστάθεια στην λειτουργία του λογισμικού και ενδεχόμενη κατάρρευση της λειτουργίας του υπολογιστή με κίνδυνο την απώλεια δεδομένων που τυχών δεν έχουν αποθηκευθεί. 15

18 Επεξεργαστές εντολών (command processors) στα Windows και σενάρια συνδυασμένων εντολών (scripting shells) στο Unix Παρά το ότι ένα μεγάλο εύρος κοινόχρηστων ενεργειών είναι δυνατόν να γίνουν με μεγάλη ευκολία και ταχύτητα με χρήση του γραφικού περιβάλλοντος του διαχειριστή αρχείων δεν είναι σπάνιες οι φορές που το γραφικό περιβάλλον αποδεικνύεται παντελώς ανίσχυρο. Π.χ ενώ μαζική αντιγραφή αρχείων είναι εύκολο να υλοποιηθεί γραφικά, η περίπτωση μαζικής μετονομασίας αρχείων δεν είναι το ίδιο εύκολη. Ένα σύνολο διακριτών ενεργειών το οποίο χρειάζεται να επαναληφθεί αρκετές φορές επίσης δεν είναι εύκολο να πραγματοποιηθεί μέσω του γραφικού περιβάλλοντος του διαχειριστή αρχείων. Όσο κι αν μοιάζει απροσδόκητο η πραγματικότητα είναι ότι στα προγενέστερα μη γραφικά περιβάλλοντα τέτοιες περιπτώσεις αντιμετωπίζονταν σχετικά εύκολα με χρήση ενός ειδικού προγράμματος το οποίο ονομαζόταν επεξεργαστής εντολών (command processor). Αυτός είναι και ο λόγος για τον οποίο ο command processor όχι μόνο δεν εγκαταλείφθηκε από τα νεώτερα γραφικά περιβάλλοντα αλλά εμπλουτίστηκε και σε εντολές αλλά και λειτουργίες. Ο συνήθης επεξεργαστής εντολών είναι το εκτελέσιμο αρχείο cmd.exe, ενώ σε ακόμη νεώτερα λειτουργικά όπως τα windows 7 υπάρχει ενσωματωμένος επεξεργαστής εντολών με αυξημένες προγραμματιστικές δυνατότητες ο οποίος ονομάζεται PowerShell. Εικόνα 18. Cmd.exe command Processor Εικόνα 19. Power Shell command processor 16

19 Εάν γνωρίζουμε το όνομα μια εντολής, ο τρόπος σύνταξής της εμφανίζεται στην περίπτωση τou command processor των windows με την χρήση του συμβόλου /? Π.χ copy /?, for /? Find /? κλπ. Στην περίπτωση του linux με χρήση του help π.χ cat help grep help Εικόνα 20. Linux Bash command processor Συνήθεις χρήσιμες εντολές του cmd και ενδεικτικά παραδείγματα χρήσης τους. Όνομα σύνταξη εντολής TYPE [μονάδα δίσκου:][διαδρομή]όνομα αρχείου DIR [μονάδα:][διαδρομή][αρχείο] DEL ονόματα CD [δίσκος:][διαδρομή] MD [δίσκος:]διαδρομή FIND "συμβολοσειρά" [[μονάδα δίσκου:][διαδρομή]όνομα αρχείου[...]] FOR %παράμετρος IN (ομάδα) DO εντολή [παράμετροιεντολής] 17 Λειτουργία εντολής Εμφανίζει τα περιεχόμενα ενός αρχείου ή αρχείων κειμένου. Εμφανίζει μια λίστα αρχείων και δευτερευόντων καταλόγων σε έναν κατάλογο. Διαγράφει ένα ή περισσότερα αρχεία. Εμφάνιση ή αλλαγή του τρέχοντος καταλόγου. Δημιουργία καταλόγου. Αναζητά μια συμβολοσειρά κειμένου σε ένα αρχείο ή αρχεία. Εκτελεί μια καθορισμένη εντολή για κάθε αρχείο σε μια ομάδα αρχείων.

20 FC [μονάδα δίσκου1:][διαδρομή1]αρχείο1 [μονάδα δίσκου2:][διαδρομή2]αρχείο2 XCOPY προέλευση προορισμός MORE [μονάδα δίσκου:][διαδρομή]όνομααρχείου ή όνομα-εντολής MORE COPY αρχείο-πηγή προορισμός MOVE [μονάδα:][διαδρομή]αρχείο1[,...] προορισμός Συγκρίνει δύο αρχεία ή σύνολα αρχείων και εμφανίζει τις διαφορές μεταξύ τους Αντιγράφει αρχεία και δέντρα καταλόγων. Εμφανίζει την έξοδο σε μια οθόνη κάθε φορά. Συνήθως συνδυάζεται μέσω της διαδικασίας piping με άλλες εντολές. Αντιγράφει ένα ή περισσότερα αρχεία σε νέα θέση. Μετακινεί αρχεία και μετονομάζει αρχεία και καταλόγους. Συνήθεις χρήσιμες εντολές του Command Processor Bash (Linux) και ενδεικτικά παραδείγματα χρήσης τους Μια σημαντική διαφορά στην χρήση των εντολών μεταξύ του λειτουργικού συστήματος Windows και Linux είναι ότι ενώ στα windows ο τρόπος γραφής των εντολών με χρήση οιοδήποτε συνδυασμού πεζών και κεφαλαίων είναι επιτρεπτός στο Linux και εν γένει στα Unix λειτουργικά συστήματα αυτό δεν ισχύει. Όνομα σύνταξη εντολής cat [διαδρομή]όνομα αρχείου ls [διακόπτης] πρότυπο αρχείου rm ονόματα cd [διαδρομή] mkdir διαδρομή grep "συμβολοσειρά" όνομα αρχείου for %παράμετρος in (ομάδα) do εντολή done diff αρχείο1 αρχείο2 cp πηγή προορισμός more ή όνομα εντολής more Λειτουργία εντολής Εμφανίζει τα περιεχόμενα ενός αρχείου ή αρχείων κειμένου. Εμφανίζει μια λίστα αρχείων και δευτερευόντων καταλόγων σε έναν κατάλογο. Διαγράφει ένα ή περισσότερα αρχεία. Εμφάνιση ή αλλαγή του τρέχοντος καταλόγου. Δημιουργία καταλόγου. Αναζητά μια συμβολοσειρά κειμένου σε ένα αρχείο ή αρχεία. Εκτελεί μια καθορισμένη εντολή για κάθε αρχείο σε μια ομάδα αρχείων. Συγκρίνει δύο αρχεία ή σύνολα αρχείων και εμφανίζει τις διαφορές μεταξύ τους Αντιγράφει αρχεία δέντρα καταλόγων ή ένα ή περισσότερα αρχεία σε νέα θέση Εμφανίζει την έξοδο σε μια οθόνη κάθε φορά. Συνήθως συνδυάζεται μέσω της διαδικασίας piping με άλλες εντολές. Οι εντολές φυσικά χρειάζονται και ένα ευέλικτο τρόπο περιγραφής του πεδίου δράσης τους. Αυτό μας το προσφέρει μια ειδική κατηγορία εκφράσεων οι οποίες ονομάζονται regular expressions 18

21 και χρησιμοποιούνται ως μηχανισμοί ταύτισης προτύπου (pattern matching). Στους επεξεργαστές εντολών συνήθως συναντάμε ένα μικρό υποσύνολο των regular expressions αποτελούμενο μόνο από τα σύμβολα *,?. Το σύμβολο? σημαίνει ταύτιση ενός μόνο συμβόλου σε ένα αλφαριθμητικό, ενώ το * ενός ή περισσοτέρων. Π.χ η έκφραση a?.txt έχει επιτυχή ταύτιση με οποιαδήποτε από τις ακόλουθες εκφράσεις a1.txt, a2.txt, ac.txt κοκ. Η έκφραση a*.txt έχει επιτυχή ταύτιση με a1.txt a12.txt a123.txt aaaa.txt κοκ. Η τυπική λοιπόν χρήση μιας εντολής είναι εν γένει [εντολή] [source regular expression] [target regular expression]. Για όποιον ενδιαφέρεται για περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τις εντολές αυτού του τύπου (μέσω της γραμμής εντολών-command line) μπορεί να ξεκινήσει την αναζήτησή του στο internet από τους παρακάτω συνδέσμους:

22 Κεφάλαιο 2-Προγράμματα Επεξεργασίας Κειμένου Μέρος 1ο Ιστορική αναδρομή και εισαγωγή στα προγράμματα επεξεργασίας κειμένου Πριν ακόμη την εξάπλωση των προσωπικών υπολογιστών, όταν ακόμη δηλαδή ήταν σε εφαρμογή μόνο οι διαδικασίες διανομής χρόνου (time sharing) από κεντρικά υπολογιστικά συστήματα σε μεμονωμένους χρήστες, μια από τις πιο διαδεδομένες εφαρμογές ήταν εκείνη της σύνταξης κειμένου (text editing). Η σύνταξη κειμένου σε τερματικά ήταν κατά πολύ ανώτερη από την παραδοσιακή μέθοδο σύνταξης κειμένων με μηχανικές ή ηλεκτρονικές γραφομηχανές, επειδή έδινε στον χρήση πλεονεκτήματα μη διαθέσιμα στις συμβατικές γραφομηχανές, όπως αυτά της άμεσης διόρθωσης λαθών, της εποπτείας ολόκληρου του κειμένου, της γρήγορης μετάβασης σε οποιοδήποτε σημείο του κειμένου, του αυτόματου συλλαβισμού και γραμματικής διόρθωσης. Πολλά τέτοια προγράμματα όπως ο "vi" η ο "emacs" έχουν ευρεία εφαρμογή έως και σήμερα. Παρόλα αυτά για να έχει την δυνατότητα ο χρήστης ενός υπολογιστικού συστήματος να παράγει ηλεκτρονικά έντυπα αντίστοιχα της κλασσικής τυπογραφίας, έπρεπε να γίνει σαφής στις εφαρμογές σύνταξης και επεξεργασίας κειμένου ο διαχωρισμός του "κειμένου" από την "μορφή" του. Το 1978 ο Donald Knuth στην προσπάθειά του να επιτύχει ηλεκτρονικά την ποιότητα της παραδοσιακής τυπογραφίας, προωθεί την ιδέα χρήσης μιας "τυπογραφικής γλώσσας", ανάλογης των γλωσσών προγραμματισμού, ικανής να διαμορφώνει ξεχωριστά την εμφάνιση ενός κειμένου από το περιεχόμενό του. Η γλώσσα αυτή που έχει το όνομα TeX, επιτρέπει για πρώτη φορά στον χρήστη να μπορεί να συνθέσει κείμενα (ιδίως επιστημονικά με δυνατότητα απεικόνισης μαθηματικών συμβόλων) με υψηλή τυπογραφική ποιότητα. Ένα τυπικό παράδειγμα σύνταξης κειμένου ("κώδικα") με την γλώσσα TeX είναι το ακόλουθο: \documentclass[12pt]{article} \begin{document} \section{integrating Term by Term} \begin{theorem} Consider the power series \[f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n\text{,\ }\left z\right <R(R\neq 0)\] Let $C$ be a simple piecewise smooth curve which lies inside the circle of convergence. Then we can \textbf{integrate the power series term by term:} \begin{equation} \int_c\left( \sum_{n=0}^\infty a_nz^n\right) dz=\sum_{n=0}^\infty a_n\int_cz^ndz \label{one} \end{equation} \end{theorem} \end{document} Το οπτικό αποτέλεσμα που παράγεται από την μεταγλώττιση του παραπάνω κώδικα είναι αυτό που εμφανίζεται στην παρακάτω Εικόνα 1. Εικόνα 1. Οπτικό αποτέλεσμα της μεταγλώττισης κώδικα με το πρόγραμμα TeΧ. 20

23 Η μετατροπή του κώδικα TeX στην εκτυπώσιμη μορφή της Εικόνας 1, γίνεται μέσω μιας διαδικασίας η οποία ονομάζεται rasterization. Πρόκειται για την διαδικασία μετατροπής του κώδικα περιγραφής κειμένου TeX σε εικόνα θεωρητικά οποιασδήποτε ανάλυσης. Αυτό επιτυγχανόταν με την χρήση ειδικών προγραμμάτων που παρήγαγαν αρχεία DVI (DeVice Independent file format) με οπτικό αποτέλεσμα ανεξάρτητο από τις μηχανές απεικόνισης, όπως υποδηλώνει και ο όρος. Τα προγράμματα παραγωγής αρχείων της μορφής DVI ήταν ο προπομπός μιας εξειδικευμένης γλώσσας περιγραφής σελίδας με το όνομα Postscript (Page Description Language). Στην παρακάτω εικόνα παρατίθεται ένα παράδειγμα σύνταξης γλώσσας Postscript και το οπτικό αποτέλεσμα το οποίο παράγει. Κώδικα Postscript Το οπτικό αποτέλεσμα του διπλανού κώδικα % 18-pt spacing, 24 lines mul { %for dup 0 moveto 600 lineto } for stroke % 18-pt spacing, 36 lines mul { %for dup 0 exch moveto 436 exch lineto } for stroke Εικόνα 2. Οπτικό αποτέλεσμα της μεταγλώττισης κώδικα postscript. Στις μέρες μας η δυαδική μορφή του κώδικα της γλώσσας postscript είναι γνωστή ως PDF (Portable Document Format). Έως τις αρχές της δεκαετίας του 1980, λόγω περιορισμένων τεχνικών δυνατοτήτων που αφορούσαν τον τρόπο της απεικόνισης υψηλής ανάλυσης σε πραγματικό χρόνο, οι μόνες συσκευές "απεικόνισης" υψηλής ανάλυσης ήταν οι εκτυπωτές. Από τα μέσα όμως της δεκαετίας του 1980 άρχισαν να κάνουν την εμφάνισή τους ηλεκτρονικές διατάξεις (κάρτες γραφικών και οθόνες), οι οποίες επέτρεπαν σχετικά υψηλή ανάλυση να επιτευχθεί και στις τερματικές οθόνες. Αυτό αποτέλεσε και τον καταλύτη για την δημιουργία νέων λειτουργικών συστημάτων, τα οποία αξιοποιούσαν τις νέες δυνατότητες. Αυτά τα λειτουργικά συστήματα ονομάστηκαν γραφικά περιβάλλοντα χρήστη (graphical user interface- GUI). Είναι εκείνη η περίοδος κατά την οποία έχουμε την μετάβαση από την έννοια του συντάκτη κειμένου (text editing) στην έννοια της επεξεργασίας κειμένου (word processing) και της τυπογραφίας γραφείου (desktop publishing). Η έννοια του "ότι βλέπεις είναι αυτό που παίρνεις" (What You See Is What You Get-WYSIWYG) Πριν την εμφάνιση λοιπόν των γραφικών περιβαλλόντων η κατασκευή ενός εντύπου απαιτούσε δύο διακριτές σειριακές (διαδοχικές) λειτουργίες: 1. Την δημιουργία με την χρήση ενός συντάκτη κειμένου (text editor) ενός αρχείου που είχε ως περιεχόμενο το κείμενο αυτό κάθε αυτό, αλλά και την περιγραφή της μορφοποίησής του με την χρήση μιας γλώσσας περιγραφής σελίδας (π.χ. postscript ή TeX). 2. Την μετατροπή του πιο πάνω αρχείου σε μορφή εικόνας με την χρήση ενός μεταγλωττιστή ώστε να είναι δυνατόν να απεικονισθεί. 21

24 Με την κυριαρχία των γραφικών λειτουργικών συστημάτων οι πιο πάνω διακριτές διαδικασίες μπορούσαν να ενσωματωθούν και να ενοποιηθούν. Το προγράμματα επεξεργασίας κειμένου ενσωμάτωσαν πέραν των τυπικών διαδικασιών των συντακτών κειμένου και το δύσκολο έργο της μορφοποίησης αλλά και της απεικόνισης και προεπισκόπησης. Τα επιμέρους δομικά στοιχεία όμως που παράγουν ένα πλήρες έγγραφο όπως κεφάλαιο, ενότητα, παράγραφος, πρόταση, λέξη, ενωτικό, στήλη, πίνακας, πλαίσιο, στυλ, περιεχόμενα, περιθώρια, στηλοθέτες κτλ παρέμειναν τα ίδια. Οι γλώσσες περιγραφής σελίδας μάλιστα που ξεκίνησαν με το TeX είναι ακόμη δημοφιλείς και σε χρήση μέχρι σήμερα. Τις συναντάμε εκτός των άλλων και με τον όρο Markup Languages και μια τέτοια ευρέως διαδεδομένη σήμερα είναι η html (HyperText Markup Language). Η γλώσσα αυτή είναι η καθιερωμένη γλώσσα σύνταξης κειμένων για προβολή στο Internet. Ακόμη όμως και οι συντομεύσεις πληκτρολογίου, για γρήγορη μετάβαση και μετακίνηση στο κείμενο ή τον καθορισμό ιδιοτήτων του κειμένου (Insert, Scroll, Home, End, Ctrl Home, Ctrl Enter, Shift Enter, PgUp κτλ) έχουν ιστορικό βάθος από το text editing και απαντώνται σε όλους τους επεξεργαστές κειμένου. Γνωριμία με το Περιβάλλον του Microsoft Word ΤΜ. Στην παρακάτω εικόνα (Εικόνα 3) εμφανίζεται το περιβάλλον εργασίας κατά την έναρξη του προγράμματος Microsoft Word ΤΜ και τα βέλη δείχνουν την πρόσβαση στις πιο σημαντικές λειτουργίες του. Η οπτική δομή ακολουθεί την μορφή εμφάνισης ενός τυπικού γραφικού περιβάλλοντος χρήστη (GUI) και στην πραγματικότητα έχουμε 3 κύρια τμήματα με διαφορετικές λειτουργίες το κάθε ένα. Εργαλειοθήκη Εικόνα 3. Περιβάλλον εργασίας του επεξεργαστή κειμένου Microsoft Word ΤΜ. 1. Μενού επιλογών και εργαλειοθήκη (Toolbar) (Εικόνα 4). Μέσω αυτής γίνεται ο χειρισμός του προγράμματος. 22

25 Εικόνα 4. Μενού επιλογών και εργαλειοθήκη. 2. Γραμμή κατάστασης (Status Bar) (Εικόνα 5). Στο τμήμα αυτό της οθόνης εμφανίζονται σημαντικές πληροφορίες, όπως η τρέχουσα σελίδα, στατιστικά κειμένου κ.λ.π 3. Ο κύριος χώρος εργασίας (Εικόνα 6). Εικόνα 5. Γραμμή κατάστασης. Εικόνα 6. Κύριος χώρος εργασίας. Ο γενικός χειρισμός του προγράμματος όπως σε όλα τα γραφικά περιβάλλοντα γίνεται με συνδυασμένη χρήση του πληκτρολογίου (keyboard) και του ποντικιού (mouse). Σχεδόν το σύνολο των εντολών πρόσβασης που προσφέρονται από την εργαλειοθήκη (Toolbar) είναι δυνατόν να προσφερθούν και με χρήση του πληκτρολογίου και συνδυασμό δύο (2) ή περισσοτέρων πλήκτρων, ένα εκ των οποίων είναι είτε το Shift, είτε το Alt είτε το Ctrl και ονομάζονται συντομεύσεις πληκτρολογίου (keyboard shortcuts). Θα αναφερθούμε αναλυτικά στην συνέχεια στο σύνολο των πλέον χρήσιμων συντομεύσεων πληκτρολογίου, αλλά πρέπει να επισημάνουμε ότι γενικά υπάρχει πάντα ένας μνημονικός κανόνας πίσω από κάθε ένα τέτοιο shortcut. Π.χ η αποθήκευση ενός εγγράφου έχει ως shortcut τον συνδυασμό Ctrl-S, όπου το γράμμα S παραπέμπει στην αγγλική λέξη Save, το άνοιγμα ενός αρχείου είναι Ctrl-O όπου Ο παραπέμπει στην αγγλική λέξη Open. Η χρήση του ποντικιού γίνεται με την μέθοδο point and click. Μια τυπική συσκευή ποντικιού έχει δύο πλήκτρα και μια ροδέλα ανάμεσά τους. Από τα δύο πλήκτρα το αριστερό, ονομάζεται Command Button (CB), ενώ το δεξί Smart Button (SB). Όπως και στην περίπτωση του πληκτρολογίου είναι δυνατόν να έχουμε συνδυασμό των Command και Smart Button με τα πλήκτρα Ctrl, Shift και Alt. Για παράδειγμα η επιλογή μιας ολόκληρης πρότασης κειμένου (κείμενο μεταξύ δύο τελειών διαχωριζόμενες εκατέρωθεν από κενά με το υπόλοιπο κείμενο, ή της αρχής μίας παραγράφου και της πρώτης τελείας ακολουθούμενης από κενό) γίνεται με το συνδυασμό Ctrl-Left Click. Πρέπει να επισημάνουμε ότι το εικονίδιο του ποντικιού δηλαδή παίζει ιδιαίτερο ρόλο. Για παράδειγμα με το ίδιο συνδυασμό είναι δυνατόν να γίνει 23

26 επιλογή και ολόκληρου του εγγράφου και όχι απλώς μιας γραμμής. To Smart Button ονομάζεται έτσι γιατί ο πίνακας επιλογών που μας παρουσιάζεται με την χρήση του έχει κάποιο βαθμό ευφυΐας. Ανάλογα δηλαδή την κατάσταση του εγγράφου η χρήση του, μας παρουσιάζει διαφορετικές επιλογές και οι οποίες είναι συνήθως αυτές που αναζητούμε. Βασικά μέρη ενός εγγράφου Όπως είπαμε στην εισαγωγή ένα έγγραφο εκτός από περιεχόμενο έχει και μορφή. Υπάρχει δηλαδή ταυτόχρονα λογική αλλά και μορφολογική δόμηση. Υπάρχουν πολλά δομικά μέρη ενός εγγράφου. Βασικά μορφολογικά στοιχεία είναι ο προσανατολισμός και τα περιθώρια μιας σελίδας. Ένα σύνολο σελίδων με κοινές μορφολογικές ιδιότητες περιθωρίων ή προσανατολισμού ονομάζεται ενότητα (section) και είναι το ανώτερο λογικό τμήμα ενός εγγράφου. Η ιεραρχική λογική δομή έχει ως εξής: Ενότητα Σελίδα Παράγραφος Πρόταση Γραμμή Λέξη Χαρακτήρες Ο ορισμός μορφολογικών ιδιοτήτων όπως τα περιθώρια, ο προσανατολισμός, οι διαστάσεις της σελίδας γίνεται με διάφορους τρόπους. Δύο τρόποι εμφανίζονται στις ακόλουθες εικόνες (πλήκτρο CB): 1. Μενού "Διάταξη Σελίδας", εργαλειοθήκη "Περιθώρια" (Εικόνα 7α) 2. Διπλό κλίκ στα περιθώρια του χάρακα (Εικόνα 7β), όπου ο χάρακας είναι όπως καθορίζει η έννοιά του μία βοηθητική λωρίδα στο οριζόντιο και κάθετο μέρος εκτός της σελίδας η οποία υποδεικνύει το μέγεθός της σελίδας και των περιθωρίων του κειμένου σε αυτή (μενού "Προβολή", εργαλειοθήκη "Εμφάνιση/Απόκρυψη", κουτάκι "Χάρακας" για εμφάνιση ή απόκρυψή του). (α) (β) Εικόνα 7. Διαφορετικοί τρόποι ορισμού των μορφολογικών ιδιοτήτων της σελίδας. Το παράθυρο διαλόγου που εμφανίζεται είναι το ακόλουθο: 24

27 Εικόνα 8. Παράθυρο διαλόγου διαμόρφωσης σελίδας. Στο πιο πάνω παράθυρο διαλόγου είναι δυνατόν να μεταβούμε και με την χρήση της ακόλουθης συντόμευσης πληκτρολογίου Alt I, G, P. Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο σχεδόν των εργασιών που γίνονται μέσω του ποντικιού μπορούν να γίνουν και μέσω συντομεύσεων πληκτρολογίου. Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιμο εάν βρεθούμε στην δυσάρεστη θέση το ποντίκι μας να μην λειτουργεί. Η εικόνα που ακολουθεί μας δείχνει ένα σημαντικό χαρακτηριστικό του παραθύρου διαμόρφωσης σελίδας και το οποίο είναι αυτό της προεπισκόπησης. Εικόνα 9. Λειτουργία και προεπισκόπηση του παραθύρου διαλόγου διαμόρφωσης σελίδας Τα περιθώρια μιας ενότητας ενός εγγράφου είναι 25

28 1. Επάνω 2. Κάτω 3. Εξωτερικά (αριστερά) 4. Εσωτερικά (δεξιά) 5. Βιβλιοδεσίας Στις εικόνες που ακολουθούν δίνονται παραδείγματα για διάφορες παραμέτρους περιθωρίων και το μορφολογικό τους αποτέλεσμα: Επάνω Κάτω Εσωτερικά Εξωτερικά Βιβλιοδεσίας : 0 εκ : 0 εκ : 0 εκ : 0 εκ : 0 εκ Επάνω Κάτω Εσωτερικά Εξωτερικά Βιβλιοδεσίας : 4 εκ : 4 εκ : 0 εκ : 0 εκ : 0 εκ Επάνω Κάτω Εσωτερικά Εξωτερικά Βιβλιοδεσίας : 4 εκ : 4 εκ : 4 εκ : 0 εκ : 0 εκ Επάνω Κάτω Εσωτερικά Εξωτερικά Βιβλιοδεσίας : 4 εκ : 4 εκ : 0 εκ : 4 εκ : 0 εκ Επάνω Κάτω Εσωτερικά Εξωτερικά Βιβλιοδεσίας : 4 εκ : 4 εκ : 4 εκ : 4 εκ : 0 εκ 26

29 Επάνω Κάτω Εσωτερικά Εξωτερικά Βιβλιοδεσίας : 4 εκ : 4 εκ : 4 εκ : 4 εκ : 4 εκ Εικόνα 10. Παράμετροι περιθωρίων και το μορφολογικό τους αποτέλεσμα Μια άλλη μέθοδος ορισμού των περιθωρίων φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Όταν ο δείκτης του ποντικιού μας, βρίσκεται στα εσωτερικά όρια των άκρων είτε του οριζόντιου είτε του κάθετου χάρακα, τότε σχήμα του δείκτη του ποντικιού αλλάζει σε. Με πατημένο το αριστερό πλήκτρο το ποντικιού και μετακινώντας την θέση του (click and drag) μπορούμε να αλλάξουμε διαδραστικά το μέγεθος των περιθωρίων της σελίδας μας. Εικόνα 11. Διαδραστική αλλαγή των περιθωρίων της σελίδας μας. Από την στιγμή που έχουμε ορίσει τα γενικά μορφολογικά στοιχεία του εγγράφου μας, μπορούμε να προχωρήσουμε στην εισαγωγή του κειμένου. Στην πράξη χρειαζόμαστε να μετακινούμαστε γρήγορα σε διάφορες θέσεις του κειμένου μας. Αυτό γίνεται με χρήση διαφορετικών συντομεύσεων του πληκτρολογίου ανάλογα με το λογικό στοιχείο του κειμένου στο οποίο θέλουμε να μεταβούμε. Για το λόγο αυτό θα δώσουμε κάποιους ορισμούς που αφορούν τα λογικά στοιχεία τα οποία αποτελούν ένα έγγραφο. Αυτά είναι η ενότητα, η σελίδα, η παράγραφος, η πρόταση, η γραμμή, η λέξη, ο χαρακτήρας και ορίζονται ως εξής: Χαρακτήρας είναι οποιοδήποτε αλφαριθμητικό σύμβολο. Λέξη είναι οποιοδήποτε σύνολο χαρακτήρων μεταξύ δύο κενών (space). 27

30 Γραμμή είναι ένα σύνολο χαρακτήρων το οποίο βρίσκεται στην ίδια οριζόντια θέση στην οθόνη μας. Πρόταση είναι ένα σύνολο χαρακτήρων που ξεκινά με αλφαριθμητικό και τελειώνει με τελεία (.) την οποία ακολουθεί υποχρεωτικά κενό αν ακολουθεί άλλη πρόταση στην ίδια παράγραφο ή χωρίς κενό αν η πρόταση είναι στο τέλος της παραγράφου. Παράγραφος είναι ένα σύνολο προτάσεων το οποίο τερματίζεται με το πάτημα του πλήκτρου Enter (μη εκτυπωμένο σύμβολο ). Η Σελίδα έχει την συνήθη έννοια του όρου. Ενότητα είναι ένα σύνολο παραγράφων ή σελίδων με κοινές μορφολογικές ιδιότητες. Το επόμενο βήμα στην σύνθεση ενός εγγράφου είναι η εξοικείωση του χρήστη με τις ιδιότητες μιας παραγράφου. Αυτές αφορούν την απόσταση των παραγράφων μεταξύ τους, την απόσταση των γραμμών μιας παραγράφου μεταξύ τους, την εσοχή ή προεξοχή της πρώτης γραμμής μια παραγράφου, τα περιθώρια της παραγράφου, την στοίχιση της. Όλες οι ιδιότητες μιας παραγράφου καθορίζονται με χρήση ειδικού διαλόγου στο οποίο αποκτούμε πρόσβαση με τον τρόπο που φαίνεται στην ακόλουθη εικόνα. Εικόνα 12. Καθορισμός ιδιοτήτων της παραγράφου. Με την έννοια της παραγράφου συνδέεται επίσης και η έννοια της "χήρας" ή "ορφανής" γραμμής. "Χήρα" γραμμή ονομάζουμε την τελευταία γραμμή μιας παραγράφου που εκτυπώνεται μόνη της στο επάνω μέρος μιας σελίδας. Το αντίθετο ονομάζεται "ορφανή" γραμμή. 28

31 Εικόνα 13. Καθορισμός "χήρας" ή "ορφανής" γραμμής. Σημαντικό χαρακτηριστικό στο παράθυρο ιδιοτήτων παραγράφων είναι και πάλι η λειτουργία της προεπισκόπησης. Η στοίχιση μια παραγράφου μπορεί να είναι αριστερή, δεξιά στο κέντρο και πλήρης. Τα περιθώρια της παραγράφου ελέγχονται οπτικά από την θέση των συμβόλων και στον οριζόντια χάρακα, ενώ η εσοχή ή προεξοχή της πρώτης γραμμής μιας παραγράφου από την θέση του συμβόλου. Εικόνα 14. Περιθώρια και εσοχές της παραγράφου. Όπως συμβαίνει και με πολλές άλλες λειτουργίες στο πρόγραμμα MS Word ο καθορισμός των σημαντικότερων ιδιοτήτων μιας παραγράφου μπορεί να γίνει και με χρήση των εικονιδίων (κουμπιά) που βρίσκονται στο μενού "Κεντρική" και στην εργαλειοθήκη "Παράγραφος". 29

32 Εικόνα 15. Καθορισμός ιδιοτήτων της παραγράφου από τα εικονίδια (κουμπιά) στην εργαλειοθήκη. Στην έννοια της παραγράφου εντάσσουμε και την ιδέα του στηλοθέτη. Με την χρήση του στηλοθέτη και οποίος τοποθετείται με την χρήση του πλήκτρου TAB είναι δυνατόν η οργάνωση του κειμένου μας σε στήλες όπως εμφανίζεται στην ακόλουθη εικόνα. Εικόνα 16. Παραδείγματα θέσεων διαφορετικών στηλοθετών αριστερής στοίχισης. Οι στηλοθέτες μπορεί να είναι: 1. Αριστερός στηλοθέτης 2. Στηλοθέτης με στοίχιση στο κέντρο 3. Δεξιός στηλοθέτης 4. Στηλοθέτης με στοίχιση στην υποδιαστολή 5. Στηλοθέτης με εμφάνιση γραμμής Εικόνα 17. Παραδείγματα διαφορετικών στηλοθετών κεντρικής στοίχισης και γραμμής. 30

33 Οι στηλοθέτες τοποθετούνται με μονό κλικ στο εσωτερικό του οριζόντιου χάρακα ενώ με διπλό κλικ στην θέση του στηλοθέτη εμφανίζεται ο πίνακας ορισμού των ιδιοτήτων του. Εικόνα 18. Πίνακας ορισμού ιδιοτήτων του στηλοθέτη. Συντομεύσεις (shortcuts) για μετακίνηση Πέρα από την εξοικείωση που πρέπει να έχει ο χρήστης με τον ορισμό των ιδιοτήτων της σελίδας ή της παραγράφου, πρέπει επίσης να μπορεί να μετακινείται εύκολα και γρήγορα στο έγγραφό του. Για τον λόγο αυτό καλό είναι να απομνημονεύσει συνδυασμούς πληκτρολόγησης που προσφέρονται για αυτόν ακριβώς το σκοπό. Ακολουθεί ένα πίνακας με χρήσιμες συντομεύσεις πληκτρολογίου. Μετακίνηση στην αρχή γραμμής Home Μετακίνηση στην τέλος γραμμής End Ένας χαρακτήρα προς τα αριστερά Αριστερό Βέλος Ένας χαρακτήρα προς τα δεξιά Δεξί Βέλος Μία λέξη προς τα αριστερά CTRL + Αριστερό Βέλος Μία λέξη προς τα Δεξιά CTRL + Δεξί Βέλος Μία παράγραφο προς τα επάνω CTRL + Πάνω Βέλος Μία παράγραφο προς τα κάτω CTRL + Κάτω Βέλος Μία γραμμή πάνω Πάνω Βέλος Μία γραμμή κάτω Κάτω Βέλος Στο επάνω μέρος του παραθύρου ALT + CTRL + PageUp Στο κάτω μέρος του παραθύρου ALT + CTRL PageDown Μία οθόνη πάνω PageUp Μία οθόνη κάτω PageDown Στην αρχή της επόμενης σελίδας CTRL + PageDown Στην αρχή της προηγούμενης σελίδας CTRL + PageUp Στο τέλος ενός εγγράφου CTRL+ End Στην αρχή ενός εγγράφου CTRL+ Home 31

34 Συντομεύσεις (shortcuts) για επιλογή Με την προσθήκη του πλήκτρου shift (π.χ SHIFT + END) στους πιο πάνω συνδυασμούς αντί για μετακίνηση επιτυγχάνουμε την επιλογή του κειμένου μας. Μια ιδιαίτερη χρήσιμη λειτουργία επιλογής κειμένου είναι η δυνατότητα επιλογής πολλαπλών μη συνεχών τμημάτων του κειμένου μας με την χρήση του πλήκτρου CTRL + Left Mouse Click, όπως εμφανίζεται ακολούθως. Εικόνα 19. Παράδειγμα επιλογής κειμένου πολλαπλών μη συνεχών τμημάτων με την χρήση του πλήκτρου CTRL + Left Mouse Click. Γραμματοσειρές Οι γραμματοσειρές καθορίζουν την οπτική απόδοση των αλφαριθμητικών του κειμένου μας. Με την χρήση του διαλόγου γραμματοσειρά, (CTRL+D) μπορούμε να αλλάξουμε μέγεθος στο επιλεγμένο μας κείμενο, χρώμα, ύφος γραφής έντονη γραφή CTRL+B, πλάγια CTRL+I, υπογραμμισμένη CTRL+U. Μπορούμε να μετατρέψουμε έναν ή περισσότερους χαρακτήρες σε εκθέτη ή δείκτη αλλά και να πυκνώσουμε η να αναπτύξουμε την απόσταση των χαρακτήρων μιας λέξης, πρότασης η παραγράφου. Εικόνα 20. Διαμόρφωση γραμματοσειράς, στυλ, μεγέθους και απόστασης χαρακτήρων. Ειδικά Σύμβολα Μπορούμε να εισάγουμε ειδικούς χαρακτήρες και σύμβολα χρησιμοποιώντας την εργαλειοθήκη "Σύμβολα" από το μενού "Εισαγωγή". Από τον πίνακα συμβόλων που εμφανίζεται κάνουμε την επιλογή μας και πατάμε "Εισαγωγή". 32

35 Εμφάνιση διαλόγου για εισαγωγή συμβόλων Εικόνα 21. Ενεργοποίηση εισαγωγής ειδικών χαρακτήρων και συμβόλων. 33

36 Κεφάλαιο 2-Προγράμματα Επεξεργασίας Κειμένου Μέρος 2ο Υποσημειώσεις και σημειώσεις τέλους Όταν χρειαστεί να εισάγουμε κάποια σημείωση στο κείμενό μας, πρέπει πρώτα να επιλέξουμε το σημείο στο οποίο θα γίνει η εισαγωγή. Αυτό γίνεται με το να κάνουμε κλικ στο επιθυμητό σημείο εισαγωγής 1 όπου θα εμφανιστεί να αναβοσβήνει η κάθετη γραμμή " " εισαγωγής χαρακτήρων. Στην συνέχεια επιλέγουμε μενού Αναφορές Εισαγωγή υποσημείωσης όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Εικόνα 22. Εισαγωγή υποσημείωσης στο κάτω μέρος της τρέχουσας σελίδας (προκαθορισμένες ρυθμίσεις). Με τον τρόπο αυτό εμφανίζεται το σύμβολο της υποσημείωσης στη σημείο εισαγωγής της και ταυτόχρονα εισάγεται το κείμενο της υποσημείωσης στο κάτω μέρος της τρέχουσας σελίδας. Η διαδικασία αυτή είναι η συνήθης προκαθορισμένη από τις ρυθμίσεις του λογισμικού με το σύμβολο της υποσημείωσης να παίρνει την μορφή αριθμού, ενώ το σύμβολο για κάθε επόμενη εισαγόμενη υποσημείωση παίρνει την μορφή αυξόντων αριθμών. Η πλήρης επιλογή του τρόπου εισαγωγής της μορφής και του είδους της υποσημείωσης, ή σημείωσης τέλους μπορεί να καθοριστεί με την επιλογή της εμφάνισης των πλήρων ρυθμίσεων των υποσημειώσεων, η οποία γίνεται με κλικ στο κάτω δεξιό μέρος της εργαλειοθήκης "Υποσημειώσεις" στο μενού Αναφορές όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Εικόνα 23. Πλήρεις ρυθμίσεις των υποσημειώσεων και σημειώσεων τέλους. 1 Κείμενο υποσημείωσης στο κάτω μέρος της σελίδας. 34

37 Με τον τρόπο αυτό μπορούν να καθοριστούν το είδος (συνήθης υποσημείωση ή υποσημείωση τέλους), η μορφή των συμβόλων των υποσημειώσεων (αριθμητική, αλφαβητική, κτλ) η αρχική τιμή τους, η συνέχειά τους και το αν οι τρέχουσες υποσημειώσεις αφορούν μία ενότητα του κειμένου ή ολόκληρο το κείμενο. Πίνακες Οι έννοιες που αναφέραμε πιο πάνω, δηλαδή χαρακτήρας, λέξη, γραμμή, πρόταση, παράγραφος, ενότητα είναι λογικές. Η συνήθης περίπτωση είναι να συναντούμε τις παραγράφους διαδοχικά την μία κάτω από την άλλη. Υπάρχουν όμως περιπτώσεις στις οποίες η απλή σειριακή ή παράλληλη παράθεση των παραγράφων (μια η πολλές στήλες) δεν είναι και το επιθυμητό. Υπάρχουν δηλαδή περιπτώσεις στις οποίες η παρουσίαση του κειμένου μας υπό μορφή στηλών δεν μπορεί να υλοποιηθεί με χρήση μόνο των στηλοθετών. Ούτε επίσης η δυνατότητα διαμέρισης μιας σελίδας σε κάθετες στήλες, που μας παρέχεται από ένα πρόγραμμα επεξεργασίας κειμένου δεν είναι ικανή να παραστήσει μια πιο πολύπλοκη δομή εμφάνισης όπως π.χ της εικόνας η οποία ακολουθεί Εικόνα 24 Τυπική μορφολογική περίπτωση χρήσης πίνακα 35

38 Σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιούμε την μορφολογική δομή του πίνακα. Η εισαγωγή ενός πίνακα μπορεί να γίνει είτε διαδραστικά με χρήση των επιλογών μέσω του μενού Εισαγωγή Πίνακας και γραφικός προσδιορισμός ή μενού Εισαγωγή Πίνακας Σχεδίαση πίνακα, είτε περιγραφικά με χρήση της επιλογής μενού Εισαγωγή Πίνακας Εισαγωγή πίνακα (Εικόνες 25 και 26). Εικόνα 25. Δημιουργία πίνακα μέσω της "Σχεδίασης πίνακα". Εικόνα 26. Δημιουργία πίνακα μέσω της "Εισαγωγής πίνακα". Κάθε κελί ενός πίνακα μπορεί να φιλοξενεί μέσα του παραγράφους. Όπως αναφέραμε πιο πάνω μια παράγραφος είναι μια λογική οντότητα και μπορεί να έχει τα δικά της μορφολογικά 36

39 χαρακτηριστικά όπως π.χ περιθώρια, χρώμα βάθους (background), περίγραμμα κλπ. Θα πρέπει λοιπόν στο σημείο αυτό να γίνει ένα διαχωρισμός σχετικά με τις ιδιότητες του κελιού σε σχέση με της ιδιότητες των παραγράφων τις οποίες φιλοξενεί εσωτερικά (Εικόνα 27). Εικόνα 27. Τα μορφολογικά χαρακτηριστικά μιας παραγράφου μπορεί να είναι διαφορετικά από εκείνα του κελιού στο οποίο βρίσκεται. Στα μορφολογικά χαρακτηριστικά περιλαμβάνονται εκτός από το είδος γεμίσματος ή το είδος πλαισίου και τα όρια έκτασης. Πρόσβαση σε μορφολογικές επιλογές περιγραμμάτων και σκίασης ενός κελιού αποκτούμε όταν όντας μέσα στο κελί που θέλουμε να μορφοποιήσουμε κάνουμε χρήση του δεξιού κλικ από την επιλογή «Περιγράμματα και σκίαση» (Εικόνα 28). Εικόνα 28. Μορφολογικές επιλογές περιγραμμάτων και σκίασης ενός κελιού. 37

40 Τμήμα των πιο πάνω λειτουργιών μπορούμε να επιτύχουμε και με χρήση των εικονιδίων στο μενού Κεντρική. Η αλλαγή της δομής ή του πλήθους των κελιών ενός πίνακα συνήθως γίνεται με χρήση των επιλογών εισαγωγής, διαγραφής ή διαίρεσης κελιών από τις επιλογές του μενού που εμφανίζεται (pop-up menu) όταν ενώ ο δείκτης βρίσκεται σε χώρο κελιού εντός ενός πίνακα πατήσουμε δεξί κλικ. Εικόνα 29. Αλλαγή της δομής ή του πλήθους των κελιών ενός πίνακα. Με χρήση των διαθέσιμων επιλογών αυτού του μενού είναι δυνατόν να ορίσουμε επίσης και τον τρόπο εμφάνισης των περιεχομένων ενός κελιού (στοίχιση, κατεύθυνση κειμένου). Ενδεικτικά παραδείγματα παρουσιάζονται στην ακόλουθη Εικόνα 30. Εικόνα 30. Τρόποι εμφάνισης των περιεχομένων ενός κελιού (στοίχιση, κατεύθυνση κειμένου). 38

41 Πλαίσιο κειμένου Τα πλαίσια κειμένου είναι μια δυνατότητα που συνήθως την συναντάμε σε προγράμματα επιτραπέζιας τυπογραφίας (Desktop Publishing). Επιτρέπουν την τοποθέτηση κειμένου και άλλων αντικειμένων (π.χ εικόνας), τα οποία αντιμετωπίζονται ως ενιαίο σύνολο, σε οποιοδήποτε σημείο ενός εγγράφου όπως επίσης και της ροής κειμένου γύρω από αυτά. Όλοι οι σύγχρονοι κειμενογράφοι μας προσφέρουν μια περιορισμένη σε επιλογές (σε σχέση με τα προγράμματα επιτραπέζιας τυπογραφίας) δυνατότητα εισαγωγής και χρήσης πλαισίων κειμένων. Για να εισάγουμε ένα πλαίσιο κειμένου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την επιλογή μενού Εισαγωγή εργαλειοθήκη Κείμενο Πλαίσο κειμένου, με την οποία εμφανίζεται ένας μαύρος σταυρός που χρησιμοποιούμε με πατημένο το αριστερό κλικ για να καθορίσουμε το μέγεθος του πλαισίου. Μετά τον καθορισμό των διαστάσεων ή με την επιλογή του πλαισίου με την χρήση του αριστερού κλικ στα όρια του πλαισίου, εμφανίζεται μια νέα εργαλειοθήκη με το όνομα Μορφοποίηση όπως αυτή της παρακάτω εικόνας για τον ορισμό των ιδιοτήτων του πλαισίου. Εικόνα 31. Καθορισμός των ιδιοτήτων του πλαισίου κειμένου. Είναι δυνατός ο ορισμός ορίων του πλαισίου για τον καθορισμό της ροής κειμένου γύρω από αυτό μέσω του καθορισμού της Αναδίπλωσης κειμένου στην εργαλειοθήκη Τακτοποίηση. Η αναδίπλωση του κειμένου αφορά τον τρόπο με τον οποίο θα διατάσσεται το κανονικό κείμενο σε σχέση με τα όρια αναδίπλωσης κειμένου που διαθέτει το πλαίσιο κειμένου (ή η εικόνα, δες παρακάτω). Τα όρια αναδίπλωσης καθορίζονται από την Επεξεργασία σημείων αναδίπλωσης όπως φαίνεται στο σχήμα 29, ενώ η τοποθέτηση νέων σημείων ελέγχου στα όρια του πλαισίου γίνεται με χρήση του πλήκτρου ctrl αριστερού κλίκ πάνω στην νοητή διακεκομμένη γραμμή του. Εικόνες γραφήματα Η εισαγωγή εικόνων μπορεί να γίνει: 1. Όταν έχουμε μία διαθέσιμη εικόνα αποθηκευμένη σε μορφή αρχείου εικόνας (αρχείο με προέκταση-extension.jpg,.tif,.jpeg,.wmf,.pct κτλ), με χρήση της επιλογής του μενού Εισαγωγή εργαλειοθήκη Απεικονίσεις Εικόνα (Εικόνα 32) και επιλογή με διπλό κλικ της αποθηκευμένης εικόνας από την θέση της στο αποθηκευτικό μέσο (Εικόνα 32). 39

42 Εικόνα 32. Εισαγωγή εικόνας αποθηκευμένη σε μορφή αρχείου εικόνας. 2. Όταν έχουμε δεδομένα εικόνας διαθέσιμα στην προσωρινή μνήμη (clipboard) μέσω π.χ. μίας επιλογής αντιγραφής εικόνας (copy), με χρήση της επικόλλησης (μενού Κεντρική εργαλειοθήκη Πρόχειρο Επικόλληση ή Ctrl-V). Προσοχή στην περίπτωση αυτή (2) πρέπει να βεβαιωθούμε ότι επικολλούμε δεδομένα εικόνας και όχι δεδομένα που έχουν την μορφή εικόνας αλλά δεν είναι κωδικοποιημένα ως εικόνα μέσω κάποιου άλλου προγράμματος που υπάρχει στον υπολογιστή μας, π.χ. αντικείμενο γραφικής παράστασης του Microsoft Excel. Για να είναι δυνατή πάντα η εμφάνιση της εικόνας που επικολλούμε, αν δεν είμαστε σίγουροι για την μορφή των δεδομένων διαλέγουμε μενού Κεντρική εργαλειοθήκη Πρόχειρο Επικόλληση Ειδική επικόλληση, και διαλέγουμε μία από τοις διαθέσιμες επιλογές π.χ. Εικόνα (εμπλουτισμένο μετααρχείο) ή Εικόνα (μετα-αρχείο των Windows) ή Εικόνα (GIF), (JPEG) κτλ (Εικόνα 33). Εικόνα 33. Εισαγωγή εικόνας με επικόλληση από την προσωρινή μνήμη. Όταν μια εικόνα είναι επιλεγμένη με χρήση του διπλού κλικ εμφανίζεται το ακόλουθο μενού Μορφοποίησης, μέσω του οποίου είναι δυνατόν να εφαρμόσουμε ένα περιορισμένο σύνολο διαδικασιών διαμόρφωσης, όπως π.χ περικοπής, αλλαγής φωτεινότητας, περιστροφής, εφαρμογής πλαισίου κλπ. Εικόνα 34. Διαθέσιμες διαδικασίες διαμόρφωσης εικόνας 40

43 Κεφάλαιο 2-Προγράμματα Επεξεργασίας Κειμένου Μέρος 3ο Εισαγωγή Μαθηματικών τύπων Έως και την έκδοση Word 2003 η εισαγωγή μαθηματικών εκφράσεων σε ένα κείμενο γινόταν μόνο με χρήση ενός εξωτερικού προγράμματος το οποίο ονομαζόταν Equation Editor. Εάν το στοιχείο αυτό έχει εγκατασταθεί και είναι διαθέσιμο στο λειτουργικό μας σύστημα τότε είναι δυνατόν να εκτελεσθεί και στο περιβάλλον το Word 2007 μέσω της επιλογής μενού Εισαγωγή εργαλειοθήκη Κείμενο Αντικείμενο Αντικείμενο Microsoft Equation 3.0 όπως φαίνεται και στην ακόλουθη εικόνα. Εικόνα 35. Εισαγωγή μαθηματικών εκφράσεων με τον Equation Editor. Το κύριο χαρακτηριστικό της σύνταξης μαθηματικών εκφράσεων μέσω αυτού του εργαλείου είναι ότι οι μαθηματικές εκφράσεις απεικονίζονται ως εικόνες. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα κείμενα που έχουν πυκνή μαθηματική γραφή να έχουν δυσανάλογα μεγάλο μέγεθος όταν αποθηκεύονται σε σχέση με την πραγματική πληροφορία την οποία εσωτερικά φιλοξενούν. Επίσης αυτή η μέθοδος παρουσίαζε και μια σχετική αδυναμία πραγματικής ενσωμάτωσης μιας μαθηματικής έκφρασης σε μία πρόταση. Η μέθοδος απεικόνισης μαθηματικών εκφράσεων άλλων συστημάτων όπως για παράδειγμα του LaTeX ήταν κατά πολύ ανώτερη, γιατί οι μαθηματικές εκφράσεις ήταν στην πραγματικότητα σύμβολα ειδικών γραμματοσειρών και αντιμετωπιζόταν όπως τα σύμβολα μια τυπικής γλώσσας γραφής όπως η ελληνική ή η αγγλική. Με την έκδοση 2007 αυτό άλλαξε και όπως θα δούμε στην συνέχεια η μέθοδος γραφής και απεικόνισης έγινε πιο συμβατή με το σύστημα LaTeX. Στην συνέχεια θα παρουσιάσουμε και τις δύο μεθόδους εισαγωγής μαθηματικών τύπων. 1. Microsoft Equation Editor 3.0 Εάν λοιπόν επιλέξουμε την μέθοδο γραφής μέσω Equation Editor θα βρεθούμε στο ακόλουθο περιβάλλον (Εικόνα 36). Η σύνταξη της μαθηματικής έκφρασης γίνεται εντός του διαγραμμισμένου πλαισίου της ακόλουθης εικόνας και η εισαγωγή της στο κείμενο μας γίνεται με 41

44 αριστερό κλικ εκτός του χώρου του κυρίως κειμένου. Το κενό (space) κατά την σύνταξη μιας μαθηματικής έκφρασης στον Equation Editor 3.0 εισάγεται με χρήση του συνδυασμού Ctrl-Space. Εικόνα 36. Περιβάλλον εισαγωγής μαθηματικών εκφράσεων του Equation Editor 3.0. Τα σύνολα των διαθέσιμων μαθηματικών συμβόλων είναι κατηγοριοποιημένα σε ενότητες με εικονίδια διατεταγμένα στις δύο γραμμές της κύριας εργαλειοθήκης (Εικόνα 37) που εμφανίζεται με την ενεργοποίηση του υποπρογράμματος Equation Editor 3.0. Η πρώτη γραμμή πάνω περιέχει σχετικά απλά σύμβολα και διαμορφώσεις, ενώ η δεύτερη κάτω πιο πεπλεγμένα σύμβολα. Πάνω γραμμή, από αριστερά προς τα δεξιά: Εικόνα 37. Κύρια εργαλειοθήκη του Equation Editor 3.0. Σύμβολα σχέσεων (ανισότητα, διαφορετικό, ταυτότητα, προσέγγιση κτλ). Διαστήματα (διαφόρων διαστάσεων) και αποσιωπητικά. Διακοσμητικά σύμβολα (διανύσματα, μέση τιμή, τόνοι κτλ). 42

45 Σύμβολα τελεστή (σφάλμα, εσωτερικό και εξωτερικό γινόμενο κτλ). Σύμβολα βέλη (απλή και διπλή συνεπαγωγή κτλ). Λογικά σύμβολα (για κάθε, υπάρχει κτλ). Σύμβολα θεωρίας συνόλων (σύνολα, υποσύνολα κτλ). Διάφορα σύμβολα (μερική παράγωγος, ανάδελτα, κτλ). Ελληνικοί χαρακτήρες (πεζά). Ελληνικοί χαρακτήρες (κεφαλαία). Κάτω γραμμή, από αριστερά προς τα δεξιά: 43

46 Πρότυπα παρενθέσεων (με προσαρμογή μεγέθους στα περιεχόμενα) Πρότυπα κλάσματος και ρίζας. Πρότυπα δείκτη και εκθέτη. Πρότυπα άθροισης Πρότυπα ολοκληρώματος. Πρότυπα επάνω και κάτω οριζόντιων γραμμών και βελών. Πρότυπα βέλους με ετικέτα. Πρότυπα γινομένου και θεωρίας συνόλων. Πρότυπα πινάκων. 44

47 Η πρόσβαση στα εικονίδια συμβόλων μπορεί να γίνει και με χρήση του πληκτρολογίου. H δυνατότητα αυτή ενεργοποιείται και απενεργοποιείται μέσω του πλήκτρου F2. Μετακίνηση σε διακριτές θέσεις γίνεται μέσω του πλήκτρου Tab για κίνηση προς τα εμπρός και Shift Tab για κίνηση προς τα πίσω. Αρκετά σύμβολα έχουν συντομεύσεις πληκτρολογίου π.χ Εισαγωγή ενός κλάσματος γίνεται με χρήση του Ctrl-F (το F αποτελεί το μνημονικό του Fraction). Εισαγωγή δείκτη Ctrl-L (L Low) Εισαγωγή εκθέτη Ctrl-H (H High) Εισαγωγή παρενθέσεων με χρήση Ctrl - 9 (to 9 είναι στη θέση των παρενθέσεων σε ένα τυπικό πληκτρολόγιο). Εισαγωγή ζεὐγους αγκυλών Ctrl-[ Διαχωρισμός θέσης Ctrl-J Εισαγωγή Ολοκληρώματος Ctrl-I (I Integral) Εισαγωγή Ρίζας Ctrl_R (R Root) Υπάρχουν και ορισμένες συντομεύσεις δύο βημάτων. Στο πρώτο βήμα πληκτρολογούμε έναν σύνθετο συνδυασμό (είτε Ctrl T ( Template) είτε Ctrl K) και στην συνέχεια έναν χαρακτήρα. Π.χ Η σύνθετη συντόμευση Ctrl T, M ( Matrix) παράγει πίνακες 3x3 η Ctrl T, S Αθροίσματα ( Summation) και η Ctrl T, P Σειρές Γινομένων ( Product) Με παρόμοιο τρόπο απλά σύμβολα μπορούν μέσω πληκτρολογίου να εισαχθούν με χρήση του συνδυασμού Ctrl K και ενός από τα ακόλουθα σύμβολα I ( Infinity) Βέλος Α ( Arrow) E ( Element) P ( Partial Derivative). Εισαγωγή μαθηματικών τύπων με χρήση του εργαλείου εξισώσεων Όπως αναφέραμε και στην εισαγωγή του παρόντος κειμένου η απόδοση επιστημονικών κειμένων, ιδιαίτερα των μαθηματικών συμβόλων είχε ήδη αντιμετωπιστεί από την εποχή ευρείας χρήσης των συντακτών κειμένου με την δημιουργία μιας ειδικής γλώσσας περιγραφής σελίδας με το όνομα TeX. Ο τρόπος γραφής μαθηματικών συμβόλων με χρήση των μνημονικών του LaTeX είναι συμβατός με τον επεξεργαστή εξισώσεων του Word και μάλιστα μπορεί να επιταχύνει κατά πολύ την εισαγωγή πολύπλοκων εξισώσεων σε σχέση με την τυπική μέθοδο γραφικής επιλογής μέσω εικονιδίων (Εικόνα 33). Περισσότερες πληροφορίες για του λόγους που οδήγησαν την Microsoft στην αλλαγή της μεθόδου σύνταξης εξισώσεων μπορεί να βρει κάποιος εδώ Ο επεξεργαστής εξισώσεων ενεργοποιείται είτε γραφικά (Εικόνα 38) είτε με χρήση της συντόμευσης Alt =. Η πλήρης ανάπτυξη των εργαλειοθηκών για την εισαγωγή των εξισώσεων προκύπτει αν διαλέξουμε την επιλογή "Εισαγωγή νέας εξίσωσης" από το κουμπί Εξίσωση (Εικόνα 39). 45

48 Εικόνα 38. Ενεργοποίηση του επεξεργαστή εξισώσεων. Εικόνα 39. Πλήρης εργαλειοθήκες για την εισαγωγή εξισώσεων από το κουμπί "Εξίσωση". Μία έκφραση TeX ξεκινά με τη χρήση του συμβόλου \ π.χ \int, \sqrt, \sum και εφαρμόζεται με την χρήση του χαρακτήρα space (κενό). Η γενική λοιπόν μορφή είναι μνημονικό{space} (δες παρακάτω πίνακα). Ακολουθούν μερικοί γενικοί κανόνες χρήσης μνημονικών TeX που είναι συμβατοί με τον συντάκτη εξισώσεων του MSWord. Δείκτες εκθέτες Το σύμβολο _ χρησιμοποιείται για δείκτη και το σύμβολο ^ για εκθέτη. Π.χ η σύνταξη x_x _x _x παράγει την έκφραση x x xx ενώ η σύνταξη x^x ^x ^x την έκφραση xx xx. Προσέξετε την θέση του space το οποίο όπως ήδη αναφέραμε χρησιμοποιείται ως τερματικό εντολής. Κλάσματα Για εισαγωγή κλασμάτων γίνεται χρήση του συμβόλου / π.χ x/ y/ z x y z 46 παρατηρήστε ότι η τοποθέτηση του τερματικού space σε άλλη θέση παράγει άλλο οπτικό αποτέλεσμα π.χ x/y/z Παρενθέσεις αγκύλες απόλυτες τιμές ()space,[]space,{}space, space. Η χρήση των παρενθέσεων γίνεται και για ομαδοποίηση συμβόλων π.χ x/(1+2+y) δίνει το x ακόλουθο αποτέλεσμα Χρήσιμα μνημονικά 1+2+y Μνημονικό Εμφάνιση Μνημονικό Εμφάνιση Μνημονικό Εμφάνιση Μνημονικό Εμφάνιση \dot \in \rightarrow \le \int \ni \downarrow \ll \ddot \ne \nearrow \times \bar \overbrace \searrow \cdot \sqrt \underbrace \leftrightarrow \oplus \sum \uparrow \Rightarrow \mapsto \infty \leftarrow \partial \dots \bot \bigcap \star \equiv x y z

49 \angle \pm ± \subset \box \nabla \hbar ħ \ge \gg \forall \exists \sim \approx \mp \cong \emptyset \propto Με συνδυαστική χρήση των παραπάνω μπορούμε να γράφουμε γρήγορα πολύπλοκες n μαθηματικές εκφράσεις π.χ η σύνταξη \sum_(n=1)^6 n^2/(n+1) δίνει το αποτέλεσμα 6 2 n=1. n+1 Πίνακες Πίνακες μπορούν να εισαχθούν μέσω της έκφρασης \matrix()space. Η χρήση των παρενθέσεων είναι υποχρεωτική. Ο διαχωρισμός στηλών γίνεται με χρήση του συμβόλου & ενώ των γραμμών με χρήση Για παράδειγμα ένα πίνακας 2x2 μπορεί να δημιουργηθεί ως \matrix(1&2@2&4) 1 2. Παρενθέσεις αγκύλες και άγκιστρα εισάγονται ως απλά σύμβολα. Π.χ 2 4 {\matrix(1&2@3&4)} \matrix(1&2@3&4) 1 (\matrix(1&2@3&4)) Μια πλήρης λίστα μνημονικών του συντάκτη εξισώσεων μπορεί να βρεθεί εδώ: Μία περιγραφή χρήσης των μνημονικών βρίσκεται εδώ: 47

50 Συντάκτης Εξισώσεων του LibreOffice Η σύνταξη εξισώσεων στο LibreOffice είναι ένα μείγμα μεταξύ των δυνατοτήτων του Microsoft Equation Editor και του συντάκτη εξισώσεων που διαθέτει το Word Δηλαδή ενώ έχουμε ένα σύστημα γραφής παρόμοιο με το LaTeX η ενσωμάτωση στο κείμενο δεν γίνεται με χρήση γραμματοσειρών αλλά εικόνων. Τα μνημονικά σε γενικές γραμμές παραμένουν τα ίδια, εδώ όμως παραλείπεται η χρήση του συμβόλου \ για την έναρξη ενός μνημονικού, ενώ τα ορίσματα γράφονται μεταξύ αγκυλών. Η γενική λοιπόν σύνταξη ακολουθεί την μορφή μνημονικό{ορίσματα}. Πρόσβαση στον συντάκτη εξισώσεων αποκτούμε μέσω της επιλογής του μενού «Εισαγωγή Αντικείμενο Τύπος» και φαίνεται στην ακόλουθη εικόνα. Εικόνα 40. Εισαγωγή μαθηματικής έκφρασης στο Writer του LibreOffice. 48

51 Το περιβάλλον εργασίας του συντάκτη εξισώσεων στο Libre Office αποτελείται από 3 τμήματα (panels) και έναν διάλογο. Κατηγορίες συμβόλων Σύμβολα τρέχουσας κατηγορίας Προεπισκόπηση εμφάνισης Εισαγωγή μνημονικών από το πληκτρολόγιο Εικόνα 41. Περιβάλλον εργασίας Συντάκτη Εξισώσεων LibreOffice. 49

52 Στο σημείο αυτό θα πρέπει να σημειώσουμε ότι επειδή ο συντάκτης εξισώσεων είναι εξωτερική εφαρμογή, ανεξάρτητη από τον κειμενογράφο του LibreOffice και ακολουθεί ένα πρότυπο ανταλλαγής πληροφοριών μεταξύ προγραμμάτων που ονομάζεται OLE (Object Linking and Embedding) ή ActiveX, μπορεί να κληθεί εάν επιθυμούμε και από το MS Word ή οποιαδήποτε άλλη εφαρμογή υποστηρίζει το πρότυπο αυτό. Η χρήση του γίνεται μέσω της επιλογής Εισαγωγή Αντικείμενο Τύπος του OpenOffice (Εικόνα 42). Εικόνα 42. Εισαγωγή μαθηματικής σχέσης με το εργαλείο του OpenOffice στο Microsoft Word. Το ίδιο φυσικά ισχύει και για τον συντάκτη εξισώσεων Microsoft Equation Editor. Δηλαδή εάν αυτός είναι διαθέσιμος στο σύστημά μας, τότε μπορούμε να συντάσσουμε τις μαθηματικές μας εκφράσεις με χρήση αυτού του εργαλείου στον κειμενογράφο του LibreOffice. Ένα παράδειγμα με χρήση και των δύο εργαλείων σύνταξης εξισώσεων στον Writer του LibreOffice δίνεται στην εικόνα που ακολουθεί. Εικόνα 43. Παραδείγματα εισαγωγής μαθηματικών εκφράσεων με χρήση του εργαλείου μαθηματικών σχέσεων του LibreOffice και του Microsoft Equation

53 Όταν εισάγουμε μαθηματικές εκφράσεις στο LibreOffice είναι καλό να έχουμε στην διάθεσή μας την αντίστοιχη εργαλειοθήκη εισαγωγής στοιχείων αλλά και την προσάρτηση των στοιχείων αυτών τα οποία επιλέγουμε από το μενού Προβολή (Εικόνα 44). Εικόνα 44. Εργαλειοθήκη των στοιχείων (δεξιά) και οι λεπτομέρειες της τρέχουσας επιλογής (Μοναδιαίοι/Δυαδικοί τελεστές) (δεξιά). Επιλέγοντας από το αριστερό panel ένα εικονίδιο δημιουργείται στο κάτω τμήμα της οθόνης η γενική δομή της έκφρασης την οποία πρέπει να επεξεργαστούμε από το πληκτρολόγιο, ενώ ταυτόχρονα στο κεντρικό panel δημιουργείται η προεπισκόπηση της. Τα σύμβολα <?> τα αντικαθιστούμε με τις επιθυμητές κάθε φορά εκφράσεις μας. Οι σύνταξη που χρησιμοποιούμε για την δημιουργία μαθηματικών εκφράσεων είναι παρόμοια με τα μνημονικά που είδαμε πριν και μερικά από αυτά συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακες δημιουργούμε με το μνημονικό matrix διαχωρισμός στηλών γίνεται με χρήση του συμβόλου # και γραμμών με το σύμβολο ## π.χ matrix {1#2##3#4}. Για όσους ενδιαφέρονται περισσότερο για να δουν τις διαφορές μεταξύ των καθιερωμένων μνημονικών του Latex και του συντακτικού των MS Word και LibreOffice ένας ελεύθερος Online Διαδικτυακός τόπος που χρησιμοποιεί ένα πλήρως συμβατό συντάκτη LaTeX (MathJax) βρίσκεται στον σύνδεσμο 51

54 Πίνακας χρήσιμων μνημονικών του συντάκτη εξισώσεων LibreOffice 52

55 Κεφάλαιο 3-Προγράμματα Υπολογιστικών Φύλλων Εργασίας Μέρος 1ο Ιστορική αναδρομή και εισαγωγή στα προγράμματα Υπολογιστικών Φύλλων Εργασίας Τα Υπολογιστικά Φύλλα Εργασίας είναι μια κλάση προγραμμάτων που συνέβαλλε ουσιαστικά στην διάδοση και επικράτηση του μοντέλου του προσωπικού υπολογιστή σε παγκόσμια κλίμακα. Από τις πρώτες εφαρμογές που υπήρξαν πρόδρομοι των σύγχρονων φύλλων εργασίας αξίζει μνείας το Lotus (Εικόνα 1). Ήταν από τα πρώτα προγράμματα υπολογισμών στο λειτουργικό σύστημα προσωπικών υπολογιστών MS-DOS και από πολλούς θεωρείται η αιτία επικράτησης της αρχιτεκτονικής x86 (intel architecture) στους προσωπικούς υπολογιστές (IBM compatibles) 1. Τα φύλλα υπολογισμών επιτρέπουν εφαρμογή υπολογιστικών συσχετισμών σε δεδομένα οργανωμένα σε μορφή πίνακα. Δεδομένα δηλαδή τα οποία δεικτοδοτούνται (indexed - referenced) με χρήση αναφορών σε γραμμές και στήλες. Η δομή πίνακα έχει επίσης παράλληλη χρήση και για την φιλοξενία δομημένης πληροφορίας ως τμήμα βάσης δεδομένων. Σε αυτή την περίπτωση οι στήλες ονομάζονται πεδία, ενώ οι γραμμές ονομάζονται εγγραφές. Στα προγράμματα υπολογιστικών φύλλων εργασίας γίνεται χρήση και των δύο πιο πάνω δυνατοτήτων. Δηλαδή χρησιμοποιούνται και για εφαρμογή μοντέλων υπολογισμών αλλά και αποθήκευσης και επεξεργασίας δεδομένων. Έως και σχετικά πρόσφατα το συνολικό εύρος δεικτοδότησης των σύγχρονων λογιστικών φύλλων δεν είχε αλλάξει από την εποχή του Lotus-123. Εικόνα 1. Άποψη της εμφάνισης υπολογιστικού φύλλου εργασίας του προγράμματος Lotus Το μέγιστο εύρος εκτεινόταν σε 2 16 = γραμμές και 2 8 = 256 στήλες, το σύνολο δηλαδή των κελιών ήταν 2 24 = Από την έκδοση Excel 2007 και έπειτα αυτό το εύρος έχει διευρυνθεί και είναι 2 20 = γραμμές και 2 14 = στήλες, συνολικά δηλαδή 2 34 = κελιά ανά λογιστικό φύλλο. Ένα λογιστικό φύλλο μπορεί λοιπόν να φιλοξενεί πολύ μεγάλο όγκο δεδομένων και για τον λόγο αυτό πρέπει ο χρήστης να είναι

56 εξοικειωμένος με τις δυνατότητες που μας παρέχει το πρόγραμμα για γρήγορη μετακίνηση σε διάφορες περιοχές του. Εικόνα 2. Άποψη της εμφάνισης υπολογιστικού φύλλου εργασίας του προγράμματος Microsoft Excel Όπως φαίνεται από την πιο πάνω Εικόνα 2, το πρόγραμμα Excel 2007 ακολουθεί την τυπική δομή ενός προγράμματος γραφικού περιβάλλοντος. Διαθέτει δηλαδή τα βασικά χαρακτηριστικά (Μενού επιλογών, Γραμμές εργαλείων, Γραμμές κύλισης, γραμμή κατάστασης και τον κύριο χώρο εργασίας) μιας παραθυρικής εφαρμογής. Σε πολλές περιπτώσεις δεν χρειάζεται σε ένα φύλλο μόνο να μπορούμε να περιγράψουμε ένα υπολογιστικό μοντέλο, αλλά και να το εμφανίσουμε με παραστατικό και κατανοητό τρόπο. Για τον λόγο αυτό ένα μεγάλο τμήμα του μενού επιλογών του Excel είναι αφιερωμένο σε επιλογές εμφάνισης και παρουσίασης. Επιλογή κελιών παράμετροι εμφάνισης και παρουσίασης Πριν εφαρμόσουμε ιδιότητες εμφάνισης σε ένα σύνολο κελιών πρέπει να τα επιλέξουμε. Η επιλογή μια περιοχής (ομάδας) γίνεται είτε με κλικ και σύρσιμο του δείκτη του ποντικιού (click and drag), είτε από το πληκτρολόγιο με χρήση του πλήκτρου shift και ενός πλήκτρου κατεύθυνσης (Εικόνα 3). Προσέξτε ότι το εικονίδιο του ποντικιού στην διαδικασία επιλογής είναι ένας άσπρος σταυρός. Το πλήκτρο κατεύθυνσης μπορεί να είναι το αριστερό, δεξί, πάνω, κάτω βέλος για σταδιακή αύξηση της επιλογής κατά ένα κελί την φορά ή PgUp, Pgdown για μια σελίδα εμφάνισης την φορά. Επίσης μπορεί να γίνει επιλογή από το τρέχων κελί έως το τελευταίο συμπληρωμένο κελί εάν στους παραπάνω συνδυασμούς παρεμβάλουμε το πλήκτρο End. Στην κορυφή του φύλλου εργασίας υπάρχουν ειδικά κελιά που χρησιμοποιούνται για την διευθυνσιοδότηση (indexing - reference) των υπολοίπων κελιών και ονομάζονται κελιά επικεφαλίδες (headers). Μια ολόκληρη γραμμή ή στήλη μπορεί να επιλεχθεί εάν τοποθετήσουμε τον δείκτη του ποντικιού σε ένα κελί επικεφαλίδα και κάνουμε κλικ με το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού. Ο δείκτης του ποντικιού έχει τότε ένα από τα ακόλουθα σχήματα: για την γραμμή και για την στήλη (Εικόνα 4). 54

57 Εικόνα 3. Επιλογή μια περιοχής (ομάδας) κελιών σε υπολογιστικό φύλλο εργασίας του προγράμματος Microsoft Excel Εικόνα 4. Επιλογή ολόκληρης στήλης (αριστερά) ή γραμμής (δεξιά) κελιών σε υπολογιστικό φύλλο εργασίας του προγράμματος Microsoft Excel Ολόκληρο το φύλλο εργασίας μπορεί να επιλεχθεί με κλικ στο σημείο που εμφανίζεται στην ακόλουθη Εικόνα 5, ή με την χρήση του συνδυασμού πληκτρολογίου Ctrl-A Εικόνα 5. Επιλογή ολόκληρου φύλλου εργασίας στο πρόγραμμα Microsoft Excel Πλησιάζοντας ο δείκτης του ποντικιού σε διάφορα οριακά σημεία του φύλλου εργασίας το εικονίδιο του αλλάζει υποδεικνύοντάς μας την ενέργεια που πρόκειται να εκτελεσθεί. Τα 55

58 ακόλουθα εικονίδια υποδηλώνουν την μεταβολή πλάτους μια στήλης μια γραμμής (Εικόνα 6). ή τη μεταβολή ύψους Εικόνα 6. Μεταβολή πλάτους μια στήλης (αριστερά) ή ύψους μια γραμμής (δεξιά) στο πρόγραμμα Microsoft Excel Σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να χρειαστεί να εισάγουμε δεδομένα (στήλες ή γραμμές) εμβόλιμα ή ενδιάμεσα σε μια περιοχή. Αυτό μπορούμε να το επιτύχουμε με χρήση δεξιού πλήκτρου του ποντικιού ενώ ο δείκτης είναι σε θέση ενός κελιού κεφαλίδας, όπως φαίνεται στην Εικόνα 7. Εικόνα 7. Εμβόλιμη εισαγωγή γραμμών (αριστερά) ή στηλών (δεξιά) στο πρόγραμμα Microsoft Excel Μπορούμε να μεταφέρουμε ολόκληρα τα περιεχόμενα ενός κελιού ή μίας ομάδας κελιών από ένα μέρος του φύλλου εργασίας σε ένα άλλο. Για να το κάνουμε αυτό αφού επιλέξουμε το κελί ή τα κελιά που θέλουμε να μεταφέρουμε, πάμε με το ποντίκι στα όρια της επιλεγμένης περιοχής, οπότε εμφανίζεται το εικονίδιο. Το εικονίδιο αυτό υποδηλώνει ότι πρόκειται να γίνει μετακίνηση των περιεχομένων ενός κελιού σε μια άλλη θέση (Εικόνα 8). Πατάμε και κρατάμε 56

59 πατημένο το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού και μεταφέρουμε την επιλογή μας στο μέρος του φύλλου εργασίας που επιθυμούμε. Εικόνα 8. Διαδικασία μεταφοράς κελιών μέσα στο φύλλο εργασίας. Από την άλλη πλευρά υπάρχει κει ένα άλλο πολύ σημαντικό εικονίδιο ποντικιού που εμφανίζεται μόνο όταν προσεγγίσουμε την κάτω δεξιά άκρη της επιλογής μας (στην οποία πάντα υπάρχει μία τελεία), είτε αυτή πρόκειται για ένα είτε για περισσότερα κελιά. Το εικονίδιο αυτό είναι το, το οποίο υποδηλώνει την εφαρμογή της διαδικασίας της λεγόμενης αυτόματης συμπλήρωσης. Η διαδικασία αυτή μπορεί να αφορά είτε στην απλή επανάληψη ενός περιεχομένου, είτε στην αναδρομική συμπλήρωση μίας σειράς αριθμών είτε στην εφαρμογή ενός μαθηματικού τύπου ή μίας λογικής πράξης ενός κελιού ή μίας ομάδας κελιών (το οποίο ή τα οποία έχουν αρχικά επιλεγεί από τον χρήστη) σε ένα σύνολο άλλων κελιών που καθορίζεται μέσω της επιλογή τους ενόσω διαρκεί η χρήση του εικονιδίου αυτόματης συμπλήρωσης ( ) (Εικόνα 9). Εικόνα 9. Διαδικασία αυτόματης συμπλήρωσης κελιών. Από την στιγμή που έχει γίνει επιλογή ενός συνόλου κελιών οι μορφολογικές τους ιδιότητες μπορούν να καθορισθούν με χρήση των επιλογών των διαλόγων που εμφανίζονται όταν κάνουμε δεξί κλικ με το ποντίκι στην επιλογή των κελιών και διαλέξουμε την εντολή "Μορφοποίηση κελιών". Με τον τρόπο αυτό εμφανίζονται οι παρακάτω εικόνες ως "καρτέλες" της μορφοποίησης (Εικόνες 10 έως 14). 57

60 Εικόνα 10. Μορφοποίηση του είδους των περιεχομένων των κελιών. Εικόνα 11. Μορφοποίηση της στοίχισης και του προσανατολισμού των περιεχομένων των κελιών. 58

61 Εικόνα 12. Μορφοποίηση της γραμματοσειράς των περιεχομένων των κελιών. Εικόνα 13. Μορφοποίηση των περιγραμμάτων των περιεχομένων των κελιών. Εικόνα 14. Μορφοποίηση του γεμίσματος και του μοτίβου των περιεχομένων των κελιών. Πρόσβαση στους πιο πάνω διαλόγους αποκτούμε επίσης κάνοντας κλικ στο σημείο που υποδεικνύεται στην ακόλουθη Εικόνα

62 Εικόνα 15. Πρόσβαση στην μορφοποίηση των κελιών μέσω της εργαλειοθήκης "Στοίχιση" του μενού "Κεντρική" στο Microsoft Excel Είναι επίσης σημαντικό να αναφερθούν ορισμένα πολύ ουσιώδη στοιχεία του περιβάλλοντος του συγκεκριμένου λογισμικού. Αυτά βρίσκονται στην ενεργό γραμμή κάτω από τις εργαλειοθήκες (Εικόνα 16). Έτσι το αριστερό μέρος της γραμμής που ονομάζεται "Πλαίσιο ονόματος" (Εικόνα 17α) μας πληροφορεί για την θέση του τρέχοντος κελιού, τον αριθμό των γραμμών (R) και στηλών (C) που επιλέγουμε καθώς και, μετά την επιλογή περισσοτέρων του ενός κελιών, την θέση του ενεργού κελιού από το οποίο εξαρτώνται ο καθορισμός των περιεχομένων των υπόλοιπων κελιών της επιλογής μας (παραδείγματα θα δοθούν παρακάτω). Στο δεξί μέρος υπάρχει η "Γραμμή τύπων" (Εικόνα 17β), όπου εμφανίζονται τα περιεχόμενα του εκάστοτε επιλεγμένου κελιού (π.χ. αριθμός, μαθηματικές σχέσεις, συναρτήσεις κτλ) στην πλήρη τους αναλυτική μορφή (όχι κατ' ανάγκη το αποτέλεσμα μίας πράξης αλλά η πράξη αυτή καθεαυτή). Ενδιάμεσά τους υπάρχει μία περιοχή με εντολές-κουμπιά (Εικόνα 17γ) τα οποία μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να ακυρώσουμε, να εισάγουμε-εκτελέσουμε μία πράξη, ή να εισάγουμε μία συνάρτηση, σε ένα ή περισσότερα κελιά. Εικόνα 16. Η ενεργός γραμμή κάτω από τις εργαλειοθήκες στο Microsoft Excel (α) (β) (γ) Εικόνα 17. Τα μέρη του "Πλαισίου ονόματος" (α), της "Γραμμής τύπων" (β) και των εντολών-κουμπιών (γ) της ενεργού γραμμής στο Microsoft Excel

63 Εισαγωγή συναρτήσεων και τύπων υπολογισμών στα υπολογιστικά φύλλα εργασίας Συναρτήσεις Τα κελιά των υπολογιστικών φύλλων εργασίας έχουν την δυνατότητα να φιλοξενήσουν ένα εύρος στοιχείων, από απλό κείμενο, ημερομηνίες και ώρες μέχρι πολύπλοκες μαθηματικές πράξεις και συναρτήσεις. Η έννοια της συνάρτησης στα υπολογιστικά φύλλα εργασίας δεν περιορίζεται στον αυστηρό ορισμό μίας μαθηματικής σχέσης ή έκφρασης, π.χ. e 2 = , αλλά αφορά και "λογικές συναρτήσεις" που επιστρέφουν για παράδειγμα τον αριθμό των μη κενών κελιών μίας επιλεγμένης περιοχής κελιών, το αν περιέχονται ή όχι ορισμένοι χαρακτήρες σε κάποια κελιά, το μέγιστο ή ελάχιστο αριθμό από ένα σύνολο αριθμών σε κελιά, το αν ισχύει ή όχι μία λογική πρόταση για τα περιεχόμενα ορισμένων κελιών και πολλά άλλα. Η συναρτήσεις διαθέτουν δύο μέρη: το όνομα και το όρισμα ή τα ορίσματά τους. Η εισαγωγή μιας συνάρτησης σε ένα κελί γίνεται είτε από το πληκτρολόγιο, εάν γνωρίζουμε εκ των προτέρων το όνομά της, είτε με την βοήθεια ενός οδηγού διαλόγου (helper dialog). Το όρισμα ή τα ορίσματα της συνάρτησης πάντα ακολουθεί/ούν (χωρίς κενό) το όνομα της συνάρτησης και αφορά/ούν το περιεχόμενο μεταξύ των παρενθέσεων (). Όταν έχουμε παραπάνω από ένα όρισμα στην συνάρτηση τα ορίσματα διαχωρίζονται με την χρήση του αλφαριθμητικού ελληνικού ερωτηματικού ";". Στην περίπτωση που η εισαγωγή γίνεται άμεσα από το πληκτρολόγιο η γενική μορφή είναι η ακόλουθη "=συνάρτηση(ορίσμα1;όρισμα2;.)". Προσέξτε ότι για να εμφανιστεί το αποτέλεσμα εφαρμογής της συνάρτησης αν έχουν δοθεί σωστά το όνομα και το όρισμα ή τα ορίσματά της, είναι απαραίτητη η χρήση του αλφαριθμητικού χαρακτήρα "=" ως πρώτου χαρακτήρα στο κελί εισαγωγής. Γενικά ο χαρακτήρας "=" τοποθετείται ως ο πρώτος χαρακτήρας σε ένα κελί για να πάρουμε το αποτέλεσμα είτε της εφαρμογής μίας μαθηματικής ή λογικής συνάρτησης, είτε μίας μαθηματικής πράξης, είτε μίας λογικής πράξης. Ουσιαστικά πρέπει να μπει για να υποδηλώσει στο λογισμικό ότι ο χρήστης θέλει από αυτό να του "δώσει ένα αποτέλεσμα" σύμφωνα με την σύνταξη των εντολών που ακολουθούν μετά το σύμβολο "=". Αν ο χρήστης δεν χρησιμοποιήσει τον χαρακτήρα αυτόν ως πρώτο χαρακτήρα στο κελί, όλη η υπόλοιπη σύνταξη θα ληφθεί από το λογισμικό ως απλή εισαγωγή κειμένου. Για παράδειγμα η εφαρμογή της σύνταξης "=exp(2)" (εφαρμογή της εκθετικής συνάρτηση με φυσικό-μαθηματικό νόημα την ύψωση της βάσης των νεπερίων λογαρίθμων "e" στον αριθμό-εκθέτη "2" με αποτέλεσμα το e 2 ) θα δώσει ως αποτέλεσμα τον αριθμό , ενώ η εφαρμογή της σύνταξης "exp(2)" θα δώσει ως αποτέλεσμα το κείμενο exp(2) (Εικόνα 18). Εικόνα 18. Εφαρμογή των συντάξεων "=exp(2)" (αριστερά) και "exp(2)" (δεξιά) στο Microsoft Excel Ήδη αναφέραμε ότι τα υπολογιστικά φύλλα εργασίας έχουν δύο κυρίως χρήσεις: 1. Την εφαρμογή ενός υπολογιστικού μοντέλου σε ένα σύνολο δεδομένων. 2. Την αντιμετώπιση και χειρισμό των πληροφοριών του φύλλου, ως τμήμα βάσης δεδομένων. Για την υλοποίηση της πρώτης περίπτωσης μας παρέχεται ένα ευρύ φάσμα μαθηματικών ή και λογικών συναρτήσεων από απλές, όπως για παράδειγμα εκθετικής, λογαριθμικής κλπ έως πιο προχωρημένες όπως π.χ μιγαδικές πράξεις, συναρτήσεις Bessel κλπ. Στην εικόνα που ακολουθεί το κελί Β1 περιέχει την συνάρτηση power(βάση;εκθέτης). Αυτή αποδίδει την δύναμη ενός 61

64 αριθμού και έχει δύο ορίσματα, την βάση και τον εκθέτη. Το πρώτο είναι η βάση και το δεύτερο ο εκθέτης. Η σύνταξη λοιπόν power(a1;2) σημαίνει εφάρμοσε την συνάρτηση power με βάση την αριθμητική τιμή του κελιού Α1 (τιμή 2 στο παράδειγμα) και εκθέτη τον αριθμό 2. Εικόνα 19. Εφαρμογή της συνάρτησης power(). Η χρήση των συναρτήσεων μπορεί να γίνεται με πεπλεγμένο τρόπο (nested). Δηλαδή μία συνάρτηση να περιέχει στο όρισμά της μια άλλη, ή ακόμη και την ίδια, συνάρτηση, εάν το επιθυμούμε. Στην ακόλουθη εικόνα γίνεται πεπλεγμένη χρήση της power και το τελικό αποτέλεσμα είναι (2 2 ) 2 Εικόνα 20. Εφαρμογή της συνάρτησης power() με πεπλεγμένο τρόπο. Υπάρχουν συναρτήσεις οι οποίες ως όρισμα δεν δέχονται τα περιεχόμενα ενός μόνο κελιού, αλλά ενός συνόλου κελιών. Το εύρος του συνόλου (εάν αυτά είναι σε συνεχόμενη περιοχή, με μορφή πίνακα) καθορίζεται από το πρώτο και τελευταίο στοιχείο του πίνακα διαχωριζόμενα με την αλφαριθμητική άνω-κάτω τελεία ":". Ένα παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης είναι η συνεχής άθροιση (sum) και εμφανίζεται στην ακόλουθη Εικόνα

65 Εικόνα 21. Εφαρμογή της συνάρτησης "sum(α1:β9)" για τα περιεχόμενα των κελιών της επιλογής Α1 έως Β9 που περιλαμβάνει την στήλη Α1 έως Α9 και Β1 έως Β9. Σε περίπτωση που το σύνολο των κελιών δεν είναι συνεχόμενο, η σύνταξη είναι παρόμοια αλλά απαιτεί και την χρήση του αλφαριθμητικού ελληνικού ερωτηματικού ";" όπως φαίνεται στην Εικόνα 22 που ακολουθεί. Εικόνα 22. Εφαρμογή της συνάρτησης "sum(α1:α9;c1:c9)" για τα περιεχόμενα των μη-συνεχόμενων κελιών της επιλογής Α1 έως Α9 και C1 έως C9. Κατά την διάρκεια εισαγωγής μιας συνάρτησης το πρόγραμμα μας διευκολύνει σε περίπτωση που δεν θυμόμαστε το πλήρες όνομά της παρουσιάζοντας μας μια λίστα με εκείνες τις συναρτήσεις, οι οποίες περιέχουν τα αλφαριθμητικά που έχουμε ήδη πληκτρολογήσει. Ένα τέτοιο παράδειγμα εμφανίζεται στην εικόνα που ακολουθεί. 63

66 Εικόνα 23. Βοήθεια επιλογής συνάρτησης κατά την διάρκεια πληκτρολόγησης των πρώτων χαρακτήρων της στο Microsoft Excel Εάν γνωρίσουμε το όνομα της συνάρτησης αλλά δεν θυμόμαστε τα ορίσματά της, μπορούμε να ανοίξουμε έναν βοηθητικό διάλογο πατώντας Ctrl-A. Πρόσβαση στις συναρτήσεις αποκτούμε επίσης πατώντας το εικονίδιο-κουμπί, οπότε εμφανίζεται ένα διάλογος οδηγός (helper dialog) όπως της ακόλουθης εικόνας, ο οποίος περιλαμβάνει όλες τις διαθέσιμες συναρτήσεις ανά κατηγορία. Εικόνα 24. Διάλογος οδηγός (helper dialog) με τις διαθέσιμες συναρτήσεις ανά κατηγορία στο Microsoft Excel Ακολουθώντας τις οδηγίες που μας παρέχονται από αυτόν τον οδηγό μπορούμε να τοποθετήσουμε την συνάρτηση και τα ορίσματά της με διαδραστικό τρόπο. Σε περίπτωση που ακολουθήσουμε αυτή την μέθοδο και η συνάρτηση δέχεται ορίσματα σε μορφή συνόλων, εάν αυτά δεν είναι συνεχόμενα η επιλογή των διακριτών υποσυνόλων γίνεται με χρήση του ποντικιού και του πλήκτρου ctrl του πληκτρολογίου. Σε πολλές περιπτώσεις χρειάζεται να γεμίσουμε μεγάλες περιοχές με ίδιες συναρτήσεις. Αυτό μπορούμε να το επιτύχουμε γρήγορα με την ακόλουθη μέθοδο: Καταρχήν επιλέγουμε τις 64

67 περιοχές στις οποίες θέλουμε να επαναληφθεί η συνάρτηση όπως φαίνεται στην ακόλουθη εικόνα χρησιμοποιώντας το ποντίκι με αριστερό κλικ το πλήκτρο Ctrl. Εικόνα 25. Επιλογή κελιών μη-συνεχόμενων περιοχών με την χρήση του ποντικιού και του πλήκτρου Ctrl. Στην συνέχεια πληκτρολογούμε του τύπο της συνάρτησής μας στο ενεργό κελί της συνολικής επιλογής που δεν είναι σκιασμένο και τερματίζουμε την εισαγωγή με χρήση του συνδυασμού Ctrl-Enter. Το αποτέλεσμα φαίνεται στην εικόνα που ακολουθεί. Εικόνα 26. Εφαρμογή μίας συνάρτησης (exp(2)) σε επιλεγμένα κελιά μη-συνεχόμενων περιοχών με την χρήση του πλήκτρου Ctrl-Enter. Μαθηματικοί τύποι Πολλές φορές εκτός από συναρτήσεις θέλουμε να εισάγουμε απλές ή πιο περίπλοκες μαθηματικές πράξεις με αριθμούς που πληκτρολογούμε, ή αριθμούς που υπάρχουν σε κελιά, ή και συναρτήσεις. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε τους αλφαριθμητικούς χαρακτήρεςσύμβολα "+", "-", "*" και "/" για την πρόσθεση, την αφαίρεση, τον πολλαπλασιασμό και την 65

68 διαίρεση αντίστοιχα. Για την ύψωση ενός αριθμού σε έναν εκθέτη χρησιμοποιούμε τον αλφαριθμητικό χαρακτήρα-σύμβολο "^". Στην επόμενη εικόνα δίνονται μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα. (α) (β) (γ) (δ) Εικόνα 27. Εφαρμογή μερικών απλών μαθηματικών πράξεων μεταξύ αριθμών, κελιών και συναρτήσεων. Προσέξτε ότι υπάρχει προτεραιότητα εφαρμογής των πράξεων σε κάθε εικόνα (α)-(δ). Όπως φαίνεται από την προηγούμενη εικόνα, οι πράξεις μεταξύ των αριθμών κελιών ή συναρτήσεων γίνονται με συγκεκριμένη σειρά προτεραιότητας. Η σειρά αυτή περιλαμβάνει ως πρώτο στάδιο την εκτέλεση των πράξεων μέσα σε παρενθέσεις, ως δεύτερο τον υπολογισμό των συναρτήσεων, ως τρίτο την ύψωση σε δύναμη, ως τέταρτο την διαίρεση ή τον πολλαπλασιασμό και κατόπιν την πρόσθεση ή την αφαίρεση. Για τα δύο τελευταία ζευγάρια (διαίρεσηπολλαπλασιασμός και πρόσθεση-αφαίρεση) προτεραιότητα μεταξύ των δύο πράξεων του ζεύγους έχει η πράξη που βρίσκεται αριστερά στον μαθηματικό τύπο. Για να είμαστε σίγουροι για την καλή εφαρμογή του τελικού επιθυμητού μαθηματικού τύπου βάζουμε όσες πράξεις θεωρούμε πως έχουν προτεραιότητα μέσα σε παρανθέσεις. Η επιλογή των κελιών για την χρήση τους σε μαθηματικούς τύπους ή ορίσματα συναρτήσεων μπορεί να γίνει είτε διαλέγοντας το κελί κάνοντας αριστερό κλικ με το ποντίκι μας όσο αυτό έχει την μορφή του άσπρου σταυρού ( ), είτε πληκτρολογώντας το όνομα του κελιού π.χ. C4. Στην δεύτερη περίπτωση πρέπει να βεβαιωθούμε ότι το πληκτρολόγιό μας εισάγει λατινικούς χαρακτήρες γιατί η χρήση ελληνικών χαρακτήρων π.χ. α1 ή β1, δεν γίνεται αποδεκτή από το λογισμικό. Παρατηρείστε επίσης ότι κάθε κελί του μαθηματικού μας τύπου παρουσιάζεται στην "Γραμμή τύπων" με διαφορετικό χρώμα και παίρνει όταν βρισκόμαστε μέσα σε αυτή το αντίστοιχο χρώμα περιγράμματος για να μπορούμε εύκολα να εντοπίζουμε την θέση του στο φύλλο εργασίας (Εικόνα 28). Εικόνα 28. Χρωματισμός των κελιών στην εφαρμογή μαθηματικών πράξεων για την καλύτερη εποπτεία της θέσης των κελιών στο φύλλο εργασίας. Χρήση της διαδικασίας της αυτόματης συμπλήρωσης (AutoFill) Επανάληψη τιμών Έχουμε ήδη αναφέρει ότι όταν πλησιάζουμε τον δείκτη του ποντικιού στο κάτω δεξί άκρο ενός κελιού ή μίας επιλογής κελιών και στην συνέχεια το σύρουμε προς μια κατεύθυνση έχουμε σαν αποτέλεσμα την συμπλήρωση των περιεχομένων του αρχικού κελιού ή κελιών σε όλες τις επιλεγμένες θέσεις. Η διαδικασία αυτή φαίνεται στην ακόλουθη εικόνα στην περίπτωση της εκκίνησης αυτόματης συμπλήρωσης από ένα κελί που το οποίο περιέχει απλώς έναν αριθμό. Η 66

69 διαδικασία αυτή έχει ως αποτέλεσμα την απλή συμπλήρωση όλων των επιλεγόμενων επομένων κελιών με τον ίδιο αριθμό εκκίνησης. Εικόνα 29. Εφαρμογή της αυτόματης συμπλήρωσης στην περίπτωση της απλής επανάληψης τιμών ενός κελιού. Πρόβλεψη τιμών Στην περίπτωση που η πιο πάνω διαδικασία ξεκινήσει με επιλογή περισσοτέρων του ενός επιλεγμένων κελιών, η επιλεγμένη περιοχή γεμίζει με τιμές οι οποίες προέρχονται μετά την εφαρμογή μίας διαδικασίας γραμμικής βελτιστοποίησης. Στην Εικόνα 30 εμφανίζεται μια απλή περίπτωση πρόβλεψης τιμών μίας σειράς αριθμών τα αποτελέσματα της οποίας προκύπτουν από τον υπολογισμό της διαφοράς των δύο αριθμών στην διεύθυνση μετακίνησης του ποντικιού, που αποτελεί και το αριθμητικό βήμα για την συμπλήρωση των επόμενων κελιών. Η γραμμική σχέση που διέπει τα κελιά Α6, Α7 είναι προφανής στην μετακίνηση από το κελί Α6 στο κελί Α7, δηλαδή Α7=A6+βήμα(=+1) και κατά συνέπεια η εφαρμογή της πρόβλεψης τιμών αποδίδει την αριθμητική αλληλουχία Α8 3, Α9 4, Α10 5, Α11 6, Α12 7 (Εικόνα 30β). Από την άλλη πλευρά αν η διεύθυνση μετακίνησης της επιλογής των αρχικών κελιών ήταν αντίθετη το αποτέλεσμα είναι διαφορετικό. Α6=A7+βήμα(=-1) και κατά συνέπεια η εφαρμογή της πρόβλεψης τιμών αποδίδει την αριθμητική αλληλουχία Α5 0, Α4-1, Α3-2, Α2-3, Α1-4 (Εικόνα 30γ). Τα παραπάνω γίνονται πάντα στην περίπτωση που τα κελιά εκκίνησης είναι μόνο δύο. (α) (β) (γ) Εικόνα 30. Εφαρμογή της αυτόματης συμπλήρωσης στην περίπτωση της πρόβλεψης τιμών με την χρήση της διαφοράς ως το βήμα συμπλήρωσης τιμών. Υπάρχει δυνατότητα ο χρήστης να επιλέξει μεταξύ της εφαρμογής αυτόματης συμπλήρωσης με πρόβλεψη τιμών (συμπλήρωση σειρών) ή της απλής αντιγραφής κελιών. Αυτό γίνεται με το να κάνει κλικ στο εικονίδιο που εμφανίζεται στο κάτω δεξί άκρο της περιοχής συμπλήρωσης ακριβώς μετά την εφαρμογή της διαδικασίας και έχει τίτλο "Επιλογές Αυτόματης Συμπλήρωσης" (Εικόνα 31). 67

70 Εικόνα 31. Εφαρμογή των επιλογών αυτόματης συμπλήρωσης κατά την διάρκεια της διαδικασίας συμπλήρωσης κελιών στο φύλλο εργασίας του Microsoft Excel Συμπλήρωση με ονόματα κελιών Όταν η αυτόματη συμπλήρωση περιλαμβάνει όχι μόνο απλούς αριθμούς αλλά μαθηματικούς τύπους με ονόματα κελιών, τότε η αλληλουχία των κελιών που συμπληρώνονται εξαρτάται από την φορά μετακίνησης της συμπλήρωσης. Για παράδειγμα όταν θέλουμε να πάρουμε μία αλληλουχία αριθμών κατά το ύψος μίας στήλης προσθέτοντας ένα σταθερό αριθμό (βήμα) στον αμέσως προηγούμενό του αρχίζοντας από μία συγκεκριμένη τιμή (αριθμητική πρόοδος), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τα ονόματα των κελιών μίας στήλης στα οποία θα προσθέτουμε το βήμα (Εικόνα 32). Παρατηρήστε ότι καθώς συμπληρώνονται τα κελιά κατά το ύψος της ίδια στήλης (Α) στο όνομα του κελιού αλλάζει μόνο ο αριθμός της γραμμής των κελιών. Εικόνα 32. Εφαρμογή αυτόματης συμπλήρωσης με την χρήση ονομάτων κελιών κατά την συμπλήρωση κελιών σε στήλη στο φύλλο εργασίας του Microsoft Excel Εικόνα 33. Εφαρμογή αυτόματης συμπλήρωσης με την χρήση ονομάτων κελιών κατά την συμπλήρωση κελιών σε γραμμή στο φύλλο εργασίας του Microsoft Excel Αντίστοιχα αν συμπληρώσουμε τα κελιά σε μία γραμμή χρησιμοποιώντας την ίδια σχέση στο όνομα των κελιών θα αλλάζει ο τίτλος των στηλών ενώ θα παραμένει σταθερός ο αριθμός της γραμμής στην οποία γίνεται η συμπλήρωση (Εικόνα 33). Δηλαδή όταν συμπληρώνουμε κατά το ύψος μίας στήλης περιμένουμε στα κελιά που συμπληρώνονται να αλλάζει ο αριθμός των γραμμών και όταν συμπληρώνουμε κατά το μήκος μίας γραμμής οι τίτλοι των στηλών αντίστοιχα. 68

71 Συμπλήρωση κρατώντας σταθερό το όνομα ενός κελιού Υπάρχουν όμως πολλές περιπτώσεις στις οποίες κατά την αυτόματη συμπλήρωση και εφαρμογή των μαθηματικών τύπων, το όνομα ενός κελιού θέλουμε να παραμένει σταθερό, γιατί σε όλη την διαδικασία θέλουμε το περιεχόμενο αυτού του κελιού να αποτελεί μία σταθερά. Για παράδειγμα, θέλουμε να αφαιρέσουμε από μία στήλη αριθμών τον αριθμό που υπάρχει σε ένα άλλο κελί του φύλλου εργασίας και να πάρουμε τα αποτελέσματα σε μία άλλη νέα στήλη. Στην περίπτωση αυτή στο όνομα του κελιού που θέλουμε να κρατήσουμε σταθερό κατά την συμπλήρωση τοποθετούμε το αλφαριθμητικό σύμβολο του δολαρίου "$" πριν και μετά τον τίτλο της στήλης του κελιού. Με τον τρόπο αυτό διασφαλίζουμε την σταθερότητα κατά την αυτόματη συμπλήρωση και της στήλης αλλά και της γραμμής του ονόματος του κελιού 2. Έτσι στην Εικόνα 34 για να αφαιρέσουμε τα περιεχόμενα του κελιού C1 από όλους τους αριθμούς στα κελιά της στήλης Α, Α1 έως Α5 και να πάρουμε τα αποτελέσματα στα αντίστοιχα κελιά της στήλης Β, Β1 έως Β5, γράφουμε στο κελί Β1 την σχέση αφαίρεσης με τον τίτλο της στήλης του κελιού C1 ανάμεσα σε $, δηλαδή $C$1. Εικόνα 34. Εφαρμογή αυτόματης συμπλήρωσης με την χρήση ονομάτων κελιών κρατώντας σταθερό κατά την αυτόματη συμπλήρωση το όνομα ενός κελιού με την χρήση των αλφαριθμητικών "$" εκατέρωθεν του τίτλου της στήλης του συγκεκριμένου κελιού ($C$1). Το πλεονέκτημα της συμπλήρωσης των κελιών με αυτό τον τρόπο και όχι με την χρήση ενός συγκεκριμένου αριθμού είναι ότι στην περίπτωση της χρήσης ονομάτων κελιών μπορούμε ανά πάσα στιγμή να αλλάξουμε τα περιεχόμενα των κελιών και οι υπολογισμοί μας να γίνουν με βάση τα νέα περιεχόμενα. Στην περίπτωση της χρήσης σταθερών αριθμών το ίδιο αποτέλεσμα θα απαιτούσε την συμπλήρωση των θέσεων των αποτελεσμάτων στα αντίστοιχα κελιά τους ένα προς ένα. 2 Με την εισαγωγή του "$" πριν τον τίτλο της στήλης διασφαλίζουμε την σταθερότητα κατά την αυτόματη συμπλήρωση στην αλλαγή του ονόματος της στήλης, ενώ με την εισαγωγή του "$" μετά τον τίτλο της στήλης, ή αλλιώς -και ουσιαστικά- πριν τον αριθμό της γραμμής, διασφαλίζουμε την αντίστοιχη σταθερότητα στην αλλαγή του αριθμού της γραμμής. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την κάθε έννοια ξεχωριστά, δηλαδή να κρατάμε κατά την αυτόματη συμπλήρωση σταθερό μόνο το όνομα της στήλης, με την εισαγωγή του "$" μόνο πριν τον τίτλο της, ή τον αριθμό της γραμμής με την εισαγωγή του "$" μόνο πριν τον αριθμό της. 69

72 Παράδειγμα υπολογισμού της μέσης τιμής, της τυπικής απόκλισης (σφάλμα μίας τιμής) καθώς και του σφάλματος της μέσης τιμής σε ένα σύνολο πειραματικών μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους Πολλές φορές μας παρουσιάζεται το πρόβλημα εύρεσης της μέσης τιμής από ένα σύνολο τιμών ενός φυσικού μεγέθους και ο στατιστικός υπολογισμός της τυπικής απόκλισης (standard deviation) καθώς και του σφάλματος της μέσης τιμής του μεγέθους αυτού. Η θεωρία σφαλμάτων 3 καθορίζει ότι η μέση τιμή <x> για Ν αριθμό μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους x θα δίνεται από την σχέση: < x >= N i=1 x i N η τυπική απόκλιση σ x θα δίνεται από την σχέση: σ x = N i=1 (x i < x >) 2 (Ν 1) ενώ το σφάλμα της μέσης τιμής σ <x> από την σχέση: 1/2 σ <x> = N i=1 (x i < x >) 2 N(Ν 1) Με την χρήση των υπολογιστικών φύλλων εργασίας μπορούμε εύκολα και γρήγορα να υπολογίσουμε τις παραπάνω ποσότητες και να δημιουργήσουμε ένα πρότυπο υπολογισμού κάθε νέας μέσης τιμής που αφορά φυσικά μεγέθη. Κατ' αρχήν εισάγουμε τα δεδομένα μας σε μορφή στηλών (ή γραμμών) στο φύλλο εργασίας μας όπως φαίνεται στην Εικόνα 35α, μαζί με την καταμέτρηση του αριθμού των μετρήσεων (αύξων αριθμός μέτρησης ή α/α). Μην ξεχνάτε πάντα να υποδεικνύεται στην αρχή κάθε στήλης το φυσικό μέγεθος που παραθέτετε καθώς και την μονάδα μέτρησής του (όταν υπάρχει). Όταν ο αριθμός των δεδομένων του φυσικού μεγέθους είναι σχετικά μικρός, είναι εύκολο να υπολογίσουμε τον μέγιστο αριθμό μετρήσεων Ν κατά νου. Όταν όμως έχουμε μεγάλο αριθμό δεδομένων είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσουμε μία συνάρτηση για τον σκοπό αυτό. Μία τέτοια συνάρτηση είναι η συνάρτηση COUNT(). Η συνάρτηση αυτή μετρά τον αριθμό των κελιών μίας επιλογής κελιών που υποδεικνύεται στο όρισμά της, τα οποία περιέχουν αριθμούς. Είναι καλό να υποδεικνύουμε επίσης το κελί στο οποίο υπολογίζουμε μία παράμετρο ή μία σταθερά, γι' αυτό και δίπλα στο κελί για τον υπολογισμό του Ν πληκτρολογούμε το όνομά του και χρωματίζουμε τα δύο κελιά με το ίδιο χρώμα για να υποδείξουμε την σχέση τους (Εικόνα 35α). 1/2 (α) (β) (γ) (δ) (ε) Εικόνα 35. Στάδια του υπολογισμού της μέσης τιμής, της τυπικής απόκλισης και του σφάλματος της μέσης τιμής με την βοήθεια υπολογιστικών φύλλων εργασίας. 3 Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικής-θερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα

73 Στην συνέχεια υπολογίζουμε το άθροισμα των επιμέρους τιμών του φυσικού μεγέθους N i=1 x i στο τέλος της στήλης των επιμέρους τιμών χρησιμοποιώντας την συνάρτηση sum() (Εικόνα 35β) και κατόπιν την μέση τιμή <x> σε διαφορετικό κελί (π.χ. κελί C2), χρησιμοποιώντας το κελί του αθροίσματος και τον αριθμό Ν (Εικόνα 35γ). (α) (β) (γ) (δ) Εικόνα 36. Στάδια του υπολογισμού της μέσης τιμής, της τυπικής απόκλισης και του σφάλματος της μέσης τιμής με την βοήθεια υπολογιστικών φύλλων εργασίας. Στην συνέχεια πρέπει να προσδιορίσουμε τις τιμές x i -<x> για i=1 έως N. Για τον λόγο αυτό στο κελί D2 πληκτρολογούμε το πρώτο μέλος της σειράς αυτής (=Β2-C2). Αν προσπαθήσουμε να κάνουμε αυτόματη συμπλήρωση δεδομένων με αυτή την σχέση στα υπόλοιπα κελιά για να πάρουμε τα υπόλοιπα μέλη της σειράς, θα παρατηρήσουμε ότι μαζί με την επιθυμητή αλλαγή των γραμμών της στήλης Β (Β2, Β3, B4 ) θα αλλάζει και το αντίστοιχο κελί της στήλης C (C2, C3, C4 ), κάτι φυσικά που δεν είναι επιθυμητό γιατί η μέση τιμή του x θα πρέπει να είναι ένας σταθερός αριθμός που βρίσκεται πάντα στο κελί C2. Για να αποφύγουμε αυτή την μη επιθυμητή διαδικασία πρέπει να ορίσουμε στην διαδικασία αυτόματης συμπλήρωσης το κελί C2 να παραμένει σταθερό. Αυτό όπως έχουμε δει γίνεται με το να πληκτρολογήσουμε εκατέρωθεν του τίτλου της στήλης του εν λόγω κελιού τα αλφαριθμητικά σύμβολα "$". Έτσι αν πληκτρολογήσουμε π.χ. στο κελί D2 (=B2-$C$2) και δοκιμάσουμε αυτόματη συμπλήρωση μέχρι και την τελευταία γραμμή που περιέχει τιμή του φυσικού μεγέθους, θα πάρουμε σωστά τις διαφορές x i -<x> για i=1 έως N (Εικόνα 35δ). Στην συνέχεια επειδή θέλουμε τα τετράγωνα αυτών των διαφορών πάμε στην επόμενη στήλη Ε και υπολογίζουμε τις αντίστοιχες ποσότητες, δηλαδή στο κελί Ε2 πληκτρολογούμε (=D2^2) (Εικόνα 35ε). Κατόπιν υπολογίζουμε το άθροισμα N i=1 (x i < x >) 2 χρησιμοποιώντας την συνάρτηση sum() (Εικόνα 36α). Τώρα έχουμε όλα τα στοιχεία για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης. Έτσι σε ένα νέο κελί π.χ. το F2, κάνουμε τον υπολογισμό [=sqrt(ε16/(α16-1))] ή [=(Ε16/(Α16-1))^(1/2)]. Το ίδιο κάνουμε και για το σφάλμα της μέσης τιμής στο κελί G2, δηλαδή [=sqrt(ε16/(α16*(α16-1))] ή [=(Ε16/(Α16*(Α16-1)))^(1/2)] (Εικόνες 36β,γ). Η παρουσίαση των αποτελεσμάτων είναι εξ' ίσου σημαντική με τον υπολογισμό τους. Γνωρίζουμε λοιπόν ότι τα σφάλματα (ή αβεβαιότητες) γράφονται πάντα με ένα σημαντικό ψηφίο. Για τον λόγο αυτό πρέπει να στρογγυλοποιήσουμε το τελικό μας αποτέλεσμα σύμφωνα με τους κανόνες των σημαντικών ψηφίων. Ξεκινάμε πάντα από την τυπική απόκλιση ή το σφάλμα της μέσης τιμής, τα οποία και στρογγυλοποιούμε σε ακρίβεια ενός σημαντικού ψηφίου. Μία καλή συνάρτηση στρογγυλοποίησης είναι η fixed( ; ), η οποία έχει όπως φαίνεται δύο μέρη στο όρισμά της. Η συνάρτηση αυτή στρογγυλοποιεί έναν αριθμό, που δηλώνεται στο πρώτο μέρος του 71

74 ορίσματος, σε συγκεκριμένη ακρίβεια η οποία καθορίζεται από τον αριθμό στρογγυλοποίησης των δεκαδικών ή και μη δεκαδικών ψηφίων και δηλώνεται στο δεύτερο μέρος του ορίσματος ως εξής: για 1 δεκαδικό ψηφίο ο αριθμός είναι 1, για 2 δεκαδικά ψηφία 2 για 3 δεκαδικά ψηφία 3 κ.ο.κ. Για ακρίβεια μονάδας ο αριθμός στρογγυλοποίησης είναι 0, για ακρίβεια δεκάδας -1 για ακρίβεια εκατοντάδας -2 κ.ο.κ. Έτσι, στην συγκεκριμένη περίπτωση όπου το σφάλμα της μέσης τιμής γραμμένο με 1 σημαντικό ψηφίο είναι s, άρα η ακρίβεια είναι στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο, για να παρουσιάσουμε το αποτέλεσμα της μέσης τιμής μαζί με το σφάλμα της πληκτρολογούμε στο κελί G2 [=FIXED(C2;3)&" ± "&FIXED(F4;3)] (Εικόνα 36δ). Παρουσιάζουμε έτσι σε ένα κελί δύο τιμές, ξεχωρίζοντάς τες με τα αλφαριθμητικά σύμβολα "&" και το σύμβολο της αβεβαιότητας " ± " γραμμένο με δύο κενά εκατέρωθεν και μέσα σε εισαγωγικά ("). Όπως γίνεται κατανοητό όταν θέλουμε να προσθέσουμε κάποιο κείμενο ανάμεσα σε δύο αριθμούς για να παρουσιάσουμε αποτέλεσμα πρέπει το βάλουμε το επιθυμητό κείμενο μεταξύ των εισαγωγικών. Γίνεται επίσης κατανοητό ότι το κελί στο οποίο παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα δεν μπορεί να θεωρηθεί πλέον ως ένα κελί που περιέχει αριθμούς, αλλά κείμενο. Εικόνα 37. Η συνολική εικόνα του υπολογισμού της μέσης τιμής, της τυπικής απόκλισης και του σφάλματος της μέσης τιμής με την βοήθεια υπολογιστικών φύλλων εργασίας. 72

75 Κεφάλαιο 3-Προγράμματα Υπολογιστικών Φύλλων Εργασίας Μέρος 2ο Γραφικές παραστάσεις αριθμητικών δεδομένων και φυσικών μεγεθών Δημιουργία γραφικής παράστασης (γραφήματος) διασποράς σημείων σε γραμμικούς καρτεσιανούς άξονες Η κατανόηση μία εικόνας ισοδυναμεί με την περιγραφή της με χίλιες λέξεις! Η έκφραση αυτή ταιριάζει απόλυτα στην έννοια των γραφικών παραστάσεων αριθμητικών μαθηματικών δεδομένων. Συγκεκριμένα, οι γραφικές παραστάσεις αριθμητικών μαθηματικών δεδομένων που αντιστοιχούν σε φυσικά μεγέθη από μόνες τους μπορούν να παρουσιάζουν με σαφήνεια τα αποτελέσματα πειραμάτων ή υπολογισμών, εκφράζοντας με πολύ απλό τρόπο την ουσία των φυσικών φαινομένων και των νόμων στους οποίους βασίζονται. Γίνεται λοιπόν κατανοητό ότι η δημιουργία και επεξεργασία γραφικών παραστάσεων είναι κάτι παραπάνω από απαραίτητη για την ανάλυση των δεδομένων που προκύπτουν από διεξαγωγή πειραμάτων φυσικής ή υπολογισμών φυσικών μεγεθών με βάση κάποιες φυσικές θεωρίες. Στο μέρος αυτό του κεφαλαίου θα παρουσιαστούν οι βασικοί τρόποι για την δημιουργία και επεξεργασία δισδιάστατων γραφικών παραστάσεων αριθμητικών δεδομένων και φυσικών μεγεθών με την βοήθεια των υπολογιστικών φύλλων εργασίας. Για την δημιουργία δισδιάστατων γραφικών παραστάσεων χρειάζεται, όπως είναι εύκολα κατανοητό, ένα σύνολο αριθμητικών δεδομένων σε μορφή ζευγών αριθμών. Τα δεδομένα μπορεί να είναι απλοί αριθμοί, ή, τις περισσότερες φορές, αφορούν αριθμητικές τιμές φυσικών μεγεθών που προκύπτουν από την διεξαγωγή ενός (ή και περισσοτέρων) πειραμάτων, ή θεωρητικούς υπολογισμούς φυσικών μεγεθών. Τα δεδομένα αυτά συνήθως παρουσιάζονται σε μορφή πίνακα και είναι γραμμένα με βάση τα μεγέθη στα οποία αντιστοιχούν κατά στήλη ή σειρά του πίνακα. Τα υπολογιστικά φύλλα εργασίας μπορούν να χειριστούν δεδομένα που θα χρησιμοποιηθούν για την δημιουργία γραφικών παραστάσεων και στις δύο περιπτώσεις, δηλαδή και κατά στήλες αλλά και κατά σειρές. Μία σειρά τέτοιων δεδομένων παρουσιάζεται στον Πίνακα 1. Τα δεδομένα στον πίνακα αυτόν είναι απλοί αριθμοί οι οποίοι αντιστοιχούν σε κάποιες μαθηματικές μεταβλητές, εν προκειμένω, x, y, z, r και v και δίνονται σε μορφή στηλών. Αν κάποιος επιθεωρήσει απλά τις τιμές των παραμέτρων αυτών κατά ζεύγη, θα διαπιστώσει ότι καθώς αυξάνει η τιμή της μεταβλητής x κατά το ύψος της στήλης της, αυξάνουν αντίστοιχα τόσο οι τιμές της μεταβλητής y όσο και οι τιμές των μεταβλητών z και v, ενώ μειώνονται οι τιμές της μεταβλητής r. Ο τρόπος όμως με τον οποίο γίνεται η αύξηση ή μείωση των τιμών των παραμέτρων είναι δύσκολα κατανοητός με την απλή επιθεώρησή τους, ακόμη και αν κάποιος υπολογίσει αριθμητικά τις διαφορές μεταξύ των τιμών αυτών, ή με άλλα λόγια τον ρυθμό αύξησης ή μείωσής τους. Μόνο αν κάποιος παραστήσει γραφικά τις τιμές αυτές σε ένα δισδιάστατο διάγραμμα μπορεί να αποκαλυφθεί με πολύ απλό τρόπο η εξάρτηση μεταβολή της κάθε μεταβλητής y, z, r και v από την μεταβλητή x. Για να γίνει αυτό θα πρέπει λοιπόν να δημιουργήσουμε τις γραφικές παραστάσεις των μεταβλητών y, z, r και v σαν συνάρτηση της μεταβλητής x σε δισδιάστατα διαγράμματα καρτεσιανών συντεταγμένων χρησιμοποιώντας γραμμικούς άξονες με την βοήθεια του προγράμματος υπολογιστικών φύλλων εργασίας Excel της Microsoft. 73

76 Πίνακας 1 α/α x y z r v Ένας πρώτος πού απλός και γρήγορος τρόπος για την δημιουργία της πρώτης γραφικής παράστασης σε καρτεσιανούς-γραμμικούς άξονες των τιμών της μεταβλητής y σαν συνάρτηση των τιμών της μεταβλητής x αφορά την εισαγωγή ενός στοιχείου που αποκαλείται γράφημα. Στο γράφημα αυτό θέλουμε κάθε ζεύγος τιμών των μεταβλητών x και y να παρασταθεί ως σημείο με τις τιμές y να παριστάνονται στον κάθετο καρτεσιανό άξονα και τις τιμές x στον οριζόντιο καρτεσιανό άξονα, ενώ και οι δύο άξονες θέλουμε να έχουν γραμμική βαθμονόμηση. Γραμμική βαθμονόμηση υπάρχει σε έναν άξονα όταν κάθε ίδιο διάστημά του, οπουδήποτε και αν το επιλέξουμε κατά μήκος του άξονα, αντιστοιχεί στην ίδια διαφορά τιμών της μεταβλητής (ή του φυσικού μεγέθους όπως θα δούμε παρακάτω) που παριστάνεται στον άξονα αυτό (Εικόνα 1). Γραμμικούς καρτεσιανούς άξονες έχει το γνωστό μας χιλιοστομετρικό χαρτί. Εικόνα 1. Γραμμική βαθμονόμηση καρτεσιανών αξόνων γραφικής παράστασης. Όταν έχουμε τα δεδομένα μας στην μορφή του Πίνακα 1 και θέλουμε να παραστήσουμε γραφικά τα ζεύγη τιμών (x,y) με τον τρόπο που περιγράψαμε πριν, κατ' αρχάς επιλέγουμε τα κελιά στα οποία βρίσκονται οι τιμές αυτές. Δηλαδή αν έχουμε εισάγει τα δεδομένα μας με τον τρόπο που φαίνεται στην Εικόνα 2α, επιλέγουμε συνεχόμενα τα κελιά από το B3 έως το C17. Στην 74

77 συνέχεια επιλέγουμε από το μενού Εισαγωγή Γραφήματα Διασπορά μόνο με δείκτες (Εικόνα 2β) και ως συνέπεια εμφανίζεται το νέο μας γράφημα (Εικόνα 2γ). (α) (β) Εικόνα 2. Διαδικασία επιλογής δεδομένων (α) και εισαγωγής γραφήματος διασποράς με δείκτες (σημεία) (β), (γ). Όπως γίνεται κατανοητό, το Excel ακολουθεί κάποιες προκαθορισμένες ρυθμίσεις για την εμφάνιση του γραφήματος. Κατ' αρχάς, όπως φαίνεται από την Εικόνα 2γ, οι τιμές των μεταβλητών x και y έχουν αυτόματα τοποθετηθεί στον οριζόντιο και κατακόρυφο καρτεσιανό άξονα αντίστοιχα. Αυτό σημαίνει ότι όταν επιλέγουμε δεδομένα σε στήλες για μία γραφική παράσταση αυτού του είδους, τα δεδομένα της στήλης που βρίσκεται στο αριστερό μέρος της επιλογής μας θα τοποθετηθούν αυτόματα στον οριζόντιο άξονα και αυτά του δεξιού μέλους της (γ) 75

78 επιλογής μας στον κατακόρυφο άξονα. 1 Το δεδομένο γράφημα δείχνει επίσης πολύ ικανοποιητικά την διακύμανση των τιμών της μεταβλητής y σαν συνάρτηση αυτών της μεταβλητής x σε μορφή σημείων σε καρτεσιανούς-γραμμικούς άξονες. Το εύρος διακύμανσης (ελάχιστη και μέγιστη τιμή) των μεταβλητών x και y στους αντίστοιχους άξονες έχει καθοριστεί αυτόματα από το πρόγραμμα, καθώς επίσης και το μέγεθος, το είδος και το χρώμα των συμβόλων που παριστάνουν τα ζεύγη τιμών στην γραφική παράσταση, τα οποία αντιπροσωπεύονται από ένα υπόμνημα στην άκρη του γραφήματος που παίρνει αυτόματα τον τίτλο "Σειρά 1". Είναι αυτονόητο ότι η βαθμονόμηση των αξόνων στο συγκεκριμένο παράδειγμα γραφήματος που ακολουθούμε έχει προκαθοριστεί από το πρόγραμμα να είναι γραμμική. Παρ' όλ' αυτά η γραφική παράσταση στο συγκεκριμένο γράφημα δεν είναι ολοκληρωμένη. Χρειάζεται να σημειώσουμε τις μεταβλητές που παριστάνονται στους τίτλους των αξόνων για να έχουμε την δυνατότητα να γνωρίζουμε ανά πάσα στιγμή και χωρίς αμφιβολία την θέση τους στην γραφική παράσταση. Επίσης θα ήταν καλό να εμφανίζονται και κάποιες βοηθητικές γραμμές βαθμονόμησης κατά μήκος των αξόνων, όπως αυτές που υπάρχουν στο χιλιοστομετρικό χαρτί. Καλό επίσης θα ήταν να υπάρχει και ένας γενικός τίτλος για την γραφική παράσταση. Για τους λόγους αυτούς πρέπει να αλλάξουμε την εμφάνιση του γραφήματός μας, εισάγοντας τα στοιχεία που λείπουν. Για να το κάνουμε αυτό κατ' αρχάς παρατηρούμε ότι με την εισαγωγή του γραφήματος εμφανίστηκαν κάποια επιπλέον μενού που αφορούν ακριβώς στην επεξεργασία του (Εικόνα 3) 2. Εικόνα 3. Μενού που αφορούν της επεξεργασία της γραφικής παράστασης (γραφήματος) και είδη διατάξεων γραφήματος. Από αυτά επιλέγουμε από το μενού Σχεδίαση στην εργαλειοθήκη Διάταξη γραφήματος το κάτω δεξί άκρο της που μας παρουσιάζει περισσότερες επιλογές για την Αλλαγή της γενικής διάταξης του γραφήματος (Εικόνα 3β). Από τις διαθέσιμες διατάξεις αυτή που εμπίπτει καλύτερα στις απαιτήσεις που ζητήσαμε πιο πάνω είναι η Διάταξη 10 (Εικόνα 2γ), η επιλογή της οποίας έχει το αποτέλεσμα αλλαγής της εμφάνισης του γραφήματός μας που φαίνεται στην Εικόνα 4α. 1 Αν είχαμε τα δεδομένα μας σε σειρές αντί σε στήλες και επιλέγαμε με αντίστοιχο τρόπο τις δύο πρώτες σειρές του πίνακα, σύμφωνα με τις προκαθορισμένες ρυθμίσεις στον οριζόντιο άξονα θα παριστάνονται οι τιμές που βρίσκονται στην σειρά που βρίσκεται στο πάνω μέρος της επιλογής μας και στον κατακόρυφο άξονα οι τιμές που βρίσκονται στην σειρά που βρίσκεται στο κάτω μέρος της επιλογής μας. 2 Παρατηρείστε ότι τα μενού αυτά εμφανίζονται μόνο όταν έχουμε επιλέξει το γράφημα κάνοντας κλικ πάνω του, ενώ φεύγουν πλήρως όταν επιλέξουμε άλλο αντικείμενο (π.χ. κάποιο από τα κελιά του φύλλου εργασίας). 76

79 (α) (β) Εικόνα 4. Διαμόρφωση στοιχείων της γραφικής παράστασης. Για να καθορίσουμε τους τίτλους των αξόνων κάνουμε διπλό κλικ σε καθέναν από αυτούς και πληκτρολογούμε το όνομα της μεταβλητής στην προκειμένη περίπτωση (Εικόνα 3β), ή του φυσικού μεγέθους συνοδευόμενο από την μονάδα μέτρησής του αν υπάρχει, στην περίπτωση που παριστάνουμε τέτοια μεγέθη στην γραφική μας παράσταση. Ο πλήρης έλεγχος αυτού του είδους των στοιχείων της γραφικής παράστασης (τίτλος άξονα, τίτλος γραφήματος, υπόμνημα κτλ) μπορεί να προσεγγιστεί από την εργαλειοθήκη "Ετικέτες" στο μενού "Διάταξη" (Εικόνα 5). Εικόνα 5. Καθορισμός διαφόρων στοιχείων της γραφικής παράστασης (γραφήματος) από την εργαλειοθήκη "Ετικέτες" στο μενού "Διάταξη". Μπορούμε επίσης να αλλάξουμε το μέγεθος και το είδος των σημείων που απεικονίζουμε στην γραφική μας παράσταση επιλέγοντας κάποιο από αυτά πάνω στην γραφική παράσταση, οπότε επιλέγεται και το σύνολο των σημείων. Εναλλακτικά μπορούμε να επιλέξουμε από μία λίστα στοιχείων της γραφικής παράστασης το στοιχείο που μας ενδιαφέρει και θέλουμε να διαμορφώσουμε. Αυτό γίνεται αν πάμε στο μενού "Μορφή" και στην εργαλειοθήκη "Τρέχουσα επιλογή" και επιλέξουμε από την λίστα το στοιχείο του γραφήματος που θέλουμε να διαμορφώσουμε (Εικόνα 6). (α) (β) Εικόνα 6. Επιλογή στοιχείων γραφήματος προς διαμόρφωση. Στην προκειμένη περίπτωση η διαμόρφωση των συμβόλων της γραφικής παράστασης γίνεται με την επιλογή του στοιχείου "Σειρά1" που είναι και ο προκαθορισμένος τίτλος που δίνει το λογισμικό στην σειρά των ζευγών δεδομένων που έχουμε παραστήσει ως σημεία (σύμβολα) στην 77

80 γραφική παράσταση. Η επιλογή του δεδομένου στοιχείου μας δίνει την δυνατότητα διαμόρφωσης η οποία γίνεται από τα εργαλεία της εργαλειοθήκης "Στυλ σχήματος" (Εικόνα 7). Μπορούμε να επιλέξουμε κάποια από τις λίστες που υπάρχουν έτοιμες στο δεξί μέρος της εργαλειοθήκης αυτής. Είναι όμως καλύτερο να έχουμε τον πλήρη έλεγχο που αφορά το είδος και το χρώμα των συμβόλων (δείκτες) καθώς και της γραμμής (αν χρειάζεται να παρασταθεί) που τα συνδέει 3, ο οποίος προκύπτει με την εμφάνιση των πλήρων επιλογών αν κάνουμε κλικ στο κάτω δεξί άκρο του πλαισίου της εργαλειοθήκης. Σχήμα 7. Διαμόρφωση στυλ των συμβόλων και της γραμμής σύνδεσης των συμβόλων. Όπως γίνεται κατανοητό με τον ίδιο τρόπο, επιλέγοντας το στοιχείο που θέλουμε (π.χ. άξονες, περιοχή σχεδίασης, γραμμές πλέγματος κτλ) από την εργαλειοθήκη "Τρέχουσα επιλογή" μπορούμε να το διαμορφώσουμε με την χρήση της εργαλειοθήκης "Στυλ σχήματος". Αλλαγή βαθμονόμησης αξόνων-γραφικές παραστάσεις σε λογαριθμικούς και ημιλογαριθμικούς άξονες-εύρεση γενικών αναλυτικών μαθηματικών σχέσεων μεταξύ μεταβλητών ή φυσικών μεγεθών που παριστάνονται στην γραφική παράσταση Γραμμική σχέση Όπως αναφέρθηκε στην αρχή της προηγούμενης παραγράφου, είναι δύσκολο κάποιος να διαπιστώσει, στην περίπτωση που υπάρχει, ποια είναι η γενική αναλυτική μαθηματική σχέση που συνδέει δύο μεταβλητές (ή φυσικά μεγέθη) y και x μόνο και μόνο από την εποπτεία της μεταβολής των τιμών τους. Όμως με την δημιουργία της γραφικής παράστασης των μεταβλητών αυτών, η παραπάνω διαδικασία απλοποιείται σε μεγάλο βαθμό. Έτσι γίνεται κατανοητό ότι η 3 Προσέξτε ότι η γραμμή αυτή δεν αντιστοιχεί σε "προσαρμογή" με κάποια μαθηματική σχέση, όπως θα δούμε στην συνέχεια, αλλά αποτελεί έναν οπτικό οδηγό απλής διασύνδεσης των συμβόλων. 78

81 γραφική παράσταση y=f(x) σε γραμμικούς άξονες που εμφανίζεται στην Εικόνα 4β παριστάνει σημεία τα οποία έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία γραμμή. Επομένως από την παραπάνω παρατήρηση είναι δυνατόν να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι η γενική αναλυτική μορφή της συνάρτησης f(x) θα είναι αυτή της εξίσωσης ευθείας σε επίπεδο, η οποία αν το x παριστάνει την ανεξάρτητη μεταβλητή και το y την εξαρτημένη θα δίνεται από την σχέση y=a+b x (1) όπου a και b, οι (σταθεροί) παράμετροι της συνάρτησης οι οποίοι μπορεί να είναι πραγματικοί αριθμοί. Τα υπολογιστικά φύλλα εργασίας διαθέτουν μία σειρά από μεθόδους τις οποίες μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για την εύρεση των τιμών των παραμέτρων αυτών, στις οποίες θα αναφερθούμε παρακάτω. Σχέση δύναμης-λογαριθμική βαθμονόμηση αξόνων Η περίπτωση στην οποία η τάση των σημείων της γραφικής παράστασης να σχηματίσουν ευθεία γραμμή είναι μία ιδιαίτερη περίπτωση διακύμανσης τιμών μεταβλητών. Διαθέτει όμως την απλούστερη και πιο εύκολα κατανοητή μορφή ως σχήμα, αλλά και την πιο αξιοποιήσιμη διαδικασία εύρεσης τιμών των παραμέτρων a και b της αναλυτικής της σχέσης. Γίνεται λοιπόν κατανοητό ότι όταν τα σημεία μίας γραφικής παράστασης σε καρτεσιανούς γραμμικούς άξονες δεν έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία γραμμή, αλλά μία άλλη μορφή γραμμής (καμπύλη), τότε η αναλυτική σχέση των μεταβλητών ή μεγεθών που έχουν παρασταθεί στην γραφική παράσταση οπωσδήποτε δεν είναι αυτή της εξίσωσης (1). Οι αναλυτικές μαθηματικές εκφράσεις των μη-γραμμικών σχέσεων για τις οποίες οι αναπαραστάσεις τους σε μία γραφική παράσταση σε καρτεσιανούς γραμμικούς άξονες δεν ευθεία γραμμή, είναι αναρίθμητές. Για ορισμένες όμως από αυτές τις μη-γραμμικές μαθηματικές σχέσεις, μπορούμε διαπιστώσουμε την γενική αναλυτική τους μορφή ακολουθώντας κάποιες απλές διαδικασίες που αφορούν αλλαγή στην βαθμονόμηση των αξόνων της γραφικής μας παράστασης. Συγκεκριμένα, ας δούμε ποια μορφή έχει η τάση των σημείων που προκύπτει κάνοντας την γραφική παράσταση z=f(x). Δημιουργία γραφικών παραστάσεων από δεδομένα σε μη-γειτονικά ζεύγη κελιών Για να κάνουμε την συγκεκριμένη γραφική παράσταση εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο δημιουργήσαμε την γραφική παράσταση y=f(x). Όμως εδώ βλέπουμε ότι τα πεδία των τιμών των μεταβλητών x και z βρίσκονται σε μη-συνεχόμενες (διπλανές) στήλες. Για να επιλέξουμε λοιπόν ζεύγη δεδομένων προς γραφική παράσταση που δεν βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο χρησιμοποιούμε το πλήκτρο CTRL. Δηλαδή επιλέγουμε με κλικ κατ' αρχάς τα κελιά της μεταβλητής x και στην συνέχεια κρατώντας πατημένο το πλήκτρο CTRL επιλέγουμε τα κελιά της μεταβλητής z. Μετά την επιλογή των κελιών και αφού η μεταβλητή x θέλουμε να παριστάνεται στον οριζόντιο άξονα, συνεχίζουμε κατά τα άλλα με την ίδια διαδικασία δημιουργίας γραφήματος, όπως και στην περίπτωση της γραφικής παράστασης y=f(x). Ένας άλλος εναλλακτικός τρόπος δημιουργίας γραφικής παράστασης που είναι πολύ χρήσιμος στην περίπτωση όπου οι τιμές των κελιών που θέλουμε να τοποθετηθούν στον οριζόντιο άξονα δεν βρίσκονται στα αριστερά όταν είναι σε στήλες ή σε πιο πάνω γραμμή όταν είναι σε γραμμές από τα κελιά που θέλουμε να τοποθετηθούν στον κατακόρυφο άξονα, είναι να προσθέσουμε τα δεδομένα της γραφικής παράστασης μετά την δημιουργία του γραφήματος. Η 79

82 διαδικασία έχει ως εξής: Κατ' αρχάς επιλέγουμε κάνοντας κλικ σε ένα οποιοδήποτε άδειο κελί του φύλλου εργασίας. Αυτό το κάνουμε για να μην εισάγουμε εκ των προτέρων δεδομένα στην γραφική μας παράσταση. Στην συνέχεια ακολουθούμε την γνωστή διαδικασία δημιουργίας γραφήματος Διασποράς μόνο με δείκτες (Εικόνα 2γ). Παρατηρούμε, όπως ίσως είναι αναμενόμενο, ότι το γράφημά μας είναι κενό, δεν περιέχει δηλαδή κανένα σημείο (Εικόνα 8α). Στην συνέχεια από το μενού "Σχεδίαση" επιλέγουμε στην εργαλειοθήκη "Δεδομένα" το κουμπί "Επιλογή δεδομένων" (Εικόνα 8β), οπότε μας εμφανίζεται το περιεχόμενο της Εικόνας 9. (α) (β) Εικόνα 8. Πρώτη άποψη γραφήματος διασποράς μόνο με δείκτες που δεν περιέχει δεδομένα (α) και η ακολουθούμενη έναρξη της διαδικασίας επιλογής δεδομένων (β). Στο παράθυρο αυτό θα επιλέξουμε τα δεδομένα που θα εμφανιστούν σαν σημεία στην γραφική μας παράσταση, εισάγοντας τα αντίστοιχα ζεύγη τιμών, ή "Σειρών" όπως τις αποκαλεί το λογισμικό των υπολογιστικών φύλλων εργασίας, μέσω της επιλογής του κουμπιού "Προσθήκη". Σημειώστε εδώ ότι με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να εισάγουμε νέα σειρά δεδομένων σε μια είδη υπάρχουσα γραφική παράσταση. Η επιλογή του κουπιού αυτού μας οδηγεί σε ένα επόμενο παράθυρο που έχει την μορφή της Εικόνας 10. Σ' αυτό μπορούμε να δώσουμε δικό μας όνομα στα δεδομένα που θα εισάγουμε (π.χ. z=f(x)) στην αντίστοιχη γραμμή "Όνομα σειράς". Το όνομα αυτό αντιστοιχεί στο προκαθορισμένο από το λογισμικό όνομα "Σειρά1" του υπομνήματος για την γραφική παράσταση της Εικόνας 2γ. Εναλλακτικά μπορούμε να δώσουμε ως όνομα τα περιεχόμενα ενός κελιού κάνοντας κλικ στο εικονίδιο που βρίσκεται δίπλα από την έκφραση "Επιλογή περιοχής" στην γραμμή "Όνομα σειράς" και να επιλέξουμε το επιθυμητό κελί με το ποντίκι μας. 80

83 Εικόνα 9. Διαδικασία επιλογής σειρών δεδομένων από κελιά του φύλλου εργασίας για την δημιουργία γραφικής παράστασης. Εικόνα 10. Επιλογή ονόματος και δεδομένων για τοποθέτηση στον οριζόντιο (Χ) και κατακόρυφο (Υ) άξονα της γραφικής παράστασης. Στην συνέχεια πρέπει να επιλέξουμε τα δεδομένα που θα τοποθετηθούν στον οριζόντιο άξονα. Για τον λόγο αυτό κάνουμε κλικ στο εικονίδιο που βρίσκεται δίπλα από την έκφραση "Επιλογή περιοχής" στην γραμμή "Τιμές σειράς Χ" και επιλέγουμε τα επιθυμητά κελιά με το ποντίκι μας. Κατά την διαδικασία επιλογής εμφανίζεται το περιεχόμενο της Εικόνας 11, το οποίο μας ενημερώνει για την περιοχή των κελιών που επιλέγουμε. Όταν τελειώσουμε την επιλογή μας κάνουμε κλικ στο εικονίδιο της γραμμής επιλογής δεδομένων στην Εικόνα 11 και επιστρέφουμε στην Εικόνα 10, όπου παρατηρούμε ότι τώρα υπάρχουν δεδομένα στην γραμμή "Τιμές σειράς Χ". Εικόνα 11. Εμφάνιση της περιοχή επιλογής κελιών για τοποθέτηση στην γραφική παράσταση. Επαναλαμβάνουμε με τον ίδιο τρόπο την επιλογή των δεδομένων που θα τοποθετηθούν στον κατακόρυφο άξονα, κάνοντας κλικ στο εικονίδιο που βρίσκεται δίπλα από την έκφραση "Επιλογή περιοχής" στην γραμμή "Τιμές σειράς Υ". Πατώντας ΟΚ στο παράθυρο εισαγωγής 81

84 δεδομένων των Εικόνων 10 και 9 εμφανίζεται η επιθυμητή γραφική παράσταση. Αν η γραφική μας παράσταση δεν περιλαμβάνει μόνο σημεία αλλά έχει και μία περιγραφόμενη γραμμή, επεξεργαζόμαστε την εμφάνισή της με τον τρόπο που έχουμε δει στην προηγούμενη παράγραφο (Εικόνα 12). Εικόνα 12. Επιλογή απαλοιφής γραμμής από μία γραφική παράσταση διασποράς με δείκτες. Ας επιστρέψουμε τώρα στην ανάλυση της μορφής της γραφικής παράστασης z=f(x). Έχοντας κάνει την γραφική παράσταση z=f(x) που εμφανίζεται στην Εικόνα 12, παρατηρούμε ότι τα σημεία της γραφικής παράστασης δεν έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία γραμμή. Επειδή η εν λόγο γραφική παράσταση έχει γίνει σε γραμμικούς άξονες, μπορούμε με ασφάλεια να οδηγηθούμε στο συμπέρασμα ότι οι μεταβλητές z και x δεν συνδέονται με μία γραμμική σχέση της γενικής μορφή της σχέσης (1). Μπορούμε όμως να προβούμε σε κάποιες διαδικασίες αλλαγής βαθμονόμησης των αξόνων της γραφικής παράστασης για να διαπιστώσουμε αν τυχών η αναλυτική μαθηματική σχέση που συνδέει τα z και x εμπίπτει σε μία άλλη κατηγορία σχέσεων. Θα ξεκινήσουμε δοκιμάζοντας να αλλάξουμε την βαθμονόμηση και των δύο αξόνων της γραφικής μας παράστασης. Αυτό μπορεί να γίνει επιλέγοντας από το μενού "Διάταξη" στην εργαλειοθήκη "Άξονες" πρώτα τον οριζόντιο άξονα. Για τον πλήρη έλεγχο των ιδιοτήτων και της διαμόρφωσης του άξονα επιλέγουμε στο τέλος της λίστας "Περισσότερες επιλογές " (Εικόνα 13). Εικόνα 13. Επιλογή διαμόρφωσης οριζόντιου άξονα. 82

85 Με την παραπάνω επιλογή μας εμφανίζεται το παράθυρο της Εικόνας 14, από το οποίο κάνουμε κλικ στο κουτάκι της γραμμής "Λογαριθμική κλίμακα" αφήνοντας την διπλανή επιλογή της βάσης των λογαρίθμων τον αριθμό 10 (δεκαδικοί λογάριθμοι). Εικόνα 14. Αλλαγή της βαθμονόμησης του οριζόντιου άξονα από γραμμική σε λογαριθμική (με βάση το 10). Παρατηρείστε ότι η βαθμονόμηση του οριζόντιου άξονα έχει αλλάξει και έχει διαμορφωθεί αυτόματα από το λογισμικό έτσι ώστε να περιλαμβάνει το πεδίο τιμών που είχε και στην μορφή της γραμμικής διαμόρφωσης, έχοντας όμως μία ουσιαστική διαφορά. Εδώ υπάρχουν (ή μπορεί να οριστούν) σταθερές αποστάσεις κατά μήκος του άξονα, π.χ. οι αποστάσεις μεταξύ 0.1 και 1.0 και μεταξύ 1.0 και 10.0 έχουν το ίδιο μήκος, όμως σε αντίθεση με την γραμμική βαθμονόμηση (βλέπε την βαθμονόμηση του κατακόρυφου άξονα στην Εικόνα 14), οι ίσες κατά μήκος αυτές αποστάσεις αντιστοιχούν σε διαφορετικές διαφορές τιμών της παραμέτρου x. Έτσι η διαφορά των τιμών x μεταξύ 1.0 και 0.1 είναι 0.9 ενώ η διαφορά των τιμών x μεταξύ 10.0 και 1.0 είναι 9.0. Όπως γίνεται κατανοητό, η σχέση που συνδέει αυτές τις διαφορές μεταξύ τους είναι της μορφής Δx n+1 =10 Δx n, όπου Δx n+1 και Δx n είναι δύο τέτοιες διαδοχικές πάνω στον άξονα διαφορές με το n να παριστάνει ακέραιο αριθμό. Η βαθμονόμηση αυτή λέγεται λογαριθμική βαθμονόμηση και αντιστοιχεί στο γνωστό λογαριθμικό χαρτί. Ένας άλλος τρόπος να δει κανείς την λογαριθμική βαθμονόμηση είναι να παρατηρήσει ότι σε κάθε άκρο σταθερών διαστημάτων σε έναν τέτοιο άξονα, οι τιμές της μεταβλητής (ή του φυσικού μεγέθους) που παριστάνεται στον άξονα αυξάνουν (ή μειώνονται κατά την αντίθετη φορά) κατά μία δύναμη της βάσης των λογαρίθμων που έχει επιλεγεί, στην προκειμένη περίπτωση κατά μία δύναμη του 10 (Εικόνα 14). Προς το παρόν η αλλαγή στην βαθμονόμηση του οριζόντιου άξονα άλλαξε την μορφή της νοητής καμπύλης που περιγράφουν τα σημεία στην νέα γραφική παράσταση, η οποία όμως εξακολουθεί να μην έχει την τάση σχηματισμού ευθείας γραμμής. Ας προχωρήσουμε στην αλλαγή της βαθμονόμησης και του κατακόρυφου άξονα, όπως κάναμε κι στην περίπτωση του οριζόντιου (Εικόνα 15). Ακολουθώντας παρόμοια διαδικασία καταλήγουμε στο αποτέλεσμα που παρουσιάζεται στην Εικόνα

86 Εικόνα 15. Αλλαγή της βαθμονόμησης του οριζόντιου άξονα από γραμμική σε λογαριθμική (με βάση το 10). Εικόνα 16. Η γραφική παράσταση των δεδομένων των στηλών x και z του Πίνακα 1 αποδοσμένη σε λογαριθμικούς άξονες (με βάση το 10). 84

87 Από την εικόνα αυτή παρατηρούμε ότι η απλή αλλαγή βαθμονόμησης και των δύο αξόνων άλλαξε την μορφή της τάσης σχηματισμού γραμμής των σημείων της γραφικής παράστασης, η οποία πλέον δείχνει να έχει αποκτήσει την μορφή ευθείας γραμμής και όχι καμπύλης που ήταν αρχικά. Σημειώστε εδώ ότι δεν έχουμε κάνει καμία αλλαγή στις τιμές των δεδομένων των μεταβλητών x και z. Η διαδικασία που ακολουθήσαμε παραπάνω αφορά της αναγνώριση με γραφικό τρόπο μίας αναλυτικής μαθηματικής σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών (ή φυσικών μεγεθών) που έχει την γενική ονομασία σχέση δύναμης (power law). Η γενική αναλυτική μαθηματική μορφή της σχέσης αυτής είναι: y=a x b (2) όπου x η ανεξάρτητη μεταβλητή, y η εξαρτημένη μεταβλητή και a, b οι (σταθεροί) παράμετρες της σχέσης οι οποίες μπορούν να είναι πραγματικοί αριθμοί. Ο λόγος για τον οποίο η σχέση αυτή στους γραμμικούς άξονες δεν έχει την μορφή ευθείας, ενώ στους λογαριθμικούς άξονες αποκτά την μορφή ευθείας οφείλεται αποκλειστικά στην βαθμονόμηση των λογαριθμικών αξόνων. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί αν λογαριθμήσουμε τα μέλη της εξίσωσης (2), οπότε προκύπτει: 4 log(y)=log(a)+b log(x) (3) Από την σχέση (3) αν κάνουμε την αλλαγή μεταβλητών Y=log(y), X=log(x) και θέσουμε A=log(a) συμπεραίνεται ότι οι λογάριθμοι των y και x, δηλαδή τα Υ και Χ, διαθέτουν μία γραμμική σχέση μεταξύ τους, η οποία θα μπορούσε να παρασταθεί μάλιστα και ως ευθεία γραμμή σε μία γραφική παράσταση των log(y)=f[log(x)] σε γραμμικούς άξονες. Όμως στην γραφική μας παράσταση σε λογαριθμικούς άξονες έχουμε προβάλει τις τιμές των μεταβλητών αυτών μεγεθών και όχι τους λογαρίθμους τους. Η φαινόμενη μορφή ευθείας στους λογαριθμικούς άξονες λοιπόν προκύπτει λόγω της λογαριθμικής κλιμάκωσης (ή απεικόνισης) των τιμών σε κάθε λογαριθμικό άξονα. Η υφιστάμενη λογαριθμική κλιμάκωση των αξόνων ουσιαστικά αλλάζει μόνο τον τρόπο τοποθέτησης των τιμών x και y στους λογαριθμικούς άξονες σε σχέση με την αντίστοιχη τοποθέτησή τους στους γραμμικούς άξονες. Η διαδικασία αυτή μπορεί όμως να θεωρηθεί ότι αντιστοιχεί σε μία διαδικασία αλλαγής μεταβλητών όπως αυτή που προκύπτει από την σχέση (3), της μετατροπής δηλαδή των τιμών μέσω του υπολογισμού των λογαρίθμων των x και y. Έτσι η μορφή της παριστάμενης γραμμής μίας σχέσης δύναμης της γενικής κατηγορίας της σχέσης (2), από μία γενική καμπύλη σε γραμμικούς άξονες, μετατρέπεται στην ιδιαίτερη μορφή της ευθείας γραμμής σε λογαριθμικούς άξονες. Εκθετική και λογαριθμική σχέση-ημιλογαριθμική βαθμονόμηση αξόνων Ας συνεχίσουμε με την δημιουργία της επόμενης γραφικής παράστασης σε γραμμικούς άξονες, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα των στηλών x και r του Πίνακα 1. Το αποτέλεσμα σύμφωνα με τις διαδικασίες που ακολουθήσαμε παραπάνω εμφανίζεται στην Εικόνα Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικής-θερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα

88 Εικόνα 17. Γραφική παράσταση των δεδομένων των στηλών x και r του Πίνακα 1 αποδοσμένη σε γραμμικούς άξονες. Είναι φανερό ότι τα σημεία τείνουν να σχηματίσουν μία γραμμή η οποία σαφώς δεν είναι ευθεία. Άρα μπορούμε ασφαλώς να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι η αναλυτική μαθηματική σχέση που συνδέει τα r και x δεν είναι η γραμμική. Θα μπορούσε να είναι όμως κάποιας άλλης μορφής, όπως είδαμε στο προηγούμενο παράδειγμα της σχέσης δύναμης. Για τον λόγο αυτό δοκιμάζουμε να αλλάξουμε την βαθμονόμηση των αξόνων από γραμμική σε λογαριθμική. Ξεκινούμε την διαδικασία αυτή από τον κατακόρυφο άξονα όπου παριστάνονται οι τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής r και το αποτέλεσμα εμφανίζεται στην Εικόνα 18. Από την εικόνα αυτή παρατηρούμε ότι τώρα τα σημεία της γραφικής παράστασης έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία. Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι μόνο με την αλλαγή της βαθμονόμησης από γραμμική σε λογαριθμική του ενός άξονα και συγκεκριμένα του κατακόρυφου καταφέραμε να οδηγηθούμε σε μία γραμμική σχέση. Αυτή η μορφή βαθμονόμησης αξόνων, η οποία διαθέτει τον έναν από τους δύο άξονες σε λογαριθμική βαθμονόμηση και τον άλλο σε γραμμική λέγεται ημιλογαριθμική βαθμονόμηση αξόνων και αντιστοιχεί στο γνωστό ημιλογαριθμικό χαρτί. Ποιες όμως μεταβλητές ακολουθούν εδώ αυτή την γραμμική σχέση; Η διαδικασία που ακολουθήσαμε παραπάνω αφορά της αναγνώριση με γραφικό τρόπο μίας αναλυτικής μαθηματικής σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών (ή φυσικών μεγεθών) που έχει την γενική ονομασία εκθετική σχέση (exponential). Η γενική αναλυτική μαθηματική μορφή της σχέσης αυτής είναι: y=a e b x (4) όπου x η ανεξάρτητη μεταβλητή, y η εξαρτημένη μεταβλητή και a, b οι (σταθεροί) παράμετρες της σχέσης οι οποίες μπορούν να είναι πραγματικοί αριθμοί και e η βάση των νεπερίων λογαρίθμων. 86

89 Εικόνα 18. Γραφική παράσταση των δεδομένων των στηλών x και r του Πίνακα 1 αποδοσμένη σε ημιλογαριθμικούς άξονες με τον κατακόρυφο άξονα σε λογαριθμική βαθμονόμηση (με βάση το 10). Όπως και στην περίπτωση της σχέσης δύναμης, ο λόγος για τον οποίο η σχέση αυτή στους γραμμικούς άξονες δεν έχει την μορφή ευθείας, ενώ στους ημιλογαριθμικούς άξονες αποκτά την μορφή ευθείας οφείλεται αποκλειστικά στην βαθμονόμηση των ημιλογαριθμικών αξόνων. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί αν λογαριθμήσουμε τα μέλη της εξίσωσης (2) με νεπέριους λογαρίθμους, οπότε προκύπτει: 5 ln(y)=ln(a)+b x (5) Αν εργαστούμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα της σχέσης δύναμης μπορούμε από την σχέση (5) να κάνουμε την αλλαγή μεταβλητής Y=ln(y), και να θέσουμε A=ln(a), οπότε συμπεραίνεται ότι ο νεπέριος λογάριθμος του y και η μεταβλητή x, δηλαδή τα Υ και x, διαθέτουν μία γραμμική σχέση μεταξύ τους, η οποία θα μπορούσε να παρασταθεί μάλιστα και ως ευθεία γραμμή σε μία γραφική παράσταση των ln(y)=f(x) σε γραμμικούς άξονες. Όμως στην γραφική μας παράσταση σε ημιλογαριθμικούς άξονες έχουμε προβάλει τις τιμές των μεταβλητών αυτών μεγεθών και όχι τους λογαρίθμους τους. Η φαινόμενη μορφή ευθείας στους ημιλογαριθμικούς άξονες λοιπόν προκύπτει λόγω της λογαριθμικής κλιμάκωσης (ή απεικόνισης) των τιμών του κατακόρυφου άξονα. Η υφιστάμενη λογαριθμική κλιμάκωση του άξονα αυτού ουσιαστικά αλλάζει μόνο τον τρόπο τοποθέτησης των τιμών του y στον λογαριθμικό κατακόρυφο άξονα σε σχέση με την αντίστοιχη τοποθέτησή τους στον γραμμικό κατακόρυφο άξονα. Η διαδικασία αυτή μπορεί όμως να θεωρηθεί ότι αντιστοιχεί σε μία διαδικασία αλλαγής μεταβλητής όπως αυτή που προκύπτει από την σχέση (5), της μετατροπής δηλαδή των τιμών μέσω του υπολογισμού των λογαρίθμων του y. Έτσι η μορφή της παριστάμενης γραμμής μίας εκθετικής σχέσης της γενικής κατηγορίας της σχέσης (4), από μία 5 Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικής-θερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα

90 γενική καμπύλη σε γραμμικούς άξονες, μετατρέπεται στην ιδιαίτερη μορφή της ευθείας γραμμής σε ημιλογαριθμικούς άξονες. Ας δούμε τώρα ποια εικόνα προκύπτει από την γραφική παράσταση των μεταβλητών x και v σε γραμμικούς άξονες. Το αποτέλεσμα εμφανίζεται στην Εικόνα 19. Εικόνα 19. Γραφική παράσταση των δεδομένων των στηλών x και v του Πίνακα 1 αποδοσμένη σε γραμμικούς άξονες. Είναι φανερό από την τάση των σημείων για τον σχηματισμό μίας καμπύλης η οποία δεν αντιστοιχεί σε ευθεία γραμμή, ότι και σε αυτή την περίπτωση η σχέση που συνδέει τα v και x δεν είναι οπωσδήποτε γραμμική. Έτσι, κατά τα γνωστά από τις προηγούμενες διαδικασίες που ακολουθήσαμε, δοκιμάζουμε να αλλάξουμε την βαθμονόμηση κατ' αρχάς του ενός από τους δύο άξονες. Στην προκειμένη περίπτωση ξεκινάμε με την αλλαγή της βαθμονόμησης του οριζόντιου άξονα της Εικόνας 19, όπου παριστάνονται οι τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x και το αποτέλεσμα εμφανίζεται στην Εικόνα

91 Εικόνα 20. Γραφική παράσταση των δεδομένων των στηλών x και v του Πίνακα 1 αποδοσμένη σε ημιλογαριθμικούς άξονες με τον οριζόντιο άξονα σε λογαριθμική βαθμονόμηση (με βάση το 10). Από την εικόνα αυτή παρατηρούμε ότι τώρα τα σημεία της γραφικής παράστασης έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία. Επομένως καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι μόνο με την αλλαγή της βαθμονόμησης από γραμμική σε λογαριθμική του ενός άξονα και συγκεκριμένα του οριζόντιου καταφέραμε να οδηγηθούμε σε μία γραμμική σχέση. Αυτή η μορφή βαθμονόμησης αξόνων, η οποία διαθέτει τον έναν από τους δύο άξονες σε λογαριθμική βαθμονόμηση και τον άλλο σε γραμμική, όπως είδαμε και στο προηγούμενο παράδειγμα της εκθετικής σχέσης, λέγεται ημιλογαριθμική βαθμονόμηση αξόνων και αντιστοιχεί στο γνωστό ημιλογαριθμικό χαρτί. Ποιες όμως μεταβλητές ακολουθούν εδώ αυτή την γραμμική σχέση; Η διαδικασία που ακολουθήσαμε παραπάνω αφορά της αναγνώριση με γραφικό τρόπο μίας αναλυτικής μαθηματικής σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών (ή φυσικών μεγεθών) που έχει την γενική ονομασία λογαριθμική σχέση (logarithmic) και είναι η αντίστροφή της εκθετικής σχέσης. Η γενική αναλυτική μαθηματική μορφή της σχέσης αυτής είναι: y=b ln(x)+a (6) όπου x η ανεξάρτητη μεταβλητή, y η εξαρτημένη μεταβλητή και a, b οι (σταθεροί) παράμετρες της σχέσης οι οποίες μπορούν να είναι πραγματικοί αριθμοί. Όπως και στην περίπτωση της σχέσης δύναμης και της εκθετικής σχέσης, ο λόγος για τον οποίο η σχέση αυτή στους γραμμικούς άξονες δεν έχει την μορφή ευθείας, ενώ στους ημιλογαριθμικούς άξονες αποκτά την μορφή ευθείας οφείλεται αποκλειστικά στην βαθμονόμηση των ημιλογαριθμικών αξόνων. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί αν κάνουμε μία απλή αλλαγή μεταβλητής X=ln(x), οπότε συμπεραίνεται ότι το y και ο νεπέριος λογάριθμος του x, δηλαδή τα y και X, διαθέτουν μία γραμμική σχέση μεταξύ τους, η οποία θα μπορούσε να παρασταθεί μάλιστα και ως ευθεία γραμμή σε μία γραφική παράσταση των y=f[ln(x)] σε γραμμικούς άξονες. Όμως στην γραφική μας παράσταση σε ημιλογαριθμικούς άξονες έχουμε προβάλει τις τιμές των μεταβλητών αυτών μεγεθών και όχι τους λογαρίθμους τους. Η φαινόμενη μορφή ευθείας στους ημιλογαριθμικούς άξονες λοιπόν προκύπτει λόγω της λογαριθμικής 89

92 κλιμάκωσης (ή απεικόνισης) των τιμών του οριζόντιου άξονα. Η υφιστάμενη λογαριθμική κλιμάκωση του άξονα αυτού ουσιαστικά αλλάζει μόνο τον τρόπο τοποθέτησης των τιμών του x στον λογαριθμικό οριζόντιο άξονα σε σχέση με την αντίστοιχη τοποθέτησή τους στον γραμμικό οριζόντιο άξονα. Η διαδικασία αυτή μπορεί όμως να θεωρηθεί ότι αντιστοιχεί σε μία διαδικασία αλλαγής μεταβλητής όπως αυτή που προκύπτει από την σχέση (6), της μετατροπής δηλαδή των τιμών μέσω του υπολογισμού των νεπέριων λογαρίθμων του x. Έτσι η μορφή της παριστάμενης γραμμής μίας εκθετικής σχέσης της γενικής κατηγορίας της σχέσης (6), από μία γενική καμπύλη σε γραμμικούς άξονες, μετατρέπεται στην ιδιαίτερη μορφή της ευθείας γραμμής σε ημιλογαριθμικούς άξονες. Οι σχέσεις (4) και (6) αντιστοιχούν, όπως γίνεται φανερό από τις παρόμοιες αλλά όχι ίδιες διαδικασίες αλλαγής βαθμονόμησης αξόνων από γραμμικούς σε ημιλογαριθμικούς άξονες, σε αντίστροφες μορφές αναλυτικών μαθηματικών συναρτήσεων. Για να το δούμε αυτό πιο καθαρά ας θέσουμε ως εκθέτες τα μέλη της εξίσωσης (6) στην βάση των νεπερίων λογαρίθμων e, οπότε προκύπτει 6 : x=e -a/b e y/b (7) Αν θέσουμε C=e -a/b και D=1/b η παραπάνω σχέση (7) γίνεται: x=c e D y (8) η μορφή της οποίας είναι παρόμοια με την μορφή της σχέσης (4). Όμως στην περίπτωση της σχέσης (8) την θέση του x έχει πάρει το y και αντίστροφα, οπότε η σχέση (8) αποτελεί ουσιαστικά την αντίστροφη της σχέσης (4) και κατά συνέπεια ευθεία γραμμή θα τείνει να σχηματιστεί αν βαθμονομήσουμε σε λογαριθμική κλίμακα τον άξονα που παριστάνεται το x, δηλαδή τον οριζόντιο άξονα της Εικόνας 19 στην προκειμένη περίπτωση. 6 y=b ln(x)+a y=ln(x b )+a e y =x b e a e y/b =x e a/b y/b x=e -a/b e 90

93 Κεφάλαιο 3-Προγράμματα Υπολογιστικών Φύλλων Εργασίας Μέρος 3ο Εύρεση των τιμών των παραμέτρων αναλυτικών μαθηματικών σχέσεων μέσω της διαδικασίας προσαρμογής θεωρητικών σχέσεων σε δεδομένα γραφικών παραστάσεων Η "Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων" και η εφαρμογή της με την βοήθεια των υπολογιστικών φύλλων εργασίας σε δεδομένα που συνδέονται με γραμμική σχέση Η δημιουργία γραφικών παραστάσεων που είδαμε στο προηγούμενο μέρος του τρέχοντος Κεφαλαίου και η διερεύνηση της γενικής μορφής της αναλυτικής σχέσης που συνδέει τις μεταβλητές ή τα φυσικά μεγέθη που παριστάνονται σ' αυτές, αποτελεί το πρώτο πολύ βασικό βήμα για την λύση προβλημάτων που αφορούν την εύρεση της διακύμανσης τους. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις υπάρχει πάντα και ένα επόμενο δεύτερο βήμα το οποίο αφορά στον ακριβή προσδιορισμό των τιμών των παραμέτρων των αναλυτικών μαθηματικών σχέσεων που τις συνδέουν. Στο μέρος αυτό του κεφαλαίου θα ασχοληθούμε με τις βασικές μεθόδους προσδιορισμού των παραμέτρων ορισμένων αναλυτικών σχέσεων και συγκεκριμένα των τεσσάρων βασικών σχέσεων, της γραμμικής σχέσης, της σχέσης δύναμης, της εκθετικής σχέσης και της λογαριθμικής σχέσης, οι οποίες παρουσιάστηκαν στο μέρος 2 αυτού του Κεφαλαίου, μέσω της προσαρμογής των δεδομένων των αντίστοιχων γραφικών παραστάσεων με τις αντίστοιχες αναλυτικές θεωρητικές σχέσεις. Μία από τις πιο δημοφιλείς και διαδεδομένες μεθόδους που χρησιμοποιούνται για τον σκοπό αυτό από φοιτητές, ερευνητές και επαγγελματίες διαφόρων ειδικοτήτων σε όλο τον κόσμο, οι οποίοι ασχολούνται με την εύρεση των παραμέτρων των αναλυτικών μαθηματικών σχέσεων που προσομοιάζουν κατά τον καλύτερο τρόπο την διακύμανση τιμών μεταβλητών ή φυσικών μεγεθών σε γραφικές παραστάσεις είναι η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή προσδιορίζει σε ικανοποιητικό βαθμό τις παραμέτρους μίας προτεινόμενης αναλυτικής μαθηματικής σχέσης που αντιστοιχεί στην καλύτερη καμπύλη που μπορεί να περιγράψει την διακύμανση μεταξύ δύο μεταβλητών ή φυσικών μεγεθών. Όπως διαφαίνεται από το όνομά της, η μέθοδος αυτή προσδιορίζει τις παραμέτρους της θεωρητικής σχέσης που περιγράφει τα δεδομένα μέσω της ελαχιστοποίησης του αθροίσματος των τετραγώνων των διαφορών των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής (ή του φυσικού μεγέθους) από τις αντίστοιχες θεωρητικές τιμές που προκύπτουν από την προτεινόμενη αναλυτική σχέση με την χρήση των τιμών της ανεξάρτητης μεταβλητής (ή φυσικού μεγέθους). Οι διαφορές αυτές αποκαλούνται και "υπόλοιπα" (residuals). Η επιτυχία της μεθόδου εξαρτάται από την σωστή επιλογή της προτεινόμενης αναλυτικής μαθηματικής σχέσης αλλά και από την απαίτηση η ανεξάρτητη μεταβλητή (ή το αντίστοιχο φυσικό μέγεθος) να διαθέτει ελάχιστη αβεβαιότητα (σφάλμα), ενώ μπορεί να (και συνήθως) υπάρχει και μπορεί να προσδιοριστεί πεπερασμένη αβεβαιότητα για τις τιμές της εξαρτημένης μεταβλητής (ή του αντίστοιχου φυσικού μεγέθους). Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων λοιπόν προβλέπει ότι όταν προσπαθήσουμε να προσαρμόσουμε σε Ν τον αριθμό ζευγών δεδομένων x i και y i (i=1,,n) μίας γραφικής παράστασης μία προτεινόμενη ή δοκιμαστική αναλυτική μαθηματική σχέση της μορφής y theory =f(a 1,a 2,,a n,x), η οποία όπως φαίνεται από την μορφή της διαθέτει n τον αριθμό 91

94 παραμέτρους, a 1, a 2,, a n. Τότε η καλύτερη καμπύλη που περιγράφει τα δεδομένα της γραφικής παράστασης θα προκύπτει όταν το άθροισμα: N 2 S = [y f(a,a,...,a, x)] (1) res i= 1 i 1 2 n το οποίο αφορά τα υπόλοιπα y i -y theory_i για i=1,,n ελαχιστοποιείται. Ένας άλλος τρόπος με τον οποίο θα μπορούσε να γίνει πιο κατανοητή η παραπάνω διαδικασία ελαχιστοποίησης είναι να φανταστεί κανείς τα τετράγωνα των παραπάνω διαφορών (y i -y theory_i ) 2 ως επιμέρους εμβαδά τετραγώνων με πλευρές (y i -y theory_i ) που συνθέτουν ένα συνολικό εμβαδό το οποίο ελαχιστοποιείται, όπως φαίνεται στην Εικόνα 1. (α) (β) Εικόνα 1. Αναπαράσταση των ελαχίστων επιμέρους εμβαδών των τετραγώνων που έχουν πλευρές οι οποίες αντιστοιχούν στις διαφορές (y i -y theory_i ) 2, όπου y i οι τιμές των τεταγμένων των σημείων της γραφικής παράστασης και y theory_i οι αντίστοιχες υπολογισμένες τιμές, μέσω της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, της καλύτερης καμπύλης (στην προκειμένη περίπτωση ευθείας με μαύρο χρώμα) που τα περιγράφει. Το συνολικό εμβαδόν που αντιστοιχεί στο R res, προκύπτει από την άθροιση των εμβαδών των επιμέρους τετραγώνων και εμφανίζεται ενδεικτικά ξεχωριστά για κάθε τέτοιο τετράγωνο στο εσωτερικό μέρος (α), αλλά και σαν ένα ομοιόμορφο τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με αυτό του αθροίσματος όλων των επιμέρους τετραγώνων στο εσωτερικό μέρος (β) της γραφικής παράστασης. Όπως είδαμε παραπάνω η σχέση y theory =f(a 1,a 2,,a n,x) είναι υποκειμενικά προτεινόμενη ή αλλιώς δοκιμαστική. Το αν θα την αποδεχτούμε τελικά ή όχι μπορεί να αποτελεί πάλι μία υποκειμενική κρίση για το πόσο είμαστε ευχαριστημένοι από το ποιοτικό επίπεδο περιγραφής της διακύμανσης των σημείων της γραφικής παράστασης y i =f(x i ) από την θεωρητική καμπύλη. Υπάρχουν όμως και αντικειμενικά κριτήρια τα οποία μπορούμε να συμβουλευτούμε για να μας δείξουν με ποσοτικό τρόπο το πόσο καλή είναι η προσαρμογή που κάναμε στα δεδομένα της γραφικής παράστασης με την συγκεκριμένη προτεινόμενη συνάρτηση. Ένα από αυτά είναι ο συντελεστής προσδιορισμού προσαρμογής (coefficient of determination) R 2, που ορίζεται ως: 92

95 R S S 2 res = 1 (2) tot N 2 tot = [yi y] i= 1 S (3) όπου ӯ η μέση τιμή των επιμέρους τιμών yi, i=1,,n. Όσο πιο κοντά είναι αυτός ο (αδιάστατος) συντελεστής στην τιμή 1, τόσο πιο καλύτερη ποσοτικά είναι η προσαρμογή της προτεινόμενης συνάρτησης στα δεδομένα της γραφικής παράστασης. Για να γίνει περισσότερο κατανοητό τι ακριβώς εκφράζει ο συντελεστής R 2 και έχοντας κατανοήσει τι αντιπροσωπεύει το άθροισμα S res, θα πρέπει να κατανοήσουμε αντίστοιχα τι αντιπροσωπεύει το άθροισμα S tot. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί από την μελέτη της Εικόνας 2. y=ӯ Εικόνα 1. Αναπαράσταση των επιμέρους εμβαδών των τετραγώνων που έχουν πλευρές οι οποίες αντιστοιχούν στις διαφορές (y i -ӯ) 2, όπου y i οι τιμές των τεταγμένων των σημείων της γραφικής παράστασης και ӯ η μέση τιμή τους. Το συνολικό εμβαδόν που αντιστοιχεί στο R tot, προκύπτει από την άθροιση των εμβαδών των επιμέρους τετραγώνων και είναι τόσο μεγάλο αναπαράστασή του σε μορφή ενός συμπαγούς τετραγώνου θα ξεπερνούσε τα όρια του σχήματος. Η μπλε γραμμή αντιστοιχεί στην τιμή ӯ και η μαύρη στην εξίσωση που περιγράδει καλύτερα τα πειραματικά σημεία (Εικόνα 1). Τα εμβαδά των τετραγώνων στην Εικόνα 2 αντιστοιχούν σε τετράγωνα με πλευρές (yi-ӯ) και από την σύγκριση των Εικόνων 1, 2 γίνεται κατανοητό πως ο λόγος R res /R tot καθορίζει την τιμή του R 2. Η ελαχιστοποίηση του αθροίσματος R res της σχέσης (1) μπορεί να αποδειχτεί ότι συμβαίνει όταν οι παράγωγοι: Sres = 0, i = 1,...,n (4) ai Από τις παραπάνω σχέσεις (4) όπως γίνεται φανερό, προκύπτει ένα σύστημα n εξισώσεων για τις ζητούμενες a 1, a 2,, a n, παραμέτρους. Η λύση του συστήματος αυτού δεν είναι γενικά πάντα 93

96 94 εύκολη ή τετριμμένη υπόθεση, αλλά όπως μπορεί να φανταστεί κάποιος, απλοποιείται πολύ όταν η σχέση y theory =f(a 1,a 2,,a n,x) έχει σχετικά απλή μορφή. Στην περίπτωση λοιπόν κατά την οποία διαπιστωθεί ότι η καταλληλότερη προτεινόμενη ή δοκιμαστική αναλυτική μαθηματική σχέση για την περιγραφή της διακύμανσης των δεδομένων είναι η γραμμική σχέση y theory =b x+a, το σύστημα των εξισώσεων (4) μας δίνει 1 : 0 a)] x (b [y 2 a S N 1 i i res = + = = (5) 0 x a)] x (b [y 2 b S i N 1 i i i res = + = = (6) από την λύση των οποίων προκύπτουν οι παράμετροι a και b: Δ y x x y x a N 1 i i i N 1 i i N 1 i i N 1 i 2 i = = = = = (7) Δ y x y x N b N 1 i i N 1 i i N 1 i i i = = = = (8) με 2 N 1 i i N 1 i 2 x i x N Δ = = = (9) Μπορεί επίσης να προσδιοριστεί και η αβεβαιότητες των παραμέτρων σ a και σ b μέσω των σχέσεων: Δ x σ σ N 1 i 2 i 2 y a = = (10) Δ σ N σ 2 y b = (11) όπου το σ y 2 μπορεί να προσδιοριστεί είτε από την διακύμανση των τιμών y i -y theory_i μέσω της σχέσης: [ ] [ ] 2 N - y y 2 N - a) x (b y σ 2 N 1 i theory_i i 2 N 1 i i i 2 y = + = = = (12) είτε μπορεί να αποτελεί το τετράγωνο μίας γνωστής τιμής σταθερής αβεβαιότητας σ y των τιμών y i. Είναι σημαντικό να αναφέρουμε εδώ ότι όταν τα x και y αφορούν φυσικά μεγέθη, οι παραπάνω σχέσεις έχουν ισχύ όταν η αβεβαιότητα σ x του μεγέθους x είναι ή μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά αμελητέα, ενώ η αβεβαιότητα σ y είναι ή μπορεί να θεωρηθεί προσεγγιστικά σταθερή για όλες τις τιμές του μεγέθους y. 1 1 Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικής-θερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα 2013.

97 Πειραματικά δεδομένα Ο Πίνακας 1 περιέχει τέσσερις σειρές από δεδομένα φυσικών μεγεθών τα οποία προέκυψαν από πειραματικές μετρήσεις, συνοδευόμενα από τις αντίστοιχες αβεβαιότητες των μεγεθών αυτών. Πίνακας 1 Σειρά 1 Σειρά 2 Σειρά 3 Σειρά 4 α/α t (s) v (cm/s) r (mm) υ ορ (cm/s) T ( C) η (mpa s) σ η (mpa s) q (C) t (s) σ Τ ~ 1 C σ υορ ~ 0.6 cm/s σ r ~ 0.1 mm σ v ~ 0.6 cm/s σ t ~ 0.01 s σ t ~ 0.01 s σ q ~ C Γραμμική σχέση Ας δούμε πως εφαρμόζεται η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων στα δεδομένα μίας γραφικής παράστασης όταν αυτά έχουν τη τάση να σχηματίσουν ευθεία γραμμή, διαθέτουν δηλαδή μία γραμμική σχέση μεταξύ τους. Ξεκινούμε από ένα σύνολο τιμών δύο φυσικών μεγεθών v και t της σειράς 1 που παρουσιάζεται στον Πίνακα 1. Κάνοντας την γραφική παράσταση v=f(t) σε γραμμικούς άξονες, όπως έχουμε δει σε προηγούμενες παραγράφους, οδηγούμαστε στο αποτέλεσμα που παρουσιάζεται στην Εικόνα 3. Από την εικόνα αυτή γίνεται φανερό ότι τα σημεία της γραφικής παράστασης v=f(t) έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία γραμμή, επομένως μπορούμε να προβούμε κατ' ευθείαν στο συμπέρασμα ότι η γενική μαθηματική σχέση που συνδέει τα v και t είναι της μορφής v=b t+a, όπου b και a, οι ζητούμενες παράμετροι της γραμμικής σχέσης. Προσέξτε ότι στο συμπέρασμα αυτό καταλήγουμε από την εποπτεία και μόνο της μορφής της καμπύλης σε γραμμικούς άξονες, είναι δηλαδή μία απόφαση την οποία παίρνουμε εμείς, και γενικά ο χρήστης του προγράμματος υπολογιστικών φύλλων εργασίας. 95

98 v (cm/s) Εικόνα 3. Γραφική παράσταση των δεδομένων v και t του Πίνακα 1 σε γραμμικούς άξονες. Για την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b αποφασίζουμε να εφαρμόσουμε την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων στα δεδομένα των φυσικών μεγεθών v και t του Πίνακα 1. Θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε κατάλληλα τις σχέσεις (7), (8) και (9) αντιστοιχώντας το t στο x και το v στο y. Επομένως χρειάζεται να υπολογίσουμε το Ν καθώς και τα αθροίσματα: N N 2 N N, = t, = v 1 i 1 i= 1 i, i i= i i i t v t (13) 1 i Η εργασία αυτή γίνεται σε ένα νέο υπολογιστικό φύλλο εργασίας και παρουσιάζεται στην Εικόνα 4. t (s) Εικόνα 4. Εύρεση του συνολικού αριθμού των διαθέσιμων ζευγών δεδομένων Ν και των αντίστοιχων αθροισμάτων των σχέσεων (13) σε ένα υπολογιστικό φύλλο εργασίας. 96

99 Η εύρεση του αριθμού Ν έγινε, όπως και στην περίπτωση της εύρεσης των μέσων τιμών, με την χρήση της συνάρτησης COUNT() στο κελί Α21 με πεδίο τιμών τα διαθέσιμα κελιά των δεδομένων για το t, (A2:A17). Ο προσδιορισμός των κελιών των t 2 και t v έγινε χρησιμοποιώντας τα δεδομένα των κελιών t και v με την χρήση των κατάλληλων πράξεων. Συγκεκριμένα για τα κελιά t 2 ξεκινήσαμε με τον υπολογισμό του κελιού C2 μέσω της σχέσης =Α2^2 και ακολουθήσαμε αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί C17, ενώ για τα κελιά t v ξεκινήσαμε με τον υπολογισμό του κελιού D2 και μέσω της σχέσης =Α2*Β2 ακολουθήσαμε αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί D17. Στην συνέχεια υπολογίσαμε τα αθροίσματα των σχέσεων (13) χρησιμοποιώντας την συνάρτηση SUM() με πεδία τιμών τα αντίστοιχα κελιά στις στήλες Α, Β, C και D, από την γραμμή 2 έως την γραμμή 17. Έχοντας όλες τις ποσότητες των εξισώσεων (7)-(9) εργαζόμαστε για τον υπολογισμό αρχικά του Δ και στην συνέχεια των a και b όπως φαίνεται στην Εικόνα 5. Εικόνα 5. Εύρεση των παραμέτρων a και b, των αβεβαιοτήτων τους, των θεωρητικών τιμών v theory, καθώς και του συντελεστή προσδιορισμού προσαρμογής R 2 με την χρήση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων. Το Δ υπολογίστηκε στο κελί Ε2 με την χρήση της σχέσης =A21*C18-A18^2, τo a στο κελί Ε4 με την χρήση της σχέσης =(C18*B18-A18*D18)/E2 και το b στο κελί Ε6 με την χρήση της σχέσης =(A21*D18-A18*B18)/E2. Προσέξτε ότι εδώ κάνουμε πράξεις με φυσικά μεγέθη και κατά συνέπεια όλες οι ποσότητες, δηλαδή το Δ, όλα τα αθροίσματα και οι παράμετροι a και b έχουν μονάδες μέτρησης επίσης, οι οποίες προκύπτουν από τις μονάδες μέτρησης των t και v, καθώς και την θεωρητική σχέση που τα συνδέει (v=b t+a). Τις μονάδες αυτές πρέπει να προσδιορίσουμε εμείς, δηλαδή ο χρήστης, μιας και τα υπολογιστικά φύλλα εργασίας δυστυχώς (;) δεν κάνουν πράξεις με μονάδες μέτρησης. Στην Εικόνα 5 φαίνεται και ο προσδιορισμός των "θεωρητικών" τιμών v theory στην στήλη H, οι οποίες προκύπτουν από την εφαρμογή της προτεινόμενης γραμμικής σχέσης (v theory =b t+a), και την χρήση των ευρεθέντων τιμών των παραμέτρων a και b, καθώς και των τιμών t i, με i=1,,n=16. Για τον λόγο αυτό στο κελί H2 χρησιμοποιήσαμε την σχέση =$E$4+$E$6*A2, ακολουθώντας 97

100 αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί H17, κρατώντας τα κελιά Ε4 και Ε6, τα οποία περιέχουν τις τιμές των παραμέτρων, σταθερά κατά την διαδικασία της αυτόματης συμπλήρωσης v (cm/s) Εικόνα 6. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες των δεδομένων v και t του Πίνακα 1 (σημεία) και της καλύτερης ευθείας γραμμής [v theory =f(t)] που προέκυψε από την εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων (κόκκινη γραμμή) που τα περιγράφει. t (s) Για να προσδιορίσουμε τις αβεβαιότητες σ a και σ b, σε πρώτη προσέγγιση κάνουμε την παραδοχή ότι η αβεβαιότητα των τιμών t είναι αμελητέα και δεν λαμβάνεται υπόψη, 2 ενώ η αβεβαιότητα των τιμών v είναι ίδια και σταθερή για όλες τις τιμές των ταχυτήτων. 3 Στην συνέχεια πρέπει να βρούμε το (=σ y 2 ), για το οποίο πρέπει να προσδιορίσουμε κατ' αρχάς το άθροισμα της σχέσης (12), το οποίο αποτελεί την ποσότητα S res. Έτσι πήραμε την διαφορά (v i -v theory_i ) 2 για όλα τα ζεύγη τιμών ξεκινώντας από το κελί I2 με την χρήση της σχέσης =(B2-H2)^2 και ακολουθώντας αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί I17 προσδιορίσαμε το ζητούμενο άθροισμα στο κελί I18. Το σ y 2 υπολογίστηκε στο κελί E17 με την βοήθεια της σχέσης (12) και χρήση της σχέσης =I18/(A21-2). Από αυτό προσδιορίστηκαν οι αβεβαιότητες σ a στο κελί F17 με την χρήση της σχέσης =(E17*C18/E2)^0.5 και σ b στο κελί G17 με την χρήση της σχέσης =(A21*E17/E2)^0.5. Αν αντί για τον προσδιορισμό του σ y 2 από την σχέση (12) χρησιμοποιούσαμε την δοθείσα σταθερή τιμή αβεβαιότητας σ v του Πίνακα 1 που βρίσκεται στο κελί Ε19, το επίπεδο των αβεβαιοτήτων σ a και σ b που προσδιορίζονται στα κελία F19 και G19 από τα κελιά της προηγούμενης γραμμής φαίνεται πως αυξάνει ελαφρώς. 2 Όταν η αβεβαιότητα σ x στις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής x δεν μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα, η διαδικασία εύρεσης των παραμέτρων a και b και των αβεβαιοτήτων τους μέσω της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων γίνεται σημαντικά πιο περίπλοκη (δες π.χ. J. R. Macdonald and W. J. Thompson, Am. J. Phys., 60, 66 (1992) και J. R. Macdonald et al., Am. J. Phys., 72, 367 (2004)). 3 Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικής-θερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα

101 Υπολογίσαμε τέλος και τον συντελεστή προσδιορισμού της προσαρμογής R 2. Για να το κάνουμε αυτό, υπολογίσαμε αρχικά την μέση τιμή <v> των v i στο κελί Β21 με την χρήση της σχέσης =B18/A21 και κατόπιν τα τετράγωνα των διαφορών (v i -<v>) i=1,,n=16 ξεκινώντας από το κελί J2 με την χρήση της σχέσης =(B2-$B$21)^2 και ακολουθώντας αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί J17. Το άθροισμα των κελιών αυτών που αντιστοιχεί στην ποσότητα S tot προσδιορίστηκε στο κελί J18 με την χρήση της σχέσης =SUM(J2:J17). Η τιμή του R 2 προσδιορίστηκε στο κελί F21 με την χρήση της σχέσης =1-(I18/J18) και όπως φαίνεται από το αποτέλεσμα βρίσκεται πολύ κοντά στην τιμή 1. Για να δούμε και γραφικά πως προσαρμόζονται τα δεδομένα v και t από τα θεωρητικά δεδομένα v theory και t που προέκυψαν από την παραπάνω εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων σε ένα νέο γράφημα που μπορεί να προκύψει από την αντιγραφή και επικόλληση του της πρώτης γραφικής παράστασης v=f(t), προσθέτουμε την σειρά δεδομένων v theory =f(t) σε μορφή διασποράς σημείων και στην συνέχεια για την σειρά αυτή απαλείφουμε τα σημεία και αφήνουμε μόνο την περιγραφή τους από την γραμμή που τα ενώνει, διαμορφώνοντάς την με το κατάλληλο χρώμα. Το αποτέλεσμα εμφανίζεται στην Εικόνα 6. Παρουσίαση αποτελεσμάτων Η παρουσίαση των αποτελεσμάτων πρέπει να γίνεται εφαρμόζοντας τους κανόνες των σημαντικών ψηφίων. Όταν φτάνουμε στα αποτελέσματά των ζητουμένων των υπολογισμών μας πρέπει να διαμορφώνουμε την ακρίβεια των αποτελεσμάτων σύμφωνα με τους κανόνες των σημαντικών ψηφίων. Στα υπολογιστικά φύλλα εργασιών υπάρχουν διάφορες συναρτήσεις οι οποίες μπορούν να καθορίσουν την ακρίβεια των αριθμών που εμφανίζονται στα κελιά στα οποία χρησιμοποιούνται. Οι πιο χρήσιμες από αυτές είναι οι συναρτήσεις ROUND και FIXED. Η συνάρτηση ROUND(αριθμός;αριθμός ψηφίων) έχει όρισμα δύο πεδίων διαχωριζόμενων από το σύμβολο ; (ελληνικό ερωτηματικό) με το αριστερό πεδίο να αφορά τον αριθμό ή ένα κελί που περιέχει έναν αριθμό και το δεξιό πεδίο να αφορά την ακρίβεια των ψηφίων με την οποία θα εκφραστεί ο αριθμός αυτός, παίρνοντας τιμές 0, 1, 2, 3, ή -1-2 κτλ. Και το δεξιό μέλος μπορεί να αντιστοιχεί στο περιεχόμενο ενός κελιού. Η συνάρτηση ROUND επιστρέφει (έχει ως αποτέλεσμα) έναν αριθμό ο οποίος στρογγυλοποιείται σε δεδομένη ακρίβεια ψηφίων μετά ή πριν την υποδιαστολή διαχωρισμού ακεραίων με δεκαδικούς. Έτσι όταν το δεξιό πεδίο που αφορά την ακρίβεια των ψηφίων είναι 1 ο αριθμός στο αριστερό πεδίο θα στρογγυλοποιηθεί στο πρώτο δεκαδικό ψηφίο μετά την υποδιαστολή, π.χ. το αποτέλεσμα της σχέσης =ROUND(2.443;1) είναι ο αριθμός 2.4, όταν είναι 2 ο αριθμός στρογγυλοποιείται στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο μετά την υποδιαστολή κ.ο.κ. Όταν το δεξιό πεδίο είναι 0 ο αριθμός στρογγυλοποιείται σε ακρίβεια μονάδας, π.χ. το αποτέλεσμα της σχέσης =ROUND(2.453;0) είναι ο αριθμός 2, όταν είναι -1 ο αριθμός στρογγυλοποιείται σε ακρίβεια δεκάδας, όταν είναι -2 σε ακρίβεια εκατοντάδας κ.ο.κ. Η συνάρτηση FIXED έχει παρόμοια σύνταξη και χρήση με την ROUND αλλά επιστρέφει τον αριθμό στρογγυλοποιημένο σε μορφή κειμένου. Έτσι με την χρήση της δεν μπορεί να αυξηθεί ή να μειωθεί ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων του (π.χ. με την χρήση της αντίστοιχης εργαλειοθήκης), ο οποίος και παραμένει αμετάβλητος (ως κείμενο) στην ακρίβεια που έχει επιλεγεί. Ακολουθούμε τους κανόνες των σημαντικών ψηφίων και τις απαιτήσεις α) οι υπολογιζόμενες αβεβαιότητες να εκφράζονται με ένα σημαντικό ψηφίο, και β) τα μεγέθη στα οποία αναφέρονται οι αβεβαιότητες να εκφράζονται με την ακρίβεια των αβεβαιοτήτων τους. 99

102 Έτσι εκφράζουμε τα μεγέθη σ a και σ b των κελιών F17 και G17 με την χρήση της συνάρτησης FIXED στα κελιά F8 και F10, με τις ακρίβειές τους να παρατίθενται στα κελιά G8 και G10 αντίστοιχα (Εικόνα 5.) και τα μεγέθη a και b των κελιών Ε4 και Ε6 με την χρήση της συνάρτησης FIXED στα κελιά Ε8 και Ε10 επίσης με τις ακρίβειές των αβεβαιοτήτων τους. Ακολούθως, οι θεωρητικές τιμές της ταχύτητας v theory, πρέπει επίσης να στρογγυλοποιηθούν στην ακρίβεια της αβεβαιότητας σ v. Για τον λόγο αυτό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την συνάρτηση ROUND με αριστερό πεδίο του ορίσματος το τρέχον περιεχόμενο κάθε κελιού στην στήλη Η, και δεξιό πεδίο τον κατάλληλο αριθμό που αντιστοιχεί στην ακρίβεια της αβεβαιότητας (1, στην προκειμένη περίπτωση), δηλαδή για το κελί H2 χρησιμοποιούμε την σχέση =ROUND($E$4+$E$6*A2;1) και στην συνέχεια συμπληρώνουμε αυτόματα μέχρι το κελί Η 17. Καθορίζουμε δε κατάλληλα την ακρίβεια εμφάνισης των δεδομένων v theory της στήλης Η από την εργαλειοθήκη "Αριθμός" του μενού "Κεντρική", στην προκειμένη περίπτωση σε ένα δεκαδικό ψηφίο. Τέλος μπορούμε να δώσουμε το συνολικό αποτέλεσμα για κάθε μέγεθος {[a ± σ a ] (cm/s)} και {[b ± σ b ] (m/s 2 )} συνδυάζοντας τα περιεχόμενα των κελιών E8, F8, E10 και F10 για τα a, σ a,b και σ b υπό την μορφή κειμένου και την εμφάνιση των χαρακτήρων =, ± τοποθετημένους ανάμεσα στους ειδικούς χαρακτήρες με την χρήση των χαρακτήρων & ως συνδέσμων στα κελιά F12 και F14, δηλαδή ="= "&E8&" ± "&F8 για το αποτέλεσμα του a ± σ a και ="= "&E10&" ± "&F10 για το αποτέλεσμα του b ± σ b. Σχέση δύναμης-λογαριθμική βαθμονόμηση αξόνων Ας συνεχίσουμε τώρα με την δημιουργία της γραφικής παράστασης σε γραμμικούς άξονες των φυσικών μεγεθών υ ορ και r που παρουσιάζονται στον Πίνακα 1. Ακολουθώντας τυπικές πλέον διαδικασίες παίρνουμε το αποτέλεσμα της Εικόνας υ ορ (cm/s) r (mm) Εικόνα 7. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες των δεδομένων υ ορ και r του Πίνακα

103 Από την εικόνα αυτή φαίνεται ξεκάθαρα ότι τα φυσικά μεγέθη υ ορ και r δεν ακολουθούν γραμμική σχέση. Μιας και η πρώτη μας κίνηση είναι να αναγνωρίσουμε την γενική μορφή της αναλυτικής μαθηματικής σχέσης που συνδέει τα δύο αυτά μεγέθη, εργαζόμαστε όπως και στις αντίστοιχες παραγράφους του μέρους 2 του παρόντος κεφαλαίου. Αλλάζοντας την βαθμονόμηση και των δύο αξόνων της γραφικής παράστασης της Εικόνας 7 καταλήγουμε στο αποτέλεσμα που εμφανίζεται στην Εικόνα 8. Από αυτή παρατηρούμε ότι σε λογαριθμική κλιμάκωση και των δύο αξόνων τα σημεία της γραφικής παράστασης των υ ορ και r τείνουν να σχηματίσουν ευθεία γραμμή. Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι τα μεγέθη αυτά συνδέονται μεταξύ τους με μία μαθηματική σχέση δύναμης της γενικής μορφής υ ορ =a r b. Κατά συνέπεια η επόμενη κίνησή μας είναι να προσδιορίσουμε αυτές τις παραμέτρους a και b. Αυτό θα μπορούσε να γίνει με την χρήση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, όμως τα μεγέθη υ ορ και r, δεν συνδέονται με γραμμική σχέση, άρα δεν μπορούμε απ' ευθείας για τα μεγέθη αυτά να εφαρμόσουμε τις σχέσεις (7)-(12) της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων που έχουν εφαρμογή μόνο για μεγέθη που συνδέονται με γραμμική σχέση υ ορ (cm/s) r (mm) Εικόνα 8. Γραφική παράσταση των δεδομένων υ ορ και r του Πίνακα 1 σε λογαριθμικούς άξονες. Όμως, όπως έχουμε δει στο δεύτερο μέρος αυτού του κεφαλαίου, μπορούμε να μετασχηματίσουμε την σχέση υ ορ =a r b σε γραμμική σχέση κάνοντας αλλαγή μεταβλητών και θέτοντας διαφορετικές παραμέτρους. Εργαζόμενοι λοιπόν ανάλογα μπορούμε να δούμε ότι η σχέση log(υ ορ )=log(a)+β log(r) αποτελεί μία γραμμική σχέση Y=A+B X για τις μεταβλητές Υ=log(υ ορ ) και Χ=log(r), με παραμέτρους τις Α=log(a) και Β=b. Έτσι αυτό που θα πρέπει να κάνουμε στην συνέχεια είναι να προσδιορίσουμε αυτές τις νέες μεταβλητές από τις υ ορ και r και κατ' αρχάς να δούμε αν αυτές διαθέτουν όπως αναμένουμε μεταξύ τους γραμμική σχέση. Η διαδικασία παρουσιάζεται στην Εικόνα 9, για την οποία υπολογίσαμε τις τιμές των log(r) στα κελιά της στήλης C από τις τιμές των κελιών της στήλης Α, ξεκινώντας από το κελί C2 με την χρήση 101

104 της σχέσης =LOG(A2) και ακολουθώντας αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί C12. Ανάλογα υπολογίσαμε τις τιμές log(υ ορ ) στα κελιά της στήλης D από τις τιμές των κελιών της στήλης Β, ξεκινώντας από το κελί D2 με την χρήση της σχέσης =LOG(B2) και ακολουθώντας αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί D12. Εικόνα 9. Προσδιορισμός των μεταβλητών log(υ ορ ) και log(r) από τα υ ορ και r με την βοήθεια των υπολογιστικών φύλλων εργασίας. Το αποτέλεσμα της γραφικής παράστασης log(υ ορ )=f[log(r)] εμφανίζεται στην Εικόνα log(υ ορ ) log(r) Εικόνα 10. Γραφική παράσταση των μεταβλητών log(υ ορ )=f[log(r)] σε γραμμικούς άξονες. Από αυτή μπορούμε εύκολα να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι όντως οι μεταβλητές Y=log(υ ορ ) και X=log(r) διαθέτουν μεταξύ τους γραμμική σχέση. Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε γι' αυτές 102

105 την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Για την εφαρμογή της πρέπει να υπολογίσουμε τα αντίστοιχα αθροίσματα των σχέσεων (7-8) για τις μεταβλητές Y=log(υ ορ ) και X=log(r). Κατόπιν υπολογίζουμε από την σχέση (9) την τιμή του Δ στο κελί G2 και από αυτή σε συνδυασμό με όλες τις απαραίτητες υπόλοιπες τιμές καταλήγουμε στον υπολογισμό των παραμέτρων A και Β, στα κελιά G4 και G8 αντίστοιχα όπως φαίνεται στην Εικόνα 11. Εικόνα 11. Εύρεση των παραμέτρων Α και Β της σχέσης log(υ ορ )=Α+Β log(r), και από αυτές των παραμέτρων a και b της σχέσης υ ορ =a r b, του εύρους των αβεβαιοτήτων τους, καθώς και του συντελεστή προσδιορισμού R 2 με την χρήση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων. Από τις παραμέτρους αυτές μπορούμε να υπολογίσουμε τις παραμέτρους a και b από τις σχέσεις a=10 A και b=b, πράξεις που γίνονται στα κελιά Η2 και G10 αντίστοιχα. Για τον υπολογισμό των αβεβαιοτήτων σ Α και σ Β =σ b σε πρώτη προσέγγιση πρέπει να κάνουμε την παραδοχή ότι οι τιμές της μεταβλητής X=log(r) δεν περιέχουν αβεβαιότητα, ενώ αντιθέτως οι τιμές της μεταβλητής Υ=log(υ ορ ) περιέχουν. Στην συνέχεια θα χρειαστεί να προσδιορίσουμε το σ Υ 2, (όπου Υ=log(υ ορ )) μέσω της σχέσης (12). Έτσι θα πρέπει να προσδιοριστούν οι ποσότητες Υ theory =log(υ ορ ) theory =A+B X=A+B log(r), διαδικασία η οποία γίνεται στην στήλη J ξεκινώντας από το κελί J2 και χρησιμοποιώντας τα κελιά C2, G4 και G8 μέσω της σχέσης =$G$4+$G$8*C2 γεμίζοντας μέχρι το κελί J12 (Εικόνα 12). Στην συνέχεια προσδιορίζονται οι όροι του αθροίσματος (Y i -Y theory_i ) 2 στην στήλη Κ ξεκινώντας από το κελί Κ2 μέσω της σχέσης =(D2-J2)^2 γεμίζοντας μέχρι το κελί Κ12. Το σ Υ 2 υπολογίστηκε στο κελί G12. Χρησιμοποιώντας το κελί αυτό και τις σχέσεις (10) και (11) προσδιορίζουμε τα σ Α και σ b στα κελιά G6 και G10. Έχοντας υπολογίσει το σ Α μπορούμε να προσδιορίσουμε το εύρος διακύμανσης ή αβεβαιότητας για το a, παίρνοντας τις δύο ακραίες τιμές για το Α, δηλαδή a max =10 Amax =10 (A+σA) και a min =10 Amin =10 (A-σA), διαδικασία η οποία γίνεται στα κελιά Η6 και Η8 αντίστοιχα. Το εύρος διακύμανσης του a {a max - a min } προσδιορίζεται στο κελί Ι6. Ένας διαφορετικός προσδιορισμός της αβεβαιότητας σ a μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας την σχέση μεταξύ των a και Α, [a=10 A ] και την λεγόμενη σχέση διάδοσης αβεβαιοτήτων 4, η οποία προβλέπει ότι όταν ένα φυσικό μέγεθος Ζ μπορεί να εκφραστεί ή να υπολογιστεί μέσω μιας μαθηματικής σχέσης Ζ=f(x 1,x 2,x 3,,x n ) που το συνδέει με άλλα φυσικά μεγέθη x 1, x 2, x 3 x n, με γνωστές αβεβαιότητες σ x1, σ x2, σ x3 σ xn, τότε η αβεβαιότητα σε κάποια τιμή του μεγέθους αυτού 4 Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικής-θερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα

106 μπορεί να υπολογιστεί από τις τιμές των μεγεθών από τα οποία εξαρτάται καθώς και των αβεβαιοτήτων αυτών των μεγεθών μέσω της σχέσης: 2 1/2 n f σz = σ i = 1 x i x (14) i Εικόνα 12. Υπολογισμός των log(υ ορ ) theory, υ ορtheory, συναφών ποσοτήτων και των αντίστοιχων S res και S tot για τον υπολογισμό των αβεβαιοτήτων σ Α και σ a και των συντελεστών R 2. Εφαρμόζοντας την σχέση (14) για Ζ=a και x=α, παίρνουμε σ a =10 A ln(10) σ Α από την οποία χρησιμοποιώντας τις τιμές των κελιών G4 (A) και G6 (σ Α ) προσδιορίζουμε το σ a στο κελί Η4. Παρατηρούμε ότι οι αβεβαιότητες σ a προσδιοριζόμενες με τις δύο παραπάνω μεθόδους συμπίπτουν μιας και το εύρος {a max - a min } βρίσκεται να είναι ίσο με 2σ a. Η παρουσίαση των τιμών Α, Β, a, a max, a min, a max -a min, b και των αντίστοιχων αβεβαιοτήτων τους πρέπει να γίνει σύμφωνα με τους κανόνες των σημαντικών ψηφίων και τον καθορισμό της ακρίβειας των αβεβαιοτήτων τους. Για τον λόγο αυτό ορίζονται στα κελιά Ι2, Ι4 και Ι10 οι ακρίβειες των αβεβαιοτήτων σ A, σ a και σ b αντίστοιχα έτσι ώστε οι αβεβαιότητες να εκφράζονται με ένα σημαντικό ψηφίο. Στην συνέχεια με την χρήση της συνάρτησης ROUND και των κελιών Ι2, Ι4 και Ι10 μπορούν να διαφοροποιηθούν οι αντίστοιχες ποσότητες Α, Β, a, a max, a min, a max -a min και b έτσι ώστε να παρουσιάζονται με την ακρίβεια των αβεβαιοτήτων τους. Ακολούθως υπολογίζουμε τις τιμές υ ορtheory σύμφωνα με το μοντέλο μας από την σχέση υ ορ =a r b χρησιμοποιώντας τις ευρεθείσες τιμές των παραμέτρων a και b στην στήλη Μ (Εικόνα 12). Χρησιμοποιούμε τις τιμές υ ορtheory και r για να προσθέσουμε μία γραφική παράσταση διασποράς με γραμμή αλλά χωρίς δείκτες (σημεία) στα δεδομένα της γραφικής παράστασης των Εικόνων 7 και 8, οπότε προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των Εικόνων 13 και 14, από τις οποίες φαίνεται ότι η προσαρμογή του μοντέλου που προτείναμε στα δεδομένα υ ορ και r είναι ποιοτικά πολύ ικανοποιητική. 104

107 υ ορ (cm/s) υορ=f(r) υορtheory=f(r) r (mm) Εικόνα 13. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες των δεδομένων υ ορ =f(r) του Πίνακα 1 (σημεία) και των τιμών υ ορtheory =a r b (κόκκινη γραμμή) που προέκυψε από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης σχέσης δύναμης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων υ ορ (cm/s) υορ=f(r) υορtheory=f(r) r (mm) Εικόνα 14. Γραφική παράσταση σε λογαριθμικούς άξονες των δεδομένων υ ορ =f(r) του Πίνακα 1 (σημεία) και των τιμών υ ορtheory =a r b (κόκκινη γραμμή) που προέκυψε από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης σχέσης δύναμης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. 105

108 Μπορούμε να βρούμε επίσης μία ποσοτική εκτίμηση για την ποιότητα της προσαρμογής του μοντέλου μας μέσω της τιμής του συντελεστή R 2, είτε μέσω του υπολογισμού του log(υ ορ ) theory είτε μέσω του υπολογισμού του υ ορtheory, υπολογίζοντας και χρησιμοποιώντας τις ποσότητες [log(υ ορ )-log(υ ορ ) theory ] 2 (στήλη Κ), <log(υ ορ )> (κελί Ι12), [log(υ ορ )-<log(υ ορ )>] 2 (στήλη L) και (υ ορ -υ ορtheory ) 2 (στήλη Ν), <υ ορ > (κελί Ι14), (υ ορ -<υ ορ >) 2 (στήλη Ο) αντίστοιχα όπως φαίνεται στην Εικόνα 12. Υπολογίζοντας τα αντίστοιχα αθροίσματα S res και S tot στα κελιά Κ13, L13 και N13, O13, καταλήγουμε σε μία τιμή για το R 2 στην περίπτωση του υπολογισμού μέσω log(υ ορ ) theory στο κελί Η12 και σε μία τιμή για το R 2 στην περίπτωση του υπολογισμού μέσω του υ ορtheory στο κελί Η14. Οι τιμές είναι και οι δύο πάρα πολύ κοντά στην τιμή 1. Εύρεση των παραμέτρων γραμμικής σχέσης με την χρήση συνάρτησης βάρους Όταν το σφάλμα των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής δεν είναι σταθερό για όλες τις τιμές της τότε για ακριβέστερα αποτελέσματα η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων πρέπει να εφαρμοστεί λαμβάνοντας υπόψη την "αξία" ή αλλιώς το "βάρος" κάθε τιμής της μεταβλητής μέσω μίας συνάρτησης βάρους W. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα που ακολουθούμε το φυσικό μέγεθος υ ορ έχει σταθερή αβεβαιότητα για όλες τις τιμές του, η οποία όπως δίνεται στον Πίνακα 1 είναι της τάξης των σ υορ ~0.6 cm/s. Όμως μετά την αλλαγή μεταβλητών κάθε τιμή του log(υ ορ ) έχει όπως γίνεται κατανοητό διαφορετική αβεβαιότητα. Η αβεβαιότητα αυτή μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας την σχέση διάδοσης αβεβαιοτήτων (14): σ Y =σ log(υορ) ={ [log(υ ορ )]/ υ ορ }σ υορ =σ υορ /[ln(10) υ ορ ] (15) Η αβεβαιότητα αυτή συνδέεται με την συνάρτηση βάρους W, επειδή σε πρώτη προσέγγιση μία καλή και ευρέως αποδεκτή επιλογή συνάρτησης βάρους είναι η 5 1 W Y = (16) 2 σ Y η οποία εφαρμοζόμενη στην περίπτωση της Υ=log(υ ορ ) δίνει W=(1/σ Y 2 )={[ln(10)] 2 υ ορ 2 }/σ υορ 2 (17) Αν λάβουμε υπόψη την συνάρτηση βάρους το άθροισμα που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί είναι το: N 2 S = W [y f(a,a,...,a, x)] (18) Wres i= 1 i i 1 2 n και οι σχετικές σχέσεις για τον προσδιορισμό των τιμών των παραμέτρων a και b γίνονται: a W = N N N N 2 Wi xi Wi yi Wi xi Wi xi yi i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 (19) Δ W με b W = N W N W x y i i i i i i i i i= 1 i= 1 i= 1 i= 1 (20) Δ W N W x N W y 5 Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικής-θερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα

109 Δ W N N N = 2 Wi Wi xi i= 1 i= 1 i= 1 i i 2 W x (21) ενώ οι αβεβαιότητες των a και b δίνονται από τις σχέσεις: N Wi i= 1 σa W ΔW x 2 i = (22) N Wi i= 1 σb W ΔW = (23) Εφαρμόζοντας τις σχέσεις (17) και (19)-(23) με τα δεδομένα υ ορ, σ υορ, Υ=log(υ ορ ) και Χ=log(r), υπολογίζουμε τα σ Υ και W, τα αντίστοιχα αθροίσματα και τις νέες παραμέτρους κατ' αρχάς Α W, Β W και τις αβεβαιότητές τους και από αυτές τις a W και b W, και το εύρος των αβεβαιοτήτων τους όπως φαίνεται στην Εικόνα 15. Καθορίζουμε την ακρίβεια των αβεβαιοτήτων και των μεγεθών στα οποία αντιστοιχούν χρησιμοποιώντας κατάλληλα την συνάρτηση ROUND. Παρατηρούμε ότι οι αβεβαιότητες σ ΑW και σ ΒW είναι μεγαλύτερες από αυτές που βρέθηκαν χωρίς την χρήση της συνάρτησης βάρους W, γεγονός που όπως είναι αναμενόμενο επηρεάζει με ανάλογο τρόπο και τις αβεβαιότητες σ aw και σ bw, οι οποίες είναι επίσης σε εύρος μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες προηγούμενες σ a και σ b. Παρατηρούμε επίσης ότι οι τιμές των παραμέτρων a, a W και b, b W συμπίπτουν μέσα στα όρια των αβεβαιοτήτων σ aw και σ bw αντίστοιχα. Εργαζόμενοι ανάλογα, υπολογίζουμε τις τιμές των υ ορtheoryw από τις τιμές των νέων παραμέτρων της σχέσης υ ορtheoryw =a W r bw (Εικόνα 16) στην στήλη Υ. Χρησιμοποιούμε τις τιμές υ ορtheoryw και r για να προσθέσουμε μία γραφική παράσταση διασποράς με γραμμή αλλά χωρίς δείκτες (σημεία) στα δεδομένα της γραφικής παράστασης των Εικόνων 7 και 8, οπότε προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των Εικόνων 17 και 18. Εικόνα 15. Εύρεση των παραμέτρων Α W και Β W της σχέσης log(υ ορ )=Α W +Β W log(r), και από αυτές των παραμέτρων a W και b W της σχέσης υ ορ =a W r bw και του εύρους των αβεβαιοτήτων τους εφαρμόζοντας την θεωρία των ελαχίστων τετραγώνων με την χρήση της συνάρτησης βάρους W. 107

110 Εικόνα 16. Υπολογισμός των υ ορtheoryw και S res και S tot για τον υπολογισμό του συντελεστή R 2 με την χρήση της συνάρτησης βάρους W υ ορ (cm/s) υορ=f(r) υορtheory=f(r) r (mm) Εικόνα 17. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες των δεδομένων υ ορ =f(r) του Πίνακα 1 (σημεία) και των τιμών υ ορtheory =a r b (πράσινη γραμμή) που προέκυψε από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης σχέσης δύναμης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων με την χρήση της συνάρτησης βάρους. 108

111 υ ορ (cm/s) υορ=f(r) υορtheory=f(r) r (mm) Εικόνα 18. Γραφική παράσταση σε λογαριθμικούς άξονες των δεδομένων υ ορ =f(r) του Πίνακα 1 (σημεία) και των τιμών υ ορtheory =a r b (πράσινη γραμμή) που προέκυψε από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης σχέσης δύναμης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων με την χρήση της συνάρτησης βάρους. Από αυτές τις γραφικές παραστάσεις φαίνεται ότι η προσαρμογή του μοντέλου που προτείναμε στα δεδομένα υ ορ και r είναι ποιοτικά πολύ ικανοποιητική. Μπορούμε να βρούμε επίσης μία ποσοτική εκτίμηση για την ποιότητα της προσαρμογής του μοντέλου μας με την χρήση της συνάρτησης βάρους μέσω της τιμής του συντελεστή R 2 που εξαρτάται από τα αντίστοιχα αθροίσματα S res και S tot της Εικόνας 16 στα κελιά Ζ13 και ΑΑ13 αντίστοιχα. Από τις τιμές των κελιών αυτών καταλήγουμε σε μία τιμή για το R 2 μέσω του υ ορtheoryw όπως φαίνεται στην Εικόνα 16, τιμή η οποία είναι και αυτή πολύ κοντά στην τιμή

112 Κεφάλαιο 3-Προγράμματα Υπολογιστικών Φύλλων Εργασίας Μέρος 4ο Στα προηγούμενα μέρη των σημειώσεων που αφορούν την ύλη των υπολογιστικών φύλλων εργασίας, περιγράψαμε τις διαδικασίες που ακολουθούμε για να αναγνωρίσουμε αν η αναλυτική μαθηματική σχέση που συνδέει δύο μεταβλητές ή φυσικά μεγέθη π.χ. y και x, τα οποία παριστάνουμε σε μία γραφική παράσταση της μορφής y=f(x), εμπίπτουν στις περιπτώσεις της γραμμικής σχέσης (y=b x+a), ή της σχέσης δύναμης (y=a x b ). Επίσης περιγράψαμε τις διαδικασίες μέσω των οποίων μπορούμε να υπολογίσουμε τις τιμές των παραμέτρων a και b σε κάθε επιμέρους περίπτωση με την βοήθεια της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Στο παρόν μέρος θα συνεχίσουμε με ανάλογο τρόπο την περιγραφή της αναγνώρισης των αναλυτικών μαθηματικών σχέσεων και του υπολογισμού των τιμών των παραμέτρων που αντιστοιχούν στην εκθετική σχέση (y=a e b x ) και στην (αντίστροφή της) λογαριθμική σχέση [y=b ln(x)+a]. Εκθετική σχέση -ημιλογαριθμική βαθμονόμηση αξόνων Ας συνεχίσουμε τώρα με την δημιουργία της γραφικής παράστασης σε γραμμικούς άξονες των φυσικών μεγεθών η (ιξώδους ρευστού) και Τ (θερμοκρασίας ρευστού) της τρίτης σειράς δεδομένων που παρουσιάζονται στον Πίνακα 1 του 3ου μέρους των σημειώσεων. Ακολουθώντας τυπικές πλέον διαδικασίες παίρνουμε το αποτέλεσμα της Εικόνας η (mpa s) Τ ( C) Εικόνα 1. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες των δεδομένων η και Τ του Πίνακα 1. Γραμμές σφάλματος (error bars) Πολλές φορές είναι επιθυμητό να προσθέσουμε σε κάθε σημείο της γραφικής παράστασης το εύρος της αβεβαιότητάς του. Αυτό μπορεί να γίνει με την χρήση συμβόλων των γραμμών σφάλματος (error bars). Στην προκειμένη περίπτωση τα σφάλματα στην τιμή του 110

113 ιξώδους η είναι διαφορετικά για κάθε τιμή η, ενώ το σφάλμα της θερμοκρασίας Τ είναι ίδιο για όλες τις τιμές Τ. Για να εισάγουμε τις γραμμές σφάλματος στα σημεία της γραφικής μας παράστασης επιλέγουμε πρώτα την σειρά των σημείων που έχουμε παραστήσει (η=f(t)) και από το μενού "Διάταξη" στην εργαλειοθήκη "Ανάλυση" επιλέξουμε "Γραμμές σφάλματος" και από τις επιλογές που εμφανίζονται επιλέγουμε την τελευταία εντολή "Περισσότερες επιλογές γραμμών σφάλματος ". Η διαδικασία αυτή μας δίνει, με προκαθορισμένο τρόπο, την δυνατότητα να ελέγξουμε πλήρως την μορφή των γραμμών σφάλματος που θα εισάγουμε για το μέγεθος που παριστάνεται στον κατακόρυφο άξονα y του γραφήματος ("Κατακόρυφες γραμμές σφάλματος"), που στην προκειμένη περίπτωση είναι το η. Από τις επιλογές που εμφανίζονται στο αντίστοιχο πλαίσιο επιλέγουμε στο τμήμα "Εμφάνιση" την "Κατεύθυνση Και οι δύο" έτσι ώστε οι γραμμές σφάλματος να εκτείνονται σε τιμές μεγαλύτερες και μικρότερες του μεγέθους y που αφορούν (y±σ y, στην προκειμένη περίπτωση η±σ η ) και το επιθυμητό "Στυλ τέλους" (Εικόνα 2α). (α) (β) Εικόνα 2. Επιλογές δεδομένων και μορφοποίησης γραμμών σφάλματος για τα μεγέθη στον κατακόρυφο (α) και τον οριζόντιο (β) άξονα στα σημεία μίας γραφικής παράστασης. Για τις τιμές του σ η έχουμε ένα πλήρη σύνολο δεδομένων που αντιστοιχούν στις τιμές η του Πίνακα 1. Για να τοποθετήσουμε λοιπόν τα σφάλματα σ η στα σημεία με τις αντίστοιχες τιμές η θα πρέπει στο τμήμα "Πλήθος σφαλμάτων" να επιλέξουμε "Προσαρμογή " και πατώντας στο κουμπί "Καθορισμός τιμής" στο πλαίσιο που εμφανίζεται να πατήσουμε πάνω στο εικονίδιο που βρίσκεται στην έκφραση "Θετικές τιμές σφάλματος" και να επιλέξουμε με το ποντίκι μας τις τιμές σ η που αντιστοιχούν στις τιμές η, δηλαδή τα κελιά C2 έως C9. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία για τις "Αρνητικές τιμές σφάλματος" και επιλέγουμε πάλι τα κελιά C2 έως C9, έτσι ώστε για κάθε σημείο να έχουμε το εύρος η±σ η. Για τις αντίστοιχες τιμές του μεγέθους του οριζόντιου άξονα x (στην προκειμένη περίπτωση Τ) κατ αρχάς πρέπει να επιλέξουμε από το μενού "Διάταξη" στην εργαλειοθήκη "Τρέχουσα επιλογή" τις αντίστοιχες "Γραμμές σφάλματος Χ" και στο πλαίσιο που εμφανίζεται να κάνουμε πάλι τις αντίστοιχες επιλογές, δηλαδή στο τμήμα "Εμφάνιση" την "Κατεύθυνση Και οι δύο" έτσι ώστε οι γραμμές σφάλματος να εκτείνονται σε 111

114 τιμές μεγαλύτερες και μικρότερες του μεγέθους x που αφορούν (x±σ x, στην προκειμένη περίπτωση T±σ T ) και το επιθυμητό "Στυλ τέλους" (Εικόνα 2(β)). Εδώ μιας και οι τιμές σ T είναι σταθερές στο τμήμα "Πλήθος σφαλμάτων" επιλέγουμε "Σταθερή τιμή:" και στην θέση που αντιστοιχεί βάζουμε την τιμή σ T του Πίνακα 1, δηλαδή 1 ( C, οι μονάδες βέβαια όπως έχουμε τονίσει δεν χρησιμοποιούνται εδώ). Στην συνέχεια μπορούμε να διαμορφώσουμε το μέγεθος των σημείων καθώς και τις γραμμές σφαλμάτων με το χρώμα και το πάχος που επιθυμούμε, οπότε προκύπτει η γραφική παράσταση της Εικόνας 3. Από την Εικόνα 3 γίνεται φανερό ότι όταν η αβεβαιότητα των τιμών είναι μικρή σε σχέση με την απόλυτη τιμή τους η χρήση των γραμμών σφαλμάτων επικαλύπτεται από το μέγεθος των σημείων η (mpa s) Τ ( C) Εικόνα 3. Γραφική παράσταση των δεδομένων η και Τ του Πίνακα 1 με προβολή των γραμμών σφαλμάτων (error bars) στον κατακόρυφο και οριζόντιο άξονα. Το μέγεθος των σημείων έχει μειωθεί σε σχέση με την Εικόνα 1 και το χρώμα και πάχος των γραμμών σφαλμάτων έχουν τονιστεί για την καλύτερη απεικόνισή τους. Από τις Εικόνες 2 και 3 φαίνεται ξεκάθαρα ότι τα φυσικά μεγέθη η και Τ δεν ακολουθούν γραμμική σχέση. Μιας και η πρώτη μας κίνηση είναι να αναγνωρίσουμε την γενική μορφή της αναλυτικής μαθηματικής σχέσης που συνδέει τα δύο αυτά μεγέθη, εργαζόμαστε όπως και στις αντίστοιχες παραγράφους του μέρους 2 του παρόντος κεφαλαίου. Αλλάζοντας την βαθμονόμηση μόνο του κατακόρυφου άξονα της γραφικής παράστασης της Εικόνας 1, καταλήγουμε στο αποτέλεσμα που εμφανίζεται στην Εικόνα 4. Από αυτή παρατηρούμε ότι σε λογαριθμική κλιμάκωση μόνο του κάθετου άξονα και γραμμική βαθμονόμηση του οριζόντιου άξονα, η οποία αποκαλείται και ημιλογαριθμική βαθμονόμηση, και σ' αυτή αντιστοιχεί το ημιλογαριθμικό χαρτί, τα σημεία της γραφικής παράστασης των η και Τ τείνουν να σχηματίσουν ευθεία γραμμή. Καταλήγουμε λοιπόν στο συμπέρασμα ότι τα μεγέθη αυτά συνδέονται μεταξύ τους με μία 112

115 αναλυτική μαθηματική εκθετική σχέση της γενικής μορφής η=a e b T. Κατά συνέπεια η επόμενη κίνησή μας είναι να προσδιορίσουμε αυτές τις παραμέτρους a και b. Αυτό θα μπορούσε να γίνει με την χρήση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, όμως τα μεγέθη η και Τ, δεν συνδέονται με γραμμική σχέση, άρα δεν μπορούμε απ' ευθείας για τα μεγέθη αυτά να εφαρμόσουμε την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων η (mpa s) Τ ( C) Εικόνα 4. Γραφική παράσταση των δεδομένων η και Τ του Πίνακα 1 σε ημιλογαριθμικούς άξονες με λογαριθμική βαθμονόμηση του κατακόρυφου άξονα και γραμμική βαθμονόμηση του οριζόντιου άξονα. Όμως, όπως έχουμε δει σε προηγούμενες παραγράφους, μπορούμε να μετασχηματίσουμε την σχέση η=a e b T σε γραμμική σχέση κάνοντας αλλαγή μεταβλητών και θέτοντας διαφορετικές παραμέτρους. Εργαζόμενοι λοιπόν ανάλογα μπορούμε να δούμε ότι η σχέση ln(η)=ln(a)+β T αποτελεί μία γραμμική σχέση Y=A+B T για τις μεταβλητές Υ=ln(η) και T, με παραμέτρους τις Α=ln(a) και Β=b. Έτσι αυτό που θα πρέπει να κάνουμε στην συνέχεια είναι να προσδιορίσουμε την νέα μεταβλητή Υ από την μεταβλητή η και κατ' αρχάς να δούμε αν οι Υ και Τ διαθέτουν όπως αναμένουμε μεταξύ τους γραμμική σχέση. Η διαδικασία παρουσιάζεται στην Εικόνα 5, για την οποία υπολογίσαμε τις τιμές των Υ=ln(η) στα κελιά της στήλης D από τις τιμές των κελιών της στήλης Β, ξεκινώντας από το κελί D2 με την χρήση της σχέσης =LΝ(Β2) και ακολουθώντας αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί D9. Το αποτέλεσμα της γραφικής παράστασης ln(η)=f(τ) εμφανίζεται στην Εικόνα

116 Εικόνα 5. Προσδιορισμός των μεταβλητών ln(η) από το η με την βοήθεια των υπολογιστικών φύλλων εργασίας ln(η) Τ ( C) Εικόνα 6. Γραφική παράσταση των μεταβλητών ln(η)=f(t) σε γραμμικούς άξονες. Από αυτή μπορούμε εύκολα να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι όντως οι μεταβλητές ln(η) και Τ διαθέτουν μεταξύ τους γραμμική σχέση. Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε γι' αυτές την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων που αφορούν στις σχέσεις (7)-(12) του 3ου μέρους των σημειώσεων του τρέχοντος κεφαλαίου. Για την εφαρμογή της πρέπει να υπολογίσουμε τα Τ 2 και το γινόμενο [ln(η)] T καθώς και τα αντίστοιχα αθροίσματα των σχέσεων (7-8). Κατόπιν από την σχέση (9) υπολογίζουμε την τιμή του Δ στο κελί G2 και από αυτή σε συνδυασμό με όλες τις 114

117 απαραίτητες υπόλοιπες τιμές καταλήγουμε στον υπολογισμό των παραμέτρων A και Β, στα κελιά G4 και G8 αντίστοιχα, όπως φαίνεται στην Εικόνα 7. Εικόνα 7. Εύρεση των παραμέτρων Α και Β της σχέσης ln(η)=α+β T, και από αυτές των παραμέτρων a και b της σχέσης η=a e b T, του εύρους των αβεβαιοτήτων τους, καθώς και του συντελεστή R 2 με την χρήση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων. Από τις παραμέτρους αυτές μπορούμε να υπολογίσουμε τις παραμέτρους a και b από τις σχέσεις a=e A και b=b, πράξεις που γίνονται στα κελιά H2 και G10 αντίστοιχα. Για τον υπολογισμό των αβεβαιοτήτων σ Α και σ Β =σ b θα χρειαστεί να προσδιορίσουμε το σ 2 Υ, όπου Υ=ln(η) μέσω της σχέσης (12). Έτσι θα πρέπει να προσδιοριστούν οι ποσότητες Υ theory =ln(η) theory =A+B Τ, διαδικασία η οποία γίνεται στην στήλη J ξεκινώντας από το κελί J2 και χρησιμοποιώντας τα κελιά A2, G4 και G8 μέσω της σχέσης =$G$4+$G$8*A2 γεμίζοντας μέχρι το κελί J9 (Εικόνα 8). Στην συνέχεια προσδιορίζονται οι όροι του αθροίσματος (Y i -Y theory_i ) 2 =(ln(η) i -ln(η) theory_i ) 2 στην στήλη K 2 ξεκινώντας από το κελί K2 μέσω της σχέσης =(D2-J2)^2 γεμίζοντας μέχρι το κελί K9. Το σ Υ υπολογίστηκε στο κελί G12 μέσω της σχέσης =Κ10/(Α13-2). Χρησιμοποιώντας το κελί αυτό και τις σχέσεις (10) και (11) προσδιορίζουμε τα σ Α και σ B (=σ b ) στα κελιά G6 και H10 (Εικόνα 7). Έχοντας υπολογίσει το σ Α μπορούμε να προσδιορίσουμε το εύρος διακύμανσης ή αβεβαιότητας για το a, παίρνοντας τις δύο ακραίες τιμές για το Α, δηλαδή a max =e Amax =e (A+σA) και a min =e Amin =e (A-σA), διαδικασία η οποία γίνεται στα κελιά H6 και H8 αντίστοιχα. Το εύρος διακύμανσης του a {a max - a min } προσδιορίζεται στο κελί I6 (Εικόνα 7). Όπως και στην περίπτωση της σχέσης δύναμης, ένας διαφορετικός προσδιορισμός της αβεβαιότητας σ a μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας την σχέση μεταξύ των a και Α, [a=e A ] και την σχέση διάδοσης αβεβαιοτήτων 1, σχέση (14) του 3ου μέρους των σημειώσεων του τρέχοντος κεφαλαίου. Εφαρμόζοντας αυτή την σχέση παίρνουμε σ a =e A σ Α, από την οποία χρησιμοποιώντας τις τιμές των κελιών G4 (A) και G6 (σ Α ) προσδιορίζουμε το σ a στο κελί H4. Παρατηρούμε ότι οι αβεβαιότητες σ a προσδιοριζόμενες με τις δύο παραπάνω μεθόδους είναι σε συμφωνία μιας και το εύρος {a max - a min } επικαλύπτεται από το εύρος 2σ a (Εικόνα 7). Η παρουσίαση των τιμών Α, Β, a, a max, a min, a max -a min, b και των αντίστοιχων αβεβαιοτήτων τους πρέπει όπως και στα προηγούμενα παραδείγματα να γίνει σύμφωνα με τους κανόνες των 1 Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικής-θερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα

118 σημαντικών ψηφίων και τον καθορισμό της ακρίβειας των αβεβαιοτήτων τους. Για τον λόγο αυτό ορίζονται στα κελιά Ι2, Ι4 και Ι10 οι ακρίβειες των αβεβαιοτήτων σ A, σ a και σ b αντίστοιχα έτσι ώστε οι αβεβαιότητες να εκφράζονται με ένα σημαντικό ψηφίο με την χρήση της συνάρτησης ROUND. Στην συνέχεια με την χρήση της συνάρτησης ROUND και των κελιών Ι2, Ι4 και Ι10 μπορούν να διαφοροποιηθούν οι αντίστοιχες ποσότητες Α, Β, a, a max, a min, a max -a min και b έτσι ώστε να παρουσιάζονται με την ακρίβεια των αβεβαιοτήτων τους. Ακολούθως υπολογίζουμε τις τιμές η theory στην στήλη Μ σύμφωνα με το μοντέλο μας από την σχέση η theory =a e b T χρησιμοποιώντας τις ευρεθείσες τιμές των παραμέτρων a και b στα κελιά Η2 και G10 αντίστοιχα και τις τιμές του Τ στην στήλη Α =$H$2*EXP($G$10*A2) (Εικόνα 8). Εικόνα 8. Υπολογισμός των ln(η) theory, η theory συναφών ποσοτήτων καθώς και των και S res και S tot για τον υπολογισμό του συντελεστή R 2 και την χρήση τους στις αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις. Χρησιμοποιούμε τις τιμές η theory και Τ στις στήλες Μ και A για να προσθέσουμε μία γραφική παράσταση διασποράς με γραμμή αλλά χωρίς δείκτες (σημεία) στα δεδομένα της γραφικής παράστασης των Εικόνων 1 και 2, οπότε προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των Εικόνων 9 και 10, από τις οποίες φαίνεται ότι η προσαρμογή του μοντέλου που προτείναμε στα δεδομένα η και Τ είναι ποιοτικά πολύ ικανοποιητική. 116

119 η (mpa s) Τ ( C) Εικόνα 9. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες των δεδομένων η=f(τ) του Πίνακα 1 (σημεία) και των τιμών η theory =a e b Τ (κόκκινη γραμμή) που προέκυψαν από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης εκθετικής σχέσης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων η (mpa s) Τ ( C) Εικόνα 10. Γραφική παράσταση σε ημιλογαριθμικούς άξονες των δεδομένων η=f(τ) του Πίνακα 1 (σημεία) και των τιμών η theory =a e b Τ (κόκκινη γραμμή) που προέκυψαν από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης εκθετικής σχέσης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. 117

120 Αν θέλουμε τα σημεία της γραφικής παράστασης η theory =a e b Τ (κόκκινη γραμμή) να συνδέονται όχι με απλά ευθύγραμμα τμήματα αλλά με πιο "ομαλές" γραμμές για να δίνουν καλύτερη εντύπωση περιγραφής των ενδιάμεσων τιμών, μπορούμε στην γραφική παράσταση των δεδομένων της γραμμής χωρίς δείκτες η theory =f(t) να επιλέξουμε από την μορφοποίηση της σειράς δεδομένων στο στυλ της γραμμής "Ομαλή γραμμή", οπότε προκύπτει η αντίστοιχη Εικόνα η (mpa s) Τ ( C) Εικόνα 11. Γραφική παράσταση όμοια με αυτή της Εικόνας 7, με επιλογή "Ομαλής γραμμής" σύνδεσης των σημείων η theory =f(t) (κόκκινη γραμμή). Μπορούμε να βρούμε επίσης μία ποσοτική εκτίμηση για την ποιότητα της προσαρμογής του μοντέλου μας μέσω της τιμής του συντελεστή R 2, είτε μέσω του υπολογισμού του ln(η) theory είτε μέσω του υπολογισμού του η theory, υπολογίζοντας και χρησιμοποιώντας τις ποσότητες [ln(η)- ln(η) theory ] 2 (στήλη Κ), <ln(η)> (κελί Ι14), [ln(η)-<ln(η)>] 2 (στήλη L) και (η-η theory ) 2 (στήλη N), <η> (κελί I12), (η-<η>) 2 (στήλη O) αντίστοιχα όπως φαίνεται στις Εικόνες 7 και 8. Υπολογίζοντας τα αντίστοιχα αθροίσματα S res και S tot στα κελιά Κ10, L10 και N10, O10, καταλήγουμε σε μία τιμή για το R 2 στην περίπτωση του υπολογισμού μέσω ln(η) theory στο κελί H12 και σε μία τιμή για το R 2 στην περίπτωση του υπολογισμού μέσω του η theory στο κελί H14, τιμές οι οποίες βρίσκονται πάρα πολύ κοντά στην τιμή 1. Όπως έχουμε δει και στο προηγούμενο μέρος για την σχέση δύναμης, όταν το σφάλμα των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής δεν είναι σταθερό για όλες τις τιμές της, τότε για ακριβέστερα αποτελέσματα η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων πρέπει να εφαρμοστεί λαμβάνοντας υπόψη την "αξία" ή αλλιώς το "βάρος" κάθε τιμής της μεταβλητής μέσω μίας συνάρτησης βάρους W. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα που ακολουθούμε το φυσικό μέγεθος (η) δεν έχει σταθερές τιμές αβεβαιότητας για όλες τις τιμές του, οι οποίας βρίσκονται στην στήλη C. Είναι φανερό ότι μετά την αλλαγή μεταβλητών μέσω της σχέσης Υ=ln(η) κάθε τιμή του ln(η) έχει 118

121 και αυτή διαφορετική αβεβαιότητα. Σύμφωνα με την σχέση διάδοσης σφαλμάτων η αβεβαιότητα του Υ=ln(η) μπορεί να προσδιοριστεί με την διάδοση αβεβαιοτήτων μέσω της σχέσης: 2 σ Y =σ ln(η)={ [ln(η)]/ η}σ η =σ η /η (1) Όπως και στην περίπτωση της σχέσης δύναμης, μία καλή και ευρέως αποδεκτή επιλογή συνάρτησης βάρους είναι η: Y 1 σ W = (2) 2 Y η οποία εφαρμοζόμενη στην περίπτωση της Υ=ln(η) δίνει W=(1/σ Y 2 )=η 2 /σ η 2 (3) Λαμβάνοντας υπόψη τις (2) και (3) και εργαζόμενοι όπως στην περίπτωση της σχέσης δύναμης με την αντίστοιχη συνάρτηση βάρους στα δεδομένα η, Τ, ln(η) και σ η, υπολογίζουμε τα αθροίσματα των σχέσεων (19-21) του 3ου μέρους των σημειώσεων του τρέχοντος κεφαλαίου και τις νέες παραμέτρους κατ' αρχάς Α W, Β W και τις αβεβαιότητές τους σ ΑW και σ ΒW (σχέσεις 22-23) και από αυτές τις a W και b W, και το εύρος των αβεβαιοτήτων τους σ aw και σ bw όπως φαίνεται στην Εικόνα 12. Παρατηρούμε ότι οι αβεβαιότητες των Α και Β είναι μεγαλύτερες από αυτές που βρέθηκαν χωρίς την χρήση της συνάρτησης βάρους W, γεγονός που όπως είναι αναμενόμενο επηρεάζει με ανάλογο τρόπο και τις αβεβαιότητες των a και b οι οποίες είναι επίσης μεγαλύτερες σε εύρος από τις αντίστοιχες προηγούμενες. Οι τιμές των a και b δεν διαφοροποιούνται. Εργαζόμενοι ανάλογα, υπολογίζουμε τις τιμές των η theory από τις τιμές των νέων παραμέτρων (Εικόνα 13) της σχέσης η theoryw =a W e bw T καθώς και τα αντίστοιχα S res και S tot (Εικόνα 13). Εικόνα 12. Εύρεση των παραμέτρων Α W και Β W της σχέσης ln(η)=α W +Β W Τ, και από αυτές των παραμέτρων a W και b W της σχέσης η=a W e bw T και του εύρους των αβεβαιοτήτων τους εφαρμόζοντας την θεωρία των ελαχίστων τετραγώνων με την χρήση της συνάρτησης βάρους W. 2 Μ. Καμαράτος "Εισαγωγή στην ανάλυση πειραματικών μετρήσεων, απλά πειράματα μηχανικής-θερμότητας", Τυπογραφείο Πανεπιστημίου Ιωαννίνων, Ιωάννινα

122 Εικόνα 13. Υπολογισμός των η theoryw και S res και S tot για τον υπολογισμό του συντελεστή R 2 συνάρτησης βάρους W. με την χρήση της Χρησιμοποιούμε τις τιμές η theory και Τ για να προσθέσουμε μία γραφική παράσταση διασποράς με γραμμή αλλά χωρίς δείκτες (σημεία) στα δεδομένα της γραφικής παράστασης των Εικόνων 1 και 4, οπότε προκύπτουν οι γραφικές παραστάσεις των Εικόνων 14 και η (mpa s) Τ ( C) Εικόνα 14. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες των δεδομένων η=f(τ) του Πίνακα 1 (σημεία) και των τιμών η theoryw =a W e bw T (πράσινη γραμμή) που προέκυψαν από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης εκθετικής σχέσης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων με την χρήση της συνάρτησης βάρους. Η σύνδεση των σημείων η theory =f(τ) στην γραφική παράσταση έγινε χρησιμοποιώντας την επιλογή "Ομαλή γραμμή". 120

123 η (mpa s) Τ ( C) Εικόνα 15. Γραφική παράσταση σε ημιλογαριθμικούς άξονες των δεδομένων η=f(τ) του Πίνακα 1 (σημεία) και των τιμών η theoryw =a W e bw T (πράσινη γραμμή) που προέκυψαν από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης εκθετικής σχέσης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων με την χρήση της συνάρτησης βάρους. Από αυτές φαίνεται ότι η προσαρμογή του μοντέλου που προτείναμε στα δεδομένα η και Τ είναι ποιοτικά πολύ ικανοποιητική. Μπορούμε να βρούμε επίσης μία ποσοτική εκτίμηση για την ποιότητα της προσαρμογής του μοντέλου μας με την χρήση της συνάρτησης βάρους μέσω της τιμής του συντελεστή R 2 που εξαρτάται από τα αντίστοιχα αθροίσματα S res και S tot της Εικόνας 13 στα κελιά Y10 και Z10 αντίστοιχα. Από τις τιμές των κελιών αυτών καταλήγουμε σε μία τιμή για το R 2 μέσω του η theoryw όπως φαίνεται στην Εικόνα 13, τιμή η οποία είναι επίσης πολύ κοντά στην τιμή

124 Λογαριθμική σχέση -ημιλογαριθμική βαθμονόμηση αξόνων Ας συνεχίσουμε τώρα με την δημιουργία της γραφικής παράστασης σε γραμμικούς άξονες των φυσικών μεγεθών t και q που παρουσιάζονται στον Πίνακα 1 του 3ου μέρους των σημειώσεων. Ακολουθώντας τυπικές πλέον διαδικασίες παίρνουμε το αποτέλεσμα της Εικόνας t (s) q (C) Εικόνα 16. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες των δεδομένων t και q του Πίνακα t (s) t (s) q (C) (α) (β) Εικόνα 17. Γραφική παράσταση σε ημιλογαριθμικούς άξονες με λογαριθμική βαθμονόμηση του κατακόρυφου άξονα (α) και σε λογαριθμικούς άξονες (β) των δεδομένων t και q του Πίνακα 1. q (C)

125 Από την εικόνα αυτή φαίνεται ξεκάθαρα ότι τα φυσικά μεγέθη t και q δεν ακολουθούν γραμμική σχέση της μορφής t=a+b q. Για να αναγνωρίσουμε την γενική μορφή της αναλυτικής μαθηματικής σχέσης που συνδέει τα δύο αυτά μεγέθη, εργαζόμαστε όπως και στα προηγούμενα. Αλλάζοντας την βαθμονόμηση μόνο του κατακόρυφου άξονα της γραφικής παράστασης της Εικόνας 14, καταλήγουμε στο αποτέλεσμα που εμφανίζεται στην Εικόνα 17(α). Από αυτή παρατηρούμε ότι σε λογαριθμική κλιμάκωση μόνο του κάθετου άξονα και γραμμική βαθμονόμηση του οριζόντιου άξονα, τα σημεία της γραφικής παράστασης t=f(q) δεν έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία γραμμή. Άρα η σχέση που συνδέει τα t και q δεν είναι της μορφής t=a e b q (εκθετική). Αλλάζοντας ακολούθως και την βαθμονόμηση του οριζόντιου άξονα από γραμμική σε λογαριθμική προκύπτει η Εικόνα 17(β), από την οποία παρατηρούμε ότι πάλι τα σημεία της γραφικής παράστασης t=f(q) σε λογαριθμική βαθμονόμηση και των δύο αξόνων δεν έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία γραμμή. Επομένως η σχέση που συνδέει τα t και q δεν είναι ούτε της μορφής t=a q b (δύναμης). Η μόνη περίπτωση που δεν εξετάσαμε είναι να αφήσουμε την βαθμονόμηση στον οριζόντιο άξονα ως λογαριθμική και να αλλάξουμε την βαθμονόμηση του κάθετου άξονα από λογαριθμική σε γραμμική. Αν το κάνουμε αυτό προκύπτει η γραφική παράσταση της Εικόνας t (s) q (C) Εικόνα 18. Γραφική παράσταση των δεδομένων t και q του Πίνακα 1 σε ημιλογαριθμικούς άξονες με λογαριθμική βαθμονόμηση του οριζόντιου άξονα και γραμμική βαθμονόμιση του κάθετου άξονα. Από αυτή παρατηρούμε ότι σε ημιλογαριθμικούς άξονες με τον οριζόντιο άξονα να είναι βαθμονομημένος σε λογαριθμική κλίμακα τα σημεία t και q έχουν την τάση να σχηματίσουν ευθεία γραμμή. Έτσι συμπεραίνουμε ότι η σχέση που συνδέει τα t και q είναι μία λογαριθμική σχέση της μορφής t=b ln(q)+a. Κατά συνέπεια η επόμενη κίνησή μας είναι να προσδιορίσουμε αυτές τις παραμέτρους a και b. Αυτό θα μπορούσε να γίνει με την χρήση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων, όμως τα μεγέθη t και q, δεν συνδέονται με γραμμική σχέση, άρα δεν 123

126 μπορούμε απ' ευθείας για τα μεγέθη αυτά να εφαρμόσουμε την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Όμως, όπως έχουμε δει σε προηγούμενες παραγράφους, μπορούμε να μετασχηματίσουμε την σχέση t=b ln(q)+a σε γραμμική σχέση κάνοντας αλλαγή μεταβλητών και θέτοντας διαφορετικές παραμέτρους. Εργαζόμενοι λοιπόν ανάλογα μπορούμε να δούμε ότι η σχέση Υ=B X+A αποτελεί μία γραμμική σχέση για τις μεταβλητές Υ=t και X=ln(q), με παραμέτρους τις Α=a και Β=b. Έτσι αυτό που θα πρέπει να κάνουμε στην συνέχεια είναι να προσδιορίσουμε την νέα μεταβλητή X από την μεταβλητή q και κατ' αρχάς να δούμε αν οι t και Χ διαθέτουν όπως αναμένουμε μεταξύ τους γραμμική σχέση. Η διαδικασία παρουσιάζεται στην Εικόνα 19(α), για την οποία υπολογίσαμε τις τιμές των Χ=ln(q) στα κελιά της στήλης C από τις τιμές των κελιών της στήλης A, ξεκινώντας από το κελί C2 με την χρήση της σχέσης =LΝ(A2) και ακολουθώντας αυτόματη συμπλήρωση μέχρι το κελί C20. Το αποτέλεσμα της γραφικής παράστασης t=f[x=ln(q)] εμφανίζεται στην Εικόνα 19(β) t (s) X=ln(q) [ln(c)] (α) (β) Εικόνα 19. Προσδιορισμός των μεταβλητών X=ln(q) από το q (α) και η γραφική παράσταση t=f[x=ln(q)] σε γραμμικούς άξονες (β) με την βοήθεια των υπολογιστικών φύλλων εργασίας. Από αυτή μπορούμε εύκολα να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι όντως οι μεταβλητές t και ln(q) διαθέτουν μεταξύ τους γραμμική σχέση. Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε γι' αυτές την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Για την εφαρμογή της πρέπει να υπολογίσουμε τα [ln(q)] 2 και το γινόμενο [ln(q)] T καθώς και τα αντίστοιχα αθροίσματα των σχέσεων (7-8) του 3ου μέρους των σημειώσεων του τρέχοντος κεφαλαίου. Κατόπιν από την σχέση (9) υπολογίζουμε την τιμή του Δ στο κελί F2 και από αυτή σε συνδυασμό με όλες τις απαραίτητες υπόλοιπες τιμές 124

127 καταλήγουμε στον υπολογισμό των παραμέτρων A=a και Β=b, στα κελιά F4 και F8 αντίστοιχα όπως φαίνεται στην Εικόνα 20. Εικόνα 20. Εύρεση των παραμέτρων Α=a και Β=b της σχέσης t=β ln(q)+a, του εύρους των αβεβαιοτήτων τους, καθώς και του συντελεστή προσδιορισμού R 2 με την χρήση της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων. Από τις τιμές των a και b μπορούμε να προσδιορίσουμε τα αντίστοιχα t heory, (t-t theory ) 2 στις στήλες H και I όπως φαίνεται στην Εικόνα 21 και να παραστήσουμε τα σημεία t heory =f(q) με μορφή γραμμών (χωρίς σημεία) στα ίδια γραφήματα με τις αντίστοιχες τιμές t και q του Πίνακα 1, όπως φαίνεται στην Εικόνα 22. Από αυτή παρατηρούμε ότι η προσαρμογή των θεωρητικών καμπύλων στα πειραματικά δεδομένα είναι εξαιρετική. Μιας και οι παράμετροι της σχέσης t=b ln(q)+a είναι οι ίδιες με αυτές της σχέσης t=b Χ+A, δηλαδή a=a και b=b, οι αβεβαιότητές τους θα είναι αντίστοιχα ίδιες (σ a =σ A και σ b =σ B ). Μπορούμε να υπολογίσουμε την ποσότητα σ Υ 2 =σ t 2 στο κελί F12 μέσω της σχέσης (12) του 3ου μέρους των σημειώσεων του τρέχοντος κεφαλαίου και από αυτήν με την χρήση των σχέσεων (10) και (11) τις αβεβαιότητες σ a και σ b στα κελιά G4 και G8 αντίστοιχα, όπως φαίνεται στην Εικόνα 20. Προσδιορίζοντας τις αντίστοιχες τιμές των R res και R tot, Εικόνα 21, βρίσκουμε για το R 2 την τιμή , η οποία βρίσκεται εξαιρετικά κοντά στην τιμή

128 Εικόνα 21. Υπολογισμός των t theory και S res και S tot για τον υπολογισμό του συντελεστή R t (s) t (s) q (C) q (C) (α) (β) Εικόνα 22. Γραφική παράσταση σε γραμμικούς (α) και ημιλογαριθμικούς (β) άξονες των δεδομένων t=f(q) του Πίνακα 1 (σημεία) και των τιμών t theory =f(q) (κόκκινες γραμμές) που προέκυψαν από την εύρεση των τιμών των παραμέτρων a και b της προτεινόμενης λογαριθμικής σχέσης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Η σύνδεση των σημείων t theory =f(q) στην γραφική παράσταση (α) έγινε χρησιμοποιώντας την επιλογή "Ομαλή γραμμή". 126

129 Κεφάλαιο 3-Προγράμματα Υπολογιστικών Φύλλων Εργασίας Μέρος 5ο Γραμμή Τάσης Εύρεση των τιμών των παραμέτρων αναλυτικών μαθηματικών σχέσεων μέσω της διαδικασίας προσαρμογής θεωρητικών σχέσεων σε δεδομένα γραφικών παραστάσεων Η εφαρμογή των επιλογών της "γραμμής τάσης" με την βοήθεια των υπολογιστικών φύλλων εργασίας σε δεδομένα που συνδέονται με γραμμική σχέση, σχέση δύναμης, εκθετική και λογαριθμική σχέση. Όπως έχουμε πει και στα προηγούμενα, ένας από τους βασικούς σκοπούς της απεικόνισης των δεδομένων σε μία γραφική παράσταση είναι ο προσδιορισμός της αναλυτικής μαθηματικής σχέσεις που συνδέει τις μεταβλητές ή τα φυσικά μεγέθη που έχουμε παρατήσει στο γράφημα. Ο τρόπος επιλογής της κατάλληλης κατηγορίας μαθηματικών σχέσεων για την προσαρμογή των δεδομένων της γραφικής παράστασης έχει περιγραφεί αναλυτικά σε προηγούμενες παραγράφους, ενώ ο προσδιορισμός των αριθμητικών τιμών των παραμέτρων έχει γίνει έως τώρα χρησιμοποιώντας την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (ΜΕΤ), είτε απ' ευθείας στα δεδομένα μας, όταν αυτά φαίνεται από την γραφική παράσταση ότι ακολουθούν γραμμική σχέση είτε μετά από κατάλληλη αλλαγή μεταβλητών. Στα επόμενα θα δούμε μία μέθοδο, η οποία είναι ενσωματωμένη στα προγράμματα υπολογιστικών φύλλων δεδομένων, με την οποία μπορούμε να προσαρμόσουμε συγκεκριμένες θεωρητικές μαθηματικές σχέσεις στα δεδομένα γραφικών παραστάσεων και ταυτόχρονα να πάρουμε τα αριθμητικά αποτελέσματα των τιμών των παραμέτρων των σχέσεων αυτών. Η μέθοδος που ακολουθούμε λέγεται εφαρμογή της "γραμμής τάσης" στα δεδομένα της γραφικής παράστασης. Είναι πολύ απλή στην διαδικασία εφαρμογής της, αλλά η σωστή χρήση και επιτυχία της απαιτεί να προσδιορίσουμε αρχικά την γενική μορφή της μαθηματικής σχέσης που συνδέει τα δεδομένα μας στην γραφική παράσταση, όπως κάναμε και στην εφαρμογή της ΜΕΤ. Από την άλλη μεριά δεν χρειάζεται να προβούμε σε καμία διαδικασία αλλαγής μεταβλητών για να εφαρμόσουμε την συγκεκριμένη μέθοδο. Όπως και στην ΜΕΤ έτσι κι εδώ, από την τάση σχηματισμού ευθείας γραμμής των δεδομένων μας στην γραφική παράσταση, πρέπει να έχουμε αποφασίσει αν τα δεδομένα μας ακολουθούν μία από τις τέσσερις γενικές αναλυτικές μαθηματικές σχέσεις που μπορεί κάποιος να αναγνωρίσει έχοντας τα δεδομένα του είτε σε γραφική παράσταση σε γραμμικούς άξονες, είτε μεταβάλλοντας κατάλληλα την βαθμονόμηση των αξόνων από γραμμική σε λογαριθμική. Οι τέσσερις αυτές μαθηματικές σχέσεις είναι η γραμμική σχέση y=b x+a, η σχέση δύναμης y=a x b, η εκθετική σχέση y=a e b x και η λογαριθμική σχέση y=b ln(x)+a. Η εφαρμογή της γραμμής τάσης από τα αντίστοιχα λογισμικά των υπολογιστικών φύλλων ενεργοποιεί κάποιους αλγόριθμους υπολογισμών παρόμοιους με αυτούς που ακολουθούνται στην ΜΕΤ, με την διαφορά ότι στην περίπτωση της γραμμής τάσης όλες οι διαδικασίες γίνονται εσωτερικά από το λογισμικό, το οποίο και επιστρέφει την συγκεκριμένη γραμμή προσαρμογής 127

130 των δεδομένων στην γραφική παράσταση, καθώς και τις τιμές των παραμέτρων της μαθηματικής σχέσης που έχει επιλεγεί από τον χρήστη. Γραμμική σχέση Ξεκινώντας το πρώτο παράδειγμα από τα δεδομένα v και t του Πίνακα 1 (μέρος 3ο) παρατηρούμε στην Εικόνα 1(α) ότι τα σημεία των ζευγών τιμών αυτών στην γραφική παράσταση v=f(t) σε γραμμικούς άξονες τείνουν να σχηματίσουν ευθεία γραμμή. Άρα η σχέση που συνδέει τα v και t είναι της μορφής y=b x+a όπου y=v, x=t και a, b οι παράμετροι. Έχοντας λοιπόν αποφασίσει για την γενική μορφή της σχέσης που συνδέει τα v και t μπορούμε να πάμε απ' ευθείας στην προσαρμογή των σημείων της γραφικής παράστασης της Εικόνας 1(α) με εφαρμογή της γραμμής τάσης v (cm/s) t (s) (α) (β) Εικόνα 1. Γραφική παράσταση των δεδομένων v=f(t) του Πίνακα 1 (μέρος 3ο) (α) και επιλογή των δεδομένων της σειράς για την προσαρμογή σε αυτά της γραμμής τάσης (β). Επειδή η εφαρμογή της γραμμής τάσης μπορεί να αφορά διαφορετικές "σειρές δεδομένων" που έχουμε παραστήσει στο γράφημά μας είναι καλό να επιλέγουμε τα δεδομένα στα οποία θέλουμε να προσαρμόσουμε μία γραμμή τάσης. Αν έχουμε μόνο μία σειρά δεδομένων όπως αυτή στην Εικόνα 1 δεν υπάρχει ζήτημα για το ποια δεδομένα θα προσαρμοστούν με την προτεινόμενη γραμμή τάσης, όμως όταν έχουμε περισσότερες από μία σειρές δεδομένων στο ίδιο γράφημα θα πρέπει να προσδιορίζουμε σε ποια δεδομένα θα προσαρμόσουμε την γραμμή τάσης που θα επιλέξουμε. Η επιλογή γίνεται κάνοντας κλικ σε ένα από τα σημεία της σειράς δεδομένων που επιθυμούμε να προσαρμόσουμε την γραμμή τάσης, οπότε όλα τα σημεία της σειράς επιλέγονται με ένα γραμμοσκιασμένο τετράγωνο γύρω από το καθένα όπως φαίνεται στην Εικόνα 1(β). Μετά την επιλογή των δεδομένων και για την εφαρμογή μίας γραμμής τάσης σε αυτά επιλέγουμε: Μενού Διάταξη (Εργαλειοθήκη) Ανάλυση Γραμμή τάσης Περισσότερες γραμμές τάσης, όπως φαίνεται στην Εικόνα 2, οπότε εμφανίζεται το παράθυρο της Εικόνας

131 Εικόνα 2. Διαδικασία επιλογής γραμμής τάσης μετά την επιλογή των δεδομένων της γραφικής παράστασης τα οποία και θα προσαρμόσει. Εικόνα 3. Παράθυρο καθορισμού και επεξεργασίας της γραμμής τάσης. Η προκαθορισμένη επιλογή μαθηματικής σχέσης για την γραμμή τάσης έχει καθοριστεί από το λογισμικό να είναι η "Γραμμική" σχέση, την οποία και επιλέγουμε στο αντίστοιχο κουμπάκι του 129

132 παραθύρου. Παρατηρούμε ότι ήδη μία γραμμή τάσης έχει προστεθεί στα δεδομένα της γραφικής μας παράστασης τα οποία και περιγράφει (Εικόνα 4). Για να δώσουμε στο λογισμικό την εντολή να μας παρουσιάσει και τις παραμέτρους της μαθηματικής εξίσωσης (y=bx+a) με την οποία έχει προσαρμόσει τα δεδομένα μας πρέπει να πατήσουμε κλικ στην επιλογή "Προβολή εξίσωσης στο γράφημα" (Εικόνες 3-4). Παρατηρείστε ότι η εξίσωση δίνεται στην μορφή y=bx+a, με το y να αντιστοιχεί σε όποιες τιμές έχουμε παραστήσει στον κατακόρυφο άξονα και το x στον οριζόντιο άξονα αντίστοιχα. Αν θέλουμε να πάρουμε και την τιμή του R 2 κάνουμε κλικ στην πιο κάτω επιλογή "Εμφάνιση τιμής R-τετράγωνο στο γράφημα" (Εικόνες 3-4). Εικόνα 4. Εμφάνιση της γραμμής τάσης γραμμικής σχέσης στην γραφική παράσταση των δεδομένων και επιλογές προβολής της εξίσωσης και της τιμής του R 2 στο γράφημα. Εικόνα 5. Επιλογές μορφοποίησης του πλαισίου της εξίσωσης (ετικέτας) της μαθηματικής σχέσης που της αντιστοιχεί. Η μορφή της γραμμής τάσης μπορεί να καθοριστεί από τους αντίστοιχους τίτλους "Χρώμα γραμμής" και "Στυλ γραμμής" στο αριστερό μέρος του παραθύρου "Μορφοποίηση γραμμής τάσης", όπως φαίνεται στην Εικόνα 4. Η μορφή του πλαισίου της εξίσωσης και του R 2 (ετικέτας) 130

133 μπορεί επίσης να καθοριστεί από τους αντίστοιχους τίτλους "Γέμισμα", "Χρώμα περιγράμματος", "Στυλ περιγράμματος" κτλ του παραθύρου "Μορφοποίηση ετικέτας γραμμής τάσης" μετά την επιλογή του πλαισίου αυτού στην γραφική παράσταση. Η γραμματοσειρά, το χρώμα και το μέγεθος των χαρακτήρων του πλαισίου καθορίζεται από την αντίστοιχη εργαλειοθήκη στο μενού Κεντρική. Τέλος, η ακρίβεια των τιμών των παραμέτρων a και b της μαθηματικής σχέσης που αντιστοιχεί στην γραμμή τάσης και του R 2 μπορεί να καθοριστεί από τον τίτλο "Αριθμός" του παραθύρου "Μορφοποίηση ετικέτας γραμμής τάσης", όπως φαίνεται στην Εικόνα 5. Παρατηρείστε ότι τα αποτελέσματα των αριθμητικών παραμέτρων και του R 2 που μας δίνει η γραμμή τάσης βρίσκονται σε απόλυτη συμφωνία με τις τιμές που προέκυψαν από την ΜΕΤ (μέρος 3ο) στα όρια της αβεβαιότητας που καθορίστηκε για τις τιμές αυτές. Η συνάρτηση LINEST Όταν μία σειρά δεδομένων x-y ακολουθεί μία γραμμική σχέση της μορφής y=b x+a μπορούμε να βρούμε τις παραμέτρους a και b της εξίσωσης, τις αβεβαιότητές τους καθώς και κάποια άλλα στατιστικά στοιχεία όπως το R 2 με την χρήση μίας μόνο συνάρτησης η οποία χρησιμοποιεί την ΜΕΤ μέσω της εκτέλεσης κάποιου αλγορίθμου από το λογισμικό. Η συνάρτηση αυτή έχει όνομα LINEST και τέσσερα διαφορετικά μέρη στο όρισμά της, διαχωριζόμενα με τον χαρακτήρα ";". Η σύνταξη της συνάρτησης έχει ως εξής: "=LINEST(τιμές y;τιμές x;true;true)" όπου οι τιμές y αφορούν το πεδίο τιμών των εξαρτημένων μεταβλητών π.χ. στην προκειμένη περίπτωση τα κελιά των τιμών v, δηλαδή Β2:Β17, οι τιμές x αφορούν το πεδίο τιμών των ανεξάρτητων μεταβλητών π.χ. στην προκειμένη περίπτωση τα κελιά των τιμών t, δηλαδή A2:A17. Η έκφραση TRUE για το τρίτο μέρος του ορίσματος αφορά στην επιλογή της εύρεσης της τιμής της παραμέτρου a (TRUE για την εύρεση, αλλιώς FAULSE για την υποχρεωτική χρήση της τιμής a=0). Η έκφραση TRUE για το τέταρτο μέρος του ορίσματος αφορά στην επιλογή της απόδοσης των στατιστικών στοιχείων (TRUE για την απόδοση, αλλιώς FAULSE για την μη απόδοση). Η χρήση της συνάρτησης LINEST είναι σχετικά πιο περίπλοκή από την συνηθισμένη χρήση συναρτήσεων μιας και γίνεται με την μορφή πίνακα. Μετά την σωστή σύνταξή της και επιλογή των τιμών y και x στα αντίστοιχα ορίσματα καθώς και την επιλογή TRUE;TRUE για το τρίτο και τέταρτο μέρος του ορίσματος, επιλέγεται μία περιοχή κελιών που περιέχει το κελί συγγραφής της συνάρτησης και τα τέσσερα παρακάτω κελιά στην ίδια στήλη καθώς και τα πέντε κελιά στην αμέσως διπλανή στήλη προς τα δεξιά (Εικόνα 6). Ακολούθως πληκτρολογείται το πλήκτρο F2 του πληκτρολογίου και στην συνέχεια ο συνδυασμός των πλήκτρων Ctrl+Shift+Enter. Στα δέκα επιλεγέντα κελιά εμφανίζονται τα αποτελέσματα. Σε αυτά με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, τα δύο κελιά της πρώτης γραμμής αφορούν τις τιμές b και a. Tα επόμενα δύο κελιά της δεύτερης γραμμής αφορούν τις τιμές σ b και σ a. Tα επόμενα δύο κελιά της τρίτης γραμμής αφορούν τις τιμές R 2 και το τυπικό σφάλμα εκτίμησης της τιμής του y, δηλαδή την τιμή (σ y 2 ) 1/2. Tα επόμενα δύο κελιά της τέταρτης γραμμής αφορούν τις στατιστικές τιμές της "στατιστικής παρατήρησης F" και των βαθμών ελευθερίας (df) του συστήματος τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως δεδομένα για τον έλεγχο της συσχέτισης των ποσοτήτων x και y (F-test). Tα τελευταία δύο κελιά της πέμπτης γραμμής αφορούν τις τιμές R tot και R res. 131

134 Αν εφαρμόσουμε την συνάρτηση LINEST με την σύνταξη =LINEST(B2:B17;A2:A17;TRUE;TRUE) στα δεδομένα της Σειράς 1 του Πίνακα 1 και ακολουθήσουμε τις παραπάνω διαδικασίες παίρνουμε τα αποτελέσματα της Εικόνας 6. Εικόνα 6. Τιμές των παραμέτρων a και b, των αβεβαιοτήτων τους καθώς και άλλων στατιστικών στοιχείων όπως προκύπτουν από την εφαρμογή της συνάρτησης LINEST στα δεδομένα v και t της Σειράς 1 του Πίνακα 1. Παρατηρείστε ότι οι τιμές των παραμέτρων a και b, των αβεβαιοτήτων τους καθώς και των άλλων στατιστικών στοιχείων βρίσκονται πολύ κοντά σε αυτές που προέκυψαν εφαρμόζοντας την ΜΕΤ βήμα προς βήμα στα δεδομένα της Σειράς 1. Έτσι η συνάρτηση LINEST μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως μία άλλη μέθοδος επιβεβαίωσης των αποτελεσμάτων που πήραμε με την χρήση των προηγούμενων διαδικασιών. Σχέση δύναμης Εργαζόμενοι ανάλογα για την δημιουργία των γραφικών παραστάσεων των δεδομένων υ ορ και r του Πίνακα 1 (μέρος 3ο) σε γραμμικούς και λογαριθμικούς άξονες παίρνουμε τα αποτελέσματα της Εικόνας υορ (cm/s) υορ (cm/s) r (mm) 0.1 r (mm) (α) (β) Εικόνα 7. Γραφικές παραστάσεις των δεδομένων υ ορ =f(r) του Πίνακα 1 (μέρος 3ο) σε γραμμικούς (α) και λογαριθμικούς (β) άξονες. 132