تحلیل میدانی سیستمهای الکترومغناطیسی با در نظر گرفتن پدیدۀ هیسترزیس به

Transcript

1 تحلیل میدانی سیستمهای الکترومغناطیسی با در نظر گرفتن پدیدۀ هیسترزیس به روش اجزاء محدود اسماعیل فلاح جواد شکرالهی مغانی قطب علمی قدرت دانشکده برق دانشگاه صنعتی امیرکبیر چکیده - در این مقاله روش عملی مناسبی اراي ه شده است که ضمن حل میدان الکترومعناطیسی در یک ترانسفرمر رفتار هیسترزیس برای تکتک نقاط ماده مدل میشود. برای حل میدان از روش اجزاء محدود دو بعدی استفاده شده است و برای بیان هیسترزیس مدل پریزاک اسکالر مورد استفاده قرار گرفته است. مزیت مهم روش اراي ه شده توانایی آن در تعیین دقیق تلفات هسته میباشد که به همراه تعیین دقیق توزیع تلفات هسته در نقاط مختلف ابزار مناسبی جهت اراي ه تحلیلهای دقیق حرارتی در اختیار میگذارد. نزدیکی نتایج مدلسازی و آزمایش نشاندهندۀ اعتبار مدلسازی میباشد. کلید واژه- میدان الکترومغناطیسی- اجزاءمحدود دوبعدی- هیسترزیس مغناطیسی- مدل پریزاک. 1- مقدمه امروزه طراحی بهینه سیستمهای الکترومغناطیسی با توجه به قیمت رو به افزایش انرژی از اهمیت ویژهای برخوردار شده است. به این منظور اراي ه مدلهایی که بتوانند در مرحله طراحی رفتار سیستمهای الکترومغناطیسی را بطور دقیق پیشبینی کنند مورد توجه قرار گرفته است. از مواردی که در مدل کردن دقیق رفتار سیستمهای الکترومغناطیسی اهمیت دارد نحوه مدل کردن رفتار مواد مغناطیسی بکار رفته در آنهاست. در کارهای اولیه انجام شده در این زمینه معمولا مدل ساده- ای برای ماده مغناطیسی در نظر گرفته میشد. در بسیاری از این کارها ماده مغناطیسی با در نظر گرفتن ضریب گذردهی مغناطیسی ثابت مدل میشد[ 1 ] یا حداکثر با در نظر گرفتن یک منحنی اشباع تکمقداره مورد مدلسازی قرار میگرفت[ ]. از اواخر دهه هشتاد میلادی با پیشرفت فناوری کامپیوتر امکان اینکه مدل مواد مغناطیسی کاملتر در نظر گرفته شود ایجاد شد. شاخصترین رفتاری که مواد مغناطیسی از خود نشان میدهند رفتار هیسترزیس میباشد که در سادهترین حالت موجب میشود مسیر بدون مغناطیس شدن ماده از مسیر مغناطیسی شدن آن تفاوت پیدا کند. از میان مدلهایی که برای بیان رفتار هیسترزیس ابداع شدهاند دو مدل پریزاک (Preisach) و جیلز-اترتون (Jiles-Atherton) بعلت مزایایی مثل در نظر گرفتن ماهیت فیزیکی پدیده هیسترزیس (نه فقط ماهیت ریاضی آن) و همچنین آسانی شناسایی پارامترهای مدل عمومیت بیشتری یافتهاند. مدل پریزاک نسبت به مدل جیلز-اترتون از جامعیت بیشتری در بیان پیچیدگیهای رفتاری مواد مغناطیسی برخوردار است. بعنوان مثال با مدل پریزاک می- توان حلقههای کوچک نامتقارن را مدل کرد در حالیکه با مدل جیلز-اترتون این کار به سختی امکانپذیر است[ 3 ]. در این مقاله روش جدیدی برای مدلسازی اجزاءمحدود

2 out out Be ( H ) Bi ( H ) out Be ( H ) F ( H ) = out B ( H ) e 0 < H < H H sat sat < H < 0 () سیستمهای دارای هیسترزیس اراي ه شده است. برای این منظور یک ترانسفرمر تکفاز زرهی به روش اجزاءمحدود دوبعدی مورد مدلسازی قرار گرفته است. برای بیان رفتار هیسترزیس از مدل پریزاک اسکالر استفاده شده است. در بخش دوم مدل پریزاک اسکالر و نحوۀ آزمایش جهت شناسایی مدل برای یک ترانسفرمر نمونه به اختصار شرح داده شده است. در قسمت سوم معادلات حاکم بر سیستم الکترومغناطیسی دوبعدی و نحوه وارد کردن مدل پریزاک در آن بحث شده است. در قسمت چهارم نتایج مدلسازی ترانسفرمر نمونه آورده شده است. - مدل پریزاک اسکالر در این مقاله برای مدل کردن پدیدۀ هیسترزیس در حالت شبه ایستا از مدل پریزاک اسکالر استفاده شده است. در این مدل فرض میگردد که مادۀ مغناطیسی از تعداد زیادی دوقطبی مغناطیسی مستقل از هم تشکیل شده است که مشخصە مغناطیسی هر یک از آنها بصورت حلقە هیسترزیس ایدهآل میباشد[ 4 ]. بیانهای متفاوتی برای این مدل وجود دارد که در این مقاله از شکل ساده شدۀ آن استفاده شده است[ 5 ]. خلاصهای از این بیان در این قسمت آورده شده است. اگر قسمتهای مختلف حلقە هیسترزیس مطابق شکل (1) نامگذاری شوند قسمت پایین روندۀ آن بصورت زیر قابل بیان میباشد: در آن که B e out (H) و B i out (H) به ترتیب قسمتهای پایینرونده و بالاروندۀ بزرگترین حلقە هیسترزیس میباشند. این اطلاعات با آزمایشی که در مرجع [5] بیان شده برای یک ترانسفرمر تکفاز زرهی 0V/6V بدست آمد. ابعاد این ترانسفرمر در شکل و مدار آزمایش در شکل 3 نشان داده شده است: شکل : ابعاد ترانسفرمر تکفاز زرهی نمونه شکل 3: مدار مورد استفاده برای اندازهگیری ولتاژ و جریان ترانسفرمر جهت تعیین حلقە هیسترزیس مربوط به هسته ترانسفرمر برای افزایش دقت در نتایج آزمایش و همچنین محاسبات پس از آن سیمپیچ ثانویه ترانسفرمر که محدودۀ جریانی بالاتری نسبت به اولیه آن دارد مورد تحریک قرار گرفت. آزمایش فوق از مراحل زیر تشکیل میشود: B e ( H ) = [ F( H max ) F( H )] [ F( H max ) F( H )] [ F( H ) F( H )]...0 H H max... H max H 0 (1) شکل 1: نامگذاری قسمتهای مختلف حلقە هیسترزیس تابع F(H) در رابطە فوق بصورت زیر قابل شناسایی است: الف- در حالی که همە کلیدها باز هستند کلید بسته S A میشود و شکل موج ولتاژ و جریان ترانسفرمر توسط یک اسکوپ حافظهدار ضبط میشود. برای ترانسفرمر مورد آزمایش این شکل موج در شکل 4 نشان داده شده است. از

3 رابطە زیر شار در پیوند با سیمپیچ ترانسفرمر محاسبه میشود: t λ( t) λ0 = sh T ) 0 ( V ( R + R i) dt R T (3) که در آن مقاومت داخلی سیمپیچ ترانس و شار λ 0 پسماند میباشد. شکل موج نشان داده شده برای تعیین قسمتی از حلقە هیسترزیس که جریان از صفر تا حداکثر زیاد میشود استفاده میگردد ) max.(i: 0 I شکل 5: بزرگترین حلقە هیسترزیس ورق ترانس بدست آمده از آزمایش حداقل اطلاعات لازم برای شناسایی تابع F(H) به کمک این اطلاعات تابع F(H) بصورتی که در شکل 6 نشان داده شده تعیین گردید. بعلت تقارن حلقە هیسترزیس رابطە قسمت بالا روندۀ این حلقه بصورت زیر قابل بیان است: Bi ( H ) = Be ( H ) (4) شکل 4: شکل موج ولتاژ و جریان اندازهگیری شده رابطە قسمت مغناطیس شدن ابتدایی هم بصورت زیر قابل بیان است[ 5 ]: Bm ( H ) = ( B ( H ) + B ( H )) e i 4Be ( H ) (5) S 1 ب- کلید بسته میشود و S A حداکثر به صفر برسد 0) max.(i: I باز میشود تا جریان از ج- کلید S 1 باز میشود و کلید S B بسته میشود تا جریان از صفر به قرینە حداکثر برسد ) max :i). 0 I- د- کلید S بسته میشود و کلید S B باز میشود تا جریان از قرینە حداکثر به صفر برسد (0 max :i). I- قبل از قراي ت نهایی فرایند فوق چند بار تکرار میشود تا سیستم به حالت پایدار برسد و حلقە هیسترزیس بدست آمده متقارن شود. در شکل 5 اطلاعات بزرگترین حلقە هیسترزیس بدست آمده از این طریق نشان داده شده است. حلقە هیسترزیسی که به این ترتیب بدست میآید در اصطلاح حلقە هیسترزیس شبه استاتیکی نامیده میشود. به این معنی که اثر چاقتر شدن حلقە هیسترزیس در اثر پدیدههای دینامیکی (جریانهای گردابی و تلفات اضافی) به این روش حذف میشود. شکل 6: تابع F(H) بدست آمده از آزمایش 3- پیادهسازی رفتار هیسترزیس در مدل میدانی سیستم الکترومغناطیسی معادلات حاکم بر یک سیستم الکترومغناطیسی را میتوان بصورت زیر نوشت:

4 H = J s B = A (6) (7) که در آن H بردار شدت میدان مغناطیسی B بردار چگالی شار مغناطیسی J بردار s چگالی شدت جریان و A پتانسیل مغناطیسی برداری باشد. در این مقاله از روش fixed-point برای پیادهسازی مدل هیسترزیس در معادلات اجزاءمحدود استفاده شده است[ 6 ]. در این روش معادلە حاکم بر یک مادۀ فرومغناطیسی بصورت زیر خطیسازی میشود: H =νb R (8) که در آن ν یک ضریب ثابت است و معمولا مقدار آن به گونهای انتخاب میشود که سرعت همگرایی را حداکثر کند. متغیر R نیز با توجه به رابطە غیرخطی بین B و H در هر نقطه از منحنی هیسترزیس تعیین میشود. (8) تا (6) ترکیب روابط به بیان زیر برای معادلات حاکم بر سیستم الکترومغناطیسی منتهی میشود: ν A = J s + R (9) در سیستمهای الکترومغناطیسی دوبعدی معادلە فوق قابل خلاصه شدن به شکل زیر است: A R ( z A z y R ν + ) = J ( x ) sz + (10) با اعمال روش باقیماندههای موزون (گالرکین) معادلە دیفرانسیلی فوق تبدیل به معادلە ماتریسی زیر میشود: [ K ][ A] = [ J s ] + [ G([A]) ] (11) که در آن: N N i j N N i j K ij = ν ( + ) dxdy e Se J si = e Se Ni J szdxdy N = i N G i i ( Ry Rx ) dxdy e Se (1) (13) (14) تابع شکل و N i که S e سطح یک المان میباشد. ماتریس [K] که در رابطە (11) وجود دارد یک ماتریس ثابت است و میتوان یک بار خارج از حلقههای تکرار آن را محاسبه و معکوس نمود سپس ذخیره کرد. به این ترتیب در محاسبات تا اندازۀ زیادی صرفه جویی خواهد شد. بر اساس این روابط میتوان الگوریتم زیر را برای مدلسازی سیستم پیشنهاد نمود: قدم 1: ماتریس [K] تشکیل و معکوس آن محاسبه شود و ذخیره گردد. قدم : برای لحظە زمانی t بردار چگالی جریان منبع J] s ] t محاسبه شود. قدم 3: بردار [G([A])] با مقادیر پتانسیل محاسبه شده در لحظە زمانی قبل یعنی 1-t [A] مقداردهی اولیه شود. قدم 4: برای هر گام زمانی مراحل زیر باید تکرار شوند تا معیار همگرایی برآورده گردد (خطای همگرایی کوچکتر از مقدار دلخواه شود): قدم 1-4: محاسبە [A] i بردار پتانسیل هر تکرار از رابطە. [K][A] i =[Js] t +[G([A] i-1 )] محاسبە -4: قدم B i چگالی شار عناصر مادۀ مغناطیسی از رابطە. B i A = i هر تکرار برای همە قدم 3-4: محاسبە شدت میدان مغناطیسی به کمک مدل پریزاک برای همە عناصر مادۀ مغناطیسی. R i متغیر محاسبە :5-4 قدم مغناطیسی از رابطە. R i =νb i -H i برای همە عناصر مادۀ قدم 6-4: محاسبە بردار [( i [G([A] از رابطە (14). قدم 7-4: محاسبە خطای همگرایی از رابطە زیر: Hi Hi 1 Error = H element i (15) قدم 5: اگر معیار همگرایی برآورده شد زمان یک گام زمانی به جلو برود و فرایند حل به قدم بازگردد. -4 مدلسازی هیسترزیس در ترانسفرمر نمونه مشبندی مدل اجزاءمحدود نشان داده شده است. ترانسفرمر نمونه در شکل 7 برای کاهش حجم محاسبات با استفاده از تقارنهای موجود در سیستم تنها یکچهارم آن برای مدلسازی مورد استفاده قرار گرفته است. یک برنامە

5 کامپیوتری بر اساس الگوریتم بیان شده در بخش 3 نوشته شد و به کمک آن مدل اجزاء محدود سیستم پیادهسازی گردید. با ترکیب معادلە حاکم بر مدار خارجی و معادلات اجزاء محدود امکان اتصال به مدار خارجی در برنامە کامپیوتری نوشته شده لحاظ گردید. شکل 9: منحنی مغناطیسی برای المان پررنگ شده در شکل 6 شکل 7: مشبندی مدل اجزاءمحدود ترانس تکفاز زرهی مشابه روشی که در بخش برای اندازهگیری حلقە هیسترزیس ترانسفرمر توضیح داده شد یک منبع ولتاژ DC با دامنە U=7.5V بطور متوالی بصورت مستقیم و معکوس به دو سر سیمپیچ ترانسفرمر در مدل اجزاء محدود اعمال گردید. استفاده از این نوع تغذیه باعث میشود تا مشابه آزمایش اثر پدیدههای دینامیکی (جریان گردابی و تلفات اضافی) قابل صرفنظر کردن باشد. نتایج تحلیل سیستم در شکلهای 8 تا 10 آورده شده است. در شکل 8 حداکثر چگالیشار نقاط مختلف هسته بصورت نمودار رنگی نشان داده شده است. در شکل 10 نیز شار در پیوند با سیمپیچی نسبت به جریان عبوری از آن رسم شده است. حلقە هیسترزیس بدست آمده از این طریق با حلقە هیسترزیس بدست آمده از آزمایش مقایسه شده است. همانطور که مشاهده میشود نزدیکی خوبی بین نتیجە مدلسازی و آزمایش وجود دارد. شکل 10: نمودار شار درپیوند با سیمپیچی نسبت به جریان با محاسبە سطح حلقە هیسترزیس در هر عنصر میتوان تلفات هیسترزیس آن عنصر را محاسبه کرد. توزیع تلفات هیسترزیس بصورت نمودار رنگی در شکل 11 نشان داده شده است. همانطور که مشاهده میشود تلفات هیسترزیس در نقاطی که دامنە چگالی شار حداکثر است بیشترین مقدار را دارد و این امر مطابق انتظار است. مزیت این نوع محاسبە توزیع تلفات هیسترزیس آن است که نیاز به استفاده از روابط تجربی مانند فرمول اشتینمتز (Steinmetz) را رفع میکند. مجموع تلفات هیسترزیس همە عناصر تلفات کل هیسترزیس را بدست خواهد داد که در مورد اخیر این مقدار با محاسبه P Hys 064.= W بدست 9 شکل شکل 8: حداکثر چگالی شار نقاط مختلف هسته مسیر مغناطیسی را برای المان پررنگ شده در شکل 8 بعنوان نمونه نشان میدهد.

6 Electromagnetic, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 14, p.p , [] Yu, C.H.; Basak, A.; Optimum Design of Transformer Cores Analyzing Flux and Iron Loss with the Aid of a Novel Software, IEEE Trans. on Magnetics, vol. 9, no., p.p , [3] Liorzou, F.; Phelps, B.; Atherton, D.,L.; Macroscopic Models of Magnetization, IEEE Trans. on Magnetics, vol. 36, no., p.p , 000. [4] Mayergoyz, I.D.; Mathematical Models of Hysteresis, 3 d Edition, Springer-Verlag, [5] Naidu, S.R.; Simulation of the Hysteresis Phenomenon Using Prisach s Theory, IEE Proceedings, vol. 137, pt. A, no., p.p , [6] Ionita, V.; Cranganu, B.; Ioan, D.; Quasi-Stationary Magnetic Field Computation in Hysteresis Media, IEEE Trans. on Magnetics, vol. 3, no. 3, p.p , آمد. این مقدار از آزمایش P Hys 07.= W خطایی به اندازۀ % را نشان میدهد. بدست آمد که شکل 11: توزیع تلفات هیسترزیس در سطح هسته. 5- نتیجهگیری پیشبینی دقیق رفتار سیستمهای الکترومغناطیسی مستلزم بکارگیری مدلهای جامع و دقیق برای مواد فرومغناطیسی بکار رفته در آنها میباشد. در این مقاله راه عملی مناسبی برای پیادهسازی مدل پریزاک اسکالر در روش اجزاء محدود پیشنهاد گردید. برای شناسایی صحیح مدل پریزاک آزمایش مناسبی انجام شد که اثر پدیدههای دینامیکی (جریان گردابی و تلفات اضافی) در چاقتر کردن حلقە هیسترزیس حذف شود. جهت پیادهسازی مدل هیسترزیس در معادلات اجزاءمحدود از روش fixed-point استفاده شد که نیاز به محاسبه و معکوس کردن ماتریس سختی در تکرارهای متوالی ندارد و به همین دلیل حجم محاسبات را تا حد زیادی کاهش میدهد. چون شار و جریانی که از دو سر سیمپیچی دیده میشود در حقیقت برآیند چگالی شار و شدت میدان در همە نقاط هسته میباشد به همین دلیل درستی مقادیر شار در پیوند و جریان عبوری از سیمپیچ به نوعی درستی نتایج حل میدان در همە نقاط هسته را نشان میدهد. اطمینان از درستی این مقادیر با مقایسە نتایج آزمایش و خروجی نرمافزار حاصل گردید. با بکارگیری روش اراي ه شده میتوان تلفات هیسترزیس و توزیع آن را در هسته با دقت بالایی محاسبه نمود. امکان یک تحلیل حرارتی دقیقی از هسته با دانستن توزیع تلفات هسته امکان پذیر میباشد. مراجع [1] Simkin, J.; Trowbridge, C. W.; On the Use of the Scalar Potential in the Numerical Solution of Field Problems in