( )= ( ) ( ) ( 1) ( d) d w و ( ) =

Transcript

1 اراي ه روش جدید بدون شبکه نیمه ضمنی ذرات متحرك (MPS) با ضریب پنالتی براي حل معادلات دیفرانسیلی بیضوي خلاصه در این تحقیق روش جدید بدون شبکه نیمه ضمنی ذرات متحرك (MPS) با ضریب پنالتی براي حل معادلاتدیفرانسیلی بیضوي اراي ه شده است. روشهاي معمول MPS براي اعمال شرایط مرزي از چند لایه ذره مجازي که در اطراف ناحیه مسي له قرار میگیرند استفاده میکنند. معادلات دیفرانسیلیحاکم برناحیه مسي له در ذرات مجازي اعمال نمیشوند از این جهت استفاده از این ذرات باعث افزایش هزینه محاسباتی گسستهسازي و حل میگردد. در این مطالعه از روش ضریب پنالتی براي اعمال شرایط مرزي استفاده شده است در نتیجه نیازي به ذرات مجازي نبوده و هزینه محاسباتی روش کاهش مییابد. با حل مثالهاي عددي در زمینه مساي ل هیدرولیکی کارایی و دقت روش نشان داده شده است. نتایج حاصل از حل مثالهاي عددي نشان میدهند که با حفظ دقت هزینه محاسباتی الگوریتم پیشنهادي نسبت به روشهاي معمول MPS کاهش مییابد. کلمات کلیدي: روش بدون شبکه روش نیمه ضمنی ذرات متحرك (MPS) روش ضریب پنالتی معادلات دیفرانسیلی بیضوي. مقدمه 1. در سالهاي اخیر روشهاي بدون شبکه براي حل معادلات مشتقات جزي ی حاکم بر پدیدههاي فیزیکی مورد توجه قرار گرفتهاند. روشهاي بدون شبکه از ذرهها (گرها) براي گسستهسازي ناحیه مورد مطالعه استفاده میکنند سپس با در نظر گرفتن یک ناحیه تاثیر براي هر ذره مقدار جواب مسي له در ذرات با استفاده از یک رابطه که تابعی از کمیتهاي مجهول در ذرهها است تخمین زده میشود. با جاگذاري رابطه تخمین زده شده در معادله دیفرانسیلی حاکم بر پدیده و با توجه به شرایط مرزي پدیده فیزیکی مسي له حل شده و کمیتهاي مجهول ذرهاي بدست میآیند. هزینه محاسباتی گسستهسازي بیسازمان ناحیه مسي له در روشهاي بدون شبکه نسبت به روشهاي مبتنی بر المان(مانند المان محدود) بسیار کمتر است. علاوه بر این براي حل پدیدههایی با مرزهاي متحرك که در مکانیک سیالات بسیار معمول هستند روشهاي بدون شبکه نسبت به روشهاي مبتنی بر المان کارایی بهتري از خود نشان میدهند. با بهرهگیري از روشهاي بدون شبکه اجراي فرآیند تظریف نیز به مراتب آسانتر شده است. روش بدون شبکه نیمه ضمنی ذرات متحرك (MPS) از جمله روشهاي بدون شبکه است که کارایی خود را در حل مساي ل جامداتی و به ویژه مساي ل سیالاتی به خوبی نشان داده است. این روش که اولین بار توسط کوشیزوکا و اوکا[ 1 ] اراي ه شد از تابع کرنل براي رابطه تخمین استفاده میکند. بعدها از این روش براي حل پدیدههایی هیدرولیکی مثل شکست سدو جریان روي سرریز استفاده شد[ 2,3 ]. در تحلیل پدیدههایی که ماهیت دو یا چند فازي دارند نیز از این روش استفاده شده است[ 4 ]. عطایی آشتیانی و فرهادي[ 5 ] با مقاسیه بین توابع کرنل مختلف راهکارهایی براي پایدارسازي بیشتر این روش اراي ه دادند. روش MPS با روش همیلتونی ترکیب شد و روش جدیدیی با کارایی بیشتر بوجود آورد [6]. روشی با مرتبه بالاتر از دقت نیز براي لاپلاسین اراي ه شده است [7] که به روش اصلاح شده MPS معروف است در این روش براي محاسبه مشتقات از روشی خاص استفاده میشود که به دقت بالاتر جوابها منجر میشود. ذرات ش کی بیشتر کارهاي انجام شده با روش MPS از ذرات مجازي براي اعمال شرایط مرزي استفاده میکنند. در این روش از چند لایه ذره مجازي که در اطراف مرزها قرار میگیرند و با سرعت مرزي که روي آن قرار داند حرکت میکنند استفاده میشود. هرچند معادلات دیفرانسیلی حاکم براي ذرات مجازي گسسته نمیشوند ولی ایجاد آنها براي گسستهسازي مناسب معادله دیفرانسیلی براي ذرات داخل ناحیه و اعمال شرایط مرزي ضروري است. مجازي با افزایش تعداد ذرات مسي له هزینه محاسباتی روش MPS را بالا می برند. در این مقاله روش پنالتی که قبلا از آن در روشهاي بدون ه دیگري مثل گالرکین بدون شبکه (EFG) [8] پتروف-گالرکین (MLPG) [ 9,10 ]و روش بدون شبکه حداقل مربعات گسسته (DLSM) [11,12] براي اعمال شرایط مرزي استفاده شده است به کار گرفته شده است. با استفاده از این روش نیازي به در نظر گرفتن چند لایه از ذرات مجازي نبوده و براي اعمال شرایط مرزي فقط از یک لایه از ذرات که روي مرز ناحیه قرار میگیرند استفاده میشود. ١

2 در روش MPS با ضریب پنالتی با قیمانده شرایط مرزي حاکم بر مسي له در یک مقدار معروف به ضریب پنالتی ضرب میشود و با باقیمانده معادله دیفرانسیلی حاکم بر مسي له جمع میشود تا مقدار باقیمانده کلی بدست آید. با کمینه کردن مقدار باقیمانده کلی نسبت به متغیر هاي مجهول ذرهاي مجهولات در ذرهها محاسبه میشوند. ضریب پنالتی باید مقداري بسیار بزرگ انتخاب شود. در ادامه ضمن بررسی تي وري در نظر گرفته شده در این تحقیق و روش اعمال ضریب پنالتی به روش MPS با اراي ه مثالهاي عددي هیدرولیکی کارایی روش اراي ه شده در حل مناسب و کاهش هزینه محاسباتی نشان داده شده است..2 روش نیمه ضمنی ذرات متحرك( MPS ) با توجه به خاصیت تابع دلتاي دایرك رابطه زیر همواره برقرار است. ( )= ( ) ( ) ( 1) که در رابطه بالا یک تابع و جواب امکان پذیر نیست بنابراین تابع دلتا دایرك است. از آنجایی که استفاده مستقیم از تابع دلتاي دایرك در روشهاي صورت عددي براي تخمین توابع تخمینی طوري انتخاب میشوند که تا جاي ممکن ویژگی تابع دلتا دایرك را داشته باشند. این توابع باید در داخل ناحیه تاثیر مقداري غیر صفر و در خارج از آن مقدار صفر را اختیار کنند. و مقدار آنها باید با نزدیک شده به مرکز ناحیه تاثیر افزایش یابد. همچنین باید جمع مقادیر این توابع در هر ناحیه تاثیر یک باشد (خاصیت نرمالایز بودن). در روش MPS از تابع کرنل براي بدست آوردن تابع تخمین استفاده میشود. رابطه بالا را میتوان به صورت فرم جمع بندي شده زیر تقریب زد. ( ) = = ( 2) N در رابطه بالا تعداد ذرات داخل ناحیه تاثیر بوده و است. در این مقاله براي تابع کرنل ) = ( از تابع اسپلاین استفاده شده است. است. ماتریس تابع شکل در ذره i ما بوده و بردار مجهولات ذرهاي d + 4d w ij ( d) = 4d + 4d d d 2 d 1 d 1 (3) d w و که در رابطه بالا r = i r- j d/ w شعاع ناحیه تاثیر است. براي تخمین مشتقات داریم [5]: ( ) = (4) در رابطه بالا d بعد مسي له است که به طور مثال براي یک مسي له دو بعدي مقدار آن دو است. به این معنی که براي اطمینان بهتر است ناحیه تاثیر آن مرزها را قطع نکند. چگالی در ذرهاي است کهکاملا داخل ناحیه قرار دارد = ( 5) بردار مختصات است که براي محاسبه مشتق در جهتx و y یکدیگر است. فرم MPS محاسبه لاپلاسین به صورت رابطه (6) است [5]. به ترتیب مقدارx و y در آن قرار میگیرند. و فاصله دو ذره i, j از

3 ( ) = = ( 6) ماتریس مشتق لاپلاسین تابع شکل در ذره i ما است. و در آن عبارت است از: = (( ) ) ( 7) ( با قرار دادن روابط بدست آمده ) و 2 4 و 6 ) در معادله دیفرانسیلی معادله گسسته شده و با حل دستگاه معادله مربوط به آن مقادیر مجهول ذرهاي ) محاسبه میشوند. 3. روش ضریب پنالتی براي معادله دیفرانسیلی به شکل ( ( )) = ( ) (8) که L در آن یک عملگر دیفرانسیلی است و شرایط مرزي زیر بر مسي له حاکم است: ( )=B( ) ( ) = ( ) ( 9) مقدار باقیمانده کل در ذره i ما عبارت است از = ( ) ( ) + ( ) B( ) + ( ( ) ( )) ( 10) در رابطه بالا و ضرایب پنالتی هستند که باید مقداري به اندازه کافی بزرگ اختیار شوند. بدیهی است اگر ذره iام روي مرز نباشد مقدار باقیمانده شرایط مرزي آن صفر بوده و ضرایب پنالتی آن صفر در نظر گرفته میشوند. با گسستهسازي عملگر دیفرانسیلی به صورت زیر در ذره فرضی iام داریم: ( ) = ( 11) در رابطه بالا به صورت زیر محاسبه میشوند: ماتریس تابع شکل است که عملگرL روي آن اثر کرده است. با برابر صفر قرار دادن رابطه (10) ماتریس ضرایب و بردار دست راست (,~) = + + (12) (,1)= ( )+ B( ) + ( ) ( 13) در روابط اخیر (~, ( و( 1, ( به ترتیب مقدار سطر iام ماتریس ضرایب و ماتریس دست راست میباشند. 4. ارزیابی مدل ٣

4 با فرض جریان غیر ویسکوز و غیر چرخشی معادلات ناویر استوکس به معادله بیضوي لاپلاس تقلیل مییابند که در این تحقیق به وسیله این معادله دو مثال هیدرولیکی تحلیل شده است. =0 ( 14) در رابطه بالا تابع جریان است. در مثالهاي عددي حل شده مقدار ضریب پنالتی 10 8 در نظر گرفته شده است. شرایط مرزي حاکم بر مثالها از نوع دریچله میباشند. با توجه به اینکه مرز نفوذ ناپذیر و سطح آزاد آب یک خط جریان هستند بنابراین براي دیوارهها وسطح آزاد آب از شرط مرزیی از نوع دریچله که مقدار تابع شده است داریم: را ثابت اختیار میکند استفاده میشود. براي مرز ورودي و خروجی که سرعت در آنها یکنواخت و در جهت x فرض = = + ( 15) که در رابطه بالا y نشان دهنده فاصله عمودي هر نقطه تا مرز دیوار نفوذناپذیر بوده و c یک عدد ثابت است که با توجه به یک مرز مبنا انتخاب میشود. اگر سطح مبنا یک سطح نفوذ ناپذیر اختیار شود و با فرض c برابر صفر براي این دیوار نفوذناپذیر خواهیم داشت: =0, ( 16) 1.4 عبور جریان از زیر دریچه در این مسي له جریان عبوري از زیر یک دریچه که در شکل 1 نشان داده شده است تحلیل شده است. در اینحالت زاویه α 26 درجه در نظر گرفته شده است. و سایر پارامترها به ترتیب عبارتند از: =h1 33 =h2 2/5 و میزا ن بازشدگی زیر دریچه برابر با 4 در نظر گرفته شده است. با در نظر گرفتن مقدار صفر براي محاسبه میگردند. در مرز بستر و با توجه به رابطه (15) مقدار تابع جریان در ورودي خروجی و همچنین سطح آزاد آب و مرز نفوذناپذیر دریچه شکل 1- گذر آب از زیر دریچه در اشکال 2 و 3 آرایش ذرهها و خطوط جریان بدست آمده با استفاده از روش MPS با ضریب پنالتی براي مثال اول نشان داده شده است. ٤

5 شکل 2- آرایش ذرات با 975 ذره. شکل - 3 خطوط جریان بدست آمده از روش MPS با ضریب پنالتی براي مثال اول. به طور منطقی با حذف ذرات مجازي در روش MPS با ضریب پنالتی هزینه محاسباتی روش کاهش مییابد ولی توجه به این نکته لازم است که تعداد ذرات مجازي مورد استفاده براي هر مسي له میتواند متفاوت باشد بنابراین نسبت هزینه محاسباتی دو روش با توجه به تعداد ذرات مجازي مورد استفاده میتواند متغییر باشد. با اینحال براي یک مقایسه کمی جدول 1 زمان محاسباتی دو روش MPS با ذرات مجازي و MPS با ضرایب پنالتی را باهم مقایسه کرده است. براي این منظور این مسي له به دو روش MPS با پنج لایه ذره مجازي و MPS با ضریب پنالتی حل شده است. براي هر دو روش از تعداد برابر ذرات داخل ناحیه استفاده شده است. جدول 1- مقاسه زمان محاسباتی براي مثال اول روشMPSبا ضریب پنالتی روشMPSبا ذرات مجازي (s) 86(s) 1 / 34 1 / زمان محاسبه تعداد ذرات کلی عبور جریان از یک تنگشدگی موضعی در این مثال جریان عبوري از یک تنگ شدگی موضعی که در شکل 4 نشان داده شده است تحلیل شده است. جریان در ورودي و خروجی توسعه یافته فرض شده است. با توجه به تقارن شکل نسبت به خط S.L خط تقارن به عنوان یک خط جریان در نظر گرفته شده است و فقط نیمی از ناحیه

6 مسي له حل شده است. مقدار در مرزهاي نفوذناپذیر برابر صفر در نظر گرفته شدهاند و براي محاسبه در ورودي خروجی و خط تقارن از رابطه (15) استفاده شده است. اشکال 5 و 6 آرایش ذرات و خطوط جریان بدست آمده از روش MPS با ضریب پنالتی را براي این مثال نشان میدهند. 15 S.L شکل - 4 مقطع تنگ شدگی موضعی. شکل 5 - آرایش ذرات با 501 ذره. شکل - 6 خطوط جریان بدست آمده از روش MPS با ضریب پنالتی براي مثال دوم.

7 جدول 2 زمان محاسباتی دو روش MPS با ذرات مجازي و MPS با ضرایب پنالتی را براي این مسي له باهم مقایسه کرده است. در این مسي له نیز از تعداد برابر ذرات داخل ناحیه براي دو روش استفاده شده است. جدول 2- مقاسه زمان محاسباتی براي مثال دوم روش MPS با ضریب پنالتی روش MPS با ذرات مجازي (s) 68(s) 0 / 49 0 / زمان محاسبه تعداد ذرات کلی نتیجهگیري روشهاي معمول MPS از چند لایه ذره مجازي که در اطراف مرزها قرار میگیرند براي اعمال شرایط مرزي استفاده میکنند با توجه به هزینه گسستهسازي و محاسباتی زیادي که ذرات مجازي به روش تحمیل میکنند به کارگیري روشی براي اعمال شرایط مرزي بدون استفاده از ذرات مجازي میتواند هزینه محاسباتی را کاهش دهد. در این تحقیق از روش ضریب پنالتی براي اعمال شرایط مرزي استفاده شد و با حل مثالهاي عددي هیدرولیکی کارایی روش در کاهش هزینه محاسباتی و تحلیل پدیدهها با دقت مناسب نشان داده شد مراجع 1. Koshizuka, S., Nobe, A. and Oka, Y. (1998), Numerical analysis of breaking waves using the moving particle simi-implicit methodanalysis, International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol. 26, pp Shakibaeinia, A and Jin Y.C. (2009), Lagrangian modeling of flow over spillwayas using the moving particle simi-implicit, 33 rd IAHR Congress: Water Engineering for a Sustainable Environment, pp Khayyer, A. and Gottoh, H, (2009), Modified moving particle simi-implicit methods for of 2D wave impact pressure Coastal Engineering, Vol, 56, pp Gotoh, H. and Sakai, T, (2006), Key issues in the particle method for computation of wave breaking Modified moving particle simi-implicit methods for of 2D wave impact pressure Coastal Engineering, Vol, 53, pp Ataei-Ashtiani, B. and Farhadi, L,. (2006), A stable moving particle simi-implicit method for free surface flows, Fluid Dynamics Research, Vol. 38, pp Suzuki, Y., Koshizuka, S. and Oka, Y., (2007), Hamiltonian moving particle simi-implicit (HMPS) method for in compressible fluid flows Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Vol, 196, pp Khayyer, A., Gottoh, H., (2010), A higher order Laplacian model for enhancement and stabilization of pressure calculation by the MPS method Ocean Research, Vol, 32, pp Belytschko, T., Krongauz, Y., Organ, D, et al., (1996), Meshless methods: an overview and recent developments, Comput Methods Appl Mech Eng, Vol, 139, pp Atluri, S.N, Zhu, T.L., (1998), A new meshless local Petrov-Galerkin (MLPG) approach in computational mechanics, Comput Mech, Vol, 22, pp ٧

8 10. Atluri, S.N, Zhu, T.L., (2000), The meshless local Petrov-Galerkin (MLPG) approach for solving problems in elasto-statics Comput Mech, Vol, 25, pp Firoozjaee, A.R. and Afshar M.H., (2009), Discrete least square meshless method for the solution of elliptic partial differential equations, Engineering Analysis with Boundary Elements, pp, Amani, J. Afshar, M.H, and Naisipour, M., (2012). Mixed discrete least squares meshless method for planar elasticity problems using regular and irregular nodal distributions Engineering Analysis with Boundary Elements, Vol 36, pp ٨