شاخصهای پراکندگی دامنهی تغییرات:

Transcript

1 شاخصهای پراکندگی شاخصهای پراکندگی بیانگر میزان پراکندگی دادههای آماری میباشند. مهمترین شاخصهای پراکندگی عبارتند از: دامنهی تغییرات واریانس انحراف معیار و ضریب تغییرات. دامنهی تغییرات: اختالف بزرگترین و کوچکترین داده را دامنهی تغییرات نامیده و آن را با R نمایش میدهیم. دامنهی تغییرات سادهترین شاخص پراکندگی است. R = Max mi مثال: دامنهی تغییرات دادههای آماری 7, 9,,,,,, 9, را بیابید. Max = 9, mi =, R = Max mi = 9 = ویژگیهای دامنهی تغییرات: دامنهی تغییرات یک معیار سریع برای به دست آوردن پراکندگی دادههای آماری است. اما معیار مناسبی نیست. زیرا فقط بزرگترین داده و کوچکترین دادهی آماری را در نظر میگیرد و اطالعات دادههای میانی را در نظر نمیگیرد. ) مثال: اگر نمرات دانشآموزان کالسی, 7, 9,,,,, 9, 7, باشند. آیا برای تحلیل یک دست بودن سطح دانشآموزان کالس میتوانیم از دامنهی تغییرات استفاده کنیم خیر // زیرا با توجه به همهی نمرات تحلیل ما این است که دانشآموزان کالس به جز یک نفر همگی وضعیت علمی مناسبی دارند. اما دامنهی تغییرات بیانگر پراکندگی زیاد و یک دست نبودن سطح دانشآموزان است. R = Max mi = = اگر همهی دادهها با هم برابر باشند دامنهی تغییرات برابر صفر میشود. همچنین اگر دامنهی تغییرات برابر صفر باشد همهی دادهها با هم برابر هستند. ) مثال: اگر دامنهی تغییرات دادههای آماری «7» x, x, x, x, x, x, برابر صفر باشد میانگین دادههای آماری مذکور را بیابید. با توجه به صفر بودن دامنهی تغییرات نتیجه میگیریم که همهی دادههای آماری یکسان هستند. بنابراین همهی دادههای آماری برابر 7 میباشند. لذا میانگین همهی دادهها نیز برابر 7 خواهد بود. ( اگر همهی دادههای آماری با عددی جمع یا تفریق شوند دامنهی تغییرات تغییری نمیکند. مثال: آزمون میانترم درس آمار در مقیاس نمره برگزار شده. بیشترین نمره و نیز دامنهی تغییرات میباشد. معلم کالس به دلیل نظم حضور دانشآموزان در کالس تصمیم گرفته به هر دانشآموز نمره اضافه کند. کمترین نمرهای که در لیست نمرات وارد میشود چه نمرهای است این سوال را با دو رویکرد حل میکنیم: قبل از اضافه کردن نمره کمترین نمره را مییابیم و سپس نمره را به آن اضافه میکنیم. R = Max mi mi = Max R = = + = ابتدا نمره را اضافه میکنیم بیشترین نمره تغییر میکند. اما دامنهی تغییرات ثابت میماند. سپس کمترین نمره را مییابیم.

2 + = 9 R = Max mi mi = Max R = 9 = اگر همهی دادههای آماری در عددی ضرب یا بر عددی تقسیم شوند دامنهی تغییرات در قدرمطلق آن عدد ضرب یا بر قدرمطلق آن عدد تقسیم میشود. ) مثال: آزمون میانترم درس آمار در مقیاس نمره برگزار شده. بیشترین نمره 9 و نیز دامنهی تغییرات میباشد. کمترین نمرهای که در لیست نمرات در مقیاس وارد میشود چه نمرهای است این سوال را با دو رویکرد حل میکنیم: قبل از برابر کردن کمترین نمره را مییابیم و سپس آن را برابر میکنیم. R = Max mi mi = Max R = 9 = 7 7 = ابتدا نمرات را برابر میکنیم. بیشترین نمره برابر میشود. دامنهی تغییرات نیز برابر میشود. سپس کمترین نمره را مییابیم. Max (ew) = 9 =, R (ew) = = Mi (ew) = Max (ew) R (ew) = = نکته: در نمودار جعبهای اختالف بین چارک اول و سوم را دامنهی میان چارکی مینامیم. توجه: اگر دامنهی تغییرات نسبت به تعداد دادهها زیاد باشد از دامنهی تغییرات دادههای میانی که وضع متعادلی دارند استفاده میکنیم. با این کار اثر دادههای بزرگ و کوچک روی دیگر دادهها را از بین میبریم. دامنهی تغییرات دادههای میانی همان دامنهی میان چارکی است. مثال: آیا برای تحلیل میزان پراکندگی سطح علمی دانشآموزانی که نمرات,,,,,,,,,, اخذ نمودهاند شاخص دامنهی تغییرات مناسب است خیر // زیرا با توجه به همهی نمرات تحلیل ما این است که دانشآموزان کالس به جز دو نفری که نمرات بسیار عالی و بسیار بد گرفتهاند بقیه تقریبا در یک سطح هستند. اما دامنهی تغییرات بیانگر پراکندگی زیاد و یک دست نبودن سطح دانشآموزان است. بنابراین به جای استفاده از شاخص دامنهی تغییرات از شاخص دامنهی میان چارکی استفاده میکنیم.»,,,,,,,,,, «Q Q Q دامنهی تغییرات نمره ولی دامنهی میان چارکی نمره است. واریانس: یکی از شاخصهای پراکندگی که میزان پراکندگی همهی دادهها را بیان میکند واریانس است. برای بیان پراکندگی دادهها باید میزان انحراف دادهها را پیرامون یکی از شاخصهای مرکزی در نظر بگیریم. بهترین شاخص مرکزی برای بررسی میزان انحراف دادهها میانگین است. میانگین مجذور انحراف از میانگین همهی دادهها را واریانس نامیده و آن را با σ نشان میدهیم. برای محاسبهی واریانس تعدادی دادهی آماری یک فرآیند چند مرحلهای پیش روی ما است: میانگین دادهها را محاسبه میکنیم. انحراف از میانگین دادهها را محاسبه میکنیم. مجذور انحراف از میانگین دادهها را محاسبه میکنیم.

3 - میانگین مجذور انحراف از میانگین دادهها را محاسبه میکنیم. σ (x) = (x x ) + (x x ) + + (x x ) = i= (x i x ) مثال: ساعات مطالعهی دانشآموز کنکوری در یک روز «7»,,, 7, میباشد واریانس دادههای آماری مذکور را بیابید. x = =, σ (x) = ( ) + ( ) + ( ) + (7 ) + (7 ) = = / واریانس دادههای وزندار: اگر بخواهیم واریانس دادههای موجود در یک جدول توزیع فراوانی را بیابیم یک فرآیند چند مرحلهای پیش روی ما است: ابتدا مرکز دستهها را مشخص میکنیم. میانگین وزندار دادهها را محاسبه میکنیم. انحراف از میانگین دادهها را محاسبه میکنیم. مجذور انحراف از میانگین دادهها را محاسبه میکنیم. میانگین وزندار مجذور انحراف از میانگین دادهها را محاسبه میکنیم. - σ (x) = f (x x ) + f (x x ) + + f k (x k x ) = (f i (x i x ) ) f + f + + f k k i= مثال: واریانس دادههای موجود در جدول توزیع فراوانی زیر را بیابید. دستهها فراوانی تجمعی 9 مرکز دستهها 7 9 فراوانی مطلق ( ) + ( ) + ( ) + ( 7) + ( 9) x = = = var(x) = σ (x) = ( ) + ( ) + ( ) + (7 ) + (9 ) = = نکتهی مهم: هر چه واریانس به صفر نزدیکتر باشد پراکندگی بین دادهها کمتر خواهد بود. ویژگیهای واریانس: ( اگر تمام دادههای آماری یکسان باشند واریانس برابر صفر است و برعکس یعنی اگر واریانس برابر صفر باشد تمام دادهها برابر هستند.

4 مثال: اگر واریانس دادههای آماری «9» x, x, x, x, x, برابر صفر باشد میانگین دادههای آماری مذکور را بیابید. با توجه به صفر بودن واریانس نتیجه میگیریم که دادههای آماری پراکندگی ندارند یعنی همهی دادههای آماری یکسان هستند. بنابراین همهی دادههای آماری برابر 9 میباشند. لذا میانگین دادهها نیز برابر 9 خواهد بود. ( اگر همهی دادههای آماری را با عددی جمع یا تفریق کنیم واریانس تغییر نمیکند. مثال: نمرات دانشآموزی در جدول توزیع فراوانی زیر داده شده است. واریانس نمرات این دانشآموز را بیابید. 9/ نمرات دروس ) i (x / 7/ / ضرایب دروس ) i (f برای سادگی محاسبات میتوانیم ابتدا از تمامی نمرات / نمره کم کنیم و سپس واریانس را محاسبه کنیم. x i (ew) = x i / f i ( ) + ( ) + ( ) + ( ) x = = = var(x) = σ (x) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = = اگر همهی دادههای آماری را در عددی ضرب یا بر عددی تقسیم کنیم واریانس در مجذور آن عدد ضرب یا بر مجذور آن عدد تقسیم میشود. ) مثال: واریانس دادههای آماری,,,,, را بیابید. با توجه به اینکه همهی دادههای آماری ضرایب هستند و برای سادگی محاسبات ابتدا همهی دادهها را بر عدد تقسیم میکنیم. سپس واریانس x i,,,,, y i,,,,, 7 y = = = را مییابیم و در نهایت واریانس را در مجذور یعنی ضرب میکنیم. var(y) = σ (y) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + (7 ) x i = y i σ (x) = σ (y) = / = / = = / σ (x) برابر» x, x,, x نکتهی مهم: اگر واریانس دادههای «باشد. واریانس دادههای «b» a x + b,, a x + برابر (x) a σ خواهد بود.

5 مثال: معلم کالس ریاضی آزمون میانترم را در مقیاس نمره برگزار نمود. سپس به برابر نمرات نمره نیز اضافه و سپس وارد لیست نمرات کرد. حداکثر نمرهی وارد شده در لیست 9 میباشد. اگر واریانس نمرات وارد شده در لیست باشد. واریانس نمرات اولیهی دانشآموزان چند است نمرات اولیه را با ) i (x و نمرات نهایی وارد شده در لیست را با ) i (y نمایش میدهیم. (x) y i = (x i ) + σ (y) = σ σ (y) =, σ (x) =? = σ (x) σ (x) = بنابراین واریانس نمرات اولیهی دانشآموزان برابر است. ( واحد واریانس از نوع مجذور واحد متغیر است. مثال: اگر واحد متغیر سانتیمتر باشد واحد واریانس سانتیمتر مربع خواهد بود. σ (x) = d ( ) ) اگر دادههای x, x,, x تشکیل دنبالهی حسابی با قدرنسبت d بدهند آنگاه واریانس برابر است با: مثال: پ راش دادههای,, 9, 7, را بیابید. توجه: نام دیگر واریانس پ راش است. پراش برگرفته از کلمهی پراشندگی به معنای پراکندگی میباشد. اگر دادههای آماری,, 9, 7, را به ترتیب صعودی مرتب کنیم, 7, 9,, تعداد جمله از یک دنبالهی حسابی با =, d =, σ (x) = d ( ) = ( ) = قدرنسبت مشهود میشود. بنابراین داریم: دستور دیگر محاسبهی واریانس: σ (x) = i= (x i x ) = i= (x i x i x + (x ) ) اگر رابطهی اصلی واریانس را گسترش دهیم خواهیم داشت: = (x i i= ) + i= ( x i x ) + i=(x ) = = (x i i= ) x i= (x i ) + (x ) i=() i=(x i ) i=() =x, = = i= (x i ) = i= (x i ) x x (x ) + (x ) () = i= (x i ) i= (x i) + (x ) i= () (x ) + (x ) = i= (x i ) = (x ) بنابراین برای محاسبهی واریانس میانگین مجذور دادهها را منهای مجذور میانگین دادهها میکنیم. این دستور محاسبهی واریانس معموال هنگامی مورد استفاده قرار میگیرد که مجموع مجذور دادهها برای ما مشخص باشد. (x i ) i= مثال: اگر مجموع دادهی آماری برابر و مجموع مجذور همان دادهی آماری برابر باشد واریانس دادههای آماری را بیابید. = x = i= (x i) = =, (x i ) i= = σ (x) = i= (x i ) (x ) = = انحراف معیار:

6 یکی دیگر از شاخصهای پراکندگی انحراف معیار است که از جذر واریانس به دست میآید. انحراف معیار را با «σ» نشان میدهیم. σ (x) = σ (x) σ (x) = i= (x i x ) x i,, 7, 9, σ (x) = i= (x i ) (x ) مثال: انحراف معیار دادههای, 7, 9, را بیابید. x = = σ (x) = ( ) + ( ) + (7 ) + (9 ) = σ (x) = ویژگیهای انحراف معیار: اگر همهی دادههای آماری یکسان باشند انحراف معیار برابر صفر است و برعکس یعنی اگر انحراف معیار برابر صفر باشد تمام دادهها با یکدیگر برابر هستند. ) مثال: اگر انحراف معیار دادههای آماری «7» x, x, x, x, برابر صفر باشد میانگین دادههای آماری مذکور را بیابید. با توجه به صفر بودن انحراف معیار نتیجه میگیریم که دادههای آماری پراکندگی ندارند یعنی همهی دادههای آماری یکسان هستند. بنابراین همهی دادههای آماری برابر 7 میباشند. لذا میانگین دادهها نیز برابر 7 خواهد بود. ( اگر همهی دادههای آماری را با عددی جمع یا تفریق کنیم انحراف معیار تغییر نمیکند. مثال: نمرات دانشآموزی در جدول توزیع فراوانی زیر داده شده است. انحراف معیار نمرات این دانشآموز را بیابید. 9/ نمرات دروس ) i (x / 7/ / ضرایب دروس ) i (f برای سادگی محاسبات میتوانیم ابتدا از همهی نمرات / نمره کم کنیم سپس واریانس و در نهایت انحراف معیار را محاسبه کنیم. x i (ew) = x i / f i ( ) + ( ) + ( ) + ( ) x = = = var(x) = σ (x) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = = σ (x) = اگر همهی دادههای آماری را در عددی ضرب یا بر عددی تقسیم کنیم انحراف معیار در اندازهی آن عدد ضرب یا بر اندازهی آن عدد تقسیم میشود. ) مثال: انحراف معیار دادههای آماری,,,,, را بیابید.

7 با توجه به اینکه همهی دادههای آماری ضرایب هستند و برای سادگی محاسبات ابتدا همهی دادهها را بر عدد تقسیم میکنیم. سپس انحراف معیار را مییابیم و در نهایت انحراف معیار را در اندازهی ضرب میکنیم. x i,,,,, y i,,,,, 7 y = = = σ (y) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + (7 ) = = / σ (y) = / x i = y i σ (x) = σ (y) = / نکتهی مهم: اگر انحراف معیار دادههای x, x,, x برابر σ (x) باشد. انحراف معیار دادههای «b» a x + b,, a x + برابر (x) a σ خواهد بود. مثال: معلم کالس ریاضی آزمون میانترم را در مقیاس نمره برگزار نمود. سپس به برابر نمرات / نمره نیز اضافه و سپس وارد لیست نمرات کرد. حداکثر نمرهی وارد شده در لیست میباشد. اگر واریانس نمرات وارد شده در لیست باشد. انحراف معیار نمرات اولیهی دانشآموزان چند است نمرات اولیه را با ) i (x و نمرات نهایی وارد شده در لیست را با ) i (y نمایش میدهیم. (x) y i = (x i ) + / σ (y) = σ σ (y) =, σ (y) = = σ (x) σ (x) = بنابراین انحراف معیار نمرات اولیهی دانشآموزان برابر است. ( واحد انحراف معیار از نوع واحد متغیر است. مثال: اگر واحد متغیر سانتیمتر باشد واحد انحراف معیار نیز سانتیمتر خواهد بود. ضریب تغییرات: یکی از شاخصهای پراکندگی که فقط برای دادههای مثبت تعریف میشود و از تقسیم انحراف معیار بر میانگین حاصل میشود ضریب تغییرات نام دارد و آن را با.C V نشان میدهند. C. V = σ (x) x نکته: ضریب تغییرات تنها شاخص پراکندگی بدون واحد است. بنابراین برای مقایسهی پراکندگی بین دو جامعهی آماری متفاوت که واحد سنجش متغیر آنها یکسان نیست از ضریب تغییرات استفاده میکنیم. مراحل محاسبهی ضریب تغییرات: 4 ( محاسبهی میانگین )مجموع دادهها تقسیم بر تعداد(

8 محاسبهی واریانس )میانگین مجذور انحراف از میانگین همهی دادهها( محاسبهی انحراف معیار )جذر واریانس( محاسبهی ضریب تغییرات )تقسیم انحراف معیار بر میانگین( ) ) ) مثال: ضریب تغییرات دادههای,,,, را بیابید. x i,,,, x = = σ (x) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) C. V = σ (x) x = = = σ (x) = ویژگیهای ضریب تغییرات: اگر همهی دادههای آماری با هم برابر باشند ضریب تغییرات برابر صفر است و برعکس یعنی اگر ضریب تغییرات برابر صفر باشد تمام دادههای آماری با هم برابر هستند. ) مثال: اگر ضریب تغییرات دادههای آماری x, x, x, برابر صفر باشد تفاضل میانگین از میانهی دادههای آماری مذکور را بیابید. با توجه به صفر بودن ضریب تغییرات صورت کسر )یعنی انحراف معیار( برابر صفر است. بنابراین دادههای آماری پراکندگی ندارند و همهی دادههای آماری یکسان و برابر هستند. لذا میانگین و میانهی دادهها نیز هر دو برابر خواهند بود. در نتیجه تفاضل میانگین از میانهی دادهها برابر صفر خواهد بود. C. V = σ (x) x x = = σ (x) = x = x = x = { m d = m o = m d x = = ( اگر همهی دادههای آماری را در یک عدد مثبت ضرب و یا بر یک عدد مثبت تقسیم کنیم ضریب تغییرات تغییری نمیکند. x i x, x,, x y i k x, k x,, k x ; k > C. V = σ (x) x C. V = σ (y) y = k σ (x) k x = σ (x) x اگر به همهی دادهها یک مقدار مثبت اضافه کنیم ضریب تغییرات کوچک میشود. زیرا با اضافه کردن یک مقدار مثبت به همهی دادهها انحراف معیار تغییری نمیکند اما آن مقدار مثبت به میانگین اضافه میشود. ) x i x, x,, x y i k + x, k + x,, k + x ; k > 4

9 C. V = σ (x) x C. V = σ (y) y = σ (x) < σ (x) k + x x مثال: در یک جامعهی آماری = x σ (x) = 9, ضریب تغییرات در حالت جدید چند است میباشد. اگر همهی دادههای آماری را برابر کنیم و سپس به هر داده واحد بیافزاییم y = x + { σ (y) = σ (x) = = y = x + = + = C. V = σ (y) y = تستهای نمونه: ( پراکندگی دادهها در یک جامعهی آماری تنها در صورتی برابر صفر است که.... همهی دادهها برابر صفر باشند. همهی دادهها منفی باشند. همهی دادهها مساوی باشند. دادهها یکی در میان مثبت و منفی باشند. ( اگر به همهی دادههای آماری دو واحد اضافه شود دامنهی تغییرات چه تغییری میکند دو واحد اضافه میشود. دو واحد کم میشود. دو برابر میشود. تغییر نمیکند. ( اگر همهی دادههای آماری سه برابر شوند دامنهی تغییرات چه تغییری میکند سه برابر میشود. سه واحد اضافه میشود. 4

10 بر سه تقسیم میشود. تغییر نمیکند. ) اگر دامنهی تغییرات دادههای آماری «7» x, x, x, x, x, برابر صفر باشد مجموع دادهها کدام است 7 صفر ) اگر دامنهی تغییرات دادههای آماری x, x, x, x, برابر صفر باشد میانگین اعداد x, x, x, x کدام است / / دامنهی میان چارکی دادههای آماری 7,, 9,,,,, کدام است ) 7 کدام یک از گزینههای زیر منطبق بر تعریف واریانس است )7 مجذور میانگین انحرافات از میانگین میانگین مجذور انحرافات از میانگین مجموع مجذور انحرافات از میانگین میانگین جذر انحرافات از میانگین ) واریانس دادههای,,,, کدام است 4

11 واریانس دادههای «+, +,,,» کدام است )9 در دادههای آماری دستهبندی شدهی زیر مقدار واریانس کدام است مرکز دسته 7 9 ) فراوانی مطلق / / x i 7 ( در جدول فراوانی تجمعی دادههای دستهبندی شدهی زیر مقدار واریانس کدام است f c i /7 / / / ( اگر واریانس دادههای موجود در یک جامعهی آماری برابر صفر باشد کدام گزینه صحیح خواهد بود میانگین برابر صفر است. میانه برابر صفر است. م د برابر صفر است. میانگین میانه و م د با هم برابر هستند.

12 ( واریانس نمرات دانشآموزان یک کالس نفره برابر است. اگر معلم کالس به هر دانشآموز نمره اضافه کند واریانس نمرات در حالت جدید کدام خواهد بود ) واریانس دادههای «+ x» x, x, x +, کدام است باشد. ) برابر باشد واریانس دادههای آماری y i کدام است ( مفروض بر این که + i y i = x ( اگر واریانس دادههای آماری x i ) نسبت واریانس دادههای آماری,,, 7, به واریانس دادههای آماری,, 9,, کدام است 7( سه سال قبل واریانس طول قد افراد یک کالس نفره سانتیمتر مربع بود. هر یک از این دانشآموزان پس از گذشت سه سال درصد افزایش طول قد داشتهاند. واریانس طول قد این نفر در حال حاضر به کدام گزینه نزدیکتر است 9

13 ( اگر مجموع دادهی آماری برابر 7 و مجموع مجذور آنها برابر باشد واریانس این دادهها کدام است 9 9( مجموع مجذورات دادهی آماری برابر و میانگین این دادهها برابر است. واریانس کدام است ( تعداد دادهی آماری با میانگین و واریانس مفروضاند. مجموع مجذورات این داده کدام است 7 ) انحراف معیار دادههای,,,, کدام است ) انحراف معیار مجموعهی اعداد,,, کدام است - صفر

14 ( انحراف معیار دادهی آماری برابر / شده است. در این بررسی مجموع مجذور انحراف از میانگین دادهها کدام است 9 ) انحراف از میانگینهای دادهی آماری عبارتاند از «,,,»,, انحراف معیار این دادهها کدام است 9 ) قدرمطلق انحراف از میانگین دادهی آماری عبارتاند از,,,,,,, انحراف معیار این دادهها کدام است ( مجموع دادهی آماری برابر و مجموع مجذور همان داده برابر / میباشد. مقدار انحراف معیار کدام است / / 7( در دادهی آماری مجموع مجذورات دادهها برابر و مجموع دادهها برابر است. انحراف معیار کدام است

15 / /7 / / ( انحراف معیار دادهی آماری برابر و مجموع مجذورات دادهها برابر میباشد. میانگین این دادهها کدام است 9 )9 کدام شاخصهای آماری دادههای, 7,, 9, با هم برابر هستند - میانگین و واریانس - دامنهی تغییرات و میانگین - میانگین و انحراف معیار - واریانس و دامنهی تغییرات ) کدام شاخص آماری دادههای,,,,, برابر انحراف معیار آنها است - انحراف از میانگین - میانگین - دامنهی تغییرات

16 - واریانس ( اگر انحراف معیار تعدادی دادهی آماری برابر صفر باشد کدام گزارهی زیر صحیح است - بیشتر دادهها صفر هستند. - میانگین دادهها برابر صفر است. - تمام دادهها برابر هستند. - میانگین اعداد برابر با هیچ یک از اعداد نیست. ) انحراف معیار دادههای آماری «,» x, x,, x برابر صفر باشد میانگین دادههای x, x,, x کدام است - صفر + ) اگر انحراف معیار دادههای x, x,, x برابر باشد انحراف معیار دادههای x, x,,x کدام است ) انحراف معیار دادههای,,, 7, تقریبا برابر / است. انحراف معیار دادههای,,,, تقریبا کدام است /7 / /

17 9/ ( تمام دادههای آماری را با عدد جمع کرده و سپس قرینه میکنیم. انحراف معیار چه تغییری میکند - دو واحد کم میشود. - قرینه میشود. - ابتدا دو واحد کم و سپس قرینه میشود. - تغییری نمیکند. ( دادههای آماری با میانگین و واریانس / موجود هستند. تمام دادهها را دو برابر میکنیم تا دادههای جدیدی حاصل شوند. انحراف معیار دادههای جدید کدام است / / / / 7( اگر واحد اندازهگیری تعدادی داده را از کیلوگرم به گرم تبدیل کنیم مقدار عددی میانگین تغییری نمیکند. - مقدار عددی دامنهی تغییرات تغییری نمیکند. - مقدار عددی واریانس برابر میشود. - مقدار عددی انحراف معیار برابر میشود. ( کدام یک از شاخصهای پراکندگی واحد اندازهگیری ندارد - دامنهی تغییرات - واریانس - انحراف معیار 4

18 - ضریب تغییرات 9( برای مقایسهی پراکندگی جوامع آماری که واحدهای اندازهگیری متفاوتی دارند از کدام شاخص استفاده میشود - واریانس - انحراف معیار - ضریب تغییرات - دامنهی تغییرات ) ضریب تغییرات دادههای,, 7,, کدام است ) ضریب تغییرات دادههای,,,, کدام است ( در یک جامعهی آماری واریانس و میانگین میباشد. اگر از همهی دادهها واحد کم کنیم ضریب تغییرات در حالت جدید کدام است / / / 4

19 / ( اگر مجموع دادهی آماری برابر و مجموع مجذورات آنها برابر باشد ضریب تغییرات به کدام گزینه نزدیکتر است / / / /7 ( میانگین و انحراف معیار تعدادی دادهی آماری به ترتیب برابر و میباشد. اگر به همهی دادههای آماری واحد اضافه کنیم ضریب تغییرات چه تغییری میکند % کاهش مییابد. % کاهش مییابد. % افزایش مییابد. % افزایش مییابد. 4