سايت ويژه رياضيات درسنامه ها و جزوه هاي دروس رياضيات

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "سايت ويژه رياضيات درسنامه ها و جزوه هاي دروس رياضيات"

reek Μακρή
5 χρόνια πριν
Προβολές:

1 سايت ويژه رياضيات درسنامه ها و جزوه هاي دروس رياضيات دانلود نمونه سوالات امتحانات رياضي نمونه سوالات و پاسخنامه كنكور دانلود نرم افزارهاي رياضيات و... کانال سایت ریاضی سرا در تلگرام:

2 ماتریس آرایشی از اعداد در یک جدول مستطیلی که شامل سطرها و ستون هایی باشد یک ماتریس نامیده می شود. a a a 3 a n a a a 3 a n A = [ ] = [a ij ] m n a m a m a m3 a mn 0 [ 0 = A باشد حاصل جمع درایه های A + A + A 3 + A 4 را به دست آورید. 0 سوال: اگر ] A A 4 = o A 3 = o 3 چون A مثلثی اکید از مرتبهی است پس و در نتیجه بنابراین کافیست را محاسبه نمائیم A = A A = [ 0 0 ] [ 0 0 ] = [ 0 0 0] [ 0 = A + A + A 3 + A 4 = A + A 0 ] = 4 = + + مجموع درایه ها نکته: می دانیم اگر در ماتریس مثلثی درایه های قطر اصلی نیز صفر باشند ماتریس مثلثی اکید است و A n n اگر A n n یک ماتریس مثلثی اکید باشد آن گاه A پوچ توان از مرتبهی است )یعنی و توان های باالتر از n حتما o هستند(.

3 0 m + x A = [ 0 n + ] x m + n سوال: اگر ماتریس پادمتقارن باشد آن گاه 5 n m B = [ 0 7 b ] 3 b x ماتریس چه نوعی است در ماتریس پادمتقارن درایه های روی قطر اصلی صفر هستند و درایه های نظیر باال و پایین قطر اصلی قرینه اند. n = 0 n = n = ± m + = m = 3 n =, m = 3 n + = (m + ) n + = m n = 3 = ماتریس B متقارن است t B = [ 0 7 b ] = B 3 b x مقدار n باید در دو شرط صدق کند پس = n قابل قبول است. در نتیجه داریم: نکته: الف( اگر ترانهادهی یک ماتریس مربعی با خودش برابر باشد به آن ماتریس متقارن گوئیم. ب( اگر ترانهادهی یک ماتریس مربعی با قرینهی خودش برابر باشد به آن ماتریس پادمتقارن گوئیم.

4 نکته: در ماتریس پادمتقارن درایه های روی قطر اصلی صفر هستند. 3 4 [ = A 5] ماتریس سوال: 6 پادمتقارن بنویسید. را به صورت مجموع دو ماتریس یکی متقارن و دیگری A + A t = [ 4 5] + [ 6 ] = [ 5 ] A A t = [ 4 5] [ 6 ] = [ 3 0 ] A = (A + At ) + (A At ) = A = (A + At ) + (A At ) 5 5 [ ] [ ] A اگر نکته: A یک ماتریس مربعی باشد ماتریس را می توان به صورت مجموع دو ماتریس یکی A A t پادمتقارن است. متقارن و دیگری پادمتقارن نوشت که A + A t متقارن و A = (A + At ) + (A At ) 3

5 α α [ β 0 ] + 3I α + β + = [ از تساوی تست( ] 3θ β γ γ + مجموع همهی مجهوالت کدام است 4 )4 3 )3 3 ) ) I = [ 0 0 ] α α [ β 0 ] + 3 [ 0 + β + ] = [α 0 β γ γ + 3θ ] α + 3 = α + β + β = α + 3 α + β + [ ] = [α β 3 β γ γ + 3θ ] { α = α = β = β γ γ = 0 γ + 3θ = 3 3θ = 3 θ = α + β + γ + θ = = 4 سوال: نقطهی A ابتدا نسبت به محور ox قرینه شده تا نقطهی 'A به دست آید سپس 'A نسبت به خط قرینه شده تا نقطهی ''A به دست آید. چه ماتریسی نقطهی A را به ''A تبدیل می کند y = -x A = y = -x A = [ 0 0 ] ox ماتریس تقارن نسبت به محور و نسبت به خط 0 [ می باشد ماتریسی که هر دو تقارن را با هم انجام می دهد A A است پس داریم: 0 ] A A = [ 0 0 ] [ 0 0 ] = [ 0 0 ] x n A n x n,, x 3 A x A نکته: اگر x به با تبدیل با تبدیل به با تبدیل تبدیل به شود ماتریس x A n A n A A را به x n تبدیل کند. 4

6 [ کدام است 4 تست( با توجه به ماتریس دوران در صفحه حاصل ] [ 0 0 ] )4 [ 0 0 ] )3 [ 0 0 ] ) [ 0 0 ] ) Rπ 4 = [ ] = [ 0 0 ] [ 4 ] = Rπ 4 = R π 4 ( 4 4 ) = R cosπ sinπ π = [ sinπ cosπ ] نکته: ماتریس دوران به اندازهی θ در جهت مثلثاتی حول مبدأ مختصات به صورت زیر است: R θ = [ cosθ sinθ sinθ cosθ ] نکته: بار دوران به اندازهی همان دوران به اندازهی nα است ای بیان به زبان ریاضی به صورت α n cosα sinα cosnα sinnα [ sinα cosα ]n = [ sinnα cosnα ] R n α = R nα قابل نمایش است. که شکل ماتریسی آن به صورت زیر است: 5

7 [ 3 70 تست( حاصل ] 3 کدام است 360 I )4 70 I )3 70 I) 360 I ) [ 3 3 ] = 3 [ 3 = Rπ 3 ] [ ] 70 [ 0 0 ] = 70 I = (Rπ) 70 = 70 R π = 70 cos40π sin40π [ sin40π cos40π ] = دترمینان دترمینان یک تابع است که فقط روی ماتریس های مربعی اثر می کند و حاصل اثر آن روی ماتریس های مربعی یک عدد حقیقی است دترمینان ماتریس مربعی A را با نماد A نمایش می دهیم. مقدار دترمینان A A = [ A تست( اگر ] 4 کدام است - )4 )3 - ) ) = A A = ( A )( ) 4 A = A + 4 A = 6

8 در ماتریس نکته: دترمینان ماتریس با مولف: عباس اسدی امیرآبادی a b نمایش داده می شود و به c d A = [ a b c d ] صورت ad - bc تعریف می شود. 3 4(a + b) کدام است a + تست( اگر, b a, سه عدد متمایز باشند حاصل دترمینان ) + (b a b + b (a + ) )سراسری خارج 89( (a-)(b-) )4 (a-)(b-) )3 4ab ) 0 ) ابتدا قرینهی ستون اول را به ستون دوم اضافه می کنیم: 4(a + b) a a (b + ) b b (a + ) در سطر اول از در سطر دوم از a و در سطر سوم از b فاکتور می گیریم ab a b (a + b) a(b + ) b(a + ) ab را در ستون اول ضرب می کنیم ستون اول+ستون ab a + b سوم در ستون سوم می نویسیم ab a + b + ab ab b ab + a b a + b + ab = (a + b + ab) b a ba + b a a + b + ab a = 0 نکته: دترمینان ماتریسی که دو سطر یا ستون مساوی داشته باشد صفر است. 7

9 تست( اگر مولف: عباس اسدی امیرآبادی 4 x AA t = [ y و A ماتریس 3 3 باشد آن گاه A کدام می تواند باشد ] z )4 8 )3 ) 4 ) ماتریس AA t همواره یک ماتریس متقارن است پس درایه های باال و پایین قطر اصلی نظیر به نظیر برابرند در نتیجه داریم: 4 x =, y =, z = AA t = [ ] 4 AA t = = A A t = A A = 4( ) ( ) + ( ) A = 4 = A = ± فقط در گزینه ها است. AA t متقارن است زیرا: نکته: اگر A یک ماتریس دلخواه باشد آن گاه (AA t ) t = (A t ) t A t = AA t 0 a 4 a را به دست آورید. 0 تست( حاصل دترمینان y x 4 x y 0 دترمینان فوق دترمینان یک ماتریس پادمتقارن از مرتبهی 3 است پس حاصل آن صفر است. نکته: دترمینان ماتریس پادمتقارن از مرتبهی 3 3 صفر است. 8

10 نکته: در حالت کلی می توان گفت دترمینان هر ماتریس پادمتقارن از مرتبهی فرد برابر صفر است زیرا: n=k+ A = A t = A A t = A = ( ) n A پادمتقارن ( ) k+ A A t = A A t = A A = A A = کدام عدد افزوده شود تا مقدار دترمینان 8 واحد 3 تست( به هر درایهی سطر سوم دترمینان 4 9 بیشتر گردد )سراسری 9( 40 )4 30 )3 8 ) - ) = k + k + k 9 قرینه ی ستون اول را به دو ستون دیگر اضافه می کنیم = k k k k 0 0 = 8 بسط نسبت به سطر سوم k( ) 3+ = 8 k(6 0) = k = 8 k = 9

11 تست( به ازای چند مقدار m دترمینان ماتریس مولف: عباس اسدی امیرآبادی m 3 A = [ m و دترمینان معکوس آن برابر 0 0] است 4 )4 )3 ) 0 ) باید داشته باشیم: A A = A = A A = A A = A = m(m) + 3m = m(m 3) A = ( m(m 3) A = m (m 3) = m(m 3) = ± { m(m 3) = m 3m = 0 = 9 4() > 0 m(m 3) = m 3m + = 0 = 9 4()() = 5 > 0 دو ریشه دارد دو ریشه دارد بنابراین در کل 4 ریشه دارد. A = A نکته: همواره داریم: تست( ماتریس مربعی A مفروض است اگر = 8 t A A باشد آن گاه A برابر کدام است - )4 )3 4 ) 3 ) A عدد از دترمینان خارج می شود و به توان مرتبهی ماتریس مربعی می رسد چون عدد است داریم: A A t = 8 A A t = 8 (4 A ) A t = 8 از طرفی داریم: t A = A پس می توان نوشت: 0

12 (4 A ) A t = 8 6 A A = 8 A 3 = 8 6 = 8 A = نکته: ) اگر A یک ماتریس n n باشد و k یک عدد حقیقی خواهیم داشت: A ka = k n ( ترانهاده کردن ماتریس حاصل دترمینان را عوض نمی کند یعنی: A A t = سوال: اگر ] 0 [ 0 3 = A B = [ 4 0], آن گاه حاصل 3 A B را به دست آورید A B 3 = 3 A B 3 = 3 A B 3 = 8 A B 3 A = (3)( ) = 6 B = ( 0) = 0 A B 3 = 8 A B 3 = = 8 36 ( 000) = نکته: ) اگر B n n, A n n باشند آن گاه داریم: A B AB = ( اگر k یک عدد طبیعی باشد آن گاه داریم: A k = A k 3( دترمینان ماتریس های قطری باال مثلثی و پایین مثلثی برابر ضرب درایه های روی قطر اصلی است. 0 x 0 x 0 x سوال: مجموع دو دترمینان 0 y y را به دست آورید. 0 t z z 0 t

13 با جابهجایی ستون های ماتریس اول دو دترمینانی را به صورتی به دست می آوریم که بتوان از قاعدهی تفکیک مجموع آنها را به صورت یک دترمینان بنویسیم: 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 x y y 0 = y y 0 0 t z z 0 t 0 t z z 0 t تفکیک 0 0 x x 0 x = 0 y y 0 قاعده ی x 0 x 0 y 0 = xy z 0 t z 0 t 0 0 t نکته: )قاعدهی تفکیک( هر دو دترمینان را می توان به صورت مجموع یا تفاضل دو دترمینان دیگر نوشت به طوری -n سطر یا -n ستون آنها برابر باشند و مجموع یا تفاضل سطر یا ستون بافی مانده برابر با سطر یا ستون دترمینان اول باشد. x x x چند ریشه دارد x سوال: معادلهی = 0 x x x x x A = 0 x x x x x x x 0 A = (x x ) (x + x + x ) = x 3 + x 3 + 3x = 0 x 3 3x + = 0 جمع ضرایب صفر است پس یکی از ریشه ها یک است. x 3 3x + = 0 (x )(x x x) =

14 ریشه مضاعف = x (x )(x )(x + ) = 0 { ساده = x نکته: )روش ساروس برای محاسبهی دترمینان( فقط برای محاسبهی دترمینان ماتریس های 3 3 می توان از روش ساروس استفاده کرد در این روش یکبار درایه های ستون اول و دوم ماتریس را جلوی آن نوشته و سپس مجموع حاصل ضرب درایه های روی قطر اصلی را منهای مجموع حاصل ضرب درایه های روی قطرهای فرعی می کنیم. 0 سوال: اگر تبدیل یافتهی یک لوزی با زاویهی تحت ماتریس M = [ ] یک متوازی االضالع به مساحت 3 4 باشد اندازهی یک ضلع لوزی را بیابید. اگر a ضلع لوزی باشد آن گاه مساحت آن برابر sin0 a است در ضمن بین مساحت این دوشکل رابطهی روبرو برقرار است: S = M S 4 3 = a sin0 4 3 = 4a sin0 4 3 = 4a 3 a = a = 3 نکته: اگر S مساحت یک شکل 'S مساحت تبدیل یافتهی آن تحت ماتریس M باشد آن گاه داریم: S = M S موفق و پیروز باشید عباس اسدی امیرآبادی Abas.asadi@yahoo.com 3

Σχετικά έγγραφα

محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی

محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی برای محاسبه ی برآیند بردارها به روش تحلیلی باید توانایی تجزیه ی یک بردار در دو راستا ( محور x ها و محور y ها ) را داشته باشیم. به بردارهای تجزیه شده در راستای محور